Matemática: Cálculos Rápidos

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1 Matemática: Cálculos Rápidos 50 dicas para cálculo rápido. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes. Dica 01-1: Multiplicar por 10 Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita. Exemplo: 12 10=120 Exemplo: 12,345 10=123,45 Dica 01-2: Multiplicar por 100 Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita. Exemplo: =1200 Exemplo: 12, =1234,5 Dica 01-3: Multiplicar por 1000 Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita. Exemplo: =12000 Exemplo: 12, =12345 Dica 01-4: Multiplicar por 10 n Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. Exemplo: = Exemplo: 12, = Dica 02-1: Dividir por 10 Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda. Exemplo: 12 10=1,2

2 Exemplo: 12,345 10=1,2345 Dica 02-2: Dividir por 100 Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda. Exemplo: =0,12 Exemplo: 12, =0,12345 Dica 02-3: Dividir por 1000 Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda. Exemplo: =0,0120 Exemplo: 12, =0, Dica 02-4: Dividir por 10 n Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. Exemplo: =0, Exemplo: 12, =0, Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25 Tomar o dobro do dobro do número. Exemplo: 4 16=2 2 16=2 32=64 Exemplo: 12,3 4=2 2 12,3=2 24,6=49,2 Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5 Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10. Exemplo: 0,4x16=2x2x16 10=2x32 10=64 10=6,4 Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3 10=2x24,6 10 =49,2 10=4,92 Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25 Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

3 Exemplo: 40 16= = =64 10=640 Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3 10=2x24,6 10 =49,2x10=492 Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25 Tomar a metade da metade do número. Exemplo: 16 4=16 2 2=8 2=4 Exemplo: 12,3 4=12,3 2 2=6,15 2=3,075 Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5 Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 16 0,4=16 2 2x10=8 2x10= 4x10=40 Exemplo: 12,3 0,4=12,3 2 2x10=6,15 2x10 =3,075x10=30,75 Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25 Tomar a metade da metade do número e dividir por 10. Exemplo: 16 40= =8 2 10=4 10=0,4 Exemplo: 12,3 40=12, = 6, =3,075 10=0,3075 Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2 Tomar a metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 5 16= =8 10=80 Exemplo: 5 12,3=12,3 2 10=6,15 10=61,5 Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2 Tomar a metade do número. Exemplo: 0,5 16=16 2=8 Exemplo: 0,5 12,3=12,3 2=6,15 Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02

4 Tomar a metade do número e multiplicar por 100. Exemplo: 50 16= =8 100=800 Exemplo: 50 12,3=12, =6,15 100=615 Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2 Tomar o dobro do número e dividir por 10. Exemplo: 16 5= =32 10=3,2 Exemplo: 12,3 5=12,3 2 10=24,6 10=2,46 Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2 Tomar o dobro do número. Exemplo: 16 0,5=2 16=32 Exemplo: 12,3 0,5=12,3 2=24,6 Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02 Tomar o dobro do número. Exemplo: 16 50= =32 100=0,32 Exemplo: 12,3 50=2 12,3 100=24,6 100=0,246 Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5] Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25. [M5] = 10M + 5 logo [M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25 (10M+5)² = 100 (M² + M) + 25 (10M+5)² = 100 M (M+1) + 25 Exemplo: 35²=(3x4)25=1225 Exemplo: 75²=(7x8)25=5625

5 Exemplo: 105²=(10x11)25=11025 Exemplo: 205²=(20x21)25=42025 Dica 08-1: Multiplicar por 11 Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N]. Como [MN] = 10M + N, então (10M+N) 11 = (10M+N) (10+1) (10M+N) 11 = 100M + 10M + 10N + 1 (10M+N) 11 = 100M + 10(M+N) + 1 (10M+N) 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1] Exemplo: 35 11=(3,8,5)=385 Exemplo: 27 11=(2,9,7)=297 Dica 08-2: Multiplicar por 11 Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N]. Como [MN] = 10M + N, então (10M+N) 11=(10M+N) (10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N) 11=(10M+N) (10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N) 11=100M (M+N)+1 (10M+N) 11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1] Exemplo: 78 11=(8,5,8)=858 Exemplo: 95 11=(10,4,5)=1045 Dica 08-3: Multiplicar por 11 Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escrevese [A, A+B, B+C, C].

6 Como [ABC] = 100A + 10B + C, então (100A+10B+C) 11 = (100A+10B+C) (10+1) (100A+10B+C) 11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C (100A+10B+C) 11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C (100A+10B+C) 11 = [A,A+B,B+C,C] Exemplo: =(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474 Exemplo: =(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585 Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04 Dividir o número por 4 e multiplicar por 100. Exemplo: 16 25= = =4 100=400 Exemplo: 12,3 25=12, =6, =3, =307,5 Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4 Dividir o número por 4 e multiplicar por 10. Exemplo: 16 2,5= =8 2 10=4 10=40 Exemplo: 12,3 2,5=12, =6, =3,075 10=30,75 Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4 Dividir o número por 4. Exemplo: 16 0,25=16 2 2=8 2=4 Exemplo: 12,3 0,25=12,3 2 2=6,15 2=3,075 Dica 10-1: Multiplicar por 101 Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B] Exemplo: =(3,5,3,5)=3535 Exemplo: =(2,7,2,7)=2727 Dica 10-2: Multiplicar por 101

7 Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C]. Como [ABC] = 100A + 10B + C, então [ABC] 101 = (100A+10B+C) 101 [ABC] 101 = (100A+10B+C) (100+1) [ABC] 101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C [ABC] 101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C [ABC] 101 = [A,B,A+C,B,C] Exemplo: =(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935 Exemplo: =(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957 Dica 11-1: Multiplicar por 9 Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN. Exemplo: 35 9=350-35=315 Exemplo: 27 9=270-27=243 Dica 11-2: Multiplicar por 99 Se o número tem a forma MN, como 99=100-1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN. Exemplo: 35 99= =3465 Exemplo: 27 99= =2673 Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1. Exemplo: 14 12=13² -1=169-1=168 Exemplo: 14 16=15² -1=225-1=224 Exemplo: 34 36=35² -1=1225-1=1224

8 Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4. Exemplo: 14 18=16² -4=256-4=252 Exemplo: 24 28=26² -4=576-4=572 Exemplo: 33 37=35² -4=1225-4=1221 Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9. Exemplo: 14 20=17² -9=289-9=280 Exemplo: 51 57=54² -9=2916-9=2907 Dica 13-1: Multiplicar por 1,5 Somar o número com a sua metade. Exemplo: 16 1,5=16+8=24 Exemplo: 12,3 1,5=12,3+6,15=18,45 Dica 13-2: Multiplicar por 15 Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10. Exemplo: =(16+8) 10=24 10=240 Exemplo: 12,3 15=(12,3+6,15) 10=18,45 10=184,5 Dica 13-3: Multiplicar por 0,15 Somar o número com a sua metade e dividir por 10. Exemplo: =(16 + 8) 10=24 10=2,4 Exemplo: 12,3 15=(12,3 + 6,15) 10=18,45 10=1,845

9 Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10 Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB) [MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10 [MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB [MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB [MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB Exemplo: 14 16=(1x2,4x6)=(2,24)=224 Exemplo: 17 13=(1x2,7x3)=(2,21)=221 Exemplo: 34 36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224 Exemplo: 34 36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224 Exemplo: 73 77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621 Exemplo: =(10x11,4x6)=(110,24)=11024 Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P] Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP). [5P]=50 + P, logo (50+P)² = x50xP + P² (50+P)² = P + P² (50+P)² = (100x(25+P)+P² Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809 Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616 Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364 Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481 Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]

10 Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0]. Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então [M1]² = (10M+1)² [M1]² = 100 M² + 20M + 1 [M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M) [M1]² = [M²,[M+1+M]] Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961 Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041 Exemplo: 101²=[10000, ]=[10000,201]=10201 Exemplo: 151²=[150², ]=[22500,301]=22801 Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto. Como [YZ] = 10Y + Z, então X [YZ] = X (10Y + Z) = 10 X Y + X Z Exemplo: 8 13= =80+24=104 Exemplo: 9 17= =90+63=153 Exemplo: 15 22= =300+30=330 Exemplo: 1,5 22=1,5 20+1,5 2=30+3=33 Exemplo: 1,5 2,2=(1,5 22) 10=(1,5 20+1,5 2) 10= (30+3) 10=3,3 Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos

11 tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraimos D do resultado obtido anteriormente. Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então: [XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z) [XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) [XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) +D -D [XY]-[WZ] = 10(X-W) - D Exemplo: 72-48= = = =30-6=24 Exemplo: 57-49= = =10-2=8 Exemplo: = = =60-6=54 Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença. Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é D+Z=10, então: [XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z) [XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + Z + D) [XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + 10) [XY]-[WZ] = (10X - 10W - 10) + (Y + D) [XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D] Exemplo: 72-48=(72+2)-(48+2)=74-50=24 Exemplo: 57-49=(57+1)-(49+1)=58-50=8 Exemplo: =(142+3)-(87+3)=145-90=55 Dica 18-3: Somando com soma compensada Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro

12 número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma. Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é D+Z=10, então: [XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z) [XY] + [WZ]=(10X + Y - D) + (10W + Z + D) [XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + 10) [XY] + [WZ]=(10X + 10W + 10) + (Y + D) [XY] + [WZ]=[X+W+1,Y+D] Exemplo: 72+48=(72-2)+(48+2)=70+50=120 Exemplo: 57+49=(57-1)+(49+1)=56+50=106 Exemplo: =(142-3)+(87+3)=139+90=229 Dica 18-4: Somando com soma compensada Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma. Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é D+Y=10, então: [XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z) [XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ]=(10X + 10) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ]=(10X W) + (Z - D) [XY] + [WZ]=[X+W+1,Z-D] Exemplo: 72+48=(72+8)+(48-8)=80+40=120 Exemplo: 57+49=(57+3)+(49-3)=60+46=106 Exemplo: =(142+8)+(87-8)=150+79=229 Dica 19-1: Soma dos n primeiros números naturais

13 Para obter a soma S= n, basta tomar a metade do produto de n por n+1. Se S = n-2 + n-1 + n, então, com os naturais trás para frente, obtemos S = n + n-1 + n Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n-1+2)+(n+1) 2S=(n+1)+(n+1) (n+1)+(n+1) ( n vezes) 2S = n (n+1) S = n (n+1) 2 Exemplo: = =156 2=78 Exemplo: = =5050 Exemplo: = =4972 Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares A soma S= n-1 é obtida como o quadrado de n. Seja S= n-5 + 2n-3 + 2n-1. Pondo S com os termos de trás para frente S=2n-1 + 2n-3 + 2n Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(1+2n-1)+(2+2n-3)+...+(2n-3+3)+(2n-1+1) 2S = 2n + 2n + 2n n ( n vezes) 2S=2n n S=n² Exemplo: =5²=25 Exemplo: =101²=10201 Exemplo: = =10176 Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares Para obter a soma S= n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é exatamente a metade do último par (2n).

14 Seja S= n-4 + 2n-2 + 2n. Tomando os termos de trás para frente: S=2n + 2n-2 + 2n Somando membro a membro as duas igualdades: 2S=(2+2n)+(4+2n-2)+...+(2n-2+4)+(2n+2) 2S=(2n+2) + (2n+2) (2n+2) ( n vezes) 2S=n (2n+2) S=n (n+1) Exemplo: =50 51=2550 Exemplo: =7 8=56 Exemplo: = =2494 Dica 22-1: Divisão aproximada por 17 = produto por 0,06 Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100 Exemplo: 42 17:=42x6 100= =2,52; (o certo é 2,47) Exemplo: :=150x6 100= =9; (o certo é 8,82) Dica 23-1: Divisão aproximada por 33 = produto por 0,03 Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100 Exemplo: 42 33:= = =1,26 (±1,27) Exemplo: := = =4,5 (±4,55)