Matrizes Esparsas. Prof. Fernando V. Paulovich *Baseado no material do Prof. Gustavo Batista

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1 Matrizes Esparsas SCC Algoritmos e Estruturas de Dados I Prof. Fernando V. Paulovich *Baseado no material do Prof. Gustavo Batista paulovic@icmc.usp.br Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) Universidade de São Paulo (USP) 17 de agosto de 2010

2 Sumário 1 2 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares

3 Sumário 1 2 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares

4 O Problema Representação de matrizes com muitos elementos nulos

5 O Problema Representação de matrizes com muitos elementos nulos P.ex., matriz abaixo, de 5 linhas por 6 colunas: apenas 5 dos 30 elementos são não nulos

6 O Problema Representação de matrizes com muitos elementos nulos P.ex., matriz abaixo, de 5 linhas por 6 colunas: apenas 5 dos 30 elementos são não nulos Precisamos de uma representação que evite o armazenamento de tantos zeros

7 O Problema Representação de matrizes com muitos elementos nulos P.ex., matriz abaixo, de 5 linhas por 6 colunas: apenas 5 dos 30 elementos são não nulos Precisamos de uma representação que evite o armazenamento de tantos zeros Solução: utilizar listas cruzadas como estruturas de dados

8 Representação por Listas Cruzadas Cada elemento identicado pela sua linha, coluna, e valor

9 Representação por Listas Cruzadas Cada elemento identicado pela sua linha, coluna, e valor Cada elemento a ij não-nulo pertence a uma lista de valores não nulos da linha i e também a uma lista de valores não nulos da coluna j

10 Representação por Listas Cruzadas Cada elemento identicado pela sua linha, coluna, e valor Cada elemento a ij não-nulo pertence a uma lista de valores não nulos da linha i e também a uma lista de valores não nulos da coluna j Assim, para matriz de nl linhas e nc colunas, teremos nl listas de linhas e nc listas de colunas

11 Listas Cruzadas

12 Listas Cruzadas

13 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas

14 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas Operações principais

15 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas Operações principais criar_matriz(m) : Cria uma nova matriz esparsa M vazia

16 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas Operações principais criar_matriz(m) : Cria uma nova matriz esparsa M vazia inserir(m, lin, col, valor) : Insere um valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M

17 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas Operações principais criar_matriz(m) : Cria uma nova matriz esparsa M vazia inserir(m, lin, col, valor) : Insere um valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M remover(m, lin, col) : Remove o valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M

18 TAD Matriz Esparsa Pode-se criar um TAD bastante simples para matrizes esparsas Operações principais criar_matriz(m) : Cria uma nova matriz esparsa M vazia inserir(m, lin, col, valor) : Insere um valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M remover(m, lin, col) : Remove o valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M consultar(m, lin, col) : Retorna o valor na posição (lin, col) da matriz esparsa M

19 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais)

20 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais) somar_matriz(m1, M2, R) : Soma as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R

21 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais) somar_matriz(m1, M2, R) : Soma as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R multiplicar_matriz(m1, M2, R) : Multiplica as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R

22 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais) somar_matriz(m1, M2, R) : Soma as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R multiplicar_matriz(m1, M2, R) : Multiplica as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R somar_coluna(m, V, Col) : Soma uma constante V a todos os elementos da coluna Col da Matriz M

23 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais) somar_matriz(m1, M2, R) : Soma as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R multiplicar_matriz(m1, M2, R) : Multiplica as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R somar_coluna(m, V, Col) : Soma uma constante V a todos os elementos da coluna Col da Matriz M somar_linha(m, V, Lin) : Soma uma constante V a todos os elementos da linha Lin da Matriz M

24 TAD Matriz Esparsa Operações auxiliares (podem ser criadas a partir das operações principais) somar_matriz(m1, M2, R) : Soma as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R multiplicar_matriz(m1, M2, R) : Multiplica as matrizes M1 e M2 e armazena o resultado em R somar_coluna(m, V, Col) : Soma uma constante V a todos os elementos da coluna Col da Matriz M somar_linha(m, V, Lin) : Soma uma constante V a todos os elementos da linha Lin da Matriz M E mais: inverter, transpor, calcular determinante, etc...

25 Estrutura de Dados A implementação é facilitada se as listas contêm o nó cabeça 1 #define NLINHAS 5 2 #define NCOLUNAS typedef struct { 5 int valor; 6 } DADO; 7 8 typedef struct CELULA { 9 int lin; 10 int col; 11 DADO dado; 12 struct CELULA *direita; 13 struct CELULA *abaixo; 14 } CELULA; typedef struct { 17 CELULA linha[nlinhas]; 18 CELULA coluna[ncolunas]; 19 } MATRIZ;

26 Operações Vamos implementar as operações criar_matriz(...), limpar_matriz(...), inserir(...), remover(...) e consultar(...) do conjunto de operações principais

27 Operações Vamos implementar as operações criar_matriz(...), limpar_matriz(...), inserir(...), remover(...) e consultar(...) do conjunto de operações principais As demais operações principais e auxiliares cam como exercício

28 Operações Vamos implementar as operações criar_matriz(...), limpar_matriz(...), inserir(...), remover(...) e consultar(...) do conjunto de operações principais As demais operações principais e auxiliares cam como exercício Entretanto, vamos discutir alguns aspectos importantes dessas operações

29 Criar Matriz 1 void criar(matriz *matriz) { 2 int i; 3 4 for (i = 0; i < NLINHAS; i++) { 5 matriz->linha[i].direita = NULL; 6 matriz->linha[i].abaixo = NULL; 7 matriz->linha[i].lin = -1; 8 matriz->linha[i].col = -1; 9 } for (i = 0; i < NCOLUNAS; i++) { 12 matriz->coluna[i].direita = NULL; 13 matriz->coluna[i].abaixo = NULL; 14 matriz->coluna[i].lin = -1; 15 matriz->coluna[i].col = -1; 16 } 17 }

30 Limpar Matriz 1 void limpar_matriz(matriz *matriz) { 2 int i; 3 4 for (i = 0; i < NLINHAS; i++) { 5 CELULA *paux = matriz->linha[i].direita; 6 7 while (paux!= NULL) { 8 CELULA *prem = paux; 9 paux = paux->direita; 10 free(prem); 11 } 12 } 13 }

31 Inserir Valor 1 int inserir(matriz *matriz, int lin, int col, DADO *dado) { 2 if (lin < NLINHAS && col < NCOLUNAS) { 3 ///////////inserir na linha 4 5 //aponta para a posição anterior de inserção 6 CELULA *paux = &matriz->linha[lin]; 7 8 //procurar posição de inserção 9 while (paux->direita!= NULL && paux->direita->col < col) { 10 paux = paux->direita; 11 } //célula já preenchida na martiz 14 if (paux->direita!= NULL && paux->direita->col == col) { 15 paux->direita->dado = *dado; 16 } else { 17 CELULA *pnovo = (CELULA *)malloc(sizeof(celula)); 18 pnovo->dado = *dado; 19 pnovo->lin = lin; 20 pnovo->col = col; pnovo->direita = paux->direita; 23 paux->direita = pnovo; ///////////inserir na coluna 26 paux = &matriz->coluna[col]; //procurar posição de inserção 29 while (paux->abaixo!= NULL && paux->abaixo->lin < lin) { 30 paux = paux->abaixo; 31 } pnovo->abaixo = paux->abaixo; 34 paux->abaixo = pnovo; 35 } return 1; 38 } return 0; 41 }

32 Remover Valor 1 int remover(matriz *matriz, int lin, int col) { 2 if (lin < NLINHAS && col < NCOLUNAS) { 3 //aponta para a posição anterior de remoção 4 CELULA *paux = &matriz->linha[lin]; 5 6 //procurar posição de remoção 7 while (paux->direita!= NULL && paux->direita->col < col) { 8 paux = paux->direita; 9 } if (paux->direita->col == col) { 12 CELULA *prem = paux->direita; 13 paux->direita = paux->direita->direita; 14 free(prem); 15 } return 1; 18 } return 0; 21 }

33 Consultar Valor 1 int consultar(matriz *matriz, int lin, int col, DADO *dado) { 2 if (lin < NLINHAS && col < NCOLUNAS) { 3 CELULA *paux = matriz->linha[lin].direita; 4 5 while (paux!= NULL) { 6 if (paux->col == col) { 7 *dado = paux->dado; 8 return 1; 9 } paux = paux->direita; 12 } dado->valor = 0; return 1; 17 } return 0; 20 }

34 Operações E quando um elemento da matriz original se torna não nulo, em consequência de alguma operação? É necessário inserir na estrutura?

35 Operações E quando um elemento da matriz original se torna não nulo, em consequência de alguma operação? É necessário inserir na estrutura? E quando um elemento da matriz original se tornar nulo? É necessário eliminar da estrutura?

36 Operações P.ex., somar -4 à coluna

37 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional?

38 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos

39 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros

40 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro

41 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas)

42 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos

43 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos 5n espaços para ponteiros (um para cada campo do registro: linha, coluna, valor, direita, abaixo)

44 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos 5n espaços para ponteiros (um para cada campo do registro: linha, coluna, valor, direita, abaixo) 5nl espaços para ponteiros para o vetor linha

45 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos 5n espaços para ponteiros (um para cada campo do registro: linha, coluna, valor, direita, abaixo) 5nl espaços para ponteiros para o vetor linha 5nc espaços para ponteiros para o vetor coluna

46 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos 5n espaços para ponteiros (um para cada campo do registro: linha, coluna, valor, direita, abaixo) 5nl espaços para ponteiros para o vetor linha 5nc espaços para ponteiros para o vetor coluna espaço total: 5n + 5nl + 5nc

47 Desempenho Quando a representação por listas cruzadas é vantajosa em relação à representação convencional? Fator Espaço. Suponhamos matriz esparsa que armazena inteiros ponteiro ocupa o mesmo espaço de memória que um inteiro Matriz Esparsa (Listas Cruzadas) Espaço ocupado por matriz de nl linhas, nc colunas e n valores não-nulos 5n espaços para ponteiros (um para cada campo do registro: linha, coluna, valor, direita, abaixo) 5nl espaços para ponteiros para o vetor linha 5nc espaços para ponteiros para o vetor coluna espaço total: 5n + 5nl + 5nc Na representação bidimensional: espaço total: nl nc

48 Desempenho (Fator Espaço) Conclusão Em termos de espaço ocupado, é vantajoso utilizar a representação de listas cruzadas quando

49 Desempenho (Fator Espaço) Conclusão Em termos de espaço ocupado, é vantajoso utilizar a representação de listas cruzadas quando 5n + 5nl + 5nc < nl nc

50 Desempenho (Fator Espaço) Conclusão Em termos de espaço ocupado, é vantajoso utilizar a representação de listas cruzadas quando 5n + 5nl + 5nc < nl nc ou seja, quando n < [(nl 5) (nc 5) 25]/5

51 Desempenho (Fator Espaço) Conclusão Em termos de espaço ocupado, é vantajoso utilizar a representação de listas cruzadas quando 5n + 5nl + 5nc < nl nc ou seja, quando n < [(nl 5) (nc 5) 25]/5 Como (nl 5) (nc 5) é aproximadamente o tamanho da matriz, pode-se dizer, de uma maneira geral, que há ganho de espaço, quando um número inferior a 1/5 dos elementos da matriz forem não nulos

52 Desempenho (Fator Tempo) As operações sobre listas cruzadas podem ser mais lentas e complexas do que para o caso bidimensional

53 Desempenho (Fator Tempo) As operações sobre listas cruzadas podem ser mais lentas e complexas do que para o caso bidimensional Portanto, para algumas aplicações, deve ser feita uma avaliação do compromisso entre tempo de execução e espaço alocado

54 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Sumário 1 2 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares

55 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Representação alternativa Existem ocasiões nas quais não se sabe a princípio qual será o número máximo de linhas ou colunas da matriz esparsa

56 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Representação alternativa Existem ocasiões nas quais não se sabe a princípio qual será o número máximo de linhas ou colunas da matriz esparsa Nessas situações, os vetores Coluna e Linha podem ser substituídos por listas ligadas circulares

57 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Representação alternativa

58 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Exercícios Desenvolva procedimentos para

59 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Exercícios Desenvolva procedimentos para Acessar o elemento a ij

60 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Exercícios Desenvolva procedimentos para Acessar o elemento a ij Eliminar a ij da matriz

61 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Exercícios Desenvolva procedimentos para Acessar o elemento a ij Eliminar a ij da matriz Somar a constante c todos os elementos da coluna j

62 Representação Alternativa Listas Cruzadas Circulares Exercícios Desenvolva procedimentos para Acessar o elemento a ij Eliminar a ij da matriz Somar a constante c todos os elementos da coluna j pode resultar em inserção ou eliminação nas listas.