Notas do Curso de SMA333 - Cálculo III ou SMA356 - Cálculo IV. Prof. Wagner Vieira Leite Nunes. S~ao Carlos - junho de 2015

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1 Notas do Curso de SMA333 - Cálculo III ou SMA356 - Cálculo IV Prof. Wagner Vieira Leite Nunes S~ao Carlos - junho de 05

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3 Sumário Introdução 7 Sequências Numéricas 9. Denic~oes Operac~oes com sequ^encias Converg^encia de sequ^encias numericas Sequ^encias monotonas Sequ^encias divergentes Subsequ^encias Sequ^encias de Cauchy Exerccios Séries Numéricas Denic~oes Operac~oes com series numericas Converg^encia de series numericas Resultados Gerais Criterios de Converg^encia Converg^encia de Series Alternadas Reagrupamento de Series Numericas Series Absolutamente Convergentes Series Condicionalmente Convergentes Exerccios Sequência de Funções Denic~oes Converg^encia Pontual de Sequ^encias de Func~oes Converg^encia Uniforme de Sequ^encias de Func~oes Sequ^encias de Func~oes de Cauchy Propriedades da converg^encia uniforme Exerccios Séries de Funções Series de Func~oes

4 4 SUM ARIO 5. Converg^encia Pontual de Series de Func~oes Converg^encia Uniforme de Series de Func~oes Exerccios Séries de Potências Denic~oes Converg^encia Pontual de Series de Pot^encias Converg^encia Uniforme de Series de Pot^encias Integrac~ao Series de Pot^encias Derivac~ao de Series de Pot^encias Serie de Taylor e de McLaurin Representac~ao de Func~oes em Series de Pot^encias Serie Binomial Aplicac~ao de series de pot^encias Exerccios Séries de Fourier Introduc~ao Metodo das Separac~ao de Variaveis Os Coecientes de Fourier Interpretac~ao Geometrica dos Coecientes de Fourier Converg^encia Pontual da Serie de Fourier Converg^encia Uniforme da Serie de Fourier Notas Historicas Exerccios Aplicação de Série de Fourier às EDP s O Problema da Conduc~ao do Calor em um Fio O Problema da Corda Vibrante Corda Vibrante com as Extremidades Fixas Corda Vibrante com as Extremidades num Trilho Vertical A Equac~ao de Laplace O Problema de Dirichlet num Ret^angulo O Problema de Dirichlet num Crculo Exerccios Refer^encias

5 Capítulo Introdução Estas notas de aula ser~ao utilizadas para o cursos cuja ementa trata de sequencias e series numericas, sequencias e series de func~oes, em particular, serie de pot^encias e de Fourier. Aplicaremos series de Fourier para a resoluc~ao de alguns problemas relacionados com algumas Equac~oes Diferenciais Parciais, a saber, as Equac~oes do Calor, da Onda e de Laplace, no caso periodico. Ser~ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conteudo acima, bem como propriedades e aplicac~oes dos mesmos. As refer^encias (ver (8.5)) ao nal das notas poder~ao servir como material importante para o conteudo aqui desenvolvido. 5

6 6 CAPITULO. INTRODUC ~AO

7 Capítulo Sequências Numéricas. Definições Comecaremos tratando de: Definição.. Uma sequência de numeros reais (ou complexos) (ou, simplesmente, sequ^encia numerica) e uma aplicac~ao a : N R (ou C) n a(n) isto e, uma lei que associa a cada numero natural n um, unico, numero real (ou complexo) a(n), que indicaremos por a n e denotaremos uma sequ^encia numerica por: (a n ) n N, (a n ), {a n } n N, {a n }. Para cada n N xado, o elemento a n (a n ) n N. O conjunto {a n : n N} sera dito conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N. Exemplo... Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde sera dito termo da sequ^encia numerica. a n, para cada n N. n Logo o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N {,, 3 },. sera: 7

8 8 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde a n. 0, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N sera: {0}. 3. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde (. n π ) a n sen { 0, quando a n for par ( ) n+3, quando n for mpar. Observemos que o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N sera: {, 0, }. 4. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde a n. n, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N sera: {,, 3, 4, }. 5. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde a n. ( ) n, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N sera: {, }. 6. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde a n. n + n, para cada n N. Observemos que o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N {, 3, 43, 54 },. sera: 7. Considere a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N, onde a n. + ( ) n, para cada n N. n Logo, o conjunto dos valores da sequ^encia numerica (a n ) n N {0,, 0,, 0, 3 }, 0,. sera:

9 .. OPERAC ~OES COM SEQU ^ENCIAS 9. Operações com sequências numéricas Como sequ^encias numericas s~ao func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), cujo domnio e N, podemos soma-las, multiplica-las por numeros reais (ou complexos) de maneira semelhante a quando tratamos de quaisquer func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), isto e, Definição.. Dadas as sequ^encias numericas (a n ) n N, (b n ) n N e α R (ou C) de- nimos a sequ^encia numerica soma da sequ^encia numerica (a n ) n N com a sequ^encia numerica (b n ) n N, denotada por (a n ) n N + (b n ) n N, como sendo a seguinte sequ^encia numerica: (a n ) n N + (b n ) n N. (an + b n ) n N, (.) ou seja, a sequ^encia numerica soma, a saber, (a n ) n N + (b n ) n N, e obtida somando-se os correspondentes termos de cada uma das sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N. Denimos a sequ^encia numerica produto do numero real (respectivamente, complexo) α, pela sequ^encia numerica (a n ) n N, indicada por α (a n ) n N, como sendo a seguinte sequ^encia numerica: α (a n ) n N. (α an ) n N, (.) ou seja, a sequ^encia numerica produto, isto e, α (a n ) n N, e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada sequ^encia numerica (a n ) n N pelo numero real (respectivamente, complexo) α. Denimos a sequ^encia produto da sequ^encia numerica (a n ) n N pela sequ^encia numerica (b n ) n N, indicada por (a n ) n N (b n ) n N, como sendo a seguinte sequ^encia numerica: (a n ) n N (b n ) n N. (an b n ) n N, (.3) ou seja, a sequ^encia numerica produto, isto e, (a n ) n N (b n ) n N, e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada uma das sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N. Se b n 0, para todo n N, denimos a sequ^encia numerica quociente da sequ^encia numerica (a n ) n N pela sequ^encia numerica (b n ) n N, indicada por (a n ) n N /(b n ) n N ou como sendo a seguinte sequ^encia numerica: (a n ) n N (b n ) n N, (a n ) n N /(b n ) n N. (an /b n ) n N, (.4)

10 0 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS ou seja, a sequ^encia numerica quociente, isto e, (a n ) n N /(b n ) n N, e obtida dividindo-se os correspondentes termos de cada uma das sequ^encias numericas (a n ) n N (observe que b n 0, para todo n N). e (b n ) n N Com isto temos o seguinte exerccio: Exercício.. Se as sequ^encias numericas (reais) (a n ) n N e (b n ) n N s~aos dadas por:. a n n e b. n ( ) n, para cada n N (.5) e α., encontrar as sequ^encia numericas: (a n ) n N + (b n ) n N, α (a n ) n N, (a n ) n N (b n ) n N e (a n ) n N /(b n ) n N. Resolução: Logo, de (.), segue que ( ) (.5) e (.) (a n ) n N + (b n ) n N n + ( )n ( ) + ( ) n n). n n N n N De (.), temos que: De (.3), segue que (.5) e (.) α (a n ) n N ( ). n n N ( ) n n N ( ) (.5) e (.3) (a n ) n N (b n ) n N n ( )n ( ) ( ) n. n n N n N Finalmente, de (.4), temos que: (.5) e (.4) (a n ) n N /(b n ) n N n ( ) n ( ) ( ) n n n N. n N

11 .. OPERAC ~OES COM SEQU ^ENCIAS Observação.. Como sequ^encias numericas s~ao func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), cujo domnio e N, podemos representar seus gracos em N R (ou em N C, respectivamente). Denotaremos o graco da sequ^encia numerica (real ou complexa) (a n ) n N por G ( (a n ) n N ), e sera denido por: G ( (a n ) n N ). {(n, an ) ; n N}. Na verdade, isto n~ao tera muito interesse no estudo das sequ^encias numericas. A seguir temos alguns exemplos relacionados com esta quest~ao. Exemplo.. Se a sequ^encia numerica (real) (a n ) n N e dada por: ent~ao seu graco sera dado por: a n. n, para cada n N, G ( (a n ) n N ). {(n, n) ; n N}, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: 3 3 n Exemplo.. Se a sequ^encia numerica (real) (b n ) n N e dada por:. b n ( ) n, para cada n N, ent~ao seu graco sera dado por: G ( ). (a n ) n N {(n, ( ) n ) ; n N}, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: n Exemplo..3 Se a sequ^encia numerica (real) (c n ) n N e dada por. c n, para cada n N, n

12 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS ent~ao seu graco sera dado por: G ( {( ). (a n ) n N n, ) n } ; n N, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: / /4 3 4 n.3 Convergência de sequências numéricas Observação.3. Empiricamente, observando os exemplos acima temos:. No Exemplo (..), os termos da sequ^encia numerica (a n ) n N crescem, ilimitadamente, quando n cresce, ou ainda, os termos v~ao para "innito", quando n cresce ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito".. No Exemplo (..), os termos da sequ^encia numerica (b n ) n N oscilam entre e, quando n cresce ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito". 3. No Exemplo (..3), os termos da sequ^encia numerica (c n ) n N "aproximam-se" de zero, quando n cresce ilimitadamente, isto e, os termos da sequ^encia "tendem" a zero, quando n vai para innito. A seguir vamos formalizar esta ultima situac~ao de modo mais preciso, ou seja, colocar de forma correta o conceito de "convergir" (ou "aproximar-se de", ou ainda "tender a"). Definição.3. Diremos que uma sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente (ou converge, ou tende) para l R (respectivamente, C), quando n vai para innito, denotandose por: lim a n n l, ou a n l, ou ainda, a n l, n se, e somente se: dado ε > 0, podemos encontrar N o N, de modo que, para Observação.3. n N o, deveremos ter a n l < ε. (.6). A Denic~ao (.3.) acima nos diz, formalmente, que podemos car t~ao proximo de l, quanto se queira (isto e, dado ε > 0), desde que o ndice da sequ^encia numerica, ou seja, n, seja sucientemente grande (isto e, tenhamos n N o ).

13 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 3. Na linguagem dos intervalos, a Denic~ao (.3.) acima, nos diz que dado o intervalo (l ε, l + ε) (ou seja, dado ε > 0), todos os termos da sequ^encia numerica caem dentro desse intervalo excetuando-se, eventualmente, os N o primeiros termos da sequ^encia numerica. 3. Em geral, na Denic~ao (.3.) acima, o numero natural N o depende do numero real positivo ε dado inicialmente. 4. A Denic~ao (.3.) acima, e semelhante a denic~ao de limites no innito, para func~oes a valores reais, de uma variavel real, estudadas no Calculo I. Compare com aquela e veja as semelhancas. O resultado a seguir, garante a unicidade do limite de uma sequ^encia numerica, caso ele existe, mais precisamente: Proposição.3. (unicidade do limite de uma sequ^encia convergente) Se o limite da sequ^encia numerica (a n ) n N existir ele devera ser unico, isto e, se lim a n l e lim a n l, n n ent~ao l l. Demonstração: Mostremos que, para cada ε > 0, teremos o que implica que l l < ε, l l. Para isto temos que, para cada ε > 0, como podemos encontar N N, de modo De modo analogo, como podemos encontrar N N, de modo que lim n a n l, se n N, deveremos ter: a n l < ε. (.7) lim n a n l, se n N, deveremos ter: a n l < ε. (.8)

14 4 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Logo, se segue que n N o. max{n, N }, l l l a n + a n l l a n }{{} a n l n N < ε + ε ε, completando a demonstrac~ao do resultado. Temos o:, logo vale (.7) ε < Exemplo.3. A sequ^encia numerica (a n ) n N, dada por + a n l }{{} n N, logo vale (.8) ε <. a n, n para cada n N, (.9) e convergente para zero, isto e, lim n n 0. (.0) Resolução: De fato, observemos que dado ε > 0, se considerarmos N o N, de modo que N o > ε. (.) Ent~ao, para teremos a n l a n n e l0 n N o, (.) n>0 n (.) < ε, n 0 n (.) N o N o mostrando a armac~ao. Temos temabem o: Exemplo.3. A sequ^encia numerica (a n ) n N, dada por e convergente para, isto e,. n a n, para cada n N, (.3) n + lim n n n +. (.4)

15 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 5 Resolução: De fato, observemos que dado ε > 0, consioderemos N o N, de modo que N o > ε, (.5) Ent~ao, se teremos n N o, (.6) a n l a (.3) n n n+ e l n n + n n n + n + n + n+ n (.6) N o N o (.5) < ε, mostrando que a armac~ao e verdadeira. Um outro caso e dado pelo: Exemplo.3.3 A sequ^encia numerica (a n ) n N, dada por n~ao e convergente. Resolução: De fato, observemos que a n. cos(n π), para cada n N, (.7) a n cos(n π) ( ) n, para n N.. (.8) Se a sequ^encia fosse convergente para algum l R, ent~ao dado ε > 0, deveria existir um N o N, de modo que, para n N o, deveramos ter ( ) n l <, isto e, l < ( )n < l +,

16 6 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS o que um absurdo, pois isto implicaria que os termos da sequ^encia numerica, (.8) a n+ e (.8) a n, deveriam pertencer ao intervalo ( l, l + ), cujo comprimento e igual a (notemos que se os numeros e pertencem a um mesmo intervalo, este intervalo devera ter um comprimento maior ou igual a ), o que e um absurdo. Portanto a sequ^encia numerica n~ao e convergente. A seguir temos o seguinte: Exercício.3. Consideremos a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde seus termos s~ao dados por. a 0.3,. a 0.33,. a ,.. a ,, an 0. } 33 {{ 3 } n casas,. (.9) Mostre que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para, ou seja, 3 Resolução: De fato, dado ε > 0, consideremos N o N, de modo que ou ainda, Logo, para teremos lim a n. (.0) n }{{} 3.l N o > log 3 ε, ou seja, 0N o > 3 ε, 3 0 N o < ε. (.) n N o, (.) (.9) e (.0) a n l 0. } 3 {{ 3 } 3 n casas n casas {}}{ (n ) casas 0. {}}{ 0 0 3

17 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 7 0 n n n (.) N o < (.) < ε, 3 0 N o como queramos mostrar, completando a resoluc~ao do exerccio. Definição.3. Diremos que uma sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada, se existir M > 0, de modo que a n M, para todo n N. (.3) Observação.3.3 Nos Exemplos (.3.), (.3.), (.3.3) e Exerccio (.3.) acima, todas sequ^encias numericas s~ao limitadas. Observemos que nem todas elas s~ao sequ^encia numericas convergentes (veja o Exemplo (.3.3)). Como veremos a seguir existe uma relac~ao entre sequencias numericas convergentes e sequencias numericas limitadas, a saber: Proposição.3. Toda sequ^encia numerica convergente e limitada, isto e, se a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente, ent~ao ela sera uma sequ^encia numerica limitada. Demonstração: Como a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente, segue que existe l R, de modo que lim n a n l, ou seja, dado ε > 0, podemos encontrar N o N, de modo que Em particular, se tomarmos poderemos encontrar N o N, de modo que para n N o, teremos: a n l < ε. ε., para n N o, teremos a n l <, ou seja, para n N o, teremos < a n l < ou, equivalentemente, l < a n < + l, para n N o, ou ainda, l < a n < l +, para n N o, isto e, a n < l +, para n N o. (.4)

18 8 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Denamos Como isto temos que como queramos demonstrar. M. max { a, a,, a No, l + }. (.5) a n M para todo n N, Observação.3.4 A recproca do resultado acima e falsa, isto e, nem toda sequ^encia numerica limitada e convergente, como mostra o Exemplo (.3.3). A seguir temos algumas propriedades gerais para converg^encia de sequ^encias numericas. Teorema.3. (propriedades basicas da converg^encia de sequ^encias) Sejam (a n ) n N, (b n ) n N e (c n ) n N sequ^encias numericas.. Se as sequencias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para a e b, respectivamente, ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n N +(b n ) n N e convergente para a + b, isto e, se existem lim a n a e lim b n b, ent~ao existe lim (a n + b n ) e n n n isto e, lim n (a n + b n ) a + b, Vale os analogos para as sequ^encias numericas lim (a n + b n ) lim a n + lim b n. (.6) n n n (a n ) n N (b n ) n N, (a n ) n N (b n ) n N e (a n ) n N (b n ) n N, ou seja, as respectivas sequ^encias numericas ser~ao convergentes para a a b, a b e b, onde, no ultimo caso deveremos ter b n, b 0 para todo n N, respectivamente, ou seja: ou ainda, lim (a n b n ) a b, n lim (a n b n ) a b, n a n lim a n b n b, lim (a n b n ) lim a n lim b n, (.7) n ( n ) n ( ) lim (a n b n ) lim a n lim b n, (.8) n n n a n lim n b n lim a n n lim b. (.9) n n

19 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 9. Se as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para a e b, respectivamente, e a n b n, para cada n N, ent~ao isto e, a b, lim a n lim b n. (.30) n n 3. Se a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para zero e a sequ^encia numerica (b n ) n N e limitada, ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n N (b n ) n N (a n b n ) n N e convergente para zero, isto e, lim (a n b n ) 0. (.3) n 4. Suponhamos que as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para l e a sequ^encia numerica (c n ) n N satisfaz: a n c n b n, para cada n N. (.3) Ent~ao a sequ^encia numerica (c n ) n N e convergente para l, isto e, Demonstração: De.: Comecemos demonstrando (.6): Como lim c n l. (.33) n lim a n a e lim b n b, n n dado ε > 0, podemos encontrar N, N N, de modo que se n N temos a n a < ε (.34) e se n N temos b n b < ε. (.35) Logo, tomando-se temos para N o. max{n, N }, (.36) n N o, (.37)

20 0 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS segue que (a n + b n ) (a + b) (a n a) + (b n b) a n a + b n b n (.37) N o (.36) N e n (.37) N o (.36) N, logo valem (.4) e (.35)] < mostrando que lim n (a n + b n ) a + b ou, equivalentemente, lim (a n + b n ) lim a n + lim b n, n n n ε + ε ε, mostrando a validade da identidade (.6). A demonstrac~ao de (.7) e analoga e sera deixada como exerccio para para leitor. Demonstrac~ao da indentidade (.8): Vamos supor que a 0 Como as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, pela Proposic~ao (.3.), elas ser~ao sequ^encias numericas limitadas, em particular, a sequ^encia (b n ) n N e uma sequ^encia numerica limtada. Logo devera existir M > 0, tal que b n M, para todo n N. (.38) Dado ε > 0, como as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, tais que: se n N, teremos: a n a < ε M, (.39) Seja Observemos que logo se n N, teremos b n b < ε. (.40) a }{{} >0 N o. max{n, N }. (.4) se n N o, segue, de (.4), que n N e n N. (.4) (a n b n ) (a b) (a n a) b n + (b n b) a a n a b n + b n b a (.38) < a n a M + b n b a (.4) implca que vale (.39) e (.40) < ε + ε ε, ε M M + ε a a

21 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS mostrando que ou, equivalentemente, isto e, a validade de (.8). Se lim n (a n b n ) a b lim (a n b n ) lim a n n n b 0, lim n b n, podemos fazer uma demonstrac~ao semelhante e esta sera deixada como exerccio para o leitor. Se a b 0, ent~ao temos que dado ε > 0, como as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, tais que: se n N, teremos: a n a0 a n 0 < ε, (.43) se n N, teremos: b n b0 b n 0 < ε. (.44) Seja N o. max{n, N }. (.45) Observemos que Neste caso teremos: se n N o, de (.45), segue que n N e n N. (.46) (a n b n ) a b ab0 a n b n a n b n (.46), implica na validade de: (.43) e (.44) < ε ε ε, mostrando que ou, equivalentemente, lim n (a n b n ) 0 lim (a n b n ) lim a n n n lim n b n, isto e, a validade de (.8). A demonstrac~ao de (.9) e semelhante e sera deixada como exerccio. De.: Suponhamos, por absurdo, que a > b, isto e, lim n a n > lim n b n. Logo, a b > 0,

22 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS dado ε. a b > 0, (.47) como as sequ^encias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, de modo que e se n N, teremos a n a < ε, ou seja, ε < a n a < ε, isto e, ε + a < a n < ε + a, que, de (.47), e o mesmo que: a b + a < a n < a b + a, } {{} a+b em particular, teremos: a + b < a n. (.48) assim isto e, Logo, que, de (.47), e o mesmo que: se n N, teremos b n b < ε, em particular, teremos: ou seja, ε < b n b < ε, isto e, ε + b < b n < ε + b, a b b n < a + b + b < b n < a b + b, } {{} a+b. (.49) se n max{n, N }, teremos n N e n N, (.50) (.50) implica na validade de (.50) b n < o que e um absurdo pois, por hipotese, a + b b n < a n, se n max{n, N }, a n b n, para todo n N, (.48) implica na validade de (.50) < a n, isto e, vale (.30). De 3.: Como a sequ^encia numerica (b n ) n N e uma sequ^encia numerica limitada, podemos encontrar M > 0, tal que b n M, para todo n N. (.5) Por outro lado, como a sequ^encia numerica (a n ) n N e uma sequ^encia numerica convergente para zero, dado ε > 0, podemos encontrar N o N, tal que se n N o teremos: a n a n 0 < ε M. (.5)

23 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 3 Logo, dado dado ε > 0, se n N o, teremos mostrando que a n b n 0 a n b n (.5) e (.5) lim n (a n b n ) 0, ε M M < ε, ou seja, a validade de (.3). De 4.: Como as sequ^encias (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para l, dado ε > 0, podemos encontrar N, N N, tais que: Logo denido-se se n N, teremos: a n l < ε, que implicara em: ε ( ) < a n l < ε, (.53) se n N, teremos: b n l < ε, que implicara em para n N o, teremos que n N e n N, assim ε ε < b n l ( ) < ε (.54) N o max{n, N }, (.55) ( ) em (.53) < a n l an ou seja, ε < c n l < ε, ou, equivalentemente, c n l < ε, (.3) c n c n l cn (.3) b n b n l ( ) em (.54) < ε, mostrando que lim n c n l, isto e, a validade de (.33), completando a demonstrac~ao do resultado. Observação.3.5. O item. do Teorema (.3.) acima, e conhecido como o Teorema da Compa ração para sequ^encias numericas.. Uma sequ^encia numerica que tem limite zero sera dita infinitésimo. Com isto o item 3. do Teorema (.3.) acima, pode ser resumido como: "o produto de uma sequ^encia numerica que e um innitesimo, por uma sequ^encia numerica limitada e uma sequ^encia numerica que e um innitesimo". 3. O item 4. do Teorema (.3.) acima, e conhecido como o Teorema do sanduiche ou do confronto para sequ^encias numericas.

24 4 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Apliquemos os resultados acima ao: Exemplo.3.4 Mostre que lim n n + (n + ) + + ( n) 0. }{{} (n+) parcelas Resolução: Para isto observemos que.c {}} n {. a n 0 n + (n + ) + + ( n) }{{} para cada n N. Notemos que: n + n n + n... n n n + n (n+) parcelas n + n. bn, n + n + + n }{{} (n+) parcelas lim a a n 0 n 0, (.56) n e do Exemplo (.3.) e do item. do Teorema (.3.), segue qe ( lim b n lim n n n + ) n ou seja, de (.56) e (.57), teremos: (.6) e (.8) lim n n + ( lim n ) ( lim n n ) n (.0) , (.57) lim a n 0 n }{{}.l lim n b n. Logo, do item 4. do Teorema (.3.) (isto e, do Teorema do sanduiche), segue que lim n n + (n + ) + + (n) }{{ lim a n lim n } (n+) parcelas 0. n b n (.57)

25 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 5 Observação.3.6 Vale observar que no Exemplo (.3.4) acima, não podemos aplicar a propriedade de soma de limites, isto e, limite da soma e a soma dos limites, pois o numero de parcelas de a n aumenta, quando n aumenta. Observemos que para: n (duas parcelas), temos que: a + n (tr^es parcelas), temos que: a e assim por diante. n 3 (quatro parcelas), temos que: a Um resultado bastante importante no estudo da converg^encia de sequ^encias numericas e o que relaciona limites de sequ^encias numericas com limites, no innito, de func~oes a valores reais, de uma variavel real (estudado no Calculo ), a saber: Teorema.3. Seja f : [, ) R uma func~ao e suponhamos que Ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde lim f(x) l R. (.58) x a n. f(n), para n N, (.59) e convergente para l, isto e, Demonstração: Dado ε > 0, como dado R > 0, de modo que lim a n lim f(x). (.60) n x lim x f(x) l R, Seja N o N, de modo que Logo ou seja, se x R, teremos: f(x) l < ε. (.6) N o R. (.6) (.6) se n N o R, teremos, por (.6), que: f(n) l < ε, }{{} (.59) a n se n N o, teremos: a n l < ε, mostrando que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para l, ou seja, vale (.60), completando a demonstrac~ao.

26 6 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Observação.3.7 Observemos que NÃO podemos aplicar as regras de L'H^ospital para sequ^encias numericas (a n ) n N. Porem, podemos utilizar o resultado acima para estudar o limite de func~oes a valores reais, de uma variavel real, no innito (utilizando, se possvel, a regra de L'H^ospital), e assim tirar conclus~oes para o limite da sequ^encias numericas associada, como veremos em alguns exemplos a seguir. Exemplo.3.5 Mostre que lim n Resolução: Para isto, consideremos a fumc~ao f : [, ) R dada por Notemos que: Notemos que n n + 0. (.63) f(x). x, para cada x [ ). (.64) x + x lim f(x) lim x x x + a n do tipo:, por L'H^ospital lim x lim x x Exerccio de Calculo 0.. n n + d [ x] dx [ x + ] d dx (.64) f(n), para cada n N. Logo, do Teorema (.3.) acima, segue que a sequ^encia numerica ( ) n (a n ) nn N n + e convegente para l 0, ou seja, ou ainda, como armamos. n lim n n lim n n N lim n a n lim x f(x) 0, n n + 0,

27 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 7 Exemplo.3.6 Estudemos a converg^encia da sequ^encia numerica (a n ) nn N, onde a n Resolução: Denamos a func~ao f : [, ) R dada por. n, para cada n N. (.65) en f(x). x, para cada x [, ). (.66) ex Notemos que: x lim f(x) lim x x e x, por L'H^ospital lim x d dx x d dx ex lim x e x Exerccio de Calculo 0, (.67) onde estamos utilizando o fato que ultimo limite foi tratado na disciplina Calculo I. De (.65), temos que a n (.65) n e n Assim, do Teorema (.3.) acima, segue que (.66) f(n), para cada n N. lim n n e n lim n a n lim x f(x) (.67) 0, ou seja, ou seja, sequ^encia numerica lim n n e n 0, ( n ) (a n ) nn N e n e convegente para l 0, completando a resoluc~ao. n N Exemplo.3.7 A sequ^encia numerica (a n ) nn N, onde a n. ( + n) n, para cada n N, (.68) e convergente para e (ou seja, o numero de Euler).

28 8 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Resolução: Consideremos a func~ao f : [, ) R dada por f(x). ( + x) x, para cada x [, ). (.69) Ent~ao, do.o limite fundamental (estudado em Calculo ), segue que lim f(x) e. (.70) x Notemos que (.68) a n ( + ) n n Assim segue, do Teorema (.3.) acima, que (.69) f(n), para cada n N. (.7) ( lim a (.68) n lim + ) n n n n (.7) lim x f(x) (.70) e, ou seja, ou ainda, a sequ^encia numerica ( lim + n e, n n) (a n ) nn N (( + ) n ) n n N e convegente para e, como queramos mostrar. Exemplo.3.8 Seja r (0, ) xado. Ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n n N, onde a n. r n, para cada n N, (.7) e convergente para 0, se r (0, ),, se r, n~ao sera convergente, se r (, ).

29 .3. CONVERG ^ENCIA DE SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 9 Resolução: Notemos que, se teremos que r 0, a n (.7) r n r0 0 n 0, para cada n N, e assim a a sequ^encia numerica sera convergente para 0. Se teremos que (a n ) n n N (r n ) n N r, a n (.7) r n r n, para cada n N, e assim a a sequ^encia numerica sera convergente para. Por outro lado, se temos que (a n ) n n N (r n ) n N r (0, ) (, ), Portanto, se a n (.7) r n e assim a sequ^encia numerica (a n ) n n N Se logo a sequ^encia numerica (a n ) n n N e n ln r, para cada n N. (.73) r (0, ], teremos que ln r < 0, e convergente para zero, pois ln r Exerccio de Calculo lim ex 0, para cada r (0, ]. x r (, ), teremos ln r > 0, n~ao sera convergente pois, neste caso completando a resoluc~ao. ln r Exerccios de Calculo lim ex, para cada r (, ), x

30 30 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Observação.3.8. Vale observar, uma vez mais, que NÃO podemos aplicar a Regra de L'H^ospital, diretamente, as sequ^encias numericas.. O Teorema (.3.) acima não garante que se o limite lim f(x) não existe, ent~ao x o limite lim a n tambem n~ao existira, onde n como mostra o seguinte exemplo: a n. f(n), para cada n N, Consideremos a func~ao f : R R dada por f(x) sen(π x), para cada x R. (.74) Notemos que o limite lim f(x) x n~ao existe (Exerccio de Calculo ) porem, considerando-se a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde. f(n) a n (.74) sen(π n) 0, para n N, teremos lim a n 0, n ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N sera convergente (para 0). 3. Todos os resultados apresentado acima permanecem verdadeiros se substituirmos a hipotese n N, por n N o, para algum N o N xado. Por exemplo, no item. do Teorema (.3.), se trocarmos a hipotese: a n b n, para cada n N, por a n b n, para cada n N o, a conclus~ao continuara valida, isto e, lim a n lim b n. n n Observação.3.9 Como vimos anteriormente (veja a Proposic~ao (.3.)) toda sequ^encia numerica convergente e limitada, mas não vale a recproca (veja o Exemplo (.3.3)). A quest~ao que poderamos colocar e a seguinte: alem de ser limitada, que propriedade(s) uma sequ^encia numerica poderia ter, para que pudessemos garantir que ela sera convergente? A seguir introduziremos uma nova classe de sequ^encias numericas que nos ajudar~ao a responder essa pergunta.

31 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 3.4 Sequências numéricas monótonas Definição.4. Diremos que uma sequ^encia numerica (a n ) n N e:. crescente se:. decrescente se: a n+ a n, para cada n N. (.75) a n+ a n, para cada n N. (.76) 3. estritamente crescente se: a n+ > a n, para cada n N. (.77) 4. estritamente decrescente se a n+ < a n, para cada n N. (.78) Se a sequ^encia numerica (a n ) n N for de um dos tipos acima ela sera dita monótona. Exemplo.4. A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e estritamente crescente (portanto monotona) Resolução: De fato, pois a n. n, para cada n N, (.79) a n+ (.79) n + > n mostrando que a equ^encia numerica (.79) a n, para cada n N, (a n ) n N (n) n N e estritamente crescente. Exemplo.4. A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde por e estritamente decrescente (portanto monotona).. a n, para cada n N, (.80) n

32 3 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Resolução: De fato, pois (.80) a n+ n + n+>n < n (.80) a n para cada n N, mostrando que a equ^encia numerica ( ) (a n ) n N n e estritamente decrescente. n N Exemplo.4.3 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde por não e monotona. Resolução: Notemos que a n. cos(n π), para cada n N, (.8) a n (.8) cos(n π) ( ) n, para cada n N, que mostra que nenhuma das condic~oes da Denic~ao (.4.) ocorrera. Exemplo.4.4 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente (portanto monotona).. a n, para cada n N, (.8) n Resolução: De fato, pois, como segue que n+ > n, para cada n N, a n+ (.8) n+ < n (.8) a n,

33 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 33 para cada n N, mostrando que a sequ^encia numerica ( ) (a n ) n N e estritamente decrescente. n n N Observação.4.. Podemos estudar a monotonicidade de uma sequ^encia numerica (a n ) n N, estudandose o comportamento da sequ^encia numerica dada por: ) se a n 0, para cada n N. Para ilustrar, suponhamos que Com isto teremos que: ( an+ a n n n N, a n > 0, para cada n N. a n+ a n, para cada n N se, e somente se a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente.. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal e a palavra 3. Notemos tambem que, se, pelo sinal: > crescente, pela palavra: estritamente crescente. a n > 0, para cada n N, temos que a n+, para cada n N a n se, e somente se a sequ^encia numerica (a n ) n N e decrescente. 4. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal e a palavra, pelo sinal: < decrescente, pela palavra: estritamente decrescente.

34 34 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS 5. Podemos obter resultado analogos aos acima, para o caso que trocando-se as palavras e vice-versa. Conclusão: supondo que a n < 0, para cada n N, crescente, pela palavra: decrescente. a n > 0 (ou a n < 0), para cada n N, a sequ^encia numerica (a n ) n N sera monotona se, e somente se, ou ( a n+ ou a ) n+, para cada n N. a n a n 6. Podemos, quando possvel, estudar a monotonicidade de uma sequ^encia numerica (a n ) n N estudando-se a monotonicidade de uma func~ao f : [, ) R, onde a n. f(n), para cada n N. Por exemplo, se a func~ao f e crescente (respectivamente, estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente), isto e, f(x) f(y) (respectivamente, >,, <), para cada x y, ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n N, a n. f(n), para cada n N sera crescente (respectivamente, estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente). 7. Lembremos que, quando possvel (ou seja, se a func~ao f : [, ) R for diferenciavel em [, )), poderemos estudar a monotonicidade da func~ao f acima, estudando o sinal de sua derivada, mais precisamente: se f (x) 0, para todo x [, ), a func~ao f sera crescente em [, ), se f (x) > 0, para todo x [, ), a func~ao f sera estritamente crescente em [, ), se f (x) 0, para todo x [, ), a func~ao f sera decrescente em [, ), se f (x) < 0, para todo x [, ), a func~ao f sera estritamente decrescente em [, ).

35 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS Pode ocorrer da func~ao f : [, ) R não ser uma func~ao monotona, mas a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n. f(n), para cada n N ser monotona, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos a func~ao f : [, ) R dada por f(x). sen(π x), para cada x [, ). Ent~ao a func~ao f n~ao e monotona, mas a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n. f(n) sen(π n) 0, para cada n N, e uma sequ^encia numerica monotona, pois Apliquemos as ideias acima aos: a n+ 0 0 a n, para cada n N. Exemplo.4.5 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente. Resolução: De fato, pois. n a n, para cada n N, (.83) n + a n+ (.83) a n n + n + (n + ) (n + ) + n n + n + n n + n + n + n + >. (.84) } n {{ + } >0 para cada n N. Como a n (.83) < 0, para n N,

36 36 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS para cada n N, multiplicando-se (.84) por a n, segue que a n+ < a n, para cada n N, ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N e estritamente decrescente, em particular, sera uma sequ^encia numerica monotona. Exemplo.4.6 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e estritamente crescente.. n a n, para cada n N, (.85) 3 n + Resolução: De fato, pois para cada n N. Como a n+ (.85) a n (n + ) 3 (n + ) + n 3 n + n + 3 n + 3 n + 5 n 6 n + 0 n n + 0 n 4 >, (.86) } 6 n {{ + 0 n } >0 a n (.85) < 0, para cada n N, para cada n N, multiplicando-se (.86) por a n, segue que a n+ > a n, para cada n N, ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N e estritamente crescente, em particular, sera sequ^encia numerica monotona. Exemplo.4.7 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente. a n. ln(n + ) n +, para cada n N, (.87)

37 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 37 Resolução: De fato, consideremos a func~ao f : [, ) R, dada por Notemos que f(x). ln(x + ) x + (.87) a n, para cada x [, ). (.88) ln(n + ) n + (.88) f(n), para cada n N. (.89) Por outro lado, notemos que a func~ao f e diferenciavel em [, ) e f (x) (.88) d [ ] ln(x + ) dx x + (x + ) ln(x + ) regras de derivac~ao x + (x + ) para x [, ). De fato, pois se Logo, como ln(x + ) (x + ) < 0 x [, ), teremos x + > e, logo, ln(x + ) >, ou seja, ln(x + ) < 0. f (x) < 0, para x [, ), segue, do item 7. da Observac~ao (.4.), que a func~ao f sera estritamente decrescente e assim, pelo item 6. da mesma Observac~ao, teremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N tambem sera estritamente decrescente (pois a n (.89) f(n), para cada n N). Observação.4. Sabemos que toda sequ^encia numerica convergente e limitada (veja a Proposic~ao (.3.)), mas nem toda sequ^encia numerica limitada e convergente (veja o Exemplo (.3.3)). A pergunta que podemos formular e a seguinte: que outra propriedade a sequ^encia numerica podera ter (alem de ser limitada), para que possamos garantir que ela seja converente? A resposta sera dada no resultado a seguir: Teorema.4. Toda sequ^encia numerica limitada e monotona sera convergente em R.

38 38 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Demonstração: Faremos a demonstrac~ao para o caso em que a sequ^encia numerica (a n ) N N seja crescente. Os outros casos ser~ao deixados como exerccio para o leitor. Como a sequ^encia numerica (a n ) N N e limitada temos que existe M > 0, de modo que a n M, para cada n N. Logo o conjunto sera limitado em R. Portanto existe A. {a n ; n N} L. sup{a n : n N} R. Armamos que lim n a n L. De fato, dado ε > 0, da denic~ao de supremo, como podemos encontrar N o N, de modo que L. sup{a n : n N} R, L ε < a No L. (.90) Como a sequ^encia numerica (a n ) N N e crescente temos, para n N o, que L ε (.90) < a No a n L e limitante superior do conjunto A L < L + ε, (.9) ou seja, para n N o, teremos ou ainda mostrando que como queramos demonstrar. Observação.4.3 L ε < a n < L + ε, a n L < ε, para n N o, lim n a n L sup{a n ; n N},. O Teorema (.4.) acima nos diz que se uma sequ^encia (a n ) n N e monotona e limitada, ent~ao ela sera convergente para algum L R e, alem disso, lim a n L sup{a n ; n N}. (.9) n

39 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 39. Se no Teorema (.4.) acima, a sequ^encia numerica (a n ) N N for decrescente (e limitada), ent~ao, de modo semelhante, pode-se mostrar que lim a n L inf{a n ; n N}. (.93) n 3. O resultado acima nos da uma condic~ao suciente (mas não necessaria) para que uma sequ^encia numerica limitada, seja convergente em R, a saber, que ela seja monotona. Deixaremos como exerccio para o leitor uma sequ^encia numerica que seja limitada, n~ao seja monotona, mas e convergente em R. Apliquemos as ideias acima aos: Exemplo.4.8 Mostre que a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n e convergente para zero, isto e,. n, para cada n N, (.94) n! n lim n n! 0. Resolução: Para garantir a converg^encia em R, da sequ^encia numerica (a n ) n N, mostremos que ela e uma sequ^encia numerica limitada e monotona. Logo, pelo Teorema (.4.), segue que ela sera convergente em R. Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e zero. (i) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e decrescente. De fato, notemos que, para cada n N, temos: Como n+ (n + )! n n! n+ n! n (n + )! a n+ (.94) a n n + n+. (.95) a n > 0, para cada n N, para cada n N, mutiplicando (.95) por a n, segue que a n+ a n, para cada n N, (.96)

40 40 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS ou seja, a sequ^encia numerica e decrescente (em particular, monotona). (ii) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada. Do item (i) temos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e decrescente. Por outro lado, a n (.94) > 0, para cada n N, seque que em particular, 0 < a n (.96) a, para cada n N, a n, para cada n N. Portanto a sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada. Logo, do Teorema (.4.), segue que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente em R, ou seja, existe L R tal que Portanto, teremos Mas Logo, de (.99) e (.98), segue que ou seja, L. lim n a n. (.97) L lim n a n (.94) lim [ n! ] n lim n n (n )! [ ] lim n n a n. (.98) n n lim a n L e lim n n n 0. (.99) [ L lim n (.99) e (.98) 0 L 0, ] [ ] lim a n n n n L 0, ou ainda, lim n n! 0, mostrando que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para zero, completando a resoluc~ao.

41 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 4 Exemplo.4.9 Mostre que a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a., a.,, a n. an, para cada n N, (.00) e convergente para, isto e, lim n a n. Resolução: Para garantir a converg^encia em R, da sequ^encia numerica (a n ) n N, mostremos que ela e uma sequ^encia numerica limitada e monotona. Logo, pelo Teorema (.4.), segue que ela sera convergente em R. Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e igual a. (i) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada. Na verdade, mostraremos que que implicara, em particular, que 0 < a n, para cada n N, (.0) a n, para cada n N, ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N sera limitada. Para (.0), utilizaremos indução matemática, isto e, precisaremos mostrar que: (a) a propriedade (.0) e valida para n ; e (b) se a propriedade (.0) for valida para n k, ela sera valida para n k. Notemos que a propriedade (.0) e valida para n, pois 0 < a (.00), ou seja, vale (a). Alem disso, se a propriedade (.0) for valida para n k, teremos: 0 < a k (.0) Mas 0 < a k (.00), a k }{{} (.0) mostrando a propriedade (.0) sera valida para n k, isto e, vale (b). Assim segue, da induc~ao matematica, que (.0) e verdadeira para todo n N, em particular, a sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada. (ii) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente.

42 4 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Para isto observemos que, para cada n N, teremos: a n+ a n (.00) an a n an ( a n ) an Como (.0), (.03) a n > 0, para cada n N, para cada n N, multiplicando-se (.0) por a n, segue que a n+ a n, para cada n N, ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente (em particular, monotona). Logo, do Teorema (.4.), segue que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente em R. Seja L. lim a n. (.04) n Ent~ao L lim n a n (.00) lim n an propriedades de limite (.04) L, ou seja, L L. Com isto poderemos ter as seguintes possibildades: Notemos que L 0, ou L. L 0, n~ao podera ocorrer pois a sequ^encia numerica (a n ) n N Portanto deveremos ter a n a > 0. L, lim n a n e crescente e isto e, lim a n, n mostrando que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para, completando a resoluc~ao.

43 .4. SEQU ^ENCIAS MON OTONAS 43 Observação.4.4 Observemos que na sequ^encia numerica do Exemplo (.4.9) acima, temos a, a 4 + 4, a ,, an n, par cada n N. Como e uma P.G. (progress~ao geometrica) de raz~ao r., cujo primeiro termo e. a, sabemos que a soma da mesma sera igual a a r. Logo e natural acharmos que lim n a n. Exemplo.4.0 Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a., a. +,, a n. + an, para cada n N, (.05) e convergente para, isto e, lim n a n. Resolução: Para garantir a converg^encia em R, da sequ^encia numerica (a n ) n N, mostremos que ela e uma sequ^encia numerica limitada e monotona. Logo, pelo Teorema (.4.), segue que ela sera convergente em R. Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e igual a. (i) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente, isto e, a n a n+, para cada n N. (.06) Para isso usaremos induc~ao matematica, ou seja, mostraremos que: (a) a propriedade e valida para n e (b) se a propriedade for valida para n k, ent~ao ela tambem sera valida para n k.

44 44 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Notemos que portanto: a a, (.05) a + e e + (.05) a, ou seja, vale a propriedade (.06) para n, isto vale (a). Suponhamos que a propriedade for valida para n k, isto e, a k a k. (.07) Com isto, teremos: (.05) a k e + a k }{{} + a k (.05) a k+, (.07) a k mostrando que a propriedade sera valida para n k. Assim, segue da induc~ao matematica, que (.06) vale para todo nn, ou seja, a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente. (ii) Mostremos que a sequ^encia numerica (a n ) n N satisfaz 0 < a n, para cada n N, (.08) em particular, a sequ^encia numerica (a n ) n N sera limitada. Para isso usaremos, novamente, induc~ao matematica para mostrar (.08), ou seja, mostremos que (a) a propriedade e valida para n. e (b) se a propriedade for valida para n k, ent~ao ela sera valida para n k. Notemos que a propriedade e valida para n, pois 0 < a (.05). Observemos tambem que, se a propriedade for valida para n k, isto e, se ent~ao ela sera valida para n k. De fato, pois 0 < a k, (.09) a k (.05) + a k (.09) e e, +

45 .5. SEQU ^ENCIAS DIVERGENTES 45 mostrando que a propriedade e valida para n k, ou seja, vale (b). Assim, do processo de induc~ao matematica, segue que vale (.08), em particular, a sequ^encia numerica (a n ) n N e limitada. Logo, do Teorema (.4.), segue que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente em R. Seja L. lim a n. (.0) n Ent~ao (.05) L lim a n lim + an n n propriedades de limite + L, ou seja, L + L, ou seja, temos as seguintes possibilidades: Observemos que L, ou L. L + lim a n n }{{} (.0) L n~ao podera ocorrer, pois a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente, assim Portanto, deveremos ter a n a > 0. L, ou seja, lim a n, n mostrando que a sequ^encia numerica (a n ) n N e convergente para, completando a resoluc~ao. Alguns tipos de a sequ^encias numericas que s~ao divergentes podem ser importantes como veremos a seguir..5 Sequências numéricas divergentes Definição.5. Diremos que uma sequ^encia numerica (a n ) n N divergente para + (respectivamente, ) se dado K > 0, podemos encontrar N o N, de modo que, para n N o, temos a n K (respectivamente, a n K). (.) Neste caso escreveremos lim n a n (respectivamente, ).

46 46 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Com isto temos os: Exemplo.5. A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde e uma sequ^encia numerica divergente para, isto e, Resolução: De fato, dado K > 0, consideremos N o N tal que Logo, mostrando, pela Denic~ao (.5.), que a n. n, para cada n N (.) lim n. (.3) n N o > K. para n N o, (.4) teremos a n (.) n (.4) N o K, lim n a n, isto e, (.3). Exemplo.5. A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde. n 3 a n, para cada n N (.5) + n e uma sequ^encia numerica divergente para, isto e, lim n n 3, (.6) + n Resolução: De fato, dado K > 0, conisderemos N o N, tal que N o > K +. (.7)

47 .5. SEQU ^ENCIAS DIVERGENTES 47 Assim, para n N o (.8) teremos mostrando, pela Denic~ao (.5.), que a n n3 + n n < n n 3 + n n + n < n 0 < n (.8) < N o (.7) < K, n n 3 n (.9) lim n a n, isto e, (.6). Semelhantemente com o caso de converg^encia, podemos estudar a diverg^encia de uma sequ^encia numerica para (respectivamente, para ), estudando o comportamento de uma func~ao de uma variavel real, a valores reais, que a dene. Mais claramente temos: Proposição.5. Suponhamos que a func~ao f : (0, ) (respectivamente, (, 0)) R e tal que lim f(x) (respectivamente, ), (.0) x Ent~ao a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n. f(n), para cada n N (.) e uma sequ^encia numerica divergente para (respectivamente, para ), isto e, Demonstração: Sera deixada como exerccio para o leitor. Apliquemos as ideias acima aos: lim a n (respectivamente, ). (.) n Exemplo.5.3 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde. n 3 a n, para cada n N (.3) + n

48 48 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS uma sequ^encia numerica divergente para, isto e, lim n n 3. (.4) + n Resolução: Notemos que este Exemplo e igual ao Exemplo (.5.). Observemos que se denirmos a func~ao f : (0, ) R, dada por teremos que f(x). x3, para cada x (0, ), (.5) + x x 3 lim f(x) lim x x + x tipo: Como, para cada n N, temos 3 x lim x x pela Proposic~ao (.5.) acima, segue que, aplicamos L'H^ospital lim x d [ ] x 3 dx d [ ] + x dx x 0 3 x lim x Exerccio de Calculo. (.6) a n (.3) n3 + n (.5) f(n), lim a n lim f(x) n x (.6), completando a demonstrac~ao da identidade (.4). Exemplo.5.4 A sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n. 3 n e uma sequ^encia numerica divergente para, isto e,, para cada n N (.7) n3 lim n 3 n n 3. (.8)

49 .5. SEQU ^ENCIAS DIVERGENTES 49 Resolução: De fato, consideremos a func~ao f : (0, ) R, dada por Notemos que Como (.9) 3 x lim f(x) lim x x x 3 f(x). 3x, para cada x (0, ). (.9) 3 x tipo aplicando L'H^ospital lim x lim x 3 x ln(3) 3 x tipo aplicando L'H^ospital lim x 3 x (ln 3) lim x 6 x tipo pela Proposic~ao (.5.) acima, segue que aplicando L'H^ospital lim x d dx [3x ] d [ ] x 3 dx d dx [3x ln(3)] d [ ] 3 x dx d dx [3x (ln 3) ] d [6 x] dx 3 x (ln 3) 3 lim x 6 Exerccio de Calculo. ( ) a n (.7) 3n n 3 (.9) f(n), lim a n lim f(x) n x ( ), completando a demonstrac~ao da identidade (.8). Observação.5.. Se a sequ^encia numerica (a n ) n N e crescente (respectivamente, decrescente) e n~ao e limitada, ent~ao ela sera divergente para (respectivamante, ), isto e, lim n a n (respectivamente, ).

50 50 CAPITULO. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS. Outra classe de a sequ^encias numericas que n~ao ser~ao alvo de nosso estudo e a classe formada pelas sequ^encias numericas que s~ao oscilatórias, ou seja, sequ^encias numericas que n~ao s~ao sequ^encias numericas convergentes, nem divergentes para ou. Por exemplo, a sequ^encia numerica (a n ) n N, onde a n. ( ) n, para cada n N, n~ao convergente, nem divergente para ou, ou seja, e uma sequ^encia numerica oscilatoria. Temos um teorema da comparac~ao para sequ^encia numerica divergentes para (respectivamente, ), a saber: Teorema.5. Suponhamos que as a sequ^encias numericas (a n ) n N, (b n ) n N satisfazem: Ent~ao: a n b n, para cada n N. (.30). Se. lim a n, deveremos ter lim b n. (.3) n n lim b n, deveremos ter lim a n. (.3) n n Demonstração: De.: Como lim n a n, ent~ao dado K > 0, podemos encontrar N o N, tal que para Assim, se n N o, segue que n N o teremos a n K. (.33) b n (.30) a n (.33) K, mostrando que lim n b n, completando a demonstrac~ao do item.. De modo analogo mostra-se o item.. Os detalhes da demonstrac~ao do mesmo ser~ao deixados como exerccio para o leitor. Apliquemos isto ao (compare com o Exemplo (.3.4)):

51 .5. SEQU ^ENCIAS DIVERGENTES 5 Exemplo.5.5 Mostre que a sequ^encia numerica (b n ) n N, onde. b n n + + +, } n + {{ n } para cada n N (.34) (n+) parcelas e uma sequ^encia numerica e divergente para, isto e, lim n Resolução: Para isto, observemos que, para cada n N teremos: n } n + {{ n. (.35) } (n+) parcelas b n n } n + {{ n } (n+) parcelas n n n + n. n n n + n n +. an, n } n n {{ n } (n+) parcelas isto e, Mas a n b n, para cada n N. (.36) n lim a n lim + n n n Exerccio. Logo, pelo item. do Teorema (.5.) acima, segue que mostrando (.35). lim n n } n + {{ n } (n+) parcelas (.34) lim n b n,