FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS9

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1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS9 Gil da Costa Marques 9.1 Coordenadas cartesianas no plano 9.2 A circunferência trigonométrica; orientação 9.3 Definição de seno e cosseno de um número real 9.4 O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais 9.5 Outras funções trigonométricas 9.6 Gráficos das funções trigonométricas 9.7 Funções inversas 9.8 Aplicações Movimento harmônico simples Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais Ondas estacionárias Sons dos instrumentos musicais Corrente alternada Circuito LC Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Coordenadas cartesianas no plano A melhor forma de introduzir as funções trigonométricas é fazer uso de um sistema cartesiano de coordenadas no plano. Um sistema cartesiano é baseado na escolha de um ponto, ao qual damos o nome de ponto origem do sistema de referência, e dois eixos ortogonais entre si passando por esse ponto. Em seguida, orientamos esses eixos. Tais eixos são designados, em geral, por x (o eixo horizontal ou eixo das abscissas) e y (o eixo vertical ou eixo das ordenadas). Um ponto P no plano tem sua posição caracterizada pelas suas coordenadas cartesianas (x, y). Elas são determinadas da seguinte forma: traçamos, a partir de P, duas retas paralelas aos eixos, indicadas por retas tracejadas, até elas encontrarem os eixos x e y, respectivamente. Esses pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas da posição do corpo. Convencionou-se que o valor da coordenada x do ponto P será igual à distância desse ponto de encontro até a origem se P estiver no sentido da flecha a partir da origem. Caso contrário, o valor da coordenada é igual à distância precedida de um sinal menos, isto é, as coordenadas terão valores negativos quando o ponto P estiver no sentido oposto ao da flecha a partir da origem. A mesma regra se aplica para a coordenada y. Observe que, exceto pelo sinal, as coordenadas são definidas como projeções do ponto P sobre os eixos. Figura 9.1: Coordenadas cartesianas de dois pontos no plano. 9.2 A circunferência trigonométrica; orientação Consideremos uma circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e raio unitário. Nessa circunferência vamos considerar o ponto A = (1, 0) como a origem para marcar os arcos.

3 184 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Já sabemos que medir é comparar. Para medir um arco qualquer AB, precisamos verificar quantas vezes a unidade de medida cabe nele. A fim de medir arcos e ângulos orientados, temos duas unidades de medida específicas: o grau e o radiano. Para medir os arcos, podemos também encontrar seu comprimento e então as unidades usuais podem ser utilizadas, como metros (m) no sistema MKS. Como o raio da circunferência é unitário, cada arco de comprimento l isto é, o arco tem comprimento igual a l metros tem l radianos, ou seja, o número de radianos do arco Figura 9.2: A circunferência trigonométrica. é numericamente igual ao seu comprimento em unidades de medida de comprimento. Para cada número real positivo θ dado, percorremos a circunferência trigonométrica no sentido anti-horário a partir de A = (1, 0) e marcamos um arco de comprimento igual a θ metros (isto é, um arco de θ radianos). Se o número real dado for negativo, procedemos de maneira análoga, mas agora no sentido horário. Se o número real for zero, a ele corresponde o próprio ponto A. A circunferência orientada, de raio 1, com um referencial cartesiano acoplado a ela, com origem no seu centro, é chamada circunferência trigonométrica ou círculo trigonométrico, se encaramos a região do plano. Figura 9.3: Sistema de coordenadas no centro do círculo de raio unitário. 9 Funções trigonométricas

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplos Exemplo 1 1. Um arco de 1 rad corresponde a um arco de quantos graus? 2. E um arco de 1 tem quantos radianos? 3. Encontre a medida em graus do ângulo α formado pelos ponteiros de um relógio analógico às 13h e 20 min. Resolução: 1. Uma vez que a circunferência trigonométrica (raio unitário) tem comprimento 2π m (no sistema MKS), ela tem 2π rad e como tem 360 podemos estabelecer a seguinte regra de três: de onde obtemos: 2. Novamente, por meio da regra de três, temos: de onde obtemos: 2π rad rad x x = = ( 57, 32 ) 2π π π rad 180 x 1 π x = rad. 0, 0174 rad O ponteiro das horas: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, percorre 30 = π/6 rad. Então, em 20 min, o ponteiro das horas anda π/18 rad. O ponteiro dos minutos: em 1 hora, isto é, em 60 minutos, anda 360 = 2π rad. Então, em 20 min, o ponteiro dos minutos anda (2π)/3 rad. Portanto, em radianos, o ângulo α procurado é: 2π π π π π π α = + = = 4 9. ou seja, o ângulo procurado é de 80. Figura 9.4: Os ponteiros de um relógio analógico às 13h e 20 min.

5 186 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Definição de seno e cosseno de um número real A função seno é definida a partir da análise das propriedades de pontos localizados sobre uma circunferência. Não difere assim da ideia original de Hiparco. No entanto, agora, consideramos um sistema de coordenadas com um ponto de origem localizado no centro do círculo trigonométrico. A cada ponto da circunferência trigonométrica corresponde um par ordenado de números reais, pois podemos associar a qualquer ponto P sobre a circunferência de raio 1 o par ordenado correspondente ao valor de suas coordenadas. Dessa maneira, P circunferência (x, y), onde x e y Cada ponto P sobre a circunferência, por outro lado, pode ser caracterizado também pelo valor do ângulo θ que lhe corresponde. Tendo em vista esse fato, tal correspondência associa, a cada valor de θ, um valor bem definido da abscissa e um valor bem definido da ordenada do ponto associado ao ângulo. Ou seja, a cada valor do ângulo θ (medido em radianos), caracterizando um ponto sobre a circunferência, podemos considerar duas funções: a primeira delas associa a abscissa do ponto, ao passo que a segunda associa a ordenada do ponto: f : θ R 1 x R 9.1 e f : θ R 2 y R 9.2 A primeira associação define a função cosseno do ângulo θ: f 1 ( θ)= cosθ Funções trigonométricas

6 enquanto a segunda associação define a função seno: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo f 2 ( θ)= sen θ 9.4 Ambas as funções são periódicas, de período 2π, isto é: ( ) ( ) cosθ= cos θ+ 2π senθ= sen θ+ 2π 9.5 Para justificar esse fato, basta observar que, na circunferência, os pontos correspondentes ao número real θ e ao número real θ + 2π (ou, de modo mais geral, θ + 2kπ, onde k é um número inteiro) têm as mesmas coordenadas. Por definição, as funções seno e cosseno são definidas para qualquer número real positivo ou negativo. Isso significa que o domínio de ambas as funções é o conjunto dos números reais. Os conjuntos imagens dessas funções são, em ambos os casos, o intervalo [ 1,1]. Podemos, portanto, escrever: 1 sen θ 1 1 cosθ Figura 9.5: Círculo trigonométrico com alguns valores das funções sen e cos. A fim de analisar as imagens das funções trigonométricas para um número real qualquer, que define um arco na circunferência trigonométrica, dividimo-la em quatro partes, determinando quatro regiões denominadas quadrantes. Cada quadrante corresponde assim a intervalos no círculo unitário, cada um deles diferindo do anterior por π/2 radianos. Na Figura 9.5 observamos o valor das funções sen e cos para alguns números reais. Definimos a função denominada tg como o quociente das duas funções trigonométricas sen e cos, isto é, sen x tg x = cos x 9.7

7 188 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 cujo domínio é constituído por todos os números reais, tais que o denominador não seja zero, isto é, que cos x 0, ou seja x π/2 + kπ, onde k é um número inteiro. Analisando com cuidado a Figura 9.5, podemos compor a Tabela 9.1: Tabela 9.1: Características e conjuntos domínio e imagem de algumas funções trigonométricas. Função Paridade Período Sinais Domínio Imagem sen α Ímpar sen ( α) = sen α 2π + + [ 1, 1] cos α Par cos ( α) = cos α 2π + + [ 1, 1] tg α Ímpar tg ( α) = tg α π + + x π/2 + kπ, onde k é inteiro Podemos observar ainda que, quando: x = 0, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto A = (1, 0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0 e tg 0 = 0; x = π/2, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto B = (0, 1) e, portanto, cos(π/2) = 0, sen(π/2) = 1 e tg(π/2) não existe; x = π, obtemos na circunferência trigonométrica o ponto C = ( 1, 0) e, portanto, cos π = 1, sen π = 0 e tg π = 0; x = (3π/2), obtemos na circunferência trigonométrica o ponto D = (0, 1) e, portanto, cos(3π/2) = 0, sen(3π/2) = 1 e tg(3π/2) não existe. A respeito das funções sen e cos, ressaltamos que uma propriedade simples e notável é a de que para todo número real θ: 2 2 (sen θ) + (cos θ) =1 9.8 que também se escreve sen 2 θ + cos 2 θ = 1 e que é conhecida como relação fundamental da trigonometria. 9 Funções trigonométricas

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo O seno e o cosseno da soma ou diferença de dois números reais Utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que, para quaisquer números reais a e b, vale a relação: cos( a b) = cos a.cosb+ sen a.senb 9.9 Figura 9.6: Os pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb). Usando a fórmula da distância, temos: De fato, examinando a Figura 9.6 que mostra a circunferência trigonométrica e dois pontos P = (cosa, sena) e Q = (cosb, senb), vamos calcular a distância entre esses dois pontos de duas maneiras: usando a fórmula da distância e a lei dos cossenos aplicada ao triângulo 0PQ. d = (cosa cos b) + (sena sen b) e, usando a lei dos cossenos, temos: d 2 = cos( a b) 9.11 pois cos(a b) = cos[ (b a)] = cos(b a), uma vez que cos é uma função par. Igualando 9.10 e 9.11, temos: (cosa cosb) 2 + (sena senb) 2 = 2 2.cos(a b). Desenvolvendo os quadrados, fazendo as simplificações possíveis e utilizando a relação fundamental, temos: cos 2 a 2cos a.cosb+ cos 2 b+ sen 2 a 2sen a.senb+ sen 2 b= 2 2.cos( a b) 2 2.cos a.cos b 2.sen a.sen b= 2 2.cos( a b) ou seja, cosa.cosb + sena.senb = cos(a b) ou, de modo equivalente, cos(a b) = cosa.cosb + sena.senb.

9 190 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A partir dessa relação, podemos verificar outras relações igualmente úteis: cos( a+ b) = cos a.cosb sen a.senb 9.12 Em primeiro lugar, cos(a + b) = cos(a ( b)). Agora, como cos é uma função par, isto é, para todo x real, cos x = cos( x) e sen é uma função ímpar, isto é, sen x = sen( x), temos: cos(a ( b)) = cosa.cos( b) + sena.sen( b) = cosa.cosb sena.senb Logo, cos(a + b) = cosa.cosb sena.senb. sen( a+ b) = sen a.cosb+ sen b.cosa 9.13 Para encontrar sen(a + b), observamos que cos De fato, e π 2 x sen = x e que cos x = π sen x. 2 π π π cos x cos cos sen sen sen 2 = 2 x + 2 x = x, uma vez que cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1 pois cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1. Desse modo, ou seja, π π cosx = cos x cos cos x sen sen = π π + π π = π 2 x sen x, π sen( a+ b) = cos ( a+ b) cos a b cos a = π = π π.cosb sen a.senb 2 sen( a+ b) = sen a.cosb+ cos a.senb sen( a b) = sen a.cosb sen b.cos a Funções trigonométricas

10 Temos: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo sen( a b) = sen( a+ ( b)) = sen a.cos( b) + cos a.sen( b) = sen a.cosb cos a.sen b, pois cos é uma função par e sen é uma função ímpar. Exemplo 2 4. Calcule sen, cos e tg dos números π/2 + x, π/2 x, x (3π)/2, 2π x, em termos de sen x, cos x e tg x, sendo x um número entre 0 e π/2. π π π sen + sen cos sen.cos cos. 2 x = 2 x+ x 2 = x π Figura 9.7: sen cos 2 + x = x cos π + cos π cos sen π sen sen 2 x = 2 x 2 x= x π Figura 9.8: cos sen 2 + x = x π sen π + x 2 cos 1 tg + 2 = x x = = π senx tg x cos + x 2 π π π sen 2 x = sen 2 cos x sen x.cos 2 = cos x

11 192 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 π Figura 9.9: sen cos 2 x = x cos π cos π cos sen π sen sen 2 x = 2 x+ 2 x= x π Figura 9.10: cos sen 2 x = x π sen π x 2 cos 1 tg 2 = x x = = π senx tg x cos x 2 3π 3π 3π sen x 2 = sen x.cos 2 sen 2 cos x= cos x Figura 9.11: sen x 3π cos x 2 = 3π cos x cos x.cos sen x.sen sen x = 3π π 2 = 9 Funções trigonométricas

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Figura 9.12: cos x 3π sen x 2 = tg x Evidentemente, sen(2π x) = sen( x) = senx. 3π sen x π cos x = 2 1 = = 3π senx tg x cos x Figura 9.13: sen( 2π x) = sen x cos( 2π x) = cos( x) = cos x Figura 9.14: cos( 2π x) = cos x tg( 2π x) = tg( x) = tg x

13 194 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Outras funções trigonométricas As demais funções trigonométricas relevantes podem ser definidas a partir das anteriores, respeitadas as condições de existência. Definimos a função cotangente como o inverso da função tangente: cotgθ 1 = = tgθ cosθ sen θ 9.15 Definimos ainda a função secante como o inverso da função cosseno. Temos, pois: secθ = 1 cosθ 9.16 e definimos a função cossecante como o inverso da função seno: cossecθ = 1 sen θ 9.17 Essas funções são igualmente periódicas, de período 2π, no caso das funções sec e cossec, e de período π, no caso das funções tg e cotg. Também obedecem a critérios de paridade a partir das funções que lhes deram origem. Figura 9.15: Geometria das funções trigonométricas no círculo unitário. sen α = XM cos α = OM tg α = AT cotg α = BG sec α = OS cossec α = OC 9 Funções trigonométricas

14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Gráficos das funções trigonométricas Os gráficos das funções trigonométricas são apresentados a seguir. Gráfico 9.1: Gráficos das funções trigonométricas. 9.7 Funções inversas As funções trigonométricas anteriores são inversíveis apenas em subconjuntos do domínio, isto é, globalmente, nenhuma função trigonométrica é inversível. Esse fato deve ser bastante evidente, pois todas elas são funções periódicas e, consequentemente, valores diferentes do domínio têm a mesma imagem, o que inviabiliza a inversibilidade. É importante lembrar que uma função e sua inversa possuem gráficos simétricos com relação à reta y = x.

15 196 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 a. A função arcsen Para que seja possível definir a função arcsen, vamos considerar a restrição da função sen ao intervalo π π, 2 2, isto é: π π sen :,,, [ ] ππ Essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua inversa é a função denominada arcsen: Os gráficos da função arcsen e da restrição da função sen, no mesmo sistema de coordenadas, são então os seguintes: x sen x arcsen :[, + ] π π 1 1, 2 2 x arcsen x 9.19 Os gráficos de e de y = sen x, para x π π 2, 2, y = arcsen x são simétricos em relação à reta y = x. π π Gráfico 9.2: Os gráficos de sen :,,, [ ] e de arcsen : ππ [, + ] π π 1 1, x sen x x arcsen x b. De modo análogo, para que seja possível definir a função arccos, vamos também considerar uma restrição da função cos que agora é ao intervalo [0, π], isto é: [ ] cos [ : 0, π 1, 1 0, π] [ ] + x cos x Funções trigonométricas

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Essa função é inversível, pois é uma função estritamente decrescente e a sua inversa é a função denominada arccos: [ ] [ ] arccos: 1, + 1 0, π x arccos x 9.21 Os gráficos da função arccos e da restrição da função cos, no mesmo sistema de coordenadas, são então os seguintes: Os gráficos de y = cos x, para x [0, π], e de y = arccos x são simétricos em relação à reta y = x. c. A função arctg Finalmente, para poder definir a função arctg, vamos considerar a restrição da função tg ao intervalo π π, 2 2, isto é: π π tg :,,, ] + [ ππ Observamos que essa função é inversível, pois é uma função estritamente crescente e a sua inversa é a função denominada arctg: [ ] [ ] [ ] Gráfico 9.3: Os gráficos de cos [ : 0, π 1, 1 0, π] [ ] + e de arccos: 1, + 1 0, π x cos x x arccos x x tg x arctg: ], + [ π π, 2 2 x arctg x 9.23

17 198 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Os gráficos da função arctg e da restrição da função tg, no mesmo sistema de coordenadas, são então os seguintes: Os gráficos de e de y = tg x, para x π π 2, 2, y = arctg x são simétricos em relação à reta y = x. π π Gráfico 9.4: Os gráficos de tg :,,, ] + [ e de arctg: ππ ], + [ π π, x tg x x arctg x De maneira completamente análoga, podemos definir as inversas das outras três funções trigonométricas, considerando a devida restrição de domínio, a fim de obter, em cada caso, uma função inversível. Exemplo 3 Calcule o valor de: a. arcsen 1 = π 2 6 b. arcsen 1 2 = π 6 c. arcsen sen π π 6 6 5π 1 π d. arcsen sen arcsen e. arccos cos 5 π π 3 3 f. arctg tg 3 π π Funções trigonométricas

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Aplicações São muitas as aplicações das funções trigonométricas nas várias áreas do conhecimento, especialmente na física. A seguir, apresentaremos três delas: na descrição do movimento harmônico simples, no estudo das ondas harmônicas, nele destacando o entendimento dos sons produzidos pelos instrumentos musicais, e no entendimento de alguns circuitos de corrente alternada. No movimento oscilatório mais simples (o movimento harmônico simples), o móvel executará um movimento que é inteiramente descrito (posição, velocidade e aceleração) por meio de funções trigonométricas. No caso do movimento ondulatório, consideramos o caso das ondas harmônicas, as quais se propagam de acordo com uma função trigonométrica. A natureza e as características dos sons dos instrumentos musicais podem ser entendidas a partir do conceito de ondas estacionárias (resultado que depende da soma de funções trigonométricas e da determinação das frequências emitidas pelas cordas dos instrumentos. Essas frequências têm a ver com os zeros de funções trigonométricas.) Finalmente, nos circuitos de corrente alternada, é essencial o uso dessas funções. Esse ponto será ilustrado com a análise do circuito mais simples entre todos: o circuito LC Movimento harmônico simples O movimento oscilatório (e, portanto, periódico) mais simples é o de dispositivos que são denominados osciladores harmônicos simples. Na mecânica, o movimento harmônico simples de uma partícula de massa m, cuja coordenada é x, é definido como aquele em que a força que age sobre a partícula tem a forma F( x)= kx 9.24 ou seja, a força é proporcional ao deslocamento, mas no sentido oposto a ele. A constante k é denominada constante elástica. Um exemplo simples desse tipo de força ocorre no caso em que procuramos deformar uma substância elástica (como um elástico comum, por exemplo). Enquanto a deformação não for muito grande, a força é proporcional ao deslocamento (ou à deformação imposta), mas atua

19 200 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 sempre no sentido contrário ao dele. É uma tendência ou reação natural no sentido de buscar a restauração da forma original. Por isso, a constante k é referida como a constante elástica. Figura 9.16: Força elástica em ação. A lei de Newton se escreve, no caso do M.H.S.: ma = kx 9.25 A solução geral para a equação de Newton (9.25) pode ser escrita sob a forma de uma das funções trigonométricas (seno ou cosseno). Escrevemos: x()= t Acos( ωt+ θ 0 ) 9.26 ou, analogamente, ()= [ ] x t A cos( ωt)cos( θ ) sen( ωt)sen( ωθ ) Trata-se de uma solução que envolve três parâmetros (A, ω, θ 0 ) até esse ponto desconhecidos e que serão determinados como segue. 9 Funções trigonométricas

20 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Observe primeiramente que a solução proposta (9.26) é tal que o valor máximo do deslocamento x m será dado por: x m = A 9.28 O parâmetro A é, portanto, a amplitude do movimento. A constante θ 0 é uma fase dita fase inicial. Como veremos depois, as constantes A e θ 0 podem ser determinadas a partir das condições iniciais, isto é, a partir da posição e da velocidade iniciais do móvel: ( )= ( )= x 0 x v 0 v Analisaremos agora a constante ω. Pode-se mostrar que a expressão 9.26 envolvendo a função cosseno é uma solução da equação 9.25 desde que a constante ω seja dada por: ω= k m 9.30 E, portanto, a constante ω depende da massa e da constante elástica da mola. Veremos a seguir que essa constante está também relacionada ao período do movimento. Como dito anteriormente, o movimento do oscilador harmônico é periódico. O período é determinado a partir da condição bastante geral enunciada na introdução e que, nesse caso, é: x( t+ T)= x() t 9.31 Tendo em vista que a função seno é uma função periódica de período 2π, então, da solução proposta em 9.26, segue-se que o período do movimento será dado pela relação ωt = 2π 9.32 Portanto, de acordo com 9.30 e 9.32, o período do movimento harmônico simples é dado por: T 2π = = 2π ω m k 9.33

21 202 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A frequência, sendo o inverso do período, será dada pela expressão: f 1 ω = = = T 2π k m 1 2π 9.34 A frequência do oscilador harmônico depende, portanto, da massa da partícula e da constante elástica k Velocidade e aceleração no movimento harmônico simples Pode-se mostrar que, num movimento harmônico simples, a velocidade da partícula em função do tempo é dada por outra função trigonométrica, isto é, para x dado pela expressão 9.26, a velocidade é dada por: v()= t Aωsen( ωt+ θ ) onde as constantes A, ω e θ 0 são aquelas definidas anteriormente. A aceleração varia igualmente com o tempo. Sua variação é análoga à da posição: 2 a()= t ω Acos( ωt+ θ ) onde, de novo, se aplicam as definições de A, ω e θ 0 já dadas. Observe que, de 9.36 e 9.26, podemos estabelecer uma relação entre a aceleração e a posição de uma partícula, a qual é dada por: k a()= t x()= t m x () t ω Essa relação decorre de uma propriedade geral do movimento harmônico simples, mais especificamente, da lei de Newton (9.25). Observando as expressões 9.35 e 9.36, notamos que os valores máximos para a velocidade e aceleração são, respectivamente, v a m m = ωa = ω 2 A Funções trigonométricas

22 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo A seguir, apresentamos os gráficos de a t, v t e x t do movimento harmônico simples. Como se vê, trata-se, essencialmente, de gráficos de funções trigonométricas. Gráfico 9.5: Gráficos de a t, v t e x t do movimento harmônico simples. Observe que, quando a coordenada da posição do móvel atinge os valores máximos (x = + A) e mínimos (x = A), a velocidade do móvel é nula. Por outro lado, nos pontos de maior velocidade (em qualquer direção), o valor da coordenada (e o da aceleração) é igual a zero Movimento ondulatório: ondas harmônicas unidimensionais As ondas harmônicas constituem-se num tipo muito especial de ondas. Elas são caracterizadas por uma função trigonométrica, seno ou cosseno, que descreve o perfil da onda (a sua forma, portanto). Assim, para uma onda harmônica unidimensional que se propaga com velocidade v ao longo do eixo x, escrevemos: ( ) ( ( )) f ( x vt)= Acos k( x vt) Asen k x vt 9.39 onde A (na equação 9.39) é a amplitude da onda, pois é o valor máximo da função f, e k é uma constante que caracteriza a onda harmônica. Tal constante é conhecida pelo estranho nome de vetor de onda. Outra forma de escrever a expressão 9.39, e bastante comum, é: f ( x vt)= Acos( kx ωt) Asen( kx ωt) 9.40

23 204 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A expressão 9.40 parece introduzir uma nova constante para descrever a onda (a constante ω). Esse não é o caso, no entanto, uma vez que essa constante se relaciona com as demais de acordo com a expressão: kv =ω 9.41 O que é notável, observando-se 9.39, é o fato de que, como as funções trigonométricas são periódicas de período 2π, uma onda harmônica tem um perfil que se repete tanto no espaço quanto no tempo. Isso decorre do fato de que, depois de um intervalo de tempo T, conhecido como o período da onda harmônica, dado por: ωt = 2π 9.42 a onda propagada, depois de decorrido esse intervalo de tempo, se torna indistinguível da onda inicial. Portanto, de 9.41 e de 9.42, segue-se que o período do movimento ondulatório, em função do vetor de onda k e da velocidade de propagação da onda, v, é dado por: T 2π 2π = = ω kv 9.43 Define-se a frequência da onda ( f ) como o inverso do período: f 1 kv = = T 2π 9.44 A unidade de frequência mais utilizada para ondas em geral é o Hertz, definido como o inverso do segundo. Depois de percorrido um intervalo de distância no espaço, denominado comprimento de onda (aqui representado pela letra λ), a onda se torna indistinguível daquela de quando iniciou o percurso. Isso ocorre para valores de λ tais que: kλ = 2π Funções trigonométricas

24 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Assim, o comprimento de onda nada mais é do que a distância entre, por exemplo, dois máximos da onda (veja Figura 9.17). De 9.45 e 9.41 segue-se que existe uma relação bem simples entre a velocidade da onda, sua frequência e o comprimento de onda: Figura 9.17: Comprimento de onda de uma onda harmônica. v = fλ Ondas estacionárias O estudo das ondas estacionárias é relevante para o entendimento dos sons produzidos pelos diferentes instrumentos musicais, quer sejam eles de sopro ou de cordas. Ao dedilharmos um instrumento de cordas, produzimos uma onda que se propaga até o ponto no qual ela está presa. Nesse ponto, ela volta sobre si mesma. Nessas circunstâncias, devemos analisar a superposição de duas ondas harmônicas que se propagam em sentidos opostos. Consideremos o caso de duas ondas y 1 (x, t) e y 2 (x, t). De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é dada como uma soma das duas ondas. Escrevemos assim: ( )= ( )+ ( ) y x, t y xt, y x, t E, portanto, a onda resultante de duas ondas harmônicas viajando em sentidos opostos é dada pela soma: y( x, t)= Asen( kx ωt)+ Asen( kx + ωt)= 2Asenkxcosωt 9.48 Tal onda é dita estacionária, pois, a rigor, ela não se propaga. Assim, uma onda estacionária pode ser definida como uma onda cuja amplitude varia apenas com os pontos do espaço e sua dependência em relação ao tempo assume a forma de um MHS: y( x, t)= A( x)senωt 9.49

25 206 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Figura 9.18: Superposição de duas ondas harmônicas diferindo apenas no sentido da propagação. A onda resultante é dita estacionária. Assim, no caso de uma corda de um instrumento musical, cada um dos seus pontos executará um movimento harmônico simples com uma amplitude que depende do ponto ao longo dela: Ax ( ) = 2Asen kx 9.50 Analisando a solução 9.48, percebemos que teremos a formação de pontos, na corda, nos quais a amplitude resultante se anula (pontos ditos nós). Formam-se pontos fixos na corda, que não se movimentam. As posições desses pontos ocorrem para valores ao longo do eixo x de tal sorte que eles são denumeráveis, isto é, podem ser indexados por um número inteiro. Tais pontos (os nós) designados por x n são tais que: senkx n = Funções trigonométricas

26 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo ou seja, os nós correspondem aos zeros da função seno. Os valores associados aos nós são expressos, genericamente, pela condição: 2π kxm = xm = mπ m = 123,,, λ 9.52 Se a corda tem comprimento L, então, a condição 9.51 implica uma restrição em relação aos possíveis comprimentos de onda das ondas estacionárias produzidas por ela, isto é, fazendo x m = L em 9.52, concluímos que só as ondas cujo comprimento de onda seja dado por: λ m 2L = m = 123,,, m 9.53 se propagam pela corda. Os pontos de amplitudes máximas (denominados antinós) são aqueles para os quais: sen kx m = Tais valores implicam a seguinte condição: kx n 2π 2n + 1 = xn = π n = 0123,,,, λ Donde inferimos que os antinós podem ocorrer para valores dados por: Figura 9.19: Ilustração de nós e sua localização e antinós das cordas. x = 1 λ ; 3 λ ; 5 λ ; ( 2n+ 1) λ Sons dos instrumentos musicais A seguir, consideraremos os possíveis sons produzidos por uma corda de um violão, um piano ou qualquer outro instrumento de corda. Primeiramente, lembramos que existem três parâmetros relevantes no entendimento dos sons produzidos quando colocamos uma corda para vibrar: o comprimento da corda (L), sua

27 208 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 densidade linear (μ) e a tensão (T) à qual a corda está sujeita. A velocidade com que uma onda se propaga numa corda depende da tensão aplicada a ela (a qual provoca uma ligeira deformação da mesma) e da sua densidade linear. Escrevemos a velocidade em termos desses parâmetros como: v T = µ, 9.57 Assim, de acordo com 9.46, as frequências dos sons emitidos por uma corda são dadas por: f T = 1 λ µ 9.58 Figura 9.20: Amplitudes, ponto a ponto, associadas a uma onda estacionária numa corda. No entanto, tendo em vista a restrição em relação aos comprimentos de onda, expressa em 9.53, constatamos que uma corda só produz ondas harmônicas quando as frequências são dadas por: O modo correspondente à menor frequência, dita fundamental, é aquele em que os nós estão separados pelo comprimento da corda. Nesse caso, o comprimento de onda é o máximo possível. De 9.59 segue-se que a frequência fundamental é dada por: f m 1 T T = = m m 1 λ µ 2 L µ 9.59 f 1 1 = 2L T µ 9.60 Além disso, as demais frequências são múltiplos inteiros da frequência fundamental: f mf m = Figura 9.21: Modos de oscilação associados a diferentes frequências. A corda vista em 4 diferentes instantes de tempo diferindo por T/8. A primeira ilustração corresponde ao modo fundamental. Temos assim vários modos de oscilação, diferindo entre si pela frequência (Figura 9.21). 9 Funções trigonométricas

28 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Corrente alternada Uma corrente percorrendo um circuito é denominada corrente alternada, quando ela depende do tempo de acordo com uma função seno ou cosseno. Assim, a expressão geral para tal corrente é: Figura 9.22: Corrente em função do tempo. ( ) It () = I0 sen ωt+ δ 9.62 Assim, os elétrons que se movimentam ao longo de um circuito mudam de sentido periodicamente. Cada elétron da corrente executa um movimento de vai e vem (um movimento periódico). O período do movimento é dado, de acordo com 9.62, pela expressão: ωt = 2π 9.63 e a frequência da corrente alternada (a frequência do movimento periódico dos elétrons) é: f 1 = = T ω 2π 9.64 Saiba mais! A energia elétrica que chega às nossas casas produz correntes elétricas alternadas. A frequência, nesse caso, varia entre 50 e 60 hertz Circuito LC Neste texto iremos analisar circuitos LC. Esses componentes do circuito (capacitores e indutores) podem estar ligados em série ou em paralelo. No caso do circuito LC mais simples, admitimos apenas um indutor caracterizado por uma indutância L e um capacitor de capacidade C. Tal circuito é apresentado na Figura 9.23.

29 210 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Veremos que a corrente resultante, quando o circuito é fechado, é uma corrente alternada da forma a b Figura 9.23: a) Circuito LC. b) Esquema de um circuito de LC forçado. Admitiremos que o circuito seja fechado no instante de tempo t = 0, e que, nesse instante, o capacitor está carregado com uma carga cujo valor é Q 0. Se tal valor for nulo, não haverá corrente no circuito. Ao fecharmos o circuito, a carga elétrica no capacitor se torna dependente do tempo, pois ela fluirá pelo circuito. Isso leva a uma alteração da carga elétrica no capacitor (alteração da carga em cada uma das suas placas). Gera-se assim uma corrente elétrica que percorrerá o circuito. Pode-se mostrar que, depois de fechado o circuito, a carga elétrica do tempo será de acordo com uma função trigonométrica: Q = Q sen ω t + δ 0 0 ( ) 9.65 Para a solução 9.65, a corrente elétrica será, igualmente, dependente do tempo, mas dada por outra função trigonométrica de acordo com a expressão: I = I cos( ω t+ δ)= ω Q cos ω t + δ ( ) 9.66 onde a frequência angular da corrente, ω 0, se relaciona com os parâmetros já mencionados (característicos dos elementos do circuito) de acordo com a expressão: ω 0 = LC Funções trigonométricas