Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

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1 Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Mostre que não é número racional Dica: escreva como um possível quociente de números inteiros e use o Teorema Fundamental da Aritmética Mostremos inicialmente a seguinte proposição: Se um número inteiro a é ímpar, então a é ímpar (I) De fato, como por hipótese a é impar, escrevemos a da seguinte forma a = n+, onde n é um número inteiro Assim, a = (n+ ) = n + n+ = (n + n) + Como n + n = k, onde k é um inteiro, segue que a = k+ e, assim, a é impar Dessa forma, a contrapositiva de (I) é verdadeira, isto é, Se a é par, então a é par (II) Suponhamos, por absurdo, que eista uma fração irredutível a b, tal que a = Dessa forma, b a = b Segue daí que a = b, isto é, a é par Assim, de (II), obtemos que a é par, ou seja, a é da forma a = p, onde p é um número inteiro Substituindo a = p em a = b, obtemos que p = b Logo, b = p, isto é, b é par e, portanto, de (II) temos que b é par Dessa forma, a e b são número pares e a fração a b não é irredutível Obtemos assim, uma contradição Eercício : O conjunto C = { ;( + ) < ou < } é limitado Encontre possíveis valores de M que satisfaçam a definição anterior Não é possível a solução deste eercício com o conteúdo dado até o ponto onde foi proposto A condição ( + ) < implica que < + < ou, ainda < < A condição < implica que < < Combinando as duas condições temos que C = (, ) (, ) Logo, M = é o limitante procurado para C Eercício : Determine o inverso do compleo não-nulo z = a + bi Solução : Queremos um número compleo w = + i que verifica a equação zw = Esta equação é equivalente a a b + ( a + b ) i = Da igualdade de números compleos devemos ter a b = b + a = 0

2 a b Observe que o sistema linear acima tem solução pois o determinante = a + b não é nulo, pois b a z = a + bi não é nulo Resolvendo o sistema pela regra de Crammer temos = a Logo, o inverso multiplicativo de z = a + bi é a Solução : Observando que se z = a + bi então a z + b é inverso multiplicativo de z b e = + b a + b a b w = a + b a + b i zz = a + b concluímos que z z = Logo, a b + Eercício Calcule i i + i + i i i = i = ( 7 i ) i = + i + i + i + 5i 6 6 = i Eercício 5: Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, epresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica a) 5 + > 6 b) < 0 c) 5< + d) 5 < e) f) > 9 + g) 0 h) i) < 7 + j) > 7 Utilizaremos as propriedades das inequações para isolar a incógnita a) 5 + > 6 > 8 > Logo, S = { > } = (, + ) b) 0 < < < Logo, S = { < } = (, ) c) < + < 5+ < 5+ < 6 < Logo,

3 6 6 S = { < } = (, ) d) 5 < < 6 > Logo, S = { < } = (,] e) A fim de eliminar o denominador, queremos multiplicar a inequação por O resultado dependerá do sinal de Temos duas possibilidades: i Se > 0, temos Neste caso, obtemos o conjunto de soluções dado pela condição ii Se < 0, temos O conjunto de soluções obtido neste caso é dado pela condição > Reunindo as soluções obtidas nos dois casos temos o conjunto das soluções da inequação: S = { ou > } = (, ] (, + ) f) Aqui utilizaremos a seguinte propriedade da raiz quadrada: Para números reais positivos a e b quaisquer vale a < b a < b Assim, > 9 > Lembrando que =, a inequação dada é equivalente a > Assim, o conjunto das soluções é dado por S = { < ou > } = (, ) (, + ) g) Completando o quadrado do lado esquerdo da inequação temos Utilizando as propriedades dos módulos a última inequação é equivalente a + Logo, S = { } = [, ] 7 h) Primeiramente observamos que 7= 0 = e = 0 = Levando em conta os sinais dos dois denominadores vamos procurar soluções em cada um dos seguintes intervalos,, 7, e 7, + i Se <, então 7< 0 e > 0 Neste caso, temos

4 ( 7) 7 8 Portanto, neste caso, não temos solução ii Se < < 7, então 7< 0 e < 0 Daí, temos ( 7) 7 8 As soluções encontradas neste caso estão no intervalo, iii Se 7 >, então 7> 0 e < 0 Assim, temos ( 7) As soluções deste caso estão no intervalo, + Reunindo as soluções encontradas em cada caso temos o conjunto solução da inequação dada por 7 7 S = { < ou > } = (, ] (, + ) i) Os sinais dos denominadores são dados pelas igualdades = 0 = e + = 0 = Assim, vamos procurar soluções em cada um dos intervalos (, ), (,) e (, + ) i Se (, ), então > 0 e + < 0 Neste caso + < ( + )( + ) > ( ) + + > > > 0 + > A última inequação é verdadeira para qualquer número real Portanto, as soluções desse caso estão no intervalo (, ) ii Se (,), então > 0 e + > 0 Neste caso, temos + < ( + )( + ) < ( ) + + < < < 0 + < A última inequação não tem solução Portanto, não temos solução neste caso iii Se (, + ), então < 0 e + > 0 Neste caso, temos + < ( + )( + ) > ( ) + + > > > 0 + > A última inequação é verdadeira para qualquer número real Portanto, as soluções deste caso consistem do intervalo (, + )

5 Reunindo as soluções encontradas em cada caso temos o conjunto solução da inequação dado por S = (, ) (, + ) j) > 7 > > > Se > 0 temos > > > As soluções encontradas neste caso são dadas pela condição > 0 Se < 0 temos > < < As soluções deste caso são dadas pela condição < Portanto, o conjunto das soluções da inequação dada é S = (, ) (0, + ) Eercício 6 Em cada um dos itens a seguir, resolva a equação em a) = b) 5 = c) = 5 d) 5 = e) = 5 a) = = ou = Assim, = = 5 ou = = Logo, S = {, 5} b) Se 0, temos Se < 0, temos 5 = 6 = = 5 = = = Logo, S = {, } c) = 5 = 5 ou = ( 5 ) Assim, ou 5 Logo, S = {, } 6 5 = 5 6 = 5 = 6 = ( 5 ) = + 5 = = d) 5 = + 7 5= + 7 ou 5 = ( + 7) Assim, 5= + 7 = = 6 ou 5 = ( + 7) 5= 7 = = Logo, S = { 6, }

6 + + + e) = 5 = 5 ou = 5 Assim, + = 5 + = 5( ) + = 5 0 = = ou + = 5 + = 5( ) + = = 8 = Logo, S = {, } Eercício 7 Em cada desigualdade, encontre o conjunto solução, epresse-o com a notação de intervalos e represente-o na reta numérica a) 5 < b) + 5 > c) + d) 9 7 e) f) g) h) i) + 5 a) 5 < < 5< < < 6 < < Logo, S = (,) b) + 5 > + 5< ou + 5> Assim, + 5> > > Logo, 7 + 5< < 7 < ou 7 S = (, ) (, + ) c) Se, temos + Portanto, nesse caso não temos solução Se <, temos ( ) Logo, S =, 5 5 d) Elevando ao quadrado ambos os membros da inequação, lembrando que 0 e, segue que, ( ) + 0 Logo, e) ( + ) + 0 Logo, S =, =, 9 S =, 5

7 f) + + Assim, ( ), , +, , , ou Logo, S =,, + 6 g) h) i) ,,, Logo, S =,, 5 5, e 7 + 0, e 7 0, e ou e Logo 7 S =,, [, + ) , + 5 Logo, 6 6 6,, ou S =,, + 6 Eercício 8 Use a desigualdade triangular para mostrar que as desigualdades se verificam sob as condições dadas a) < e b) + < e c) < e <, então + <, então + <, então 7 < 6 7 < < 6 a) Como = ( ) ( ) + e por hipótese b) segue que 7 < + = 6 < e <,

8 c) Como = ( + ) ( + ) e por hipótese segue que 7 + < + = 6 d) Como + = ( + ) ( ) + + e por hipótese segue que 7 + < + = 6 + < e < e + <, + <, Eercício 9 Epresse as desigualdades a > b + c e a > b c em uma única desigualdade equivalente Como a > b+ c e a > b c, segue que a b > c e a b > c e também que a > b Assim, temos que a b > c e c > ( a b) Logo, ( a b) < c < a b, ou ainda, c < a b, pois a > b Eercício 0: Represente no plano cartesiano o conjunto de pontos dados por: a) X = {(, ) ; = 0} ; b) X = {(, ) ; + = 0} ; c) X = {(, ) ; + = } c) X = {(, ) ; > } 0 0 a) b)

9 0 0 c) d) Eercício Represente no plano compleo os números compleos z tais que: a) z = ; b) z i = Eio imaginário Eio imaginário + i 0 Eio real 0 Eio real a) b) Eercício Uma certa companhia de energia elétrica cobra uma taa mínima de R$0,00 para quem consome até 50 KW/h e R$0,50 por KW/h para quem consome mais de 50KW/h Determine algebricamente a função que relaciona o consumo e o valor da conta de luz Sendo o consumo em KW/h, o valor da conta de luz é dado pela função 0, se 0 < 50 f( ) = 0,5, se > 50 Eercício Considere a seguinte tabela de valores que relaciona duas variáveis reais e :

10 Determine duas funções = f( ), com no intervalo [0,6], que incluam as associações da tabela acima Por eemplo: f ( ) =, se {0,,,,,5,6} f( ) =, se {0,,,,, 5,6} Eercício A área de um quadrado depende do comprimento do seu lado, isto é, a cada valor do lado de um quadrado corresponde um único valor da área deste Encontre a função que determina isto Considere a função A : tal que Al () = l, onde a l é o lado do quadrado Eercício 5 Hipoteticamente, um menino, desejando aumentar sua coleção de selos, foi a uma grande empresa à procura de selos e obteve a seguinte proposta: Você poderá realizar tarefas nesta firma Ao término da primeira tarefa eu lhe dou dois selos, e a cada tarefa seguinte concluída eu dou o dobro de selos da tarefa anterior Caso você aceite a proposta, ganhará de imediato um selo Supondo que o menino tenha aceitado a proposta, quantos selos ele recebeu após a eecução da quinta tarefa? Para facilitar a resposta, faça uma tabela Nesta situação, temos uma função? Por quê? Escreva a regra que representa esta situação A empresa sempre conseguirá cumprir a proposta? nº de tarefas 0 5 nº de selos recebidos na eecução da n-ésima tarefa 8 6 nº total de selos A função f que representa quantidade de selos recebidos após a eecução de cada tarefa é f : tal que f( ) =, onde é o número da tarefa Assim, após a eecução da 5ª tarefa o menino receberá selos A empresa não conseguirá cumprir sempre a proposta pois f cresce eponencialmente Eercício 6 Dada a função f( ) =, encontre: a) Dom f ; b) Im f ; c) f ()

11 a) Dom f = { ; } = [, ) ; b) Im f = { ; 0} = [0, + ) ; c) f () = = Eercício 7 Dada a função f( ) =, encontre: a) Dom f ; b) Im f ; c) f () a) Dom f = { ; } = {} ; b) Im f = { ; 0} = {0} ; c) f () = = Eercício 8 Verifique se as funções f( ) = + e g ( ) = são iguais O domínio da função g é o conjunto dos número reais, mas o domínio da função f é o conjunto { } Assim, por definição, as funções f e g são distintas Eercício 9 Verifique se as funções f : +, f( ) = e g : +, g ( ) = são iguais Como o domínio de ambas as funções são iguais e neste domínio elas possuem as mesmas imagens em cada ponto, temos que f e g são iguais Eercício 0 Sejam p e h definidas, respectivamente, por p( ) = e h ( ) = 5+ Determine as funções p + h, h p, p h Qual é o domínio e a epressão algébrica que define a função p p? p + h ( ) = p( ) + h( ) = i) ( ) h p ( ) = h( ) p( ) = 5 + ii) ( ) iii) ( )( ) = ( ) ( ) = ( )( 5 + ) ph p h

12 = = = = e Dom ( p p) = { ; } p p( ) p ( ) p ( ) iv) ( ) ( )( ) ( ) Eercício Considere as funções função m/ n e seu domínio m ( ) = ( + ) + e n ( ) = ( + )( ) Determine a A função m/ n só eiste quando n ( ) = ( + )( ) for diferente de zero, que ocorre quando e Nesse caso, m m ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) = = = n n( ) ( + )( ) { } ; e m Dom n = e Eercício Considere as funções h ( ) = e k ( ) = Determine as funções h + k, h k, h k e h/ k e seus domínios 0, se 0 i) ( h+ k) ( ) = h( ) + k( ) = =, Dom ( h + k) =, se < 0, se 0 h k ( ) = h( ) k( ) = + =, Dom ( h k) = 0, se < 0, se 0 hk ( ) = h( ) k( ) = =, Dom ( h k) =, se < 0 ii) ( ) iii) ( ) iv) h h ( ), se > 0 ( ) = = = k k( ), se <, 0 h * Dom ( ) = k Eercício Esboce os gráficos das seguintes funções afins: a) f( ) = ; b) g ( ) = + ; c) h ( ) = 5 0 ; d) j ( ) =

13 0 0 a) b) c) d) Eercício É possível desenhar um esboço do gráfico de uma função quadrática qualquer dada por f ( ) = a + b + c, a 0 Para isso, basta saber: o sinal do coeficiente a do termo de segundo grau; encontrar, se possível, os valores reais em que f( ) = 0, que são dados pela epressão b ± b ac b ; obter o vértice da parábola, que é dado por,, no qual = b ac a a a Esboce os seis tipos de gráficos de funções quadráticas possíveis a partir da análise dos sinais de a e de

14 =0 a < 0 b b ac,0 a 0 <0 a > 0 0 <0 a < 0 i ii 0 iii b,0 a b + b ac,0 a b,0 a b b ac,0 a 0 iv =0 a > 0 b + b ac,0 a 0 >0 0 >0 b, a a a > 0 b, a a a < 0 v vi Eercício 5 Nem todas as funções podem ter seu gráfico desenhado Como seria o esboço do 0, racional gráfico da função I ( ) =?, irracional Não é possível esboçar o gráfico de I

15 Eercício 6 O gráfico da função f ( ) = apresenta simetria central em relação ao ponto ( aa, ), a? Sim Observe que um ponto P no gráfico de f é da forma Pb (, b ) Se um ponto P'(, ) é o simétrico de P em relação ao ponto Q( aa,, ) então ele deve ser tal que P, Q e P ' pertencem à mesma reta e a distância de P a Q, deve ser o igual à distância de Q a P ' Como por dois pontos passa uma única reta, temos que a reta que passa por P e Q é a reta = Assim, P ' é tal que = e ( a) + ( a) = ( a) + ( a) = ( a) = ( b a), ou seja, a =± ( b a), logo = b ou = a b Portanto, o ponto procurado é P' = ( a b, a b) que é o simétrico de P, é um ponto no gráfico de f Eercício 7 Dado P (, ) um ponto do plano cartesiano: a) Quais as coordenadas do simétrico P ' do ponto P em relação à reta de equação = 0? E em relação à reta = a? b) Quais as coordenadas do simétrico P ' de P em relação ao ponto O (0,0)? E em relação ao ponto Q( ab, )? a) Dado o ponto P (,, ) temos P'(, ) O ponto simétrico de P (, ) em relação à reta = a é o ponto P ( a, ) a b) Dado o ponto P (,, ) temos P'(, ) O ponto simétrico de P (, ) em relação ao ponto Q( ab, ) é o ponto P ( a, b ) Q Eercício 8 Mostre que o gráfico de uma função f apresenta simetria aial em relação à reta de equação = a se, e somente se, f ( a ) = f( a + ) para todo do domínio Se f apresenta simetria aial em relação à reta = a então, caso ( a +, ) esteja no gráfico de f temos que ( a, ) (conforme eercício 7 a) também está no gráfico de f Assim, f ( a ) = f( a + ) Reciprocamente, se f ( a ) = f( a + ) para todo do domínio de f, então ( a +, ) e ( a, ) estão no gráfico de f e, assim, o gráfico apresenta simetria aial em relação à reta = a Eercício 9 Qual é o período da função f do Eemplo? A função do eemplo é dada por pois, f( + ) = f( ),, n < n +, n f( ) = O período é, 0, n + < n +, n

16 Eercício 0 Verifique se as seguintes funções são periódicas: n a) f ( ) = ; b) f( ) = 5; c) f( ) = ( ), se [ n, n+ ), n a) f ( + p) = + p = f( ) para todo qualquer p 0 Assim a função não é periódica b) f ( + p) = 5 = f( ) para todo p 0 Assim podemos dizer que a função f( ) = 5 é periódica de qualquer período c) A função é periódica de período Eercício Mostre que o gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eio O e que o gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação ao ponto (0,0) Se f é uma função par, então f( ) = f( ), Logo, se(, f( )) é um ponto do gráfico de f, então o seu simétrico em relação ao eio O é o ponto (, f( )), que também pertence ao gráfico de f Se, por outro lado, f é uma função ímpar, então f( ) = f( ), Logo, se (, f( )) é um ponto do gráfico de f, então o seu simétrico em relação ao ponto (0,0) é o ponto (, f( )) que também pertence ao gráfico de f Eercício Verifique se as funções definidas a seguir são pares, ímpares ou nenhuma delas a) c) f( ) = b) 7 f ( ) = d) f ( ) = + 5 f( ) = + + a) f ( ) = 5( ) + ( ) + = = f( ) Portanto, f é uma função par b) f ( ) = 0 = f () Portanto, f não é uma função par f ( ) = 0 = f () Portanto, f também não é uma função ímpar c) f ( ) = ( ) ( ) = + = ( ) = f( ) Portanto f é uma função ímpar d) f ( ) = 5 = f () Portanto f não é uma função par f ( ) = 5 = f () Portanto f também não é uma função ímpar Eercício Mostre que toda função pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar

17 Se f é uma função cujo domínio é simétrico em relação à origem, então a função g dada f ( ) + f( ) f ( ) f( ) g ( ) = é par enquanto que a função h dada por h ( ) = é ímpar Além disso, temos que f g + h Eercício Eiste alguma função que é par e ímpar simultaneamente? Sim, a função constante nula, ou seja, f( ) = 0, De fato, f ( ) = 0 = f( ) e f ( ) = 0 = f( ), Eercício 5 Como você esboçaria o gráfico da função F ( ) = + + por meio de deslocamento do gráfico de f, sendo f ( ) =? Basta transladar o gráfico da função f uma unidade para a esquerda e, em seguida, uma unidade para cima, ou ainda, uma unidade para cima e, em seguida, uma unidade para a esquerda Eercício 6 Mostre que se o gráfico da função f possui simetria aial em relação à reta = a, então a função g definida por g ( ) = f( + a) é par Conforme o Eercício 8, o gráfico de uma função f apresenta simetria aial em relação à reta de equação = a se, e somente se, f ( a ) = f( a + ) Assim temos g( ) = f( + a) = f( a + ) = g( ) Logo, g é uma função par Eercício 7 Mostre que se o gráfico da função f possui simetria central em relação ao ponto Pab, (, ) então a função g definida por g ( ) = f( + a) bé ímpar Solução : Se o gráfico da função f possui simetria central em relação ao ponto Pab, (, ) então para cada ponto X = (, f( )) do gráfico de f, eiste um ponto Y = (, f( )) no gráfico de f tal que o ponto Pab (, ) é o ponto médio do segmento XY Usando a fórmula do ponto médio temos + f ( ) + f( ) a = e b = Isolando na primeira equação e substituindo na segunda equação, obtemos f ( a ) = b f( ) Trocando por a na última equação, temos f( a ( a )) = b f( a ), então f( a + ) b = b f( a ) Segue dessa última equação que g ( ) = f( a+ ) b= b f( a ) = g( ), e assim, por definição g é impar Solução : Por hipótese = f( ) e b = f( a ) Daí, b f( ) = f( a ) Assim, f ( ) = b f( a ) Como g ( ) = f( + a) b= b f( a ( + a)) = b f( a ) = = [ f ( + a) b] = g( ), temos por definição que g é uma função par

18 Eercício 8 Esboce o gráfico de cada uma das funções f definidas a seguir e esboce, no mesmo sistema de eios, os gráficos das seguintes translações: f( + ), f( ) +, f( ), f( ) e f( + ) : a) f ( ) = ; b) f ( ) = ; c) f ( ) = ; d) f( ) = f( + ) f( + ) f( ) f( + ) f( + ) f( ) 6 5 f( ) + f( ) f( ) 0 f( ) + f( ) f( ) 0 a) b) f( ) + f( ) f( ) f( + ) f( ) + f( ) f( ) 0 0 f( + ) f( + ) f( ) f( + ) f( ) c) d) Eercício 9 Seja f uma função limitada Responda as perguntas a seguir, justificando sua resposta a) A função g ( ) = af( ) é limitada para todo a real? b) A função g ( ) = f( + m) é limitada para todo m real? c) A função g ( ) = fb ( ) é limitada para todo b real? Como por hipótese a função f é uma função limitada, então eiste M > 0 tal que para todo Dom f, f ( ) M

19 a) Temos que g ( ) = af( ) = a f( ) am, Domg Como am> 0, temos que g é limitada b) Temos que g ( ) = f( + m) M, Domg Assim, temos que g é limitada c) Temos que g ( ) = fb ( ) M, Domg Assim, temos que g é limitada Eercício 0 Sejam f e g funções limitadas Responda as perguntas a seguir, justificando sua resposta a) A função f + g é limitada? b) A função f g é limitada? Como por hipótese f e g são funções limitadas, então eistem M > 0 e N > 0 tais que f ( ) M, Dom f e g ( ) N, Domg a) Sim, pois segue da desigualdade triangular que ( f + g)( ) = f( ) + g( ) f( ) + g( ) M + N, Dom f Dom g b) Sim, pois ( f g)( ) = f( ) g( ) = f( ) g( ) M N, Dom f Dom g Eercício : Verifique se as funções a seguir são monótonas, classificando-as em crescente, decrescente, não-decrescente e não-crescente Caso a função não seja monótona, encontre, caso eista(m), intervalo(s) do seu domínio, de modo a se obter função(ões) monótona(s) a) f( ) = Dom f = Sejam, Dom f tais que < Logo, f( ) = < = f( ) Assim, por definição, concluímos que f é crescente em b) f( ) = Dom f = Sejam, Dom f tais que < Logo, f( ) = > = f( ) Assim, por definição, concluímos que f é decrescente em c) f ( ) = Dom f = Sejam, Dom f tais que < Se, +, temos que < < Neste caso, f ( ) = > = f( ) e, portanto, f é decrescente em + Se,, temos que < > Neste caso, f ( ) = < = f( ) e, portanto, f é crescente em Como f é crescente em e decrescente em +, f não é monótona em d) f ( ) = 5 Dom f = Sejam, Dom f tais que < 5 5 Logo, f ( ) = < = f( ) Assim, por definição, concluímos que f é crescente em e) f ( ) =

20 Dom f = + Sejam, + tais que < Logo, f( ) = < = f( ) Assim, por definição, concluímos que f é crescente em +, < 0 f) f( ) =, 0 Dom f = Como f( ) =, f( ) = e f () =, temos que f( ) > f( ) e f ( ) < f () Logo f não é monótona em * Sejam, tais que < Logo > Assim temos que f ( ) = f( ) > = e, portanto, f é decrescente em * Sejam, + tais que < Temos que f( ) = = f( ) e, portanto, f é não-crescente e não-decrescente em + Eercício : Verifique se as funções são bijetoras, justificando sua resposta a) f ( ) = Dom f = Mostremos inicialmente que f é injetora De fato, sejam,, tais que Logo, f ( ) = = f( ), e assim, por definição, temos que f é injetora Verifiquemos se f é sobrejetora Dado, se tomarmos = teremos f ( ) = f ( ) = ( ) =, e portanto, por definição f é sobrejetora Assim f é injetora e sobrejetora, logo bijetora b) f( ) = Dom f = Mostremos inicialmente que f é injetora De fato, sejam,, tais que Logo, f( ) = = f( ), e assim, por definição, temos que f é injetora Verifiquemos se f é sobrejetora + Dado, se tomarmos = teremos f ( ) f + + = = = + = portanto, f é sobrejetora Assim f é injetora e sobrejetora, logo bijetora e, c) f ( ) = Dom f = Afirmamos que a função não é injetora De fato, se tomarmos, por eemplo, = e =, teremos f( ) = f( ) = e Desta forma, f não é injetora e, portanto, não é bijetora Observe que f também não é sobrejetora, pois dado, por eemplo, =, não eiste tal que = d) f ( ) =

21 Dom f = A função f não é bijetora, pois não é injetora, uma vez que eistem,, tais que f( ) = f( ) Basta tomar, por eemplo, = e = Observe que f também não é sobrejetora, pois dado, por eemplo, =, não eiste tal que = Eercício : Nos itens a seguir, encontre f a) f( ) = + 5 e g ( ) = Dom f = e Dom g = {} 5 9 ( f g) ( ) = f ( g( ) ) = g( ) + 5= + 5= Dom f g = { Dom g; g( ) Dom f } = Dom g = {} ( ) ( ) f f ( ) = f f( ) = f( ) + 5= = + 0 Dom f f = ( g f )( ) g( f( ) ) g, f f, g f e g g e seus respectivos domínios = = = = f( ) ( + 5) + Dom g f = { Dom f ; f ( ) Dom g} = { ; + 5 {}} = { } ( g g) ( ) = g( g( ) ) = = = g ( ) + 5 Dom g g = { Dom g; g( ) Dom g} = { {}; {}} 5 = {, } Eercício : Encontre funções f e g distintas da função identidade, tal que = ( f g)( ) a) = Se considerarmos f :, f( ) = e g :, g( ) = teremos: ( ) ( ) f g ( ) = f g( ) = g( ) = b) = Se considerarmos f :, f( ) = e g :, g ( ) = teremos: ( ) ( ) f g ( ) = f g( ) = g( ) = c) = + Se considerarmos f :, f( ) = e g :, g( ) = teremos: +

22 + ( f g) ( ) = f( g ( )) = g ( ) = d) = 9 Se considerarmos f : +, f( ) = e g :, g ( ) = 9, teremos: f g( ) = f g ( ) = g ( ) = 9 ( ) ( ) As funções eibidas em cada um dos itens acima não são únicas Encontre outras Eercício 5: Sejam f e g duas funções Mostre que: a) se f e g são pares, então f g é par Se f e g são pares, então por definição, f ( ) = f( ), Dom f e g( ) = g( ), Dom g Assim, ( f g) ( ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = ( f g) ( ), Dom f g Portanto f g é par b) se f e g são ímpares então f g é ímpar Se f e g são ímpares, então por definição, f ( ) = f( ), Dom f e g( ) = g( ), Dom g Assim, ( f g) ( ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = ( f g) ( ), Dom f g Portanto f g é ímpar c) se f é par e g é ímpar, então f g e g f são pares Se f é par então f( ) = f( ), Dom f Se g é ímpar g( ) = g( ), Dom g Assim ( f g) ( ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = ( f g) ( ), Dom f g Portanto f g é par E também temos ( g f )( ) = g( f( ) ) = g( f( ) ) = ( g f )( ), Dom g f Portanto g f é par Eercício 6: Dadas as funções f, definidas a seguir, determine a) f( ) = A função é bijetora e, portanto, admite inversa + Fazendo =, teremos = + Portanto, f ( ) = f, caso eista b) f ( ) = para 0 A função é monótona decrescente em, logo admite inversa

23 Fazendo =, teremos = ; 0 Portanto, f ( ) = ; 0, pois Dom f = Im f c) f( ) =, para 0 Im f = [, + ) f é monótona crescente em + e, portanto, admite inversa = = + = + ; Assim, f ( ) = +, com, pois Dom f = Im f d) f ( ) =, para 0 Im f = [0,] f é monótona decrescente em [0,] e, portanto, admite inversa = = = = Logo, f ( ) = ; 0, pois Dom f = Im f e) f( ) = para > 0 A função f é monótona decrescente em * +, logo admite inversa = ; 0 = > Portanto, f ( ) = ; > 0, pois Dom f = Im f f) f( ) = +, para Como f( ) = + + = ( + + ) = ( + ), temos que f é monótona decrescente em (, ] e Im( f ) = [, + ) Portanto, f admite inversa = ( + ) ( + ) = + + = +, como, segue que = + Portanto, f ( ) = +, com, pois Domf = Im f Eercício 7: Esboce num mesmo sistema de coordenadas os gráficos das funções 5 n ( ) = m ( ) = e

24 Graf n Graf m Eercício 8: Determine os zeros das seguintes funções: a) p( ) = + p ( ) = ( + ) = ( )( ) p ( ) = 0 = 0 ou = ou = ou = Portanto, os zeros da função são,0, e b) p ( ) = + p ( ) = ( )( ) = ( )( )( + ) p ( ) = 0 = ou = + ou = Portanto, os zeros da função são, + e Eercício 9: Seja p() um polinômio Prove que a é raiz de p() se, e somente se, p( ) = ( a) q( ), para algum polinômio q() Sabemos que: a é raiz de p() pa ( ) = 0 Mas, pelo teorema do resto, " p( ) = ( a) q( ) + r" Como a é raiz de p( ), temos que p(a) é o resto da divisão de p() por ( a) Concluímos assim que: a é raiz de p() r = 0 Ou seja, a é raíz de p() p() é divisível por ( a) O que equivale a dizer que a é raíz de p() p( ) = ( a) q( ), para algum polinômio q() Eercício 50: Determine o domínio das seguintes funções: a) f( ) = + Dom f =, pois + 0, b) f( ) = + Devemos ter + 0, ou seja, Portanto, Dom f = { }

25 ( )( + ) c) f( ) = ( + )( ) Devemos ter ( + )( ) 0, ou seja, e Portanto, Dom f = {,} ( )( + ) d) f( ) = ( + )( ) Devemos ter ( + )( ) 0, ou seja, 0 e e Portanto, Dom f = {0,, } Eercício 5: Use um sistema de computação algébrica para esboçar o gráfico das funções racionais do eercício anterior a) b) c)

26 d) Eercício 5: a) Em uma circunferência unitária, construa o ângulo de radiano Processo construtivo Coloque de uma maneira aproimada o comprimento do raio sobre a circunferência b) Construa o ângulo de radiano em circunferências de raios distintos O que você pode concluir com esse eercício? O arco de comprimento igual a radiano determina sempre a mesma variação angular, independendo do tamanho do raio da circunferência Eercício 5: Sejam X o ponto em S correspondente ao número real t e Y o ponto em S correspondente a t + k, para todo k inteiro Qual a relação entre X e Y? Em S, temos que o comprimento da circunferência é Logo, os pontos X e Y são iguais

27 Eercício 5: Utilizando as propriedades anteriores, complete a tabela: t 0 cost sent 6 a) t = 0 Neste caso, temos em S, P (0) = (,0) Logo cos0 = e sen 0 = 0 b) t = 6 Pelo eemplo 57 temos cos = e sen = 6 6 c) t = Neste caso, temos em S, Pt () = (, ) onde = Logo, sen = cos Pela propriedade (b) temos sen + cos = Assim, sen = sen =± Como para o ângulo temos, seno e cosseno positivos, sen = e cos = d) t = Como sen( a) = sen acosa temos sen = sen = sen cos = = Como cos( a) = cos a sen a temos cos = cos = cos sen = = = e) t = Pela propriedade (f) da página 5, temos sen = sen(0 + ) = cos 0 = Logo cos = f) t = Como sen( a) = sen acosa temos

28 sen = sen cos = = Como cos( a) = cos a sen a temos cos = cos sen = = = g) t = Pela propriedade (e) temos sen = sen + = sen cos + cos sen = + 0 = cos = cos + = cos cos sen sen = 0 = h) t = Pela propriedade (f) temos sen = sen + = cos = 0 Assim, segue da identidade trigonométrica fundamental que cos =± Mas, pela definição, de cosseno, cos = Vamos então completar a tabela t 0 cost sent Eercício 55: Mostre que as funções secante e cossecante são periódicas de período Temos sec( + ) = = = = cos( + ) coscos( ) sen sen( ) cos sen 0 = = sec cos cossec( + ) = = = sen( + ) sen cos( ) + sen( )cos sen + 0 cos = cossec sen = Eercício 56: Verifique se as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são pares ou ímpares As funções tangente e cotangente são ímpares, pois são quocientes de funções onde uma é par e outra é ímpar

29 A função secante é par por ser quociente de funções pares, e a função cossecante é ímpar por ser quociente de uma função par com uma função ímpar tg a ± tgb Eercício 57: Mostre que tg( a ± b) = e tgatgb sen( a ± b) senacosb± senbcosa tg( a ± b) = = cos( a ± b) cosacosb senasenb sen acosb senbcosa ± cosacosb cosacosb tg a ± tgb = = cosacosb sen asenb tgatgb cosacosb cosacosb cotg acotgb cotg( a ± b) = cotgb± cotg a cos( a ± b) cosacosb sen asenb cotg( a ± b) = = sen( a ± b) sen acosb± senbcosa cosacosb sen asenb sen asenb sen asenb cotg acotgb = = sen acosb senbcosa ± cotgb± cotg a sen asenb sen asenb Eercício 58: Utilizando os resultados anteriores, complete a tabela, quando possível: t 0 6 tg t cotg t sect cossect a) t = 0 sen 0 0 tg 0 = = = 0 e cotg 0 não eiste cos0 sec0 = = = e cossec0 não eiste cos0 b) t = 6 sen 6 tg = = = = e 6 cos 6 cotg = = = = 6 tg 6 sec = = = = e 6 cos 6 cossec = = = 6 sen 6

30 c) t = sen tg = = = e cos cotg = = = tg sec = = = = e cos cossec = = = = sen d) t = sen tg = = = e cos cotg = = = tg sec = = = e cos cossec = = = = sen e) t = tg não eiste e sec não eiste e cos 0 cotg = = = 0 sen cossec = = = = sen sen f) t = sen tg = = = cos e cotg = = = tg sec = = = = cos cos e cossec = = = = sen g) t =

31 sen tg = = = e cos cotg = = = tg sec = = = = cos e cossec = = = = sen h) t = sen 0 tg = = = 0 e cos sec = = = e cos cotg não eiste cossec não eiste Completando agora a tabela, obtemos: t 0 tg t 0 6 cotg t / sect cossect / / 0 0 / / / Eercício 59: Calcule, se possível: a) arcsen ; b) arccos ; c) arcsen ; d) arccos a) arcsen = sen = = 6 b) arccos = cos = = 0 c) arcsen = sen = = d) arccos = cos = Neste caso não eiste tal que cos > Eercício 60: Defina: a) arco tangente de ; b) arco cotangente de ; c) arco secante de ; d) arco cossecante de

32 a) Seja T a restrição da função tangente ao intervalo,, sua inversa T é chamada de arco tangente é denotada por arctg ou tg Dessa forma, temos que = arctg, = tg, para, b) Seja Cotg a restrição da função cotangente ao intervalo ( 0, ), sua inversa arco cotangente é denotada por arc cotg ou = = 0, arc cotg, cotg para ( ) Cotg é chamada de cotg Dessa forma, temos que c) Seja Sec a restrição da função secante ao intervalo 0,,, sua inversa de arco secante é denotada por arcsec ou = arcsec, (, ] [, + ) = sec para 0,, Sec é chamada sec Dessa forma, temos que d) Seja Cossec a restrição da função cossecante ao intervalo,0 0,, sua inversa Cossec é chamada de arco cossecante é denotada por arccossec ou cossec Dessa forma, temos que = arccossec, (, ] [, + ) = cossec, para,0 0, Eercício 6: Mostre que arccos = arcsen Sugestão: utilize a identidade cost = sen( t) Temos arccos = cos = Como cos = sen temos sen =, ou seja, arcsen = Portanto arccos = = arcsen Eercício 6: Esboce o gráfico de cada função dada a seguir:

33 a) f() = b) f() = c) f() = 5 d) f() = Eercício 6: Por que é praticamente impossível dobrar ao meio uma folha de papel mais do que 9 vezes? A cada dobra teremos o dobro do número de folhas (Por isso é que se chama dobra!) Começando por uma folha: Na primeira dobra teremos a espessura de folhas Na segunda dobra teremos a espessura de = folhas Na terceira dobre teremos a espessura de 8= folhas 9 Na nona dobra teremos a espessura de 5 = folhas Alguém consegue dobrar um livro de 5 páginas? Eercício 6: Trace um esboço dos gráficos das funções definidas a seguir:

34 a) f() = log b) f() = log ( ) c) f() = log d) f() = log 5( + ) Eercício 65: Mostre que se os números positivos a,a,a,,a n são termos de uma progressão geométrica, então logba,logba,logba,,logba n formam uma progressão aritmética Se a,a,a,,a n são termos de uma progressão geométrica de razão q então: a = aq logba = logbaq = logba + logbq a = aq logba = logbaq = log ba + logbq an = an q logb an = logb an q = logb an + log q Portanto, logba,logba,logba,,logba n é uma progressão aritmética de razão logb q