s Gabarito da 1. a Prova de PMA Fundamentos de Cálculo Prof. Wagner - 3 de maio de a PARTE

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1 1 s Gabarito da 1. a Prova de PMA56 - Fundamentos de Cálculo Prof. Wagner - 3 de maio de a PARTE 1. a Questão: Sejam f : X Y e g : Y Z funções dadas. Mostre que: (a) se a função f é injetora, então a função g f será injetora; (b) se a função g f é injetora, então a função f será injetora e nem sempre vale a recíproca; (c) se as funções f e g sobrejetoras, então a função g f será sobrejetora; (d) se a função g f é sobrejetora, então a função g será sobrejetora e nem sempre vale a recíproca; Resolução: (a) valor 0,5 : Como a função f é injetora, temos que Logo, para x R teremos: f( x) f(x), para x R. (1) (g f)( x) g[f( x)] (1) g[f(x)] (g f)(x), mostrando que a função g f é injetora. (b) valor 0,5 : Suponhamos, por absurdo, que a função f não seja injetora, isto é, existem x 1, x R, como x 1 x, de modo que Como a função g f é injetora, devermos ter Por outro lado, f(x 1 ) f(x ). () (g f)(x 1 ) (g f)(x ). (3) (g f)(x 1 ) g[f(x 1 )] () g[f(x )] (g f)(x ), contrariando (3), o que é um absurdo! Portanto a função f deve ser injetora. (c) valor 0,5 : Dado z o Z, como a função g é sobrejetora, podemos encontrar y o Y, de modo que g(y o ) z o. (4) Por outro lado, como a função f é sobrejetora e y o Y, podemos encontrar x o X de modo que f(z o ) y o. (5)

2 Desta forma teremos (g f)(x o ) g[f(x o )] (5) g(y o ) (4) z o, mostrando que a funções g f é sobrejetora. (d) valor 0,5 : Dado z o Z, como a função g f é sobrejetora, podemos encontrar x o X, de modo que (g f)(x o ) z o, (6) ou seja, g[f(x o )] z o. (7) Logo, considerando-se teremos: y o. f(xo ), (8) g(y o ) (8) g[f(x o )] (7) z o, mostrando que a função g é sobrejetora.. a Questão: Sejam f 1, f : R R duas funções pares e g 1, g : R R duas funções ímpares. Mostre que: (a) a função f 1 + f é função par; (b) a função f 1 g 1 é função ímpar; (c) a função g 1 g é função par; (d) a função f 1 g 1 é função par; (e) toda função h : R R pode ser escrita como soma de uma função para com uma função ímpar (na verdade esse modo é único); Resolução: Como as funções f 1, f são funções pares e as funções g 1, g são ímpares, para x R, teremos: (a) valor 0,5 : Notemos que f 1 ( x) f 1 (x), (9) f ( x) f (x), (10) g 1 ( x) g 1 (x), (11) g ( x) g (x). (1) (f 1 + f )( x) f 1 ( x) + f ( x) (9) e (10) f 1 (x) + f (x) (f 1 + f )(x),

3 3 mostrando que a função f 1 + f é uma função par. (b) valor 0,5 : Notemos que (f 1 g 1 )( x) f 1 ( x) g 1 ( x) (9) e (11) f 1 (x) [ g 1 (x)] (f 1 g 1 )(x), mostrando que a função f 1 g 1 é uma função ímpar. (c) valor 0,5 : Notemos que (g 1 g )( x) g 1 ( x) g ( x) (11) e (1) [ g 1 (x)] [ g (x)] (g 1 g )(x), mostrando que a função g 1 g é uma função par. (d) valor 0,5 : Notemos que (f 1 g 1 )( x) f 1 [g 1 ( x)] (11) f 1 [ g 1 (x)] (9) f 1 [g 1 (x)] (f 1 g 1 )(x), mostrando que a função f 1 g 1 é uma função par. (e) valor 0,5 : Notemos que, para x R, temos f(x) f(x) + f( x) Consideremos as funções F, G : R R, dadas por + f(x) f( x). (13) F(x). f(x) + f( x), (14) f(x) f( x) G(x), para x R. (15) Afirmamos que a função F é uma função par e a função G é uma função ímpar. De fato, para x R, temos F( x) (14) f( x) + f[ ( x)] f( x) + f(x) f(x) + f( x) (14) F(x),

4 4 mostrando que a função F é uma função par e mostrando que a função G é uma função ímpar. Além disso, G( x) (15) f( x) f[ ( x)] f( x) f(x) [f(x) f( x)] f(x) f( x) (15) G(x), f(x) (13) f(x) + f( x) + (14) e (15) F(x) + G(x), f(x) f( x) completando a resolução. 3. a Questão: Dê, de modo preciso, as definições de: (a) supremo de um subconjunto de R (juntamente com as propriedades que este subconjunto deve ter para existir o mesmo); (b) conjunto denso em R; (c) limite de uma sequência de números reais; (d) sequência de Cauchy de números reais; Resolução: (a) valor 0,5 : Seja A R, não vazio e limitado superiormente. Definimos o supremo do conjunto A, indicado por sup(a), como sendo o menor limitante superior do conjunto A, ou seja, sup(a). min{l ; a l, para todo a A}. (b) valor 0,5 : Diremos que um D R é denso em R, se qualquer intervalo aberto de (a, b) R temos D (a, b). (c) valor 0,5 : Dada uma sequência de números reais (a n ) n N, diremos que ela é convergente (em R) para l R, de dado ε > 0, podemos encontrar n o N, de modo que Neste caso denotaremos l por lim n a n, ou seja, (d) valor 0,5 : para n n o, tenhamos a n l < ε. lim a. n l. n

5 5 Diremos que uma sequência de números reais (a n ) n N encontrar n o N, de modo que é uma sequência de Cauchy se dado ε > 0,, podemos para n, m n o, tenhamos a n a m < ε. 4. a Questão: Em cada um dos itens abaixo, dizer se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. ( F ) valor 0,5 uma sequência de números reais é convergente em R se, e somente se, ela for limitada; ( V ) valor 0,5 se a n n 0 e a sequência (bn ) n N é limitada em R, então a n b n n 0; ( V ) valor 0,5 sequência de Cauchy em R é equivalente a ela ser convergente em R; ( F ) valor 0,5 se a sequência de números reais (a n ) n N é convergente para a e a sequência de números reais (b n ) n N satisfaz b n a n, para n N, então a sequência de números reais (b n ) n N é convergente para algum b R e, além disso, b a. 5. a Questão: Dados a, b R, tais mostre que: (a) mostre que exite n o N, tal que.a PARTE a < b, (16) 0 < 1 < b a ; (17) no (b) utilizando o item (a), mostre que o intervalo [ n o a, n o b] tem comprimento maior que 1; (c) utilizando o item (b), mostre que podemos encontrar m o N, de modo que no a < m o < no b. (18) (d) utilizando o item (c), mostre que podemos encontrar um número diádico, isto é, do tipo m o n o, pertencente ao intervalo (a, b). (e) Seja D. { m n ; m Z e n Z+}. (19) Mostre que D é denso em R. Resolução: (a) valor 0,5 : Sabemos que lim n 1 n 0.

6 6 Logo, da definição de limite, dado ε. b a (16) > 0, (0) podemos encontrar n o N, de modo que para n n o, tenhamos 1 n 0 }{{} 1 n < ε (0) b a, ou seja, 0 < 1 n < b a. Em particular, tomando-se n n o, obtemos (17), completando a demonstração do item (a). (b) valor 0,5 : Notemos que, do item (b), temos: 0 < 1 no < b a, multiplicando-se a desigualdade por n o > 0, obteremos: 1 < n o b n o a, ou seja, o intevalo terá comprimento maior que 1, completando a demonstração do item (b). [ n o a, n o b] (1) (c) valor 0,5 : Como o intervalo (1) tem comprimento maior que 1, podemos encontrar m o Z, de modo que m o ( n o a, n o b) ou seja, n o a < m o < n o b, completando a demonstração do item (c). (d) valor 0,5 : Do itens (a), (b) e (c) acima podemos concluir a existência de n o N e m o Z, de modo que no a < m o < no b, dividindo-se a desigualdade por n o > 0, obteremos: a < m o n < b, o m o ou seja, n (a, b), o completando a demonstração do item (d). (e) valor 0,5 : Consideremos (a, b) R um intervalo aberto de R. Do item (d) acima, podemos encontrar n o N e m o Z, de modo que m o n o (a, b), ou seja, o conjunto D, dado por (19), é denso em R, completando a demonstração do item (e). 6. a Questão: Sejam X, Y R dois conjuntos não vazios e limitados superiormente e c > 0. Mostre que:

7 7 (a) o conjunto c X é é limitado superiormente e vale sup(c X) c sup(x) ; () (b) o conjunto X + Y é limitado superiormente e vale sup(x + Y) sup(x) + sup(y). (3) Resolução: (a) valor 1,0 : Lembremos que c X. {c x ; x X}. Como o conjunto X é não vazio, existe x o X. Desta forma c x o c X, mostrando que c X é não vazio. Por outro lado, como X é limitado superiormente, podemos encontrar l R, de modo que x l para todo x X. (4) Multiplicando-se (4) por c > 0, obteremos: c x c l para todo x X. (5) Desta forma se y c X, da definição do conjunto c X, teremos que y c x para algum x X, logo y c x (5) c l, (6) ou seja, c l é um limitante superior do conjunto c X, assim o conjunto c X é limitado superiormente. Logo, de um resultado conhecido, podemos concluir que existe o supremo do conjunto c X, ou seja, sup(c X) R. Notemos também que, como sup(x) é um limitante superior do conjunto X, podemos considerar l. sup(x) em (6), ou seja Por outro lado, notemos que sup(c X) c sup(x). (7) dividindo-se (8) por c > 0, obteremos: x 1 sup(c X), c c x sup(c X), (8) isto é, o número real 1 sup(c X) é um limitante superior do conjunto X logo deveremos ter c multiplicando-se (9) por c > 0, obteremos: c sup(x) sup(c X) sup(x) 1 sup(c X), (9) c que juntamente com (7), mostra a validade da identidade (), completando a demonstração do item (a). (b) valor 1,0 : Lembremos que X + Y. {x + y ; x X e y Y}. Como os conjuntos X, Y são não vazios, existem x o X e y o Y. Desta forma, pela definição do conjunto X + Y, temos que x o + y o X + Y, mostrando que o conjunto X + Y é não vazio.

8 8 Por outro lado, como os conjuntos X, Y são limitados superiormente, podemos encontrar l X, l Y modo que R, de x l X, para todo x X (30) e y l Y para todo x X. (31) Somando-se (30) e (31), obteremos: x + y l X + l Y, para todo x X e y Y, (3) mostrando que o número real l X + l Y é um limitante superior do conjunto X + Y, ou seja, o conjunto X + Y é limitado superiormente. Logo, de um resultado conhecido, podemos concluir que existe o supremo do conjunto X + Y, ou seja, sup(x + Y) R. Notemos também que, podemos sup(x) e sup(y) são limitantes superiores dos conjuntos X e Y, respectivamente, ou seja, podemos considerar l X. sup(x) e ly. sup(y). Em particular, de (3), segue que x + y sup(x) + sup(y), para todo x X e y Y, (33) isto é, o número real sup(x) + sup(y) é um limitante superior do conjunto X + Y. Portanto teremos sup(x + Y) sup(x) + sup(y). (34) Por outro lado, dado ε > 0, da definição de supremo, segue que existem x o X e y o Y, de modo que sup(x) ε < x o, (35) Somando-se (35) e (36), segue que: sup(y) ε < y o. (36) ( sup(x) ε ) ( + sup(y) ε ) < x o + y o, ou seja, sup(x) + sup(y) ε < x o + y o, ou ainda, podemos encontar z o X + Y (na verdade, z o. xo + y o ), de modo que sup(x) + sup(y) ε < z o, mostrando que o número real sup(x) + sup(y) não pode ser limitante superior do conjunto X + Y. Como sup(x + Y) é um limitante superior do conjunto X + Y, segue que sup(x) + sup(y) sup(x + Y), que juntamente com (34), implica na validade da identidade (3), completando a demonstração do item (b). 7. a Questão: (valor 1,5): Sejam X, Y (0, ) dois conjuntos não vazios e limitados superiormente. Mostre que o conjunto X Y é limitado superiormente e vale sup(x Y) sup(x) sup(y). (37) Resolução: Notemos que, do fato que X, Y (0, ) e limitados superiormente, segue que Lembremos que sup(x), sup(y) > 0. (38) X Y. {x y ; x X e y Y}. Como os conjuntos X, Y são não vazios, existem x o X e y o Y.

9 9 Desta forma, pela definição do conjunto X Y, temos que x o y o X + Y, mostrando que o conjunto X Y é não vazio. Por outro lado, como os conjuntos X, Y são limitados superiormente, podemos encontrar l X, l Y R, de modo que 0 x l X, para todo x X (39) e 0 y l Y para todo x X. (40) Multiplicando-se (39) e (40) (são sambos não negativos), obteremos: 0 x y l X l Y, para todo x X e y Y, (41) mostrando que o número real l X l Y é um limitante superior do conjunto X Y, ou seja, o conjunto X Y é limitado superiormente. Em particular, de (41), segue que x y sup(x) sup(y), para todo x X e y Y, (4) isto é, o número real sup(x) sup(y) é um limitante superior do conjunto X Y. Portanto teremos Suponhamos, por absurdo, que sup(x Y) sup(x) sup(y). (43) sup(x Y) < sup(x) sup(y). (44) Dado ε > 0, da definição de supremo, segue que existem x ε X e y ε Y, de modo que sup(x) ε < x ε, (45) sup(y) ε < y ε. (46) Multiplicando-se (45) e (46), temos: [sup(x) ε] [sup(y) ε] < x ε y ε, ou: sup(x) sup(y) ε [sup(x) + sup(y)] + ε < x ε y ε, (47) Por outro lado, para todo x X e y Y, teremos x y sup(x Y) (44) < sup(x) sup(y). Em particular, para cada ε > 0 (com x ε X e y ε Y com em (45) e (46), respectivamente) teremos: Consideremos de (47), teríamos Logo, x ε y ε < sup(x) sup(y). (48) ε. sup(x) + sup(y) (38) > 0 (49) sup(x) sup(y) ε ε + ε < x ε y ε, ou seja, sup(x) sup(y) < x ε y ε. (50) x ε y ε (48) < sup(x) sup(y) (50) < x ε y ε,

10 10 o que é um absurdo! Portanto podemos concluir que sup(x) sup(y) sup(x Y), que juntamente com (43), implica na validade da identidade (37), completando a demonstração. 8. a Questão: Considere a sequência de números reais (a n ) n N, dada por (a) mostre que a sequência (a n ) nn é convergente em R; (b) encontre o valor do limite da sequência (a n ) n N. a 1. (51) e a n. + an 1, para n {, 3, 4, }. (5) (a) valor 1,0 : Para isto mostremos que a sequência numérica (a n ) n N é limitada e monótona. Logo, de um resultado sabemos que ela será convergente em R. 1. Mostremos que a seqüência numérica (a n ) n N é limitada em R Na verdade mostraremos que 0 < a n, para todo n N, (53) o que implicará, em particular, que ela é uma a seqüência numérica limitada. Para isso usaremos indução matemática, isto é, precisaremos mostrar que: 1.1 a propriedade (53) é válida para n 1; 1. se a propriedade (53) for válida para n k 1, ela também será válida para n k. Notemos que vale 1.1, pois 0 < a 1 (51). Mostremos que vale 1.1. De fato, se a propriedade for válida para n k 1, isto é, se teremos mostrando que vale < a k (5) + a k 1 0 < a k 1 (54) (54) e a função rais quadrada é estritamente crescente, + Assim segue da indução matemática, segue que vale (5), ou seja, a seqüência numérica (a n ) n N é limitada em R.. Mostremos que a seqüência numérica (a n ) n N é monótona crescente, ou seja, a n < a n+1, para todo n N. (55) Para isso usaremos, novamnete, indução matemática, isto é, precisaremos mostrar que:

11 11.1 a propriedade (55) é válida para n 1;. se a propriedade (55) for válida para n k 1, ela também será válida para n k. Notemos que vale.1, pois mostrando a validade.1. a 1 (51) a função rais quadrada é estritamente crescente < + a 1 (5) com k1 a, Se a propriedade for válida para n k 1, isto é, se teremos mostrando a validade de.. a k (5) + a k 1 + }{{} (51) a 1 a k 1 < a k, (56) (56) e a função rais quadrada é estritamente crescente < (5) a k+1, + ak Assim segue da indução matemática, segue que vale (5), ou seja, a seqüência numérica (a n ) n N é limitada em R. Logo, de um resultado conhecido, que a seqüência numérica (a n ) n N é convergente. (b) valor 0,5 : Seja Logo, teremos l (57) lim l. lim n a n R. (57) n a n (5) lim + an 1 n propriedades de limites que existem (57) + l, ou seja, l + l, cujas soluções são: l 1 ou l. Notemos que a sequência numérica (a n ) n N é estritamente crescente e 0 < a 1, + lim n a n 1 donde podemos concluir que 0 < l.

12 1 Desta forma deveremos ter ou seja, l, lim a n, n completando a resolução. F I M