MATEMÁTICA APLICADA. APOSTILA de Revisão 02 FUNDAMENTAL

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1 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: MATEMÁTICA APLICADA APOSTILA de Revisão 02 FUNDAMENTAL Visite nosso sítio Nele estão os resumos e trabalho de sala de aula Obrigado pela preferência de nossa FACULDADE!

2 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS Ex. ) -2 + (-) -2 = - Ex. 2) + (-8) + 8 = Ex. ) (-2) (-) = 6 Ex. ) (-) = - Ex. ) (-2) 2 = (-2) (-2) = Ex. 6) (-) = (-) 2 (-) = 9(-)=-27 EXERCICIO 0) Calcular as seguintes expressões: a) 2 b),7 0,7 c),72 0,28 2 e) 0 f) 9 g) ) Calcular as seguintes expressões: a) b) c) 2 d) 2 e) f) 6 g) 2 6 h) 8 9 0) Calcular as seguintes expressões: a) b) c) 2 d) 2 0) Resolvas as expressões; a) ( ) b) + ( 9) c) 7 ( 8) d) ( 2) 2 e) (-) (-8) + 2 f) 9 (-2) (-) g) (-) 2 h) (-2) d) e) EXPRESSÕES NUMÉRICAS Sinais de associação: O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação é obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicações - efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. ) = = = 2) = = = 8 + = = 20 Não se esqueça: Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes e chaves, efetuamos as operações na ordem em que aparecem: º) as que estão dentro dos parênteses 2º) as que estão dentro dos colchetes º) as que estão dentro das chaves. EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ) AS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E DE SUBTRAÇÃO SÃO EFETUADAS NA ORDEM EM QUE APARECEM EXEMPLOS A)7-+-2= =+-2= =-2= = B)--2+= =-2+= =2+= =7 2) EXISTEM EXPRESSÕES ONDE APARECEM OS SINAIS DE ASSOCIAÇÃO E QUE DEVEM SER ELIMINADOS NESTA ORDEM º) PARÊNTESES ( ) 2º) COCHETES [ ] º) CHAVES { } EXEMPLOS A)7+{0-[-(6-)+]}= =7+{0-[-2+]}= =7+{0-[+]}= =7+{0-}= =7+6= =80

3 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET EXERCÍCIOS ) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 0-+8-= (R:) B) = (R:0) C) 2---7= (R:) D) = (R:29) E) = (R:6) F) = (R:) 2) EFETUE AS OPERAÇÕES A) = (R:) B) 68+2 = (R: 2982) C) 00+0 = (R: ) D) = (R: 60) E) = (R:200) F) 26-8 = (R: 72 ) G) 27-8 = (R: 26) H) = (R: 769) I) 0-28 = (R: 29) J) = (R: 29) ) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 0-(+) = (R: 22) B) +(8+2) = (R: 2) C) -(0--) = (R: 9) D) 2-(2+8)-7 = (R: 6 ) E) (0+)-(+6) = (R: 8) F) 7-(8-)+= (R: ) ) CALCULE O VALOR DAS EXPRESSÕES A) 2-[0+(7-)] = (R:2) B) 2+[0-(9-)+8] = (R:) C) -[2-+(2+)] = (R:) D) 70-{20-[0-(-)]} = (R:6) E) 28+{-[6-(+)+2]-} = (R:7) F) -{20-[0-(-+6)+2]} = (R:) G) 62-{6-[7-(6-)+]} = (R:2) H) 20-{8+[+(8-)-]+6} = (R:) I) +{2-[2-(8-6)]+2} = (R:2) J) 6-[+(8-2)+(-0)-(7-2)] = (R:) L){2+[(-9)-(8-)+]-(28-)-} = (R:) RAZÕES E PROPORÇÕES: Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas a serem trabalhados neste semestre se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em Matemática...Razão: Você já deve ter ouvido expressões como: De cada 20 habitantes, são analfabetos, De cada 0 alunos, 2 gostam de Matemática, Um dia de sol para cada dois dias de chuva. Em cada uma dessas frases está sempre clara a comparação entre dois números. No primeiro caso, destacamos entre 20, no segundo, 2 entre 0, e no terceiro, para cada 2. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão.temos, então: ) De cada 20 habitantes, são analfabetos. Razão = 20 = 2) De cada 0 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 0 2 = ) Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = ½ Portanto, razão entre dois números a e b (com b 0) é o quociente entre a e b. Indica-se: b a ou a : b e lê-se a para b. O número a é chamado antecedente e o número b, conseqüente. Exemplos:. A razão de para 2 é: 2 = 2. A razão de 20 para é: 20 =. A razão de e ½ é =. 2 = 0 DIVISÃO DE FRAÇAO Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.

4 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET caminho: REPARTINDO Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir. Por exemplo, se repartimos /de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de / da barra: Então, o resultado da divisão de / por 2 é /6. 2 caminho: QUANTAS VEZES CABE? Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por, procuramos quantas vezes cabe em 8. Como cabe 2 vezes em 8 (2 x = 8), dizemos que 8 : = 2. Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de /2 dividido por /: Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso. caminho: TRANSFORMANDO O DIVIDENDO E O DIVISOR Em certos casos é impraticável encontrar o resultado de uma divisão por meio de desenhos. Por exemplo: qual é o resultado de / 7 dividido por /? Nesses casos, utilizamos duas idéias que já conhecemos: a. idéia: Quando se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não se altera. Tanto faz escrever 0 : ou 20 : 0. O resultado é 2. 2a. idéia: O inverso multiplicativo. Aplicamos essa idéia de maneira a transformar o divisor em, o que facilita a divisão pois qualquer número dividido por resulta nele mesmo. Mas, atenção: é preciso aplicar simultaneamente as duas idéias. Vejamos um exemplo: Neste exemplo multiplicamos o dividendo e o divisor por /.. Mas, por que motivo escolhemos / para multiplicar o dividendo e o divisor? Fizemos esta escolha porque / é o inverso multiplicativo do divisor e transforma o divisor em. Então temos: Acontece que qualquer número dividido por resulta nele mesmo. Então, o ponto de interrogação vale /7 x /.Ora, o ponto de interrogação está no lugar da resposta do problema inicialmente proposto: Chegamos à seguinte conclusão, que é a regra mais geral para a multiplicação de frações: Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pela segunda invertida. Voltamos ao problema proposto:

5 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET EXERCÍCIOS DE FRAÇÕES ) Observe a figura: a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo? c) A parte pintada representa que fração do retângulo? 2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada: a) b) c) ) Escreva frações equivalentes de: a) 6 b) 6 ) Simplifique as frações: 9 a) 2 b) c) ) Calcule: a) 20% de 70 b) 0% de 90 c) 0% de 20 d) % de 00 e) % de 80 6) Transforme para forma fracionária: 8 6 c) 6 a) b) 2 7) Transforme para forma mista: a) 0 b) 2 7 c c) 8) Um sexto de uma pizza custa reais, quanto custa: a) 6 da pizza b) EXERCICIO 0) Indica para cada caso a fracção irredutível correspondente à parte colorida: a) b) c) d) e) f) 6 da pizza c) a pizza toda.2.razão de duas grandezas: Considerando grandeza como tudo o que pode ser medido, podemos dizer que a razão entre duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda grandeza. - Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. 2m 2 Exemplos:.A razão de 2 m para m é: m 0dm m 2.A razão de 0 dm para 6 m = = = ½ 6m 6m - Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo:Um automóvel percorre 60 Km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

6 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 6 60km 2h = 80 Km/h ATIVIDADES:.Calcule a razão entre as grandezas: a) 26 e 960 b),2 e,7 c) e / d) /2 e 0,2 e) 27 m³ e l de álcool f) 2 Kg e g g) 0 g e cm³ h) 20 cm e dm i) 20 d e 2 me d 2.No vestibular de 200 da FEMA concorreram, para 0 vagas da opção Administração,0 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?.tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 6 litros de água. A segunda contém litros de álcool e 77 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico?.numa prova de matemática, um aluno acertou 20 questões e errou. Escreva a razão entre: a) o número de acertos e o número de questões b) o número de acertos e o número de erros FRAÇÃO - CONTINUAÇÃO SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕE Uma fração equivalente a 9 2, com termos menores, é termos da fração pelo fator comum. Dizemos que a fração A fração. A fração foi obtida dividindo-se ambos os é uma fração simplificada de não pode ser simplificada, por isso é chamada de FRAÇÃO IRREDUTÍVEL. A fração não pode ser simplificada porque e não possuem nenhum fator comum ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Temos que analisar dois casos: º) DENOMINADORES IGUAIS Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Observe os exemplos: º) DENOMINADORES DIFERENTES Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao MMC dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações: e 2 Obtendo o MMC dos denominadores temos MMC (,2) = 0.? (0 ) (2)= e? (0 2) ()= TEMOS: Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 2 e 0: º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 2 = 2 x 2 x 0 = 2 x x M.M.C (2,0) = 2 x 2 x x Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 2 = 2 2 x 0 = 2 x x 2 M.M.C (2,0) = 2 x x 9 2.

7 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 7 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados,é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o Cálculo do m.m.c.(,2,60) Portanto, M.M.C. (, 2, 60) = 2 x 2 x 2 x x= 20 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números, 6 e 0, o número 0 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 0 é o m.m.c.(,6,0). Observe: Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números e, que são primos entre si. O m.m.c.(,) é igual a 60, que é o produto de por. Observe: Dados dois números primos entre si,o m.m.c. deles é o produto desses números. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 2 2 EXERCICIO 0) Complete os espaços abaixo com os sinais de < (menor), > (maior) ou (igual). 02) Efetue as operações: 0) Efetue as operações: lembre que a) b) c) 7 8 8

8 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 8 PORCENTAGEM: Em nosso dia-a-dia estamos constantemente convivendo com expressões do tipo O índice de reajuste salarial de maio é de 9,8%. O rendimento da poupança foi de,8%. Liquidação de inverno com 0% de desconto... Essas expressões envolvem uma razão especial chamada porcentagem. Porcentagem, portanto, pode se definida como uma razão cujo conseqüente é 00 ou ainda como uma razão centesimal, onde o conseqüente é substituído pelo símbolo %, chamado por cento = 0,80 = 80% CÁLCULOS DE PORCENTAGEM: Existem vários recursos p/ resolver porcentagens: º) POR UMA FORMA DIRETA ENVOLVENDO O ENTENDIMENTO DE FRAÇÕES: Exemplo: Quanto é 20% de 800? 20% de 800, é o mesmo que dividir 800 em 00 partes iguais e tomar 20 delas. 20 % de 800 = 20/00 de : = 60 ou usando taxa unitária: 20% de 800 = 2 0/00 = 0, ,20 = 60 2º) POR UMA REGRA DE TRÊS SIMPLES E DIRETA: Exemplo : Um trabalhador cujo salário era de R$ 2 000,00, recebeu um aumento de %. Quanto passou a ser o seu novo salário? Este problema pode ser resolvido por regra de três de dois modos: ª) % x % x = x = 00,00 Salário= 2 000, ,00 = 2 00,00 2ª) % x 0% x = x = 2 00,00 Salário: 2 00,00 EXERCICIO DE SALA.Calcular: a) 20 % de 2 b),% de R$ 00 c) % de 0 2.Qual a taxa unitária de 20%?.Qual a taxa porcentual correspondente a 0,0?.Qual é o número principal em que 20 representa %?.Qual o número principal em que 800 representa /%? 6. Qual a porcentagem em que 2 representa em 0? 7.Um comerciante vendeu um objeto por R$ 0,00 com um lucro de %. Quanto ganhou? 8.Em um escola, as 20 alunas representam 6% do total de alunos. Qual é esse total? 9. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantos serão aprovados num concurso público com 6 00 inscritos? TRABALHO EXTRA ENTREGA QUEM QUISER 0) RANILDO leu 20 páginas de um livro. Calcule quantas páginas tem o livro, nos seguintes casos: a) As páginas que eu li correspondem a 20 do livro; b) As páginas que eu li correspondem a 20 das que faltam; c) As páginas que faltam correspondem a 20 das que eu li. 02) O saldo bancário de Bernardo estava devedor em R$ 0,00. Para cobrir seu débito, depositou R$ 860,00. Uma semana depois, precisou retirar R$.00,00. O saldo bancário de Bernardo está credor ou devedor? Qual a quantia? 0) Baseado no conjunto dos números inteiros. Responda: a) Qual é o sucessor do número -? b) Qual é o antecessor do número -2? c) Qual é o maior número negativo? d) Qual é o menor número positivo? 0) Um carpinteiro recebeu a incumbência de cortar 0 toras de madeira de 6 m cada uma e 60 toras da mesma madeira de 8 m cada uma, em toras de mesmo comprimento, o maior possível. Nessas condições, quantas toras deverão ser obtidas, ao todo, pelo carpinteiro?

9 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 9 0) Janaína, Carla e Flávia participaram de uma competição de ciclismo. Janaína completou cada volta em minutos, Carla levou 70 minutos e Flávia, minutos. Supondo que todas mantiveram a mesma velocidade durante toda a competição, responda: a) Se as três foram as primeiras colocadas, qual foi a classificação final? b) A prova teve início às 9 horas. Houve algum instante em que as três Ciclistas se encontraram? Qual? DICAS PARA OPERAÇÕES BÁSICAS DICA : MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 0: Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita. Exemplo : 6 x 0 = 60 Exemplo 2:,67 x 0 =,67 DICA 2: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 0 N : Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. Exemplo : 6 x 0 = 6000 Exemplo 2:,67 x 0 = 670 Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 2 x 00. Sabemos que 00=0 2, então: 2 x 00 = 2 x 0 2 = 200. DICA : DIVIDIR UM NÚMERO POR 0: Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda. Exemplo : 6 / 0 =,6 Exemplo 2:,67 / 0 =,67 DICA : DIVIDIR UM NÚMERO POR 0 N : Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. Exemplo : 6 / 0 = 0,06 Exemplo 2:,67 / 0 2 = 0,67 Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 2 / 000. Sabemos que 000=0, então: 2 / 000 = 2 / 0 = 0,02. DICA : MULTIPLICAR UM NÚMERO POR : Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x. Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x = 286. EXEMPLOS: ) x somamos os algarismos do número : +=7 colocamos o resultado no meio deles: 7. Portanto x = 7. 2) 8 x somamos os algarismos do número 8: 8+=9. colocamos o resultado no meio deles: 89. Portanto 8x = 89. ) 7 x somamos os algarismos do número 7: +7=0. Como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena () é somado ao primeiro algarismo do número: 07. Portanto 7x = 07. Quando o número for de algarismos, então esse número multiplicado por resultará em um número de algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: x. Temos o número. Somando o º com o 2º algarismo desse número temos +=. Somando o 2º com o º algarismo desse número temos +=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número, tirando o seu algarismo do meio: 8. Portanto x = 8. DICA 6: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 9: Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: x 9. Acrescentando um zero no final do número ficamos com 0. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 0- = 96. Portanto x 9 = 96. Outros exemplos: 27 x 9 = = 2. 6 x 9 = 60-6 = 0. x 9 = 0- = 297. DICA 7: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 99: Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: x 99. Acrescentando 2 zeros no final do número ficamos com 00. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 00- = 6. Portanto x 99 = 6.

10 Matemática Aplicada Prof. Ranildo Lopes - FACET 0 OUTROS EXEMPLOS: 27 x 99 = = x 99 = = x 99 = 00- = 267 DICA 8: MULTIPLICAR UM NÚMERO POR 0: Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 0, o resultado será ABAB. Alguns exemplos: x 0 = 2 x 0 = 22 x 0 = DICA 9:M ULTIPLICAR 2 NÚMEROS (DE 2 ALGARISMOS) QUE POSSUAM O MESMO ALGARISMO DAS DEZENAS, E A SOMA DE SEUS ALGARISMOS DAS UNIDADES SEJA 0. Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 2x8, x7, 2x29, x, 87x8, 9x96, etc. Devem ser seguidos os seguintes passos: ) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele; 2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; ) Juntamos as duas partes. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: x 7: Passo : x6 = 0 Passo 2:x7 = 2Passo : Juntamos os dois números: 02. Portanto x 7 = 02. Barbada! Outro exemplo: 9 x 96: Passo : 9x0 = 90 Passo 2: x6 = 2 Passo : Juntamos os dois números: 902. Portanto 9 x 96 = 902. Barbada! DICA 0: MULTIPLICAÇÃO POR NÚMEROS TERMINADOS EM 0: Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a quantidade de zeros finais. Exemplos: 2 x 0 = (2 x )0 = 20 x 20 = ( x 2)0 = 900 x 00 = ( x )00 = 00 0 x 90 = ( x 9)00 = 2700 DICA : MULTIPLICAR UM NÚMERO POR : Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado por 0. Exemplos: =(+7) 0=20 0, =(0,+,2) 0=,6 0=6 DICA 2: TABUADA DO 9: Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode fazer o seguinte: ) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9. 2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9. ) Junte os dois números encontrados. Por exemplo: ) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o. 2) Para o chegar ao 9, faltam 8. ) Agora basta unir os dois números: 8 Portanto, 9 x 2 = 8. Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até chegar em 9x9: ) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o 8. 2) Para o 8 chegar ao 9, falta ) Agora basta unir os dois números: 8 Portanto, 9 x 9 = 8. DICA : DIVIDIR QUALQUER NÚMERO POR : Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a esquerda. Ex: / = * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0. Ex: 26 / = 26 * 2 = 02. Arrastando a vírgula, temos 0,2. DICA : COMO DESCOBRIR O PRÓXIMO QUADRADO? Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do qual você quer descobrir o quadrado, e depois diminua uma unidade. Ex: Se 2 =9, quanto vale 2? Aplicando a regra, temos: a) = = 6 Portanto, 2 = 6 Outro exemplo: 2 =? = 2