Notas do Curso de SMA356 - Cálculo IV e SMA333 - Cálculo III. Prof. Wagner Vieira Leite Nunes. S~ao Carlos - 1.o semestre de 2015

Transcrição

1 Notas do Curso de SMA356 - Cálculo IV e SMA333 - Cálculo III Prof. Wagner Vieira Leite Nunes S~ao Carlos -.o semestre de 05

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3 Sumário Avisos Gerais sobre a Disciplina 7. Pagina na web Endereco de do professor Sala do professor no ICMC Telefone/Ramal do professor Horario das aulas Ementa Bilbiograa Notas de aula Horarios de monitoria Horario de atendimento do docente Listas de exerccios Frequência Criterio de avaliac~ao Prova substitutiva da disciplina Datas das avaliac~oes Gabaritos das provas Trancamento Numeros de aulas Calendario USP Observac~oes nais Introdução 5 3 Sequências Numéricas 7 3. Denic~oes Operac~oes com sequências Convergência de sequências numericas Sequências monotonas Sequências divergentes Subsequências Sequências de Cauchy Exerccios

4 4 SUM ARIO 4 Séries Numéricas Denic~oes Operac~oes com series numericas Convergência de series numericas Resultados Gerais Criterios de Convergência Convergência de Series Alternadas Reagrupamento de Series Numericas Series Absolutamente Convergentes Series Condicionalmente Convergentes Exerccios Sequência de Funções Denic~oes Convergência Pontual de Sequências de Func~oes Convergência Uniforme de Sequências de Func~oes Sequências de Func~oes de Cauchy Propriedades da convergência uniforme Exerccios Séries de Funções 9 6. Series de Func~oes Convergência Pontual de Series de Func~oes Convergência Uniforme de Series de Func~oes Exerccios Séries de Potências 5 7. Denic~oes Convergência Pontual de Series de Potências Convergência Uniforme de Series de Potências Integrac~ao Series de Potências Derivac~ao de Series de Potências Serie de Taylor e de McLaurin Representac~ao de Func~oes em Series de Potências Serie Binomial Aplicac~ao de series de potências Exerccios Séries de Fourier 3 8. Introduc~ao Metodo das Separac~ao de Variaveis Os Coecientes de Fourier Interpretac~ao Geometrica dos Coecientes de Fourier

5 SUM ARIO Convergência Pontual da Serie de Fourier Convergência Uniforme da Serie de Fourier Notas Historicas Exerccios Aplicação de Série de Fourier às EDP s 4 9. O Problema da Conduc~ao do Calor em um Fio O Problema da Corda Vibrante Corda Vibrante com as Extremidades Fixas Corda Vibrante com as Extremidades num Trilho Vertical A Equac~ao de Laplace O Problema de Dirichlet num Retângulo O Problema de Dirichlet num Crculo Exerccios Referências

6 6 SUM ARIO

7 Capítulo Avisos Gerais sobre a Disciplina As informações que cosntam des capítulo tratam da turma do prof. Wagner a aula. Página na web da disciplina A pagina da disciplina SMA356 - Calculo IV, que sera ministrada pelo prof. Wagner, tem o seguinte endereco: Endereço de do professor O do professor Wagner, e wvlnunes@icmc.usp.br.3 Sala do professor no ICMC A sala do professor Wagner, e a sala 3-8, no ICMC-USP.4 Telefone/Ramal do professor O telefone/ramal do professor Wagner, no ICMC, e (33)

8 8 CAPITULO. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA.5 Horário das aulas Os horarios das aulas da disciplina SMA356 - Calculo IV ser~ao: 3.as-feiras e 5.as-feiras, das 4:0 às 6:00, na sala Matadouro Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: Ementa da disciplina A ementa da disciplina SMA356 - Calculo IV e a seguinte:. Sequências numericas. (a) Denic~oes e exemplos. (b) Subsequências de uma sequência numerica. (c) Sequências numericas de Cauchy. (d) Convergências de sequências numericas. (e) Sequências numericais monotonas (crescentes e decrescentes).. Series numericas: (a) Denic~oes e exemplos. (b) Convergência para series numericas, cujos termos s~ao n~ao negativos: i. Criterio de divergência para series numericas; ii. Criterio de Cauchy para series numericas; iii. Criterio da comparac~ao para series numericas, iv. Criterio da comparac~ao, por limite, para series numericas; v. Criterio da raz~ao para series numericas; vi. Criterio da raz~ao, por limite, para series numericas; vii. Criterio da raiz para series numericas; viii. Criterio da raiz, por limite, para series numericas. (c) Series alternadas: i. Criterio de Leibniz (ou da integral) para series numericas. (d) Series numercias absolutamente convergentes. 3. Sequências de Func~oes: (a) Denic~oes e exemplos. (b) Tipos de convergência para sequências de func~oes:

9 .6. EMENTA 9 i. Convergência pontual para sequências de func~oes; ii. Convergência uniforme para sequências de func~oes. (c) Propriedades da func~ao limite de uma sequências de func~oes: i. Continuidade da func~ao limite; ii. Integrabilidade da func~ao limite; iii. Diferenciabilidade da func~ao limite. 4. Series de Func~oes: (a) Denic~oes e exemplos; (b) Tipos de convergência para series de func~oes: i. Convergência pontual para sequências de func~oes; ii. Convergência uniforme para sequências de func~oes. (c) O criterio de Cauchy para a convergência uniforme de uma serie de func~oes. (d) Propriedades da func~ao soma de uma serie de func~oes: i. Continuidade da func~ao soma; ii. Integrabilidade da func~ao soma; iii. Diferenciabilidade da func~ao soma. 5. Series de potências: (a) Denic~oes e exemplos. (b) Propriedades gerais das series de potências. (c) Raio e intervalo de convergência de series de potências. (d) Propriedades da func~ao soma de uma serie de potências: i. Continuidade da func~ao soma; ii. Integrabilidade da func~ao soma; iii. Diferenciabilidade da func~ao soma. (e) Criterio para representac~ao de func~oes em series de potências. (f) Serie de Taylor associada a uma func~ao. (g) Serie binomial. 6. Series de Fourier: (a) Denic~oes e exemplos. (b) Resultados sobre a convergência pontual e uniforme das series de Fourier (Teorema de Fourier). (c) Series de senos e cossenos associadas a uma func~ao periodica. (d) Series de Fourier associadas a func~oes pares e mpares.

10 0 CAPITULO. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA ou 7. Aplicac~oes de sequ^encias e series de func~oes na resoluc~ao de diferenciais ordinarias e parciais. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: Bilbiografia da disciplina Os livros sugeridos para a disciplina SMA356 - Calculo IV ser~ao: Guidorizzi, H.L. - Um Curso de Calculo, vol. 4 e 5, ed. Rio de Janeiro, LTC, 00. Boyce, E.W., Diprima, R.C. - Equac~oes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno, ed. Rio de Janeiro, LTC, 00 Stewart, J. - Calculo, vol. e, ed. S~ao Paulo:Pioneira, 00. Leithold, G. - O Calculo com Geometria Analica, Vol., Editora Harbra, S~ao Paulo, 994. Simmons, G.F. - Calculo com Geometria Analtica, Vol., Mc Graw-Hill do Brasil, Rio de Janeiro, 987. Swokowski, E.W. - Calculo com Geometria Analtica, Vol., Makron-Books do Brasil Editora Ltda., Rio de Janeiro, 995. Tolstov, G.P. - Fourier Series, New York: Dover, 976. Churchill, R., Brown, J. - Fourier series and boundary value problems, 4 ed. New York: McGraw-Hill, 987. Butkov E. - Fsica Matematica, Rio de Janeiro: Guanabara, 988. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: Notas de aula No endereco estar~ao disponveis as notas de aula da disciplina SMA356 - Calculo IV, relativas ao conteudo desenvolvido pelo professor Wagner, em sala de aula. As notas de aula ser~ao atualizadas periodicamente.

11 .9. HOR ARIOS DE MONITORIA.9 Horários de monitoria da disciplina O aluno Átila Correia sera o monitor da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor Wagner. Ele ministrara aula de exerccios semanalmente e dara plant~ao de duvidas semanalmente. Os horarios e locais desta e das outras monitorias ser~ao: Plantão de dúvidas:.as-feiras das 9:00 às :00, na sala 3-0 no ICMC-USP Aula de exercícios: 4.as-feiras das 9:00 às :00, na sala C7 no EESC-USP Alem desse monitor ha outros quatro monitores, a saber, Leonardo (do SMA), Gabriel (do SMA), Lito (PAE) e Rodrigo (PAE), que dar~ao atendimento nos seguintes dias/horarios/locais: Leonardo: 4.as e 5.as-feiras, das 9:00 às :00, na sala 3-0 ou 3-0, no ICMC-USP Gabriel:.as das 9:00 às :00 e 6.as-feiras das 7:00 às 9:00, na sala 3-0 ou 3-0 Lito: 3.as e 4.as-feiras, das 9:00 às :00, na sala 5-00 e 3-00, respectivamente Rodrigo: 3.as e 5.as-feiras, das :00 às 3:00, na sala 3-0, no ICMC-USP Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web: Horário de atendimento dos docentes da disciplina para suas respectivas turmas O horario de atendimento da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor Wagner, ocorrera na:.as-feiras das 6:00 às 8:00, na sala do professor Wagner no ICMC-USP. Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web:

12 CAPITULO. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA. Listas de exercícios da disciplina As oito listas de exerccios da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor Wagner, podem ser encontradas na seguinte pagina da web: Frequência na disciplina Uma condic~ao necesssaria (mas n~ao suciente) para o aluno ser aprovado na disciplina SMA356 - Calculo IV, e que sua frequ^encia na disciplina, que denotaremos por F, seja maior ou igual a 70%. A lista de presenca da disciplina sera controlada. So ser~ao aceitas ASSINATURAS ou NOME COMPLETO POR EXTENSO na lista de presenca. Qualquer outro modo NÃO sera aceito e sera colocado falta na lista de presenca..3 Critério de avaliação e aprovação da disciplina A avaliac~ao da disciplina ministrada pelo professor Wagner, constara de duas provas, a primeira prova, que sera denotada P, valendo da nota nal, a segunda prova, que sera 5 denotada P, valendo 3 da nota nal, ou seja, a media nal, que denotaremos por MF, sera 5 dada pela seguinte formula: MF. P + 3 P. 5 Para ser considerado aprovado na disciplina ministrada pelo professor Wagner, a media do aluno na disciplina devera ser maior ou igual a 5, 0 e sua frequ^encia ser maior ou igual a 70%, ou seja: 5, 0 MF e 70% F. Alem disso, ser~ao aplicados exerccios aos alunos, nas aulas de exerccios ministrada pelo monitor, que entregar~ao as notas das respectivas provas. Outras informac~oes sobre os dois itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco da web: Prova substitutiva da disciplina O aluno que perder uma, e somente uma, das duas provas do item (.3) podera se submeter a assim denominada prova substitutiva, cujo valor denotaremos por PS.

13 .5. DATAS DAS AVALIAC ~OES 3 A nota desta prova entrara na lugar da nota da prova que o aluno perdeu e a media sera calculada como no item (.3), substituindo-se a nota prova perdida pela nota da prova substitutiva, ou seja, MF. PS + 3 P 5 ou MF. P + 3 PS 5 no caso, o valor a esquerda na primeira linha, sera para o aluno que perdeu a primeira prova, valor a direita na primeira linha, sera para o aluno que perdeu a segunda prova. SOMENTE podera fazer a prova substitutiva o aluno que perdeu uma das duas provas do item (.3). Para ser considerado aprovado na disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor Wagner, a media do aluno na disciplina, apos a prova substitutiva, devera ser maior ou igual a 5, 0 e sua frequ^encia ser maior ou igual a 70%, ou seja: 5, 0 MF e 70% F. Observação.4. O conteudo da prova substitutiva sera todo o conteudo desenvolvido durante a disciplina ministrada pelo professor Wagner. Outras informac~oes sobre o item acima podem ser encontradas no seguinte endereco da web: Datas das avaliações, prova substitutiva e de recuperação da disciplina As datas das provas da disciplina SMA356 -Calculo IV ser~ao:.a Prova:.a Prova: Prova Substitutiva: 30 de abril - 5.a-feira 5 de junho - 5.a-feira de julho - 5.a-feira Outras informac~oes sobre os itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco da web:

14 4 CAPITULO. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA.6 Gabaritos das provas da disciplina Os gabaritos das provas da disciplina SMA356 - Calculo IV, que ser~ao aplicadas durante o desenvolvimento da mesma, estar~ao a disposic~ao dos alunos, logo apos as mesmas terem sido aplicadas, e se encontrar~ao no seguinte endereco da web: Trancamento da disciplina A data maxima para o trancamento da disciplina SMA356 - Calculo IV e 8 de abril de 05. Procure a sec~ao de graduac~ao da sua unidade para maiores esclarecimentos de como proceder o trancamento..8 Números de aulas O numero total de aulas a serem ministradas, ser~ao de 33 aulas, sendo que 3 destas ser~ao destinadas as avaliac~oes..9 Calendário USP O incio do.o semestre de 05 sera no dia 3 de fevereiro e o termino do mesmo sera no dia 4 de julho. N~ao havera aula nos seguintes dias/semanas: 30 de marco a 4 de abril (semana da Patria). 0 de abril (recesso). de abril (Tiradentes). de maio (dia do trabalho). de maio (recesso). 4 de junho (corpus Christi). 5 e 6 junho (recesso). Outras informac~oes sobre os dois itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco da web: USP 05 - Jupiterweb.0 Observações finais

15 Capítulo Introdução Estas notas de aula ser~ao utilizadas para o cursos cuja ementa trata de sequencias e series numericas, sequencias e series de func~oes, em particular, serie de pot^encias e de Fourier. Aplicaremos series de Fourier para a resoluc~ao de alguns problemas relacionados com algumas Equac~oes Diferenciais Parciais, a saber, as Equac~oes do Calor, da Onda e de Laplace, no caso periodico. Ser~ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conteudo acima, bem como propriedades e aplicac~oes dos mesmos. As refer^encias (ver (9.5)) ao nal das notas poder~ao servir como material importante para o conteudo aqui desenvolvido. 5

16 6 CAPITULO. INTRODUC ~AO

17 Capítulo 3 Sequências Numéricas a aula 3. Definições Comecaremos tratando de: Definição 3.. Uma sequência de numeros reais (ou complexos) (ou, simplesmente, sequência numerica) e uma aplicac~ao a : N R (ou C) n a(n) isto e, uma lei que associa a cada numero natural n um, unico, numero real (ou complexo) a(n), que indicaremos por a n e denotaremos uma sequência numerica por: (a n ) n N, (a n ), {a n } n N, {a n }. Para cada n N xado, o elemento a n sera dito termo da sequência numerica (a n ) n N. O conjunto {a n : n N} sera dito conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N. Exemplo 3... Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde. a n, para cada n N. n Logo o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N {,, 3 },. sera: 7

18 8 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde a n. 0, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N sera: {0}. 3. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde (. n π ) a n sen { 0, quando a n for par ( ) n+3, quando n for mpar. Observemos que o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N sera: {, 0, }. 4. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde a n. n, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N sera: {,, 3, 4, }. 5. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde a n. ( ) n, para cada n N. Notemos que o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N sera: {, }. 6. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde a n. n + n, para cada n N. Observemos que o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N {, 3, 43, 54 },. sera: 7. Considere a sequência numerica (real) (a n ) n N, onde a n. + ( ) n, para cada n N. n Logo, o conjunto dos valores da sequência numerica (a n ) n N {0,, 0,, 0, 3 }, 0,. sera:

19 3.. OPERAC ~OES COM SEQU ÊNCIAS 9 3. Operações com sequências numéricas Como sequências numericas s~ao func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), cujo domnio e N, podemos soma-las, multiplica-las por numeros reais (ou complexos) de maneira semelhante a quando tratamos de quaisquer func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), isto e, Definição 3.. Dadas as sequências numericas (a n ) n N, (b n ) n N e α R (ou C) denimos a sequência numerica soma da sequência numerica (a n ) n N com a sequência numerica (b n ) n N, denotada por (a n ) n N + (b n ) n N, como sendo a seguinte sequência numerica: (a n ) n N + (b n ) n N. (an + b n ) n N, (3.) ou seja, a sequência numerica soma, a saber, (a n ) n N + (b n ) n N, e obtida somando-se os correspondentes termos de cada uma das sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N. Denimos a sequência numerica produto do numero real (respectivamente, complexo) α, pela sequência numerica (a n ) n N, indicada por α (a n ) n N, como sendo a seguinte sequência numerica: α (a n ) n N. (α an ) n N, (3.) ou seja, a sequência numerica produto, isto e, α (a n ) n N, e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada sequência numerica (a n ) n N pelo numero real (respectivamente, complexo) α. Denimos a sequência produto da sequência numerica (a n ) n N pela sequência numerica (b n ) n N, indicada por (a n ) n N (b n ) n N, como sendo a seguinte sequência numerica: (a n ) n N (b n ) n N. (an b n ) n N, (3.3) ou seja, a sequência numerica produto, isto e, (a n ) n N (b n ) n N, e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada uma das sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N. Se b n 0, para todo n N, denimos a sequência numerica quociente da sequência numerica (a n ) n N pela sequência numerica (b n ) n N, indicada por (a n ) n N /(b n ) n N ou como sendo a seguinte sequência numerica: (a n ) n N (b n ) n N, (a n ) n N /(b n ) n N. (an /b n ) n N, (3.4)

20 0 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS ou seja, a sequência numerica quociente, isto e, (a n ) n N /(b n ) n N, e obtida dividindo-se os correspondentes termos de cada uma das sequências numericas (a n ) n N (observe que b n 0, para todo n N). e (b n ) n N Com isto temos o seguinte exerccio: Exercício 3.. Se as sequências numericas (reais) (a n ) n N e (b n ) n N s~aos dadas por:. a n n e b. n ( ) n, para cada n N (3.5) e α., encontrar as sequência numericas: (a n ) n N + (b n ) n N, α (a n ) n N, (a n ) n N (b n ) n N e (a n ) n N /(b n ) n N. Resolução: Logo, de (3.), segue que ( ) (3.5) e (3.) (a n ) n N + (b n ) n N n + ( )n ( ) + ( ) n n). n n N n N De (3.), temos que: De (3.3), segue que (3.5) e (3.) α (a n ) n N ( ). n n N ( ) n n N ( ) (3.5) e (3.3) (a n ) n N (b n ) n N n ( )n ( ) ( ) n. n n N n N Finalmente, de (3.4), temos que: (3.5) e (3.4) (a n ) n N /(b n ) n N n ( ) n ( ) ( ) n n n N. n N

21 3.. OPERAC ~OES COM SEQU ÊNCIAS Observação 3.. Como sequências numericas s~ao func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), cujo domnio e N, podemos representar seus gracos em N R (ou em N C, respectivamente). Denotaremos o graco da sequência numerica (real ou complexa) (a n ) n N por G ( (a n ) n N ), e sera denido por: G ( (a n ) n N ). {(n, an ) ; n N}. Na verdade, isto n~ao tera muito interesse no estudo das sequências numericas. A seguir temos alguns exemplos relacionados com esta quest~ao. Exemplo 3.. Se a sequência numerica (real) (a n ) n N e dada por: ent~ao seu graco sera dado por: a n. n, para cada n N, G ( (a n ) n N ). {(n, n) ; n N}, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: 3 3 n Exemplo 3.. Se a sequência numerica (real) (b n ) n N e dada por:. b n ( ) n, para cada n N, ent~ao seu graco sera dado por: G ( ). (a n ) n N {(n, ( ) n ) ; n N}, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: n Exemplo 3..3 Se a sequência numerica (real) (c n ) n N e dada por. c n, para cada n N, n

22 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS ent~ao seu graco sera dado por: G ( {( ). (a n ) n N n, ) n } ; n N, e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera: / /4 3 4 n 3.3 Convergência de sequências numéricas Observação 3.3. Empiricamente, observando os exemplos acima temos:. No Exemplo (3..), os termos da sequência numerica (a n ) n N crescem, ilimitadamente, quando n cresce, ou ainda, os termos v~ao para "innito", quando n cresce ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito".. No Exemplo (3..), os termos da sequência numerica (b n ) n N oscilam entre e, quando n cresce ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito". 3. No Exemplo (3..3), os termos da sequência numerica (c n ) n N "aproximam-se" de zero, quando n cresce ilimitadamente, isto e, os termos da sequência "tendem" a zero, quando n vai para innito. A seguir vamos formalizar esta ultima situac~ao de modo mais preciso, ou seja, colocar de forma correta o conceito de "convergir" (ou "aproximar-se de", ou ainda "tender a"). Definição 3.3. Diremos que uma sequência numerica (a n ) n N e convergente (ou converge, ou tende) para l R (respectivamente, C), quando n vai para innito, denotandose por: lim a n n l, ou a n l, ou ainda, a n l, n se, e somente se: dado ε > 0, podemos encontrar N o N, de modo que, para Observação 3.3. n N o, deveremos ter a n l < ε. (3.6). A Denic~ao (3.3.) acima nos diz, formalmente, que podemos car t~ao proximo de l, quanto se queira (isto e, dado ε > 0), desde que o ndice da sequência numerica, ou seja, n, seja sucientemente grande (isto e, tenhamos n N o ).

23 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 3. Na linguagem dos intervalos, a Denic~ao (3.3.) acima, nos diz que dado o intervalo (l ε, l + ε) (ou seja, dado ε > 0), todos os termos da sequência numerica caem dentro desse intervalo excetuando-se, eventualmente, os N o primeiros termos da sequência numerica. 3. Em geral, na Denic~ao (3.3.) acima, o numero natural N o depende do numero real positivo ε dado inicialmente. 4. A Denic~ao (3.3.) acima, e semelhante a denic~ao de limites no innito, para func~oes a valores reais, de uma variavel real, estudadas no Calculo I. Compare com aquela e veja as semelhancas. O resultado a seguir, garante a unicidade do limite de uma sequência numerica, caso ele existe, mais precisamente: Proposição 3.3. (unicidade do limite de uma sequência convergente) Se o limite da sequência numerica (a n ) n N existir ele devera ser unico, isto e, se lim a n l e lim a n l, n n ent~ao l l. Demonstração: Mostremos que, para cada ε > 0, teremos o que implica que l l < ε, l l. Para isto temos que, para cada ε > 0, como podemos encontar N N, de modo De modo analogo, como podemos encontrar N N, de modo que lim n a n l, se n N, deveremos ter: a n l < ε. (3.7) lim n a n l, se n N, deveremos ter: a n l < ε. (3.8)

24 4 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Logo, se segue que n N o. max{n, N }, l l l a n + a n l l a n }{{} a n l n N < ε + ε ε, completando a demonstrac~ao do resultado. Temos o:, logo vale (3.7) ε < Exemplo 3.3. A sequência numerica (a n ) n N, dada por + a n l }{{} n N, logo vale (3.8) ε <. a n, n para cada n N, (3.9) e convergente para zero, isto e, lim n n 0. (3.0) Resolução: De fato, observemos que dado ε > 0, se considerarmos N o N, de modo que N o > ε. (3.) Ent~ao, para teremos a n l a n n e l0 n N o, (3.) n>0 n (3.) < ε, n 0 n (3.) N o N o mostrando a armac~ao. Temos temabem o: Exemplo 3.3. A sequência numerica (a n ) n N, dada por e convergente para, isto e,. n a n, para cada n N, (3.3) n + lim n n n +. (3.4)

25 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 5 Resolução: De fato, observemos que dado ε > 0, consioderemos N o N, de modo que N o > ε, (3.5) Ent~ao, se teremos n N o, (3.6) a n l a (3.3) n n n+ e l n n + n n n + n + n + n+ n (3.6) N o N o (3.5) < ε, mostrando que a armac~ao e verdadeira. Um outro caso e dado pelo: Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, dada por n~ao e convergente. Resolução: De fato, observemos que a n. cos(n π), para cada n N, (3.7) a n cos(n π) ( ) n, para n N.. (3.8) Se a sequência fosse convergente para algum l R, ent~ao dado ε > 0, deveria existir um N o N, de modo que, para n N o, deveramos ter ( ) n l <, isto e, l < ( )n < l +,

26 6 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS o que um absurdo, pois isto implicaria que os termos da sequência numerica, (3.8) a n+ e (3.8) a n, deveriam pertencer ao intervalo ( l, l + ), cujo comprimento e igual a (notemos que se os numeros e pertencem a um mesmo intervalo, este intervalo devera ter um comprimento maior ou igual a ), o que e um absurdo. Portanto a sequência numerica n~ao e convergente a aula A seguir temos o seguinte: Exercício 3.3. Consideremos a sequência numerica (a n ) n N, onde seus termos s~ao dados por. a 0.3,. a 0.33,. a ,.. a ,, an 0. } 33 {{ 3 } n casas,. (3.9) Mostre que a sequência numerica (a n ) n N e convergente para, ou seja, 3 Resolução: De fato, dado ε > 0, consideremos N o N, de modo que ou ainda, Logo, para teremos lim a n. (3.0) n }{{} 3.l N o > log 3 ε, ou seja, 0N o > 3 ε, < ε. (3.) No 3 0 n N o, (3.) (3.9) e (3.0) a n l 0. } 3 {{ 3 } 3 n casas n casas {}}{ (n ) casas 0. {}}{ 0 0 3

27 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 7 0 n n n (3.) N o < (3.) < ε, 3 0 N o como queramos mostrar, completando a resoluc~ao do exerccio. Definição 3.3. Diremos que uma sequência numerica (a n ) n N e limitada, se existir M > 0, de modo que a n M, para todo n N. (3.3) Observação Nos Exemplos (3.3.), (3.3.), (3.3.3) e Exerccio (3.3.) acima, todas sequências numericas s~ao limitadas. Observemos que nem todas elas s~ao sequência numericas convergentes (veja o Exemplo (3.3.3)). Como veremos a seguir existe uma relac~ao entre sequencias numericas convergentes e sequencias numericas limitadas, a saber: Proposição 3.3. Toda sequência numerica convergente e limitada, isto e, se a sequência numerica (a n ) n N e convergente, ent~ao ela sera uma sequência numerica limitada. Demonstração: Como a sequência numerica (a n ) n N e convergente, segue que existe l R, de modo que lim n a n l, ou seja, dado ε > 0, podemos encontrar N o N, de modo que Em particular, se tomarmos poderemos encontrar N o N, de modo que para n N o, teremos: a n l < ε. ε., para n N o, teremos a n l <, ou seja, para n N o, teremos < a n l < ou, equivalentemente, l < a n < + l, para n N o, ou ainda, l < a n < l +, para n N o, isto e, a n < l +, para n N o. (3.4)

28 8 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Denamos Como isto temos que como queramos demonstrar. M. max { a, a,, a No, l + }. (3.5) a n M para todo n N, Observação A recproca do resultado acima e falsa, isto e, nem toda sequência numerica limitada e convergente, como mostra o Exemplo (3.3.3). A seguir temos algumas propriedades gerais para convergência de sequências numericas. Teorema 3.3. (propriedades basicas da convergência de sequências) Sejam (a n ) n N, (b n ) n N e (c n ) n N sequências numericas.. Se as sequencias numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para a e b, respectivamente, ent~ao a sequência numerica (a n ) n N +(b n ) n N e convergente para a + b, isto e, se existem lim a n a e lim b n b, ent~ao existe lim (a n + b n ) e n n n isto e, lim n (a n + b n ) a + b, Vale os analogos para as sequências numericas lim (a n + b n ) lim a n + lim b n. (3.6) n n n (a n ) n N (b n ) n N, (a n ) n N (b n ) n N e (a n ) n N (b n ) n N, ou seja, as respectivas sequências numericas ser~ao convergentes para a a b, a b e b, onde, no ultimo caso deveremos ter b n, b 0 para todo n N, respectivamente, ou seja: ou ainda, lim (a n b n ) a b, n lim (a n b n ) a b, n a n lim a n b n b, lim (a n b n ) lim a n lim b n, (3.7) n ( n ) n ( ) lim (a n b n ) lim a n lim b n, (3.8) n n n a n lim n b n lim a n n lim b. (3.9) n n

29 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 9. Se as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para a e b, respectivamente, e a n b n, para cada n N, ent~ao isto e, a b, lim a n lim b n. (3.30) n n 3. Se a sequência numerica (a n ) n N e convergente para zero e a sequência numerica (b n ) n N e limitada, ent~ao a sequência numerica (a n ) n N (b n ) n N (a n b n ) n N e convergente para zero, isto e, lim (a n b n ) 0. (3.3) n 4. Suponhamos que as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para l e a sequência numerica (c n ) n N satisfaz: a n c n b n, para cada n N. (3.3) Ent~ao a sequência numerica (c n ) n N e convergente para l, isto e, Demonstração: De.: Comecemos demonstrando (3.6): Como lim c n l. (3.33) n lim a n a e lim b n b, n n dado ε > 0, podemos encontrar N, N N, de modo que se n N temos a n a < ε (3.34) e se n N temos b n b < ε. (3.35) Logo, tomando-se temos para N o. max{n, N }, (3.36) n N o, (3.37)

30 30 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS segue que (a n + b n ) (a + b) (a n a) + (b n b) a n a + b n b n (3.37) N o (3.36) N e n (3.37) N o (3.36) N, logo valem (3.4) e (3.35)] < mostrando que lim n (a n + b n ) a + b ou, equivalentemente, lim (a n + b n ) lim a n + lim b n, n n n ε + ε ε, mostrando a validade da identidade (3.6). A demonstrac~ao de (3.7) e analoga e sera deixada como exerccio para para leitor. Demonstrac~ao da indentidade (3.8): Vamos supor que a 0 Como as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, pela Proposic~ao (3.3.), elas ser~ao sequências numericas limitadas, em particular, a sequência (b n ) n N e uma sequência numerica limtada. Logo devera existir M > 0, tal que b n M, para todo n N. (3.38) Dado ε > 0, como as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, tais que: se n N, teremos: a n a < ε M, (3.39) Seja Observemos que logo se n N, teremos b n b < ε. (3.40) a }{{} >0 N o. max{n, N }. (3.4) se n N o, segue, de (3.4), que n N e n N. (3.4) (a n b n ) (a b) (a n a) b n + (b n b) a a n a b n + b n b a (3.38) < a n a M + b n b a (3.4) implca que vale (3.39) e (3.40) < ε + ε ε, ε M M + ε a a

31 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 3 mostrando que ou, equivalentemente, isto e, a validade de (3.8). Se lim n (a n b n ) a b lim (a n b n ) lim a n n n b 0, lim n b n, podemos fazer uma demonstrac~ao semelhante e esta sera deixada como exerccio para o leitor. Se a b 0, ent~ao temos que dado ε > 0, como as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, tais que: se n N, teremos: a n a0 a n 0 < ε, (3.43) se n N, teremos: b n b0 b n 0 < ε. (3.44) Seja N o. max{n, N }. (3.45) Observemos que Neste caso teremos: se n N o, de (3.45), segue que n N e n N. (3.46) (a n b n ) a b ab0 a n b n a n b n (3.46), implica na validade de: (3.43) e (3.44) < ε ε ε, mostrando que ou, equivalentemente, lim n (a n b n ) 0 lim (a n b n ) lim a n n n lim n b n, isto e, a validade de (3.8). A demonstrac~ao de (3.9) e semelhante e sera deixada como exerccio. De.: Suponhamos, por absurdo, que a > b, isto e, lim n a n > lim n b n. Logo, a b > 0,

32 3 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS dado ε. a b > 0, (3.47) como as sequências numericas (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes, podemos encontrar N, N N, de modo que e se n N, teremos a n a < ε, ou seja, ε < a n a < ε, isto e, ε + a < a n < ε + a, que, de (3.47), e o mesmo que: a b + a < a n < a b + a, } {{} a+b em particular, teremos: a + b < a n. (3.48) assim isto e, Logo, que, de (3.47), e o mesmo que: se n N, teremos b n b < ε, em particular, teremos: ou seja, ε < b n b < ε, isto e, ε + b < b n < ε + b, a b b n < a + b + b < b n < a b + b, } {{} a+b. (3.49) se n max{n, N }, teremos n N e n N, (3.50) (3.50) implica na validade de (3.50) b n < o que e um absurdo pois, por hipotese, a + b b n < a n, se n max{n, N }, a n b n, para todo n N, (3.48) implica na validade de (3.50) < a n, isto e, vale (3.30). De 3.: Como a sequência numerica (b n ) n N e uma sequência numerica limitada, podemos encontrar M > 0, tal que b n M, para todo n N. (3.5) Por outro lado, como a sequência numerica (a n ) n N e uma sequência numerica convergente para zero, dado ε > 0, podemos encontrar N o N, tal que se n N o teremos: a n a n 0 < ε M. (3.5)

33 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 33 Logo, dado dado ε > 0, se n N o, teremos mostrando que a n b n 0 a n b n (3.5) e (3.5) lim n (a n b n ) 0, ε M M < ε, ou seja, a validade de (3.3). De 4.: Como as sequências (a n ) n N e (b n ) n N s~ao convergentes para l, dado ε > 0, podemos encontrar N, N N, tais que: Logo denido-se se n N, teremos: a n l < ε, que implicara em: ε ( ) < a n l < ε, (3.53) se n N, teremos: b n l < ε, que implicara em para n N o, teremos que n N e n N, assim ε ε < b n l ( ) < ε (3.54) N o max{n, N }, (3.55) ( ) em (3.53) < a n l an ou seja, ε < c n l < ε, ou, equivalentemente, c n l < ε, (3.3) c n c n l cn (3.3) b n b n l ( ) em (3.54) < ε, mostrando que lim n c n l, isto e, a validade de (3.33), completando a demonstrac~ao do resultado. Observação O item. do Teorema (3.3.) acima, e conhecido como o Teorema da Compa ração para sequências numericas.. Uma sequência numerica que tem limite zero sera dita infinitésimo. Com isto o item 3. do Teorema (3.3.) acima, pode ser resumido como: "o produto de uma sequência numerica que e um innitesimo, por uma sequência numerica limitada e uma sequência numerica que e um innitesimo". 3. O item 4. do Teorema (3.3.) acima, e conhecido como o Teorema do sanduiche ou do confronto para sequências numericas.

34 34 CAPITULO 3. SEQU ^ENCIAS NUM ERICAS Apliquemos os resultados acima ao: Exemplo Mostre que lim n n + (n + ) + + ( n) 0. }{{} (n+) parcelas Resolução: Para isto observemos que.c {}} n {. a n 0 n + (n + ) + + ( n) }{{} para cada n N. Notemos que: n + n n + n... n n n + n (n+) parcelas n + n. bn, n + n + + n }{{} (n+) parcelas lim a a n 0 n 0, (3.56) n e do Exemplo (3.3.) e do item. do Teorema (3.3.), segue qe ( lim b n lim n n n + ) n ou seja, de (3.56) e (3.57), teremos: (3.6) e (3.8) lim n n + ( lim n ) ( lim n n ) n (3.0) , (3.57) lim a n 0 n }{{}.l lim n b n. Logo, do item 4. do Teorema (3.3.) (isto e, do Teorema do sanduiche), segue que lim n n + (n + ) + + (n) }{{ lim a n lim n } (n+) parcelas 0. n b n (3.57)

35 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 35 Observação Vale observar que no Exemplo (3.3.4) acima, não podemos aplicar a propriedade de soma de limites, isto e, limite da soma e a soma dos limites, pois o numero de parcelas de a n aumenta, quando n aumenta. Observemos que para: n (duas parcelas), temos que: a + n (três parcelas), temos que: a e assim por diante. n 3 (quatro parcelas), temos que: a Um resultado bastante importante no estudo da convergência de sequências numericas e o que relaciona limites de sequências numericas com limites, no innito, de func~oes a valores reais, de uma variavel real (estudado no Calculo ), a saber: Teorema 3.3. Seja f : [, ) R uma func~ao e suponhamos que Ent~ao a sequência numerica (a n ) n N, onde lim f(x) l R. (3.58) x a n. f(n), para n N, (3.59) e convergente para l, isto e, Demonstração: Dado ε > 0, como dado R > 0, de modo que lim a n lim f(x). (3.60) n x lim x f(x) l R, Seja N o N, de modo que Logo ou seja, se x R, teremos: f(x) l < ε. (3.6) N o R. (3.6) (3.6) se n N o R, teremos, por (3.6), que: f(n) l < ε, }{{} (3.59) a n se n N o, teremos: a n l < ε, mostrando que a sequência numerica (a n ) n N e convergente para l, ou seja, vale (3.60), completando a demonstrac~ao.

36 36 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Observação Observemos que NÃO podemos aplicar as regras de L'Hôspital para sequências numericas (a n ) n N. Porem, podemos utilizar o resultado acima para estudar o limite de func~oes a valores reais, de uma variavel real, no innito (utilizando, se possvel, a regra de L'Hôspital), e assim tirar conclus~oes para o limite da sequências numericas associada, como veremos em alguns exemplos a seguir. Exemplo Mostre que lim n Resolução: Para isto, consideremos a fumc~ao f : [, ) R dada por Notemos que: Notemos que n n + 0. (3.63) f(x). x, para cada x [ ). (3.64) x + x lim f(x) lim x x x + a n do tipo:, por L'Hôspital lim x lim x x Exerccio de Calculo 0.. n n + d [ x] dx [ x + ] d dx (3.64) f(n), para cada n N. Logo, do Teorema (3.3.) acima, segue que a sequência numerica ( ) n (a n ) nn N n + e convegente para l 0, ou seja, ou ainda, como armamos. n lim n n lim n n N lim n a n lim x f(x) 0, n n + 0,

37 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 37 Exemplo Estudemos a convergência da sequência numerica (a n ) nn N, onde a n Resolução: Denamos a func~ao f : [, ) R dada por. n, para cada n N. (3.65) en f(x). x, para cada x [, ). (3.66) ex Notemos que: x lim f(x) lim x x e x, por L'Hôspital lim x d dx x d dx ex lim x e x Exerccio de Calculo 0, (3.67) onde estamos utilizando o fato que ultimo limite foi tratado na disciplina Calculo I. De (3.65), temos que a n (3.65) n e n Assim, do Teorema (3.3.) acima, segue que (3.66) f(n), para cada n N. lim n n e n lim n a n lim x f(x) (3.67) 0, ou seja, ou seja, sequência numerica lim n n e n 0, ( n ) (a n ) nn N e n e convegente para l 0, completando a resoluc~ao. n N Exemplo A sequência numerica (a n ) nn N, onde a n. ( + n) n, para cada n N, (3.68) e convergente para e (ou seja, o numero de Euler).

38 38 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Resolução: Consideremos a func~ao f : [, ) R dada por f(x). ( + x) x, para cada x [, ). (3.69) Ent~ao, do.o limite fundamental (estudado em Calculo ), segue que lim f(x) e. (3.70) x Notemos que (3.68) a n ( + ) n n Assim segue, do Teorema (3.3.) acima, que (3.69) f(n), para cada n N. (3.7) ( lim a (3.68) n lim + ) n n n n (3.7) lim x f(x) (3.70) e, ou seja, ou ainda, a sequência numerica ( lim + n e, n n) (a n ) nn N (( + ) n ) n n N e convegente para e, como queramos mostrar. Exemplo Seja r (0, ) xado. Ent~ao a sequência numerica (a n ) n n N, onde a n. r n, para cada n N, (3.7) e convergente para 0, se r (0, ),, se r, n~ao sera convergente, se r (, ).

39 3.3. CONVERG ÊNCIA DE SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 39 Resolução: Notemos que, se teremos que r 0, a n (3.7) r n r0 0 n 0, para cada n N, e assim a a sequência numerica sera convergente para 0. Se teremos que (a n ) n n N (r n ) n N r, a n (3.7) r n r n, para cada n N, e assim a a sequência numerica sera convergente para. Por outro lado, se temos que (a n ) n n N (r n ) n N r (0, ) (, ), Portanto, se a n (3.7) r n e assim a sequência numerica (a n ) n n N Se logo a sequência numerica (a n ) n n N e n ln r, para cada n N. (3.73) r (0, ], teremos que ln r < 0, e convergente para zero, pois ln r Exerccio de Calculo lim ex 0, para cada r (0, ]. x r (, ), teremos ln r > 0, n~ao sera convergente pois, neste caso completando a resoluc~ao. ln r Exerccios de Calculo lim ex, para cada r (, ), x

40 40 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Observação Vale observar, uma vez mais, que NÃO podemos aplicar a Regra de L'Hôspital, diretamente, as sequências numericas.. O Teorema (3.3.) acima não garante que se o limite lim f(x) não existe, ent~ao x o limite lim a n tambem n~ao existira, onde n como mostra o seguinte exemplo: a n. f(n), para cada n N, Consideremos a func~ao f : R R dada por f(x) sen(π x), para cada x R. (3.74) Notemos que o limite lim f(x) x n~ao existe (Exerccio de Calculo ) porem, considerando-se a sequência numerica (a n ) n N, onde. f(n) a n (3.74) sen(π n) 0, para n N, teremos lim a n 0, n ou seja, a sequência numerica (a n ) n N sera convergente (para 0). 3. Todos os resultados apresentado acima permanecem verdadeiros se substituirmos a hipotese n N, por n N o, para algum N o N xado. Por exemplo, no item. do Teorema (3.3.), se trocarmos a hipotese: a n b n, para cada n N, por a n b n, para cada n N o, a conclus~ao continuara valida, isto e, lim a n lim b n. n n Observação Como vimos anteriormente (veja a Proposic~ao (3.3.)) toda sequência numerica convergente e limitada, mas não vale a recproca (veja o Exemplo (3.3.3)). A quest~ao que poderamos colocar e a seguinte: alem de ser limitada, que propriedade(s) uma sequência numerica poderia ter, para que pudessemos garantir que ela sera convergente? A seguir introduziremos uma nova classe de sequências numericas que nos ajudar~ao a responder essa pergunta.

41 3.4. SEQU ÊNCIAS MON OTONAS Sequências numéricas monótonas Definição 3.4. Diremos que uma sequência numerica (a n ) n N e:. crescente se:. decrescente se: a n+ a n, para cada n N. (3.75) a n+ a n, para cada n N. (3.76) 3. estritamente crescente se: a n+ > a n, para cada n N. (3.77) 4. estritamente decrescente se a n+ < a n, para cada n N. (3.78) Se a sequência numerica (a n ) n N for de um dos tipos acima ela sera dita monótona. Exemplo 3.4. A sequência numerica (a n ) n N, onde e estritamente crescente (portanto monotona) Resolução: De fato, pois a n. n, para cada n N, (3.79) a n+ (3.79) n + > n mostrando que a equência numerica (3.79) a n, para cada n N, (a n ) n N (n) n N e estritamente crescente. Exemplo 3.4. A sequência numerica (a n ) n N, onde por e estritamente decrescente (portanto monotona).. a n, para cada n N, (3.80) n

42 4 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Resolução: De fato, pois (3.80) a n+ n + n+>n < n (3.80) a n para cada n N, mostrando que a equência numerica ( ) (a n ) n N n e estritamente decrescente. n N Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, onde por não e monotona. Resolução: Notemos que a n. cos(n π), para cada n N, (3.8) a n (3.8) cos(n π) ( ) n, para cada n N, que mostra que nenhuma das condic~oes da Denic~ao (3.4.) ocorrera. Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente (portanto monotona).. a n, para cada n N, (3.8) n Resolução: De fato, pois, como segue que n+ > n, para cada n N, a n+ (3.8) n+ < n (3.8) a n,

43 3.4. SEQU ÊNCIAS MON OTONAS 43 para cada n N, mostrando que a sequência numerica ( ) (a n ) n N e estritamente decrescente. n n N a aula Observação Podemos estudar a monotonicidade de uma sequência numerica (a n ) n N, estudandose o comportamento da sequência numerica dada por: ) se a n 0, para cada n N. Para ilustrar, suponhamos que Com isto teremos que: ( an+ a n n n N, a n > 0, para cada n N. a n+ a n, para cada n N se, e somente se a sequência numerica (a n ) n N e crescente.. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal e a palavra 3. Notemos tambem que, se, pelo sinal: > crescente, pela palavra: estritamente crescente. a n > 0, para cada n N, temos que a n+, para cada n N a n se, e somente se a sequência numerica (a n ) n N e decrescente. 4. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal e a palavra, pelo sinal: < decrescente, pela palavra: estritamente decrescente.

44 44 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS 5. Podemos obter resultado analogos aos acima, para o caso que trocando-se as palavras e vice-versa. Conclusão: supondo que a n < 0, para cada n N, crescente, pela palavra: decrescente. a n > 0 (ou a n < 0), para cada n N, a sequência numerica (a n ) n N sera monotona se, e somente se, ou ( a n+ ou a ) n+, para cada n N. a n a n 6. Podemos, quando possvel, estudar a monotonicidade de uma sequência numerica (a n ) n N estudando-se a monotonicidade de uma func~ao f : [, ) R, onde a n. f(n), para cada n N. Por exemplo, se a func~ao f e crescente (respectivamente, estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente), isto e, f(x) f(y) (respectivamente, >,, <), para cada x y, ent~ao a sequência numerica (a n ) n N, a n. f(n), para cada n N sera crescente (respectivamente, estritamente crescente, decrescente, estritamente decrescente). 7. Lembremos que, quando possvel (ou seja, se a func~ao f : [, ) R for diferenciavel em [, )), poderemos estudar a monotonicidade da func~ao f acima, estudando o sinal de sua derivada, mais precisamente: se f (x) 0, para todo x [, ), a func~ao f sera crescente em [, ), se f (x) > 0, para todo x [, ), a func~ao f sera estritamente crescente em [, ), se f (x) 0, para todo x [, ), a func~ao f sera decrescente em [, ), se f (x) < 0, para todo x [, ), a func~ao f sera estritamente decrescente em [, ).

45 3.4. SEQU ÊNCIAS MON OTONAS Pode ocorrer da func~ao f : [, ) R não ser uma func~ao monotona, mas a sequência numerica (a n ) n N, onde a n. f(n), para cada n N ser monotona, como mostra o seguinte exemplo: Consideremos a func~ao f : [, ) R dada por f(x). sen(π x), para cada x [, ). Ent~ao a func~ao f n~ao e monotona, mas a sequência numerica (a n ) n N, onde a n. f(n) sen(π n) 0, para cada n N, e uma sequência numerica monotona, pois Apliquemos as ideias acima aos: a n+ 0 0 a n, para cada n N. Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente. Resolução: De fato, pois. n a n, para cada n N, (3.83) n + a n+ (3.83) a n n + n + (n + ) (n + ) + n n + n + n n + n + n + n + >. (3.84) } n {{ + } >0 para cada n N. Como a n (3.83) < 0, para n N,

46 46 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS para cada n N, multiplicando-se (3.84) por a n, segue que a n+ < a n, para cada n N, ou seja, a sequência numerica (a n ) n N e estritamente decrescente, em particular, sera uma sequência numerica monotona. Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, onde e estritamente crescente.. n a n, para cada n N, (3.85) 3 n + Resolução: De fato, pois para cada n N. Como a n+ (3.85) a n (n + ) 3 (n + ) + n 3 n + n + 3 n + 3 n + 5 n 6 n + 0 n n + 0 n 4 >, (3.86) } 6 n {{ + 0 n } >0 a n (3.85) < 0, para cada n N, para cada n N, multiplicando-se (3.86) por a n, segue que a n+ > a n, para cada n N, ou seja, a sequência numerica (a n ) n N e estritamente crescente, em particular, sera sequência numerica monotona. Exemplo A sequência numerica (a n ) n N, onde e estritamente decrescente. a n. ln(n + ) n +, para cada n N, (3.87)

47 3.4. SEQU ÊNCIAS MON OTONAS 47 Resolução: De fato, consideremos a func~ao f : [, ) R, dada por Notemos que f(x). ln(x + ) x + (3.87) a n, para cada x [, ). (3.88) ln(n + ) n + (3.88) f(n), para cada n N. (3.89) Por outro lado, notemos que a func~ao f e diferenciavel em [, ) e f (x) (3.88) d [ ] ln(x + ) dx x + (x + ) ln(x + ) regras de derivac~ao x + (x + ) para x [, ). De fato, pois se Logo, como ln(x + ) (x + ) < 0 x [, ), teremos x + > e, logo, ln(x + ) >, ou seja, ln(x + ) < 0. f (x) < 0, para x [, ), segue, do item 7. da Observac~ao (3.4.), que a func~ao f sera estritamente decrescente e assim, pelo item 6. da mesma Observac~ao, teremos que a sequência numerica (a n ) n N tambem sera estritamente decrescente (pois a n (3.89) f(n), para cada n N). Observação 3.4. Sabemos que toda sequência numerica convergente e limitada (veja a Proposic~ao (3.3.)), mas nem toda sequência numerica limitada e convergente (veja o Exemplo (3.3.3)). A pergunta que podemos formular e a seguinte: que outra propriedade a sequência numerica podera ter (alem de ser limitada), para que possamos garantir que ela seja converente? A resposta sera dada no resultado a seguir: Teorema 3.4. Toda sequência numerica limitada e monotona sera convergente em R.

48 48 CAPITULO 3. SEQU ÊNCIAS NUM ERICAS Demonstração: Faremos a demonstrac~ao para o caso em que a sequência numerica (a n ) N N seja crescente. Os outros casos ser~ao deixados como exerccio para o leitor. Como a sequência numerica (a n ) N N e limitada temos que existe M > 0, de modo que a n M, para cada n N. Logo o conjunto sera limitado em R. Portanto existe A. {a n ; n N} L. sup{a n : n N} R. Armamos que lim n a n L. De fato, dado ε > 0, da denic~ao de supremo, como podemos encontrar N o N, de modo que L. sup{a n : n N} R, L ε < a No L. (3.90) Como a sequência numerica (a n ) N N e crescente temos, para n N o, que L ε (3.90) < a No a n L e limitante superior do conjunto A L < L + ε, (3.9) ou seja, para n N o, teremos ou ainda mostrando que como queramos demonstrar. Observação L ε < a n < L + ε, a n L < ε, para n N o, lim n a n L sup{a n ; n N},. O Teorema (3.4.) acima nos diz que se uma sequência (a n ) n N e monotona e limitada, ent~ao ela sera convergente para algum L R e, alem disso, lim a n L sup{a n ; n N}. (3.9) n

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