Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante
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- Raphaella Rosa Bicalho
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1 TSP p.1/19 Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante 24 de agosto de 2004
2 TSP p.2/19 Problema do Caixeiro Viajante Dados grafo comprimento da aresta ( )
3 TSP p.2/19 Problema do Caixeiro Viajante Dados grafo comprimento da aresta ( ) Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices
4 TSP p.2/19 Problema do Caixeiro Viajante Dados grafo comprimento da aresta ( ) Circuito hamiltoniano: circuito que passa por todos os vértices Problema (TSP): Dados e, encontrar circuito hamiltoniano em de comprimento mínimo.
5 TSP p.3/19 Variantes do Caixeiro Viajante TSP métrico grafo completo função comprimento desigualdade triangular: satisfaz k i j
6 TSP p.3/19 Variantes do Caixeiro Viajante TSP métrico grafo completo função comprimento desigualdade triangular: satisfaz k i j TSP euclideano Caso particular do métrico Vértices são pontos no plano (ou num espaço euclideano qq de dimensão fixa) é a distância euclideana entre e
7 TSP p.4/19 Resultados Conhecidos NP-difícil mesmo se para toda aresta [GJ79] Difícil de aproximar [SG76] -aproximação para o caso métrico [C76] PTAS para o caso euclideano [A98,M99]
8 TSP p.4/19 Resultados Conhecidos NP-difícil mesmo se para toda aresta [GJ79] Difícil de aproximar [SG76] -aproximação para o caso métrico [C76] PTAS para o caso euclideano [A98,M99] Nesta aula: -aproximação para o caso métrico [RSL77] -aproximação para o caso métrico Comentários sobre o PTAS do caso euclideano TSP é difícil de aproximar
9 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
10 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
11 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
12 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
13 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
14 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
15 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
16 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
17 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
18 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
19 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
20 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
21 TSP p.5/19 -aproximação p/o TSP Métrico (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (polinomial) (2) Dobre as arestas da árvore (todos os vértices tem grau par) (3) Obtenha ciclo euleriano (polinomial) ciclo euleriano: passeio fechado que passa exatamente uma vez por cada aresta (4) Obtenha de circuito hamiltoniano (5) Devolva
22 TSP p.6/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis MST EULER devolve ATALHO
23 TSP p.6/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Algoritmo TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis MST EULER devolve ATALHO Tempo de execução: : o número de vértices de : o número de arestas de
24 TSP p.7/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Delimitação inferior para opt: opt onde é árvore geradora de comprimento mínimo
25 TSP p.7/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Delimitação inferior para opt: opt onde é árvore geradora de comprimento mínimo Prova: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : aresta de é árvore geradora
26 TSP p.7/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Delimitação inferior para opt: opt onde é árvore geradora de comprimento mínimo Prova: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : aresta de é árvore geradora opt
27 TSP p.7/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Delimitação inferior para opt: opt onde é árvore geradora de comprimento mínimo Prova: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : aresta de é árvore geradora opt Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma -aproximação polinomial para o TSP métrico.
28 TSP p.7/19 -Aproximação p/o TSP Métrico Delimitação inferior para opt: opt onde é árvore geradora de comprimento mínimo Prova: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : aresta de é árvore geradora opt Teorema: TSPM-Rosenkrantz-Stearn-Lewis é uma -aproximação polinomial para o TSP métrico. Prova: opt
29 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo
30 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
31 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial)
32 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial) (3) Junte os dois obtendo euleriano
33 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial) (3) Junte os dois obtendo euleriano (4) Obtenha ciclo euleriano de
34 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial) (3) Junte os dois obtendo euleriano (4) Obtenha ciclo euleriano de (5) Obtenha de circuito hamiltoniano
35 TSP p.8/19 Algoritmo de Christofides (1) Árvore geradora de comprimento mínimo (2) Emparelhamento perfeito de comprimento mínimo no subgrafo induzido pelos vértices de grau ímpar (polinomial) (3) Junte os dois obtendo euleriano (4) Obtenha ciclo euleriano de (5) Obtenha de circuito hamiltoniano (6) Devolva
36 TSP p.9/19 Algoritmo de Christofides Algoritmo TSPM-Christofides MST conjunto de vértices de grau ímpar de EDMONDS devolve EULER ATALHO ( : subgrafo de induzido por )
37 TSP p.9/19 Algoritmo de Christofides Algoritmo TSPM-Christofides MST conjunto de vértices de grau ímpar de EDMONDS devolve EULER ATALHO ( : subgrafo de induzido por ) Tempo de execução: ( : o número de vértices de )
38 TSP p.10/19 Algoritmo de Christofides Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em
39 TSP p.10/19 Algoritmo de Christofides Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : conj. vért. de grau ímpar de ( é par) : circuito induzido por em
40 TSP p.10/19 Algoritmo de Christofides Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : conj. vért. de grau ímpar de ( é par) : circuito induzido por em
41 TSP p.10/19 Algoritmo de Christofides Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em Pr: : circuito hamiltoniano de comprimento mínimo : conj. vért. de grau ímpar de ( é par) : circuito induzido por em determina dois e. p. em : e
42 TSP p.11/19 Algoritmo de Christofides Uma segunda delimitação para opt: opt onde é e. p. de comprimento mínimo em. Prova: opt (pela desigualdade triangular)
43 TSP p.12/19 Algoritmo de Christofides Teorema: TSPM-Christofides é uma polinomial para o TSP métrico. -aproximação
44 TSP p.12/19 Algoritmo de Christofides Teorema: TSPM-Christofides é uma polinomial para o TSP métrico. -aproximação Prova: opt opt opt
45 TSP p.12/19 Algoritmo de Christofides Teorema: TSPM-Christofides é uma polinomial para o TSP métrico. -aproximação Prova: opt opt opt Melhor algoritmo de aproximação conhecido para o TSP métrico.
46 TSP p.13/19 Algoritmo de Christofides A análise é justa.
47 TSP p.13/19 Algoritmo de Christofides A análise é justa. Christofides vértices
48 TSP p.13/19 Algoritmo de Christofides A análise é justa. Christofides vértices
49 TSP p.13/19 Algoritmo de Christofides A análise é justa. Christofides vértices Comprimento:
50 TSP p.13/19 Algoritmo de Christofides A análise é justa. Christofides vértices Comprimento: Circuito ótimo Comprimento:
51 TSP p.14/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia:
52 TSP p.14/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia: eplacements portal
53 TSP p.14/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia: eplacements portal
54 TSP p.14/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia: eplacements portal
55 TSP p.14/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia: eplacements portal
56 TSP p.15/19 TSP Euclideano PTAS: esquema de aproximação polinomial -aproximação polinomial para todo fixo Arora 96 e Mitchel 96: PTAS para o TSP euclideano Idéia: Circuito que respeita portal: entra e sai dos quadrados da dissecção através de portais. Algoritmo: Encontra um circuito hamiltoniano mais curto que respeita os portais por programação dinâmica. Tal circuito está tão próximo quando se queira de um TSP tour.
57 TSP p.16/19 Resultado de Inaproximabilidade função polinomialmente computável Teorema (Sahni e Gonzalez 76): Se existir -aproximação polinomial p/o TSP, onde então P=NP.,
58 TSP p.16/19 Resultado de Inaproximabilidade função polinomialmente computável Teorema (Sahni e Gonzalez 76): Se existir -aproximação polinomial p/o TSP, onde então P=NP., Problema HC: Dado, decidir se tem ou não um circuito hamiltoniano. NP-completo [K72]
59 TSP p.17/19 Resultado de Inaproximabilidade Teorema (Sahni e Gonzalez 76): Se existir -aproximação polinomial p/o TSP, onde então P=NP. Pr: -aproximação polinomial p/o TSP, algoritmo polinomial p/o HC
60 TSP p.17/19 Resultado de Inaproximabilidade Teorema (Sahni e Gonzalez 76): Se existir -aproximação polinomial p/o TSP, onde então P=NP. Pr: -aproximação polinomial p/o TSP, algoritmo polinomial p/o HC
61 TSP p.17/19 Resultado de Inaproximabilidade Teorema (Sahni e Gonzalez 76): Se existir -aproximação polinomial p/o TSP, onde então P=NP. Pr: -aproximação polinomial p/o TSP, Algoritmo grafo completo em para cada em faça para cada em algoritmo polinomial p/o HC faça se então devolva Sim então devolva Não
62 TSP p.18/19 Resultado de Inaproximabilidade polinomial polinomial
63 TSP p.18/19 Resultado de Inaproximabilidade polinomial polinomial se existe circuito hamiltoniano em, então opt e opt
64 TSP p.18/19 Resultado de Inaproximabilidade polinomial polinomial se existe circuito hamiltoniano em, então opt e opt se não existe circuito hamiltoniano em, então pois qq circ. hamilt. usa (i.e., ).
65 TSP p.19/19 Para completar... ents PO TAS PTAS APX NPO Blabla TSP TSP Métrico TSP Euclideano
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