Licenciatura em Ciências da Computação 2010/2011

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1 Cálculo Licenciatura em Ciências da Computação 2010/2011 Departamento de Matemática e Aplicações (DMA) Universidade do Minho Carla Ferreira caferrei@math.uminho.pt Gab. EC 3.22 Telef: Horário de atendimento: Segunda-feira das 18h30-19h30

2 Programa resumido Capítulo I Capítulo II Capítulo III Capítulo IV Capítulo V Tópicos sobre o corpo dos números reais. Sucessões e séries de números reais. Limite e continuidade de funções reais de variável real. Derivadas e primitivas. Integrais.

3 Bibliografia 1. Cálculo - Notas sobre a disciplina, Ana Jacinta Soares (2006/2007). 2. Cálculo, Volumes I e II, James Stewart, Thomson Learning, Inc. (2006). 3. Calculus, Single and Multivariable, 4 th edition, Hughes-Hallet, Gleason, MacCallum et al, John Wiley & Sons, Inc. (2005). 4. Introduction to real analysis, William F. Trench, Edição livre (2003).

4 Avaliação 1. Avaliação periódica Teste 1 Ponderação de 40% [13 de Abril] Teste 2 Ponderação de 60% [18 de Junho] 2. Avaliação por exame final [12 de Julho] Em ambos os regimes de avaliação será permitido o uso de um formulário elaborado pelo aluno numa folha de formato A4 (frente e verso) no qual não é suposto incluir resoluções de exercícios nem exemplos.

5 Capítulo I - Tópicos sobre a estruturação de R Capítulo de base onde falaremos brevemente das propriedades algébricas dos reais donde resultam regras de manipulação e propriedades topológicas relacionadas com a noção de proximidade que conferem ao conjunto R a estrutura adequada para as noções de limite e continuidade R Propriedades algébricas Propriedades topológicas

6 1. Estrutura algébrica de R O cálculo depende das propriedades dos números reais. Números reais 5 = = = = π = Para 2 e π não existe nenhum padrão evidente.

7 1.1 O corpo ordenado R O conjunto R constitui uma estrutura munida de duas operações, adição (+) e multiplicação ( ) que verificam certas propriedades ou axiomas (associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro, existência de simétrico (na adição) e de inverso (na multiplicação),...) a partir das quais se define também a subtracção adição (-) e a divisão (/) ; uma relação de ordem que permite escrever R na forma R = R + R {0} e tratá-lo, do ponto de vista geométrico, como a habitual recta real. R R + a b 0 c d

8 Propriedades de ordem Dados x, y R, ou x = y ou x < y ou x > y Outras notações usuais: x y para indicar x = y ou x > y x y para indicar x = y ou x < y Para x, y, z R, 1. x < y e y < z = x < z 2. x < y = x + z < y + z 3. x < y e z > 0 = x z < y z 4. x < y e z < 0 = x z > y z 5. 0 < x < y = 1 x > 1 y

9 1.2 Números naturais, inteiros e racionais Em R destacam-se os subconjuntos dos números naturais ou inteiros positivos, N = {1, 2, 3, 4,...} Propriedade indutiva 1 N e n N = n + 1 N inteiros, Z = N {0} { n : n N} = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} racionais, irracionais, Q = { } p q : p, q Z e q 0 R\Q

10 É imediato que N Z Q R Exemplo Os números 3 2, 3, 5, π, π, e, 2e... 3 são números irracionais.

11 Exercício Mostrar que o número x = = 1.32 é um número racional exprimindo-o como o quociente entre dois inteiros.

12 Exercício Mostrar que o número x = = 1.32 é um número racional exprimindo-o como o quociente entre dois inteiros. Exercício Resolva a inequação seguinte e represente graficamente o conjunto solução. 3 x 1 < 2 x.

13 1.3 Conjuntos limitados Supõem-se conhecidos os significados de intervalo, intervalo aberto, intervalo fechado e intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) e ainda intervalo finito e intervalo infinito. Exemplo Para a, b R com a < b são exemplos de intervalos finitos e de intervalos infinitos [a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ ], a[, ], a], ]a, + [, [a, + [.

14 Conjunto limitado inferiormente Dado um conjunto X R, dizemos que X é limitado inferiormente quando a R : x X, x a ou seja, quando a R : X [a, + [ Nestas condições diz-se que a é um minorante de X. Define-se o ínfimo de X, e representa por inf X, como o maior dos minorantes de X. O ínfimo é único. Quando, em particular, inf X X, então designa-se por mínimo de X e representa-se por min X.

15 Conjunto limitado superiormente Dado um conjunto X R, dizemos que X é limitado superiormente quando b R : x X, x b ou seja, quando b R, X ], b] Nestas condições diz-se que b é um majorante de X. Define-se o supremo de X, e representa por sup X, como o menor dos majorantes de X. O supremo é único. Quando, em particular, sup X X, então designa-se por máximo de X e representa-se por max X.

16 Conjunto limitado Um conjunto X R diz-se limitado quando X é, simultaneamamente, limitado inferiormente e limitado superiormente, isto é, quando ou, equivalentemente, quando a, b R, x X, a x b a, b R, X [a, b]

17 Conjunto limitado Um conjunto X R diz-se limitado quando X é, simultaneamamente, limitado inferiormente e limitado superiormente, isto é, quando ou, equivalentemente, quando a, b R, x X, a x b a, b R, X [a, b] Exercício Determine o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, se existirem, o supremo, o ínfimo e o mínimo do conjunto (a) X = { 5, 1} [ 2, 1[ ]3, 4[; (b) Y = [0, 2] Q.

18 1.4 Propriedade de completude de R A principal característica que distingue R de Q é a seguinte: em R, qualquer subconjunto não vazio e limitado superiormente possui supremo em R. Esta propriedade costuma ser enunciada como o axioma do supremo ou da completude de R.

19 1.4 Propriedade de completude de R A principal característica que distingue R de Q é a seguinte: em R, qualquer subconjunto não vazio e limitado superiormente possui supremo em R. Esta propriedade costuma ser enunciada como o axioma do supremo ou da completude de R. Dizemos que R é um corpo ordenado completo e Q é um corpo ordenado não completo.

20 Densidade dos racionais e dos irracionais Q é denso em R, ou seja, se a e b são números reais com a < b, existe um número racional p q tal que a < p q < b. R \ Q é denso em R. Consequência: entre quaisquer dois números reais, existe uma infinidade de números racionais e irracionais.

21 2. Estrutura topológica de R As noções topológicas estão fortemente relacionadas com o conceito de proximidade. Para medir proximidade, precisamos de um distância. Em R definimos esta distância à custa do valor absoluto ou módulo, { x se x 0 x = x se x < 0 Definição alternativa: x = x 2, uma vez que a representa sempre a raíz quadrada não negativa de a 0.

22 Propriedades do valor absoluto Sejam x, y, z R. Então: (a) x 0 e x = 0 sse x = 0; (b) x = x ; (c) x x e x x; (d) x x x ; (e) sendo a 0, tem-se x a sse a x a; (f) sendo a 0, tem-se x a sse x a x a; (g) x y = x y ; (h) x y = x, sempre que y 0; y (i) x + y x + y ; (j) x z x y + y z. [desigualdade triangular]

23 Distância A noção de valor absoluto permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais. Dados x, y R, chama-se distância de x a y ao número d(x, y) definido por d(x, y) = x y

24 Distância A noção de valor absoluto permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais. Dados x, y R, chama-se distância de x a y ao número d(x, y) definido por d(x, y) = x y Usando a noção de distância, podemos exprimir o conceito de intervalo aberto (ou fechado) de centro a e raio r da seguinte forma ]a r, a + r[ = { x R : d(x, a) < r } = { x R : x a < r } [a r, a + r] = { x R : d(x, a) r } = { x R : x a r } Podemos agora introduzir algumas noções de carácter topológico.

25 Exercício Resolva geometricamente a inequação 3x 2 1, interpretando o valor absoluto como uma distância. Exercício Resolva a equação x + 1 = x 3.

26 Conjunto aberto Considere-se o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4}

27 Conjunto aberto Considere-se o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4} Dados um conjunto A R e um ponto x R, dizemos que x é ponto interior de A quando r > 0 : ] x r, x + r [ X Designamos por interior de A e representa-se por int A conjunto constituído pelos pontos interiores a A. Para qualquer conjunto A R, tem-se sempre inta A. Quando, em particular, for int A=A, dizemos que A é um conjunto aberto.

28 Conjunto fechado Considere-se novamente o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4}

29 Conjunto fechado Considere-se novamente o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4} Dados um conjunto A R e um ponto x R, dizemos que x é ponto aderente de A quando r > 0, ] x r, x + r [ A =/. O conjunto dos pontos aderentes a A designa-se por aderência de A ou por fecho de A, e representa-se por A. Para qualquer conjunto A R, tem-se sempre A A. Quando, em particular, for A = A, dizemos que A é um conjunto fechado.

30 Fronteira Considere-se ainda o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4}

31 Fronteira Considere-se ainda o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4} Dados um conjunto A R e um ponto x R, dizemos que x é ponto fronteiro de A quando x A R\A ou, equivalentemente, quando r > 0, ] x r, x + r [ A =/ ] x r, x + r [ R\A =/. O conjunto dos pontos fronteiros de A chama-se fronteira de A e representa-se por fra.

32 Pontos de acumulação Mais uma vez, considere-se o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4}

33 Pontos de acumulação Mais uma vez, considere-se o conjunto X = [0, 3[ \{1} {4} Dados um conjunto A R e um ponto x R, dizemos que x é ponto de acumulação de A quando ( ) r > 0, ] x r, x + r [ \{x} A =/ Em particular, dizemos que x é ponto de acumulação à esquerda de A quando r > 0, ] x r, x [ A =/ e que x é ponto de acumulação à direita de A quando r > 0, ] x, x + r [ A =/ O conjunto dos pontos de acumulação de X designa-se por derivado de X e representa-se por X.

34 Ponto isolado Dizemos que x é um ponto isolado de A quando x A mas x A, ou seja, quando r > 0 : ] x r, x + r [ A = {x}

35 Ponto isolado Dizemos que x é um ponto isolado de A quando x A mas x A, ou seja, quando r > 0 : ] x r, x + r [ A = {x} Observação Os pontos de acumulação de um dado conjunto A são os candidatos ao estudo de limites, quando esse conjunto é o domínio de uma certa função. Os pontos de acumulação de um só lado aparecerão no estudo dos limites ditos laterais. Por outro lado, os pontos isolados de um conjunto não servem para estudar limites.