Listas e matrizes esparsas. SCC122 Estruturas de Dados

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1 Listas e matrizes esparsas SCC Estruturas de Dados

2 Matriz: definição Matriz é um arranjo (tabela) retangular de números dispostos em linhas e colunas x3 B x4 A nº de elementos = nº de linhas * nº de colunas Matriz = Array Bidimensional

3 Matrizes especiais x4 B x3 A Tri-diagonal Triangular inferior x9 C Matriz esparsa: excessivo nº de elementos nulos ()

4 Matrizes Especiais Quadradas Diagonal M(i,j) = para i diferente j Tridiagonal M(i,j) = para i-j > Triangular Inferior M(i,j) = para i < j Triangular Superior M(i,j) = para i > j Simetrica M(i,j) = M(j,i) para todo i, j

5 Matriz esparsa: exemplo L M M M M M M M M L L L L L x C 7 x 9 = 63. elementos Matriz esparsa com 9 elementos não nulos

6 Matrizes esparsas Uso da matriz tradicional Vantagem Ao se representar dessa forma, preserva-se o acesso direto a cada elemento da matriz Algoritmos simples Desvantagem Muito espaço para armazenar zeros

7 Matrizes esparsas Necessidade Método alternativo para representação de matrizes esparsas Solução Estrutura de lista encadeada contendo somente os elementos não nulos

8 Solução Listas simples encadeadas A 3x3 3 5 linha coluna valor next Estrutura de um Nó: linha, coluna: posição valor: zero next: próx nó

9 Solução Desvantagens Perda da natureza bidimensional de matriz Acesso ineficiente à linha Para acessar o elemento na i-ésima linha, deve-se atravessar as i- linhas anteriores Acesso Ineficiente à coluna Para acessar os elementos na j-ésima coluna, deve-se atravessar toda lista Questão Como organizar esta lista, preservando a natureza bidimensional de matriz?

10 Solução Listas cruzadas Para cada matriz, usam-se dois vetores com N ponteiros para as linhas e M ponteiros para as colunas 3 A 3x3 5 Estrutura de um Nó: linha coluna valor proxlin proxcol lin[] lin[] lin[3] col[] col[] col[3] 3 3 5

11 Solução Listas cruzadas Cada elemento não nulo é mantido simultaneamente em duas listas Uma para sua linha Uma para sua coluna

12 Estrutura de Dados typedef reg *preg; struct reg{ int linha; /*..nl*/ int coluna; /*..nc*/ tipo_elem valor; }; preg PL,PC; /*ponteiro p/ próximo registro */ preg vetorcol[nl]; preg vetorlin[nc];

13 Matrizes esparsas Listas cruzadas vs. matriz tradicional Em termos de espaço Supor que inteiro e ponteiro para inteiro ocupam um bloco de memória Listas cruzadas: tamanho do vetor de linhas (nl) + tamanho do vetor de colunas (nc) + n elementos não nulos * tamanho do nó nl+nc+5n Matriz tradicional bidimensional nl*nc

14 Matrizes esparsas Listas cruzadas vs. matriz tradicional Em termos de tempo Operações mais lentas em listas cruzadas: acesso não é direto

15 Matrizes esparsas Listas cruzadas vs. matriz tradicional Em termos de espaço ocupado, é vantajoso utilizar a representação de listas cruzadas quando: 5n + nl + nc < nl * nc ou seja, quando: n < [(nl - ) * (nc - ) -] / 5 Como (nl - ) * (nc - ) é aproximadamente o tamanho da matriz, pode-se dizer, de uma maneira geral, que há ganho de espaço, quando um número inferior a /5 dos elementos da matriz forem não nulos

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17 Outra solução Listas circulares com nós cabeças Ao invés de vetores de ponteiros, linhas e colunas são listas circulares com nós cabeças Nós cabeças: reconhecidos por um (ou -) no campo linha ou coluna Exemplo único ponteiro para a matriz: navegação em qualquer sentido A 4x

18 A Nó cabeça x4 A

19 Listas circulares com nós cabeças Quais as desvantagens dessa representação? Melhor ou pior do que listas cruzadas? Em termos de espaço? Em termos de tempo? Quando usar essas listas?

20 Estrutura de Dados (C) typedef struct RegMatriz{ int linha, coluna; float valor; struct MatrAux *direita, *abaixo; }; RegMatriz* Matriz;

21 void InicializaMatriz(Matriz a, int m,n); Este procedimento cria uma nova matriz a, com m linhas e n colunas, com todos os elementos iguais a zero. void LiberaMatriz( Matriz a); Libera toda a memória dinâmica utilizada pela matriz a. void SomaMatrizes(Matriz a,b,c); Soma as matrizes a e b, deixando o resultado em c. Sup oe que as matrizes são compatíveis quanto ao número de linhas e de colunas. void MultiplicaMatrizes(Matriz a,b,c); Multiplica as matrizes a e b, deixando o resultado em c. Supõe que as matrizes são compatíveis para esta operação.

22 Operações sobre matrizes esparsas Em geral Multiplicar uma dada linha ou coluna por uma constante Somar uma constante a todos os elementos de uma linha ou coluna Somar duas matrizes esparsas de igual dimensão Multiplicar matrizes esparsas Transpor matrizes esparsas Inserir, remover ou alterar elementos Etc.

23 Operações sobre matrizes esparsas Após a realização de alguma operação sobre a matriz Quando um elemento da matriz se torna nulo Remoção do elemento Quando algum elemento se torna não nulo Inserção do elemento

24 Operações sobre matrizes esparsas Por exemplo, ao se somar -4 a coluna 5 do exemplo

25 Exercício: somar -5 a coluna 3 col[] col[] col[3] lin[] 3 3 lin[] - lin[3] 3 3 5

26 Exercício Implementar uma sub-rotina para somar um número K qualquer a uma coluna da matriz Usando listas cruzadas Void soma(preg vetorlin, preg vetorcol, int nl, int nc, int j, int K){ typedef reg *preg; struct reg{ }; int linha; /*..nl*/ int coluna; /*..nc*/ tipo_elem valor; preg PL,PC; /*ponteiro p/ próximo registro */ preg vetorcol[nl]; preg vetorlin[nc];

27 void soma(rec *lin[], Rec *col[], int nl, int nc, int j, int k) { Rec *p; int i; p = col[j]; if (p == NULL) { /* se a coluna possui apenas valores nulos */ for (i=; i<nl; i++) inserir(i, j, k, lin, col); return; } void soma } for (i=; i<nl; i++) { if (i!= p->linha) /* se o valor é nulo */ inserir(i, j, k, lin, col); else { p->valor = p->valor + k; if (p-> valor == ) { /* se o valor torna-se nulo */ p = p->proxlin; eliminar(i, j, lin, col); } else p = p->proxlin; } }

28 Estes slides foram preparados pelos profes; Thiago Pardo e Maria da Graça Nunes e modificados pela profa. Roseli Aparecida Francelin Romero e por Mario Gazziro em.