3º Ano e Curso Matemática Básica 02 Página 1

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1 º Modo: O MMC é o produto de todos os fatores primos dos números, considerados uma única vez e de maior expoente. = MMC {;} = = =. NÚMEROS PRIMOS Um número natural maior que é chamado de número primo, somente se apresenta apenas dois divisores naturais, ou seja, e ele próprio. Todo número natural maior que, que não é primo, é chamado de número composto. º Modo: Processo Prático Processo da Decomposição Simultânea O mecanismo prático que possibilita a obtenção do MMC se faz pela decomposição simultânea em fatores primos dos números considerados. O produto de todos esses fatores é o MMC: Exemplo 0: Determinar o MMC de e. Exemplos: é primo, pois seus divisores naturais são apenas e. é primo, pois seus divisores naturais são apenas e. não é primo pois apresenta mais de dois divisores naturais, ou seja,, e. Logo é um número composto. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Todo número composto pode ser escrito como um produto somente de números primos, ou seja, apenas com fatores primos. Exemplo: = = 0 = 0 = 0 = 0 = Observe o esquema abaixo: Exemplo 0: Determinar o MMC de, 0 e. Exemplo 0: Determinar o MMC de, e 0.. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) O menor múltiplo comum entre dois ou mais números, diferentes de zero, é chamado de Mínimo Múltiplo Comum desses números. Observe: Considere os conjuntos abaixo: º Modo: M() = {; ; ; ; 0; ;;9; } M() = {; ;; ;90;0; } Observe que e possuem múltiplos comuns ( ; ;0; ) e que o menor deles é. Dizemos então que é o mínimo múltiplo comum entre e. Assim: MMC {;} = mínimo {M() M()} MMC {;} = mínimo MMC {;} = {; ;0; }. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é obtido pela intersecção entre os conjuntos dos divisores desses números. O maior número natural nessa intersecção é o máximo divisor comum. Existe uma maneira prática de chegarmos ao máximo divisor comum. Observe: Considere os conjuntos abaixo: º Modo: D() = { ; ; ; ; ;; ; } D() = { ; ; ; ; ;9; ;; } Assim: MDC (; ) = máximo {d() d()} MDC (;) = máximo MDC (;) = {; ;; ; ; ;} º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

2 º Modo: O MDC é obtido multiplicando se os fatores primos comuns e com os menores expoentes. Assim: Decompondo em fatores primos e. = = Dessa forma, multiplicando se os fatores primos comuns e com os menores expoentes, temos o MDC de e. MDC (;) = MDC (;) = º Modo: Regra Prática Agora o mecanismo prático, que nada mais é do que a decomposição simultânea em fatores primos: Para determinarmos o MDC, multiplicamos apenas os fatores primos que dividem, simultaneamente, os dois números de cada linha. Observe: Exemplo 0: Determinar o MDC de 0 e 0. Atividades de Sala 0. O número de divisores naturais de 00 é igual a: Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 0 e 00 e M, o Mínimo Múltiplo Comum entre eles, o valor do quociente da divisão de M por D é igual a: As cidades de Cuiabá, Rondonópolis e Cáceres realizam festas periódicas. Cuiabá realiza festas de 9 em 9 meses; Rondonópolis, de em meses e Cáceres de em meses. Se em janeiro de 00, as três cidades realizaram as festas simultaneamente, em que ano isto voltará a acontecer novamente? 0. A editora do livro Como ser aprovado em Matemática recebeu o pedido de 0 exemplares para a livraria A e 0 exemplares para a livraria B. A editora deseja remeter os pedidos em pacotes iguais cada um de tal forma que o número de livros em cada pacote seja o maior possível. Qual a quantidade de livros que deverá conter cada pacote? Exemplo 0: Determinar o MDC de 0, 0 e 00.. NOTA: Se o Máximo Divisor Comum entre dois números for igual a, neste caso, dizemos que esses números são primos entre si. Exemplo: e 9 são primos entre si, pois MDC(; 9)=. GABARITO: 0. E 0. D livros em cada pacote º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

3 Atividades Propostas 0. Decomponha os números abaixo em fatores primos: = 0 = = 0 = 9 = 0. Decomponha os números abaixo em fatores primos: = = = = = 0. Decomponha os números abaixo em fatores primos: = 9 = = = 0 = 0. Decomponha os números abaixo em fatores primos: 00 = 00 = = 00 = 00 = 0. Determine o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre: e = e 9 = e = e 0 = e 0 = f) 0 e = g) 0 e 0 = 0. Determine o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre: ; e = 0; e = ; e = 0; e 0 = ; ; e = 0. Determine o máximo Divisor Comum (MDC) entre: e 9 = e = e 0 = 9 e 0 = 0 e 0 = 0. Determine o máximo Divisor Comum (MDC) entre: e 9 = e 99 = e 0 = 0 e = 9 e = 09. Determine o máximo Divisor Comum (MDC) entre: e = 00; 0 e 0= ; e = 0; 0 e = 90; 0 e 0= f) 0; ; 9 e = 0. Determine o número de divisores de 00.. Um marceneiro deseja cortar uma placa retangular de madeira de medidas cm por 9 cm em quadrados iguais de maior lado possível, de forma que não haja desperdício (sobras) de madeira. Qual deve ser o lado de cada quadrado obtido? Quantos quadrados foram obtidos?. José e Maria possuem bolinhas brancas, azuis e 90 vermelhas e precisam criar kits idênticos usando o maior número de bolas possível sem que sobre nenhuma bola. Quantos kits iguais podem fazer? Quantas bolas de cada cor haverá em cada kit?. Certo fenômeno raro ocorre de em anos. Outro fenômeno, mais raro ainda, ocorre de em anos. Se em 0 os dois eventos ocorreram juntos, em qual ano eles irão ocorrer juntos novamente?. Três empresas de ônibus possuem linhas saindo do terminal do CPA, em Cuiabá, com as seguintes frequências: de em minutos, de em minutos e de 0 em 0 minutos. Se três ônibus dessas empresas saem simultaneamente às horas e 0 minutos, em qual horário isto ocorrerá novamente? 0:00. 0:0. 09:00. 09:. 0:00.. Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: cm e cm. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Dessa forma, esse comprimento, em centímetros, será igual a: Num certo país, as eleições para presidente ocorrem a cada anos, para os senadores, a cada anos e para os deputados, a cada 0 anos. Nesse país, houve eleição simultânea para os três cargos em 00. A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?. Um funcionário de uma biblioteca deve empacotar livros de História, 0 livros de Português e livros de Matemática, de modo que cada pacote contenha a mesma quantidade de livros e somente livros de uma mesma disciplina. Sabendo que o funcionário colocou a maior quantidade possível de livros dentro de cada pacote, é correto afirmar que o número de pacotes contendo livros de Matemática é igual a: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

4 . Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em, minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em, minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto de partida? (UEL) Considere dois rolos de barbante, um com 9 m e outro com 0 m de comprimento. Pretende se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é: (Mackenzi Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 0 s e s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de: GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

5 Para denominadores maiores que 0. NÚMEROS FRACIONÁRIOS Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado", assim, de uma maneira bem simplificada, podemos dizer que fração é a representação das partes iguais de um todo. Toda fração é representada por dois números, um acima e um abaixo de um traço chamado de traço da fração. O número acima do traço é chamado de numerador e o número abaixo do traço é chamado de denominador. Observe a figura abaixo: Para denominadores múltiplos de 0 Na figura acima, o retângulo foi dividido em partes iguais. Dessas partes foram pintadas partes. Dizemos que a fração correspondente a parte pintada é ou /, lê-se dois quintos.. FRAÇÕES EQUIVALENTES Observe os exemplos abaixo:. LEITURA DE UMA FRAÇÃO Para denominadores menores que 0 Note que as frações apesar de escritas com números diferentes, representam a mesma quantidade, ou seja, metade de um todo. Essas frações são chamadas de frações equivalentes. Para obtermos frações equivalentes basta multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. Observe: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

6 9 Dessa forma, podemos dizer que as frações, e 0 Observe o exemplo abaixo: são equivalentes à fração. 0. SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO Simplificar uma fração significa achar uma fração equivalente a ela, cujo numerador e denominador sejam primos entre si. Essa fração é chamada de Fração Irredutível. Observe que e são primos entre si, ou seja, MDC(; )=. Neste caso, a fração é irredutível, ou seja, não pode ser simplificada.. ADIÇÃO DE FRAÇÕES Observe os exemplos abaixo: Observe no exemplo que = e =, esta soma 0 0 pode ser escrita da seguinte forma: Note que MMC(; )= 0. Para adicionarmos ou subtrairmos frações com denominadores diferentes, devemos encontra outras frações equivalentes às primeiras e que possuam o mesmo denominador. Esse denominador é igual ao mínimo múltiplo comum entre os denominadores anteriores.. MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES O produto de duas ou mais frações é obtido multiplicandose, respectivamente, os numeradores e os denominadores dessas frações. Para adicionar ou subtrair frações é necessário que as mesmas possuam o mesmo denominador. Neste caso, para efetuar a operação, conserva-se o denominador e adiciona-se ou subtrai-se o numerador. Observe: Observe no segundo que no exemplo o resultado do produto foi simplificado para obter-se uma fração irredutível. A simplificação sempre deve ocorrer e pode ser realizada antes mesmo de se efetuar a multiplicação.. DIVISÃO DE FRAÇÕES Dividir um número pelo outro é o mesmo que multiplicarmos o primeiro pelo inverso do segundo. Observe o exemplo abaixo: Observação: No item a, o resultado da soma das frações é uma fração cujo numerador é menor que o denominador, essas frações são chamadas de Frações Próprias. No item b, o resultado da soma das frações é uma fração cujo numerador é maior que o denominador, essas frações são chamadas de Frações Impróprias. No item c, o resultado da soma das frações é uma fração que simplificada representa um número inteiro, estas frações são chamadas de Frações Aparentes. Utilizamos o mesmo processo na divisão de frações, ou seja, para dividirmos duas frações basta multiplicarmos a primeira pelo inverso da segunda. Observe: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

7 Atividades de Sala 0. (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é destacada? Determine qual das opções abaixo não é equivalente a : Calcule o valor das expressões abaixo simplificando quando possível f) = g) = 0. A figura mostra duas barras idênticas de chocolate que foram divididas, cada uma delas em partes iguais, sendo que a área destacada representa a quantidade de chocolate consumido por uma pessoa. A quantidade total de chocolate consumido, indicado na figura, pode ser representada por um número racional na forma fracionária igual a: 9 0. Determinado condomínio trocou seu reservatório de água, com capacidade para 000 litros, por outro, dois terços maior. Qual é a capacidade do novo reservatório? L. 000 L L. 000 L L. GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

8 Atividades Propostas 0. Observe a figura abaixo: Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? A parte pintada representa que fração do retângulo? 0. Observe as figuras e diga qual a fração que representa parte pintada da figura: 0. Observe as figuras e diga qual a fração que representa parte pintada da figura: 0. Simplifique as frações abaixo: = = 0 0 = 9 = = f) = g) = 0. Efetue as operações abaixo: f) g) h) i) º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

9 j) k) 0 0 l) Efetue: 9 9 f) 0 g) h) 0. Efetue: 9 0 f) + 0 g) 9 h) i) 9 j) Efetue as multiplicações indicadas: = = = = = f) = g) = 0 h) = 09. Calcule: 00 = 0 9 = 0 + = + + = 0. Efetue as divisões abaixo: = = = = = f) = 9 g) = h) = i) = 9 9 j) = k) = l) 9 =. Calcule: + = 9 = + = + º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página 9

10 = +. Foram entrevistados 0 candidatos a uma determinada vaga de emprego. Sabe-se que desse número de candidatos foi rejeitado, quantos foram aceitos?. Certa empresa tem 0 funcionários. Sabe-se que desse pessoal trabalha no turno diurno. Um décimo dos que não trabalham no turno diurno são aqueles que precisam ficar de prontidão para cobrir qualquer eventualidade com falta de algum funcionário. O número desses funcionários que ficam de prontidão é: GABARITO:. Uma pessoa comeu de uma barra de chocolate depois do almoço e à tarde comeu do que havia sobrado. A fração que representa a quantidade de chocolate que essa pessoa comeu é de: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página 0

11 Dessa forma podemos escrever uma relação, ou seja, uma fórmula, assim:. INTRODUÇÃO Observe a expressão abaixo: Podemos escrever essa mesma expressão de uma forma mais simplificada:. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS.. Produto de Potências de Mesma Base Esta forma de escrever um produto de fatores iguais é o que chamamos de potência. Na potência, o número é chamado de base da potência e o número 0 é chamado de expoente. O expoente é que define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma.. DEFINIÇÃO Dado um número real a e um número inteiro n, chama-se potência a expressão:.. Divisão de Potências de Mesma Base.. Casos Particulares.. Base Negativa e Expoente Par Observe os exemplos: ( ) = ( ) ( ) ( ) = + 9 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = +.. Potenciação de Potência.. Potenciação de Fração.. Base Negativa e Expoente Ímpar Observe os exemplos: ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) =.. Expoente Negativo Observe os exemplos abaixo: Exemplos: = = = =.. Potenciação de um produto º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

12 . POTÊNCIAS DE BASE 0 As potências de base 0 aparecem com muita frequência na Física e na Química, quando se trabalha com grandezas micro ou macroscópicas. Observe algumas potências de 0: Atividades de Sala 0. (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência ; ; ;( ) ;( ) ;( ) é:... (a 0. Simplifique a expressão P = b (a ) b a.. Base 0 e Expoente Positivo O expoente da base 0 corresponde ao número (quantidad de zeros da potência resultante. Assim: ( ) x 0. Se =, então, o valor de x é igual a: / , 000 0, Calcule o valor da expressão M =, 0,00 0. Escreva a notação científica dos números abaixo = 0, = 0 = 0,0 0 =.. Base 0 e Expoente Negativo Agora, o número que está no expoente, sem o sinal, indica o número de casas decimais da potência resultante. Assim:. Notação Científica A notação científica é um modo de representação métrica muito útil porque permite escrever números muito extensos ou muito pequenos de uma maneira mais compacta, tornando os cálculos mais simples. Todo número escrito em notação científica obedece à regra geral: GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

13 Atividades Propostas 0. Calcule o valor da expressão 0. Transforme em uma única potência: = 9 9 = ( ) = = 0 = 0 0. Escreva na forma de notação científica: = 0, = = 0,0 = 0. Calcular o valor de cada expressão: ( ) = ( ) = ( ) (0,) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 0 A = Resolva os exercícios abaixo, aplicando a propriedade conveniente: (x x ) (x x ) = ( ) = ( ) = 9 = 0. Usando as propriedades com potências de mesma base, transformem em uma só potência as expressões: = = (,9) (,9) = = ( 0,) ( 0,) ( 0,) = f) [(,) ] = 0. Classifique cada sentença seguinte em verdadeira (V) ou Falsa (F): ( ) ( ) = ( ( 0 ) = 0 0 ) ( + ) = + ( ) = ( ) = 9 0. Em cada item abaixo, calcule o valor das expressões. P = ( ) + Q = (0,) + (0,) R = S = A fração é igual a: Calcule: ( ) = 0 ( ) = 0 = 0 +0 = + = f) 9 = g) 9 =. Simplifique as expressões abaixo: 0 ( ) ( ) ( )+( ) A = ( ) +( ) ( ) +( ) B = ( ) ( ) +( ) 0 ( ) + C = D = 9 0,0000. (Fate Das três sentenças abaixo: x + x ( I ) = (II) (III) x x () = x x x + = Somente a I é verdadeira. Somente a II é verdadeira. Somente a III é verdadeira. Somente a II é falsa. Somente a III é falsa.. (FEI-SP) O valor da expressão B = 0 0, é: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

14 . (Mackenzie-SP) O valor da expressão abaixo é igual a: 0 ( ) (UFMA) Qual é o valor numérico da expressão: X =. (UFSM) Números que assustam:, bilhões de pessoas vivem hoje no planeta., bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje. 90 milhões nascem a cada ano. 00 milhões passam fome., é a média de filhos por mulher em Ruanda.,% da renda mundial está nas mãos dos 0% mais pobres. milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU) De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente: 9 0 ; 9 0 ; 0, 0 ; 9 0 ; 0 0 ; 9 0 ; , 0 ; 90 0 ; 0 0 ; 90 0 ; 0 0 GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

15 .. Divisão de Raízes de Mesmo Índice. EXPOENTE FRACIONÁRIO Considere os exemplos abaixo: Generalizando:.. Potenciação de Raiz Observe o exemplo:. CONCEITO DE RADICIAÇÃO A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades. Dados um número real não negativo e um número natural, chama-se raiz enésima de o número real não negativo tal que. Os símbolos utilizados para representar a raiz enésima de x são:.. Simplificação de Índice Pela definição de radiciação, temos que: Observe os exemplos abaixo:.. Raiz de Raiz. PROPRIEDADES.. Produto de Raízes de Mesmo Índice º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

16 . OPERAÇÕES COM RADICAIS.. Adição de Radicais Adicionamos apenas radicais que são semelhantes, ou seja, que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando... Nota Quando os radicais não são semelhantes podemos simplifica-los para torna-los semelhantes, como veremos nos exercícios de sala. Atividades de Sala 0. A expressão é igual a: / / / 0. Aplique as propriedades dos radicais: = = = = = 0. Simplifique os radicais abaixo = = 0. Se + + = a b, então o valor de a b é igual a: Racionalize: 0 = = = GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

17 Atividades Propostas 0. Escreva na forma de potência os radicais abaixo: = = = = 0. Escreva na forma de radicais as potências abaixo: / = / = / = /9 = 9 / = f) / = 0. Simplifique = ( ) = ( ) = ( ) = = f) = g) = 0. Simplifique: = 0, 0, = = = = f) 0 = g) 9 = h) 0 = i) 00 = j) = 0. Aplique as propriedades dos radicais: = = 0 = x = 0. Calcular: 0 = + 9 = 9 + = = + = f) = g) = 0. Efetue a soma: + = + + = + + = = = f) 9 0 = 0. Racionalize os denominadores: = = = 0 = = f) = g) = h) = i) = 09. Racionalize os denominadores: = = + = = + = + f) = º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

18 0. Racionalize os denominadores: = = + = = + + = f) = +. Racionalize os denominadores: = = = = 9 = f) = g) = h) =. Coloque em ordem crescente as raízes abaixo: e = e = e = e =. Considere as afirmações abaixo: ( ) I ) = / II ) = 0 III ) = Dessa forma, é correto afirmar que: Todas são verdadeiras. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. Nenhuma das afirmações é verdadeira.. (UNIP) O valor da expressão abaixo é igual a: (UFPE) Simplificando obtemos:. (Unifor) O valor da expressão + 0 é igual a:. (UFV) O valor da expressão numérica uma fração cujo numerador é: (UPE) O valor de é igual a: é º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página

19 GABARITO: º Ano e Curso - 0 Matemática Básica 0 Página 9