Elementos de Matemática

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1 Elementos de Matemática Trigonometria Circular - 1a. parte Roteiro no. 6 - Atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 23 de Maio de Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré ulysses@matematica.uel.br Matemática Essencial: Resumo: Notas de aulas construídas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e não espero que estas notas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de domínio público, mas em inglês existem diversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor faça pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mensagem: No princípio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princípio com Deus. Todas as coisas foram feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas não prevaleceram contra ela.... Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre nós, cheio de graça e de verdade... A Bíblia Sagrada, João 1:1-5,10-14

2 CONTEÚDO 1 Elementos gerais sobre Trigonometria O papel da trigonometria Ponto móvel sobre uma curva Arcos da circunferência Medida de um arco O número pi Unidades de medida de arcos Arcos de uma volta Mudança de unidades O círculo trigonométrico Círculo Trigonométrico Arcos com mais de uma volta Arcos côngruos e Ângulos Arcos simétricos em relação ao eixo OX Arcos simétricos em relação ao eixo OY Arcos simétricas em relação à origem Seno, Cosseno e Tangente Seno e cosseno

3 CONTEÚDO iii 3.2 Tangente Ângulos no segundo quadrante Ângulos no terceiro quadrante Ângulos no quarto quadrante Simetria em relação ao eixo OX Simetria em relação ao eixo OY Simetria em relação à origem Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Primeira relação fundamental Segunda relação fundamental Forma polar dos números complexos Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença

4 CAPÍTULO 1 Elementos gerais sobre Trigonometria 1.1 O papel da trigonometria Trigonometria é uma palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos). Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras. A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros. 1.2 Ponto móvel sobre uma curva Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.

5 1.3. ARCOS DA CIRCUNFERÊNCIA 2 Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo. 1.3 Arcos da circunferência Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco. Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A. Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades. 1.4 Medida de um arco A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.

6 1.5. O NÚMERO PI 3 Na figura seguinte, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(ab) e a medida do arco u por m(u), temos m(ab) = 5 m(u). A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer sentido, sendo que a medida algébrica de um arco AB desta circunferência é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B é antihorário, e negativo se o sentido é horário. 1.5 O número pi Em toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante denotada pela letra grega π, que é um número irracional, isto é, que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número π é dada por: π = 3, Mais informações sobre pi, podem ser obtidas na página Áreas de regiões circulares: Unidades de medida de arcos A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas por técnicos como o grau e o grado. Este último não é muito comum. Radiano: Medida de um arco cujo comprimento é o mesmo que o raio da circunferência que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.

7 1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4 Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, tomamos: comprimento do arco(ab) m(ab) = = 12/8 = 1, 5 rad comprimento do raio 1.7 Arcos de uma volta Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C = 2πr, então: comprimento do arco(ab) m(ab) = = 2πr = 2π comprimento do raio r A medida em radianos de um arco de uma volta completa é 2π rad, isto é, 2π rad = 360 graus. Temos as seguintes situações usuais: 90 graus 180 graus 270 graus 360 graus 100 grados 200 grados 300 grados 400 grados π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.

8 1.8. MUDANÇA DE UNIDADES Mudança de unidades Se um arco AB de medida R radianos, corresponde a G graus, a relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção, 2π rad 360 graus R rad G graus Assim, temos a igualdade R 2π = G, ou seja, 360 R π = G 180 Exemplo 2. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, tomamos R π = Assim, R = π 3 ou seja 60 graus = π 3 rad Exemplo 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 rad, tomamos: Assim, 1 rad = 180 π graus. 1 π = G 180 Podemos obter mais informações sobre grau e radiano com algumas notas históricas, ilustrações e curiosidades na página sobre Geometria Plana: Ângulos:

9 CAPÍTULO 2 O círculo trigonométrico 2.1 Círculo Trigonométrico Seja uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico. Em livros de ĺıngua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular. Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:

10 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7 Quadrante abscissa ordenada α P rimeiro positiva positiva 0 o < α < 90 o Segundo negativa positiva 90 o < α < 180 o T erceiro negativa negativa 180 o < α < 270 o Quarto positiva negativa 270 o < α < 360 o Os quadrantes são usados para localizar pontos e caracterizar ângulos para uso em trigonometria. Por convenção, os pontos sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 2.2 Arcos com mais de uma volta Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidas são maiores do que 360 o. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360 o ou ser maior do que 360 o. Se esta medida for menor ou igual a 360 o, dizemos que este arco está em sua primeira determinação. Assim, o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um certo sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360 o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.

11 2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8 Se AM é um arco cuja primeira determinação mede m, então um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso. Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas: m, m + 2π, m + 4π, m + 6π,... Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas: m 2π, m 4π, m 6π,... e assim temos uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M. Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por: m(am) = m + 2kπ onde k é um número inteiro, isto é, k Z = {..., 2, 3, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M. Exemplo 4. Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2π, então os arcos 3 desta família {AM}, medem: Determinações positivas (sentido anti-horário) k = 0 m(am) = 2π 3 k = 1 m(am) = 2π 3 + 2π = 8π 3 k = 2 m(am) = 2π 14π 3 + 4π = 3 k = 3 m(am) = 2π 20π 3 + 6π = k = n m(am) = 2π 3 + 2nπ = (2 + 6n)π 3

12 2.3. ARCOS CÔNGRUOS E ÂNGULOS 9 Determinações negativas (sentido horário) k = 1 m(am) = 2π 3 2π = 4π 3 k = 2 m(am) = 2π 3 4π = 6π 3 k = 3 m(am) = 2π 3 6π = 16π 3 k = 4 m(am) = 2π 3 8π = 22π k = n m(am) = 2π 3 2nπ = (2 6n)π Arcos côngruos e Ângulos Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2π. Exemplo 5. Arcos de uma mesma família são côngruos. Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM. Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b = a 2π correspondente ao arco AM. Também existem ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam a ângulos.

13 2.4. ARCOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AO EIXO OX Arcos simétricos em relação ao eixo OX Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica, com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM é dada por: µ(am ) = 2π m. Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2kπ + m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM } têm medidas iguais a 2kπ m, onde k é um número inteiro. 2.5 Arcos simétricos em relação ao eixo OY Sejam AM e AM arcos na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM será dada pela expressão µ(am ) = π m. Os arcos da família {AM }, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M, medem (2k + 1)π m onde k Z.

14 2.6. ARCOS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO À ORIGEM Arcos simétricas em relação à origem Sejam arcos AM e AM na circunferência trigonométrica com A = (1, 0) e os pontos M e M simétricos em relação à origem (0, 0). Se o arco AM mede m, então µ(am ) = π +m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M medem m(am ) = (2k + 1)π + m.

15 CAPÍTULO 3 Seno, Cosseno e Tangente 3.1 Seno e cosseno Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A = (1, 0) e um número real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0, 0) e raio unitário. Seja M = (x, y ) um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C = (x, 0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y ). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(am) ou sen(a).

16 3.2. TANGENTE 13 Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(am) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(am) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x do ponto M. Existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(am) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x 3.2 Tangente Seja t a reta tangente à circunferência trigonométrica no ponto A = (1, 0). Esta reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência tem interseção com a reta tangente t no ponto T = (1, t ). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.

17 3.3. ÂNGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14 Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(am) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(at ) = t Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. Um caso especial é quando o ponto M está no eixo horizontal OX, pois cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0 Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes 3.3 Ângulos no segundo quadrante Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo π < a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno 2 está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. Outro caso especial é quando o ponto M está no eixo vertical OY e temos que: cos( π 2 ) = 0, sen(π 2 ) = 1 e a tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.

18 3.4. ÂNGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE Ângulos no terceiro quadrante O ponto M = (x, y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo a [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) é simétrico ao ponto M = ( x, y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. Em particular, se a = π rad, temos que cos(π) = 1, sen(π) = 0, tan(π) = Ângulos no quarto quadrante O ponto M está no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa. Se o ângulo mede 3π/2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a = 3π/2, temos: cos( 3π 2 ) = 0, sin(3π 2 ) = 1

19 3.6. SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO OX Simetria em relação ao eixo OX Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b) 3.7 Simetria em relação ao eixo OY Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b)

20 3.8. SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM Simetria em relação à origem Se M é um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante e se M é o simétrico de M em relação à origem, estes pontos M e M possuem ordenadas e abscissas simétricas. Se A = (1, 0) é um ponto da circunferência, a é o ângulo correspondente ao arco AM e b é o ângulo correspondente ao arco AM, então sen(a) = sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = tan(b) 3.9 Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com freqüência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico.

21 3.10. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL Primeira relação fundamental Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é: sin 2 (a) + cos 2 (a) 1 que é verdadeira para todo ângulo a R. Necessitamos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Consideremos dois pontos, A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ). Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d = d(a, B), como: d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a), sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0, 0) é igual a 1. Usando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, segue que d(m, 0) = (cos(a) 0) 2 + (sen(a) 0) 2 de onde segue que cos 2 (a) + sin 2 (a) = 1.

22 3.11. SEGUNDA RELAÇÃO FUNDAMENTAL Segunda relação fundamental Outra relação fundamental na trigonometria, às vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por: tan(a) sen(a) cos(a) Este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. Se a = 0, a = π ou a = 2π, segue que sen(a) = 0, implicando que tan(a) = 0, mas se a = π/2 ou a = 3π/2, segue que cos(a) = 0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a) = sen(a) não é verdadeira para estes cos(a) últimos valores de a. Para a 0, a π, a 2π, a π/2 e a 3π/2, tome de novo a circunferência trigonométrica na figura seguinte. Os triângulos OM N e OT A são semelhantes, logo: AT MN = OA ON Como m(at ) = tan(a), m(m N) = sen(a), OA = 1 e m(on) = cos(a), para todo ângulo a (0, π) com a π/2 e a 3π/2 temos que tan(a) = sen(a) cos(a) 3.12 Forma polar dos números complexos Um número complexo não nulo z = x + yi, pode ser representado pela sua forma polar: z = r[cos(c) + i sen(c)]

23 3.12. FORMA POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS 20 onde r = z = x 2 + y 2, i 2 = 1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número complexo z. A multiplicação de dois números complexos na forma polar: A = A [cos(a) + i sen(a)], B = B [cos(b) + i sen(b)] é dada pela Fórmula de De Moivre: AB = A B [cos(a + b) + i sen(a + b)] Observamos que para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos. Se os números complexos A e B são unitários então A = 1 e B = 1, e: A = cos(a) + i sen(a), B = cos(b) + i sen(b) Multiplicando A e B, obtemos AB = cos(a + b) + i sen(a + b) Existe uma importante relação matemática, atribuída a Euler (lê-se óiler), garantindo que para todo número complexo z e para todo número real z: e iz = cos(z) + i sen(z) Tal relação é demonstrada em Cálculo Diferencial. Esta relação permite uma outra forma para representar números complexos unitários A e B, como: A = e ia = cos(a) + i sen(a) B = e ib = cos(b) + i sen(b) onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, Por outro lado e i(a+b) = cos(a + b) + i sen(a + b) e i(a+b) = e i a e i b = [cos(a) + i sen(a)][cos(b) + i sen(b)]

24 3.13. SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA E DA DIFERENÇA 21 e desse modo e i(a+b) = [cos(a) cos(b) sen(a)sen(b)] + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são iguais, logo cos(a + b) = cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) Para a diferença de arcos, substituímos b por b nas fórmulas da soma cos(a b) = cos(a + ( b)) = cos(a) cos( b) sen(a)sen( b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) sen(a b) = sen(a + ( b)) = cos(a)sen( b) + cos( b)sen(a) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) 3.13 Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença Na circunferência trigonométrica, se os ângulos a e b satisfazem a 0 < a < 2π e 0 < b < 2π sendo a > b, então; sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a + b) = cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: tan(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a) cos(b) sen(a)sen(b) Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a) cos(b), segue a fórmula: Como tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b) sen(a b) = sen(a) cos(b) cos(a)sen(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b) podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: tan(a b) = tan(a) tan(b) 1 + tan(a) tan(b)