Soluções da Lista de Exercícios Unidade 4

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1 Soluções da Lista de Exercícios Unidade 4. a) Como 4! 4 e 4 6, de fato temos n! > n para n 4. Suponhamos que a desigualdade valha para algum n 4, ou seja n! > n. Multiplicando os dois lados da desigualdade por n +, obtemos (n+)! > (n+) n >. n n+ (a última desigualdade vale porque n + > para todo n 4). Logo, a desigualdade também vale para n +. Portanto, por indução, ela é válida para todo n 4. b) Como 7! 040 e 7 87, de fato temos n! > n para n 7. Suponhamos que a desigualdade valha para algum n 7, ou seja n! > n. Multiplicando os dois lados da desigualdade por n +, obtemos (n+)! > (n+) n >. n n+ (a última desigualdade vale porque n + > para todo n 7). Logo, a desigualdade também vale para n +. Portanto, por indução, ela é válida para todo n 7. c) Como >, a desigualdade vale para n. 4 Suponhamos que ela seja válida para algum n, ou seja, n + + n n > 4. Subtraindo n + e somando n + + a ambos os lados da desigualdade, obtemos n + n + + n (n + ) > 4 + n + + n + n + (n + ) + (n + ) (n + ) + 4 (n + )(n + ) 4 + (n + )(n + ) >. Logo, a desigualdade também é válida para n +. Portanto, 4 por indução, ela é válida para todo n. d) Como + < 4, a desigualdade vale para n. Ela também vale para n, já que + <. Suponhamos que ela seja válida para algum n, ou seja, n > + n n. Multiplicando os dois lados da desigualdade por, obtemos n+ >

2 ( + n n ) + n n. Mas, para todo n, temos n n + ( )n > n + 0, 4n > n +. Logo, a desigualdade também vale para n +. Portanto, por indução, a propriedade vale para todo n.. Certamente a propriedade vale para n : basta. pesagem para determinar o mais leve e o mais pesado. Suponhamos que n pesagens sejam suficientes para determinar o mais leve e o mais pesado dentre objetos a, a,..., a n (onde n ) e suponhamos que um objeto adicional a n+ seja acrescentado. Com n pesagens, determinamos o mais leve e o mais pesado dentre a, a,..., a n. Com duas pesagens adicionais, comparamos estes dois objetos com o adicional, determinando o mais leve e o mais pesado dentre os n + objetos, utilizando no total n + (n + ) pesagens. Logo, a propriedade também vale para conjuntos com n + objetos. Portanto, por indução, vale para conjuntos com n objetos para todo n.. Não é possível tomar n < 4 porque não existem inteiros não negativos x e y tais que 7x + 8y 4 (basta verificar diretamente para y 0,,..., ). Por outro lado, , mostrando que 4 pode ser escrito nesta forma. Suponhamos que, para um certo n 4, existam inteiros x e y tais que 7x+8y n. Se x, então x 0 e podemos obter n + como 7(x ) + 8(y + ) 7x + 8y + n +. Por outro lado, quando x 0, temos necesseriamente y 6. Usando o fato de que , temos n + 7x x + 8y (x + 7) + 8(y 6), o que mostra que n + pode ser escrito na forma 7x +8y, onde x e y são inteiros não negativos. Portanto, por indução, para todo natural n 4 existem inteiros não negativos x e y tais que 7x + 8y n. 4. Certamente a propriedade vale para n, já que existem triângulos com ângulos agudos. Suponhamos que a propriedade vale para algum n, isto é, existe um polígono convexo com n lados e exatamente e ângulos agudos. Tomemos um destes ângulos agudos, de medida α e tracemos uma reta que intersecta apenas os lados que formam este ângulo, de modo a determinar um triângulo com um outro ângulo agudo e um obtuso (por exemplo, um triângulo com ângulos iguais a 4 α, α e α. Esta reta produz um polígono convexo com n + lados,

3 ainda com ângulos agudos. Logo, a propriedade vale para n +. Portanto, por indução, vale para todo n natural.. A expressão do termo geral está correta para n e n, já que a + e a +. Suponhamos que ela esteja correta para n e n +. Então a n+ a n+ a n ( n+ + ) ( n + ). n+ n+ + n+ +. Logo, a expressão também está correta para n +. Portanto, por indução, ela é válida para todo n natural. 6. A expressão está correta para n 0 e n, já que F 0 0 ) 0 ( ) 0 ) ( ) e F. Suponhamos que a expressão esteja correta para n e n +. Então F n+ F n + F n+ ) n ( ) n + ( ) n ( ) ) n+ ( ) n+ ( ) n ( ) + ) n ( ) + ( ) n ( ) ) n+ ( ) n+. Logo, a expressão também está correta para n +. indução, ela está correta para todo n natural Portanto, por 7. a) A propriedade vale para n, já que F e F. Suponhamos que ela seja válida para um natural n, ou seja, F + F + + F n F n+. Somando F n+ aos dois lados da igualdade, obtemos F + F + + F n + F n+ F n+ + F n+ F n+, o que mostra que a igualdade também vale para n +. Portanto, por indução, ela vale para todo n natural. b) A propriedade vale para n, já que F F. Suponhamos que ela seja válida para um natural n, ou seja, F + F + + F n F n. Somando F n+ aos dois lados da igualdade, obtemos F + F + + F n + F n+ F n + F n+ F n+, o que mostra que a igualdade também vale para n +. Portanto, por indução, ela vale para todo n natural. c) A propriedade vale para n, já que F e F. Suponhamos que ela seja válida para um natural n, ou seja, F +

4 F F n F n+. Somando F n+ aos dois lados da igualdade, obtemos F +F 4 + +F n +F n+ F n+ +F n+ F n+, o que mostra que a igualdade também vale para n +. Portanto, por indução, ela vale para todo n natural. d) A propriedade vale para n, já que F F F. Suponhamos que ela seja válida para um natural n, ou seja, F + F + + F n F n F n+. Somando F n+ aos dois lados da igualdade, obtemos F + F + + F n + F n+ F n F n+ + F n+ F n + (F n + F n+ ) F n + F n +, o que mostra que a igualdade também vale para n+. Portanto, por indução, ela vale para todo n natural. 8. A propriedade vale para n e n, já que F > ( ) e F ( 0. ) Suponhamos que a desigualdade seja válida para n e n +. Então F n+ F n + F n+ ( n ( ) + n ( ) ) n ( + ) ( ) n ( ) ( > ) n ( 9 ) ( 4 ) n. Logo, a desigualdade vale para n +. Portanto, por indução, vale para todo n natural. 9. Como é primo, a propriedade vale para n. Suponhamos que ela seja válida para todo natural k tal que k n. Se n + não for primo, então pode ser expresso na forma a.b, onde a e b são números naturais maiores que e menores que n +. Portanto, pela hipótese de indução, cada um dos números a e b é primo ou um produto de primos, o que mostra que n + é um produto de primos. Logo, a propriedade também vale para n +. Logo, por indução (completa), a propriedade vale para todo n natural. 0. A afirmativa é verdadeira se o número de palitos é,, ou 4. No primeiro caso, o primeiro jogador não tem uma estratégia vencedora, já que é obrigado a tirar o único palito e perde o jogo. Nos demais, ele pode, tirando, ou palitos, respectivamente, deixar o segundo jogador com apenas um palito e, assim, garantir a vitória. Suponhamos agora, que a propriedade seja verdadeira para todo natural k menor ou igual a n e consideremos um jogo com n + palitos. Se n + 4, a afirmativa é verdadeira, como mostrado acima. Caso contrário, se o resto da divisão de n + por 4 não é, o primeiro jogador pode sempre retirar, ou palitos de modo a deixar o segundo jogador com um 4

5 número de palitos menor ou igual a n tal que o resto da divisão por 4 é. Pela hipótese de indução, esta não é uma posição vencedora para o segundo jogador e, portanto, o primeiro ganha o jogo. Por outro lado, se o resto da divisão de n + por 4 for, o primeiro jogador não tem uma estratégia vencedora, já que qualquer jogada faz com que o segundo tenha uma quantidade de palitos menor ou igual a n, com resto da divisão por 4 diferente de, podendo assim ganhar o jogo. Logo, a propriedade vale para n+ palitos. Portanto, por indução vale para qualquer quantidade de palitos.. a) Se dois pontos não estão conectados por um caminho, pode-se ligálos por um segmento sem que um ciclo seja criado. Por outro lado, se dois pontos estão conectados por dois caminhos diferentes, eles formam um ciclo. Logo, ao final do processo cada par de pontos está ligado por um único caminho. b) A propriedade vale para n, já que, neste caso, o número de segmentos é 0. Suponhamos que a propriedade valha para todos os conjuntos nos quais o número de pontos seja menor ou igual a n e suponhamos que o processo foi encerrado para um conjunto com n + pontos. A retirada de qualquer segmento desta configuração decompõe o conjunto de pontos em dois outros, respectivamente com n e n pontos, tais que n + n (n + ). Em cada um destes conjuntos não há ciclos e acrescentandose qualquer segmento forma-se um ciclo. Assim, como n n e n n, há neles, pela hipótese de indução, n e n segmentos. Logo, o número total de segmentos com n + pontos é (n ) + (n ) + n + n n. Logo, a propriedade vale para conjuntos com n+ pontos. Portanto, por indução, vale para conjuntos com quaisquer quantidade de pontos.. O argumento não funciona na passagem de n para n.