Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

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1 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM Pré-cálculo 14 a lista complementar de exercícios (0/11/017 a 01/1/017 1 Seja x [ 1, 1] Determine o valor de: (a tg(arcsen x; (b cotg(arcsen x; (c sec(arcsen x; (d cossec(arcsen x Seja x R Determine o valor de: (a sen(arctg x; (b cos(arctg x 3 Determine o valor de: (a tg(arcsen( 1/3; (b cos(arctg 4 Reescreva as expressões abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique (a (c (e (g (i tg x cossec x cos x(1 + tg x 1 + cos x 1 + sec x sec x 1 sec x tg x cos x cossec x (b (d (f ( sec x cossec x cotg x cossec x sen x tg x sec( x 1 + cossec x cos x + cotg x 5 Verifique que as igualdades abaixo são identidades trigonométricas tg x (a = sec x cos x sen x + cos x cotg x = cossec x cossec x (b (c cossec x(cossec x + sen( x = cotg x (d (1 cos x(1 + cotg x = 1 (e (g sec x cossec x(tg x+cotg x = sec x+cossec x sen 3 x + cos 3 x sen x + cos x = 1 sen x cos x (f ( 1 + tg x 1 tg x = 1 cos x sen x tg x + tg y cotg x + cotg y = tg x tg y 6 Durante este curso, você estudou diversas situações em que fazer uma mudança de variável simplificava o problema em questão Este recurso é utilizado com frequência em matemática e muitas das substituições importantes envolvem funções trigonométricas Nos itens abaixo, reescreva as expressões utilizando a expressão indicada Siga o item (a como modelo 1

2 (a x 1 x, x = sen t, com 0 t < π/ Solução Inicialmente, observemos que, como sen t + cos t = 1, então cos t = 1 x e, portanto, cos t = 1 x (aqui escolemos a raiz positiva pois t está no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo Esse passo preliminar foi para identificar como ficaria o denominador da expressão após a substituição Por fim, a expressão reescrita após a substituição é x 1 x = sen t cos t = tg t (b 1 + x, x (c 1, (d x, 4 + x x = tg t, com 0 t < π/ x = sec t, com 0 t < π/ x = tg t, com 0 t < π/ (e 9 x, x = 3 sen t, com 0 t < π/ 7 Você já percebeu que os gráficos das funções trigonométricas são dois a dois parecidos? Por exemplo, seno e cosseno possuem o mesmo formato, exceto por um deslocamento orizontal O mesmo ocorre para tangente e cotangente, secante e cossecante Observe os gráficos e deduza que: (a sen(π/ x = cos x; (b cos(π/ x = sen x; (c tg(π/ x = cotg x; (d cotg(π/ x = tg x; (e sec(π/ x = cossec x; (f cossec(π/ x = sec x; (g sen(x + π/ = cos x; ( cos(x π/ = sen x 8 Este exercício tem como objetivo deduzir a fórmula para o cosseno da soma de arcos: cos(a + b = cos a cos b sen a sen b Para isso, Denote por P 0 = (1, 0 a origem do círculo trigonométrico, por P 1 o ponto terminal de a + b, por Q 1 o ponto terminal de b e por Q 0 o ponto terminal de a (faça um deseno para facilitar a compreensão (a Utilize a definição do ponto terminal e conclua que P 1 = (cos(a+b, sen(a+b, Q 1 = (cos b, sen b e Q 0 = (cos( a, sen( a (b Utilize as propriedades das funções seno e cosseno para verificar que Q 0 = (cos a, sen a (c Observe que o arco que liga os pontos P 0 e P 1 possui o mesmo comprimento que o arco que liga Q 0 a Q 1 (os dois arcos medem a + b Com isso, conclua que os segmentos de reta P 0 P 1 e Q 0 Q 1 possuem o mesmo comprimento (d Utilize a fórmula para a distância entre dois pontos e conclua que (cos(a + b 1 + (sen(a + b 0 = (cos b cos a + (sen b + sen a (e Na igualdade acima, eleve os dois lados ao quadrado, desenvolva os quadrados e simplifique Se tudo correr bem, no final você obterá cos(a + b = cos a cos b sen a sen b

3 (f A fórmula para o seno da soma de arcos sen(a + b = sen a cos b + cos a sen b pode ser deduzida a partir da fórmula para o cosseno e do exercício anterior Você consegue? (g A fórmula para a tangente da soma de arcos 9 Calcule: tg(a + b = tg a + tg b 1 tg a tg b é deduzida a partir das fórmulas obtidas para o seno e cosseno e usando que tg x = sen x cos x Você consegue? (a sen 15 ; (b cos 195 ; (c tg 165 ; (d sen( 5π/1; (e cos(11π/1; (f tg(7π/1 10 A Escreva as expressões abaixo em termos de x e y: (a cos(arcsen x arctg y; (b tg(arcsen x + arccos y 11 Seja f(x = sen x Mostre que f(x + f(x = sen ( cos x sen x sen cos + 1 Sugestão Utilize a fórmula para o seno da soma de arcos e observe que (1 cos (1 + cos = sen 1 Seja f(x = cos x Mostre que f(x + f(x = sen ( sen x cos x sen cos A partir das fórmulas para a soma de arcos, deduza as fórmulas abaixo (a sen(x = sen x cos x (b cos(x = cos x sen x (c cos(x = cos x 1 (d cos(x = 1 sen x (e tg(x = tg x 1 tg x (f cos(3x = 4 cos3 x 3 cos x (g cos x = 1 + cos(x ( sen x = 1 cos(x 1 cos x (i sen(x/ = ±, em que o sinal é escolido de acordo com o quadrante ao qual x/ pertence (j 1 + cos x cos(x/ = ±, em que o sinal é escolido de acordo com o quadrante ao qual x/ pertence 14 Utilize os itens (g e ( do exercício anterior para reescrever as expressões abaixo usando apenas cossenos (e sem potências Observe item (a 3

4 (a sen 4 x Solução ( 1 cos(x sen 4 x = (sen x = = 1 4 cos(x + cos (x 4 = 1 4 cos(x cos(4x 8 = 3 8 cos(x + cos(4x 8 (b cos 4 x (c cos x sen x 15 A partir das fórmulas para soma de arcos, outras relações podem ser deduzidas: as fórmulas para transformação de soma em produto e vice-versa Estas fórmulas são úteis para resolver certos tipos de equações e também para resolver problemas nas disciplinas de Cálculo O objetivo desse exercício é mostrar como obtê-las (lembre-se de que aprender o camino para obter tais fórmulas dá a você o direito de não precisar decorá-las, pois toda vez que alguma delas for necessária, basta seguir as ideias da demonstração Considere as fórmulas abaixo (já conecidas: (i sen(a + b = sen a cos b + cos a sen b; (ii cos(a + b = cos a cos b sen a sen b Faça o que se pede nos itens abaixo: (a A partir da fórmula (i, mostre que sen(a b = sen a cos b cos a sen b (b A partir da fórmula (ii, mostre que cos(a b = cos a cos b + cos a cos b (c Some as fórmulas (ii e (a e conclua que sen a cos b = 1 [sen(a + b + sen(a b] Esta fórmula é usada quando temos um produto de um seno por um cosseno e precisamos reescrever como uma soma (d Siga a mesma ideia do item anterior para mostrar as seguintes fórmulas: cos a sen b = 1 [sen(a + b sen(a b] ; cos a cos b = 1 [cos(a + b + cos(a b] ; sen a sen b = 1 [cos(a b cos(a + b] 4

5 (e Agora faremos o procedimento inverso: desenvolver uma fórmula que transforme uma soma de senos ou cossenos em um produto Para isso, considere a fórmula do item (c e crie novas variáveis: x = a + b e y = a b Em seguida, reescreva toda a equação nas letras x e y para obter ( x + y sen x + sen y = sen cos (f Siga a mesma ideia do item anterior para mostrar as seguintes fórmulas: ( x + y sen x sen y = cos ( x + y cos x + cos y = cos ( x + y cos x cos y = sen sen cos sen ; ; 16 Resolva as inequações: (a sen x > 1 ; (b cos x 0 17 A maior parte dos sistemas oscilatórios pode ser modelada por funções trigonométricas Alguns destes sistemas possuem caráter oscilatório mas também possuem variação na sua amplitude Por exemplo devido à resistência do ar e outros atritos, um pêndulo diminui sua amplitude de movimento a cada ciclo Neste caso, classificamos o sistema como armônico amortecido Em termos matemáticos, tais sistemas são modelados por funções da forma f(t = ke ct sen(ωt ou f(t = ke ct cos(ωt, em que k, c > 0 e ω são constantes e c é denominada constante de amortecimento Uma corda de um violão é puxada 0,5 cm a partir da sua posição de repouso e, então, é solta, iniciando sua vibração Sabe-se que a corda produziu a nota musical sol (frequência aproximada de 00 Hz e que sua constante de amortecimento é 1,4 s 1 (segundos elevado a 1 Determine uma função que descreva o movimento do ponto a partir do qual a corda foi puxada 18 Uma corda de uma guitarra é puxada em um ponto P a uma distância de 3 cm a partir da sua posição de repouso e, então, é solta, iniciando sua vibração Sabe-se que a corda vibrou a uma frequência de 165 Hz e que, após dois segundos, a amplitude máxima do ponto P foi de 0,6 cm (a Determine a constante de amortecimento (b Determine uma equação que descreva a posição do ponto P a partir da sua posição de repouso Especifique as unidades de medida utilizadas 5

6 AAA Você sabia que AAA cos π 5 = e que 4 cos π 17 = 1 16 ( ? Lista de exercícios parcialmente retirada e adaptada de [] J Stewart, L Redlin, S Watson Precalculus, Matematics for Calculus 6 a ed, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont, 014 6