EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES

Transcrição

1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: MÉTODOS DE SÉRIES MAURICIO A. VILCHES Departamento de Análise - IME UERJ

2 Copyright by Mauricio A. Vilches c Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total

3 3 PREFÁCIO Nestas notas abordaremos todos os tópicos da ementa das disciplinas Cálculo Diferencial e Integral IV e Complementos de Equações Diferenciais oferecidas pelo Departamento de Análise do IME-UERJ. O Volume, é dedicado ao estudo das soluções por séries de potências das equações diferenciais ordinárias, as séries de Fourier e as soluções por séries de Fourier das equações diferenciais parciais clássicas. Historicamente, o primeiro que utilizou sistematicamente as séries de potências foi Isaac Newton, em 665, em seu famoso Teorema Binomial, ele publicou seus resultados no livro "A Treatise of the Methods of Series and Fluxions". Isaac Newton descobriu que qualquer equação pode ser resolvida, utilizando séries de potências com coeficientes indeterminados, os quais podem ser sempre obtidos. A rigorosa teoria da convergência das séries é devida a Augustin-Louis Cauchy e Niels Henrik Abel, entre outros. Posteriormente, a teoria das séries de potências converte-se na teoria das Funções Analíticas. As chamadas séries de Taylor, foram inicialmente utilizadas pelo matemático escocês James Gregory; posteriormente, foram formalmente introduzidas pelo matemático inglês Brook Taylor, em 75. Porém quem divulgou e popularizou as séries de Taylor foi Joseph-Louis Lagrange am 77. Se a série de Taylor é centrada em zero, é chamada de Maclaurin. Colin Maclaurin foi um matemático escosês que as utilizou no século XVIII. Na atualidade, muitas funções importantes em Matemática podem ser expressas como séries de potências ou Taylor, as quais são a generalização dos polinômios, no seguinte sentido: Uma função pode ser aproximada usando um número finito de termos de sua série de Taylor. O teorema de Taylor indica estimativas quantitativas sobre o erro cometido ao utilizar tal aproximação. O polinômio formado pelos n primeiros termos da série de Taylor é dito polinômio de Taylor de grau n e se aproxima da função de forma bastante razoável, para certos tipos de problemas.

4 4 Em geral, notamos que uma função pode não ser igual a sua série de Taylor, mesmo que convirga em todos os pontos. Por outro lado, as funções que são iguais a sua série de Taylor, num determinado domínio aberto, são chamadas analíticas nesse domínio. O capítulo dois, é sobre o estudo da convergências das séries de funções pode ser podem ser revistos posteriormente, quando o leitor esteja interessado nos fundamentos matemáticos das soluções da equações diferenciais ordinárias e parciais. O capítulo três, é dedicado as séries de potências. Os capítulos quatro, cinco e seis, são dedicados a desenvolver métodos, utilizando as séries de potências, de resolução de diversas equações diferenciais ordinárias, especialmente as chamadas clássicas. Nesta nova versão das notas, foram incluidos os capítulos quinze, dezesseis, dezessete e dezoito, todos dedicados ao estudo dos Polinômios Ortogonais Clássicos, fonte de inúmeras aplicações em diversas áreas. Os seguintes capítulos são dedicados ao estudo do Método de Fourier para obter as soluções das equações diferenciais parciais clássicas. As séries de Fourier, como as séries de Taylor, são casos especiais das séries de funções, estudadas anteriormente. Jean-Baptiste Fourier apresentou no ano de 8, ao mundo acadêmico, seu grande trabalho "Théorie Analytique de la Chaleur", o qual demorou anos para escrever. Esta obra teve ínicio en 87, quando apresentou a "Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides"ao Instituto de França, que tinha aberto um concurso para esclarecer as dificuldades de entender as derivações das equações diferenciais que regem o fluxo do calor e o uso extensivo em sua solução das expansões trigonométricas, conhecidas hoje como série de Fourier. A banca do concurso era formada por Joseph-Louis Lagrange, Pierre-Simon Laplace e Gaspard Monge, que não gostaram do trabalho apresentado por Fourier, pois contradizia muitos conceitos da época, como o fato de se compor funções, inclusive descontínuas, por séries de funções trigonométricas simples. A banca teve fortes ressalvas, pela falta de rigor matemático de Fourier. Porém, percebeu que além destas ressalvas, existiam muitas ideias novas, de grande

5 importância para o avanço da teoria do espalhamento do calor. Finalmente a banca reconheceu a importância do trablho e concedeu o prêmio a Fourier. Outros grandes matemáticos, como Johann Peter Dirichlet, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, Jean le Rond D Alambert, Simón-Denis Poisson e Georg. Cantor, contribuiram de forma exemplar, para estabelecer definitivamente as séries de Fourier. Na atualidade, as séries de Fourie, são um caminho natural para o estudo inicial das Equações Diferenciais Parciais do calor, onda e Laplace. O capítulo sobre as convergências das séries de funções pode ser podem ser revistos posteriormente, quando o leitor esteja interessado nos fundamentos matemáticos das soluções da equações diferenciais ordinárias e parciais. Os pré-requisitos básicos deste livro podem ser visto em [VC], [VC] e [NP]. Desejo agradecer de forma muito especial a minha colega professora Maria Luiza Corrêa pela leitura rigorosa dos manuscritos, além dos inúmeros comentários e observações, os quais permitiram dar clareza aos tópicos estudados. 5 Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro

6 6

7 Conteúdo SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 3. Introdução Sequências Numéricas Séries Numéricas Testes de Convergência Teste (de divergência) Teste (de Comparação) Teste 3 (da Integral) Teste 4 (do Quociente I) Séries Alternadas Teste 5 (Séries alternadas) Convergência Absoluta Teste 6 ( do Quociente I I) Teste 7 (da Raiz) Exercícios SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 37. Introdução Sequências de Funções Convergência Uniforme Séries de Funções SÉRIES DE POTÊNCIAS Introdução Séries de Potências Funções Analíticas Séries de Taylor Exercícios SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Introdução Equações Diferenciais Ordinárias Soluções em Torno de Pontos Regulares

8 8 CONTEÚDO 4.4 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem Determinação da Solução Exemplos A Equação de Legendre Exemplos e Aplicações Exercícios MÉTODO DE FROBENIUS 3 5. Introdução Soluções em Torno de Pontos Singulares A Equação Indicial Exemplos e Aplicações Exercícios A EQUAÇÃO DE BESSEL 5 6. Introdução A Edo de Bessel Edo de Bessel de Ordem Zero Primeira Solução: Segunda Solução: Função Gama Edo de Bessel de Ordem ν > Primeira solução: Segunda Solução A Edo de Bessel de Ordem ν = / Exemplos e Aplicações Exercícios SÉRIES DE FOURIER Introdução Funções Periódicas Exemplo Fundamental Álgebra Linear Funções Ortogonais Séries de Fourier Observações Básicas sobre Integrabilidade Exemplos Linearidade dos Coeficientes de Fourier Funções Não Periódicas: Extensões Extensão Par Extensão Ímpar Extensão por Zeros

9 CONTEÚDO Séries dos Co-senos Séries dos Senos Exercícios CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 9 8. Continuidade por Partes Diferenciabilidade por Partes Convergências Convergência Pontual Convergência Uniforme Observações sobres os coeficientes de S[f] Fenômeno de Gibbs Integração das Séries de Fourier Derivação das Séries de Fourier Convergência em Média Aplicações Exercícios PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE Introdução Problemas de Contorno Problemas de Sturm-Liouville Problemas de Sturm - Liouville Regulares Exemplos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 69. Introdução Equações Diferenciais Parciais Lineares de Segunda Ordem Exemplos de Edp s Lineares de Segunda Ordem Edp do calor ou de difusão Edp da onda Edp de Poisson Edp de Schrödinger Edp s Lineares de Segunda Ordem em R Classificação das Edp s Lineares de Segunda Ordem em R Álgebra Linear Condições de Fronteira e Iniciais para Edp s Método de Separação das Variáveis Exercícios

10 CONTEÚDO EQUAÇÃO DO CALOR 87. Introdução Condição Inicial Condições de Fronteira Problema de Dirichlet Homogêneo Separação das Variáveis Análise da Solução Princípio do Máximo do Calor Problema de Dirichlet Não Homogêneo Solução de Equilíbrio Determinação da Solução Problema de Neumann Separação das Variáveis Problema de Robin Separação das Variáveis Determinação de b n Calor num Anel Separação das Variáveis Exercícios EQUAÇÃO DA ONDA 33. Separação das Variáveis Análise da Solução Validade da Solução Primeiro Caso Segundo Caso Harmônicos e Nodos Solução de d Alembert A Onda Infinita Reversibilidade da edp da onda Equação de Euler - Bernoulli: Vibração de uma Viga Separação das Variáveis Exercícios EQUAÇÃO DE LAPLACE Funções Harmônicas e Princípio do Máximo Problema de Dirichlet em Retângulos Separação das Variáveis Problema de Dirichlet em Discos Problema Interno a um Disco Separação das Variáveis Estudo da Solução Núcleo de Poisson

11 CONTEÚDO 3.9 Problema Externo a um Disco Separação das Variáveis Problema num Semi-disco Separação das Variáveis Problema de Dirichlet para Anéis Separação das Variáveis Exercícios COMPLEMENTOS DE EDP Introdução Equação do Calor Aplicação Perturbação da Equação do Calor Edp do Calor: Caso Geral Solução do Sistema Calor numa Barra Infinita Edp de Burgers Equação da Onda Aplicação Perturbação da Equação da Onda Edp da Onda: Caso Geral Solução do Sistema Vibrações Forçadas ESPAÇOS NORMADOS Produto Interno Espaços Normados Espaços Métricos Exercícios ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES Introdução Ortogonalidade Sequências e Séries O espaço L O espaço L w Exercícios POLINÔMIOS ORTOGONAIS Introdução Funções Geratrizes Fórmula de Rodrigues Séries de Polinômios Aproximação em L W

12 CONTEÚDO 7.6 Polinômios Ortogonais Clássicos Exercícios POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE e CHEBYCHEV Polinômios de Legendre Fórmula de Rodrigues Geratriz Ortogonalidade Recorrências Propriedades Séries de Legendre Aplicação Campo Elétrico Edo de Laplace Polinômios de Hermite Geratriz Fórmula de Rodrigues Ortogonalidade Recorrências Propriedades Séries de Hermite Aplicações Equação de Weber Equação de Schrödinger Polinômios de Chebyshev Geratriz Fórmula de Rodrigues Propriedades Ortogonalidade Recorrências Séries de Chebychev Exercícios Bibliografia 488

13 Capítulo SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS. Introdução Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas demostrações ou que desejem aprofundar-se nos assuntos deste capítulo, indicamos [LE] e [RW] na bibliografia.. Sequências Numéricas Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais. Definição.. Uma sequência de números reais é uma função: f : N R. Observação... As notações clássicas para sequências são: f(n) = a n, o termo geral da sequência.. A sequência é denotada por: ( an ) n N = ( a, a,......, a n,... ). 3

14 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 3. Não confundir a sequência ( a n )n N com {a, a,......, a n,... } que é o conjuntoimagem da função que define a sequência. Exemplo.. ( ) [] Seja n n N = (,, 3,..., n,... ) ; o conjunto-imagem é: { n / n N}. [] Seja ( n )n N = (,,..., n,... ) ; o conjunto-imagem é: { n / n N}. [3] Seja ( ( ) n) n N = (,,,..., ( ) n,... ) ; o conjunto-imagem é: {, } Figura.: Gráficos das sequências ( ) ( ) e n n Definição.. Uma sequência ( a n converge para o número real L quando para )n N todo ε > existe n N tal que a n L < ε para todo n > n. Observação... Se a sequência ( a n converge para L, denotamos: )n N lim a n = L; n + o número L é dito o limite da sequência.

15 .. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5. Uma sequência é dita divergente se não converge. 3. Logo, a sequência ( a n diverge quando, para nehum número real L, se tem )n N lim a n = L, ou seja, se existe ε > tal que para cada n N existe n > n tal n + que a n L ε. Exemplo.. [] A sequência (n) n N = (,, 3,..., n,...), claramente, diverge. Pois: lim n n + não existe. ( ) [] A sequência converge a zero. n n N De fato, dado ε > devemos determinar um número n N tal que para todo n > n : n < ε = n < ε desde que n > ε. Como ε pode não ser um número natural, escolhemos n > ε. Logo, para todo n > n, temos: n < ε. Logo: lim n + n =. [3] A sequência constante (k) n N, k R converge para k. Logo: lim k = k. n + Proposição.. Se uma sequência converge para L e para M, então, L = M. Isto é, se o limite de uma sequência existe, êle é único. Observação.. Se (a n ) n N converge, então, ( a n ) n N converge. A recíproca é falsa. Veja o exemplo seguinte.

16 6 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Exemplo.3. [] A sequência (( ) n ) n N diverge, pois, seus termos oscilam entre + e ; logo, a sequência não tem limite. [] Por outro lado, a sequência ( ( ) n ) n N é convergente. Definição.3. Uma sequência ( a n )n N é limitada se existe k R+ tal que a n k para todo n N. Caso contrário, é dita ilimitada. Proposição.. Se a sequência ( a n é convergente, então, é limitada. )n N Exemplo.4. [] A sequência ( n ) diverge, pois é ilimitada. n N [] A sequência ( n ) diverge, pois é ilimitada. n N [3] A sequência (( ) n ) n N é limitada e diverge. Logo, a recíproca da propriedade anterior não vale. Proposição.3. Se a n b n c n para todo n > n e: lim a n = lim c n = L, então, lim b n = L. n + n + n + Exemplo.5. [] Estudemos a convergência da sequência : ( ) cos(n) n. n N Figura.: Gráfico dos 5 primeiros termos da sequência

17 .. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 7 Como: n cos(n) n n, pela propiedade anterior: cos(n) lim n + n =. convergem a L e M, respectiva- Proposição.4. Se as sequências ( ) a n e ( b n N n )n N mente, então: [ ]. Se α e β R, então lim α an + β b n = α L + β M. n + [ ]. lim an b n = L M. n + a n 3. lim = L, se M. n + b n M Exemplo.6. [] Considere as sequências lim n + lim n + n = [ + n [] Pela propiedade anterior: ( ) ( e + ). Então: n n N n n N lim ] n + [ n ] [ = n lim n + = lim n + + lim n + ] [ n n =. lim n + ] =, n lim n + lim n + lim n + [ 5 n + ( + ) ] = 5 + =, n [ ] [ 5 + ] = 5 =, n n n + =. Por que?

18 8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Proposição.5. Seja a sequência ( a n )n N tal que a n > para todo n N. Se a n+ lim = L <, n + a n então, a sequência ( a n converge para zero. )n N Exemplo.7. Estude a convergência das seguintes sequências : ( ) k n [] tal que k. Como: n! n N a n+ k lim = lim n + a n n + n + = <, a sequência converge para zero. ( ) n k [] tal que k >. Como: k n n N a sequência converge para zero. [ a n+ lim = lim + ] k = n + a n n + k n k <, Proposição.6. Sejam f : A R R tal que N A e n N, então: lim a n = L. n + lim f(x) = L. Se f(n) = a n, x Figura.3: Gráfico de f(x) e f(n) = a n

19 .3. SÉRIES NUMÉRICAS 9 Exemplo.8. [] Estude a convergência da sequência : ( ln ( n n )) Note que ln ( n n ) = ln(n) ; então consideremos: n definida em A = (, + ); então: ln(x) lim x + x n N. f(x) = ln(x) x = lim x + x =, onde na última igualdade aplicamos o teorema de l Hôpital; logo, a sequência converge para zero. [] Em particular: lim n + n n =..3 Séries Numéricas Considere a sequência ( a n e construamos a partir desta sequência, a seguinte nova )n N sequência : S = a S = a + a = S + a S 3 = a + a + a 3 = S + a 3 S 4 = a + a + a 3 + a 4 = S 3 + a 4. S n = a + a + a a n = S n + a n.. Se a sequência ( S n ) n N converge para o número S, escrevemos:

20 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS a n = a + a + a a n +... = S. (.) n= Definição.4.. A expressão (.) é dita a série infinita com termo geral a n.. Em tal caso, dizemos que a série (.), converge para S. 3. Caso contrário, ou seja, se a sequência ( S n ) n N é divergente, a série é dita divergente. 4. O número S é dito a soma da série (.) e a sequência ( S n ) n N é dita sequência das somas parciais ou reduzidas da série. Exemplo.9. Estude a convergência das seguintes séries: [] A série geométrica. Seja r R: r n = + r + r + r r n Temos: S n = + r + r + r r n () r S n = r + r + r 3 + r r n (). Fazendo ()-(), temos: ( r) S n = r n ; logo: lim S n = n + lim n + [ ] r n r =, se r <. r Se r a série diverge. Como aplicação direta da série geométrica:

21 .3. SÉRIES NUMÉRICAS. A série: converge e a série: diverge.. Escrever 4, , como fração. n 3 = [ ] n n 3 5 n = [ ] n 5 n, = n +... = 4 = 4 n = 4 n 9. n= [] n= n (n + ). Note que podemos reescrever: a n = n (n + ) = n n + ; logo, a nésima soma parcial é S n = n + e: então: [3] n= n + + n. lim S n = n + n= lim n + [ ] = ; n + n (n + ) =.

22 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Note que podemos reescrever: a n = n + + n = n + n; logo, a nésima soma parcial é S n = n +, e: o qual não existe; logo, a série diverge. [4] Determine o termo geral da série Note que a = S =, e: Logo, lim S [ ] n = lim n +, n + n + a n e estude sua convergência, se: n= S n = n + 3 n + 4, n N. a n = S n S n = n + 3 n + 4 n + n + 3 = 5 (n + 3) (n + 4). a n = + n= n= 5 (n + 3) (n + 4) = lim S n + 3 n = lim n + n + n + 4 =. Observação.. A seguir apresentaremos alguns testes para decidir se uma série converge..4 Testes de Convergência.4. Teste (de divergência) Se a série: converge, então: a n lim a n =. n +

23 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA 3 O teste é utilizado para provar que uma série é divergente, ou seja: Se lim a n, n + então, a n diverge. Exemplo.. Estude a convergência das seguintes séries: [] n= Como [] n= Como [3] n = n lim n + n n n +. lim n + =, o teste é inconclusivo! n n + =, a série diverge. arctg ( n + 5). Como lim arctg( n + 5) π =, a série diverge. n +.4. Teste (de Comparação) Seja a série a n, tal que a n para todo n N.. Se b n é uma série convergente tal que a n b n, n N, então, a série: a n converge.

24 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS. Se c n é uma série divergente tal que c n a n, n N, então, a série: a n diverge. Exemplo.. [] Estude a convergência da série: n 3 n+. Note que: para todo n N. Por outro lado, a série a n = n 3 n+ < 3 n, 3 é uma série geométrica de razão. Logo, a série converge. n 3 Proposição.7. Se a n e b n são séries convergentes, então: para todo α, β R. [ ] α an + β b n = α a n + β b n, Exemplo..

25 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA 5 Discuta a convergência da série: 3 n n 6 n. Observamos que não podemos separar esta série em duas, pois não sabemos se cada uma delas converge. Por outro lado: 3 n n 6 n = n 3 n. As séries geométricas: e são convergentes e: n 3n =, n 3 = 3 n. Pela propiedade anterior: 3 n n 6 n = n 3 = n. Observação.3. Nem sempre é possível achar a soma de uma série; nós estamos apenas interessados em decidir se uma série converge ou diverge. Considere a seguinte série: n= n = n Seja f : N R tal que f(n) = n e g : (, + ) R tal que g(x) = x ; logo, f(n) = g(n) para todo n N.

26 6 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS R R R 3 R4 R5 3 Figura.4: Gráfico de g Note que as áreas dos retângulos R i são A(R ) =, A(R ) =, em geral : A(R n ) = n. Se tiramos o retângulo R a soma das áreas dos retângulos restantes será menor que a área sob a o gráfico de g; logo: Isto motiva o seguinte Teste: S n + n dx, para todo n N. x.4.3 Teste 3 (da Integral) Seja f : [, + ) R contínua, decrescente e positiva tal que f(n) = a n. Temos:. Se a integral imprópria: + f(x) dx converge, então a n converge. n=

27 .4. TESTES DE CONVERGÊNCIA 7.. Se a integral imprópria: diverge, então a n diverge. n= + f(x) dx Figura.5: Gráficos de f(x) e f(n) = a n Exemplo.3. Estude a convergência das seguintes séries: [] Seja α >, e: n= n = + α + α 3 + α α n α Consideremos f : [, + ) R tal que f(x) = ; f é contínua, decrescente e positiva xα e f(n) = n. α Se α : + dx b x = lim dx α b + x = lim α b + x α α b = lim b + b α α ; logo, se α > a integral converge; se α < a integral diverge. Segue de imediato, que a integral também diverge se α =, pois: Logo: + dx b x = lim dx b + x = lim ln(b) = ; b +

28 8 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Então, por exemplo:. A série. A série n= n= n= n diverge. n converge { n = converge se α > α diverge se < α. 3. Em geral, fazendo k = n + l, onde l R, temos: { (n + l) = α k = converge se α > α diverge se < α. k=l 4. Então, por exemplo: [] n= ln(n) n. (n + ) diverge, (n + 5) converge, n + 8 diverge. Consideremos f : [, + ) R tal que f(x) = ln(x) ; f é contínua, decrescente e x positiva e f(n) = ln(n) n. + ln(x) x b ln(x) dx = lim b + x logo, a integral diverge. Portanto, a série diverge. dx = lim b + ( ) ln(b) ;

29 .5. SÉRIES ALTERNADAS Teste 4 (do Quociente I) Seja a série a n tal que a n e: n=. Se L <, a série converge.. Se L >, a série diverge. 3. Se L =, o teste é inconclusivo. L = a n+ lim. n + a n Exemplo.4. [] Estude a convergência da série: Note que a n+ a n n= [ ] n n = k ; então: n + a n+ lim = lim n + a k n n + k n n! n n, k >. [ ] n [ n = lim n + k ] n = k n + n + e.. Se k e <, isto é, k < e, a série converge.. Se k e >, isto é, k > e, a série diverge. 3. se k = e, o teste é inconclusivo..5 Séries Alternadas Definição.5. A série se é do tipo: a n é dita alternada se a n a n+ < para todo n, ou seja, ( ) n a n.

30 3 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS.5. Teste 5 (Séries alternadas) Seja a série alternada: tal que:. a n a n+ para todo n e. lim n + a n =. ( ) n a n Então, a série alternada converge. Exemplo.5. [] A série: ( ) n converge. n n= De fato, a n = n ; como n < n +, então, n + < n n [] A série: converge? ( ) n n= Observamos que: para todo n N e lim a n =. n + n= n ( ) = n n= ( ) n n n. De fato, a n = n n + ; como n < n+, então, n para todo n N e lim n n a n n =, n + pois por L Hopital: Logo, a série converge. Observação.4. Se lim x + x =. x a n converge para S; denotemos por: ɛ(n) = S S n, o erro de aproximação da série pela n-ésima soma parcial.

31 .6. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 3 Proposição.8. Se a série alternada: ( ) n a n converge para S, então: ɛ(n) a n+, n N. Observação.5. Isto é, o erro máximo de aproximar a série alternada por sua n-ésima soma parcial não exede a n+. Exemplo.6. [] Aproxime a série n= ( ) ( n + )!, pela soma parcial S 5. A série alternada claramente converge; por outro lado: S 5 = 3! + 5! 7! + 9! = ; logo: n= ( ) ( n + )! com erro máximo de a 6 =! Convergência Absoluta Definição.6.. A série a n converge absolutamente se. Se a série converge a n diverge, então, é dita condicionalmente convergente. a n e a n converge.

32 3 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS Teorema.. Se a série a n converge absolutamente então a n converge. Prova: Segue do teste de comparação; de fato, primeiro temos a seguinte desiguladade geral: Como a n converge, temos que a n ) converge e: a n a n a n = a n + a n a n. a n = a n converge; por comparação, a série (a n + a n ) como é diferença de séries convergentes, temos que a n ; a n converge. (a n + A recíproca do Teorema anterior é falsa. Exemplo.7. ( ) n []. A série: converge condicionalmente. n ( ) n [] A série: converge absolutamente. n.6. Teste 6 ( do Quociente I I) Seja a série então, se: a n e:. L <, a série L = lim a n+ a n ; n + a n converge absolutamente.

33 .6. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA 33. L >, a série a n diverge. 3. Se L =, o teste é inconclusivo. Exemplo.8. [] Estude a convergência da série: lim a n+ a n = n + logo, a série converge absolutamente. [] Estude a convergência da série: n + n!. lim n + ( ) n n! n n. n + = < ; [ ] lim a n+ n [ n a n = lim = lim ] n = n + n + n + n + e < ; logo, a série converge absolutamente..6. Teste 7 (da Raiz) Seja a série a n e: L = lim n + n an ; então, se:. L <, a série. L >, a série a n converge absolutamente. a n diverge.

34 34 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS 3. Se L =, o teste é inconclusivo. Exemplo.9. Estude a convergência das séries: ( ) n 4 n []. n n lim n + n an = logo, a série converge absolutamente. ( ) n n + []. n n= lim n + n an = lim n + logo, o teste é inconclusivo. Por outro lado: ( n + lim a n = lim n + n + n e a série diverge. 4 n n n + lim n + n ) n = lim n + n n = < ; = ; ( + n) n = e,

35 .7. EXERCÍCIOS 35.7 Exercícios. Determine se as seguintes séries convergem: (a) (b) (c) (d) n= 3 n (n + 4) 5 n n 3 + n + n 5 n+ (n + ) n! n + (e) (f) (g) (h) n= n n n n n+ ( n)! n= n= n [ n n + ] n Determine se as seguintes séries convergem absolutamente: (a) (b) (c) (d) ( ) n ln(n) n ( ) n e n n= ( ) n n! n + n! ( 5) n (e) (f) (g) (h) ( ) n 4 n 3 n + ( ) n n n= n= n= n ( 6 n) 3n (5 n 3 + 3) n ( ) n ln(e n + e n ). Aproxime as séries, pela soma parcial indicada e determine o erro máximo: (a) (b) (c) (d) ( ) n ; S n! ( ) n n n ; S 7 ( ) n (n + ) ; S 5 n+ 8 ( ) n n + n ; S 8 n= n= (e) (f) (g) (h) n= cos(n π) 5 n ; S 7 ( ) n 4 n 3 n + ; S 6 ( ) n n 4 + ; S ( 5) n ; S 6 n n! n=

36 36 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES NUMÉRICAS

37 Capítulo SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES. Introdução Este capítulo não é, inicialmente impresindível para o entendimento dos próximos capítulos e pode ser deixado para quando o leitor necessite ter um conhecimento mais profundo sobre convergências.. Sequências de Funções Seja A R e: F ( A, R ) = {f / f : A R} o conjunto das funções reais definidas sobre A. Definição.. Uma sequência de funções é uma correspondência que associa a cada número natural uma única função: que denotamos por f(n) = f n : A R. f : N F ( A, R ), Observação.. A sequência de funções é denotada por: ( f n. Para todo x A, a )n N sequência ( f n (x) ) é uma sequência numérica. n N Exemplo.. [] Seja A = [, ] e ( x n) n N = ( x, x, x 3,... ). [] Seja A = [, + ) e ( n x )n N = ( x, x,..., n x,... ). 37

38 38 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Definição.. Uma sequência de funções ( f n )n N tais que f n : A R, converge pontualmente ou, simplesmente para a função f : A R se para todo x A e para todo ε > existe n N tal que f n (x) f(x) < ε para todo n n. Observação... O número n = n(ε, x), depende tanto de ε como do ponto x.. Uma sequência de funções é dita divergente se não converge. 3. Se a sequência de funções ( f n converge pontualmente para f, para todo x )n N A fixado, tem-se: lim f n(x) = f(x); n + f(x) é dito o limite pontual da sequência. Exemplo.. [] Seja A = [, ]. A sequência ( x n) n N = (, x, x, x 3,...) converge pontualmente para a função f : [, ] R definida por: f(x) = lim n + xn = { se x [, ) se x = [] Seja A = R. A sequência ( f n )n N tal que f n(x) = para a função f : R R definida por: f(x) = lim n + n x + n x = lim n + [3] Seja A = R. A sequência ( f n )n N tal que f n(x) = para a função f : R R definida por: f(x) = [ lim + x n = e n + n] x.. n x converge pontualmente + n x x =. n + n x ( + x n) n converge pontualmente

39 .. SEQUÊNCIAS DE FUNÇÕES Figura.: Gráficos de f (x), f (x) e f (x) Observação... Dada uma sequência de funções ( f n )n N em que cada f n seja contínua em A e ( ) fn convirja pontualmente a uma função f, nada nos garante que f seja contínua. n N. De fato, no primeiro exemplo, as f n (x) = x n são contínuas em [, ] mas convergem pontualmente para uma função descontínua. Vejamos outro exemplo: Exemplo.3. Seja A = [, ] e: n n x se < x < f n (x) = n nos outros casos. lim f n(x) = em [, ], mas: n + Como dx =, temos: lim n + f n (x) dx = /n f n (x) dx (n n x) dx =. [ ] lim f n(x) dx. n +

40 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Figura.: Gráficos de f i (x), para i =,, 3, 4, 5.3 Convergência Uniforme Os exemplos apresentados indicam que a convergência pontual de uma sequência de funções não é suficiente para preservar as propriedades das funções que formam a sequência; daí a necessidade da seguinte definição: Definição.3. Uma sequência de funções ( f n converge uniformente para a função )n N f se para todo ε > existe n N tal que f n (x) f(x) < ε para todo n n seja qual for x A. O número n = n(ε), depende somente de ε. Observação.3.. Em geral, provar que uma sequência de funções converge uniformemente é bastante complicado.. Uma possível interpretação da continuidade uniforme é a seguinte: Fixada uma faixa de largura ε em torno do gráfico de f, a partir de um certo n, os gráficos das funções f n ficam dentro desta faixa. 3. Claramente, se uma sequência de funções converge uniformemente para f, converge pontualmente para f. A recíproca é falsa. Veja o primeiro exemplo. 4. A seguinte proposição é útil para verificar se uma sequência converge uniformemente.

41 .3. CONVERGÊNCIA UNIFORME 4 Proposição.. Seja a sequência de funções (f n ) n N definidas sobre A R. Se existe uma sequência numérica ( a n que converge para zero e: )n N f n (x) f(x) a n, para todo x A, então, a sequência de funções (f n ) n N converge uniformente para f. Exemplo.4. ( ) cos(n x) [] A sequência n De fato, observe que: como a sequência n N converge uniformemente para zero. cos(n x) n n ; ( ) n n N converge para zero, a sequência de funções converge uniformente para zero. Figura.3: Gráficos de f 5 (x), f (x) e f 5 (x) Teorema.. Seja a sequência de funções (f n ) n N tal que converge uniformente para f.. Se as f n são contínuas em A, então f é contínua em A e: [ ] lim lim f n (x) n + x x [ = lim x x lim f n(x) n + ] = lim x x f(x).

42 4 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES. Se as f n são integráveis em A, então f é integrável em A e: b lim n + a f n (x) dx = b a [ ] lim f n(x) dx = n + b a f(x) dx, se [a, b] A. Exemplo.5. [] Considere a sequência de funções (f n ) n N tal que f n (x) = sen(n x). n Claramente a sequência converge uniformente para a função f(x) =. Suponhamos que podemos derivar em x a sequência ; isto é: f n(x) = cos(n x), logo; f n() = e a sequência () n N converge para e não para f () =. Teorema.. Seja a sequência de funções (f n ) n N tais que as f n são diferenciáveis em A. Se a sequência (f n ) n N converge pontualmente para f e a sequência (f n) n N converge uniformente para g, então f é derivável em A e f = g. O seguinte teorema nos diz que toda função contínua pode ser aproximada uniformemente por polinômios. Teorema.3. (Aproximação de Weierstrass) Seja f : [a, b] R contínua; então existe uma sequência de funções (P n ) n N, onde P n (x) são polinômios, que converge uniformemente para f em [a, b].

43 .4. SÉRIES DE FUNÇÕES 43.4 Séries de Funções Com as considerações feitas no parágrafo sobre as séries númericas, seja a sequência de funções (f n ) n N, x A e construamos a sequência de funções ( S n ) n N tal que: S n (x) = f (x) + f (x) + f 3 (x) f n (x). Se a sequência ( S n (x)) n N converge pontualmente para S(x), dizemos que a série de funções converge pontualmente e escrevemos: f n (x) = S(x). n= Se a sequência ( S n (x)) n N converge uniformemente para S(x), dizemos que a série de funções converge uniformemente e escrevemos: f n = S. n= Exemplo.6. [] Seja A = [, ] e f n tal que: n= f n (x) = A n-ésima soma parcial da série é: { x n = x n x n n >. S n (x) = x n ; logo, a sequência das somas parciais converge pontualmente em A para a função f, onde { se x [, ) f(x) = se x =. Mas, a série não converge uniformemente em A. De fato, dado < ε < e n N, seja x = ( ε) /n em: m n=n f n (x) = x m x n ;

44 44 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES então, x m x n = ( ε) m/n ε e se m for suficientemente grande: ( ε) m/n < ε e: m f n (x) = xm x n > ε, n=n para x = ( ε) /n. Observação.. Da mesma forma que para as sequências de funções determinar a convergência uniforme de uma série é bastante complicado. O seguinte teorema clássico é o mais útil para decidir se uma série de funções converge uniformente. Teorema.4. (Teste M de Weierstrass:) Seja f n tal que f n : A R. Se:. f n (x) M n para todo x A e para todo n N.. A série numérica Então, M n converge. f n converge uniformemente e absolutamente para alguma função : f : A R. Exemplo.7. [] Seja Como: cos(n x) n n, x R. cos(n x) n n n 3/ para todo x R e a série:

45 .4. SÉRIES DE FUNÇÕES 45 n 3/ converge, a série dada converge uniformemente em R [] Seja Como: n= Figura.4: Gráficos dos primeiros somandos de [] cos n (x), x (, + ). n + x para todo x R e a série (, + ). cos n (x) n + x n converge, a série dada converge uniformemente em n Figura.5: Gráficos dos primeiros somandos de [] Os teoremas do parágrafo anterior, no caso de séries de funções, assumem a seguinte forma:

46 46 CAPÍTULO. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES Teorema.5. Seja f n uniformemente converge para f em A. n=. Se cada f n é contínua em x A, então f é contínua em x A.. Se cada f n é integrável em [a, b] A, então f é integrável em [a, b] e: b a n= f n (x) dx = b n= a f n (x) dx. Finalmente: Teorema.6. Seja f n onde as f n são diferenciáveis em [a, b]: n=. Se para algum c [a, b] a série numérica f n (c) converge. n=. A série f n converge uniformemente em [a, b], então: n= f n converge uniformemente para uma função diferenciável em [a, b]. n=

47 Capítulo 3 SÉRIES DE POTÊNCIAS 3. Introdução 3. Séries de Potências Definição 3.. Uma série de potências em torno de x, ou de potências de x x, é uma série de funções, do tipo: a n (x x ) n = a + a (x x ) + a (x x ) + +a 3 (x x ) (3.) onde a i, x R. Se x = em (3.), então: a n x n = a + a x + a x + a 3 x a n x n (3.) Observação 3... Todas as séries do tipo (3.) podem ser escritas como em (3.), fazendo a mudança t = x x. a n (x x ) n = a n t n.. Logo, por comodidade, estudaremos as séries do tipo (3.). 47

48 48 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS 3. Note que dada a série de potências (3.) fazendo x = x, a série de potências se transforma numa série numérica. 4. Toda série de potências do tipo (3.) converge se x =. Teorema 3.. Seja uma série de potências do tipo (3.):. Se existe x tal que a série numérica: a n x n converge, então (3.) converge absolutamente em ( x, x ). Se existe x tal que a série numérica a n x n diverge, então (3.) diverge em (, x ) ( x, + ). Definição 3.. O conjunto: D = {x R / a n x n converge} é chamado domínio de convergência de (3.). Observação 3... Note que D, pois D.. É possível provar que D é um intervalo centrado em x =, que pode ser aberto, fechado, semi-aberto ou reduzir-se a um ponto. Veja [LE]. 3. Se D é um conjunto limitado e ρ é a menor cota superior de D, então ρ é chamado raio de convergência da série de potências.

49 3.. SÉRIES DE POTÊNCIAS 49 Definição 3.3. Se D é um conjunto ilimitado, então dizemos que (3.) tem raio de convergência ρ = +. Se D é um conjunto limitado, então dizemos que (3.) tem raio de convergência ρ < +. Teorema 3.. Considere a série de potências: com raio de convergência ρ: a n x n. Se ρ = a série converge somente para x =.. Se ρ = + a série (3.) converge absolutamente para todo x R. 3. Se < ρ < + a série (3.) converge absolutamente no intervalo ( ρ, ρ) e diverge em ( ρ, ) (ρ, + ). Definição 3.4. O intervalo ( ρ, ρ) é dito de convergência da série de potências (3.). Observação 3.. Nos extremos do intervalo, ou seja, em x = ±ρ, nada se pode afirmar e a série pode convergir ou divergir. Proposição 3.. Seja ρ o raio de convergência da série de potências (3.); então para todo r > tal que r < ρ, a série de potências (3.) converge uniformente em [ r, r]. Prova: Segue diretamente do teorema de Weierstrass. Exemplo 3.. Estude a convergência das seguintes séries de potências: [] x n = + x + x + x 3 + x x n De forma análoga ao que fizemos para determinar a convergência da série geométrica, podemos verificar que para todo x, temos que:

50 5 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS e diverge se x >. x n = x se x < [] n! x n = + x + x + 6 x x n! x n Para todo x a série numérica diverge, pois Teorema 3.3. Seja lim n! n + xn. a n x n. Então, o raio de convergência da série é: ρ = lim a n n + a n+ Observação 3.. Equivalentemente, se Exemplo 3.. ρ = a n x n, o raio de convergência da série é: lim n + an. Estude a convergência das seguintes séries de potências: [] x n n!. ρ = lim n + a n a n+ n = lim (n + ) = +. n + Logo, a série converge absolutamente para todo x R. [] n= (x + ) n n n. ρ = lim n + an = n lim n n =. n + Logo, a série converge absolutamente para todo x tal que x+ <, isto é, no intervalo ( 3, ).

51 3.. SÉRIES DE POTÊNCIAS 5 Observação 3.3. Nenhum teorema dá informação sobre a convergência nos extremos do intervalo de convergência. Estes devem ser estudados separadamente. Assim, se x = 3; a série converge. Se x = ; (x + ) n n= n n ( 3 + ) n = n n n= = n= ( ) n n n = n= ( ) n n ; (x + ) n n= n n = = ( + ) n n= n= n ; n n a série diverge. Logo a série de potências converge absolutamente em [ 3, ) Figura 3.: Gráfico dos primeiros somandos de [] [3] ( ) n x n n (n!). ρ = lim n + a n a n+ = lim 4 (n + n + ) = +, a série converge absolutamente para todo x R.

52 5 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Figura 3.: Gráfico dos primeiros somandos de [3] [4] (4 x 3) n. n n= ρ = lim n + n n =, onde para calcular o limites utilizamos logaritmo. Logo, a série converge absolutamente para todo x tal que 4x 3 <, isto é, no intervalo (, ). Se x = ; ( 3) n n= n = n= ( ) n n, a série converge. Se x = ; (4 3) n n= n = n= n, a série diverge. Logo a série de potências converge absolutamente em [, ).

53 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS Figura 3.3: Gráfico dos primeiros somandos de [4] Observação 3.4. A seguir, responderemos à seguinte questão: "Dada uma função f, existe uma série de potências com raio de convergência ρ > que seja igual a f?. A resposta é não. As funções que podem ser representadas por séries de potências formam uma classe especial de funções. 3.3 Funções Analíticas Definição 3.5. Uma função é analítica no ponto x se pode ser escrita como uma série de potências em x x, com raio de convergência ρ >. Seja f uma função analítica em x ; então: f : (x ρ, x + ρ) R é tal que: f(x) = a n (x x ) n ; x x < ρ. Proposição 3.. Se f é analítica em x ; então:. f é contínua em (x ρ, x + ρ).

54 54 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS. f é integrável para todo [a, b] (x ρ, x + ρ) e: b f(x) dx = b a a [ ] a n (x x ) n dx = = b a n (x x ) n dx a a n (x x ) n+ b n +. a Teorema 3.4. Se f é analítica em x então, f é analítica em x e: f (x) = n a n (x x ) n ; x x < ρ. n= Do teorema, segue o seguinte corolário imediato: Corolário 3.. Se f é analítica em x, então a n-ésima derivada f (n) é analítica em x. Exemplo 3.3. [] Sabemos que: x n =, se x <. Logo, a função: x f(x) = x é analítica somente para x <. Note que o domínio de f é R {}.

55 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS [] A função Note que: Figura 3.4: Gráficos de f e de f como função analítica, respectivamente + x é analítica? onde f é dada no exercício anterior. Logo: se x <, isto é se x < : [3] A função g(x) = Note que: onde f(x) = x. Logo: + x = f( x ) = ( x) é analítica? g(x) = f( x ) = + x, ( x ) n = ( ) n x n, ( ) n x n = + x. f (x) = ( x) = f (x) = ( x), n= d dx xn = n x n, n=

56 56 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS se x < : n x n = n= ( x). Em particular, podemos calcular a série de potências de: x ( x) = x n x n = n= n x n, x <. n= Logo, para x = <, temos que: n= n n =. Calculemos para x = 3 <, então: n= n n 3 n = 6. [4] A função g(x) = arctg(x) é analítica? Note que: Logo: dx = arctg(x) + c. + x arctg(x) = = = dx + x + c = ( ) n ( ) n x n+ n + x n dx + c + c se x <. Por outro lado, = arctg() = c, logo: arctg(x) = ( ) n x n+. n + ( ) n x n dx + c

57 3.3. FUNÇÕES ANALÍTICAS 57 [5] Consideremos a função: J (x) = ( ) n x n n (n!). J é claramente analítica para todo x R. J é chamada função de Bessel de ordem zero. [6] Que função representa a série: Seja: f(x) = então f é analítica para todo x R. Logo: x n n!? x n n! ; f (x) = d x n dx n! = n= x n (n )! = k= x k k! = f(x), e f (x) = f(x); então, f(x) = c e x. Por outro lado, = f() = c, e: Em particular, temos: e x = x n n!. e = n! = n! +... e ( ) n = n! = ( )n +... n! Logo, para n =, temos:

58 58 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS e e Seja a > : logo: a x = a x = e x ln(a) = (x ln(a)) n, n! [ ] (ln(a)) n x n x R. n! [7] Sabemos que não é possível calcular: e t dt. Porém, podemos calcula-lá por um valor aproximado e avaliar o erro cometido. Figura 3.5: Gráfico de f(t) = e t Como: e x = x n n!, então para todo t R (por que?):

59 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 59 ( t ) n e t = n! ( ) n t n =. n! Integrando, termo a termo: A última série é alternada com: e t dt = = = a n = ( ) n t n dt n! ( ) n t n+ ( n + ) n! ( ) n ( n + ) n!. ( n + ) n!. Não é difícil provar que a série converge. Então, o erro: e(n) = e t dt S n a n+ onde S n é a n-ésima soma parcial da série alternada. Por exemplo, se n = : e o erro: e() a = 3.4 Séries de Taylor e t dt Se f é uma função analítica em x =, então:

60 6 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS f(x) = Que relação existe entre a n e f? a n x n. Observação 3.5. Notemos que: f(x) = a + a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x a n x n f (x) = a + a x + 3 a 3 x + 4 a 4 x n a n x n f (x) = a + 6 a 3 x + a 4 x n (n ) a n x n f (3) (x) = 6 a a 4 x + 6 a 5 x n (n ) (n ) a n x n f (4) (x) = 4 a 4 + a 5 x + 36 a 6 x... + n (n ) (n ) (n 3) a n x n Logo: f() = a =! a, f () = a =! a, f () = a =! a, f (3) () = 6 a 3 = 3! a 3, f (4) (x) = 4 a 4 = 4! a 4,. f (n) () = n (n ) (n ) (n 3)... a n = n! a n,. Logo, temos que: Em geral, se : f(x) = Então, provamos o seguinte teorema: a n = f (n) (). n! a n (x x ) n = a n = f (n) (x ). n!

61 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 6 Teorema 3.5. Se f é analítica em x ; então: f(x) = f (n) (x ) n! (x x ) n, x x < ρ. Definição 3.6. Esta série é chamada série de Taylor de f centrada em x. Observação A série de Taylor no caso de x = é também dita de MacLaurin.. Do teorema segue que se f for analítica em x, então f é de classe C em x. A recíproca é falsa. Exemplo 3.4. [] Seja a função: f(x) = { e /x se x se x =. f é de classe C em, mas tem série de Taylor nula em. Figura 3.6: Gráfico de f(t) = e /x [] Ache a série de Taylor de f(x) = sen(x) em torno de x =.

62 6 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS f(x) = sen(x), f (x) = cos(x) = sen ( x + π ), f (x) = sen(x) = sen ( x + π ), f (3) (x) = cos(x) = sen ( x + 3π ). f (n) (x) = sen ( x + nπ ). Logo, f (n) () = para todo n N e f (n+) () = ( ) n ; então: para todo x R. (Verifique!). sen(x) = ( ) n x n+, ( n + )! [3] Ache a série de Taylor de f(x) = cos(x) em torno de x =. Sabemos que: Então: [ cos(x) = (sen(x)) = ] ( ) n x n+. ( n + )! [ cos(x) = ] ( ) n x n+ = ( n + )! ( n + ) ( ) n x n ( n + )! = ( ) n x n. ( n)! Logo: para todo x R. (Verifique!). cos(x) = ( ) n x n ( n)! [4] Ache a série de Taylor de f(x) = ln ( + x) em torno de. Utilize esta série para x calcular:

63 3.4. SÉRIES DE TAYLOR 63 n= ( n + ) 3 n+. Seja f(x) = ln ( + x), então f (x) =. Pelos exemplos anteriores, sabemos que: x x f (x) = x = x n, se x <. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo: f(x) = x f (t) dt = x t n dt = x n+ n +, se x <, temos: ln ( + x) x n+ = x n +. Note que: f(/3) = ln ( + ) 3 = ln() 3 ln() = ln ( + [ ) 3 = 3 + ]. ( n + ) 3 3 n+ n= Logo: n= ln() = ( n + ) 3n+ 3. Proposição 3.3. Se f e g são funções analíticas em x, então:. α f + β g é analítica em x.. f g é analítica em x.

64 64 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS Exemplo 3.5. [] Ache a série de Taylor de f(x) = cosh(x) em torno de. Sabemos que cosh(x) = ex + e x e que: e x x n = é analítica. Logo: n! cosh(x) = [] Analogamente: = = [ x n n! + ( + ( ) n ) xn n! x n ( n)! senh(x) = ] ( x) n = [ n! x n+ ( n + )!. x n n! + ] ( ) n x n n! Proposição 3.4. A representação em série de potências de uma função analítica é única. Prova: De fato, se f, g : ( ρ, ρ) R são tais que: f(x) = a n x n e g(x) = Se f (n) () = g (n) () para todo n N; então: a n = f (n) () n! = g(n) () n! b n x n. = b n, para todo n N. Então, f(x) = g(x), para todo x ( ρ, ρ). Observação 3.6. Em particular, se: a n x n = a n =, n.

65 3.5. EXERCÍCIOS Exercícios. Calcule o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: (a) (b) (c) (d) (e) (f) ( ) n x n n (x + ) n x n+ (n + )! x n n + n n x n + n (3 x + ) n n= n n (g) (h) (i) (j) (k) n= n= (x ) n + n (x ) n n n (8 x 3) n ( ) n x n n= ( ) n x n 3 n+ ( n + ). Determine a série de Taylor das seguintes funções, em torno do ponto dado: (a) f(x) = e x, x = (b) f(x) = cos ( x ), x = (c) f(x) = x e x, x = (d) f(x) = x, x = (e) f(x) = ln(x + ), x = (f) f(x) = x cosh(x), x = (g) f(x) = x senh(x), x = (h) f(x) = (x ) e x, x = (i) f(x) = x sen(x), x = x (j) f(x) = 3, x x = 3. Esboce o gráfico de cada função do ítem e da sua respectiva série de Taylor para n =,, Utilizando a série de Taylor de f(x) = sen(x) ao redor de x =, calcule lim x sen(x). x 5. Polinômios de Taylor Sejam I R um intervalo aberto, x I e f : I R tal que f é de classe C n+ em x x < ρ, então:

66 66 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS P n (x) = n i= f (i) (x ) i! (x x ) i. O polinômio P n (x) é dito n-ésimo polinômio de Taylor de f ao redor de x Denotamos e definimos o resto por: Assim podemos escrever: R n (x) = f(x) P n (x). f(x) = P n (x) + R n (x). R n (x) Se lim x x (x x ) = e f n+ (x) < M, x x n < ρ, é possível verificar que o erro e(n), da aproximação da função pelo polinômio de Taylor é: para x x < ρ. e(n) = f(x) P n (x) = R n (x) M (n + )! x x n+, (a) Calcule sen() com um erro menor que 4. (b) Calcule ln ( 5) com um erro menor que 3. 4 (c) e. com um erro menor que Utilizando P 7 (x), calcule o valor aproximado de: (a) e x3 dx (c).5. ln(x + ) x dx (b) sen(x ) dx (d).5. e x x + dx 7. Qual é o erro, se consideramos:

67 3.5. EXERCÍCIOS 67 (a) cos(x ) x4 (b) ln(x + ) x x + x3 3 (c) cosh(x) + x (d) x e x x + x 3 + x4 (e) x arctg(x) x + x4 3 (f) e sen(x) + x + x 8. Defina J (x) = ( ) n x n n (n!) : (a) Determine o domínio da função J. (b) Verifique que J satisfaz a edo de Bessel de ordem zero: x J (x) + x J (x) + x J (x) =. 9. Seja α R. A seguinte série é chamada binomial: α (α )... (α n + ) x n +. n! n= (a) Verifique que: ( + x) α α (α )... (α n + ) x n = +. n! n= (b) Ache o raio de convergência da série. (c) Se α = m N, verifique que: (d) Se f(x) = ( + x) m = + x +, calcule f () (). m n= ( ) m x n. n

68 68 CAPÍTULO 3. SÉRIES DE POTÊNCIAS (e) Na teoria da relatividade especial a massa de um objeto se movendo a uma velocidade v é dada por: m = m Ω(v), onde Ω(v) = v /c, m é a massa do objeto em repouso e c é a velocidade da luz. A energia cinética do objeto é dada por: [ ] K(v) = m c m c = m c Ω(v). Determine a série de Taylor de K = K(v) em torno de.. Utilize a série binomial indicada para calcular as seguintes integrais: (a) Se f(x) =. 3, calcule + x dx 3 + x (b) Se f(x) = ( x) /3, calcule (c) Se f(x) = ( x) 4, calcule.4. 3 ( x3 ) dx dx ( + 5 x ) 4. Se f é g são funçõs analíticas em x ; verifique que: (a) f + g é analítica em x. Calcule o raio de convergência. (b) f g é analítica em x. Calcule o raio de convergência. (c) Se f(x) = a n x n e g(x) = b n x n ; então: f(x) g(x) = [ n ] a j b n j x n. j= Determine a série de de potências de f(x) = e x sen(x).

69 Capítulo 4 SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES 4. Introdução Neste capítulo indicamos a leitura em [NP] do capítulo que estuda das edo s lineares de segunda ordem e [KO]. Nós utilizaremos as notações de [NP]. Algumas provas dos teoremas podem ser vistas no Apêndice. 4. Equações Diferenciais Ordinárias Consideremos a edo linear de ordem n: P n (x) y (n) + P n (x) y (n ) + P n (x) y (n ) P (x) y = h(x), (4.) onde P i = P i (x) e h = h(x) são funções definidas num intervalo aberto I. Definição 4.. O ponto x é dito regular de (4.) se P n (x ). Caso contrário é dito singular. Note que se P n = P n (x) é contínua e x é um ponto regular de (4.), então, existe ε > tal que P n (x) para todo x (x ε, x + ε). Exemplo 4.. [] Equação de Airy: y + x y =. Nesta equação todos os pontos são regulares. A edo de Airy é utilizada na teoria da difração. 69

70 7 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES [] Equação de Bessel de ordem ν : x y + x y + (x ν ) y =. P (x) = x =, se e somente se x = ; logo, x = é o único ponto singular da edo de Bessel. Esta edo é utilizada no estudo da vibração de membranas. [3] Equação de Hermite de ordem p R: y x y + p y =. Nesta equação todos os pontos são regulares. Um tipo especial de solução da edo de Hermite (os polinômios) são utilizados na Mecânica Quântica para estudar as soluções da equação de Schrödinger para osciladores harmônicos. [4] Equação de Laguerre de ordem p R: x y + ( x) y + p y =. P (x) = x =, se e somente se x = ; logo, x = é o único ponto singular da edo. Um tipo especial de solução da edo de Laguerre (os polinômios) são utilizados na Mecânica Quântica no estudo do átomo de hidrogênio. [5] Equação de Legendre: ( x ) y x y + α (α + ) y =, α R. P (x) = x =, se e somente se x = ±; logo, x = e x = são os únicos pontos singulares da edo de Legendre. Esta edo aparece no estudo das soluções da equação de potencial em esferas. 4.3 Soluções em Torno de Pontos Regulares Seja x ponto regular de (4.); então podemos reescrever a edo (4.): y (n) + A n (x) y (n ) + A n (x) y (n ) A (x) y = H(x). (4.) Teorema 4.. Se x é um ponto regular de (4.) tal que A, A,... A n, H são funções analíticas em x x < ρ, ρ >, então toda solução de (4.) definida em x é analítica em x.

71 4.4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE SEGUNDA ORDEM 7 Observação 4... Os métodos que estudaremos a seguir podem ser utilizados em edo s lineares de qualquer ordem.. Nestas notas estudaremos apenas o caso de ordem n =, pois é onde se encontram as edo s mais importantes da Física-Matemática. 3. Dentre as edo s de segunda ordem, estudaremos as homogêneas, pois os métodos para achar soluções particulares de edo continuam válidos. Veja [NP]. 4. Uma observação imediata, que será fundamental, é se uma série de potências: a n (x x ) n =, então a n =, n. Segue diretamente do fato que a n = f (n) (x ). n! 4.4 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem Consideremos a edo de segunda ordem homogênea: Seja x um ponto regular de (4.3); então: P (x) y + P (x) y + P (x) y =. (4.3) y + p(x) y + q(x) y =. (4.4) Observação 4... Se x é ponto regular de (4.3); como P (x), P (x) e P (x) são analíticas, então p(x) e q(x) em (4.4) são analíticas.. Por outro lado, se x ṕonto singular de (4.3), P (x), P (x) e P (x) são polinômios sem fatores comuns então p(x) e q(x) em (4.4) não são analíticas. 3. A observação anterior somente é válida para polonômios. Veja o exemplo a seguir.

72 7 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Exemplo 4.. [] Considere a edo: x y + cos(x) y + x 3 y =. Então, x = é ponto singular da edo e: p(x) = P (x) x q(x) = P (x) x = cos(x) x = x = ( ) n x n ( n)! ambas analíticas em x =. 4.5 Determinação da Solução Seja: P (x) y + P (x) y + P (x) y =. Suponha que x = é um ponto regular da edo. Como p = p(x) e q = q(x) são analíticas, então as séries de potências que as representam tem raio de convergência ρ > e ρ >, respectivamente. Seja ρ o menor entre ρ e ρ e: p(x) = Procuramos soluções do tipo: p n x n, q(x) = y(x) = q n x n x < ρ. a n x n, x < ρ. Derivando formalmente esta série, temos: y (x) = n a n x n = (n + ) a n+ x n, y (x) = n= n (n ) a n x n = n= (n + ) (n + ) a n+ x n ;

73 4.5. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 73 onde na primeira série trocamos n por n e na segunda série trocamos n por n. Então: [ ][ ] p(x) y (x) = p n x n (n + ) a n+ x n = k= [ n ] (k + ) p n k a k+ x n [ ][ ] q(x) y(x) = q n x n a n x n = Então a edo (4.3) pode ser reescrita como: [ (n + ) (n + ) a n+ + [ n ] q n k a k x n. k= n [ ] ] (k + ) pn k a k+ + q n k a k x n =. k= Pela unicidade das série de potências, temos: (n + ) (n + ) a n+ + n [ ] (k + ) pn k a k+ + q n k a k =, n =,,,.... (4.5) k= A expressão (4.5) é dita a recorrência da série e determina a n em função das constantes arbitrárias a e a. Por exemplo: n = a = q a + p a n = a 3 = p a + q a + p a + q a 6 = (p q q ) a + ( p + p q ) a 6 Agora devemos mostrar que a solução y = y(x) converge se x < ρ. Seja < r < ρ, então as séries númericas p(r) e q(r) convergem; em particular, os termos gerais destas séries tendem a zero; logo são limitados; isto é, existe M > tal que: p n r n M e q n r n M, para todo n N. Utilizando (4.5), obtemos:

74 74 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES (n + ) (n + ) a n+ M n [ (k + ) ak+ + a r n k ] r k Denotemos por: b = a, b = a e: k= n [ (k + ) ak+ + a k ] r k + M a n+ r. k= (n + ) (n + ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n+ r. (4.6) k= Note que a n b n, para todo n N. Se trocamos n por n e n por n em (4.6), obtemos: n (n + ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n r k= n (n ) b n = M n [ ] (k + ) bk+ + b r n k r k + M b n r. k= Multiplicando a primeira igualdade por n e utilizando a segunda igualdade, obtemos: r n (n ) b n+ = M r n n [ ] (k + ) bk+ + b k r k + r M (n b n b n ) + M b n r n k= = n (n ) b n M b n r + r M (n b n b n ) + M b n r n Logo: Então, a série + = [n (n ) + r M n + M r n ] b n. b n b n+ = r n (n + ) = lim (n ) n + M n r + M rn n + b n b n+ = r. b n x n converge para x < r, como a n b n, temos que a solução y = y(x) tambem converge. Não é difícil verificar que a solução obtida satisfaz a edo (4.3). Logo, provamos:

75 4.6. EXEMPLOS 75 Corolário 4.. Se p = p(x) e q = q(x) são analíticas em x, então (4.4) possui duas soluções linearmente independentes, analíticas, cada uma da forma: y(x) = a n (x x ) n ; o raio de convergência de qualquer destas soluções é no mínimo a distância (no plano) de x ao ponto singular (real ou complexo) mais próximo. [] A edo de Legendre: ( x ) y x y + α (α + ) y =, α R. P (x) = x ; os únicos pontos singulares são e. Por exemplo, o ponto x = é um ponto regular da edo; então, as soluções analíticas no ponto devem ter raio de convergência ρ <. [] A edo: (x + 9) y + x y + x y =. P (x) = x + 9; logo, os únicos pontos singulares (complexos) são 3i e 3i. Por exemplo, o ponto x = 4 é um ponto regular da edo; então, as soluções analíticas no ponto 4 devem ter raio de convergência ρ < 5. Corolário 4.. Nas condições do corolário anterior, dados a, a R, então, existe uma única solução y analítica em x tal que: { y(x ) = a y (x ) = a. A seguir, apresentamos o primeiro exemplo de como achar as soluções de uma edo. Tentaremos fazer todos os detalhes importantes do desenvolvimento. 4.6 Exemplos [] Ache a solução geral da edo: As funções: (x ) y + 4 x y + y =.

76 76 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES p(x) = 4 x x e q(x) = x são analíticas se x < ; logo, acharemos as soluções da edo em torno de x =, as quais tem raio de convergência ρ <. Temos: y(x) = y (x) = y (x) = Note que: a n x n, n a n x n n= e n (n ) a n x n. n= y = a n x n, 4 x y = 4 x n a n x n = 4 n a n x n n= (x ) y = x n (n ) a n x n = n= n (n ) a n x n n= n= n (n ) a n x n n= n (n ) a n x n. Por outro lado, trocando n = m ou n = m + na segunda série: (x ) y = = = = n (n ) a n x n n (n ) a n x n n= n (n ) a n x n n (n ) a n x n n= (m + ) (m + ) a m+ x m m= (n + ) (n + ) a n+ x n [ ] n (n ) an (n + ) (n + ) a n+ x n.

77 4.6. EXEMPLOS 77 onde na segunda série trocamos a variável muda m por n. Logo, a equação pode ser reescrita: (x ) y + 4 x y + y = = = (n + 3 n + ) a n x n (n + ) (n + ) a n+ x n [ ] (n + ) (n + ) an (n + ) (n + ) a n+ x n (n + ) (n + ) (a n a n+ ) x n =. Pela unicidade da representação em séries de potências, temos que: (n + ) (n + ) (a n a n+ ) =, para todo n =,,, 3,.... Logo: a n+ = a n, para todo n =,,, 3,...; esta expressão é chamada recorrência da série. Então, se: Em geral Logo, a solução geral da edo é: n = a = a n = a 3 = a n = a 4 = a = a n = 3 a 5 = a 3 = a n = 4 a 6 = a 4 = a. a n = a e a n+ = a, n =,,.... y(x) = a x n + a x n+ = (a + a x) x n. Denotando por: y (x) = x n = x. y = y (x) é uma série geométrica que converge se x <. Por outro lado:

78 78 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES y (x) = x x ; logo, y e y são l.i. (linearmente independentes) e: é a solução geral da edo. y(x) = a x + a x x - [] Ache a solução geral da edo: Figura 4.: Gráfico da solução para a = a = y x y y =. p(x) = x e q(x) = são analíticas para todo x R; logo, acharemos as soluções em torno de x =, a qual tem raio de convergência ρ = +. Temos: Note que: y(x) = y (x) = y (x) = a n x n, n a n x n n= e n (n ) a n x n. n= x y = x n a n x n = n a n x n. n=

79 4.6. EXEMPLOS 79 A equação pode ser reescrita: y x y y = = n (n ) a n x n n a n x n n= (n + ) (n + ) a n+ x n a n x n n a n x n a n x n, onde na primeira série trocamos n por n, como no exemplo []. Logo: y x y y = = [ ] (n + ) (n + ) an+ n a n a n x n [ ] (n + ) (n + ) an+ (n + ) a n x n = ; pela unicidade da representação em séries de potências, temos que: (n + ) (n + ) a n+ (n + ) a n = (n + ) [ (n + ) a n+ a n ] =, para todo n =,,, 3,.... Logo: a n+ = a n n +, para todo n =,,, 3,...; esta expressão é chamada recorrência da série. Então, se:

80 8 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES n = a = a = a! n = a 3 = a 3 =! a 3! n = a 4 = a 4 = a 4 = a! n = 3 a 5 = a 3 5 = a 3 5 =! a 5! n = 4 a 6 = a 4 6 = a 4 6 = a 3 3! n = 5 a 7 = a 5 7 = a = 3 3! a 7! n = 6 a 8 = a 6 8 = a = a 4 4! Em geral: n = 7 a 9 = a 5 9 = a = 4 4! a. 9! a n = a n n! e a n+ = n n! a ( n + )!. Logo, a solução geral da edo é: Denotando por: y(x) = a [ ] [ x n + a n n! ] n n! x n+. ( n + )! y (x) = x n n n! e y (x) = n n! x n+ ( n + )!, temos que a solução da edo é:

81 4.6. EXEMPLOS 8 y(x) = a y (x) + a y (x), x R. Observe que: W (y (), y ()) = det ( ), logo, como era de esperar y e y são l.i. (linearmente independentes). - Figura 4.: Gráfico da solução para a = e a = Observação 4.. Muitos livros utilizam as seguintes notações: No exemplo anterior, temos: ( n ) ( n) = ( n)!! ( n ) ( n + ) = ( n + )!! a n = a ( n)!! e a n+ = a ( n + )!!. [3] Ache a solução geral da edo: y x y y =. em torno de x =. Façamos t = x e procuremos soluções ao redor de t = ; logo temos:

82 8 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES y(t) = a n t n, y (x) = y (x) = n a n t n n= e n (n ) a n t n. n= Note que: x y = (t + ) n a n t n = n a n t n + n a n t n = n= n= [ ] n an + (n + ) a n+ t n =. A equação pode ser reescrita: y x y y = = [ ] (n + ) (n + ) an+ (n + ) a n (n + ) a n+ t n [ [ ]] (n + ) (n + ) an+ a n a n+ t n = ; pela unicidade da representação em séries de potências, temos que: (n + ) a n+ a n a n+ =, n =,,... A recorrência da série é: a n+ = a n + a n+, n =,,... n +

83 4.6. EXEMPLOS 83 n = a = a + a n = a 3 = a 6 + a n = a 4 = a 6 + a 4 n = 3 a 5 = a a n = 4 a 6 = 7 a 8 + a 5 n = 5 a 7 = 9 a a 4 n = 6 a 8 = 7 a a 336. Mudando t por (x ), consideramos: y (x) = + (x ) + 6 (x )3 + 6 (x )4 + 5 (x ) (x ) y (x) = (x ) + (x ) + (x )3 + 4 (x )4 + 3 (x )5 + 5 (x ) A solução geral é: y(x) = a y (x) + a y (x). Observe que não temos uma expressão compacta da solução, como no exercício anterior.

84 84 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES - Figura 4.3: Gráfico da solução para a = 3 e a = [4] Ache a solução geral da seguinte edo, em torno de x = : ( + x ) y 4 x y + 6 y =. p(x) = 4 x + x e q(x) = 6 + x são analíticas em torno de x =. Temos: y(x) = y (x) = y (x) = a n x n, n a n x n n= e n (n ) a n x n. n= Note que: 6 y = 6 a n x n 4 x y = 4 n a n x n = n= 4 n a n x n

85 4.6. EXEMPLOS 85 ( + x ) y = = = = n (n ) a n x n + n (n ) a n x n n= n (n ) a n x n + n= n= n (n ) a n x n (n + ) (n + ) a n+ x n + n (n ) a n x n [ ] (n + ) (n + ) an+ + n (n ) a n x n. onde na primeira série trocamos n por n. Logo, a equação pode ser reescrita: ( + x ) y 4 x y + 6 y = = (n + ) (n + ) a n+ x n + (n 5 n + 6) a n x n [ ] (n + ) (n + ) an+ + (n 3) (n ) a n x n = ; pela unicidade da representação em séries de potências, temos que: para todo n =,,, 3,.... Logo: para todo n =,,, 3,.... Então, se: (n + ) (n + ) a n+ + (n 3) (n ) a n =, a n+ = (n 3) (n )a n (n + ) (n + ), n = a = 3 a n = a 3 = a 3 n = a 4 = n = 3 a 5 = ; como a 4 =, então a 6 = a 8 =... = a n = se n =, 3,..., analogamente, como a 5 =, então a 7 = a 9 =... = a n+ = se n =, 3,.... Logo, a solução geral da edo é: [ y(x) = a ] [ 3 x x 3 ] + a x. 3

86 86 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Denotando: y (x) = 3 x e y (x) = x x3, temos que o wronskiano: 3 ( ) W (y (), y ()) = det, logo, y e y são l.i. (linearmente independentes). Qual é o raio de convergência? [5] Ache a solução do PVI (problema de valor inicial): (t t 3) d y dy + 3 (t ) dt dt + y(t) = y() = 4 y () =. Note que os únicos pontos singulares da edo são t = e t = 3; logo t = é ponto regular; então, acharemos solução em t =, a qual deve ter raio de convergência ρ <. Logo, consideramos inicialmente soluções do tipo: y(t) = a n (t t ) n. Fazendo x = t, temos que x 4 = t t 3 e se t =, então x = ; por outro lado se denotamos y = dy, utilizando a regra da cadeia, obtemos o PVI: dx (x 4) y + 3 x y + y = y() = 4 y () =. Notamos que x = é ponto regular e que o raio de convergência da solução deve ser ρ <. (Por que?). Logo: y(x) = a n x n, y (x) = n a n x n e y (x) = n= n (n ) a n x n. n= 3 x y = 3 n a n x n, n= (x 4) y = A equação pode ser reescrita: n (n ) a n x n 4 n (n ) a n x n. n= n=

87 4.6. EXEMPLOS 87 isto é: n (n ) a n x n 4 n (n ) a n x n + 3 n a n x n + a n x n =, n= n= n= n (n ) a n x n 4 (n + ) (n + ) a n+ x n + onde na segunda série trocamos n por n. Logo: 3 n a n x n + [ ] (n + ) a n 4 (n + ) (n + ) a n+ x n = ; pela unicidade da representação em série de potências, temos que: para todo n =,,, 3,.... Logo: para todo n =,,, 3,.... Então, se: (n + ) a n 4 (n + ) (n + ) a n+ = a n+ = (n + ) a n 4 (n + ), a n x n =, n = a = a 4 n = a 3 = a 3 4 n = a 4 = 3 a 4 4 = 3 a 4 ( 4) n = 3 a 5 = 4 a = ( 4) a 4 (3 5) n = 4 a 6 = 5 a = (3 5) a 4 ( 4 6) n = 5 a 7 = 6 a = ( 4 6) a 4 (3 5 7) n = 6 a 8 = 7 a = (3 5 7) a 4 ( 4 6 8) n = 7 a 9 = 8 a = ( 4 6 8) a 4 ( ).

88 88 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Em geral a n = ( n + )!! a 4 ( n)!! e a n+ = ( n)!! a 4 ( n + )!!. Logo, a solução geral da edo é: y(x) = a [ + ] [ ( n + )!! x n ] ( n)!! x n+ + a. 4 ( n)!! 4 ( n + )!! n= Com as mesmas notações do exercício anterior temos que: y e y são l.i. Observe que: Logo: y(x) = a [ + a x + a 4 x ] + a [ x + a3 x 3 + a 5 x ], y (x) = a [ a x + 4 a 4 x ] + a [ + 3 a x + 5 a 5 x ]. Voltando às variáveis originais: [ y(t) = = y() = a = y () = a. ] ( n + )!! (t ) n + 4 ( n)!! n= ( n)!! (t ) n+. 4 ( n + )!! 4.7 A Equação de Legendre A edo de Legendre é uma edo clássica em Matemática, que está vinculada a diversas situações físicas. Por exemplo, aparece no estudo das soluções da equação do potencial em esferas, em problemas de gravitação, mecânica quântica, entre outros. Acharemos a solução geral da edo de Legendre, em torno de x = : ( x ) y x y + α (α + ) y =, α R. Como x = e x = são os únicos pontos singulares, a solução deve ter raio de convergência ρ <. Logo:

89 4.7. A EQUAÇÃO DE LEGENDRE 89 Logo: y(x) = y (x) = y (x) = a n x n, n a n x n n= e n (n ) a n x n. n= α (α + ) y = x y = ( x ) y = = = α (α + ) a n x n, n a n x n = n= n a n x n, n (n ) a n x n n= n (n ) a n x n n= (n + ) (n + ) a n+ x n n (n ) a n x n [ ] (n + ) (n + ) an+ n (n ) a n x n ; onde na primeira série trocamos n por n. Logo. A equação pode ser reescrita: logo: (n + ) (n + ) a n+ x n [ ] n (n ) + n α (α + ) a n x n =, [ ] (n + ) (n + ) an+ (n α)(n + α + ) a n x n =, pela unicidade da representação em série de potências, temos que: para todo n =,,, 3,.... Logo: (n + ) (n + ) a n+ (n α)(n + α + ) a n =, a n+ = (α n)(n + α + ) a n, (n + ) (n + )

90 9 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES para todo n =,,, 3,.... Então, se: n = a = α (α + ) a n = a 3 = (α ) (α + ) a 3 n = a 4 = (α ) (α + 3) a 3 4 n = 3 a 5 = (α 3) (α + 4) a n = 4 a 6 = (α 4) (α + 5) a n = 5 a 7 = (α 5) (α + 6) a Em geral = α (α ) (α + ) (α + 3) a 3 4 = (α ) (α 3) (α + ) (α + 4) a = α (α ) (α 4) (α + ) (α + 3) (α + 5) a = (α ) (α 3) (α 5) (α + ) (α + 4) (α + 6) a a n = ( )n α (α )... (α n + ) (α + ) (α + 3)... (α + n ) a ( n)! a n+ = ( )n (α ) (α 3)... (α n + ) (α + ) (α + 4)... (α + n) a. ( n + )! Logo, a solução geral da edo é: y(x) = a y (x) + a y (x), onde: y (x) = + y (x) = x + ( ) n α (α )... (α n + ) (α + ) (α + 3)... (α + n ) x n n= ( n)! ( ) n (α ) (α 3)... (α n + ) (α + ) (α + 4)... (α + n) x n+. ( n + )! n= É imediato que y e y são l.i. Lembremos que a recorrência da edo de Legendre é: para todo n =,,, 3,.... a n+ = (α n)(n + α + ) a n, (n + ) (n + ). Se α N {}, então para α = n temos a n+ = para todo n N.. Se α é par y (x) é um polinômio e se α é ímpar y (x) é um polinômio.

91 4.7. A EQUAÇÃO DE LEGENDRE 9 3. Por exemplo, escolhendo a = e a =, temos y = y e escolhendo a = e a =, temos y = y. α = a = a 4 = a 6 =... = y (x) = α = a 3 = a 5 = a 7 =... = y (x) = x α = a 4 = a 6 = a 8 =... = y (x) = 3 x α = 3 a 5 = a 7 = a 9 =... = y (x) = x 5 x É usual nas aplicações, multiplicar cada termo dos polinômios por uma constante adequada tal que estes sejam iguais a quando calculados para x =, isto é: y (x) y P n (x) = () y (x) y () se se n é par n é ímpar. 5. Estes polinômios são chamados de Legendre e denotados por P n (x). 6. Os polinômios P n (x) estão definidos para todo x, mas são solução da edo de Legendre somente se x (, ). 7. Os seis primeiros polinômios de Legendre (normalizados) são: P (x) =, P (x) = x, P (x) = ( 3 x ) P 3 (x) = ( 5 x 3 3 x ), P 4 (x) = 8 ( 35 x 4 3 x + 3)

92 9 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Figura 4.4: Gráficos de P, P, P 3, P 4 e P 5 Em geral, os polinômios de Legendre são dados por: P n (x) = N [ ] ( ) k ( n k)! x n k, n k! (n k)! (n k)! k= onde N é o maior inteiro n/. Note que, P n () = e P n ( ) = ( ) n para todo n. Proposição 4.. Fórmula de Rodrigues: P n (x) = n n! d n dx n (x ) n. Prova: De fato, utilizando que: d n dx n x(n α) = (n α)! xn α. (n α)! Como:

93 4.8. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 93 P n (x) = N [ ( ) k ( n k)! ] n k! (n k)! (n k)! k= x n k = N [ ] ( ) k d n n k! (n k)! k= dx n xn k = n n! d n dx n N k= ( ) k n! k! (n k)! x(n k) = n n! d n dx n (x ) n. Os polinômios de Legendre aparecem no problema geométrico de determinar a distância inversa. Devido a isto, são utilizados com frequência em problemas de eletrostática e gravitação. 4.8 Exemplos e Aplicações. Os polinômios de Legendre satisfazem à seguinte propriedade: se n m P n (x) P m (x) dx = se n = m. n + Esta propriedade é chamada ortogonalidade dos polinômios de Legendre. Para mais detalhes, veja o próximo capítulo. Primeiramente mostraremos que: P n (x) R m (x) dx =, onde R m (x) é um polinômio de grau m < n. Logo, basta mostrar que: x m P n (x) dx =. Denotemos por Q(x) = (x ) n e Q (n) (x) = dn Q(x) ; então pela fórmula de Rodrigues: dx n

94 94 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES n n! x m P n (x) dx = x m Q (n) (x) dx. Integramos por partes a última integral utilizando que Q (n) (±) = ; logo, integraremos por partes, m vezes, a integral resultante: n n! Em particular Logo: x m P n (x) dx = x m Q (n ) (x) = m = ( ) m m! m x m Q (n ) (x) dx Q (n m) (x) dx = ( ) m m! Q (n m ) (x) x m Q (n ) (x) dx =. P n (x) P m (x) dx = se n m. Se n = m, denotemos por: I = ( n n!) I = P n(x) dx. Q (n) (x) Q (n) (x) dx. Integramos por partes a última integral; logo, integraremos por partes n vezes a integral resultante: ( n n!) I = Q (n) (x) Q (n ) = ( ) n Q (n) Q(x) dx = ( ) n = ( ) n ( n)! d n Q (n+) (x) Q (n ) (x) dx = dx n [ (x ) n] (x ) n dx onde utilizamos o fato de que: ( ) n ( x ) n dx = ( n)! Q (n+) Q (n ) (x) dx ( + x) n ( x) n dx,

95 4.8. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 95 (verifique!). d n dx n [ (x ) n] = ( n)! Integramos por partes a última integral e novamente integraremos por partes n vezes a integral resultante: [ ( x) ( n n!) n ( + x) n+ I = ( n)! n n ] ( + x) n+ ( x) n dx n + = ( n)! n n + ( + x) n+ ( x) n dx = ( n)! n (n ) (n )... (n + ) (n + ) (n + 3)... n ( + x) n dx = ( n)! n! n! ( n)! ( n + ) ( + x)n+ = (n!) n+ n +. Finalmente: I = n +, n = m.. A equação de Laplace para o potencial V = V (x, y, z) é dada por: V x + V y + V z =. Em coordenadas esféricas (r, θ, φ), a equação de Laplace fica: V r + r V r + V r θ + cotg(θ) r V θ + V r sen (θ) φ =.

96 96 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES Se o potencial V não depende do ângulo φ, isto é, se V (r, θ) = r α Θ(θ), a equação de Laplace fica: d Θ dθ dθ + cotg(θ) + α(α + )Θ =. dθ Fazendo x = cotg(θ) e substituindo Θ por y na edo anterior, temos a edo de Legendre. 3. Os polinômios de Legendre são uma solução da edo de Laplace. Por outro lado, a edo de Legendre é de segunda ordem; logo deve existir a segunda solução da edo, l.i. com os polinômios. É possível mostrar que a segunda solução da edo de Legendre é dada por: Q n (x) = P n (t) dt, se x <. x t Utilizando integração por partes, temos que as funções Q n = Q n (x) também são soluções da edo de Legendre para x >. Note que: Q (x) = [ ] x + ln x Q (x) = + x [ ] x + ln x Q (x) = 3 x + 3 x 4 ln Q 3 (x) = 3 5 x + x(5 x 3) 4 [ ] x + x ln [ ] x + x Q 4 (x) = 55 x 4 35 x x + 35 x 4 6 ln [ ] x +. x

97 4.8. EXEMPLOS E APLICAÇÕES Figura 4.5: Gráficos de Q, Q, Q 3, Q 4 e Q 5 Nos seguintes desenhos, gráficos de P 4 (x), Q 4 (x) e P 8 (x), Q 8 (x), respectivamente: Figura 4.6:

98 98 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES 4.9 Exercícios. Achar as soluções em torno do ponto regular x = das seguintes edo s, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência: (a) (x ) y + 4 x y + y = (b) (x + ) y + 4 x y + y = (c) y + x y + y = (d) (x + ) y + 6 x y + 4 y = (e) (x 3) y + x y = (f) (x ) y 6 x y + y = (g) y + x y = (h) y + x y = (i) y x y =, edo de Airy (j) y + x y + y =. Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI: { ( + x ) y + x y y = (a) y() = y () = y + x y y = (b) y() = y () = { y e x y = (c) y() = y () = 3. Fazendo a mudança x = t x, achar os primeiros termos de cada solução dos seguintes PVI: (4 t + 6 t + 7) y 8 y = (a) y( ) = y ( ) = ( t t ) y 6 (t ) y 4 y = (b) y() = y () =

99 4.9. EXERCÍCIOS Sejam P n = P n (x) os polinômios de Legendre. Verifique que: (a) P n() = n (n + ) (b) P n( ) n n (n + ) = ( ) (c) P n+ x P n + P n P n = (d) x P n P n n P n = 5. Edo de Hermite: Seja α > ; a edo de Hermite de ordem α é: y x y + α y =. Verifique que as soluções da edo de Hermite são: ( ) n n α(α )... (α n + ) x n y (x) = + ( n)! n= ( ) n n (α )(α 3)... (α n + ) x n+ y (x) = x + ( n + )! n= Verifique que se α é um inteiro par, y (x) é um polinômio; analogamente, se α é um inteiro ímpar, y (x) é um polinômio. Estes polinômios são chamados de Hermite e são denotados por H n (x). 6. Verifique que os polinômios de Hermite satisfazem: H n (x) = e x dn dx n ( e x), n =,, Esboce o gráfico de H (x), H (x), H 3 (x) e H 4 (x). 8. Verifique que: H n (x) = ( ) n H n ( x) H n+ (x) + x H n (x) + n H n (x) = e

100 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES 9. Considere as edo s do tipo: y + ( x + α) y =. Verifique que fazendo y = e x / v, obtemos a edo de Hermite.. Utilizando o ítem anterior, determine a solução da edo de Weber: y + ( n + x ) y =, n N. 4. Seja x = (x, y, z, t) R 3 (, + ). A equação de Schrödinger é : i Ψ t = ħ Ψ + V Ψ, m onde i =, Ψ é o operador de Laplace, Ψ = Ψ(x) e V = V (x, y, z) é uma função diferenciável, m > e ħ é a constante de Plank. Esta equação descreve a iteração de uma partícula quântica de massa m com um potencial V. Em particular, a equação de Schrödinger para um oscilador harmônico unidimensional com função potencial: e energia total E constante, é dada por: Fazendo: V (x) = k x ħ d Ψ m dx + k x Ψ(x) = E Ψ(x). ξ = α x α 4 = m k λ = E ħ ω ω = ħ k m, verifique que a edo unidimensional de Schrödinger pode ser escrita como: d Ψ dξ + (λ ξ ) Ψ(ξ) =.

101 4.9. EXERCÍCIOS Utilize a mudança Ψ = y(ξ) e ξ / para reescrever a útima edo como a edo de Hermite: Ache a solução para λ = n +. y ξ y + (λ ) y =.

102 CAPÍTULO 4. SOLUÇÕES ANALÍTICAS DE EDO S LINEARES

103 Capítulo 5 MÉTODO DE FROBENIUS Os procedimentos que utilizaremos para achar soluções de edo s, neste capítulo, são bastante similares aos estudados no capítulo anterior, os quais são conhecidos como Método de Frobenius. O método será apresentado através de diversos exemplos. 5. Introdução Primeiramente estudaremos o seguinte exemplo: Exemplo 5.. Edo de Euler-Lagrange: x y + a x y + b y =, onde a, b R. Note que x = é ponto singular da edo. Por outro lado, procuramos soluções do tipo y(x) = x α com x, onde α R; isto é, α não é necessariamente um número natural. Logo a edo pode ser reescrita: y = x α, y = α x α, y = α (α ) x α. x y + a x y + b y = [ α (α ) + a α + b ] x α = ; logo, α (α ) + a α + b =. Sejam α e α as soluções desta equação de segundo grau. Logo: 3

104 4 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS. Se α i R é tal que α α, então: y(x) = c x α + c x α, x (, ) (, + ).. Se α i R é tal que α = α = α, então: y(x) = c x α + c ln( x ) x α, x (, ) (, + ). 3. Se α i C, então α = a + i b e α = a i b; então: y(x) = x a [c cos ( ln(b x ) ) + c sen ( ln(b x ) )], x (, ) (, + ). Observação 5... Isto nos mostra que ainda em torno de pontos singulares é possível achar solução.. Estas soluções não são analíticas; como por exemplo, na equação de Euler-Lagrange quando as raízes da equação de segundo grau forem α = e α =. Portanto, em torno de um ponto singular não procuraremos soluções em forma de séries de potências (expoentes naturais). 3. Procuraremos soluções que tenham como caso particular as soluções da edo de Euler-Lagrange. 5. Soluções em Torno de Pontos Singulares A seguir determinaremos quais singularidades admitem soluções "tipo"edo de Euler- Lagrange. Definição 5.. Seja x um ponto singular da edo (4.3). O ponto x é dito singular regular, se se verificam simultaneamente as condições:. (x x ) P (x) P (x) é analítica em x e,. (x x ) P (x) P (x) é analítica em x.

105 5.. SOLUÇÕES EM TORNO DE PONTOS SINGULARES 5 Observação 5... Uma singularidade que não é regular é dita irregular.. Isto é, se x é singular regular as singularidades da edo podem ser "removidas". Exemplo 5.. [] Considere a edo de Euler-Lagrange: x y + a x y + b y =, onde a, b R. A única singularidade é x = ; por outro lado: [ ] a x. x = a é analítica em e, x. x [ b x ] = b é analítica em. Logo x = é singular regular. [] Considere a edo de Bessel de ordem ν : x y + x y + (x ν ) y =. A única singularidade é x = ; por outro lado: [ ] x. x = é analítica em e, x [ ] x. x ν = x ν é analítica em. Logo x x = é singular regular. [3] Considere a edo de Legendre ( x ) y x y + α (α + ) y =. Os únicos pontos singulares são x = ±; então para x = : [ ] x. (x ) = x é analítica em e, x x +

106 6 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS [ ] α (α + ). (x ) α (α + ) (x ) = é analítica em. x x + 3. Logo x = é singular regular. Análogamente para x =. Logo x = ±, necessariamente, devem ser singulares regulares. [4] Considere a edo: (x ) y + y + x y =. A única singularidade é x = ; por outro lado: [ ]. (x ) = que não é analítica em e, (x ) x [ ]. (x ) = (x ) irregular. (x ) também não é analítica em. Logo x = é ponto 5.3 A Equação Indicial Se x é ponto singular regular da edo (4.3), então as funções: (x x ) P (x) P (x) são analíticas em torno de x. Neste caso: lim (x x ) P (x) x x P (x) e e (x x ) P (x) P (x) lim (x x ) P (x) x x P (x) existem. Logo, se x é ponto singular regular da edo (4.3) consideramos a equação de segundo grau: onde : r (r ) + p r + q =, (5.) p = lim x x (x x ) P (x) P (x) e q = lim x x (x x ) P (x) P (x).

107 5.3. A EQUAÇÃO INDICIAL 7 Definição 5.. A equação (5.) é dita equação indicial (e.i.) associada a edo (4.3). Exemplo 5.3. [] Considere a edo de Legendre ( x ) y x y + α (α + ) y =. No ponto singular regular x =, temos: [ ] x x. lim (x ) = lim x x x x + = e,. lim x (x ) 3. Logo, a e.i. é: [ ] α (α + ) x e suas raízes são r =. [] Considere a edo: No ponto singular regular x =, temos: [ ] 3 x. lim x = 3 x x e,. lim x x [ ] x x 3. Logo, a e.i. é: α (α + ) (x ) = lim x x + r (r ) + r = r = ; =. x y + 3 x y + ( x ) y =. = lim x x e suas raízes são r = e r =. =. r (r ) + 3 r = (r + )( r ) = ; [3] Considere a edo: No ponto singular regular x =, temos: x y x y (x + 5/4) y =.

108 8 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS [. lim x ] = e, x x [ ]. lim x x + 5/4 = 5 x x Logo, a e.i. é: r (r ) r 5 4 = ; e suas raízes são r = 5 e r =. Seja x um ponto singular regular da edo (4.3) e denotemos os raios de convergência das séries que representam as funções analíticas (x x ) P (x) P (x) e (x x ) P (x) P (x) por ρ > e ρ >, respectivamente. Seja ρ o menor entre ρ e ρ. Teorema 5.. Sejam x um ponto singular regular da edo (4.3), r e r raízes da (5.). Se r i R é tal que r r, então uma solução da edo (4.3) é da forma: para < x x < ρ. y (x) = x x r [ + a n (x x ) ], n n=. Se r r / Z, então existe uma segunda solução l.i., do tipo: y (x) = x x r [ + b n (x x ) ]. n n=. Se r = r, então existe uma segunda solução l.i., do tipo: y (x) = y (x) ln x x + x x r [ + b n (x x ) ]. n n=

109 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 9 3. Se r r N, então existe uma segunda solução l.i., do tipo: y (x) = C y (x) ln x x + x x r onde a constante C pode ser zero [ + b n (x x ) ], n n= Observação 5.. Se a (5.) possui raízes complexas, isto é: r = a + i b e r = a i b, utilizando a fórmula de Euler, temos: y (x) = x x a [w cos ( b ln x x ) + w sen ( b ln x x )], y (x) = x x a [w cos ( b ln x x ) w sen ( b ln x x )], onde w = b n (x x ) n e w = c n (x x ) n. 5.4 Exemplos e Aplicações [] Considere a edo: x y x y + ( + x) y =. O único ponto singular da edo é x =, o qual é singular regular; por outro lado: [ ] x. p = lim x = x x e,. q = lim x x 3. Logo, a e.i. é: [ ] + x = x. r (r ) r + = r 3 r + =, cujas raízes são r = e r =.

110 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS Como r r =, do teorema de Frobenius, segue que a edo possui duas soluções, linearmente independentes, da forma: y (x) = a n x n+r e y (x) = Então, procuramos soluções do tipo: b n x n+r. y = y = y = Logo: a n x n+r, (n + r) a n x n+r e (n + r) (n + r ) a n x n+r. A edo pode ser reescrita: ( + x) y = x y = a n x n+r + (n + r) a n x n+r, x y = a n x n+r+, (n + r) (n + r ) a n x n+r. [ ] ( (n + r) (n + r ) (n + r) + a n x n+r + [ ] ( (n + r) (n + r ) (n + r) + a n x n+r + onde na última série trocamos n + por n. Temos: P (r) a x r + n= onde P (r) = ( r (r ) r + ). Logo, obtemos: a n x n+r+ = a n x n+r = n= [( n + r ) (n + r ) a n + a n ] x n+r =,

111 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES. P (r) a = ; como a constante arbitrária a, então r (r ) r + = que é a equação indicial. [ ( n + r ) (n + r ) ] a n + a n =, para todo n =,, 3,.... Caso r =. Do ítem : a n a n =, n =,, 3,.... n ( n + ) Em geral: n = a = a 3 = a 3 n = a = a 5 = a ( ) ( 3 5) n = 3 a 3 = a 3 7 = a ( 3) ( 3 5 7) n = 4 a 4 = a = a ( 3 4) ( ). escolhendo a = : a n = ( )n a n! ( n + )!!, [ y (x) = x + n= ] ( ) n x n. n! ( n + )!! Caso r =. Do item : b n b n =, n =,, 3,.... n ( n ) n = b = b n = b = b 3 = b 3 n = 3 b 3 = b 3 5 = b ( 3) ( 3 5) n = 4 b 4 = b = b ( 3 4) ( 3 5 7). Em geral:

112 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS escolhendo b = : Claramente y e y são l.i. [] Considere a edo: b n = ( )n b n! ( n )!!, y (x) = [ x + n= 4 x y + y + y =. ] ( ) n x n. n! ( n )!! O único ponto singular da edo é x = ; por outro lado: [ ]. p = lim x = x 4 x e, [ ]. q = lim x =. x 4 x 3. Logo, a e.i. é: r (r ) + r = r ( r ) =, cujas raízes são r = e r =. Como r r =, do teorema de Frobenius, segue que a edo possui duas soluções, linearmente independentes, da forma: y (x) = a n x n+r e y (x) = Então, procuramos soluções do tipo: b n x n+r. y = Logo: y = a n x n+r, y = (n + r) a n x n+r e (n + r) (n + r ) a n x n+r.

113 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 3 y = a n x n+r, y = (n + r) a n x n+r, 4 x y = A edo pode ser reescrita: 4 (n + r) (n + r ) a n x n+r. [ ] (n + r) (4 n + 4 r ) an x n+r + r (4 r ) a x r + n= a n x n+r =, [(n + r) (4 n + 4 r ) a n + a n ] x n+r = onde na última série trocamos n por n. Logo, obtemos:. r (4 r ) a = ; como a constante arbitrária a, então: que é a equação indicial. r (4 r ) =. (n + r) (4 n + 4 r ) a n + a n =, para todo n =,, 3,.... Caso r =. Do ítem : a n a n =, n =,, 3,.... n ( n ) n = a = a = a! n = a = a 3 4 = a 4! n = 3 a 3 = a 5 6 = a 6! n = 4 a 4 = a = a 8!.

114 4 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS Em geral: a n = ( )n a. Logo, fazendo a = : ( n)! ( ) n x n y (x) = ( n)! Caso r =. Do ítem : b n = cos ( x ). b n =, n =,, 3,.... n ( n + ) n = b = b 3 = b 3! n = b = b 4 5 = b 5! n = 3 b 3 = b 6 7 = b 7! n = 4 b 4 = b = b 9!. Em geral: b n = ( )n b ( n + )!. Logo, fazendo b = : Claramente y e y são l.i. e a solução é: [3] Considere a edo: y (x) = [ ] ( ) n x n x ( n + )! ( ) n x (n+)/ = ( n + )! = sen ( x ) y(x) = c cos ( x ) + c sen ( x ). x y x y ( x + 5 4) y =, x >. O único ponto singular da edo é x = ; por outro lado: [. lim x ] = e, x x [ ] x. lim x 5/4 = 5 x 4. x

115 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 5 3. Logo, a e.i. é: r (r ) r = ; e suas raízes são r = 5 e r =. Como r r = 3, do teorema de Frobenius, segue que a edo possui duas soluções, linearmente independentes, da forma: y (x) = y (x) = a n x n+r, (a ) e b n x n+r + C y (x) ln(x), (b ); onde a constante C pode ser nula. Então, procuramos soluções do tipo: Logo: y = a n x n+r, y = (n + r) a n x n+r e y = (n + r) (n + r ) a n x n+r. ( x + 5 ) ( y = x ) a n x n+r = a n x n+r+ + x y = x (n + r) a n x n+r = (n + r) a n x n+r, x y = x A edo pode ser reescrita: (n + r) (n + r ) a n x n+r = 5 a n 4 xn+r, (n + r) (n + r ) a n x n+r. a n x n+r+ + a n x n+r + n= [ 5] (n + r) (n + r ) (n + r) + an x n+r =, 4 [ 5] (n + r) (n + r ) (n + r) + an x n+r = 4

116 6 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS onde na última série trocamos n por n. Então: [ ] P (r) a x r + h(r) a x r+ + an + g(r) a n x n+r = n= onde P (r) = r r + 5 4, h(r) = r + 4 e g(r) = (n + r) (n + r ) (n + r) Logo, obtemos:. P (r)) a = ; como a constante arbitrária a, então r r equação indicial. =, que é a a. h(r), então a =. 3. Por outro lado, temos: para todo n =, 3,.... [ 5] (n + r) (n + r ) + an a n =, 4 Caso r = 5. Do ítem 3: a n = a n, n =, 3,.... n (n + 3) Como a =, temos que a 3 = a 5 = a 7 =... =. Em geral a n+ =, para todo n =,, 3,.... Em geral: n = a = a 5 n = 4 a 4 = a 4 7 = a ( 4) (5 7) n = 6 a 6 = a = a ( 4 6) (5 7 9) n = 8 a 8 = a 6 8 = a ( 4 6 8) (5 7 9 ). todo n =,, 3,...; logo: a n = a ( n)!! ( n + 3)!! e a n+ =,

117 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 7 y (x) = a x 5/ [ + n= ] x n. ( n)!! ( n + 3)!! Para achar y, podemos supor que C = e determinamos a série para a segunda raiz da equação indicial. Caso r =. Do ítem 3: n (n 3) b n = b n, n =, 3,.... Sabemos que b e b =. Por outro lado, se n = 3, temos logo, b 3 arbitrário. Por outro lado: b 3 = b = ; Em geral: n = b = b n = 4 b 4 = b 4 = b 4 n = 5 b 5 = b 3 5 n = 6 b 6 = b = b ( 4 6) 3 n = 7 b 7 = b = b 3 ( 4) (5 7) n = 8 b 8 = b = b ( 4 6 8) (3 5) logo, temos que: onde: b b n = n = 3, 4,... ( n)!! ( n 3)!! b 3 b n+ = n =, 3, 4,... ; ( n )!! ( n + )!! y (x) = b x h (x) + b 3 x h (x),

118 8 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS h (x) = x x4 8 h (x) = x 3 + n= = x 3 [ + Então, escrevemos: n= n=3 x n ( n)!! ( n 3)!! x n+ ( n )!! ( n + )!! = x3 ] x n. ( n)!! ( n + 3)!! [ + n= ] x n ( n )!! ( n + )!! y (x) = b x h (x) + b 3 x 5/ h (x). Fazendo b = e b 3 = a, temos que y (x) = y (x); logo y é a solução geral da edo. [4] Se y (x) = é uma solução da edo: x y + ( x) y =, x >. Determine a segunda solução l.i. ao redor do ponto x =. O único ponto singular da edo é x = ; por outro lado: [ ] x. lim x = e, x x. lim x x [] =. 3. Logo, a e.i. é: r = ; e suas raízes são r = r = r = Como r r =, do teorema de Frobenius, segue que a segunda solução da edo, linearmente independentes, é da forma: y (x) = ln(x) y (x) + Determinemos y = y (x). b n x n = ln(x) + b n x n. n= n=

119 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 9 y = ln(x) + b n x n, y = x + n b n x n y n= = x n (n ) b n x n. n= n= e Logo, a edo pode ser reescrita: x + n (n ) b n x n + x + n b n x n n= n b n x n n= b + n b n x n =, n= n= [ ] (n + ) b n+ n b n x n = n= onde na primeira série trocamos n por n. Então: { b =, para todo n =,, 3,.... Logo, b n+ = (n + ) b n+ n b n =, n b n, n =,, 3,.... (n + ) n = b = b = ( ) =! n = b 3 = b 3 = n = 3 b 4 = 3 b 3 4 = n = 5 b 5 = 4 b 4 5 = 3 ( 3) = 3 3! 4 ( 3 4) = n b n x n =, n= 4 4! 5 ( 3 4 5) = 5 5!. Em geral a n =, para todo n =,, 3,...; logo: n n! x n y (x) = ln(x) + n n!. [5] Considere a edo: n=

120 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS x y + (x + ) y + y =, x >. O único ponto singular da edo é x = ; por outro lado: [ ]. lim x x x + = e, [. lim x ] =. x x 3. Logo, a e.i. é: e suas raízes são r = e r =. r (r + ) = ; Como r r =, do teorema de Frobenius, segue que a edo possui duas soluções, linearmente independentes, da forma: y (x) = y (x) = a n x n+r, (a ) b n x n+r + C y (x) ln(x), (b ); onde a constante C pode ser nula. Neste exemplo utilizaremos uma estratégia diferente da utilizada nos outros exemplos. Primeiramente procuraremos soluções para r = : e Logo: y = a n x n+r, y = (n + r) a n x n+r e y = (n + r) (n + r ) a n x n+r. y = (x + ) y = x y = a n x n, n a n x n + n a n x n, n (n ) a n x n.

121 5.4. EXEMPLOS E APLICAÇÕES A edo pode ser reescrita: [ ] n (n + ) + n an x n + (n + ) a n x n =, [( ) ] n (n + ) + (n + ) an+ + (n + ) a n x n = onde na primeira série trocamos n por n. Então: (n + ) (n + ) a n+ + (n + ) a n =, para todo n =,,, 3,.... Logo, para todo n =,,, 3,... e: (n + ) a n+ + a n =, a n a n+ =, n =,,, 3,.... (n + ) n = a = a n = a = a = a n = a 3 = a 3 = a 3 n = 3 a 4 = a 3 4 = a 3 4 n = 4 a 5 = a 4 5 = a Em geral a n = ( )n a, para todo n =,, 3,...; logo: n! y (x) = a ( ) n x n n! = a e x. Para determinar y, utilizaremos redução da ordem. Para isto, consideremos a edo: y + p(x) y + q(x) y =, e determinamos uma função v = v(x) tal que a segunda solução l.i. da edo é da forma y (x) = v(x) y (x), onde: e p(x) dx v(x) = dx. y(x)

122 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS Na edo temos que p(x) = x + e q(x) = x. Logo: e x v(x) = x dx. Esta integral não pode ser calculada diretamente. Por outro lado, e x = podemos reescrever: x n n! ; logo, e x = + x + x n+ (n + )!, e x x = x + x + x n (n + )!, e x v(x) = x dx = x + ln(x) + x n+ (n + ) (n + )!. Então, y (x) = v(x) y (x) = e x ln(x) + e x x [ + ] x n+. (n + ) (n + )!

123 5.5. EXERCÍCIOS Exercícios. Utilizando o método de Frobenius, achar as soluções ao redor do ponto singular regular x = das seguintes edo s: (a) 4 x y + y + y = (b) x y + 3 y y = (c) x y y y = (d) 3 x y + y + y = (e) x y + x y ( + x ) y = (f) x y + x y (3 x ) y = (g) 6 x y + 7 x y (x + ) y = (h) 3 x y + x y + x y = (i) x y + ( + x) y + y = (j) x y + ( x ) y 4 x y =. Edo de Laguerre: Seja α > ; a edo de Laguerre de ordem α é: x y + ( x) y + α y =. Verifique que uma das soluções da edo de Laguerre é: y (x) = a [ + n= ] ( ) n Γ(α + ) x n. (n!) Γ(α n + )

124 4 CAPÍTULO 5. MÉTODO DE FROBENIUS 3. Se α = m N na edo de Laguerre, verifique que: y (x) = a [ + m ( ) n n= Ache o raio de convergência da solução. 4. Considerando a = m! na edo de Laguerre, temos: L m (x) = m n! ( ) n m! n! ( m n ) x n ]. ( ) m x n. n L m (x) são ditos polinômios de Laguerre de ordem m. 5. Esboce o gráfico de L (x), L (x), L 3 (x) e L (x). 6. Verifique que: L m (x) = ex n! ) d (x n n e x, n =,,... dx n 7. Fazendo: y (x) = L m (x) ln(x) + b n x n, obtenha a segunda solução da edo de Laguerre: y (x) = L m (x) ln(x) + LAG (x, m, n) + LAG (x, m, n), onde: n= H n = n k= k LAG (x, m, n) = m n= ( ) n m! n! ( ) ] m [H m n H m H n x n n LAG (x, m, n) = ( ) m n= (n )! x n+m (m + ) (m + )... (m + n).

125 Capítulo 6 A EQUAÇÃO DE BESSEL 6. Introdução A edo de Bessel aparece ligada a inúmeras aplicação na Matemática, Engenharia, Física e Química. Por exemplo na resolução de problemas de vibração de membranas, fluxo do calor em cilindros e na propagação da corrente elétrica em cilindros. Isto é, em equações diferenciais parciais associadas ao operador de Laplace. Algumas soluções da equação diferencial de Bessel são chamadas funções de Bessel e são importantes na Teoria Analítica dos Números. Históricamente a equação diferencial ordinária de Bessel de ordem zero, foi a primeira equação deste tipo a ser estudada. A equação de Bessel de ordem zero foi resolvida por D. Bernoulli no ano de 73, quando estudava o problema hanging chain. Equações diferenciais ordinárias similares, voltam aparecer ao redor dos anos de 764 e de 77, nos trabalhos de Euler e Lagrange, relativos ao movimento de membranas tensas e de astronomía, respectivamente. No ano de 84 o astronomo F. W. Bessel, estudando um problema de movimento planetário, chamado dos três corpos, achou a equação diferencial ordinária que leva seu nome. Assim, as equaçãoes diferenciais estudadas por Bernoulli, Lagrange e Euler se tornam caso zero, da equação de Bessel. F. W. Bessel aproveita o impulso dado pelos trabalhos de Fourier, publicados por 8, para estudar profundamente esta equação diferencial ordinária. 5

126 6 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL 6. A Edo de Bessel Acharemos a solução geral da edo de Bessel de ordem ν : x y + x y + (x ν ) y =. O ponto x = é o único ponto singular da edo de Bessel. Este ponto é singular regular. [ ] x. p = lim x =, x x. q = lim x x 3. Logo, a e.i. é: [ ] x ν = ν. x r (r ) + r ν =, cujas raízes são r = ν e r = ν. Como r r = ν, devemos estudar os casos:: ν = ν = ν N ν = ν / N. 6.3 Edo de Bessel de Ordem Zero A edo de Bessel de ordem zero é: x y + x y + x y =, cujas raízes da e.i. são r = r = Primeira Solução: Para (x > ), procuramos soluções do tipo. y = a n x n, y = n a n x n y = n= n (n ) a n x n. n= e

127 6.3. EDO DE BESSEL DE ORDEM ZERO 7 Então: x y = Logo, a edo pode ser reescrita: x y = a n x n+, x y = n a n x n, n= n (n ) a n x n. n= n (n ) a n x n + n a n x n + a n x n+ = n= n (n ) a n x n + n= n a n x n + n= n= n= onde, na última série trocamos n + por n. Então: a n x n = Logo:. a =. [ ] a x + n a n + a n x n =. n=. n a n + a n = para todo n =, 3,..., então a n = a n n para todo n =, 3,... Os ítens e implicam que a n+ = para todo n =,,, 3,... e: Em geral: n = a = a n = 4 a 4 = a 4 = a 4 ( ) n = 6 a 6 = a 4 6 = a 6 ( 3) n = 8 a 8 = a 6 8 = a 8 ( 3 4) n = a = a 8 = a ( 3 4 5).

128 8 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL escolhendo a =, a primeira solução é: y (x) = a n = ( )n a, n =,, 3,... n (n!) n= A notação clássica desta solução é: Observação 6.. J (x) = ( ) n x n n (n!) = ( ) n (n!) ( ) n (n!) [ ] n x. [ ] n x.. A série converge para todo x R.. A função J é dita de Bessel de ordem zero de segunda espécie. 3. J () =. 4. J é analítica em (, + ). (Analogamente em (, )) Segunda Solução: Procuramos soluções do tipo: y (x) = ln(x) J (x) + b n x n, n= onde b = e x >. Derivando esta última expressão: Então: y = J ln(x) + J x + n b n x n, n= y = J ln(x) + J x J x + n (n ) b n x n. n=

129 6.3. EDO DE BESSEL DE ORDEM ZERO 9 x y = x J ln(x) + b n x n+ = x J ln(x) + n= x y = x J ln(x) + J + n b n x n, n= x y = x J ln(x) + x J J + b n x n, n=3 n (n ) b n x n. n= Utilizando que J é solução da edo de Bessel, temos que: logo, a edo de Bessel pode ser reescrita: ln(x) [ x J (x) + x J x) + x J ] = ; x J + x J + n b n x n + b n x n + n= n b n x n + n= x J + b x + 4 b x + Por outro lado: n=3 n (n ) b n x n =, n= b n x n =, n=3 [ ] n b n + b n x n =. n=3. Utilizamos a série de J para achar a de J : onde q n = J n ( ) n x n =, e n (n!) n= x J ( ) n x n = n (n )! n! = q n x n, ( ) n n (n )! (n!). n= n=. Separando em termos de ordem par e ímpares da série: [ ] n b n + b n x n = S p + S i, n=3

130 3 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL onde: [ ] S p = ( n) b n + b n x n n= [ ] e S i = ( n + ) b n+ + b n x n+. n= Voltando à equação: Então: b x + 4 b x + q n x n + S p + S i =. n= b x + donde obtemos: [ ] ( n + ) b n+ +b n x n+ + [q + 4 b ] x + n= [ ] + qn + ( n) b n + b n x n =,. b = e ( n + ) b n+ + b n =, n =,, 3,..., então, b n+ =, n =,, 3,..... q + 4 b =. Como q =, obtemos b = 4. n= 3. q n + ( n) b n + b n =, n =, 3,.... Isto é: Então: b n = ( n) [ qn + b n ], n =, 3,... n = b 4 = [ ] q + b ( ) = 4 (!) n = 3 b 6 = ( 3) [ q3 + b 4 ] = 6 (3!) n = 4 b 8 = ( 4) [ q4 + b 6 ] = 8 (4!) n = 5 b = ( 5) [ q5 + b 8 ] = (5!) [ + ] [ + + ] 3 [ ] 4 [ ].

131 6.3. EDO DE BESSEL DE ORDEM ZERO 3 Em geral, denotando por H n = n k= k ; então: b n = ( )n+ H n n (n!) e a segunda solução l.i., é: y (x) = J (x) ln(x) + n= ( ) n+ H n x n n (n!). A notação clássica desta solução é Y. Para x < fazemos ψ = x. Logo, a solução geral da edo de Bessel de ordem zero é: y(x) = c J (x) + c Y (x), < x < +. Observação 6... J () = e lim x + Y (x) =.. As únicas soluções limitadas em intervalos do tipo (, a) são y(x) = c J (x). 3. Em muitas aplicações, como segunda solução é utilizada a seguinte combinação: N (x) = π [ Y (x) + ( γ ln(x) ) J (x) ], onde γ = ( lim Hn ln(n) ) = é a constante de Euler. n + 4. A função N é chamada de Neumann-Bessel de ordem zero. 5. Os gráficos de J e Y :

132 3 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL Figura 6.: Gráficos de J (azul) e Y (vermelho) 6.4 Função Gama Neste parágrafo apresentamos a função Gamma, definida por L. Euler. Utilizaremos esta função para escrever de forma mais compacta, as soluções da equação de Bessel. Definição 6.. Se x >, a função Gama é definida e denotada por: Γ(x) = + t x e t dt. Observação 6.3. Utilizando integração por partes, temos: Γ(x + ) = x Γ(x).. Se n N, temos que: Γ(n + ) = n Γ(n) = n (n ) Γ(n ) = = n (n )... Γ(). Como: Γ() = Logo, se n N, temos que: + e t dt =. Γ(n + ) = n!

133 6.4. FUNÇÃO GAMA 33. Γ ( ) = π. De fato, fazendo t = u temos: então: [ ()] + Γ = 4 + Γ ( ) + = e u du, e u e v du dv = Utilizando coordenadas polares, obtemos o resultado. Veja [VC]. e (u +v ) du dv. 3. Se ν R, temos que: Γ(n + ν + ) = (n + ν) Γ(n + ν) = (n + ν) (n + ν ) Γ(n + ν ). = (n + ν) (n + ν ) (n + ν ) (ν + ) Γ(ν + ). Por outro lado, para x > temos: Γ(x) = Γ(x + ). x Definamos primeiramente a função Γ, para < x < por: Por exemplo: Γ(x) = Γ(x + ). x Γ(.) = Γ(. + ) =.. Γ(.8). Logo, podemos definir a função Γ, para < x < por: Por exemplo: Γ(x) = Γ(x + ). x

134 34 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL Γ(.) = Γ(. + ) =.. Γ(.) =.. Γ(.8). Continuando este processo, podemos definir a função Γ, para x < por: Γ(x) = Γ(x + ). x Figura 6.: A função Γ = Γ(x) 6.5 Edo de Bessel de Ordem ν > A edo de Bessel de ordem ν > é: x y + x y + (x ν ) y =. As raízes da e.i. são r = ±ν. Então, procuramos soluções do tipo: y = Então: y = a n x n+r, y = (n + r) a n x n+r e (n + r) (n + r ) a n x n+r.

135 6.5. EDO DE BESSEL DE ORDEM ν > 35 (x ν ) y = a n x n+r+ ν a n x n+r, x y = x y = A edo pode ser reescrita: (n + r) a n x n+r, (n + r) (n + r ) a n x n+r. [ n + n r + r ν ] a n x n+r + a n x n+r+ =, [ (n + r) ν ] a n x n+r + n= onde na última série trocamos n + por n. Logo, a n x n+r =, (r ν ) a x r + [ (r + ) ν ] a x r+ + Temos: [[ (n + r) ν ] ] a n + a n x n+r =.. (r ν ) a x r = ; como a é arbitrário, r ν = é a e.i.. [ (r + ) ν ] a x r+ =. 3. [ (n + r) ν ] a n + a n = para n =, 3,... n= 6.5. Primeira solução: Para r = ν:. Como [ (ν + ) ν ] a x r+ =, então a =.. A recorrência da série é: a n a n =, n =, 3,... n (n + ν)

136 36 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL Como a =, utilizando a recorrência, obtemos: a n+ = para todo n N. Do ítem, temos: Em geral: a n = a = ( + ν) = a ( + ν) a n = 4 a 4 = 4 (4 + ν) = a 4 ( ) ( + ν) ( + ν) a 4 n = 6 a 6 = 6 (6 + ν) = a 6 ( 3) ( + ν) ( + ν) (3 + ν) a 6 n = 8 a 8 = 8 (8 + ν) = a 8 ( 3 4) ( + ν) ( + ν) (3 + ν) (4 + ν) a 8 n = a = ( + ν) a = ( 3 4 5) ( + ν) ( + ν) (3 + ν) (4 + ν) (5 + ν). a n = Logo, a primeira solução é: y (x) = ( ) n a n n! ( + ν) ( + ν)... (n + ν), n N. Se ν N, escolhemos a = ν ν! ; então: Em geral, escolhendo a = solução pode ser escrita: y (x) = y (x) = a ( ) n a x n+ν n n! ( + ν) ( + ν)... (n + ν). ν Γ(ν + ) ( ) n x n+ν n+ν n! (n + ν)!. na solução da equação de Bessel, a primeira ( ) n x n+ν n+ν n! (n + ν) (n + ν ) (n + ν )... (ν + ) Γ(ν + ). A série converge para todo x >. A notação clássica da primeira solução da edo de Bessel é J ν (x) e é chamada função de Bessel de ordem ν. Logo, utilizando a função Γ, a primeira solução, pode ser escrita desta única forma: J ν (x) = ( ) n Γ(n + ) Γ(n + ν + ) [ ] n+ν x.

137 6.5. EDO DE BESSEL DE ORDEM ν > 37 Note que J ν () =. Alguns gráficos da função J ν : 5 5 Figura 6.3: Gráficos de J (azul), J (verde) e J 3 (vermelho) 5 5 Figura 6.4: Gráficos de J 3/ (azul), J 5/ (verde) e J 7/ (vermelho) 6.5. Segunda Solução Se r = ν, a segunda solução linearmente independente da edo de Bessel depende de: { ν N ou r r = ν / N. Primeiro Caso Se ν / N, então para ν, obtemos:

138 38 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL. [ ( ν ) ν ] a x r+ = ; logo, a =.. A recorrência da série é: a n a n =, n =, 3,... n (n ν) Como a =, utilizando a recorrência, obtemos: a n+ = para todo n N. Do ítem, temos: Em geral: a n = a = ( ν) = a ( ν) a n = 4 a 4 = 4 (4 ν) = a 4 ( ) ( ν) ( ν) a 4 n = 6 a 6 = 6 (6 ν) = a 6 ( 3) ( ν) ( ν) (3 ν) a 6 n = 8 a 8 = 8 (8 ν) = a 8 ( 3 4) ( ν) ( ν) (3 ν) (4 ν) a 8 n = a = ( ν) a = ( 3 4 5) ( ν) ( ν) (3 ν) (4 ν) (5 ν). a n = Logo, a segunda solução é: y (x) = ( ) n a n n! ( ν) ( ν)... (n ν), n N. a ( ) n a x n ν n n! ( ν) ( ν)... (n ν). Com as notações utilizadas anteriormente, podemos reescrever a segunda solução l.i., como: J ν (x) = Note que ambas as soluções são dadas por: Logo, a solução geral é: J ν (x) = ( ) n Γ(n + ) Γ(n ν + ) ( ) n Γ(n + ) Γ(n + ν + ) [ ] n ν x. [ ] n ν x. y(x) = c J ν (x) + c J ν (x), < x < +.

139 6.5. EDO DE BESSEL DE ORDEM ν > 39 Segundo Caso Se ν N, a segunda solução é do tipo: onde a constante C pode ser nula. y (x) = C J n (x) ln(x) + x n [ + b m x ], m Se ν N e ν / Z a constante é zero. Isto é, J ν (x) e J ν (x) são linearmente independentes. Logo, a solução geral é: m= y(x) = c J ν (x) + c J ν (x), onde ν = n + e n =,,.... Para verificar que J ν (x) e J ν (x) são linearmente independentes, primeiramente observamos que: d [ x W [Jν (x), J ν (x)] ] =, dx logo W [J ν (x), J ν (x)] = c x. Se ν / Z, utilizando a definição de J ν(x) e J ν (x) não é difícil ver que c. Se ν N, então para ν = n mostraremos que J n (x) = ( ) n J n, isto é, são linearmente dependentes. De fato: J n = k= ( ) k k! (k n)! [ ] k n x = k=n ( ) k k! (k n)! [ ] k n x, pois, o termo = se k =,,... n ; logo, trocando k por k + n: (k n)! [ ] ( ) k+n k+n x [ ] J n = = ( ) n ( ) k k+n x = ( ) n J n. k! (k + n)! k! (k + n)! k= k= Logo, {J n (x), J n (x)} não é um conjunto fundamental de soluções da edo de Bessel. A segunda solução deve ser obtida a partir de: y (x) = C J n (x) ln(x) + x n [ + b m x ]. m O procedimento para achar esta segunda solução é análogo ao caso em que ν =, apenas envolvendo muito mais cálculos, os quais ficam fora do contexto destas notas. Utilizando as notações anteriores, a segunda solução é denotada e dada por: m=

140 4 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL Y n (x) = [ J n (x) ( ln ( x) ) n (n k )! + γ x k n + π k n+ n! k= ( ) ( ) k+ H k + H n+k + x ]. k+n k+n+ k! (n + k)! k= As funções J n e Y n são linearmente independentes para x >. A solução geral da edo de Bessel de ordem n é: y(x) = c J n (x) + c Y n (x), < x < +. Observação Quando ν / N definimos a função Y ν da seguinte forma: Y ν (x) = [ ] J ν (x) cos(ν π) J ν (x). sen(ν π). Se ν / N, a solução geral pode ser escrita: y(x) = c J ν (x) + c Y ν (x) = = C J ν (x) + C Y ν (x), [ ] cos(ν π) c c + c J ν sen(ν π) sen(ν π) J ν(x) onde C = c + c cos(ν π) sen(ν π) e C = c sen(ν π). 3. Claramente, Y ν não é definida para ν N e que J ν (x) e Y ν (x) são linearmente independentes.

141 6.5. EDO DE BESSEL DE ORDEM ν > Figura 6.5: Gráficos de Y (azul), Y (verde) e Y 3 (vermelho) 4. É possível provar que: Y n (x) = lim ν n Y ν. 5. A função Y ν é chamada função de Neumann-Bessel de ordem ν. 6. Alguns gráficos da função Y ν : 5 5 Figura 6.6: Gráficos de Y / (azul), Y 5/ (verde) e Y 7/ (vermelho) Em resumo, temos: Teorema 6.. Seja a equação de Bessel de ordem ν : x y + x y + (x ν ) y =.

142 4 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL. Se ν Z, a solução geral é:. Se ν = n N, a solução geral é: y(x) = c J ν (x) + c J ν (x). 3. Se ν é arbitrário, a solução geral é: y(x) = c J n (x) + c Y n (x). y(x) = c J ν (x) + c Y ν (x). 6.6 A Edo de Bessel de Ordem ν = / Considere a edo de Bessel de ordem ν =, x > : x y + x y + ( x 4) y =. Dos parágrafos anteriores, temos que a solução geral da edo é: onde J / (x) = y(x) = c J / (x) + c J / (x), ( ) n Γ(n + ) Γ ( n + + ) Utilizando a definição da função Gama, temos que: [ ] n+/ x. Γ ( n + ) = (n ) Γ( n ) = (n ) (n 3 ) Γ( n 3 ) = (n ) (n 3 ) (n 5 ) Γ( n 5 ) (n 3) (n ) = Γ ( ) n = (n)! π ; 4 n n!

143 6.6. A EDO DE BESSEL DE ORDEM ν = / 43 logo: Então: Dos ítens anteriores, temos: De forma análoga: Γ ( n + + ) = ( n + J / (x) = ) ( ) (n + )! π Γ n + =. n+ n! Γ(n + ) Γ ( n + + ) = (n + )! π n+. π x J / (x) = ( ) n ( n + )! xn+ = π x sen(x). π x cos(x). E a solução geral da edo de Bessel de ordem ν = é: y(x) = π x [ ] c sen(x) + c cos(x). 5 5 Figura 6.7: Gráficos de J / (azul), J / (vermelho) e y = ± π x

144 44 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL 6.7 Exemplos e Aplicações [] Verifique que:. J ν (x) + J ν+ (x) = ν x J ν(x).. J ν (x) J ν+ (x) = J ν(x). Solução: Como: temos que: J ν (x) = ( ) n n! Γ(n + ν + ) [ ] n+ν x, Logo: J ν (x) ± J ν+ (x) = = = ( ) n (n + ν) n! Γ(n + ν + ) ν Γ(ν + ) J ν (x) + J ν+ (x) = ν Analogamente: ( ) n n! Γ(n + ν) [ ] ν x + [ ] n+ν x ± [ ] n+ν x ± n= [ ] [ x = ν x J ν(x). n= ( ) n n! Γ(n + ν + ) Γ(ν + ) [ ] ν x + ( ) n n! Γ(n + ν + ) ( ) n (n )! Γ(n + ν + ) [ ] n+ν+ x [ ] n+ν x [ ] n+ν x [ n + ν ± ( ) n ]. n= ( ) n n! Γ(n + ν + ) [ ] n+ν ] x J ν (x) J ν+ (x) = = ν Γ(ν + ) = J ν(x). [ x ] ν [ Γ(ν + ) [ ] ν x + n= ( ) n ( n + ν) n! Γ(n + ν + ) [ ] n+ν ] x

145 6.7. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 45 Aplicação: Utilizando a identidade : temos que: J 3/ (x) = J 3/ (x) = J 5/ (x) = J 5/ (x) = J ν (x) + J ν+ (x) = ν x J ν(x), [ ] sen(x) x cos(x) π x 3 π x 3 π x 5 [ ] sen(x) + x cos(x), [ ] (x 3) sen(x) + 3 x cos(x) [ ] (3 x ) cos(x) + 3 x sen(x). π x Figura 6.8: Gráficos de J 3/, J 3/ e J 5/, J 5/, respectivamente [] As edo s do tipo: x y + ( n) y + x y =, n N. tem como solução particular y(x) = x n J n (x). De fato, derivando:

146 46 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL Substituindo na edo: x y = x n+ J n (x) ( n) y = ( n) x n ( n J n (x) + x J n(x) x y = x n ( (n n) J n (x) + n x J n(x) + x J n(x) ). x y + ( n) y + x y = x n [ x J n(x) + x J n(x) + (x n ) J n (x) ] =, onde utilizamos que J n é solução da edo de Bessel de ordem n. Por exemplo, a edo: tem como solução particular y = x J (x). x y y + x y =, Figura 6.9: Gráfico de y(x) = x J (x) Diversas edo s que não são de Bessel podem ser reduzidas a edo s de Bessel através de uma mudança de variáveis. A seguir, apresentaremos alguns exemplos. [3] Ache a solução geral de: Multiplicando a edo por x: x y + y + k x y = ; x >, k R. x y + x y + k x y =. Fazendo u = k x, temos u = k, e a edo fica:

147 6.7. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 47 u y + u y + u y =. Que é uma edo de Bessel zero para y = y(u); logo a solução geral é: y(u) = c J (u) + c Y (u). Voltando as variáveis originais: y(x) = c J (k x) + c Y (k x). [4] A edo: 4 x y + 4 x y + [ x ] y =, x >, 36 não é de Bessel. Fazendo z = x ou z = x e utilizando a regra da cadeia, temos: logo, a edo pode ser reescrita: y = dy dx = dy dz dz dx = z dy dz y = d [ ] dy = d y dx dx 4 z dz dy 4 z 3 dz ; z d y dz + z dy dz + [ z ] y(z) =. 36 Então, ν = ± 6 e a solução é y(z) = c J /6 (z) + c J /6 (z), isto é: [5] Em geral, toda edo da forma: y(x) = c J /6 ( x) + c J /6 ( x). t u (t) + ( a) t u (t) + (b c t c + a ν c ) u(t) =, a, b, c, ν R, (6.) pode ser transformada numa edo de Bessel de ordem ν. De fato, fazendo: u(t) = t a y(x) e x = b t c,

148 48 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL obtemos: [6] Seja edo de Airy: Para t >, consideramos: x y + x y + (x ν ) y =. u + t u =. t u + t 3 u = Logo, é uma edo do tipo 6. para a =, b = 3, c = 3 e ν =. Então, com as mudanças: 3 u(t) = t y(x) e x = t3/ 3, temos uma edo de Bessel de ordem ν = 3, logo: Voltando as variáveis originais: y(x) = c J /3 (x) + c J /3 (x). u(t) = t [ ( t 3/ ) ( t 3/ )] c J /3 + c J / Figura 6.: Gráfico para c = e c = [7] Um modelo matemático para o movimento livre não amortecido de uma massa m, presa a uma mola que sofre a degradação de sua rigidez no passar do tempo, é dado pela edo:

149 6.7. EXEMPLOS E APLICAÇÕES 49 onde x = x(t) de classe C. m x + k e α t x =, α, k >, Esta edo pode ser transformada numa edo de Bessel de ordem ν =. De fato, fazendo: k u(t) = e α t/ α m, e utilizando a regra da cadeia, obtemos a edo de Bessel: cuja solução geral é: u d x du + u dx du + s x =, x(s) = c J (s) + c Y (s), voltando as variáveis originais: [8] Consideremos a edo: x(t) = c J ( e α t/ k ) ( + c Y α e α t/ k ). m α m (r + v t) d θ dt + v dθ dt + g θ =. Esta edo representa a evolução do movimento, para pequenas oscilações (sen(θ) θ), de um pêndulo, onde a corda do pêndulo tem comprimento variável r = r(t), com taxa de variação constante v e tal que r() = r. Simplificamos a edo fazendo: x = r + t v, v e utilizando a regra da cadeia, obtemos a edo : multiplicando a edo por x v, temos: x v d θ dx + v dθ dx + g θ = ; x d θ dx + x dθ dx + g x v θ =,

150 5 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL substituindo x por t: t d θ dt + t dθ dx + g t v θ =, que é uma edo do tipo (6.): para a =, b = g v, c = e ν =. Fazendo: θ(t) = y(x) t e x = b t, obtemos: x y + x y + (x ) y =. Logo, a solução é: y(x) = c J (x) + c Y (x). Por outro lado θ(t) = t / y(x) e x = t, logo: θ(t) = t [ c J ( t) + c Y ( t) ] Figura 6.: de θ(t) para c = e para c =

151 6.8. EXERCÍCIOS Exercícios. Determine a solução da edo de Bessel para: (a) ν = 3 (c) ν = 6. (e) ν = 5 4. (b) ν = 4 (d) ν = 9. (f) ν = Considere a edo: Utilize a mudança u = α x: x y + x y + (α x ν ) y =, α >. (a) Ache a edo de Bessel, na variável u. (b) Verifique que a solução geral da edo original é: y(x) = c J ν (α x) + c Y µ (α x). 3. Utilize o ítem anterior, para achar a solução geral das seguintes edo a: (a) x y + x y + (4 x 9) y = (b) x y + x y + (36 x 5) y = (c) x y + x y + (9 x 36) y = (d) x y + x y + ( x 9 ) y = Considere a edo: x y + ( ν) y + x y =, x >. (a) Verifique que y (x) = x ν J ν (x) é uma solução da edo. (b) Verifique que y (x) = x ν Y ν (x) é uma solução da edo. (c) Determine a solução geral da edo.

152 5 CAPÍTULO 6. A EQUAÇÃO DE BESSEL 5. Utilize o ítem anterior, para achar a solução geral das seguintes edo a: (a) x y y + x y = (b) x y + 4 y + x y = (c) x y 3 y + x y = 6. Utilizando 6., determine a solução de: (a) t u + (t 5/4) u = (b) t u + t u + (r t s/n s ) u = (c) u + r t ( n)/n u = 7. Verifique: (a) (b) d ( ) x ν J ν = x ν J ν dx d ( ) x ν J ν = x ν J ν+ dx (c) x J ν+ νj ν + x J ν = (d) J ν+ + J ν J ν = (e) Y ν + ν x Y ν = Y ν (f) Y ν Y ν+ = Y ν 8. Verifique que: [ sen(x) (a) J 3/ (x) = π x x [ 3 sen(x) (b) J 5/ (x) = π x x ] cos(x) 3 cos(x) x ] sen(x)

153 Capítulo 7 SÉRIES DE FOURIER 7. Introdução As séries de Fourier, como as séries de Taylor são casos especiais das séries de funções, estudadas anteriormente. Jean-Baptise Fourier apresentou no ano e 8, ao mundo acadêmico, seu grande trabalho "Théorie Analytique de la Chaleur"o qual demorou anos para escrever. Esta obra teve inicio en 87, quando apresentou a "Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides"ao Instituto de França, que tinha aberto um concurso para esclarecer as dificuldades de entender as derivações das equações diferenciais que regem o fluxo do calor e o uso extensivo em sua solução das expansões trigonométricas conhecidas hoje como série de Fourier. A banca do concurso era formada por Lagrange, Laplace e Monge, que não gostaram pois contradecia muitos conceitos época, como o fato de secompor funções, inclussive descontínuas, por séries de funções trigonometricas simples. Outros matemáticos, como P. G. Dirichlet, G. B. Riemann, K. Weierstrass e G. Cantor, contribuim de forma exemplar, para fixar definitivamente as séries de Fourier. Tiveram fortes reservas, pela falta de rigor matemático. Tendo todas estas resalvas, a banca reconheciou a importância do trabalho e concediou o prêmio a Fourier. Na atualidade, as séries de Fourier, são um caminho natural para o estudio inicial das Equações Diferenciais Parciais do calor, onda e Laplace. 53

154 54 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7. Funções Periódicas Definição 7.. Uma função f : R R é periódica se existe T R tal que: f(x) = f(x + T ), x R. Em tal caso, o número T é dito o período de f. Observação 7... Toda função é periódica de período zero; logo, nestas notas, somente consideraremos T.. As funções constantes são periódicas de qualquer período; logo, somente consideraremos funções não constantes. 3. Se T é o período de f, então n T para todo n Z {} é período de f. De fato, se n > para n = temos: f(x + T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f(x). Suponha que a propriedade é válida para n, então: f(x + n T ) = f((x + T ) + (n ) T ) = f(x + T ) = f(x). Analogamente para n <. 4. Logo, nestas notas, somente consideraremos T >. Definição 7.. O menor T, se existir, tal que f(x + T ) = f(x), para todo x R é dito período fundamental de f. Observação 7... As funções constantes não pussuem período fundamental.. É possível provar que as funções periódicas e contínuas não constantes possuem período fundamental. 3. Nestas notas consideraremos somente funções com períodos fundamentais.

155 7.. FUNÇÕES PERIÓDICAS Denotaremos por f(x) = f(x+t ) toda função periódica de período fundamental T. 5. O gráfico de uma função periódica de período fundamental T pode ser obtido a partir do gráfico de y = f(x) no intervalo [a, a + T ], seguido de translações. Figura 7.: Gráfico de uma função periódica Exemplo 7.. [] As funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são periódicas de período fundamental π. [] As funções f(x) = tg(x) e g(x) = cotg(x) são periódicas de período fundamental π. [3] A função f(x) = 7 [ sen ( x)] é periódica de período π. De fato: f(x) = 7 [ sen ( x)] = 7 cos(x). [4] f(x) = x, x [, ) tal que f(x) = f(x + ) Figura 7.: Gráfico de de f(x) = x, periódica

156 56 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER [5] Seja: f(x) = { se x se x <. tal que f(x) = f(x + ) Figura 7.3: Gráfico de f(x), periódica [6] Seja f(x) = sen(x), x [, π] tal que f(x) = f(x + π). - - Figura 7.4: Gráfico de f(x) = sen(x), periódica [7] Determine o período de f(x) = 3 + ( ) [[x]], onde [[x]] é o maior inteiro menor ou igual a x. Seja n = [[x]], então x [n, n + ). Se n = k, então ( ) [[x]] = e: Se n = k +, então ( ) [[x]] = e: f(x) = 4, x [ k, k + ).

157 7.. FUNÇÕES PERIÓDICAS 57 f(x) =, x [ k +, k + ). Por outro lado f(x + T ) = f(x), para todo x, então ( ) [x+t ] = ( ) [[x]], para todo x, em particular para x =, temos ( ) [T ] =, logo T é par, donde T =. Figura 7.5: Gráfico de f(x) = 3 + ( ) [[x]], periódica [8] A função f(x) = x [[x]] é periódica de período T =. 3 3 Figura 7.6: Gráfico de f(x) = x [[x]], periódica Proposição 7.. Se f e g são periódicas de período T, então:. α f + β g é periódica de período T.. f g é periódica de período T. 3. Se α, então f(α x) é periódica de período T α.

158 58 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 4. f é periódica de período T. 5. Se f é integrável em qualquer intervalo [a, a + T ]: a+t a f(x) dx = T a f(x) dx. A prova das propriedades seguem diretamente das definições. Veja [VC]. Observação 7.. A soma de funções periódicas de diferentes períodos pode ser ou não periódica de algum período. Proposição 7.. Sejam f e g funções periódica de período T e T, respectivamente tal que T T, então f + g é períodica se: T T Q. Exemplo 7.. [] A função f(x) = sen(x) + cos( 3 x) não é períodica. Figura 7.7: Gráfico de f(x) = sen(x) + cos( 3 x) [] A função g(x) = cos(x) + cos ( x) é períodica de período 4 π. De fato, devemos ter g(x + T ) = g(x), para todo x, então:

159 7.. FUNÇÕES PERIÓDICAS 59 x + T = x + m π x + T = x + n π = { T = m π T = 4 n π = m 4 = n, os menores números naturais que satisfazem esta igualdade são m = e n =, logo T = 4 π Figura 7.8: Gráfico de f(x) = sen(x) + cos(x) + cos( x ) [3] A função h(x) = sen ( x) (x) + cos é períodica de período 4 π. 3 4 De fato, devemos ter h(x + T ) = h(x), para todo x, então: x 3 + T 3 = x 3 + m π x 4 + T 4 = x 4 + n π = { T = 6 m π T = 8 n π = m 8 = n 6, os menores números naturais que satisfazem esta igualdade são m = 4 e n = 3, logo T = 4 π.

160 6 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 5 5 Figura 7.9: Gráfico de f(x) = sen( x 3 ) + cos( x 4 ) 7.3 Exemplo Fundamental Seja: denotemos por: λ n = n π, n N, l R, l { Φ n (x) = sen(λ n x) e Ψ n (x) = cos(λ n x) (7.) Determinemos os períodos fundamentais de Φ n e Ψ n.. Devemos ter Ψ n (x + T ) = Ψ n (x) para todo x R, isto é: Logo: donde: cos(λ n x) = cos(λ n (x + T )) = cos(λ n x) cos(λ n T ) sen(λ n x)) sen(λ n T ). { cos(λ n T ) = sen(λ n T ) =, T = l n.

161 7.4. ÁLGEBRA LINEAR 6. Suponha que T é outro período de Ψ n, teremos: n π T l = k π, então T = k T, logo, T = l é o período fundamental. 3. Analogamente para Φ n. 7.4 Álgebra Linear Lembramos que um produto interno definido num R-espaço vetorial V é uma função: <, >: V V R, que satisfaz às seguintes propriedades:. < u, u > e < u, u >= se, e somente se u =, para todo u V.. < u, v >=< v, u >, para todo u, v V. 3. < α u + λ v, w >= α < u, w > +λ < v, w >, para todo u, v V e λ, α R. Definição 7.3. Seja V um R-espaço vetorial e W V :. Os vetores u, v V são ditos ortogonais se < u, v >=.. W é dito ortogonal se < u, v >=, para todo u, v W. Dado ( V, <, > ) um R-espaço vetorial com produto interno, definimos a norma do vetor u V como: u = < u, u >.

162 6 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7.5 Funções Ortogonais Seja A R e denotemos por C(A) o conjunto das funções f : A R integráveis sobre A. O conjunto C(A) possui uma estrutura natural de R-espaço vetorial com as seguintes operações: dada f, g C(A) e λ R, então: ( f + g ) (x) = f(x) + g(x) ( λ f ) (x) = λ f(x), para todo x A. Seja [a, b] R, então em C ( [a, b] ) definimos o seguinte produto interno: < f, g >= para todo f, g C ( [a, b] ). b a f(x) g(x) dx, A prova de que é um produto interno segue diretamente das definições. Observação 7... Utilizaremos a notação: < f, g >= f g.. Se as funções não forem contínuas, <, > não é um produto interno. Isto é, se f não é contínua, < f, f >= f = não implica em f =. 3. Os polinômios de Legendre e de Hermite são ortogonais. Exemplo 7.3. [] As funções f(x) = x e g(x) = x são ortogonais em [ a, a] e a >. De fato: a < f, g >= x 3 dx = x4 a 4 =. a [] As funções f(x) = e x e g(x) = x e x e x são ortogonais em [, ]. De fato: < f, g >= e x (x e x e x ) dx = a (x ) dx =.

163 7.5. FUNÇÕES ORTOGONAIS 63 [3] As funções f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x) são ortogonais em [, π]. De fato: π < f, g >= cos(x) sen (x) dx = sen3 π (x) 3 =. Π Figura 7.: Gráfico de f e g Seja V = C ( [ l, l] ) o espaço vetorial das funções integráveis em [ l, l], com produto interno: f g =< f, g >= l l f(x) g(x) dx, f, g V. Proposição 7.3. O conjunto: W = {, Φ n, Ψ n / n N} é ortogonal em V, onde Φ n e Ψ n são dados por (7.). Em particular, os elementos de W são linearmente independentes. Prova: De fato:. Note que Ψ (x) =, então: = l l dx = l.. Ψ n = l l cos(λ n x) dx = l sen(λ n x) λ n l l =, n.

164 64 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 3. Analogamente Φ n =, para todo n N. 4. Nos seguintes parágrafos faremos u = π x, então du = π l l 5. Se n m: dx; logo: Ψ n Φ m = l = l π = l π =. cos(λ n x) sen(λ m x) dx l π π π π cos(n u) sen(m u) du [ sen((n + m) u) + sen((n m) u) ] du 6. Se n m, não nulos: Ψ n Ψ m = l = l π = l π =. cos(λ n x) cos(λ m x) dx l π π π π cos(n u) cos(m u) du [ cos((n + m) u) + cos((n m) u) ] du 7. Analogamente, se n m: Φ n Φ m = l = l π = l π =, sen(λ n x) sen(λ m x) dx l π π π π cos(n u) cos(m u) du [ cos((n m) u) cos((n + m) u) ] du

165 7.5. FUNÇÕES ORTOGONAIS Se n = m: Ψ n Ψ n = l = l π = l π = l. cos (λ n x) dx l π π π π cos (n u) du [ cos(n u) ] du 9. Analogamente: para todo n N. Φ n Φ n = l, Corolário 7.. Com as notações anteriores: Φ n Φ m = { Ψ n Ψ m = se n m l se n = m. se n m l se n = m N l se n = m =. Ψ n Φ m =, n, m N Corolário 7.. Os conjuntos: W = {, Ψ n / n N} e W = {Φ n / n N} são ortogonais em C ( [, l] ), onde Φ n e Ψ n são dados por (7.).

166 66 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7.6 Séries de Fourier Suponha que, inicialmente, temos a seguinte expressão formal: f(x) = a + [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ], (7.) n= onde a n, b n R e λ n = n π. l Gostaríamos de poder responder às seguintes questões relativas à (7.).. Dada a função f, quando é possível escrevê-la como (7.)?. Que relação existe entre a n, b n e f? 3. Em que sentido a série de funções dada em (7.) converge? Supondo que (7.) é valida, responderemos à segunda questão. Para isto, utilizaremos formalmente o produto interno definido na seção anterior. Denotemos (7.) por: f = a Ψ + [ ] an Ψ n + b n Φ n. onde Φ n e Ψ n são dados por (7.). Utilizando a ortogonalidade: Logo: f Ψ = a Ψ Ψ + n= n= [ an Ψ n Ψ + b n Φ n Ψ ] = a Ψ Ψ = a l. então: a = l [ ] [ ] f Ψ = f, l a = l l l f(x) dx. Fixemos m N; então: f Ψ m = a Ψ m + [ ] an Ψ n Ψ m + b n Φ n Ψ m. n=

167 7.6. SÉRIES DE FOURIER 67 Pela ortogonalidade, temos: f Ψ m = a m Ψ m Ψ m = a m l para todo m N; então: a n = l l l f(x) Ψ n (x) dx = l l l f(x) cos(λ n x), dx n =,,... Analogamente, pela ortogonalidade, temos: para todo m N; então: f Φ m = b m Φ m Φ m = b m l b n = l l l f(x) Φ n (x) dx = l l l f(x) sen(λ n x) dx, n =,,... Observação 7.3. Se f pode ser escrita como em (7.), então:. f deve ser periódica de período l.. As constantes a n e b n tem a propriedade: a n = l l l f(x) Ψ n (x) dx l l l f(x) Ψ n (x) dx l l l f(x) dx b n = l l l f(x) Φ n (x) dx l l l f(x) Φ n (x) dx l l l f(x) dx. Logo: a n l l l f(x) dx e b n l l l f(x) dx. 3. Isto é, se f é absolutamente integrável em [ l, l], então garantiremos a existência de a n e b n.

168 68 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7.7 Observações Básicas sobre Integrabilidade Se f for integrável e limitada, então f é absolutamente integrável. A recíproca é falsa, por exemplo: Exemplo 7.4. Seja: { se x Q f(x) = se x / Q. f não é integrável em [, ], mas f(x) =, para todo x [, ] e é integrável em [, ]. Se f não é limitada, a integrabilidade de f não implica em que f seja absolutamente integrável. Logo, existem funções integráveis que não são absolutamente integráveis e funções não integráveis que são absolutamente integráveis. Definição 7.4. Se f e f são integráveis, diremos que f está nas condições de Fourier. Observação A maioria das funções utilizadas nas aplicações satisfazem à condição de Fourier.. Denotemos por C per o conjunto das funções periódicas de período fundamental l. Definição 7.5. Seja f C per satisfazendo às condições de Fourier. A série de Fourier de f é denotada e definida por: onde: S[f] = a + n= [ an cos( n π x l ) + b n sen( n π x ) ], l a = l l l f(x) dx, a n = l l l f(x) cos( n π x ) dx, n =,,... l b n = l l l f(x) sen( n π x ) dx, n =,,... l

169 7.7. OBSERVAÇÕES BÁSICAS SOBRE INTEGRABILIDADE 69 Os coeficientes a n e b n são ditos de Fourier da série. As seguintes propriedades simplificam o cálculo de S[f] quando f possui alguns tipos de simetria. Proposição 7.4. Seja f integrável em [ l, l]:. Se f é par, então:. Se f é ímpar, então: l l f(x) dx = l f(x) dx. Prova: Veja [VC]. l l f(x) dx =. Corolário 7.3. Seja f C per, nas condições de Fourier e λ n = n π : l. Se f é par, isto é, simétrica em relação ao eixo dos y, então b n = para todo n N, logo: S[f] = a + a n cos(λ n x), n= onde a n = l l f(x) cos(λ n x) dx, n =,,,..... Se f é ímpar, isto é, simétrica em relação à origem, então a n = para todo n, logo: S[f] = b n sen(λ n x), n= onde b n = l l f(x) sen (λ n x) dx, n =,,...

170 7 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7.8 Exemplos [] Ache S[f] se f(x) = x x [, ], e é tal que f(x) = f(x + ). Figura 7.: Gráfico de f(x) = x, periódica l =, então l =, f está nas condições de Fourier e é par; logo b n =, para todo n =,,... e: Logo a n = e: a = a n = x dx = e x cos(n π x) dx = n π [ ( ) n ]. 4 a n = π ( n ) ; então: S[f] = [ n= 4 π ( n ) ] cos(( n ) π x). [] Ache S[f] se f(x) = x, x [, ], e é tal que f(x) = f(x + ).

171 7.8. EXEMPLOS Figura 7.: Gráfico de f(x) = x, periódica f está nas condições de Fourier; l =, então l = e f é ímpar; logo a n =, para todo n =,,,... e: Logo: b n = x sen ( n π x ) dx = [ ] sen(n π x) x n π cos(n π x) n π = ( )n+. n π S[f] = [ ] ( ) n+ sen(n π x). n π n= Sejam as seguintes somas parciais de S[f] S (x) = π sen( π x ) S 4 (x) = π sen( π x ) π sen( π x ) + 3 π sen( 3 π x ) π sen( 4 π x ). Observe o comportamento de f, S e S 4 nos respectivos gráficos:

172 7 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER - - Figura 7.3: Gráficos de f(x) = x (azul), S (verde) e S 4 (vermelho) Figura 7.4: Gráficos de f(x) = x (azul), S (verde) e S 4 (vermelho) [3] Ache S[f] se f(x) = 3 + ( ) [[x]]. Figura 7.5: Gráfico de f(x) = 3 + ( ) [[x]], periódica Sabemos que f é periódica de período e está nas condições de Fourier; l =, então l = ; f não é par nem ímpar, e:

173 7.8. EXEMPLOS 73 a = e: (3 + ( ) [[x]] ) dx = dx + 4 dx = 6, logo: a n = = = (3 + ( ) [[x]] ) cos(n π x) dx cos(n π x) dx + 6 sen(n π) ; n π 4 cos(n π x) dx a n =, n >. Por outro lado: logo: Então: b n = = (3 + ( ) [[x]] ) sen(n π x) dx sen(n π x) dx + ( cos(n π)) = n π = ( ( )n ) n π b n = e b n = S[f] = 3 + [ n= 4 ( n ) π 4 sen(n π x) dx 4 ( n ) π, n. ] sen(( n ) π x). Observe o comportamento de f, S e S 4 nos respectivos gráficos:

174 74 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 4 Figura 7.6: Gráficos de f(x) (azul), S 5 e S 5 (verde) Figura 7.7: Gráficos de f(x) (azul) e S (verde) [4] Ache S[f] se: f(x) = { se x π se π x <, e é tal que f(x) = f(x + π).

175 7.8. EXEMPLOS Figura 7.8: Gráfico de f do exemplo [4] f está nas condições de Fourier; l = π, então l = π; f não é par nem ímpar, e: a = π π π f(x) dx = π π dx = e a n = π π π f(x) cos(n x) dx = π π cos(n x) dx = b n = π π π f(x) sen(n x) dx = π Logo b n = e b n = π ( n ) ; então: S[f] = + [ n= π π ( n ) sen(n x) dx = [ ] () n. n π ] sen(( n ) x). Figura 7.9: Gráficos de S 5 e S 5

176 76 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER Figura 7.: Gráficos de f (azul) e S 6 (vermelho) [5] Ache S[f] se f(x) = { se π x < x se x π, e é tal que f(x) = f(x + π) Figura 7.: Gráficos de f do exemplo [5] f e está nas condições de Fourier; l = π, então l = π; f não é par nem ímpar, e: π π a = π π f(x) dx = π x dx = π a n = π π π f(x) cos(n x) dx = π π x cos(n x) dx = ( )n n π b n = π π π f(x) sen(n x) dx = π π x sen(n x) dx = ( )n+. n

177 7.8. EXEMPLOS 77 Logo, a n = e: a n = π ( n ) : então: S[f] = π 4 [ π ( n ) cos( ( n ) x ) ( )n+ sen ( n x )]. n n= Observe o comportamento de f e S 4 (x): p -p p Figura 7.: Gráfico de f (vermelho) e S 4 (azul) [6] Ache S[f] se f(x) = sen ( π x ), x [, ] e é tal que f(x) = f(x + ). - - Figura 7.3: Gráfico de f do exemplo [6] l =, então l = ; f é par, logo, b n = para todo n =,..., l = : a = sen ( π x ) dx = 4 π

178 78 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER a n = = sen ( π x ) cos(n π x) dx [ sen ( (n + ) π x ) sen ( (n ) π x )] dx = (( )n + ) (n ) π, se n, calculando diretamente, temos: Por outro lado a n+ = e: Logo: a = S[f] = π [ sen ( π x ) cos(π x) dx =. 4 a n = π (4 n ). n= 4 π ( 4 n ) ] cos ( n π x ). Observe o comportamento de f e S (x). Compare como o comportamento nos outros exemplos: Figura 7.4: Gráficos de f (verde) e S (azul) [7] Ache S[f] se f(x) = x + x, x [, ] e é tal que f(x) = f(x + ).

179 7.8. EXEMPLOS Figura 7.5: Gráfico de f do exemplo [7] l =, então l = ; f não é par ou ímpar, logo: a = [x + x] dx = 3. a n = [ (x + x) cos(n π x) ] dx = 4 ( )n π n Logo: b n = [ (x + x) sen(n π x) ] dx = 4 ( )n+. n π S[f] = ( ) n π n n= [cos(n π x) π n sen(n π x) ]. Figura 7.6: Gráficos de f e S 5

180 8 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER [8] Calcule a série de Fourier de f(x) = x sen(x), π x π periódica de período π. Note que: Figura 7.7: Gráficos de f do exemplo [8] f é ímpar, logo: π x cos(n x) dx = π ( )n n, n >. a n =, n. Por outro lado l = π : b n = π π x sen(x) sen(n x) dx = π π x [ cos((n ) x) cos((n + ) x) ] dx 8 n ( ) n = (n + ) (n ), n >. Por outro lado: b = π A série de Fourier é: π x sen (x) dx = π π x [ cos( x) ] dx = π 3.

181 7.9. LINEARIDADE DOS COEFICIENTES DE FOURIER 8 [ π S[f] = 3 ] sen(x) [ n= 8 n ( ) n (n + ) (n ) 7.9 Linearidade dos Coeficientes de Fourier ] sen(n x). Sabemos que os coeficientes de Fourier de S[f] dependem somente de f. Sendo calculados através de uma integral, resulta que estes coeficientes dependem linearmente da função. Se denotamos por a n (f) e b n (f) os coeficientes de S[f], então: a n ( α f + β g ) = α an (f) + β a n (g), n =,,... ( ) b n α f + β g = α bn (f) + β b n (g), n =,,... para toda f e g C per, nas condições de Fourier e todo α, β R. Exemplo 7.5. [] Calcule S[h], onde h(x) = l x, x [ l, l] é tal que h(x + l) = h(x) Figura 7.8: Gráfico de h para l = Seja f(x) = x, x [ l, l] é tal que f(x + l) = f(x); sabemos que sua série de Fourier é: S[f] = l n= 4 l π ( n ) cos(λ n x). Utilizando a linearidade dos coeficientes de Fourier:

182 8 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER a (f) = l, 4 l a n (f) = e b ( n ) π n (f) = para todo n N; então: a (h) = a [ l x ] = l a () a (f) = l l = a n (h) = a n [ l x ] = l a n() a n (f) = a n (f), n =,,... b n (h) = b n () b n (f) =, n =,,... Note que h é par; logo: S[h] = n= 4 l π ( n ) cos(λ n x). [] Calcule S[h], onde h(x) = x x, x [ l, l] e tal que h(x + ) = h(x) Figura 7.9: Gráfico de h Pela linearidade dos coeficientes de Fourier, devemos somente calcular a série de Fourier de f(x) = x, x [ l, l] e tal que f(x + ) = f(x); l = e f é par:

183 7.. FUNÇÕES NÃO PERIÓDICAS: EXTENSÕES 83 a = x dx = 3 b n =, n =,,... a n = x cos(n π x) dx = 4 ( )n n π n =,,... Por outro lado, seja g(x) = x, x [ l, l] e tal que g(x + ) = g(x); sabemos que g é ímpar e sua série de Fourier é: Então: ( ) n+ S[g] = sen ( n π x ). n π n= a (h) = a (f) a (g) = a (f) = 4 3 a n (h) = a n (f) a n (g) = a n (f) = 8 ( )n, n =,,... n π Logo: b n (h) = b n (f) b n (g) = b n (g) = ( )n+ n π S[h] = 3 + ( ) n+ n π n= = ( )n, n =,,... n π [ ] 4 cos(n π x) + sen(n π x). n π 7. Funções Não Periódicas: Extensões Considere o seguinte problema: Dada uma função: f : [, l] R, é possível definir S[f]? Para responder a esta questão, lembramos primeiramente que os conjuntos W = {, Ψ n / n N} e W = {Φ n / n N} são ortogonais em C ( [, l] ), onde Φ n e Ψ n são dados por (7.).

184 84 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7. Extensão Par Seja f : [, l] R. A extensão par de f é denotada e definida por: f p (x) = { f(x) se x l f( x) se l x <. f p ( x) = f p (x), isto é, f p é par. Figura 7.3: Gráficos de f (azul) e f p 7. Extensão Ímpar Seja f : [, l] R. A extensão ímpar de f é denotada e definida por: f o (x) = { f(x) se x l f( x) se l x <. f o ( x) = f o (x), isto é, f o é ímpar.

185 7.3. EXTENSÃO POR ZEROS 85 Figura 7.3: Gráficos de f (azul) e f o 7.3 Extensão por Zeros Seja f : [, l] R. A extensão por zeros de f é denotada e definida por: { f(x) se x l f z (x) = se l x <. f z não é uma função par nem ímpar. Figura 7.3: Gráficos de f (azul) e f z Exemplo 7.6. x se x < π [] Considere a função: f(x) = π π x se x < π. Então:

186 86 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER x se π x < π + x se π x < π f p (x) = x se x < π π π x se x < π. π -3-3 Figura 7.33: Gráficos de f (azul) e f p x se π x < π f o (x) = π x se π x < π π π x se x < π. π π Figura 7.34: Gráficos de f (azul) e f

187 7.3. EXTENSÃO POR ZEROS 87 x se x < π π f z (x) = π x se x < π se π < x <. π -3-3 Figura 7.35: Gráficos de f (azul) e f z [] Considere a função f(x) = e x, tal que x Então: f p (x) = { e x se x < e x se x <. Figura 7.36: Gráficos de f (vermelho) e f p f o (x) = { e x se x < e x se x <

188 88 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER Figura 7.37: Gráficos de f (vermelho) e f o f z (x) = { e x se x < se x < Figura 7.38: Gráficos de f (vermelho) e f z Observação As funções: f p, f o, f z : [ l, l] R são tais que: f p (x) = f o (x) = f z (x) = f(x), x [, l].. Se f está nas condições de Fourier, então f p, f e f z satisfazem às condições de Fourier.

189 7.3. EXTENSÃO POR ZEROS Se f é definida num intervalo I do tipo [a, b) ou (a, b], então podemos estender f para todo R de forma periódica de período T = b a, fazendo: para todo x I e k Z. Por exemplo: f(x + k T ) = f(x) Exemplo 7.7. [] A função f(x) = sen(x), π x π período π para todo x R e seu gráfico é: pode ser estendida de forma periódica de -p -p p p - Figura 7.39: Gráficos de fe sua extensão [] A função f(x) = cos(x), x π pode ser estendida de forma periódica de período π para todo x R e seu gráfico é: Π Π Π Π Figura 7.4: Gráficos de fe sua extensão [3] A função f(x) = e x, x pode ser estendida de forma periódica de período para todo x R

190 9 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER ou Figura 7.4: Gráficos de f (vermelho) e f p ou Figura 7.4: Gráficos de f (vermelho) e f o Figura 7.43: Gráficos de f (vermelho) e f z Observação 7.4. Considerando f p e f o periódicas de período l e satisfazendo às condições de Fourier, podemos definir as respectivas séries de Fourier.

191 7.4. SÉRIES DOS CO-SENOS Séries dos Co-senos Sejam f : [, l] R e f p sua extensão par, periódica de período l e nas condições de Fourier; então: onde λ n = n π, e: l S[f p ] = a + a n cos(λ n x), n= a n = l l l f p (x) cos(λ n x) dx = l l f(x) cos(λ n x) dx, n =,,... Na última integral utilizamos o fato de que f p é par e f p = f em [, l]. 7.5 Séries dos Senos Sejam f : [, l] R e f o sua extensão ímpar, periódica de período l e nas condições de Fourier; então: onde λ n = n π, e: l S[f o ] = a n sen(λ n x), n= b n = l l l f (x) sen(λ n x) dx = l l f(x) sen(λ n x) dx, n =,,... Na última integral utilizamos o fato de que f é ímpar e f = f em [, l]. Definição S[f p ] é dita a série dos co-senos de f; analogamente, S[f o ] é dita a série dos senos de f.

192 9 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER. Como, f = f p = f o = f z em [, l], definimos a série de Fourier de f como: S[f] = S[f p ] ou S[f] = S[f o ] ou S[f] = S[f z ]. Exemplo 7.8. [] Seja f(x) = x tal que x [, ]. Ache S[f]. Determinemos f p : { x se x f p (x) = x se x <, isto é, f p (x) = x onde x [, ]; fazendo f p periódica de período : Figura 7.44: Gráfico de f p l =, então a = e: a n = x cos ( n π x) dx = ( ( ) n ) n π. 4 Logo a n = e a n = e a série dos co-senos de f é: π ( n ) S[f p ] = 4 π ( n ) cos( ( n ) π x). n= Determinemos f : f (x) = { x se x x se x <,

193 7.5. SÉRIES DOS SENOS 93 isto é, f (x) = x onde x [, ]; fazendo f o periódica de período : l =, então: b n = Logo, a série dos senos de f é: Figura 7.45: Gráfico de f o S[f o ] = x sen ( n π x) dx = ( )n+. n π ( ) n+ sen ( n π x). n π n= Observe que S[f ] não é igual a f no ponto x =. Determinemos f z : f z (x) = fazendo f z periódica de período : { x se x se x ; 3 Figura 7.46: Gráfico de f z

194 94 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER Então: a = a n = b n = x cos(n π x) dx = ( )n n π x sen(n π x) dx = ( )n+. n π Logo, a série de Fourier é: S[f z ] = 4 + [ ] ( ) n cos(n π x) + n π [ ( ) n+ n π ] sen(n π x). 3 Figura 7.47: Gráfico de f z e S [] Seja f(x) = x tal que x [, π]. Ache S[f]. Determinemos f p : f p (x) = { x se x π ( x) se π x <, isto é, f p (x) = x onde x [ π, π]; fazendo f p periódica de período π:

195 7.5. SÉRIES DOS SENOS 95 Figura 7.48: Gráfico de f p l = π, então a = π 3 e: a n π π x cos ( n x) dx = 4 ( )n+ n. Logo, a série dos co-senos de f é: S[f p ] = π 3 n= 4 ( ) n+ cos(n x). n Figura 7.49: Gráficos de f p e S 3 Determinemos f : f (x) = { x se x π x se π x <, onde x [ π, π]; fazendo f o periódica de período π:

196 96 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER Figura 7.5: Gráfico de f o l = π, então: b n = π π x sen ( x) dx = 4 + (4 n π ) ( ) n. n 3 π Logo, a série dos senos de f é: S[f o ] = [ ] 4 + (4 n π ) ( ) n sen(n x). n 3 π n= Figura 7.5: Gráficos de f o e S Determinemos f z : f z (x) = { x se x π se π x <, onde x [ π, π]; fazendo f z periódica de período π:

197 7.5. SÉRIES DOS SENOS 97 l = π, então: Figura 7.5: Gráfico de f z a = π a n = π π π x dx = π 3 x cos(n x) dx = ( )n n Logo, a série de f é: b n = π S[f z ] = π 6 + n= π x sen(n x) dx = + ( n π ) ( ) n π n 3 [ ] [ ] ( ) n + ( n π ) ( ) n cos(n x) + sen(n x). n π n 3 Π Π Π Figura 7.53: Gráficos de f z e S

198 98 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER [3] Seja f(x) = e x tal que x [, ]. Ache S[f]. Determinemos f p : f p (x) = { e x se x < e x se x <. Fazendo f p periódica de período : Figura 7.54: Gráfico de f p l =, então: a = a n = e x dx = (e ) e x cos ( n π x) dx = (e ( )n ). n π + Logo, a série dos co-senos de f é: S[f p ] = e + [ ] (e ( ) n ) cos(n π x). n π + n=

199 7.5. SÉRIES DOS SENOS 99 Figura 7.55: Gráficos de f p e S 3 Determinemos f : f o (x) = { e x se x < e x se x <. Fazendo f o periódica de período : Figura 7.56: Gráficos de f (vermelho) e f o l =, então: b n = Logo, a série dos senos de f é: exp(x) sen ( n π x) dx = n π ( e ( )n ). n π +

200 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER S[f o ] = [ ] n π ( e ( ) n ) sen(n π x). n π + n= Figura 7.57: Gráficos de f o e S Determinemos f z : f z (x) = { e x se x < se x <. Fazendo f z periódica de período : Figura 7.58: Gráficos de f (vermelho) e f z l =, então:

201 7.5. SÉRIES DOS SENOS Logo, a série de f é: S[f z ] = e + a = a n = b n = n= e x dx = e e x cos(n π x) dx = e ( )n ) n π + e x sen(n π x) dx = n π ( e ( )n ). n π + [ ] e ( ) n cos(n π x) + n π + [ ] n π ( e ( ) n ) sen(n π x). n π + Observação 7.5. Figura 7.59: Gráficos de f z e S. Muitas vezes devemos calcular uma série de Fourier de uma função que é apresentada pelo seu gráfico.. Algumas vezes não é difícil observar algum tipo de simetria de modo que se transladamos a origem a convertemos em uma função ímpar, a função original, diferirá da trasladada por uma constante. 3. Veja os exemplos a seguir:

202 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER Exemplo 7.9. [] Determinar a série de Fourier da função periódica de período l:. Definamos a função: Figura 7.6: Gráfico de f g(x) = f(x) A. Figura 7.6: Gráfico de g. A função g é ímpar e: S[f] = A + S[g].

203 7.5. SÉRIES DOS SENOS 3 [] Determinar a série de Fourier da função periódica de período l:. Definamos a função: Figura 7.6: Gráfico de f g(x) = A f(x). Figura 7.63: Gráfico de g onde S[g] é a série do ítem. S[f] = A + S[g],

204 4 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER 7.6 Exercícios. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T, então f +g e f g são períodicas de periódo T.. Seja F (x) = x (a) F é par se f é ímpar. (b) F é ímpar se f é par. f(t) dt. Verifique que: 3. Seja f(x) = cos(α x) + cos(β x). Verifique que f é periódica se α β Q. 4. Se f é periódica de período l, verifique que: F (x) = x onde a R, é periódica de período l. [ f(t) a ] dt, 5. Sejam P = P n (x) os polinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais em C([, ]): se n m e P n P n = 6. Determine S[f], se: P n P m = P n (x) P m (x) dx =,. Utilize a fórmula de Rodrigues. n + (a) f(x) = + x ; x [, ] tal que f(x) = f(x + ) (b) f(x) = x ; x [, ] tal que f(x) = f(x + ) (c) f(x) = x + x; x [ π, π] tal que f(x) = f(x + 4 π) (d) f(x) = e x, x [, ] tal que f(x) = f(x + 4) (e) f(x) = cos (x), x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π)

205 7.6. EXERCÍCIOS 5 (f) f(x) = cos(3 x) + cos (x), x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π) + x se x < (g) f(x) =, tal que f(x) = f(x + ) x se x < { x + π se π x (h) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x se < x < π se 3 π x < π (i) f(x) = se π x < π, tal que f(x) = f(x + 6 π) se π x < 3 π { se π x < (j) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x se x < π { se π x < (k) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x 3 se x < π (l) A função que tem como gráfico: π (m) A função que tem como gráfico: π π π

206 6 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER (n) A função que tem como gráfico: π π π π[ 7. Determine f p, f o e f z e esboce os gráficos de f p,f o e f z das funções: (a) f(x) = + x, x [, ] (b) f(x) = e x, x [, ] (c) f(x) = x x +, x [, ] { se < x < (d) f(x) = se < x x se < x π (e) f(x) = π π x se < x < π (f) f(x) = 4 x se < x x 3 se 4 < x 8. Determine S[f p ], S[f o ] e Sf z, onde f é dada pelo ítem anterior. 9. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.. Utilize a série de Fourier de f(x) = f(x + π) para verificar que: { π 4 se π < x < π se x < π 4 tal que f(x) = n= ( ) n+ n = π 4.

207 7.6. EXERCÍCIOS 7. Utilize a série de Fourier de: f(x) = tal que f(x) = f(x + π) para verificar que: { π se π x < n= x se x < π ( n ) = π 8.. Utilize a série de Fourier de f(x) = x, x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π) para verificar que: (a) (b) (c) n= n = π 6 ( ) n+ n= n= n n 4 = π4 9 = π

208 8 CAPÍTULO 7. SÉRIES DE FOURIER

209 Capítulo 8 CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Este capítulo, como o capítulo sobre séries de funções é para ser estudado inicialmente, até a convergência pontual das séries de Fourier, deixando os outros tipos de convergências, para um estudo posterior e mais fundamentado destas séries. 8. Continuidade por Partes Definição 8.. O salto de uma função f no ponto x é denotado e definido por: onde f(x + ) = lim f(x) e f(x x x + ) = sal(f)(x ) = f(x + ) f(x ), lim x x f(x). sal(f)(x ) x Figura 8.: O espaço H 9

210 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Proposição 8.. Se f é contínua em x, então sal(f)(x ) =. Prova: Segue da definição. Definição 8.. Uma função f é contínua por partes se:. f tem um número finito de descontinuidades em qualque intervalo limitado e. sal(f)(x) é finito para todo x R. Observação 8.. É imediato que:. Se f é contínua, então f é contínua por partes.. Se f e g são contínuas por partes, então f + g e f g são contínuas por partes. 3. Se f é contínua por partes em [ l, l] e é tal que f(x+ l) = f(x), então f é contínua por partes em R. 4. As funções contínuas por partes em [a, b] são limitadas e integráveis em [a, b]. Logo, satisfazem à condição de Fourier. Exemplo 8.. [] Considere a função f(x) = sign(x), o sinal de x: Figura 8.: Gráfico de f(x) = sign(x)

211 8.. DIFERENCIABILIDADE POR PARTES f(x) = sign(x) é contínua por partes, pois só tem uma descontinuidade em x = e sal(f)() =. [] A função f(x) =, x R {} não é contínua por partes, pois sal(f)() não existe. x Figura 8.3: Gráfico de f(x) = x [3] A função f(x) = sen ( ), x (, ) é contínua e limitada, mas não é contínua por x partes, pois f( + ) não existe. 8. Diferenciabilidade por Partes Definição 8.3. Uma função f é diferenciável por partes se:. f é contínua por partes e. f é contínua por partes. Exemplo 8.. [] A função f(x) = x é diferenciável por partes em x =. Pois: { f se < x (x) = se > x, é contínua por partes. [] A função f(x) = 3 x, x é contínua e não é diferenciável por partes em x =. De fato:

212 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER se x. Logo, f ( + ) e f ( ) não existem. f (x) = 3 3 x, Figura 8.4: Gráfico de f(x) = x /3 Observação 8.. f não está necessariamente definida em todos os pontos; por exemplo, f não pode existir onde f seja descontínua, mas f também pode não existir ainda nos pontos onde f é contínua. Veja o exemplo anterior. 8.3 Convergências A seguir, apresentamos alguns tipos de convergências, as mais utilizadas no estudo das séries de Fourier. 8.4 Convergência Pontual Neste parágrafo, apresentamos um teorema fundamental na teoria das séries de Fourier. Teorema 8.. (Dirichlet) Seja f C per diferenciável por partes; então, para cada x: S[f](x) = f(x+ ) + f(x ).

213 8.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 3 Corolário 8.. Seja f C per diferenciável por partes; então, para cada x onde f for contínua: S[f](x) = f(x). Exemplo 8.3. [] Seja: f(x) = { se x π se π x <, tal que f(x) = f(x + π): (a) Esboce o gráfico da série de Fourier de f. (b) Utilize S[f] para determina a soma: n= ( ) n+ n Figura 8.5: Gráfico de f (a) Como f é diferenciável por partes, pelo teorema de Dirichlet S[f](x) = f(x) se x n π e n Z. Por outro lado, para todo x = n π tal que n Z, sal(f)(x ) =. Logo, o gráfico de S[f] é:

214 4 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER (b) Determinemos S[f]: Figura 8.6: Gráfico de S[f] Logo, b n = e: e: a = a n = π b n = π π π cos(n x) dx = ( ) ( ) n sen(n x) dx = b n = ( n )π n π. S[f] = + n= ( n )π sen( ( n ) π x ). f é diferenciável por partes e contínua em x = ; então, aplicando o teorema, temos: Utilizando que: S[f](x ) = f(x ) =. temos: sen ( ( n ) π ) ( π ) = sen n π = cos(n π) = ( ) n+,

215 8.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 5 = + n= ( ) n+ ( n )π = + π n= ( ) n+ ( n ). Isto é: n= ( ) n+ n = π 4. [] Utilize a série de Fourier de f(x) = x, x [ l, l] e f(x) = f(x + l) para calcular a soma da série: n= n. 5 5 Figura 8.7: Gráfico de f Como f é par b n = para todo n N. Por outro lado: a = l l x dx = l 3 Logo: a n = l l x cos ( n π x) 4 l ( ) n dx =, n N. l n π S[f] = l l ( ) n n π n= cos ( n π x). l Aplicando o teorema para x = l :

216 6 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER l = l l π n= n. Isto é: n= n = π 6. [3] Utilize a série de Fourier de S[f p ], onde f(x) = e [[x]], x [, ] para calcular a soma da série: n= n. Figura 8.8: Gráfico de f p Note que: se x < f(x) = e se x < e se x =. Como f p é par e l = :

217 8.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 7 a = dx + e dx = + e a n = cos ( n π x ) dx + e cos ( n π x) dx Logo: = S[f] = + e ( e ) sen ( n π ) n π + ( e ) [ (n π ) sen ] cos ( n π x). n π n= Aplicando o teorema para x =, temos que: logo: f( + ) + f( ) = e ; e = + e e = + e + ( e ) + ( e ) [ (n π ) sen ] cos(n π) n π n= [ (n π ) sen ] ( ) n n π n= Como: sen ( n π ) { se n par = ( ) n se n ímpar. Temos que: e = + e + ( e ) π n= n ; logo:

218 8 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER n= n = π 4. Figura 8.9: Gráfico de f p e S 5 [4] Utilize a série de Fourier da extensão ímpar da função f(x) = x (π x), x [, π] para calcular n= ( ) n ( n ) 3. Figura 8.: Gráfico de f o e de f Note que f o é ímpar, logo: Por outro lado l = π : a n =, n.

219 8.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL 9 logo: b n = e: b n = π π = 4 ( ( )n ) n 3 π b n = x (π x) sen(n x) dx 8 ( n ) 3 π. A série de Fourier é: S[f o ] = [ n= 8 ( n ) 3 π ] sen(n x). Aplicando o teorema para x = π, temos que f(x ) = π 4, então: π 4 = 8 π n= ( ) n ( n ) 3 ; logo: n= ( ) n ( n ) 3 = π3 3. [5] Utilize a série de Fourier de f(x) = x sen(x), π x π, periódica de período π, para calcular:. n= ( ) n n.. n= n.

220 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.: Gráfico de f Note que f é par, logo: Por outro lado l = π : b n =, n. a = π π x sen(x) dx = a n = π π x sen(x) cos(n x) dx = π π x [ sen((n + ) x) sen((n ) x) ] dx = ( )n+ n, n >. Por outro lado: b = π π x sen( x) dx =. A série de Fourier é: S[f] = cos(x) [ ] ( ) n cos(n x). n n= Aplicando o teorema para x =, temos que f(x ) =, então:

221 8.4. CONVERGÊNCIA PONTUAL logo: = n= n= ( ) n n ; ( ) n n = 4. Aplicando o teorema para x = π, temos que f(x ) =, então: logo: = 3 n= n= n ; n = 3 4. [6] Utilize a série de Fourier de f(x) = sen ( π x ), x [, ] e tal que f(x) = f(x + ), para calcular:.. n= n= 4 n. ( ) n 4 n. - - Do capítulo anterior, sabemos que: Figura 8.: Gráfico de f

222 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Pelo teorema de Dirichlet: S[f] = π [ n= 4 π (4 n ) ] cos ( n π x ).. Se x =, temos que f(x ) = e: logo: = π n= n= 4 π (4 n ) ; 4 n =.. Se x =, temos que f(x ) = e: logo: = π n= 8.5 Convergência Uniforme n= 4 ( ) n π (4 n ), ( ) n 4 n = π 4. O seguinte teorema segue diretamente do teste M de Weierstrass, temos: [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ] n= onde λ n = n π. Então: l an cos(λ n x) + bn sen(λ n x) n= an + bn, n=

223 8.5. CONVERGÊNCIA UNIFORME 3 Teorema 8.. A série de Fourier S[f] tal que f C per está nas condições de Fourier, converge absolutamente e uniformenente a f no intervalo [ l, l] se: converge e, neste caso: ( an + b n ) n= f = S[f]. Exemplo 8.4. [] Seja f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ); então, para todo n =,,... b n =, a = e Logo: Por outro lado: S[f] = 4 a n = π ( n ). n= ( an + b n ) = n= 4 cos(( n ) π x). π ( n ) n= 4 π ( n ). Como a última série é convergente, temos que S[f] converge uniformemente a x em [, ], na verdade em R, logo: x = n= 4 π ( n ) cos( ( n ) π x ). [] Verifique se a série de Fourier de f(x) = e x sen(x), x [ π, π], periódica de período π, converge uniformemente e determine: n= ( ) n (n ). n 4 + 4

224 4 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.3: Gráfico de f. Note que l = π e f não é par nem ímpar. Por outro lado, não é difícil ver que: π π e x cos(n x) dx = senh(π) ( )n n + Logo: π π e x sen(n x) dx = n senh(π) ( )n. n + a = π π π e x sen(x) dx = senh(π) π a n = π π π e x sen(x) cos(n x) dx = (n ) senh(π) ( ) n+ π (n 4 + 4) b n = π π e x sen(x) sen(n x) dx = n senh(π) ( )n+. π (n 4 + 4) Pelo teorema anterior, temos que examinar a convergência de: como: n= a n + b n = senh(π) π n n n= n n n + n [ n n n ], n n n = (n ) +

225 8.6. OBSERVAÇÕES SOBRES OS COEFICIENTES DE S[F ] 5 então: n= (n ) + converge; logo a série de Fourier converge uniformemente. Portanto: e x sen(x) = senh(π) π em particular, para x =, temos que: + a n cos(n x) + b n sen(n x); n= n= ( ) n (n ) n = Observações sobres os coeficientes de S[f] Com a hipótese de f C per e estar nas condições de Fourier, nos parágrafos anteriores, obtivemos: a n l b n l l l l l f(x) dx f(x) dx. Suponhamos que f C per e que f está nas condições de Fourier; então, integramos por partes: () a n = l () b n = l l l l l f(x) Ψ n (x) dx f(x) Φ n (x) dx. Logo, (): a n = n π f(x) Φ(x) l l n π tomando valor absoluto: l l f (x) Φ(x) dx = n π l l f (x) Φ(x) dx,

226 6 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Analogamente: a n n π b n n π l l l l f (x) dx. f (x) dx. Suponhamos que f C per, que f é contínua e que f está nas condições de Fourier. Voltando a integrar por partes, obtemos: a n l n π l l f (x) dx e b n l n π Como f está nas condições de Fourier, denotamos a constante: por M, logo: l π l l f (x) dx l l f (x) dx. Então: a n M n e b n M n. an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) an + b n M n ; como a série: converge, pelo teorema, a série S[f] converge uniformemente a f. n= Observação 8.. As condições impostas anteriormente a f são muito restritivas e deixam de fora uma grande quantidade de exemplos interessantes. O seguinte teorema nos diz com que classe de funções ainda é possível obter convergência uniforme. n Teorema 8.3. Se f C per é contínua por partes e f está nas condições de Fourier, então S[f] converge uniformemente para f em todo intervalo fechado que não contenha pontos de descontinuidade de f.

227 8.6. OBSERVAÇÕES SOBRES OS COEFICIENTES DE S[F ] 7 Observação 8... Em particular, se f( l) f(l), então S[f] não pode convergir para f.. Se f C per é contínua e diferenciável por partes, então S[f] converge uniformemente para f em todo R. 3. Se f é definida em ( l, l) e a extensão periódica de f satisfaz às condições do teorema, então S[f] converge uniformemente para f em [ l, l]. Exemplo 8.5. [] A função f(x) = sen(x), x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π) é contínua e diferenciável por partes; logo S[f] converge uniformemente a f. [] Considere a função f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ); logo S[f] não converge uniformemente para f, pois f( ) f(). Teorema 8.4. Se f é definida em ( l, l) é é contínua por partes, f está nas condições de Fourier e f(l ) = f(l + ), então S[f] converge uniformemente para f em [ l, l]. Observação 8.3. Uma função periódica ímpar é contínua se f() = f( l) = f(l) = ; então a extensão ímpar de uma função definida em (, l) pode ter descontinuidades. As extensões pares não apresentam esta dificuldade. Corolário 8... Se f é definida em (, l) e é contínua por partes, f está nas condições de Fourier e f(l ) = f(l + ) =, então a série dos senos de f converge uniformemente para f em [, l].. Se f é definida em (, l) e é é contínua por partes e f está nas condições de Fourier, então a série dos co-senos de f converge uniformemente para f em [, l]. Note a diferença do comportamento das somas parciais das séries de Fourier em relação à função quando S[f] converge uniformemente ou não para f:

228 8 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER. Seja f(x) = x, x [, ]. A série S[f] converge uniformemente em [, ]; desenhos de f (azul) S e S (vermelho), respectivamente: - - Figura 8.4:. Seja f(x) = x, x [, ]. S[f] não converge uniformemente em [, ]; desenhos de f (azul) S e S 3 (vermelho), respectivamente: Figura 8.5: Teorema 8.5. Se f C per é contínua por partes e diferenciável por partes, então a série de Fourier de f é única. 8.7 Fenômeno de Gibbs Nos parágrafos anteriores observamos que se existir um ponto de descontinuidade de f num intervalo, a série de Fourier S[f] não converge uniformemente a f nesse in-

229 8.7. FENÔMENO DE GIBBS 9 tervalo. Na vizinhança de um ponto de descontinuidade de f, as somas parciais de S[f] não ficam próximas de f; pelo contrário, tem um comportamento oscilatório. Na verdade, na vizinhança de um ponto de descontinuidade, o valor de f e das somas parciais de S[f] diferem num valor aproximado de 9 do valor do salto na descontinuidade. Este comportamento é conhecido com o nome de fenômeno de Gibbs. Definindo ω n (x ), a oscilação da soma parcial de ordem n de S[f], no ponto de descontinuidade x, como a diferença entre o máximo e o mínimo da soma parcial de ordem n no ponto x, Gibbs observou que o valor desta oscilação não se aproxima do sal(f)(x) se x (x ε, x + ε), não importando se ε é arbitrariamente pequeno. Vejamos o seguinte exemplo. Exemplo 8.6. Seja { se x π f(x) = se π x <. tal que f(x) = f(x + π): Consideremos a seguinte soma parcial de S[f]: S n = n k= 4 ( k ) π sen( ( k ) x ). Observemos os gráficos de f e das somas: S = 4 [ ] sen(x) π S = 4 [ ] sen(3 x) sen(x) + π 3 S 3 = 4 [ ] sen(3 x) sen(5 x) sen(x) + + π 3 5 S 4 = 4 [ sen(3 x) sen(5 x) sen(x) π 3 5 ] sen(7 x) 7 A seguir os gráficos de f (vermelho) e S n (azul) para n =,, 3, 4, no intervalo [ π, π]:

230 3 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.6: Figura 8.7: Note que nos desenhos verifica-se o teorema de Dirichlet. Nos seguintes desenhos o gráfico de f e S :

231 8.7. FENÔMENO DE GIBBS Figura 8.8: O espaço H Nos seguintes desenhos um zoom dos desenhos anteriores: Figura 8.9: Note que sal() = e [ f( + ) + f( ) ] =. É possível provar que o ponto de máximo mais próximo pela direita de é x = π n e que: lim S ( π ) n = Si(π) n + n π onde: Si(x) = x sen(t) t Por outro lado f() =, ou seja excede em, aproximadamente,.8, isto é 9 do sal() =. dt.

232 3 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 8.8 Integração das Séries de Fourier Sabemos que se uma série de funções converge uniformemente para uma função, então, a função preserva as mesmas propriedades das funções que formam a série. Mas, as séries de Fourier pussuem a seguinte propriedade notável: Proposição 8.. Se f C per é contínua por partes, então:. S[f] pode ser integrada termo a termo: x a f(t) dt = a (x a) + [ x an onde a, x [ l, l] e λ n = n π. l. A função F (x) = x contínua por partes, e: n= a x cos(λ n t) dt + b n sen(λ n t) dt ], [ a ] f(t) dt é periódica de período l, contínua e F é a x [ a ] l f(t) dt = π b n n + l π n= n= [ bn cos(λ n x) + a n sen(λ n x) ]. n Este resultado é notável pois vale mesmo que S[f] não convirja para f. De fato, F é contínua, pelo teorema fundamental do cálculo e F (x) = f(x) se f for contínua. F é periódica de período l, logo: F (x) = c + [ ] cn Ψ n + d n Φ n. n= Integrado por partes, relacionaremos os coeficientes de Fourier de F com os de f: se n >. Analogamente: c n = [ l l n π F (x) Φ n l l d n = l n π l l l n π a n, se n >. Como F () =, da série de Fourier de F, temos: ] F (x) Φ n dx = l n π b n,

233 8.8. INTEGRAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 33 = c + c n, n= ou seja, c = l π b n, isto é: n n= l π b n n = l n= l l F (x) dx. A série: b n n n= é, necessariamente, convergente. O teorema se aplica da seguinte forma. Se: entâo: S[f] = a + [ an cos(λ n x) + b n sen(λ n x) ], n= F (x) = x = l [ a ] f(t) l F (x) dx + l π n= [ b n n cos(λ n x) + a n n sen(λ n x) ], Exemplo 8.7. [] A série n= sen(n x) ln(n) é uma série de Fourier? A resposta é não, pois a série: b n n = n ln(n) n= n= é divergente.

234 34 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.: Gráfico de S, do exemplo [] [] Sabemos que x = ( ) n+ sen(n x), n se x ( π, π). Como a n = e b n = ( )n+, então: n π F (x) dx = π [ x ] t dt dx = π π π 6. Logo: Integrando novamente: π n= x = π 6 + x 3 6 π x 6 = n= π ( ) n cos(n x). n ( ) n sen(n x). n= 8.9 Derivação das Séries de Fourier Suponhamos que a seguinte propriedade é válida: n 3 S[f ] = ( S[f] ). Isto é, a série de Fourier da derivada de f é a derivada da série de Fourier da f.

235 8.9. DERIVAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 35 Consideramos f(x) = x, x [ π, π] tal que f(x + π) = f(x); então: Como f (x) =, temos: n= S[x] = [ ] ( ) n sen(n x). n n= [ [ ] ( ) n S[] = sen(n x)] = n ( ) n cos(n x). Por outro lado, a série de Fourier da função f(x) = é ; qual é o paradoxo? n= Figura 8.: Gráficos f e S 5 A verdade é que a série de Fourier S[x] não converge uniformemente para x e sim a uma extensão periódica descontinua de x, de salto π. Logo, necessitamos hipóteses adicionais para derivar uma série de Fourier. Proposição 8.3. Se f C per é contínua por partes e diferenciável por partes, então: S[f ] = ( S[f] ). Isto é, S[f] pode ser derivada termo a termo. Exemplo 8.8. Sabemos que f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ), é contínua por partes, diferenciável por partes e:

236 36 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Então a série de Fourier de: é: x = + S[f ] = n= f (x) = n= 4 π ( n ) cos( ( n ) π x ). { se < x < se < x < 4 ( n) π sen( ( n ) π x ). Note que a série não converge nos pontos onde f não existe. 8. Convergência em Média Uma função f : [a, b] R é dita de quadrado integrável se: b a f(x) dx < +. Observação Se f for limitada e integrável sobre [a, b], então é de quadrado integravél sobre [a, b]. De fato, se f é limitada, existe k > tal que f(x) k para todo x [a, b] e: b b f(x) dx k dx = k (b a). a a. Se f não for limitada, ainda assim pode ser integrável e f não integrável. Como no caso de f(x) = em (, ). x Se f e g são funções de quadrado integrável em [a, b], o erro médio quadrático entre f e g é denotado e definido por: E(f, g) = b a (f(x) g(x)) dx.

237 8.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA 37 Observação Geométricamante, E(f, g) mede o quadrado da área limitadas pelos gráficos de f e g. Se E(f, g) é pequeno, os gráficos de f e g são muito próximos.. Lembrando que < f, g >= b a f(x) g(x) dx, temos que: f g =< f g, f g >= b Logo f e g são próximas, em média quadrática, se: a (f(x) g(x)) dx. f g. Exemplo 8.9. [] As funções f(x) = x x e g(x) = x x, x [, ] são próximas, em média: E(f, g) = = (x x (x x )) dx (4 x 8 x x 4 ) dx = Figura 8.: Gráficos f e g [] Sejam f(x) = cos(π x) e g(x) = x tal que x [, ]. Qual é em média quadrática, mais próxima da função nula:

238 38 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Calculemos os erro médio quadrático: e: E(, f) = = 4 = 8, E(, g) = [ cos(π x)] dx cos (π x) dx = [ ( x) ] dx = Logo, a função f é mais próxima, em média, da função nula. [ + cos( π x) ] dx (x ) = 8 3. Figura 8.3: Gráficos f e g Definição 8.4. Seja a sequência ( f n )n N tal que cada f n é de quadrado integrável em [a, b]. Dizemos que ( f n converge em média quadrática para uma função f de quadrado integrável, )n N se: b lim n + a f(x) fn (x) dx =. Observação Logo, ( f n )n N integrável, se: converge em média quadrática para uma função f de quadrado lim f f n =. n +

239 8.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA 39. b a f(x) fn (x) dx é dito erro médio quadrático de aproximação. 3. Note que: l l f(x) g(x) dx =< f g, f g > = f < f, g > + g. A seguir, verificaremos se as somas parciais de S[f], onde f é de quadrado integrável, convergem em média quadrática a f.. Primeiramente, consideremos a função: g N (x) = c + N c n Ψ n + d n Φ n, n= onde Φ n e Ψ n são dados por (7.). Denotemos por: Então: E N = l l f(x) gn (x) dx.. Por outro lado: E N = = l l l l f(x) gn (x) dx f (x) dx l l f(x) g N (x) dx + l l g N(x) dx. l l l f(x) g N (x) dx = c f(x) dx + l = l c a + l N l l c n f(x) Ψ n dx + d n f(x) Φ n dx n= l l N [ ] cn a n + d n b n. n=

240 4 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER 3. Análogamente, utilizando a ortogonalidade de Ψ n e Φ n, temos: l l ( gn (x) ) dx = l c + l N n= [ ] c n + d n. 4. Logo, podemos reescrever: E N = l l ( f(x) ) dx l [ c a + N n= [ ] ] [ cn a n + d n b n + l c + N n= [ ] ] c n + d n. 5. Derivando para achar os pontos críticos, temos: E N c = l a + 4 l c = E N c = l a + l c = E N d = l b + l d =.. E N c n = l a n + l c n = E N d n = l b n + l d n = 6. Não é difícil ver que os valores c = a, c n = a n e d n = b n minimizam E N ; então: g N (x) = S N, onde, S N é a N-ésima soma parcial de S[f]. Denotemos por E N o menor dos E N, utilizando os mesmos argumentos anteriores: E N = l l [ ( ) a N f(x) dx l + [ ] ] a n + b n ; n=

241 8.. CONVERGÊNCIA EM MÉDIA 4 como E N, temos: l l l ( ) a N f(x) dx + [ ] a n + b n ; n= esta desigualdade é válida para todo N; então, fazendo N +, obtemos: l l l ( ) a f(x) dx + [ ] a n + b n ; n= esta desigualdade é chamada de Bessel. Observação 8.4. A desigualdade de Bessel implica que: [ a n + bn] n= converge e o seguinte resultado, que foi fundamental no desenvolvimento da teoria das séries de Fourier: Lema (Riemann-Lebesgue) Se f C per e é contínua por partes, então: onde a n e b n são os coeficientes de S[f]. lim a n = lim b n =, n + n + Teorema 8.6. Se f C per e é de quadrado integrável, então S[f] converge em média para f. A seguir apresentamos um resultado fundamental na teoria das séries de Fourier: Corolário 8.3. Se f C per e é de quadrado integrável, então: l l l ( ) a f(x) dx = + [ ] a n + b n ; n= esta igualdade é chamada identidade de Parseval.

242 4 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Observação Se f C per é par e de quadrado integrável, então: l l l ( ) a f(x) dx = + a n. n=. Se f C per é ímpar e de quadrado integrável, então: l l l ( ) f(x) dx = b n. n= 8. Aplicações Normalizemos o erro médio quadrático, da seguinte forma; seja: E N = l E N, então: EN = [ l ] ( ) f(x) dx l l [ a + N n= [ ] ] a n + b n. Utilizando a identidade de Parseval: logo: E N = [ a + [ ] ] a n + b n a [ + N [ ] ] a n + b n ; n= n= E N = n=n+ [ ] a n + b n. Exemplo 8.. [] Calcule: π [ sen(x) + sen( x) + sen(5 x) + sen( x) ] dx. π Consideremos f(x) = sen(x) + sen( x) + sen(5 x) + sen( x) e calculemos:

243 8.. APLICAÇÕES 43 Por Parseval: logo: π π π π [f(x)] dx = π π π [f(x)] dx. 4 b n = = 4; n= [f(x)] dx = 4 π. [] Utilizando a série de Fourier de f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ), calcule o valor de: n= ( n ) 4. Sabemos que : x = 4 π n= cos ( ( n ) π x ) ( n ). f é de quadrado integrável e temos: x dx =. Aplicando a identidade de Parseval, ( n ) 4 π = 4 3, n= logo: n= ( n ) 4 = π4 96. [3] Seja f(x) = x + x, x [, ] tal que f(x + ) = f(x). Qual é o erro, em média quadrático, ao considerar S de S[f]? Sabemos que: e que: E N = l l [ ( ) a N f(x) dx l + [ ] ] a n + b n ; n=

244 44 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Logo: a = = a = a n = 4 ( )n = a n π n = 6 n 4 π 4 b n = 4 ( )n+ n π = b n = 6 n π. E = = π 4 ( x + x ) dx 9 n= = n π n 4 n= 6 ( + n π ) n 4 π 4 3 Figura 8.4: Gráficos f e S [4] Seja f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ). Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que %? Sabemos que: logo: S[f] = ( ) n+ sen ( n π x ), n π n= E N = n=n+ 4 n π = π n=n+ n.

245 8.. APLICAÇÕES 45 Por outro lado: Então: logo: n=n+ + n dx N x = b lim dx b + N x = E N π N <.; π < N; [ lim b + N ] = b N. donde, aproximadamente, temos N >.6. Logo são necessários termos. - - Figura 8.5: Gráficode S [5] Seja f(x) = x, x [, ] tal que f(x) = f(x + ). Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que %? Sabemos que: logo: S[f] = 4 π n= cos ( ( n ) π x ) ( n ), E N = n=n+ 6 ( n ) 4 π 4 = 8 π 4 n=n+ ( n ) 4. Por outro lado:

246 46 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER n=n+ + ( n ) dx 4 N ( x ) = 4 6 ( N ). 3 Então: E N 8 6 π 4 ( N ) 3 <.; logo: [ ] π + < N; 4 donde, aproximadamente, N >.5. Logo são necessários termos. - Figura 8.6: Gráfico de S [6] Seja: x se x < f(x) = x se x < periódica de período. Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que.?

247 8.. APLICAÇÕES 47 Figura 8.7: Gráfico de f f é uma função ímpar, logo a n =, para todo n e: b n = ( x) sen(n π x) dx = [ ( ) n + ], n π então b n = e b n = n π, e: S[f] = n= sen( n π x) ; n π logo: E N = n=n+ n π = π n=n+ n. Por outro lado: n=n+ + n dx N x = N. Então: E N π N <.; donde N > Logo, são necessários 5 termos.

248 48 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.8: Gráfico de S 5 [7] Seja: { se x < f(x) = se x < periódica de período. Quantos termos deve ter S n para que S[f] convirja em média para f com um erro menor que 8? Figura 8.9: Gráfico de f f não é par nem ímpar: a = a n = b n = cos(n π x) dx sen(n π x) dx cos(n π x) dx =, n > sen(n π x) dx = 3 [ ] ( ) n. n π

249 8.. APLICAÇÕES 49 Logo, b n = e b n = E: 6, para todo n. ( n ) π logo: S[f] = + n= 6 sen( n π x) ( n ) π. E N = 8 π n=n+ ( n ). Por outro lado: n=n+ + ( n ) dx N ( x ) = ( N ). Então: E N 9 ( N )π < ; 8 donde N > 45595, 3. Logo são necessários termos. Figura 8.3: Gráfico de S N [8] Utilize a série de Fourier de f(x) = sen ( π x), x [, ], periódica de período, para calcular o valor de: [ n ]. 4 n n=

250 5 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER Figura 8.3: Gráfico de f f é ímpar e l =, logo a n = para todo n. Por outro lado: b n = = sen ( π x) sen(n π x) dx [ cos ( (n ) π x) cos ( (n + ) π x)] dx = 8 n ( )n+ (4 n ) π. f satisfaz às hipóteses para aplicar a identidade de Parseval: n= 64 n (4 n ) π = sen ( π x) dx =, então: [ n= n 4 n ] = π 64.

251 8.. EXERCÍCIOS 5 8. Exercícios. Verifique que se f e g são períodicas de periódo T, então f +g e f g são períodicas de periódo T.. Seja F (x) = x (a) F é par se f é ímpar. (b) F é ímpar se f é par. f(t) dt. Verifique que: 3. Seja f(x) = cos(α x) + cos(β x). Verifique que f é periódica se α β Q. 4. Se f é periódica de período l, verifique que: F (x) = x onde a R, é periódica de período l. [ f(t) a ] dt, 5. Sejam P = P n (x) os polinômios de Legendre. Verifique que são ortogonais em C([, ]): se n m e P n P n = 6. Determine S[f], se: P n P m = P n (x) P m (x) dx =,. Utilize a fórmula de Rodrigues. n + (a) f(x) = + x ; x [, ] tal que f(x) = f(x + ) (b) f(x) = x ; x [, ] tal que f(x) = f(x + ) (c) f(x) = x + x; x [ π, π] tal que f(x) = f(x + 4 π) (d) f(x) = e x, x [, ] tal que f(x) = f(x + 4) (e) f(x) = cos (x), x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π)

252 5 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER (f) f(x) = cos(3 x) + cos (x), x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π) + x se x < (g) f(x) =, tal que f(x) = f(x + ) x se x < { x + π se π x (h) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x se < x < π se 3 π x < π (i) f(x) = se π x < π, tal que f(x) = f(x + 6 π) se π x < 3 π { se π x < (j) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x se x < π { se π x < (k) f(x) =, tal que f(x) = f(x + π) x 3 se x < π (l) A função que tem como gráfico: π (m) A função que tem como gráfico: π π π

253 8.. EXERCÍCIOS 53 (n) A função que tem como gráfico: π π π π[ 7. Determine f p, f o e f z e esboce os gráficos de f p,f o e f z das funções: (a) f(x) = + x, x [, ] (b) f(x) = e x, x [, ] (c) f(x) = x x +, x [, ] { se < x < (d) f(x) = se < x x se < x π (e) f(x) = π π x se < x < π (f) f(x) = 4 x se < x x 3 se 4 < x 8. Determine S[f p ], S[f o ] e Sf z, onde f é dada pelo ítem anterior. 9. Esboce os gráficos das somas parciais até de ordem 4, do ítem anterior.. Utilize a série de Fourier de f(x) = f(x + π) para verificar que: { π 4 se π < x < π se x < π 4 tal que f(x) = n= ( ) n+ n = π 4.

254 54 CAPÍTULO 8. CONVERGÊNCIA E SÉRIES DE FOURIER. Utilize a série de Fourier de: f(x) = tal que f(x) = f(x + π) para verificar que: { π se π x < n= x se x < π ( n ) = π 8.. Utilize a série de Fourier de f(x) = x, x [ π, π] tal que f(x) = f(x + π) para verificar que: (a) (b) (c) n= n = π 6 ( ) n+ n= n= n n 4 = π4 9 = π

255 Capítulo 9 PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 9. Introdução Sabemos que um sistema formado por uma e.d.o. de ordem n e n condições complementares, que determinam, em um mesmo valor da variável independente, o valor da função incógnita e de suas derivadas, é chamado de problema de valor inicial (PVI). As condições complementares são chamadas condições iniciais. Isto é, dada uma edo de segunda ordem, o sistema: y + p(x) y + q(x) y = r(x) y(x ) = y (9.) y (x ) = y tem uma única solução se as funções: p, q, r : (x ε, x + ε) R são contínuas (ε > ). Veja, ([NP]) na bibliografia. Agora, nosso interesse, é estudar a possibilidade de determinar a solução da edo de (9.), savendo que a função passa de um ponto a outro, é dizer, se o sistema: y + p(x) y + q(x) y = r(x) y(x ) = y y (x ) = y tem solução? 55

256 56 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE 9. Problemas de Contorno Definição 9... Uma condição de contorno ou bordo de uma e.d.o. são condições complementares que determinam, em dois ou mais valores da variável independente, os valores da função incógnita e de suas derivadas.. A e.d.o. junto com as condições de bordo ou de contorno é chamado problema com valores de contorno (PVC). Observação 9... Como no caso dos PVI, o número de condições impostas é igual à ordem da e.d.o.. Uma diferença essencial entre os PVI e os problemas que envolvem condições de contorno é que estes podem ter uma, nenhuma ou infinitas soluções. 3. Condições de bordo típicas para edo s de segunda ordem são: a y(x ) + a y (x ) = α, tal que a + a a y(x ) + a y (x ) = β, tal que a + a Exemplo 9.. [] O problema clássico de determinar a forma que toma um cabo flexível, suspenso em dois pontos e sujeito a seu peso é um PVC. Este problema foi proposto por Leonardo da Vinci e resolvido corretamente, após anos por Leibniz e J. Bernoulli; foi Leibniz que deu o nome de catenária à curva solução do problema. Para mais detalhes veja ([NP]). [] O exemplo seguinte é de um PVC: y + y =, y() = y(π) =. < x < π

257 9.3. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE Problemas de Sturm-Liouville Nosso interesse é uma classe especial de PVC, que passaremos a estudar. Definição 9.. O PVC: (s y ) q y + λ p y =, l < x < r α y(l) + α y (l) = β y(r) + β y (r) =, (9.) onde s = s(x), q = q(x), p = p(x) são definidas em (l, r) e λ R, é chamado de problema de Sturm-Liouville (PSL). Observação 9... Os possíveis valores de λ tal que (9.) possui soluções não triviais são chamados autovalores e as soluções correspondentes autofunções.. O PSL sempre tem solução y =. Nós estamos interessados num tipo especial de PSL. Exemplo 9.. [] O seguinte é um PSL: y + λy =, y() = y(π) =. < x < π [] O seguinte é um PSL: x y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e de fato: x y + x y + λ y = (x y ) + x λ y =. Definição 9.3. O PVC (9.) é dito de Sturm-Liouville regular se:

258 58 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE. s = s(x), s = s (x), q = q(x) e p = p(x) são contínuas em [r, l].. s(x) > e p(x) > para todo x [r, l]. 3. α + α > e β + β >. Caso contrário, é dito singular. Exemplo 9.3. [] O seguinte é um PSL regular: y + λy =, y() = y(π) =. < x < π [] O seguinte é um PSL singular: x y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e de fato, s(x) = x e s() =. [3] A edo de Bessel x y + x y + (x ν ) y = pose ser escrita como um PSL regular, em qualquer intervalo [a, b], onde < a < b. De fato x y + x y + (x ν ) y = (x y ) ν x y + x y =, x [a, b]. Logo, podemos escrever: (x y ) ν x y + x y =, y(a) = y(b) =. a < x < b Teorema 9.. Todo PSL regular possui uma sequência de autofunções ( φ n )n N com a correspondente sequência de autovalores ( λ n tal que: )n N. λ < λ < λ 3 <....

259 9.4. PROBLEMAS DE STURM - LIOUVILLE REGULARES 59. Se i j, então as autofunções satisfazem: r l p(x) φ i (x) φ j (x) dx =. 3. lim n + λ n =. 4. Se q(x) e α, α, β, β, então λ j, para todo j. 5. Se p(x) >, os autovalores são reias. Observação 9.. As autofunções de um PSL são únicas, salvo constantes. Todo múltiplo de uma autofunção é uma autofunção. 9.4 Problemas de Sturm - Liouville Regulares Nós estamos particularmente interessados nos seguintes tipos de PSL regulares: y + λ y =, l < x < r α y(l) + α y (l) = β y(r) + β y (r) =. (9.3) Nestes tipos de PSL temos que as autofunções são ortogonais, em relação ao produto interno definido no capítulo de Séries de Fourier: < f, g >= r l f(x) g(x) dx De fato, sejam y i e y j autofunções de (9.3) com autovalores correspondentes λ i e λ j ; então: { y i + λ i y i = () y j + λ j y j = () logo, multiplicando () por y j e () por y i e subtraindo, obtemos: Consideremos a integral: y i y j y j y i = (λ j λ i ) y i y j =.

260 6 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE integrando por partes I: I = r l ( y i y j y j y i ) dx, i j; logo: I = ( y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ) r l r = ( y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ) r l, (λ j λ i ) r l l ( ) y i y j y j y i dx y i y j dx = [ y i(x) y j (x) y j(x) y i (x) ] r l. As condições de contorno do PSL, em x = r são satisfeitas pelas autofunções: { β y j (r) + β y j(r) = () β y i (r) + β y i(r) =. () Suponha que β ; multipliquemos () por y i (r) e () por y j (r); subtraindo obtemos: β [ y i (r) y j (r) y j(r) y i (r) ] =. Analogamente, verificamos que se β, então: β [ y i (l) y j (l) y j(l) y i (l) ] =, isto é: [ y i (x) y j (x) y j(x) y i (x) ] r l = ; então: r l y i (x) y j (x) dx =, i j. Logo, as autofunções são ortogonais.

261 9.5. EXEMPLOS Exemplos [] Considere o PSL regular: y λ y =, y() = y(l) =. < x < l A solução geral da e.d.o. depende do sinal de λ:. Se λ =, a solução é: y(x) = A x + B. Utilizando as condições de contorno, temos que A = B = ; logo a solução do PSL é nula.. Se λ >, a solução é: y(x) = A exp( λ x) + B exp( λ x). Utilizando as condições de contorno, temos que: = y() = A + B; logo: = y() = A + B, logo A = B, e: = y(l) = A ( exp( λ l) exp( λ l) ) = A senh( λ l), então, A = e a solução do PSL é nula. 3. Se λ <, mudamos λ por λ na equação; logo, a solução é: y(x) = A cos(λ x) + B sen(λ x). Utilizando as condições de contorno, temos que: = y() = A = y(l) = B sen(λ l); se B =, novamente temos soluções nulas; se B, então sen(λ l) =, isto é:

262 6 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE logo os autovalores dependem de n: Os autovalores e as autofunções são: λ = n π ; l λ n = n π, n Z. l Como sen( α) = sen(α), então: Note que : y n (x) = sen(λ n x). { λn = n π l y n (x) = sen(λ n x), n N. para todo n m. l sen(λ n x) sen(λ m x) dx =, Figura 9.: Algumas autofunções do exemplo [] [] Considere o PSL regular: x y + x y + λ y =, y() = y(e) =. < x < e

263 9.5. EXEMPLOS 63 O PVC é um PSL regular. De fato, no intervalo (, e): x y + x y + λ y = (x y ) + x λ y =.. Se λ, temos a solução nula.. Se λ >, solução geral da e.d.o. (Euler) é: y(x) = A cos ( λ ln(x) ) + B sen ( λ ln(x) ). Como = y() = A, da segunda condição = y(e) = B sen( λ), sendo B ; então, os autovalores e as autofunções são: λ n = n π y n (x) = sen ( n π ln(x) ). [3] Considere o PSL regular: y λ y =, y() = y (l) =. < x < l A solução geral da e.d.o. depende do sinal de λ:. Se λ =, a solução é constante.. Se λ >, a solução é nula. 3. Se λ <, mudamos λ por λ na equação; logo, a solução é: y(x) = A cos(λ x) + B sen(λ x). Utilizando as condições de contorno, temos que: = y () = B = y (l) = A λ sen(λ l);

264 64 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE se A =, novamente temos soluções nulas; se A, então sen(λ l) =, isto é, λ = n π ; logo os autovalores dependem de n: l As autofunções são: λ n = n π, n Z. l y n (x) = cos(λ n x). Logo: λ n = n π l y n (x) = cos(λ n x), n N. Note que : l cos(λ n x) cos(λ m x) dx =, para todo n m. 3 - Figura 9.: Algumas autofunções do exemplo [3] [4] A edo de Hermite pode ser reescrita da forma: d [ e x y ] + λ e x y =, x R. dx Se adicionamos a condição de λ n = n N {}, temos um PSL tal que o conjuntos dos autovalores e autofunções correspondentes, são:

265 9.5. EXEMPLOS 65 {n / n N} {}, {H n (x) / n N {}, x R}. [5] A edo de Legendre pode ser reescrita da forma: d [ (x ) y ] + λ y =, x (, ). dx Se adicionamos que λ n = n (n + ), n N e a condição de contorno: y(±) é limitada, temos um PSL singular tal que o conjuntos dos autovalores e autofunções correspondentes, são: {n (n + ) / n N}, {P n (x) / n N, x (, )}. [6] Considere o PSL singular: { t y + t y + λ t y =, < x < y () =. Se adicionamos a condição de contorno: y() é limitada. Fazendo a mudança x = λ t, (λ > ); obtemos a edo de Bessel de ordem zero: x y + x y + x y =, que tem solução y(x) = c J (x) + c Y (x). A condição de contorno de y() é limitada, implica c =. Da outra condição, temos: J ( λ) =, logo, os autovalores são os λ < λ <..., os (infinitos) zeros de J, que são conhecidos: λ n π (n + ). As autofunções são: {J ( λ n t) / n N}.

266 66 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE Figura 9.3: Gráficos de J ( λ t) e J ( λ t) Em geral, se consideramos a edo de Bessel de ordem n N, temos que as autofunções são: {J n ( λ n t) / n N} Figura 9.4: Gráficos de J ( λ t) e J 5 ( λ 9 t) Definição 9.4. Um PSL regular com condições periódicas, do tipo: é chamado PSL periódico. { y(l) = y(r) y (l) = y (r) Exemplo 9.4. [] Considere:

267 9.5. EXEMPLOS 67 y λ y =, y( l) = y(l) y ( l) = y (l). l < x < l O PVC é um PSL periódico.. Se λ =, a solução é y(x) = A x + B. Utilizando as condições de contorno temos A = ; logo: y(x) =.. Se λ >, as condições de contorno não são satisfeitas. 3. Se λ <, mudamos λ por λ na equação; logo, a solução é: y(x) = A cos ( λ x) + B sen ( λ x); utilizando as condições de contorno, obtemos: [ A cos ( λ l) + B sen ( λ l) ] [ A cos ( λ l) B sen ( λ l) ] = [ A λ sen ( λ l) + B λ cos ( λ l) ] [ A λ sen ( λ l) + B λ cos ( λ l) ] = ; logo: { B sen ( λ l ) = λ A sen ( λ l ) = ; então, sen ( λ l ) = para A e B arbitrários. Obtemos: λ n = n π. l Como sen ( λ l ) = é satisfeita para A e B arbitrários, obtemos as autofunções sen(λ n x) e cos(λ n x). Logo o conjuntos dos autovalores e autofunções correspondentes, são: { n π l / n N {}} e {, cos(λ n x), sen(λ n x) / n N}.

268 68 CAPÍTULO 9. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE

269 Capítulo EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS. Introdução A diferença entre as equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais não é apenas a quantidade de variáveis independentes envolvidas. Muitos conceitos relativos às equações diferenciais ordinárias não tem extensões para equações diferenciais parciais. Por exemplo, não existe uma teoria geral das equações diferenciais parciais; o que existe são teorias gerais para "tipos"de equações diferenciais parciais. Neste parágrafo estudaremos alguns tipos especiais de equações diferenciais parciais, a saber, as de segunda ordem e de coeficientes constantes. Não pretendemos fazer um estudo profundo das equações diferenciais parciais de segunda ordem. Em geral, muitos conceitos importantes, como por exemplo, as curvas características associadas a uma equação diferencial parcial, não serão abordados. Para este parágrafo recomendamos ([IV]) e ([FD]) na bibliografia.. Equações Diferenciais Parciais Lineares de Segunda Ordem Todo o capítulo será destinado ao estudo das equações do calor, da onda e de Laplace, respectivamente, que são lineares de segunda ordem e de coeficientes constantes. Estas equações são representantes típicos de uma classificação geral das equações diferenciais parciais de segunda ordem lineares. Uma característica comum das equações diferenciais parciais e das edo s é que as equações diferenciais parciais também podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da maior derivada parcial presente na equação. 69

270 7 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Notações. Sejam Ω R n um conjunto aberto e (x, x,... x n ) Ω.. Seja u : Ω R uma função tal que admita, pelo menos, as derivadas parciais até a segunda ordem. 3. u xi = u, u xi x x i = u, u xi x j = u, etc. i x i y j x i Definição.. Uma equação diferencial parcial (edp) de segunda ordem nas variáveis independentes x, x,... x n é uma equação da forma: F ( x, x,... x n, u, u x,..., u xn, u x x,..., u xi x j... u xnx n ) =, (.) onde U R (n+) é aberto e F : U R é contínua. Definição.. Uma edp linear de segunda ordem nas variáveis independentes x, x,... x n é da forma: n A ij (x) u xi x j + i,j= n B i (x) u xi + D(x) u = H(x), (.) i= onde x = (x, x,... x n ) Ω, A ij, B j, D e H são funções contínuas definidas em Ω e as funções A ij não são todas nulas. Observação.. A função u = u(x, x,... x n ) é a incognita da equação (.). Se H =, a edp (.) é dita homogênea. Denotamos e definimos o Laplaciano de u como: u(x) = u x x + u x x u xnxn, onde x Ω. Note que: u(x) = div ( u(x) ), isto é o divergente do gradiente de u.

271 .3. EXEMPLOS DE EDP S LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 7.3 Exemplos de Edp s Lineares de Segunda Ordem.3. Edp do calor ou de difusão Seja (x, x,..., x n, t) R n [, + ): α u(x) + h = u t, onde x = (x, x,..., x n ), h = h(x) e α é uma constante positiva, chamada difusividade térmica. Esta edp está associada a fenômenos de difusão; por exemplo, descreve a evolução do calor em sólidos. Em particular, se u = u(x, t) e h =, temos: u t = α u xx..3. Edp da onda Seja (x, x,..., x n, t) R n [, + ): c u(x) + h = u tt, onde x = (x, x,..., x n ), h = h(x) e c é uma constante positiva, chamada a velocidade de propagação da onda. Esta edp aparece em fenômenos diversos como:. das ondas elásticas em sólidos, incluindo cordas vibrantes, barras e membranas;. em acústica 3. em ondas eletromagnéticas. Em particular, se u = u(x, t) e h =, temos a edp unidimensional da onda: u tt = c u xx.

272 7 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.3.3 Edp de Poisson Seja x = (x, x,..., x n ) R n : u(x) = h(x), onde h = h(x). A edp de Poisson está associada a fenômenos estacionários, isto é, que não dependem do tempo, como os potenciais eletrostáticos gerados por distribuições fixas de cargas. No caso em que h = : u(x) = u xx + u yy =. Esta edp é conhecida como de Laplace, e apareceu, pela primeira vez, associada à hidrodinâmica, num trabalho de Euler. Posteriormente foi exaustivamente estudada por Laplace, associada à atração gravitacional entre corpos no espaço. A energia potencial de uma partícula onde agem forças gravitacionais é solução da edp de Laplace; por isso, algumas vezes também é chamada edp do potencial. A edp de Laplace aparece no estudo de:. fenomênos eletromagnéticos, incluindo eletrostáticos, dielétricos, correntes estacionárias e magnetoscopia;. hidrodinâmica (fluxo irrotacional de líquidos perfeitos e superfícies de ondas), 3. fluxo do calor 4. gravitação..3.4 Edp de Schrödinger Seja x = (x, y, z, t) R 3 (, + ): i Ψ t = ħ Ψ + V Ψ, m onde i =, Ψ = Ψ(x) e V = V (x, y, z) é uma função diferenciável, m > e ħ é a constante de Plank. Esta edp descreve a iteração de uma partícula quântica de massa m com um potencial V.

273 .4. EDP S LINEARES DE SEGUNDA ORDEM EM R 73.4 Edp s Lineares de Segunda Ordem em R O conceito de solução de uma edp é muito delicado. Na verdade, o estudo deste conceito impulsionou notavelmente a teoria geral das edp. Para estas notas utilizaremos a seguinte definição de solução para edp s em duas variáveis independentes: Definição.3. Seja Ω um conjunto aberto em R. Uma função φ : Ω R é uma solução clássica de (.) em Ω, se:. φ C ( Ω ).. Para todo (x, y) Ω, o vetor ( x, y, φ, φx, φ y, φ xy, φ yx, φ xx, φ yy ) pertence ao domínio da função F. 3. Para todo (x, y) Ω, a função φ(x) satisfaz identicamente a edp (.), isto é: F ( x, y, φ, φ x, φ y, φ xy, φ yx, φ xx, φ yy ) =. Como u C ( Ω ) a edp linear de segunda ordem nas variáveis independentes x e y é da forma: A(x, y) u xx + B(x, y) u xy + C(x, y) u yy = f ( x, y, u, u x, u y ), (.3) onde A, B, C : Ω R são funções contínuas, não simultaneamente nulas e f é uma função linear..4. Classificação das Edp s Lineares de Segunda Ordem em R Existe uma classificação para as edp lineares de segunda ordem que é inspirada na classificação da equação geral de segundo grau em Geometria Analítica. Esta classificação é baseada na possibilidade da edp (.3), através de uma mudança de coordenadas adequada, poder ser transformada numa das formas canônicas. Definamos o discriminante de (.3): tal que δ(x, y) = B (x, y) A(x, y) C(x, y). δ : Ω R,

274 74 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Definição.4. Seja δ o discriminante de (.3):. Se δ(x, y) >, então dizemos que a edp (.3) é hiperbólica no ponto (x, y) Ω.. Se δ(x, y) =, então dizemos que a edp (.3) é parabólica no ponto (x, y) Ω. 3. Se δ(x, y) <, então dizemos que a edp (.3) é elítica no ponto (x, y) Ω. Quando a edp é hiperbólica em todos os pontos de Ω, é dita hiperbólica em Ω. Analogamante, para parabólica e elítica. A natureza da edp (.3) não muda por mudanças de coordenadas. De fato, sejam ψ = ψ(x, y) e η = η(x, y) uma mudança de coordenadas de classe C numa vizinhança do ponto (x, y ) Ω; como o determinante Jacobiano J é não nulo nesta vizinhança, não é difícil verificar que: δ(ψ, η) = δ(x, y) J (x, y); logo, o sinal de δ não muda, na vizinhança do ponto (x, y ). Exemplo.. [] A edp de Tricomi: y u xx + u yy =. Note que δ(x, y) = y; logo, a edp é hiperbólica no semi-plano y <, elítica no semiplano y > e é parabólica no eixo dos x. [] A edp do calor é parabólica em R. [3] A edp da onda é hiperbólica em R. [4] A edp de Poisson é elítica em R. É possível mostrar que para as edp s lineares de segunda ordem existe uma mudança de variável tal que permite escrevê-las nas seguintes formas:. Se a edp é elítica: u = f(x, y, u, u x, u y ).

275 .5. ÁLGEBRA LINEAR 75. Se a edp é parabólica: u yy = f(x, y, u, u x, u y ). 3. Se a edp é hiperbólica: u xy = f(x, y, u, u x, u y ) ou u xx u yy = f(x, y, u, u x, u y ). Esta formas são chamadas canônicas..5 Álgebra Linear Definamos por L : C ( Ω ) C ( Ω ), o seguinte operador linear: n L[u] = A ij (x) u xi x j + i,j= n B i (x) u xi + D(x) u. i= Podemos escrever a edp homogênea associada a (.3) como: L[u] =. Logo, se u, u,... u m são soluções da edp homogênea e α i R, então u = m α i u i, i= é solução da edp homogênea. Portanto, as soluções da edp homogênea formam um subespaço vetorial de C ( Ω ). Sabemos que as edo s lineares de segunda ordem homogêneas formam um subespaço vetorial de dimensão finita (dois). Isto mostra outra diferença entre edp s e edo s. Em muitas edp s simples temos que o subespaço das soluções da edp homogênea L[u] = pode ser de dimensão infinita. Isto nos conduz novamente aos problemas de convergências de séries de funções, que é a solução da edp. Exemplo.. Considere a edp: Como: u xy =, (x, y) R.

276 76 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u xy = y ( ux ) =, u x não depende de y, isto é: u x = F (x), onde F C ( R ). Integrando em relação a x: u(x, y) = f(x) + g(y), onde f C ( R ) é uma primitiva de F, arbitrária e g C ( R ) também é arbitrária. Logo, o conjunto das soluções clássicas da edp é infinito. Observação.. Sabemos do capítulo sobre convergência uniforme das séries de funções que não é trivial afirmar que uma combinação linear infinita de soluções clássicas de uma edp seja uma solução clássica da edp. Isto nos leva à seguinte propriedade, conhecida como Princípio de Superposição: Proposição.. Princípio de Superposição Seja a sequência ( u i de funções tais )i N que L[u i ] =, onde u i C k( Ω ), e ( λ i é uma sequência numérica tal que: )i N λ i u i (x), i= converge para a função u e é k vezes diferenciável termo a termo em Ω; então, L[u] =..6 Condições de Fronteira e Iniciais para Edp s Outra diferença entre edo s e edp s é a informação adicional que precisamos para obter unicidade das soluções. Tanto nos PVI para edo s como nos problemas de Sturm- Liouville, as condições adicionais são impostas em intervalos finitos e nos extremos destes intervalos. Como nas edp s as variáveis independentes pertencem a um conjunto aberto Ω R n, é natural considerar Ω (a fronteira de Ω). Definição.5. Quando impomos condições sobre o valor da solução e de suas derivadas em Ω numa edp, temos o chamado problema de valores de fronteira.

277 .6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA E INICIAIS PARA EDP S 77 A maioria das condições de fronteira das edp s que estudaremos nestas notas aparecem de forma natural na descrição de fenômenos físicos estacionários. Por exemplo: α u(x, y) + β u (x, y) = f(x, y), (x, y) Ω, (.4) n onde α, β R, f : Ω R e u é a derivada direcional de u na direção normal a Ω. n Observação... Se β =, então (.4) é chamada de Dirichlet.. Se α =, então (.4) é chamada de Neumann. No caso das condições iniciais, como nas edp s temos mais de uma variável independente, podemos fixar uma das variáveis, (por exemplo, y = ), e impor o valor da solução e das derivadas parciais em relação à variável fixada como função das outras variavéis, (por exemplo, u y (x, ) = k(x)). Agora generalizaremos o conceito de condição inicial para n =, da seguinte maneira: impomos o valor da solução e de suas derivadas direcionais ao longo de uma curva. O problema correspondente é um problema de Cauchy, o de valor inicial. As edp s junto com às condições de fronteira e de valor inicial, são chamadas problemas mistos. Exemplo.3. [] Seja (x, t) Ω = (, l) (, + ) e: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. É um problema misto. Observe que: Ω = [, l] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(l, t) / t } {(x, ), x [, l]}.

278 78 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS t Ω l x Figura.: Ω e Ω em azul A condição u(, t) = u(l, t) =, (x, t) Ω é uma condição de contorno e a condição u(x, ) = f(x), (x, ) Ω é uma condição inicial. A função f é dada e α é uma constante positiva. A solução que procuramos deve satisfazer u C ( Ω ) C ( Ω), isto é, contínua em Ω e de classe C em Ω, f C ( [, l] ) e é tal que f() = f(l) =. [] Seja (x, t) Ω = (, l) (, + ) e: u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. É um problema misto. Observe que: Ω = [, l] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(l, t) / t } {(x, ), x [, l]}. A condição u(, t) = u(l, t) =, (x, t) Ω é uma condição de contorno e as condições u(x, ) = f(x) e u t (x, ) = g(x), (x, ) Ω são condições iniciais. A função f é dada e c >. A solução que procuramos deve satisfazer u C ( Ω ) C ( Ω), isto é, contínua em Ω e de classe C em Ω. Por outro lado, devemos ter f C ( [, l] ) tal que f() = f(l) = f () = f (l) = e g C ( [, l] ) tal que g() = g(l) =. [3] Seja Ω R um retângulo ou um disco:

279 .6. CONDIÇÕES DE FRONTEIRA E INICIAIS PARA EDP S 79 u =, em Ω u Ω = f. É um problema de Dirichlet. [4] Seja Ω R um retângulo ou um disco: É um problema de Neumann. u =, em Ω u = f, n em Ω. Observação.. Dada uma edp juntamente com as condições de fronteira e/ou iniciais, existem três questões fundamentais:. Quando existem soluções?. Se existem, são únicas? 3. Que tipo de dependência existe entre a solução e as condições de fronteira e/ou iniciais? Algumas respostas destas questões ficam fora do contexto destas notas. Nós faremos apenas alguns comentários. Para mais detalhes veja ([IV]). Quando se discute a existência das soluções, além de especificar a classe de diferenciabilidade da solução se deve precisar o sentido das condições de fronteira e/ou iniciais que são satisfeitas. Como nos dois primeiros exemplos. É natural perguntar se pequenas variações das condições de fronteira e/ou iniciais acarretam variações nas soluções. No caso afirmativo, dizemos que a solução depende continuamante dos dados de fronteira e/ou iniciais. O problema onde valem a existência, unicidade e dependência contínua dos dados de fronteira e/ou iniciais, é dito problema bem posto (no sentido de Hadamard).

280 8 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.7 Método de Separação das Variáveis O método também é conhecido como de Fourier e é o mais clássico dos métodos para determinar soluções particulares de edp s lineares. Basicamente permite reduzir o problema da procura de soluções de certos tipos de edp s a problemas de resolução de edo s. Na verdade é o mais básico dos métodos de desenvolvimento em autofunções. O método é utilizado para edp s lineares homogêneas com condições de contorno homogêneas e regiões do tipo Ω = I J, onde I, J R são intervalos abertos. Observação.3. A estratégia para aplicar o método nestas notas, é a seguinte:. Se Ω = (a, b) (c, d) e (x, y) Ω, então procuraremos soluções clássicas u = u(x, y), não nulas do tipo: u(x, y) = X(x) Y (y) tal que X : (a, b) R e Y : (c, d) R são funções com a mesma classe de diferenciabilidade que a edp requer.. A seguir faremos uma série de raciocínios sem tentar justificar rigorosamente cada passo. Estaremos somente procupados em determinar as funções X e Y. 3. Após determinar as funções X e Y, justificaremos, com as hipóteses necessárias para obter uma solução clássica para a edp. 4. O método pode ser aplicado independente do número de variáveis independentes envolvidas. Exemplo.4. [] Aplique o método de separação das variáveis à edp: x u x y u y =, x, y >. Procuramos soluções não nulas, do tipo : u(x, y) = X(x) Y (y),

281 .7. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 8 Como u = u(x, y) é solução da edp, então deve satisfazer: x X (x) Y (y) y X(x) Y (y) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nulas: x X (x) Y (y) y X(x) Y (y) X(x) Y (y) =, equivalentemente: x X (x) X(x) = y Y (y) Y (y) = p R; donde obtemos: { x X (x) p X(x) = y Y (x) p Y (y) =. Ambas edo s são do mesmo tipo.. Se p = temos a soluções X(x) = a e Y (y) = b ; logo: u(x, y) = X(x) Y (y) = c. c R.. Se p, temos: X(x) = a x p Y (y) = b y p. logo, temos a solução: u(x, y) = X(x) Y (y) = c x p y p. Então a solução da edp é: u(x, y) = c x p y p, c p R. [] Aplique o método de separação das variáveis à edp:

282 8 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u xx u yy =. Procuramos soluções não nulas, do tipo : u(x, y) = X(x) Y (y), Como u = u(x, y) é solução da edp, então deve satisfazer: X (x) Y (y) X(x) Y (y) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nulas: X (x) Y (y) X(x) Y (y) X(x) Y (y) =, equivalentemente: X (x) X(x) = Y (y) Y (y) = p R; donde obtemos: { X (x) p X(x) = Y (x) p Y (y) =.. Se p = temos a soluções X(x) = a x + b e Y (y) = a y + b ; logo: u(x, y) = X(x) Y (y) = [ a x + b ] [ a y + b ] = a x y + b x + c y + d onde, a, b, c, d R.. Se p >, fazendo p = λ, temos que: X(x) = c e k x + c e k x Y (y) = d e k y + d e k y, logo, temos a solução:

283 .7. MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 83 u(x, y) = X(x) Y (y) = [ c e k x + c e k x] [ d e k y k + d e y] = a e k(x+y) + b e k(x y) + c e k(x y) + d e k(x+y) onde, a, b, c, d R. 3. Se p <, fazendo p = λ, temos que: X(x) = c cos(k x) + c sen(k x) Y (y) = d cos(k y) + d sen(k y), logo, temos a solução: onde, a, b, c, d R. u(x, y) = X(x) Y (y) = [ c cos(k x) + c sen(k x) ] [ d cos(k y) + d sen(k y) ] = a cos(k x) cos(k y) + b cos(k x) sen(k y)+ Então a solução da edp é: a x y + b x + c y + d a, b, c, d R. + c sen(k x) cos(k y) + d sen(k x) sen(k y). a e k(x+y) + b e k(x y) + c e k(x y) + d e k(x+y) u(x, y) = a cos(k x) cos(k y) + b cos(k x) sen(k y)+ +c sen(k x) cos(k y) + d sen(k x) sen(k y), [3] Aplique o método de separação das variáveis à edp: Procuramos soluções não nulas, do tipo : u xx + u xt + u tt =.

284 84 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u(x, y) = X(x) T (t), Como u = u(x, t) é solução da edp, então deve satisfazer: X (x) T (t) + X (x) T (t) + X(x) T (t) =, Como X = X(x) e Y = Y (x) são não nulas: X (x) T (t) + X (x) T (t) + X(x) T (t) X(x) T (t) =, equivalentemente: X (x) X(x) + X (x) T (t) X(x) T (t) + T (t) T (t) = ; logo, não é possível aplicar o método de separação das variáveis.

285 .8. EXERCÍCIOS 85.8 Exercícios. Classifique como hiperbólica, parabólica ou eliticas as seguintes edp s: (a) u xx + 4 u xy u yy = u (b) u xx + 4 u xy + u yy = (c) u xx 4 u xy = (d) u xx + u tt u t = u xt u x (e) u xy u x + u y = 6 (f) 5 u xx y y yy = (g) y u xx + x u yy = u (h) x u xx + y u yy + u x = u y. Aplique o método de separação das variáveis às seguintes edp s: (a) k u xx u t = ; k (b) u xx = c u tt ; c (c) u xx + u yy = (d) u xx + u yy = u (e) x u xx + u yy = (f) u tt + u t u = c u xx ; c (g) u tt + a u t = c u xx ; a, c (h) u xxxx + u tt = (i) r ( ) r ur + uθθ = r 3. Se u(x, y, z) = X(x) Y (y) Z(z), aplique o método de separação das variáveis à edp: u xx + u yy + u zz =.

286 86 CAPÍTULO. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

287 Capítulo EQUAÇÃO DO CALOR. Introdução Sejam: Ω = (, l) (, + ), Ω = [, l] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(l, t) / t } {(x, ), x [, l]}. A edp do calor (unidimensional) homogênea, é: u t = α u xx, (x, t) Ω, onde a variável x representa a posição e t a variável temporal. A dedução desta edp não é difícil e pode ser vista em ([FD]). Esta edp é um modelo da evolução da temperatura devido ao fenômeno da condução do calor ao longo de uma barra, tal que a distribuição da temperatura seja essencialmente unidimensional, isto é, quando é possível desprezar a variação da temperatura em todas as direções menos em uma. Não é difícil ver que a função u : R (, + ) R, definida por: u(x, t) = 4 π α t exp( x 4 α t ) é uma solução da edp do calor, em particular, u = u(x, t) é uma solução em Ω. 87

288 88 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR Figura.: Gráfico de u = u(x, t), para diversos t Considere uma barra feita de material homogêneo, de comprimento l, de secção reta uniforme e com constante de difusividade termica α que depende apenas do material. A função u = u(x, t) representa a temperatura da barra no ponto x no instante t. l x Figura.:. Condição Inicial No instante inicial existe uma distribuição de temperatura que varia ao longo da posição: u(x, ) = f(x), x [, l]..3 Condições de Fronteira. Condição de Dirichlet: (ou de temperatura prescrita): { u(, t) = T (t), t u(l, t) = T (t), t.

289 .4. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGÊNEO 89. Condição de Neumann: (ou de fluxo do calor prescrita): { u x (, t) = H (t), t u x (l, t) = H (t), t. 3. Condição de Robin: { u x (, t) = k (u(, t) c), t u x (l, t) = k (u(l, t) c), t..4 Problema de Dirichlet Homogêneo Considere: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. (.) O sistema (.) é um problema de Dirichlet-Cauchy para a edp do calor, ao considerar a evolução da temperatura u ao longo de uma barra feita de material homogêneo, de comprimento l e de secção reta uniforme, isolada, exceto nos extremos que se mantem a uma temperatura constante igual a zero. Note que Ω possui uma parte que corresponde aos extremos da barra em x = e x = l, sobre os quais se tem fixado a condição u = e na parte em que t = prescrevemos a condição inicial u(x, ) = f(x), que é a distribuição inicial de temperatura. l u(x,)=f(x) Figura.3: A solução que procuramos deve satisfazer: u C ( Ω ) C ( Ω), isto é, deve ser contínua em Ω e de classe C em Ω; f C ( [, l] ) e é tal que f() = f(l) =. A exigência da continuidade de u no instante t = é uma forma de vincular a condição inicial ao comportamento posterior da solução.

290 9 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR.5 Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). A seguir, nos cálculos, omitiremos a variavél independente das funções.. Primeiramente observamos que X, T.. Como u deve ser solução do problema: u t = X T, 3. A edp do calor pode ser reescrita como: Por que? 4. Do ítem anterior obtemos: u xx = X T. X T = α X T X X = T α T { X p X =, < x < l T p α T =, t >. = p, p R. 5. Por outro lado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(l, t) = X(l) T (t), para todo t > X(l) =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL regular: e a edo: { X p X =, X() = X(l) =, < x < l T p α T =.

291 .5. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 9 7. O PSL possui somente soluções (autofunções) não nulas se p = λ, λ,então: onde λ n = n π, n N. l X n (x) = A n sen ( λ n x), 8. A edo T λ n α T = tem solução para cada n N: T n (t) = B n exp ( α λ n t ). 9. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, t) = X n (x) T n (t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ).. É imediato que u n = u n (x, t) são de classe C e são soluções da edp do calor em Ω para cada n N. De fato: (u n ) t = α λ n b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) (u n ) x = λ n b n cos ( λ n x ) exp ( α λ n t ) (u n ) xx = λ n b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) Pelo princípio de superposição das soluções, a solução formal do problema é: isto é: u(x, t) = n= u(x, t) = u n (x, t), n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ). (.) l Consideramos como solução formal quando ainda não temos hipóteses claras para determinar se (.) é realmente uma solução clássica do problema.

292 9 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR.6 Análise da Solução A candidata à solução do problema (.) é: onde λ n = n π. l u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ), n= As condições de contorno são satisfeitas, isto é, u(, t) = u(l, t) = para todo t [, + ). Por outro lado, observemos que: f(x) = u(x, ) = b n sen ( λ n x ), x [, l], (.3) n= isto é, f deve possuir série de senos; se a série anterior converge em [, l], então converge em todo R para a extensão ímpar, periódica de período l de f; então: b n = l l f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Logo, se f C([, l]) e é diferenciável por partes, f está nas condições de convergência das séries de Fourier. Pelo teorema de Weierstrass, devemos limitar: para (.) convergir. bn sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) bn exp ( α λ n t ) Proposição.. As seguintes séries: b n sen ( k n x ) exp ( n k t ), n= n b n sen ( k n x ) exp ( n k t ) n= n b n sen ( k n x ) exp ( n k t ) n= e onde k >, convergem uniformemente em qualquer sub-retângulo de Ω. Prova: De fato:

293 .6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 93 bn sen ( k n x ) exp ( n k t ) bn exp ( n k t ) t t. Por outro lado, as séries numéricas (teste 3): C exp ( n k t ), exp ( ) n k t, n= n exp ( ) n k t n= n exp ( ) n k t n= e são convergentes. Então, pelo teste M de Weierstrass, (.), converge uniformente em [, l] [t, + ), para todo t. De forma análoga, as outras séries também convergem uniformemente. Da convergência uniforme da primeira série da propiedade anterior, temos que (.) define uma função contínua en [, l] [t, + ), t >. Por outro lado, derivando (.): u t = k α u x = k onde k = π. Note que: l n= n b n sen ( k n x ) exp ( α n k t ), n b n cos ( k n x ) exp ( α n k t ), n= u xx = k n= n b n sen ( k n x ) exp ( α n k t ), n b n sen ( k n x ) exp ( α n k t ) C n exp ( α n k t ), n bn cos ( k n x ) exp ( α n k t ) C n exp ( α n k t ), t t. Então, pelo teste M de Weierstrass u t e u xx convergem uniformente em [, l] [t, + ); logo (.) é uma solução clássica do problema do calor em [, l] [t, + ). Somente falta verificar que (.) define uma função contínua se t. Integremos por partes o coeficiente de Fourier de f:

294 94 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR l b n = f(x) sen(λ n x) dx l = l n π f(x) cos(λ n x) + n π = l n π d n, l f (x) cos(λ n x) dx onde d n são os coeficientes de Fourier da extensão par periódica de período l de f ; [ ] l utilizando que n π d n, isto é: l n π [ ] l π n + d n, temos: n= b n l π n= n + d n <, n= pela desiguladade de Bessel; logo, para t =, a série (.) converge uniformemente. Logo, verificamos o seguinte teorema: Teorema.. Seja f C([, l]) diferenciável por partes em [, l] e tal que f() = f(l) =. Então (.) converge uniformemente em Ω para a função u C(Ω) C(Ω) que é a solução de (.). Na verdade, o problema (.) é bem posto. (Veja o próximo parágrafo). Nas hipóteses do teorema, o problema de Dirichlet-Cauchy: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l], tem uma única solução: tal que: u(x, t) = n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ) l b n = l l f(x) sen ( n π x) dx, n N. l

295 .6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 95 Note que: lim u(x, t) =, t + o que coincide com a intuição, pois após um tempo longo, a barra tende a resfriar-se. A solução converge rapidamente, exceto para t muito pequeno. Se t é grande, então: Reescrevendo a solução: u(x, t) = u (x, t). onde u(x, t) = = = = b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) n= n= l l [ l l [ f(y) l f(y) sen(λ n y ) ] dy sen(λ n x ) exp ( α λ n t ) sen ( λ n y ) sen ( λ n x ) exp ( α λ n t )] dy n= f(y) k(x, y, t) dy, k(x, y, t) = l n= sen ( n π y l ) sen (n π x l [ ] ) ( α n π exp t ). l A função k = k(x, y, t) é chamado núcleo do calor para (.) e converge uniformemente em R R (, + ) e satisfaz à edp do calor, isto é: k t = α k xx. Observação... A exigência de que f seja contínua e de que f() = f(l) =, é um pouco restritiva, pois existem situações físicas em que isto não ocorre; por exemplo, uma barra que inicialmente tem temperatura constante f(x) = o C.. Para tratar estes tipos de problemas, observamos que não podemos ter a igualdade (.3). Mesmo assim podemos calcular os coeficientes b n utilizando ortogonalidade das autofunções do PSL. De fato, fazendo o produto escalar com λ m fixado, arbitrário:

296 96 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR l f(x) sen ( λ m x ) dx = b m l sen ( λ n x ) dx = l b m. Como m é arbitrário, mudamos m por n: b n = l l f(x) sen ( λ m x ) dx. Exemplo.. [] Ache a solução do problema: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = x ( x), se x [, ]. Observe que a função f(x) = x ( x) está nas condições do teorema; então: b n = x ( x) sen ( n π x ) dx = 4( ( ) n) π 3 n 3, logo: b n =, b n = n N 8 π 3 ( n ), n N. 3 e a solução é: u(x, t) = 8 π 3 n= [ ] sen ( ( n ) π x ) exp ( ( n ) π t ). ( n ) 3

297 .6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 97.5 Figura.4: Gráfico de f e de u, para diferentes t [] Considere que uma barra de 5 cm de comprimento é imersa em vapor até atingir o C. No instante t = suas superfícies laterais são isoladas e suas duas extremidades mergulhadas em gelo a o C. Determine a temperatura no ponto médio da barra após 3 min, se a barra é feita de:. prata: α =.7,. ferro: α =.5, 3. cimento: α =.5. Devemos resolver o sistema: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(5, t) =, t u(x, ) =, se x [, 5]. A solução é: u(x, t) = n= b n sen ( n π x 5 [ ] ) ( α n π exp t ) 5 tal que: logo: b n = 5 5 sen ( n π x) ( ( ) n) dx = 5 n π logo:;

298 98 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR b n =, b n = n N 4 ( n ) π, n N. Logo: u(x, t) = [ 4 ] ( n ) π n= sen ( ( n ) π x 5 [ ] ) ( α ( n ) π exp t ) 5 Mas como t = 8 seg (grande), utilizamos: u(x, t) = u (x, t) = 4 π sen( π x) ( α π exp 5 5 t). 5 Figura.5: Gráfico de f e de u, para diferentes t (α =.7) Logo: u(5, 8) = 4 π exp ( 8 α π ). 5. Se α =.7, então: u(5, 8) = Se α =.5, então: restr u(5, 8) =.866.

299 .6. ANÁLISE DA SOLUÇÃO Se α =.5, então: u(5, 8) =.73. [3] Ache a solução do problema: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(π, t) =, t u(x, ) = sen(3 x), se x [, π]. A função f(x) = sen(3 x) está nas condições do teorema; então: b n = π π sen(3 x) sen ( n x ) dx =, n 3. logo: b 3 = π π sen (3 x) dx =, e a solução é: u(x, t) = sen(3 x) exp( 9 t). Figura.6: Gráfico de f e de u, para diferentes t

300 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR.7 Princípio do Máximo do Calor Seja T > arbitrário e denotemos por Ω T = (, l) (, T ) e por Γ T Ω, onde: Γ T = Ω T Ω T. Teorema.. (Princípio do máximo) Se u : Ω T R é contínua e satisfaz à edo do calor em Ω T, então u atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em Γ T. Isto é, existem (x, y ), (x, y ) Γ T tal que: para todo (x, y) Ω T. u(x, y ) u(x, y) u(x, y ), Prova: Note que Ω T e Γ T são fechados e limitados. Suponha que u atinge o valor mínimo no ponto (x, t ) Ω T. Denotemos por m = u(x, t ) e por M o valor mínimo de u em Γ T, tal que M > m. Definamos v : Ω T R, tal que : v(x, t) = u(x, t) + M m T (t t ), tal que t t T. Se (x, t) Γ T, então u(x, t) M; logo: v(x, t) M M m = M + m > m. Por outro lado v(x, t ) = u(x, t ) = m. Portanto, v atinge seu valor mínimo em algum ponto (x, t ) Ω T, logo v xx (x, t ) e v t (x, t ) (se t < T, v t (x, t ) = e negativo se t = T ). Note que em Ω T : v t α v xx = u t α u xx + M m T = M m T o que é uma contradição, logo u atinge seu valor mínimo em Γ T. Considerando u verificamos que u atinge seu valor máximo em Γ T. >, Corolário.. O problema (.) tem uma única solução. Prova: Suponha que u e u são soluções de (.), com correspondentes distribuições iniciais de temperatura f e g, respectivamente; então, u = u u é solução de (.), com distribuição inicial de temperatura f g. Então, u(x, ) = ; como u(, t) = u(l, t) =, pelo princípio do máximo, temos u =, para todo (x, t) Ω, pois T é arbitrário. O problema é bem posto.

301 .8. PROBLEMA DE DIRICHLET NÃO HOMOGÊNEO 3.8 Problema de Dirichlet Não Homogêneo Considere: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, l], (.4) onde T, T constantes e f() = T e f(l) = T. O problema consiste em estudar a evolução do calor de uma barra nas mesmas condições do problema de Dirichlet Homogêneo, salvo que os extremos da barra estão em uma temperatura constante, não necessariamente zero graus. u=t u=t u(x,) = f(x) Figura.7: roblema de Dirichlet não Homogêneo l Observação.. Não é possível aplicar o método de separação das variáveis pois as condições de contorno não são homogêneas. Para contornar este problema, estudaremos as soluções de equilíbrio do sistema..9 Solução de Equilíbrio Fisicamente, a experiência nos indica que após um tempo longo, sob as mesmas condições, a variação da temperatura fica estacionária, isto é não depende do tempo. Se u = u(x, t) representa a temperatura da barra, então: lim t + lim t + u(x, t) = U(x) u t =. A função U = U(x) é chamada solução de equilibrio do sistema. Como é uma solução do problema, deve satisfazer o PSL:

302 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR U =, x (, l) U() = T U(l) = T ; logo, U(x) = A x + B. Utilizando as condições de contorno, obtemos: ( ) T T x U(x) = T +. l T T l Figura.8: Gráfico de U = U(x). Determinação da Solução Seja U = U(x) a solução de equilibrio de (.4) e consideremos a seguinte mudança: w(x, t) = u(x, y) U(x).. A função w satisfaz a edp do calor, isto é, w t = α w xx, e: w(, t) = u(, t) U() = T T =, t > w(l, t) = u(l, t) U(l) = T T =, t > w(x, ) = u(x, ) U(x) = g(x), x [, l]. Logo, obtemos um problema do tipo (.) para w = w(x, t): w t = α w xx, se (x, t) Ω w(, t) = u(l, t) =, t w(x, ) = g(x), se x [, l],

303 .. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 33 o qual tem solução: tal que: w(x, t) = n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ), (x, t) Ω, l b n = l l g(x) sen ( n π x) dx, n N. l Logo, o problema (.4): u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, l], tem solução:: u(x, t) = U(x) + w(x, t); isto é: (x, t) Ω e tal que: ( ) T T x u(x, t) = T + + l n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ), l b n = l l ( ) (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. l Com as mesmas hipóteses da do problema de Dirichlet Homogêneo, segue que u C ( Ω ) C ( Ω) é solução clássica do problema (.4). Em resumo: Corolário.. Com as mesmas hipóteses da edp do problema de Dirichlet Homogêneo, o problema: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, l],

304 34 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR tem uma única solução clássica: ( ) T T x u(x, t) = T + + l n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ), l (x, t) Ω e tal que: b n = l l ( ) (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. l Exemplo.. [] Ache a solução de u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) = 7, t u(x, ) = 5 x 8 x +, se x [, ], Primeiramente, a solução de equilíbrio é U(x) = 7 x +. Por outro lado: b n = 5 [x x] sen(n π x) dx = ( ( )n ) π 3 n 3 ; logo: b n =, n N b n = ( n ) 3 π, 3 n N. e a solução é: u(x, t) = + 7 x [ n= ( n ) 3 π 3 ] sen ( ( n ) π x ) exp ( ( n ) π t ).

305 .. DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 35 Figura.9: Gráfico de u = u(x, t), para difrentes t [] Ache a solução de u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = 4, t u(, t) =, t u(x, ) = 8 x x + 4, se x [, ], Primeiramente, a solução de equilíbrio é U(x) = 4 3 x. Por outro lado: b n = [ ] 8 x 8 x 3 96 ( )n sen(n π x) dx = ; π 3 n 3 logo, a solução é: u(x, t) = 4 3 x n= 96 ( ) n π 3 n 3 sen(n π x) exp( n π t).

306 36 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR 4 Figura.: Gráfico de u = u(x, t), para difrentes t. Problema de Neumann Considere: u t = α u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. (.5) Este problema é para estudar a evolução do calor de uma barra nas mesmas condições da edp do problema de Dirichlet Homogêneo, mas de modo que não existe passagem de calor, isto é, na ausência do fluxo do calor. u(x,) = f(x) l Figura.: Problema de Neumann. Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t).

307 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 37 Como antes, omitiremos a variável independente das funções.. Como u deve ser solução do problema: u t = X T, u xx = X T.. A edp do calor pode ser reescrita como: X T = α X T X X = T α T = p, p R. 3. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < l T p α T =, t >. 4. Por outro lado: = u x (, t) = X () T (t), para todo t > X () = = u x (l, t) = X (l) T (t), para todo t > X (l) =. 5. Dos ítens anteriores obtemos um PSL regular: { X p X =, X () = X (l) =, < x < l e a edo: T p α T =. 6. O PSL possui soluções não nulas e: Se λ =, então obtemos X(x) =. Se λ >, então obtemos soluções triviais.

308 38 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR Se λ <, então, considerando λ, obtemos: Por outro lado: X(x) = A cos ( λ x ) + B sen ( λ x ). Então λ n = n π, n N e: l X (x) = A λ sen ( λ x ) + B λ cos ( λ x ) = X () = B λ B = = X (l) = B λ sen ( λ l ) l λ = n π. X n (x) = A n cos ( λ x ). 7. A edo T λ n α T = tem solução, para cada n N: T n (t) = B n exp ( α λ n t ). 8. Para p =, X e T são constantes; denotemos esta solução por: 9. Logo, obtemos para cada n N: u (x, t) = a. u n (x, t) = a + X n(x) T n (t) = a + a n cos ( λ n x ) exp ( α λ n t ).. As funções u n = u n (x, t) são de classe C e são soluções da edp do calor em Ω para cada n N. Analogamente ao feito na edp do problema de Dirichlet Homogêneo e com as mesmas hipóteses, temos que a solução clássica de (.5) é: u(x, t) = a + n= a n cos ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ). l Primeiramente note que u x (, t) = u x (l, t) = para todo t (, + ). Por outro lado, observemos que:

309 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 39 Então: f(x) = u(x, ) = a + a n cos ( n π x), x [, l]. l n= a n = l l f(x) cos ( n π x) dx, n. l Note que: lim u(x, t) = a t + = l f(x) dx. l Observação... O fato de que a temperatura seja constante quando t é grande é totalmente coerente com a experiência, pois o processo da difusão do calor irá gradualmente uniformizando a distribuição inicial da temperatura na barra, desde que não exista fluxo de calor para o exterior. Logo, o termo constante é a média da distribuição inicial da temperatura.. De forma totalmente análoga ao desenvolvimento estudado para a edp do calor Homogêneo é possível verificar que u C ( Ω ) C ( Ω ). Corolário.3. O problema: u t = α u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l], tem a única solução clássica: onde: u(x, t) = a + n= a n cos ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ), l a n = l l f(x) cos ( n π x) dx, n. l

310 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR Exemplo.3. Ache a solução de: u t = u xx, se (x, t) Ω u x (, t) = u x (, t) =, t u(x, ) = cos (5 π x), se x [, ], Como cos (5 π x) = ( + cos( π x) ), temos: Por outro lado: a n = = cos (5 π x) cos(n π x) dx [ + cos( π x) ] cos(n π x) dx =, n a = [ + cos( π x) ] dx =, logo: a = [ + cos( π x) ] cos(n π x) dx = ; u(x, t) = + cos( π x) exp ( π t). Figura.: O espaço H

311 .3. PROBLEMA DE ROBIN 3.3 Problema de Robin Considere: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. (.6) Este problema misto é para estudar a evolução do calor de uma barra nas mesmas condições da edp do problema de Dirichlet Homogêneo, de modo que a temperatura numa extremidade é zero graus e não existe passagem de calor na outra extremidade. Note que f() = f (l) =. u(x,)=f(x) l Figura.3: Problema de Robin.4 Separação das Variáveis De forma totalmente análoga às anteriores, procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Obtendo (os detalhes ficam como exercício): λ n = ( n ) π, X n (x) = A n sen(λ n x) e T n (t) = B n exp( λ n c t) l Logo, a solução que obtemos é: Por outro lado: u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( λ n c t ). n= f(x) = u(x, ) = b n sen ( λ n x ). n=

312 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR Como λ n / Z, então o membro à direita não é a série dos senos de f em (, l). Novamente não podemos aplicar diretamente os argumentos da edp do problema de Dirichlet Homogêneo..4. Determinação de b n. Estendemos f ao intervalo [, l] da seguinte forma: f(x) = { f(x) se x [, l] f( l x) se l < x < l.. f é contínua e f é contínua por partes. Portanto, se u = u(x, t) é a solução do problema: u t = α u xx, se (x, t) (, l) (, + ) u(, t) =, t u( l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. (.7) Então, esta solução satisfaz u x (l, t) = para todo t, pois não existe fluxo através da seção estendida em x = l. Logo, é a solução do problema original. Por outro lado, sabemos que a solução de (.7) é: u(x, t) = n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ) l tal que: b n = l l f(x) sen ( n π x) dx. l 3. Denotando λ n = n π l, temos:

313 .4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 33 b n = l = l = l = l l l l l f(x) sen ( λn x ) dx f(x) sen ( λn x ) dx + l f(x) sen ( λn x ) dx l f(x) sen ( λn x ) dx + l l l l l f( l x) sen ( λn x ) dx f(s) sen ( λn ( l s) ) ds ( ) n+ f(s) sen ( λn s ) ds. Logo: b n = se n = k l f(x) sen ( λn x ) dx se n = k. l 4. A solução do problema (.7) é: u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) n= tal que λ n = ( n ) π l e: b n = l l f(x) sen ( λ n x ) dx. 5. Fica como exercício verificar que esta solução é a clássica. Em resumo: Corolário.4. O problema: u t = α u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. tem a única solução clássica:

314 34 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( α λ n t ) n= tal que λ n = ( n ) π l e: b n = l l f(x) sen ( λ n x ) dx. Exemplo.4. Considere: u t = u xx, se (x, t) Ω u(, t) =, t u x (, t) =, t u(x, ) = cos(π x), se x [, ]. (.8) A solução do problema (.7) é: u(x, t) = b n sen ( λ n x ) exp ( λ n t ) n= tal que λ n = ( n ) π e: b n = ( cos(π x)) sen ( ( n ) π x) dx [ ( = sen λn x ) sen ( λ n x ) sen ( ( n + 3) π x)] dx 6 = π ( n 3) ( n + ) ( n ). Logo: onde λ n = ( n ) π. u(x, t) = n= 6 sen ( λ n x ) exp ( λ n t ) π ( n 3) ( n + ) ( n ),

315 .5. CALOR NUM ANEL 35 Figura.4: Gráficos da u = u(x, t, para diferentes t.5 Calor num Anel Considere Ω = ( l, l) (, + ) e: u t = α u xx, se (x, t) Ω u( l, t) = u(l, t), t u x ( l, t) = u x (l, t), t u(x, ) = f(x), se x [ l, l], (.9) tal que f( l) = f(l). Este problema misto é para estudar a evolução do calor num anel formado de um arame de comprimento l, nas mesmas condições do problema de Dirichlet Homogêneo, salvo que nos extremos. Note que o raio do anel é l/π. Figura.5: Arame em forma de anel

316 36 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR.6 Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Como antes, omitiremos a variável independente das funções.. Como u deve ser solução do problema: u t = X T,. A edp do calor pode ser reescrita como: 3. Do ítem anterior obtemos: u xx = X T. X T = α X T X X = T α T { X p X =, l < x < l T p α T =, t >. = p, p R. 4. Obtemos um PSL regular periódico: X p X =, X( l) = X(l) X (l) = X (l), l < x < l e a edo: T p α T =. 5. O PSL possui soluções não nulas se: λ =, então obtemos X(x) = e se λ <, então, considerando λ, obtemos: onde λ n = n π, n N. l X n (x) = A n cos ( λ n x ) + B n sen ( λ n x ),

317 .6. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS A edo T λ n α T = tem solução, para cada n N: T n (t) = B n exp ( α λ n t ). 7. Para λ =, X e T são constantes; denotemos esta solução por: u (x, t) = a. 8. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, t) = a + X n(x) T n (t) = a + [ a n cos ( λ n x ) + b n sen(λ n x) ] exp ( α λ n t ). 9. As funções u n = u n (x, t) são de classe C e são soluções da edp do calor em Ω para cada n N. Analogamente ao feito nos outros problemas do calor, temos que a solução clássica de (.), é: Corolário.5. Considere Ω = ( l, l) (, + ) e: u t = α u xx, se (x, t) Ω u( l, t) = u(l, t), t u x ( l, t) = u x (l, t), t u(x, ) = f(x), se x [ l, l], (.) tal que f( l) = f(l). u(x, t) = a + n= Por outro lado, observemos que: Então: [ a n cos ( n π x l ) + bn sen ( n π x l ) ] exp ( [ ] α n π t ). l f(x) = u(x, ) = a + a n cos ( n π x) + bn sen ( n π x), x [ l, l]. l l

318 38 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR a = l l l f(x) dx a n = l l l f(x) cos ( n π x) dx, n l b n = l l l f(x) sen ( n π x) dx, n. l Exemplo.5. [] Seja u t = α u xx, se π < x < π, t > o u( π, t) = u(π, t), t u x ( π, t) = u x (π, t), t u(x, ) = sen( x), se x [ π, π]. Então, a = a n =, para todo n N e b n =, para todo n e b =. Logo, a solução é: u(x, t) = sen( x) exp( 4 t). -π π - Figura.6: Gráficos da u = u(x, t),para diferentes t

319 .7. EXERCÍCIOS 39.7 Exercícios. Considere α = na edp do calor e ache a solução formal dos seguintes problemas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) { u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = 3 sen ( π x ) 5 sen ( 4 π x ), x [, ] u(, t) = u(π, { t) =, t x x < π/ u(x, ) = π x π/ x < π u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = x, x [, ] u(, t) =, t u(, t) = 4, t u(x, ) = (x ), x [, ] { u(, t) = u(, t) = T, t u(x, ) = T + x (x ), x [, ] u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = T + ( ) x T T, x [, l] l. Considere o problema do calor numa barra de cm de comprimento tal que oos extremos são mantidos a zero graus. Determine a evolução da temperatura na barra, se a barra é feita de prata (α =.7), de aluminio (α =.85) e: (a) (b) u(x, ) = { x x < 5 π 5 x u(x, ) = x ( x), x

320 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR 3. No ítem anterior, determine a temperatura da barra após hora. (Utilize a aproximação de u para t grande). 4. Ache a solução do seguinte problema do calor: u t = 7 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (5, t) = 4, t u(x, ) = e x, < x < Ache a solução do seguinte problema do calor: tal que f(x) = u t = 7 u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (5, t) = 4, t u(x, ) = f(x), { 3 x, < x < 3 (x 3), 3 < x < Ache a solução do seguinte problema do calor. Suponha uma barra nas hipóteses do problema de Dirichlet Homogêneo: u t = α u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t u x (l, t) =, t u(x, ) = f(x), x [, l] 7. Ache a solução do seguinte problema do calor. Suponha uma barra nas hipóteses do problema de Dirichlet Homogêneo: u t = α u xx, (x, t) Ω u x (, t) =, t u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), x [, l]

321 .7. EXERCÍCIOS 3 8. Ache a solução do seguinte problema do calor: u t = α u xx, l < x < l, t > Ω u x ( l, t) = u(l, t), t u x ( l, t) = u x (l, t), t u(x, ) = f(x), x [, l] 9. Ache a solução do seguinte problema do calor: u t = k [ u xx 3 u x + u ], u(, t) =, t u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), < x < l. (x, t) Ω. Seja (problema de Stefan): u t = u xx, < x < f(t), t > u(, t) = T, t u x (f(t), t) = f (t), t > u(f(t), ) =, t > onde f é uma função diferenciável, T R. Verifique que: ( ) x u(x, t) = B + C erf, < x < f(t) t B, C R, é solução do problema, onde: é a função erro. erf(x) = x e s ds π

322 3 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DO CALOR

323 Capítulo EQUAÇÃO DA ONDA Sejam: Ω = (, l) (, + ), Ω = [, l] [, + ) e Ω = {(, t) / t } {(l, t) / t } {(x, ), x [, l]}. A edp da onda (unidimensional) é: u tt = c u xx, (x, t) Ω, onde a variável x representa a posição e a variável t, tempo. A dedução desta edp não é difícil e pode ser vista em ([FD]). Não é difícil ver que a função u : R R R, definida por: u(x, t) = sen(x + c t) + sen(x c t) é uma solução da edp da onda, em particular, u = u(x, t) é uma solução em Ω. Figura.: Gráfico de u = u(x, t) 33

324 34 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA Considere uma corda feita de material homogêneo, com densidade σ e comprimento l; a corda se desloca apenas no plano vertical e a amplitude da vibração é suficientemente pequena de modo que podemos supor que um ponto da corda somente se desloca na vertical e a tensão ψ na corda não varia apreciavelmente; a constante de propagação é dada por c = ψ/σ. Seja: u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. (.) O sistema descreve o deslocamento vertical de uma corda de comprimento l e que vibra com extremos fixos (u(, t) = u(l, t) =, t ), com configuração inicial f e velocidade inicial g. Figura.: Configuração inicial (t = ) A solução deve satisfazer à condição u C ( Ω ) C ( Ω), isto é, deve ser contínua em Ω e de classe C em Ω, f C ( [, l] ) e tal que: e g C ( [, l ) tal que g() = g(l) =. f() = f(l) = f () = f (l) =. Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t).

325 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 35 Como antes omitiremos a variável independente das funções.. Como u deve ser solução do problema: u tt = X T, u xx = X T.. A edp da onda pode ser reescrita como: c X T = X T X X = c T T. 3. Logo: X X = T c T = p, p R. 4. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < l T p c T =, t >. 5. Por outro lado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(l, t) = X(l) T (t), para todo t > X(l) =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL regular: { X p X =, X() = X(l) =, < x < l e a edo T p c T =.

326 36 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA 7. O PSL possui somente soluções não nulas se p = λ, λ,então: onde λ n = n π, para cada n N. l X n (x) = sen ( λ n x ), 8. A edo T λ n c T =, para cada n N, tem solução: T n (t) = A n cos(c λ n t) + B n sen(c λ n t), 9. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, y) = X n (x) T n (t) = [ a n cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ).. É imediato que as funções u n = u n (x, t) são de classe C e são soluções da edp da onda em Ω para cada n N. De fato: [ (u n ) tt = c λ n an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ) [ (u n ) xx = λ n an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ). Pelo princípio de superposição das soluções, a solução formal do problema é: u(x, t) = u n (x, t), n= isto é: u(x, t) = [ n= a n cos ( c n π t l ) + bn sen ( c n π t l ) ] sen ( n π x). (.) l. Análise da Solução O análise da candidata à solução clássica do problema (.) é análoga à feita para a edp do Calor I. Teorema.. Se f, g, f, f, g C ( [, l] ) tais que g() = g(l) =, f() = f(l) =, f () = f (l) =, f (3) e g contínuas por partes, então (.) define uma solução clássica de (.).

327 .. ANÁLISE DA SOLUÇÃO 37 Consideremos a solução formal (.): u(x, t) = [ n= a n cos ( c n π t l ) + bn sen ( c n π t l ) ] sen ( n π x). l Primeiramente note que u(, t) = u(l, t) = para todo t (, + ). Por outro lado, como f, g C ( [, l] ), então: f(x) = u(x, ) = n= a n sen ( n π x), x [, l], l isto é, f deve possuir série dos senos; se a série anterior converge em [, l], então converge em R para a extensão periódica de período l ímpar de f; logo: a n = l l f(x) sen ( n π x) dx, n N. l Determinemos b n ; como f, g C ( [, l] ), derivemos formalmente u = u(x, t): u t (x, t) = u t (x, ) = [ an λ n c sen ( c λ n t ) + b n λ n c cos ( c λ n t )] sen ( λ n x ) n= b n λ n c sen ( λ n x ). n= Como u t (x, ) = g(x), x [, l], temos: Por outro lado: [ an cos ( c n π t l Logo, basta mostrar que a série b n = l n π c ) + bn sen ( c n π t l g(x) sen( n π x ) dx. l a n + b n converge. n= )] (n π x) sen < a n + b n, l Considerando que f() = f(l) = f () = f (l) =, e, como antes, integrando por partes sucessivamente, temos: a n = l l f (3) (x) cos(λ n 3 π 3 n x) dx n π c l b n = l n π l g (x) sen(λ n x) dx

328 38 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA Logo, existem constantes C e C tais que: a n C n 3 e b n C n 3, Por outro lado, se c n e d n são os coeficientes de Fourier de f (3) e g, respectivamente, como na edp do calor, podemos verificar que: k, k > ; então: a n k n 3 c n e b n k n 3 d n, n a n k n b n k ( n + c n ) ( n + d n ), donde: [ n a n + n b n ] [ ] K n + c n + d n <, n= n= pela desigualdade de Bessel; logo, u C ( Ω ) C ( Ω)..3 Validade da Solução Considere a solução de (.): tal que: u(x, t) = [ n= a n cos ( c n π t l ) + bn sen ( n π t l ) ] sen ( n π x), l a n = l l f(x) sen( n π x ) dx l b n = l n π c g(x) sen( n π x ) dx. l Por outro lado, pela linearidade, podemos considerar u = u + u tal que:

329 .4. PRIMEIRO CASO 39 u (x, t) = u (x, t) =.4 Primeiro Caso n= n= Não é difícil ver que u = u é solução de: a n cos ( c n π t l b n sen ( c n π t l ) (n π x) sen l u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t ) (n π x) sen. l u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) =, se x [, l]. Este problema descreve uma corda que vibra livremente e tem solução: u (x, t) = n= Utilizando a identidade sen(a) cos(b) = (.3) como: onde: u (x, t) = F (x) = a n cos ( c n π t l ) (n π x) sen. (.3) l [ sen(a + b) + sen(a b) ], podemos reescrever [ F (x + c t) + F (x c t) ], n= a n sen ( n π x). l Proposição.. F é a extensão ímpar, periódica de período l de f. Prova: De fato, como f C ( [, l] ) e f() = f(l) = ; então:. u (x, ) = [ F (x) + F (x) ] = F (x) = f(x) se x [, l].

330 33 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA. De fato, = u (, t) = [ F (c t) + F ( c t) ], para todo t ; logo F ( y) = F (y), para todo y R. 3. Por outro lado = u (l, t) = [ F (l + c t) + F (l c t) ], para todo t ; logo F (l y) = F (l y), para todo y R. 4. Se y R, temos F (y + l) = F (l + (y + l)) = F (l (y + l)) = F ( y) e: F (y + l) = F (y), para todo y R. 5. Se f C ( [, l] ), então F C ( R ) ; logo: u t = c [ F (x + c t) F (x c t) ] u t =. t= 6. Logo, (.3) é uma solução do problema. Exemplo.. [] Ache a solução de u tt = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = sen(π x), se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ]. Como c = e f(x) = sen(π x), claramente a extensão ímpar, periódica de período é F (x) = sen(π x), então: u(x, t) = [ sen(π (x + t)) + sen(π (x t)) ] = sen(π x) cos(π t).

331 .5. SEGUNDO CASO 33 - Figura.3: Gráfico de u(x, t) para diferentes t e de u = u(x, t), respectivamente.5 Segundo Caso Não é difícil ver que u = u é solução de: Este problema tem solução: u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) =, se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. u (x, t) = Fazendo c n = n π c b n, então: l u (x, t) = l π c. Derivemos u em relação a t: n= n= b n sen ( c n π t l c n n sen( c n π t l ) (n π x) sen. l ) (n π x) sen. l u t = c n cos ( c n π t l n= = n= ) (n π x) sen l [ c n sen ( n π ( ) (n π ( ) ] x + c t) + sen x c t), l l

332 33 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA série que converge uniformemente.. Seja: G(x) = n= c n sen ( n π x). l 3. G é a extensão periódica de período l, ímpar de g. 4. Logo: 5. Do ítem anterior, integrando: Então, u t = [ ] G(x + c t) + G(x c t). u (x, t) = [ t G(x + c τ) dτ + = c x+ct x ct G(τ) dτ. u (x, t) = c x+ct x ct t ] G(x c τ) dτ G(τ) dτ. (.4) 6. Logo, u (x, ) =, e: u (x, ) = G(x) = g(x), t x [, l]. 7. As condições de contorno são: u (, t) = [ t G(c τ) dτ + = [ t G(c τ) dτ =. t t ] G( c τ) dτ ] G(c τ) dτ

333 .5. SEGUNDO CASO 333 u (l, t) = [ t G(l + c τ) dτ + = [ t G(l + c τ) dτ = 8. (.4) é uma solução do problema. t t ] G(l c τ) dτ ] G(l + c τ) dτ Teorema.. Existe uma única solução u C ( Ω ) C ( Ω ) tal que: u(x, t) = [ F (x + c t) + F (x c t) ] + c x+ct x ct G(τ) dτ, (.5) (x, t) Ω; onde F, G : R R são extensões periódicas de período l, ímpares de f e g respectivamente tais que f() = f(l) = g() = g(l) = f () = f (l) =. Então, (.5) é solução do problema (.). Esta solução é chamada de Bernoulli. Exemplo.. [] Ache a solução de: u tt = u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(π, t) =, t u(x, ) = sen(x), se x [, π] u t (x, ) = sen(x) cos(x), se x [, π]. Como f(x) = sen(x), então g(τ) = sen(τ) cos(τ), então: x+t x t Logo, a solução do problema é: [ f(x + t) + f(x t) ] = sen(x) cos(t); por outro lado g(τ) τ = sen( x) sen( t). 4 u(x, t) = sen(x) cos(t) + sen( x) sen( t). 4

334 334 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA π - Figura.4: Gráfico de u(x, t), para diversos t Figura.5: Gráfico de u(x, t) Como na edp do calor, muitas aplicações não tem a regularidade requerida pelos teoremas. É possível introduzir hipóteses mais fracas para a obtenção de soluções para a edp da ondas. [] A corda dedilhada: Considere o problema: onde: u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ],

335 .6. HARMÔNICOS E NODOS 335 a x, se x f(x) = a ( x) se x. a/ / Figura.6: A função f não é derivável em l ; então u não é derivável em l. Para estes tipos de problemas, calculamos u = u(x, t) utilizando (.): A solução é: [ / ] a n = a x sen(n π x) dx + ( x) sen(n π x) dx / = 4 a n π sen( n π ) = 4 a ( ) 3n n π. 4 a ( ) 3n u(x, t) = cos(n c π t) sen(n π x). n π n=.6 Harmônicos e Nodos A solução: [ u(x, t) = an cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ), n= onde λ n = n π, representa o movimento da corda como superposição de um número l infinito de vibrações com freqüências diferentes.

336 336 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA As funções: u n (x, y) = [ a n cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ), representam vibrações com freqüências: ν n = c λ n π = n l ψ σ. As soluções u n = u n (x, t) também são ditas ondas estacionárias ou n-ésimo harmônico ou n-ésima tônica; a primeira tônica é chamada fundamental e tem freqüência ν que, em geral, é a que predomina no som. Note que a freqüência fundamental não depende das condições iniciais; é uma propriedade intrínseca da corda. Por outro, lado se: e consequentemente u n =. x = k l n, k =,,,... = sen( λ n x ) = Estes pontos são os únicos pontos que permanecem fixos na corda, enquanto ela vibra, e são chamados nodos da onda estacionária, dependendo apenas de n. π - Figura.7: O dobro da distância entre dois nodos consecutivos é o comprimento de onda da onda estacionária; isto é, l n. Fazendo a mudança α n = a n + b n e θ n = arctg ( a n b n ), temos que: u n (x, t) = α n sen ( λ n c t + θ n ) sen(λn x); θ n é chamada fase da onda. Para os t, tais que λ n c t + θ n = k π, k =,,..., a corda passa pela posição de equilíbrio; nesse momento a derivada (u n ) t é máxima.

337 .7. SOLUÇÃO DE D ALEMBERT Solução de d Alembert A edp da onda é uma das poucas edp s que possuem uma solução geral: Proposição.. Se u é uma solução da edp da onda, então existem F, G : R R de classe C ( R ) tais que u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Prova: Considere a seguinte mudança de variáveis: { ξ = x + c t η = x c t. Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos: Logo, a edp da onda fica: u x = v ξ + v η, u t = c v ξ c v η u tt = c [ v ξξ v ξη + v ηη ] u xx = v ξξ v ηξ + v ηη. v ξη =. Isto é, não depende de ξ, logo: v η = g(η). Integrando diretamente obtemos v(ξ, η) = F (ξ) + G(η); voltando às variáveis originais: u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Esta solução é chamada de d Alembert. Observação.. Claramente a recíproca é verdadeira. De fato, se u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t), então u xx = F (x + c t) + G (x c t), temos que u tt = c [ F (x + c t) + G (x c t) ] = c u xx.

338 338 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA O gráfico da função F (x + c t) descreve uma onda movendo-se para a esquerda com velocidade c. Note que x + c t é uma translação do sistema de coordenadas à esquerda com velocidade c t. Analogamente, o gráfico da função G(x c t) descreve uma onda movendo-se para a direita com velocidade c; logo a solução u descreve a superposição de duas ondas movendo-se com velocidade c. Por exemplo, seja u(x, t) = sen(x + t) + sen(x t), sen(x + t) (vermelho) e sen(x t) (verde): - - Figura.8: A solução de d Alembert implica em que a solução da edp da onda depende apenas dos pontos do intervalo [x c t, x + c t]..8 A Onda Infinita Vamos estudar a vibração de uma corda de comprimento infinito. Neste caso, não existem condições de fronteira. Sejam: Ω = R (, + ); Ω = R [, + ). u tt = c u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = f(x), se x R u t (x, ) = g(x), se x R. (.6) O sistema descreve o movimento de uma corda nas mesmas hipóteses anteriores, salvo, que o comprimento é infinito. Note que as funções envolvidas não são necessáriamente periódicas. Por tanto, para os casos não periódicos não podemos utilizar Fourier.

339 .8. A ONDA INFINITA 339 Figura.9: Pelo teorema, sabemos que u(x, t) = F (x + c t) + G(x c t). Por outro lado:. f(x) = u(x, ) = F (x) + G(x),. u t (x, t) = c F (x + c t) c G (x c t); logo: g(x) = u t (x, ) = c F (x) c G (x). Obtemos: () F (x) + G(x) = f(x) () F (x) G (x) = c g(x), integrando (), temos: F (x) G(x) = c x g(s) ds, logo: () F (x) + G(x) = f(x) ( ) F (x) G(x) = c x g(s) ds, somando () + ( ), temos: F (x) = [ f(x) + c Por outro lado, substraindo () ( ), temos: x ] g(s) ds.

340 34 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA Então: u(x, t) = G(x) = Compare este resultado com (.5). [ f(x) c x ] g(s) ds. [ f(x + c t) + f(x c t) ] + c x+ct x ct g(s) ds. (.7) Exemplo.3. [] Considere o problema: u tt = u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = exp( x ), se x R u t (x, ) =, se x R.. A solução de d Alembert é: u(x, t) = [ ] [ f(x + t) + f(x t) = exp( (x + t) ) + exp( (x t) ) ] = exp( (x + t )) [ ] exp( xt) + exp( x t) = exp( (x + t )) cosh( x t). A seguir o comportamento da onda, para diferentes t: Figura.:

341 .8. A ONDA INFINITA 34 Figura.: Figura.: Figura.3: [] Considere o problema:

342 34 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA u tt = u xx, se (x, t) Ω u(x, ) = exp( x ), se x R u t (x, ) = x, se x R.. A solução de d Alembert é: u(x, t) = [ f(x + t) + f(x t) ] + x+t x t = exp( (x + t )) cosh( x t) x t. A seguir o comportamento da onda, para diferentes t: s ds Figura.4: Figura.5:

343 .8. A ONDA INFINITA 343 Figura.6: Figura.7: Como antes, novamente insistimos em que é possível introduzir condições mais fracas para obter soluções para a edp da onda. [3] Considere o problema da onda infinita tal que c =, g = e: f(x) = { se x > x + se x. f não é de classe C e a função u = u(x, t) definida em (.5) é contínua: u(x, t) = x t x + t. Mas as derivadas tem descontinuidades ao longo das retas x t =, x t =, x + t = e x + t =. A seguir o comportamento da onda, para diferentes t:

344 344 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA Figura.8: Figura.9: Figura.:

345 .9. REVERSIBILIDADE DA EDP DA ONDA Figura.:.9 Reversibilidade da edp da onda A solução (.7) é também válida para todo (x, t) R R. O conhecimento da configuração inicial da corda também determina sua configuração em tempos anteriores. Logo, o estado da corda no tempo t = pode ser obtido deixando evoluir a corda a partir de condições iniciais adequadas. Por exemplo, fixando condições u(x, ) e u t (x, ) e deixando evoluir a corda a partir desta condição, verificaremos que após uma unidade de tempo, a corda alcança o estado u(x, ) com velocidade u t (x, ). A edp da onda é invariante por mudanças do tipo t t, que invertem o sentido do tempo e mudam o "passado"pelo "futuro"da corda.. Equação de Euler - Bernoulli: Vibração de uma Viga Consideramos uma viga que não se deforma, como composta de infinitos feixes longitudinais de comprimento l. Quanto a viga sofre flexão, as fibras próximas à superfície côncava se contraem e as fibras próximas à superfície convexa devem se distender. A superfície que separa a região de compressão da região de distensão (onde o comprimento permanece inalterado) é chamada de superfície neutra. A intersecção entre superfície neutra e o plano de simetria é chamada de linha neutra. Escolhemos um sistema de coordenadas cartesiano de tal forma que a linha neutra da viga não deformada repouse sobre o eixo dos x entre os pontos x = e x = l. Supomos que a viga assume vibrações transversais, isto é, suas partículas podem se mover apenas da direção vertical. Desta forma a linha neutra pode se delocar. Por outro lado, os valores na fronteira podem modelar pontos de apoio, pontos de carga, momentos, entre outros.

346 346 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA Denotemos por u = u(x, t) a função que modela a altura da linha neutra no instante t, na posição x e Ω = (, l) (, t). l Figura.: Configuração inicial (t = ) Considere o sistema: u tt + c u xxxx =, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u xx (, t) = u xx (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. tal que u C 4( Ω ), f () = f (l) =. O sistema descreve o deslocamento vertical de uma viga de comprimento l e que vibra com extremos fixos, com configuração inicial f e velocidade inicial g.. Separação das Variáveis A separação das variáveis deste problema é totalmente análoga aos caso da edp da onda unidimensional. Procuramos soluções não nulas do tipo: u(x, t) = X(x) T (t). Como antes omitiremos a variável independente das funções.

347 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 347. u = u(x, t) deve ser solução do problema:. A edp pode ser reescrita como: 3. Logo: 4. Do ítem anterior obtemos: u tt = X T, u xxxx = X (4) T. c X (4) T + X T = X(4) X = c T T. X (4) X = T c T { X (4) p X =, = p, p R. < x < l T p c T =, t >. 5. Por outro lado: = u(, t) = X() T (t), para todo t > X() = = u(l, t) = X(l) T (t), para todo t > X(l) = = u xx (, t) = X () T (t), para todo t > X () = = u xx (l, t) = X (l) T (t), para todo t > X (l) =. 6. Dos ítens anteriores obtemos um PSL regular: X (4) p X =, < x < l X() = X(l) = X () = X (l) =, e a edo: T p c T =.

348 348 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA 7. Não é difícil ver que PSL, possui somente soluções não nulas se p = λ 4, λ ; então: X(x) = c e λx + c e λx + c 3 cos(λ x) + c 4 sen(λ x). 8. Da condição, X() = X () =, obtemos: { c + c 4 = c c 4 = = c = c 4 =. 9. Da condição, X(l) = X (l) =, obtemos: { c e λ l + c 3 sen(λ l) = c e λ l c 3 sen(λ l) = = c =. Donde, sen(λ l) =, logo a solução do PSL é: onde λ n = n π, para cada n N. l X n (x) = sen ( λ n x ),. A edo T + λ 4 n c T =, para cada n N, tem solução: T n (t) = A n cos(c λ n t) + B n sen(c λ n t),. Logo, obtemos para cada n N: u n (x, y) = X n (x) T n (t) = [ a n cos ( c λ n t ) + b n sen ( c λ n t )] sen ( λ n x ).. É imediato que as funções u n = u n (x, t) são de classe C e são soluções da edp em Ω, para cada n N. 3. Pelo princípio de superposição das soluções, a solução formal do problema é: u(x, t) = u n (x, t), n=

349 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 349 isto é: u(x, t) = [ n= a n cos ( c [ n π l ] t ) + bn sen ( c [ n π l ] ) ] t sen ( n π x). l 4. De forma análoga à separação das variáveis da Edp da onda, temos que: f(x) = u(x, ) = n= a n sen ( n π x), x [, l], l isto é, f deve possuir série dos senos; se a série anterior converge em [, l], então converge em R para a extensão periódica de período l ímpar de f; logo: a n = l l f(x) sen ( n π x) dx, n N. l 5. Como u t (x, ) = g(x), x [, l], temos: b n = l l n π c g(x) sen( n π x ) dx. l 6. Os detalhes sobre a validade da solução ficam como exercícios. Corolário.. O problema de vibrações transversais de uma viga: u tt + c u xxxx =, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u xx (, t) = u xx (l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. tal que u C 4( Ω ), f () = f (l) =, tem solução formal: onde: u(x, t) = [ n= a n cos ( c [ n π l ] t ) + bn sen ( c [ n π l ] ) ] t sen ( n π x), l

350 35 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA a n = l l f(x) sen ( n π x) dx l b n = l l n π c g(x) sen( n π x ) dx. l Exemplo.4. [] Determine a solução dos sistema: u tt + u xxxx =, < x < π, < t < + u(, t) = u(π, t) =, t u xx (, t) = u xx (π, t) =, t u(x, ) =, se x [, π] u t (x, ) = sen( x), se x [, π]. Note que c =, l = π e a n =, para todo n N. Por outro lado: Assim: b n = n π π sen( x) sen(n x) dx = 4 sen(n π) π n (n 4) =, se n. b = π π sen ( x) dx = 4 π π [ cos(4 x) ] dx = 4. Logo, a solução é: u(x, t) = sen( x) sen(4 t). 4 As curvas de níveis de u = u(x, t):

351 .. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 35 π Figura.3: Gráfico de u = u(x, t), para alguns t Figura.4: Gráfico de u = u(x, t)

352 35 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA. Exercícios. Considere c = na edp de onda e ache a solução formal dos seguintes problemas: u(, t) = u(, t) =, t (a) u(x, ) =, x [, ] u t (x, ) = c, x [, ] u(, t) = u(, t) =, t (b) u(x, ) = x (x ), x [, ] u t (x, ) =, x [, ] u(, t) = u(π, t) =, t (c) u(x, ) = 3 sen(x), x [, π] u t (x, ) =, x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (d) u(x, ) =, x [, π] u t (x, ) = 8 sen (x), x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (e) u(x, ) =, x [, π] u t (x, ) = x sen(x), x [, π] u(, t) = u(π, t) =, t (f) u(x, ) = sen(x), x [, π] u t (x, ) = x π x, x [, π] u(, t) = u(3, t) =, t (g) u(x, ) = sen(x), x [, 3] 4 u t (x, ) = sen( πx), x [, 3]. Ache a solução formal dos seguintes problemas de onda: u tt = c u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t (a) u x (π, t) =, t u(x, ) = x + cos(x), x [, π] u t (x, ) = sen(x/), x [, π]

353 .. EXERCÍCIOS 353 u tt = c u xx, (x, t) Ω u(, t) =, t (b) u x (π, t) =, t u(x, ) = cos(x), x [, π] u t (x, ) =, x [, π] u tt = c u xx, (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t (c) u(x, ) = f(x), x [, l] u t (x, ) =, x [, l], e o gráfico de f é h a l Figura.5: 3. Determine a solução de d Lembert para o problema da corda de comprimento infinito: { u(x, ) =, x R (a) u t (x, ) = c, x R (b) (c) (d) (e) { u(x, ) = sen(x), u t (x, ) = x, { u(x, ) = cos(x), u t (x, ) = e, x R x R x R x R { u(x, ) = ln( + x ), u t (x, ) =, { u(x, ) = x, x R x R u t (x, ) = sen(x), x R x R

354 354 CAPÍTULO. EQUAÇÃO DA ONDA (f) (g) { u(x, ) = sen(x), u t (x, ) = sen(x), { u(x, ) =, u t (x, ) = x e x, x R x R x R x R 4. Verifique que: u(x, t) = c t x+c(t s) x c(t s) f(q, s) dq ds, é solução do problema: u tt = c u xx + f(x, t), x R, t > u(, t) =, t > u t (x, ) =, x R 5. A energia no tempo t de uma corda, de comrimento l que vibra é: E(t) = l (u t + c u x) dx. Verifique que: l E (t) = c [u x u t ] x dx.

355 Capítulo 3 EQUAÇÃO DE LAPLACE 3. Funções Harmônicas e Princípio do Máximo Consideremos a edp de Laplace: u =, em Ω Uma função contínua em Ω que é solução da edp de Laplace é dita harmônica. Exemplo 3.. Claramente as funções: u(x, y) = a x + b y + c; a, b, c R, u(x, y) = x y, u(x, y) = [ a cos(k x) + b sen(k x) ] exp(k y), k R são harmônicas em R. Figura 3.: Curvas de níveis de sen(.3 x) exp(.3 y) 355

356 356 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE Teorema 3.. (Princípio do Máximo) Seja Ω um aberto limitado em R. Se u : Ω R é contínua e harmônica em Ω, então u alcança seu máximo e seu mínimo em Ω. Isto é, existem (x, y ), (x, y ) Ω tais que: para todo (x, y) Ω. u(x, y ) u(x, y) u(x, y ), Prova: De fato, como Ω e Ω são fechados e limitados, então u atinge o valor máximo M em Ω e o valor máximo m em Ω. Suponhamos que m < M. Seja d o diamêtro de um disco que contenha Ω e definamos v : Ω R por: v(x, y) = u(x, y) + M m d [ (x x ) + (y y ) ], onde (x, y ) Ω é tal que M = u(x, y ).. Para todo (x, y) Ω: v(x, y) m + M m d = M + m d < M,. Note que v(x, y ) = u(x, y ) = M. Logo, v deve atingir seu valor máximo em Ω e não em Ω; então v xx e v yy, no ponto onde atinge o máximo. 3. Por outro lado, em Ω: v = u + M m d = M m d >, para todos (x, y) Ω, o que é uma contradição. Logo o máximo deve ser atingido em Ω. Para o valor mínimo consideramos u(x, y). Considere o problema de Dirichlet: { u =, em Ω u = f, em Ω. Corolário 3.. (Unicidade) O problema de Dirichlet, possui uma única solução.

357 3.. FUNÇÕES HARMÔNICAS E PRINCÍPIO DO MÁXIMO 357 Observação 3.. Se u e u são soluções do problema de Dirichlet, então u = u u é harmônica em Ω, e u(x, y) =, para todo (x, y) Ω. Pelo princípio do máximo u(x, y) =, para todo (x, y) Ω; logo u = u. Não é difícil verificar que, em coordenadas polares, a edp de Laplace fica: r v rr + r v r + v θθ =, onde v(r, θ) = u(x, y). De fato, seja (r, θ) Ω = (, + ) (, π): { x = r cos(θ) então: y = r sen(θ), r xx = sen (θ) r logo:, r yy = cos (θ), θ xx = r sen(θ) cos(θ) sen(θ) cos(θ) e θ r yy =, r u xx = r x v rr + r xx v r + r x θ x v rθ + θ x v θθ + θ xx v θ u yy = r y v rr + r yy v r + r y θ y v rθ + θ y v θθ + θ yy v θ e: u xx + u yy = r v rr + r v r + v θθ =. Esta edp tem coeficientes variáveis que se anulam em r =. No caso em que v(r, θ) = h(r), isto é, v só depende de r, a edp de Laplace fica: r h + r h =, r (, ρ), a qual tem soluções l.i. h (r) = e h (r) = ln(r); logo: v(r, θ) = ln(r) é harmônica em R {(, )}. Esta solução é dita fundamental da edp de Laplace, pois é utilizada para construir outras funções harmônicas.

358 358 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE 3. Problema de Dirichlet em Retângulos A solução deste problema para Ω arbitrário é muito difícil. Consideraremos apenas o problema quando Ω é um retângulo. Sejam: onde: Ω = (, a) (, b); a, b >, Ω = [, a] [, b] e Ω = Ω Ω Ω 3 Ω 4, Ω = {(, y) / y b} Ω = {(a, y) / y b} Ω 3 = {(x, ), x a} Ω 4 = {(x, b), x a}. b f g u= g f Figura 3.: A região Ω a O problema de Dirichlet em Ω é: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f (x), se x [, a] u(, y) = g (y), se y [, b] u(a, y) = g (y), se y [, b], (3.) tal que g () = f (), f (a) = g (), f (a) = g (a) e f () = g (b). Pela linearidade, a idéia inicial para achar a solução de (3.) é separá-lo em dois problemas de Dirichlet; cada um deles é obtido fazendo dois das funções na fronteira

359 3.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 359 iguais a zero. Obtendo as soluções u e u de cada um destes problemas, consideramos a solução de (3.): u(x, y) = u (x, y) + u (x, y). f u = g u = g f Nós resolveremos o seguinte problema: Figura 3.3: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f (x), se x [, a] u(, y) =, se y [, b] u(a, y) =, se y [, b]. (3.) f u = f Figura 3.4: A região Ω 3.3 Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo:

360 36 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE u(x, y) = X(x) Y (y).. Primeiramente observamos que X, Y.. Como u deve ser solução do problema: u xx = X Y, u yy = X Y. 3. A edp de Laplace pode ser reescrita como: X Y + X Y X X = Y Y. 4. Logo: X X = Y Y = p, p R. 5. Do ítem anterior obtemos: { X p X =, < x < a Y + p Y =, < y < b. 6. Por outro lado: = u(, y) = X() Y (y), para todo y > X() = = u(a, y) = X(a) Y (y), para todo y > X(a) =. 7. Dos ítens anteriores obtemos o PSL regular: () { X p X =, X() = X(a) =, < x < a, E a edo: () Y + p Y =, < y < b

361 3.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS O PSL () possui somente soluções não nulas se p = λ, λ, então: onde λ n = n π, para cada n N. a 9. A edo () só tem soluções do tipo: X n (x) = A n sen ( λ n x ), Y n (y) = B n cosh(λ n y) + C n senh(λ n y),. Para cada n N, temos: u n = u n (x, y) é harmônica. u n (x, y) = [ a n cosh(λ n y) + c n senh(λ n y) ] sen ( λ n x ).. Pelo princípio de superposição, a candidata à solução clássica do problema de Dirichlet é: u(x, y) = n= [ a n cosh ( n π a y) + c n senh ( ] n π a y) sen ( n π a x). (3.3). Utilizando as condições iniciais: e como antes: f (x) = u(x, ) = n= a n sen ( n π a x), a n = a a f (x) sen ( n π a x) dx. Por outro lado: f (x) = u(x, b) = Denotemos por λ n = n π a n= e por: [ a n cosh ( n π a b) + c n senh ( ] n π a b) sen ( n π a x).

362 36 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE b n = a a f (x) sen(λ n x) dx então: a n cosh(λ n b) + c n senh(λ n b) = b n, n N; logo: c n = b n a n cosh(λ n b), n N senh(λ n b) 3. Finalmente, utilizando algumas identidades hiperbólicas: u(x, y) = n= senh(λ n b) [ an senh(λ n (b y)) + b n senh(λ n y) ] sen(λ n x). 4. Como a função y = senh(x) é estritamente crescente: senh( λ n y ) senh ( ), para todo n N, y [, b]. λ n b 5. Logo, (3.3) converge uniformemente se a série de Fourier de f converge. 6. A série (3.3) pode ser derivada termo a termo, mas a convergência da série das derivadas é muito mais delicada e vamos omití-la. Teorema 3.. Se f C ( [, b] ) é diferenciável por partes em (, b), f é contínua por partes em (, b) e f() = f(b) =, então: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) = f (x), se x [, a] u(x, b) = f (x), se x [, a] tem uma única solução clássica: u(, y) =, se y [, b] u(a, y) =, se y [, b]

363 3.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 363 u(x, y) = onde λ n = n π a n= e tal que: senh(λ n b) [ an senh(λ n (b y)) + b n senh(λ n y) ] sen(λ n x), a n = a b n = a a a f (x) sen ( n π a x) dx f (x) sen ( n π a x) dx. De forma análoga o problema: u xx + u yy =, se (x, y) Ω u(x, ) =, se x [, a] u(x, b) =, se x [, a] u(, y) = g (y) se y [, b] u(a, y) = g (y), se y [, b]. (3.4) g u = g Figura 3.5: A região Ω Tem uma única solução clássica: u(x, y) = onde µ n = n π b n= e tal que: [ ] a n senh(µ n x) + b n senh(µ n (a x)) sen(µ n y), senh(µ n a)

364 364 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE a n = b b g (y) sen(µ n y)) dy b n = g (y) sen(µ n y)) dy. b Exemplo 3.. [] Considere o problema: u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) =, se x [, ] u(x, ) = sen(π x), se x [, ] b u(, y) =, se y [, ] u(, y) =, se y [, ]. Pelo teorema, a solução é: tal que: Logo, a n = senh ( n π ) u(x, y) = a n senh ( n π y ) sen ( n π x ), n= sen(π x) sen ( n π x ) n dx = n =. senh(π) u(x, y) = sen(π x) senh(π y). senh(π) Figura 3.6: Curvas de nível de u = u(x, y)

365 3.3. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 365 [] Considere o problema: u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) = sen( π x), se x [, ] u(x, ) = sen(π x), se x [, ] Pelo teorema, a solução é: u(x, y) = n= u(, y) =, se y [, ] u(, y) =, se y [, ]. senh(n π) [ an senh(n π ( y)) + b n senh(n π y) ] sen(n π x), tal que: e a n = b n = sen(π x) sen ( n π x ) dx = sen(π x) sen ( n π x ) dx = { n n = { n n =. Logo, u(x, y) = senh(π) senh(π y) sen(π x) + senh( π ( y)) sen( π x). senh( π) [3] Considere o problema: Figura 3.7:

366 366 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE Pelo teorema, a solução é: tal que: u(x, y) = n= u xx + u yy =, se (x, y) (, ) (, ) u(x, ) =, se x [, ] u(x, ) =, se x [, ] u(, y) = y ( y), se y [, ] u(, y) = y ( y), se y [, ]. [ an senh(n π x) + b n senh(n π ( x)) ] sen(n π y), senh(n π) a n = b n = x ( x) sen ( n π x ) dy = 4 ( ( )n ) n 3 π 3 ; 8 Logo, a n = b n = e a n = b n =, para todo n N. Finalmente: ( n ) 3 π3 u(x, y) = K(n, x) sen(( n ) π y). n= onde: K(n, x) = 8 [ senh(( n ) π x) + senh(( n ) π ( x)) ]. ( n ) 3 π 3 senh(( n ) π) Figura 3.8: Curvas de níveis de u = u(x, y)

367 3.4. PROBLEMA DE DIRICHLET EM DISCOS Problema de Dirichlet em Discos Se Ω é um disco, então não podemos utilizar diretamente o método de separação das variáveis, pois Ω I J. Para poder descrever Ω como produto cartesiano de dois intervalos, utilizaremos coordenadas polares. Veja ([VC]) na bibliografia. Em coordenadas polares a edp de Laplace fica: onde v(r, θ) = u(x, y). r v rr + r v r + v θθ =, 3.5 Problema Interno a um Disco Seja: Ω = {(x, y) R / x + y < ρ } Ω = {(x, y) R / x + y = ρ }. Ω ρ Figura 3.9: Ω e Ω Utilizando coordenadas polares: O problema de Dirichlet fica: Ω = (, ρ) (, π) Ω = {(ρ, θ) / θ π}.

368 368 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE { r v rr + r v r + v θθ =, v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π], (r, θ) Ω Como v = v(r, θ) deve ser periódica de período π, então, v(r, θ) = v(r, θ + π) e deve ser limitada se r +. Logo o problema fica: r v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] (3.5) v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. 3.6 Separação das Variáveis Procuramos soluções não nulas do tipo: u(r, θ) = R(r) Θ(θ).. Primeiramente observamos que R, Θ.. Como v deve ser solução do problema, devemos ter: v r = R Θ u rr = R Θ u θθ = R Θ. 3. A edp de Laplace pode ser reescrita como: 4. Logo: r R Θ + r R Θ + Θ = r R R + r R R = Θ Θ. 5. Do ítem anterior obtemos: r R R + r R R = Θ Θ = p, p R. { () r R + r R p R =, < r < ρ () Θ + p Θ =, < θ < π.

369 3.6. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS Se p =, de () temos que Θ =, logo Θ(θ) = A θ + B. Como Θ deve ser periódica, então A =. Por outro lado, de () temos: r R + r R =, que é equivalente a r ( r R ) =, logo: ( ) r R =, então r R = C, e R = C r ; então R(r) = C ln(r) + D; como v deve ser limitada, então C = e obtemos a solução: u (r, θ) = a. 7. Se p < as soluções são nulas. 8. Se p >, consideremos p = λ ; logo, em () temos um PSL periódico: então, λ n = n e a solução é: { Θ + p Θ =, Θ(θ) = Θ(θ + π); < θ < π Θ n (θ) = a n cos(n θ) + b n sen(n θ). 9. De (), obtemos: r R + r R n R = uma edo de Euler com solução R(r) = c n r n + d n r n ; como v deve ser limitada, então d n =, para todo n N, e: R n (r) = c n r n.. Logo, obtemos para cada n N: v n (r, θ) = r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ].

370 37 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE. É imediato que v n = v n (r, θ) são de classe C e são soluções da edp de Laplace em Ω para cada n N.. Pelo princípio de superposição, a solução formal do problema é: 3. Por outro lado, v(r, θ) = a + r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ]. (3.6) n= f(θ) = v(ρ, θ) = a + ρ [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ]. n= 4. Se, por exemplo, f for diferenciável por partes, teremos convergência uniforme da solução (3.6). É possível provar, com hipóteses mais fracas, a convergência da solução (3.6). 5. Nestes casos, teremos que ter: a = π a n = ρ n π b n = ρ n π 3.7 Estudo da Solução π π π f(θ) dθ, f(θ) cos(n θ) dθ, f(θ) sen(n θ) dθ,. Note que (3.6) converge uniformemente se r < ρ, pois: e a série geométrica: converge se r < ρ. De fato: a n c ρ n e b n c ρ n ( ) n r ρ

371 3.7. ESTUDO DA SOLUÇÃO 37 v r n [ a n + b n ] ( ) n r. ρ Pelo mesmo argumento, v define uma função contínua em Ω, pois basta verificar que (3.6) converge uniformemente se r r e r < ρ e a série : converge se r r. ( ) n r ρ. Para ver que (3.6) define uma função em C ( Ω ), devemos verificar que as séries obtidas derivando termo a termo (3.6), convergem uniformemente para r r se r < ρ. e a série correspondente converge. v n r = [ n r n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ] n r n [ a n + b n ] c ( ) n r ρ n. ρ 3. É possível mostrar que as séries formadas pelas segundas derivadas também convergem. 4. Claramente v = v(r, θ) é harmônica em Ω. 5. Para r =, de (3.6), temos: v(, θ) = a = π π f(θ) dθ, isto é, uma função harmônica v definida em Ω tem o valor no centro igual à média de v sobre Ω. Teorema 3.3. Se f for contínua e tal que f() = f( π), então (3.6) define uma função harmônica no disco tal que: lim v(r, θ) = f(θ ). (r,θ) (ρ,θ )

372 37 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE Corolário 3.. Considere problema de Dirichlet: r v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. Se f for contínua em Ω, então: v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], n= onde a = π a n = ρ n π b n = ρ n π π π π f(θ) dθ, f(θ) cos(n θ) dθ, f(θ) sen(n θ) dθ, O valor de v no centro do disco é a média dos valores de v no bordo. Como isto é válido para qualquer disco centrado na origem de raio r < ρ, temos que o valor de uma função harmônica numa região U, num ponto arbitrário, é igual a média dos valores da função sobre qualquer disco centrado no ponto em questão, contido em U. Exemplo 3.3. Ache as solução de: r v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(, θ) = + 3 sen(θ), θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. Temos:

373 3.8. NÚCLEO DE POISSON 373 a = π a n = n π b n = n π b = π π π π π ( + 3 sen(θ) dθ =, ( + 3 sen(θ)) cos(n θ) dθ =, para todo n ( + 3 sen(θ)) sen(n θ) dθ =, para todo n ( + 3 sen(θ)) sen(θ) dθ = 3. Logo: v(r, θ) = + 3 r sen(θ) Figura 3.: Gráficos de v(, θ) e v(r, θ) para diversos r >, respectivamente 3.8 Núcleo de Poisson Observe que:

374 374 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE r n[ a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ] n= = n= [ r n π π ] f(ω) cos(n ω) dω cos(n θ) + sen(n ω) dω sen(n θ) ρ n π Logo: = π n= ( ) n r π f(ω) [ cos(n ω) cos(n θ) + sen(n ω) sen(n θ) ] dω. ρ v(r, θ) = π π [ f(ω) + n= ( ) n r cos(n (θ ω))] dω. ρ É possível verificar que: v(r, θ) = π π ρ r f(ω) dω. ρ + r rρ cos(θ ω) Esta forma da solução do problema é dita fórmula de Poisson. A função: P (r, θ) = [ ] ρ r, (r, θ) [, ρ) [, π]. π ρ + r rρ cos(θ) é chamada núcleo de Poisson. Então: A função P = P (r, θ) é par. v(r, θ) = π P (r, θ ω) f(ω) dω. Se f(θ) =, então de (3.6), temos que v(r, θ) =, se ρ <. Logo, do ítem anterior: π P (r, θ ω) dω =. f é contínua em [, π]; logo atinge seu máximo e para todo ε > existe δ = δ(ε) tal que θ ω < δ implica f(θ) f(ω) < ε. É possível verificar que: onde M e o valor máximo de f em [, π]. u(r, θ) f(θ) ε ( + M),

375 3.9. PROBLEMA EXTERNO A UM DISCO 375 Teorema 3.4. Existe uma única função harmônica v = v(r, θ), (r, θ) Ω tal que se f é contínua e v(ρ, θ) = f(θ), então: ou: v(r, θ) = π π ρ r f(ω) dω ρ + r rρ cos(θ ω) v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], n= onde a, a n e b n são os coeficientes de Fourier de f. 3.9 Problema Externo a um Disco Considere o problema: { u =, em R Ω u Ω = f. Ω Figura 3.: Região Ω Neste problema, estamos estudando a edp de Laplace numa placa infinita que possui um buraco. Note que este problema e o anterior, possuem a mesma fronteira. Como v(r, θ) = v(r, θ + π) e v(r, θ) deve ser limitada quando r +, o problema fica: r v rr + r v r + v θθ =, ρ < r, θ (, π) v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. (3.7)

376 376 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE 3. Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis no disco, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B ln(r), se n = C r n + D r n, se n =,,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =,,... Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H = e deve ser limitada quando r + ; então B = C = ; logo, obtemos: onde v(r, θ) = a + r [ n a n cos(n θ) + b n sen(n θ) ], n= a = π π f(θ) dθ, a n = ρn π π f(θ) cos(n θ) dθ, b n = ρn π π f(θ) sen(n θ) dθ, De forma análoga a do problema interno: a n c ρ n, b n c ρ n v r n [ a n + b n ] c [ ] n ρ. r E a série correspondente converge se ρ < r. As soluções obtidas são clássicas. Também é possível mostrar que: v(r, θ) = π π ρ f(ω) dω. ρ cos(θ ω) + ρ

377 3.. PROBLEMA NUM SEMI-DISCO 377 Exemplo 3.4. Ache as solução de: r v rr + r v r + v θθ =, < r, θ (, π) v(, θ) = cos(4 θ), θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. Temos: Logo: a = π a n = n π b n = n π a 4 = 4 π π π π π cos(4 θ) dθ =, cos(4 θ) cos(n θ) dθ =, para todo n 4 cos(4 θ) sen(n θ) dθ =, cos (4 θ) dθ = 6. para todo n v(r, θ) = 6 cos(4 θ). r Figura 3.: Gráficos de v(r, θ) para diversos r 3. Problema num Semi-disco Seja Ω = (, ρ) (, π) e consideremos o problema de Dirichlet:

378 378 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE { u =, em Ω u Ω = f. ρ Figura 3.3: Ω e Ω ρ Este problema é diferente dos anteriores, pois a fronteira é união de dois conjuntos: Ω = {(r, ) / r [ ρ, ρ]} {(ρ, θ) / θ [, π]}. Considere o problema de Dirichlet: r v rr + r v r + v θθ =, < r < ρ, θ (, π) v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] v(r, ) = v(r, π) =, r [, ρ]. (3.8) Note que f() = f(π) = e v(r, θ) deve ser periódica e limitada se r Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B ln(r), se n = C r n + D r n, se n =,,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =,,...

379 3.. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 379 Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H =, deve ser limitada quando r + e como v(r, ) = v(r, π) =, então: logo, obtemos: onde A = B = D = E = F = ; v(r, θ) = b n = ρ n π b n r n sen(n θ), n= π f(θ) sen(n θ) dθ. Analogamente aos casos anteriores, v é uma solução clássica análoga às anteriores. Exemplo 3.5. Ache as solução de: r v rr + r v r + v θθ =, < r <, θ (, π) v(, θ) = sen( θ) cos(3 θ), θ [, π] v(r, ) = v(r, π) =, r [, ]. Como: sen( θ) cos(3 θ) = [ ] sen(5 θ) sen(θ), temos: Logo: b n =, para todo n, 5 b = π [ ] sen(5 θ) sen(θ) sen(θ) dθ = π b 5 = π [ ] sen(5 θ) sen(θ) sen(5 θ) dθ = π. v(r, θ) = [ r sen(θ) r 5 sen(5 θ) ].

380 38 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE Figura 3.4: Gráficos de v(., θ) e v(.9, θ), respectivamente 3.3 Problema de Dirichlet para Anéis Uma extensão natural do problema de Dirichlet para discos é o problema num anel: Ω ρ ρ Figura 3.5: Ω e Ω Sejam Ω = (ρ, ρ ) (, π) Ω = {(ρ, θ), θ [, π]} Ω = {(ρ, θ), θ [, π]} Ω = Ω Ω. Consideremos o problema de Dirichlet:

381 3.4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 38 r v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] v(ρ, θ) = g(θ), θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. 3.4 Separação das Variáveis Lembremos que quando separamos as variáveis no problema no disco, obtivemos: R n (r) = Θ n (θ) = { A + B ln(r), se n = C r n + D r n, se n =,,... { H θ + E, se n = F cos(n θ) + G sen(n θ), se n =,,... Como v = v(r, θ) deve ser periódica, então H = ; logo, obtemos: [( u(r, θ) = a + b ln(r) + an r n + b n r n) cos(n θ) + ( c n r n + d n r n) sen(n θ) ]. n= Como antes, exigimos continuidade de f e g, e obtemos:

382 38 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE a + b ln(ρ ) = π π f(θ) dθ, a n ρ n + b n ρ n = π π f(θ) cos(n θ) dθ, c n ρ n + d n ρ n = π a + b ln(ρ ) = π π π f(θ) sen(n θ) dθ, g(θ) dθ, a n ρ n + b n ρ n = π π g(θ) cos(n θ) dθ, c n ρ n + d n ρ n = π π g(θ) sen(n θ) dθ. Exemplo 3.6. Ache a solução de: r v rr + r v r + v θθ =, (r, θ) Ω v(, θ) = sen (θ), θ [, π] v(, θ) =, θ [, π] v(r, θ) = v(r, θ + π), (r, θ) Ω. Temos:

383 3.4. SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 383 () a + b ln() = π () a + b ln() =, π sen (θ) dθ =, (3) a n + b n = π π sen (θ) cos(n θ) dθ = n, n = (4) a n n + b n n =, (5) c n + d n = π π sen (θ) sen(n θ) dθ =, De () e (), temos: (6) c n n + d n n =. a = e b = ln() ; de (5) e (6) temos: c n = d n =, para todo n N e de (3) e (4): a n = b n =, n ; a = 3 e Então, a solução é: b = 8 5. v(r, θ) = ln() ln(r) + [ ] r 5 8 r cos( θ).

384 384 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE Figura 3.6: Gráficos de v(r, θ) para diversos r

385 3.5. EXERCÍCIOS Exercícios. Considere a edp de Laplace e ache a solução formal dos seguintes problemas: (a) (b) (c) (d) (e) (f) u(, y) = u(a, y) =, y [, b] u(x, ) = f (x), x [, a] u(x, b) =, x [, a] u(, y) = u(a, y) =, y [, b] u(x, ) =, x [, a] u(x, b) = f (x), x [, a] u(, y) = g (y), y [, b] u(a, y) =, y [, b] u(x, ) = u(x, b) =, x [, a] { u(, y) = u(π, y) = u(x, ) =, x, y [, π] u(x, ) = x, x [, π] { u(, y) = u(x, ) = u(x, ) =, x, y [, ] u(, y) = y, y [, ] { u x (, y) = u x (, y) = u y (x, ) =, x, y [, ] u(x, ) = x, y [, ] Edp de Laplace em coordenadas polares. Verifique que a edp de Laplace em coordenadas polares é: r u rr + r u r + u θθ =. 3. Considere a edp de Laplace em coordenadas polares e ache a solução formal dos seguintes problemas: (r, θ) (, { ) (, π) (a) Se se θ < π u(, θ) = T se π θ < π

386 386 CAPÍTULO 3. EQUAÇÃO DE LAPLACE (b) Se { (r, θ) (, ) (, π) u(, θ) = θ θ < π (r, θ) (, { ) (, π) (c) Se se θ < π u(, θ) = se π θ < π (d) (e) (f) { (r, θ) (, ) (, π) u(, θ) = sen(θ) { (r, θ) (, ) (, π) u(, θ) = cos(θ) { (r, θ) (, ) (, π) u(, θ) = sen (θ) θ < π θ < π θ < π 4. { (r, θ) (, ) (, π) u(, θ) = cos (θ) θ < π 5. Ache a solução formal do problema de Dirichlet numa placa semi-circular: r u rr + r u r + u θθ =, (r, θ) (, ρ) (, π) u(r, ) = u(r, π) =, r [, ρ] u(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] 6. Ache a solução formal do problema de Dirichlet no complementar de um disco de raio ρ > :: { r u rr + r u r + u θθ =, (r, θ) (ρ, + ) (, π) u(ρ, θ) = f(θ), θ [, π] 7. Ache a solução formal dos problemas do ítem anterior para: (a) ρ = e u(, θ) = θ (b) ρ = e u(, θ) = sen(θ) (c) ρ = e u(, θ) = cos(θ).

387 Capítulo 4 COMPLEMENTOS DE EDP 4. Introdução Neste capítulo trataremos alguns problemas, um pouco mais gerais, que os estudados nos capítulo anteriores. Estes problemas não somente envolvem variações das edp, como também as condições de fronteira. Em algumas das aplicações ficaremos um pouco longe das séries de Fourier, porém, tentaremos tratá-las de modo análogo ao adotado nos capítulos anteriores, para permitir uma rapida comprenssão do assunto. 4. Equação do Calor As edp s da seguinte forma: u t α u xx + β u x + γ u =, (x, t) Ω onde α, β, γ R, podem ser reduzidas à edp do calor, utilizando a seguinte mudança: u(x, t) = exp(a x + b t) v(x, t), onde v C, a e b são constantes a determinar. De fato: u t = exp(a x + b t) [ ] b v + v t u x = exp(a x + b t) [ ] a v + v x u xx = exp(a x + b t) [ ] a v + a v x + v xx. Logo, a edp: 387

388 388 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP é equivalente a: u t α u xx + β u x + γ u = [ vt α v xx ] + [ β a α ] v x + [ a β + γ + b a α ] v =. Resolvendo o sistema: { a α β = a α a β γ b =, temos que: a = β α e b = β + 4 γ α 4 α. Logo, com estas escolhas, achar as soluções da equação: u t α u xx + β u x + γ u =, é equivalente a determinar as soluções da edp do calor: v t = α v xx. 4.3 Aplicação Por exemplo, consideremos o problema do tipo Dirichlet homogêneo: u t α u xx + β u x + γ u =, se (x, t) Ω u(, t) = u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. As condições de contorno e iniciais do problema ficam: = u(, t) = exp(b t) v(, t) = v(, t) = = u(l, t) = exp(a l + b t) v(l, t) = v(l, t) = u(x, ) = f(x) = v(x, ) = e a x f(x). Logo, obtemos o sistema: v t α v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(l, t) =, t v(x, ) = e a x f(x), se x [, l].

389 4.3. APLICAÇÃO 389 Analogamente com as outras condições de contorno estudadas. Exemplo 4.. [] Considere o problema: u t u xx + u =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = sen( π x), se x [, ]. Como α =, β = e γ =, temos a = e b = e: v t v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = sen( π x), se x [, ]. A solução do sistema é: v(x, t) = b n sen ( n π x ) exp ( n π t ), n= onde: b n = { se n se n = ; logo: v(x, t) = sen( π x) exp( 4 π t). A solução do problema é: u(x, t) = e t v(x, t) = sen( π x) exp( (4 π + ) t)

390 39 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP - Figura 4.: u = u(x, t) para diferentes t [] Considere o problema: u t u xx + 4 u x =, se (x, t) Ω u(, t) = u(, t) =, t u(x, ) = sen(π x), se x [, ]. Como α =, β = 4 e γ =, temos a = e b = 4 e: v t v xx =, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = e x sen(π x), se x [, ]. A solução do sistema é: onde: v(x, t) = b n sen ( n π x ) exp ( n π t ), n= b n = = e x sen(π x) sen(n π x) dx 8 n π (( ) n + e ) e (6 + 8 (n + ) π + (n ) π 4 ). Logo, como u(x, t) = exp( x 4 t) v(x, t), temos: u(x, t) = e x n= K(n) sen(n π x) exp( (n π + 4) t)

391 4.4. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR 39 onde: K(n) = 8 (( ) n + e ) n π (n + ) π + (n ) π 4 Figura 4.: u = u(x, t) para diferentes t 4.4 Perturbação da Equação do Calor Considere o problema do calor, onde a edp foi pertubada por uma função h C (, l ) : u t = α u xx + h(x), se (x, t) Ω u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. (4.) A função h = h(x), em geral, representa uma fonte ou uma perda de calor se h(x) > ou h(x) <, respectivamente. A fonte só depende do comprimento da barra. A função h = h(x) é conhecida na literatura como steady forcing, isto é, fonte estacionária. Consideremos soluções do sistema (4.) da forma: onde U C, então: u(x, t) = v(x, t) + U(x), v t = u t = α u xx + h(x) = α ( v xx + U (x) ) + h(x) = α v xx + α U (x) + h(x).

392 39 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Se U = U(x), satisfaz: α U (x) + h(x) =, teremos: v t = α v xx. Por outro lado: u(, t) = v(, t) + U() = T u(l, t) = v(l, t) + U(l) = T u(x, ) = v(x, ) + U(x) = f(x). Se U = U(x) é solução do PSL: α U (x) + h(x) =, x (, l) U() = T U(l) = T. Então: U(x) = T + (T T ) x + l + x l [ l α η Assim, obtemos um problema já estudado: Logo, a solução do sistema (4.) é: ] h(y) dy dη v t = α v xx, se (x, t) Ω v(, t) =, t v(l, t) =, t x v(x, ) = f(x) U(x), se x [, l], [ η ] h(y) dy dη. α u(x, t) = v(x, t)+t + (T T ) x + l + x l [ η ] h(y) dy dη l α x [ η ] h(y) dy dη. α

393 4.4. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CALOR 393 Exemplo 4.. [] Considere o problema: u t = α u xx + r, se (x, t) Ω, r R u(, t) = T, t u(l, t) = T, t u(x, ) = f(x), se x [, l]. h(x) = r é constante; logo: e: U(x) = T + (T T ) x l v t = α v xx, se (x, t) Ω v(, t) =, t v(l, t) =, t + r α ( l x x ). v(x, ) = f(x) U(x), se x [, l], Sabemos que este problema tem como solução: onde: v(x, t) = n= b n sen ( n π x l [ ] ) ( α n π exp t ). l b n = l A solução do problema é: l [ ] (n π x) f(x) U(x) sen dx, n N. l u(x, t) = T + (T T ) x + r ( ) l x x + l α + b n sen ( [ ] n π x) ( α n π exp t ). l l n= Por exemplo: u t = u xx +, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = x, se x [, ].

394 394 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Temos que U(x) = 3 x x, b n = e : b n = ( n ) 3 π, 3 para todo n N. A solução do problema é: u(x, t) = 3 x x n= ( n ) 3 π 3 sen( ( n ) π x ) exp ( ( n ) π t ). Figura 4.3: u = u(x, t) para diferentes t [] Considere u t = u xx + e x, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) = x, se x [, ], Como T =, T =, h(x) = e x e l =, temos que U(x) = e x + e x e: b n = [ x + e x e x ] sen(n π x) dx = e ( )n n π (n π + ). Logo: u(x, t) = e x + e x + [ n= e ( ) n n π (n π + ) ] sen(n π x) exp( n π t).

395 4.5. EDP DO CALOR: CASO GERAL Figura 4.4: u = u(x, t) para diferentes t 4.5 Edp do Calor: Caso Geral Considere: u t = α u xx + H(x, t), se (x, t) Ω u(, t) = p(t), t u(l, t) = q(t) t u(x, ) = F (x), se x [, l], (4.) onde H C (Ω) e p, q C ([, + )). A função H = H(x, t) é conhecida na literatura como transient forcing ; isto é, fonte transitória. Utilizaremos uma analogia para achar uma solução de (4.). Seguindo o caso homogêneo, suponha que (4.) tem solução do tipo: u(x, t) = v(x, t) + U(x, t), onde: U(x, t) = p(t) + x l [q(t) p(t)]. Note que U = U(x, t) não é, necessariamente, solução da edp do calor. Observe que,

396 396 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP U(, t) = p(t) U(l, t) = q(t) U xx = v t = u t U t v xx = u xx, então: v t α v xx = H(x, t) U t. Por outro lado, as condições de fronterira e iniciais: v(, t) = u(, t) U(, t) = v(l, t) = u(l, t) U(l, t) = v(x, ) = F (x) U(x, ). Denotemos h(x, t) = H(x, t) U t (x, t) e f(x) = F (x) U(x, ). Logo, obtemos o sistema: v t = α v xx + h(x, t), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(l, t) =, t v(x, ) = f(x), se x [, l]. Logo, a solução de (4.) é do tipo: u(x, t) = p(t) + x l [q(t) p(t)] + v(x, t). 4.6 Solução do Sistema Considere: u t = α u xx + h(x, t), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l], (4.3) Novamente, utilizaremos uma analogia para achar uma solução de (4.3). Seguindo o caso homogêneo, suponha que (4.3) tem solução do tipo:

397 4.6. SOLUÇÃO DO SISTEMA 397 u(x, t) = w n (t) sen ( λ n x ), n= onde λ n = n π e as funções w n = w n (t) devem ser determinadas. l Também vamos supor, que para cada t, a função h, tem a seguinte representação em série de funções: h(x, t) = onde as funções h n = h n (t) são tais que: h n (t) sen ( λ n x ), n= h n (t) = l l h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N, e que a função f está nas condições de Fourier: f(x) = tal que: c n sen ( λ n x ), n= c n = l l f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Nós também vamos supor que todas as séries de funções envolvidas convergem uniformemente. Então, substituindo em (4.3), obtemos: n= n= [w n + k n w n h n ] sen ( λ n x ) = [w n () c n ] sen ( λ n x ) =, onde k n = λ n α. Multiplicando ambos os lados por sen ( λ m x ) e integrando entre x = e x = l, por ortogonalidade, obtemos o PVI linear: { w n + k n w n = h n (t) que tem solução: w n () = c n, n N.

398 398 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP w n (t) = c n exp(k n t) + Logo, a solução de (4.3) é: t exp(k n (t z)) h n (z) dz. tal que: u(x, t) = c n exp(k n t) sen(λ n x)+ n= + [ t n= ] exp(k n (t z)) h n (z) dz sen(λ n x), h n (t) = l c n = l l l h(x, t) sen ( λ n x ) dx f(x) sen ( λ n x ) dx, n N. Se h(x, t) = para todo (x, t) Ω, temos o resultado homogêneo. Exemplo 4.3. [] Considere o problema: u t = u xx + t sen(x), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(π, t) =, t u(x, ) = sen( x), se x [, π]. Logo, temos k n = n, l = π e: { se n = c n = outro caso e h n (t) = { t se n = outro caso. Então: e: t z exp(t z) dz = + e t t t, u(x, t) = exp( t) sen( x) + [ + exp(t) t t ] sen(x).

399 4.6. SOLUÇÃO DO SISTEMA Figura 4.5: u = u(x, t) para diferentes t [] Considere o problema: u t = u xx + sen(3 x) exp( t) [x + sen(π x)], u(, t) = exp( t), t se (x, t) Ω u(, t) =, t u(x, ) = x +, se x [, ]. Então: U(x, t) = exp( t) ( x) + x U t (x, t) = exp( t) (x ) f(x) = h(x, t) = exp( t) sen(π x). A solução do problema é do tipo: u(x, t) = exp( t) ( x) + x + v(x, t), onde v = v(x, t) é a solução do seguinte sistema: v t = α u xx + exp( t) sen(π x), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(l, t) =, t v(x, ) =, se x [, ], Logo: k n = n π, c n = para todo n e:

400 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro lado: h n (t) = { exp( t) se n = outro caso. e: t exp(π (t z)) exp( z) dz = exp(3 t) t exp( 4 z) dz = [exp(π t) exp( t)], π + v(x, t) = [exp(π t) exp( t)] sen(π x). π + Finalmente: u(x, t) = exp( t) ( x) + x + [exp(π t) exp( t)] sen(π x). π + Figura 4.6: u = u(x, t) para diferentes t 4.7 Calor numa Barra Infinita Considere o sistema: { v t = ε v xx, (x, t) Ω v(x, ) = g(x), se x R,

401 4.7. CALOR NUMA BARRA INFINITA 4 Fazendo a separação das variáveis e observando que somente temos condições iniciais; obtemos: { X + λ X = ; < x < + T + ε λ T = ; t > e as soluções das edo s, são: { X(x, λ) = A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) T (t, λ) = exp ( ε λ t). Como o paramêtro λ é tal que < λ < + ; então, a combinção linear da solução é do tipo: Como: v(x, t) = + [ A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) ] exp ( ε λ t) dλ. f(x) = v(x, ) = + [ A(λ) cos(λ x) + B(λ) sen(λ x) ] dλ, pelos mesmos argumentos utilizados nos capítulos anteriores, temos que: Logo: onde: v(x, t) = c π + A(λ) = π B(λ) = π + + g(x) cos(λ x) dx g(x) sen(λ x) dx [ ] Ψ (λ, ψ) cos(λ x) + Ψ (λ, ψ) sen(λ x) exp ( ε λ t) dλ. Ψ (λ, ψ) = + g(ψ) cos(ψ λ) dψ e Ψ (λ, ψ) = + g(ψ) sen(ψ λ) dψ. Utilizando que cos(λ ψ) cos(λ x) + sen(λ ψ) sen(λ x) = cos(ψ x), temos: v(x, t) = c + [ + ] g(ψ) cos(ψ x) dψ exp ( ε λ t) dλ. π Se for possível mudar a ordem de integração, obtemos:

402 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP v(x, t) = c π + [ + g(ψ) cos(ψ x) exp ( ] ε λ t) dλ dψ. Utilizando integração complexa, é possível verificar que: Em resumo, o sistema: tem como solução: v(x, t) = + g(ψ) exp ( 4 π ε t { v t = ε v xx, (x, t) Ω v(x, ) = g(x), se x R, (x ψ) ) dψ. 4 ε t v(x, t) = + g(ψ) exp ( 4 π ε t (x ψ) ) dψ. 4 ε t Exemplo 4.4. [] O sistema: { v t = v xx, (x, t) Ω v(x, ) = e x, se x R, tem como solução: v(x, t) = + e ψ exp ( 4 π t (x ψ) ) dψ = e t x. 4 t Figura 4.7: Gráfico de v = v(x, t), para diferentes t

403 4.8. EDP DE BURGERS 43 [] O sistema: { v t = v xx, (x, t) Ω v(x, ) = x (x 4), se x R, tem como solução: v(x, t) = + (ψ 3 4 ψ) exp ( 4 π t (x ψ) ) dψ = x (x + 6 t 4). 4 t Figura 4.8: Gráfico de v = v(x, t), para diferentes t 4.8 Edp de Burgers Consideremos o modelo não linear de turbulencia, com um termo dissipativo, proposto por Burgers no ano de 948: onde ε >. Exemplo 4.5. [] Claramente: u t + u u x ε u xx =, u(x, t) = (5 + t + x) 4 + t + x é uma solução da edp de Burgers para ε = ; note que u(x, ) = (x + 5) x + 4 :

404 44 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 4.9: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t [] Também u(x, t) = + exp( (x + t)) note que u(x, ) = + e : x é uma solução da edp de Burgers para ε = ; -4 4 Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t No ano de 95, E. Hopf e J. Cole, independentemente, apresentaram a seguinte mudança de variável, para linearizar a edp de Burgers: u(x, t) = ε v x(x, t), v(x, t) se v(x, t) é limitada quando x ±. De fato:

405 4.8. EDP DE BURGERS 45 [ vxt u t = ε v v ] x v t v [ ] vxx u x = ε v v x v u xx = ε [ vxxx v 3 v x v xx v + ] v3 x v 3 Logo, a edp de Burgers fica: v x v [ ε vxx v t ] [ ε vxx v t ] x =. Se v = v(x, t) satisfaz a edp do calor, a u = u(x, t) obtida pela mudança de variável, é solução da edp de Burgers. Seja Ω = R (, + ) e consideremos o sistema: { u t + u u x ε u xx =, u(x, ) = f(x), se x R, tal que f seja integrável em R. Fazendo a mudança: u(x, t) = ε v x(x, t), v(x, t) (x, t) Ω sendo v(x, t) limitada quando x ±, consideremos a edo: que tem como solução: v x (x, ) = f(x) v(x, ), ε v(x, ) = c exp ( ε x f(s) ds ), onde c é um constante arbitrária. Denotando v(x, ) = c g(x), obtemos um problema de calor numa barra de comprimento infinito: { v t = ε v xx, (x, t) Ω que possui solução: v(x, ) = c g(x), se x R, v(x, t) = c + g(ψ) exp ( 4 π ε t (x ψ) ) dψ. 4 ε t

406 46 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro lado: v x (x, t) = c + 4 π ε t g(ψ) (x ψ) ε t exp ( (x ψ) ) dψ. 4 ε t Finalmente: u(x, t) = t + + g(ψ) (x ψ) G(x ψ, t, ε) dψ. g(ψ) G(x ψ, t, ε) dψ onde G(x, t, ε) = exp ( x ). Note que a solução não depende de c. 4 ε t Exemplo 4.6. Considere: u t + u u x u xx =, (x, t) Ω u(x, ) = 4 x, se x R, x + Como, ε =, G(x ψ, t, ) = exp ( (x ψ) ) e g(ψ) = ψ +, temos: 4 t t + + g(ψ) (x ψ) G(x ψ, t, ε) dψ = 8 π t x g(ψ) G(x ψ, t, ε) dψ = π t (x + t + ). Logo: 4 x u(x, t) = x + t +.

407 4.9. EQUAÇÃO DA ONDA Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t 4.9 Equação da Onda As edp s da seguinte forma: u tt + α u xx + β u xt =, (x, t) Ω, onde α, β R, podem ser reduzidas a edp da onda, utilizando a seguinte mudança: { ψ = x + a t η = x + b t, onde a e b são constantes a determinar. De fato: u tt = a u ψψ + a b u ψη + b u ηη u xx = u ψψ + u ψη + u ηη u xt = a u ψψ + (a + b) u ψη + b u ηη Logo, a edp u tt + α u xx + β u xt =, nas novas variáveis fica: [a + β a + α] u ψψ + [b + β b + α] u ηη + [ a b + α + β (a + b)] u ψη =. Se a e b são soluções de: { a + β a + α = b + β b + α =, a edp inicial fica:

408 48 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP u ψη =, e a solução desta edp, nas novas variáveis é a solução de d Alembert. De fato: u(x, t) = F (x + a t) + G(x + b t). 4. Aplicação Considere o sistema: u tt + α u xx + β u xt =, u(x, ) = f(x), x R u t (x, ) = g(x), x R. (x, t) Ω Então: { f(x) = u(x, ) = F (x) + G(x) g(x) = u t (x, ) = a F (x) + b G (x), logo: a F (x) + b G(x) = e consideramos o seguinte sistema: x F (x) + G(x) = f(x) a F (x) + b G(x) = que tem solução: x g(s) ds, g(s) ds, F (x) = [ b f(x) + a b x ] g(s) ds e G(x) = [ a f(x) a b Como a solução procurada é do tipo: x ] g(s) ds.

409 4.. APLICAÇÃO 49 u(x, t) = F (x + a t) + G(x + b t), temos que a solução é: u(x, t) = [ a f(x + b t) b f(x + a t) + a b tal que a b. Exemplo 4.7. [] Considere o sistema: u tt + u xx + 3 u xt =, u(x, ) = x +, x R u t (x, ) =, x R. (x, t) Ω x+at x+bt ] g(s) ds, Como α =, β = 3, g(x) = e f(x) =, temos que a = e b =, logo: x + a a f(x + b t) b f(x + a t) = (x + b t) + b (x + a t) + e: a=, b= então: a b [a f(x + b t) b f(x + a t)] = + (x t) + (x t), u(x, t) = + (x t) + (x t). - 4 Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

410 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP [] Considere o sistema: u tt + 4 u xx 5 u xt =, (x, t) Ω u(x, ) = sen(π x), x R u t (x, ) = x, x R. Como α = 4, β = 5, f(x) = sen(π x) e g(x) = x, temos que a = 4 e b =, logo: e: Logo: a f(x + b t) b f(x + a t) = [a sen(π (x + b t)) b sen(π (x + a t)) a=4, b= a b [a f(x + b t) b f(x + a t)] = [4 sen(π (x + t)) sen(π (x + 4 t))] 3 a b x s ds = 3 (a b) [(x + a t)3 (x + b t) 3 ] = 9 [(x + t)3 (x + 4 t) 3 ] = 7 t t x + t x. a=4, b= a=4, b= u(x, t) = 3 [4 sen(π (x + t)) sen(π (x + 4 t)) + t3 + 5 t x + 3 t x ] Figura 4.3: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

411 4.. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA 4 Figura 4.4: Gráfico de u = u(x, t) 4. Perturbação da Equação da Onda O problema da evolução da onda quando existem forças externas que só dependem do comprimento da corda é dado por: u tt = c u xx + h(x), se (x, t) Ω u(, t) = A, t u(l, t) = B, t onde h C (, l ). u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l], Analogamente ao que foi feito anteriormente, consideramos soluções do tipo: onde U C, então u(x, t) = v(x, t) + U(x), v tt = u tt = c u xx + h(x) = c ( v xx + U ) + h(x) = c v xx + c U + h(x). Se U = U(x) satisfaz: teremos: c U + h(x) =, v tt = c v xx.

412 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Por outro lado: u(, t) = v(, t) + U() = A u(l, t) = v(l, t) + U(l) = B u(x, ) = v(x, ) + U(x) = f(x) u t (x, ) = v t (x, ) + U(x) = g(x). Se U = U(x) é solução do PSL: c U + h(x) =, x (, l) U() = A U(l) = B, novamente, temos que: U(x) = A + (B A) x l + x l l [ c η ] h(y) dy dη x [ c η ] h(y) dy dη. Assim obtemos o problema conhecido: v tt = c v xx, se (x, t) Ω v(, t) = v(l, t) =, t v(x, ) = f(x) U(x), se x [, l] v t (x, ) = g(x), se x [, l]. Exemplo 4.8. Considere o sistema: Então: e obtemos: u tt = u xx + r, se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) =, t u(x, ) =, se x [, ] u t (x, ) =, se x [, ]. U(x) = r (x x )

413 4.. PERTURBAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA 43 v tt = v xx, se (x, t) Ω v(, t) = v(, t) =, t v(x, ) = U(x), se x [, ] v t (x, ) =, se x [, ], que tem como solução: v(x, t) = a n cos(n π t) sen(n π x), n= onde: a n = r (x x) sen(n π x) dx = (( )n ) n 3 π 3 se n é par a n = 4 outro caso ( n ) 3 π 3 para todo n N, e: v(x, t) = r n= 4 cos(( n ) π t) sen(( n ) π x). ( n ) 3 π3 Finalmente: u(x, t) = r (x x ) r n= 4 cos(( n ) π t) sen(( n ) π x). ( n ) 3 π3

414 44 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 4.5: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t 4. Edp da Onda: Caso Geral O problema da evolução da onda, com extremos móveis, quando existem forças externas H = H(x, t), é dado por: u tt = c u xx + H(x, t), se (x, t) Ω u(, t) = p(t), t u(l, t) = q(t), t u(x, ) = F (x), se x [, l] u t (x, ) = G(x), se x [, l], (4.4) onde H C (Ω) e p, q C ([, + )). Analogamente ao caso do calor, consideramos soluções que podem ser escritas como: onde: u(x, t) = v(x, t) + U(x, t), U(x, t) = p(t) + x l [q(t) p(t)]. Note que U = U(x, t) não é necessariamente solução da edp da onda. Observe que, U(, t) = p(t), U(l, t) = q(t) e U xx =, então: v t c v xx = H(x, t) U t. Por outro lado, as condições de fronterira e iniciais:

415 4.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 45 v(, t) = u(, t) U(, t) = v(l, t) = u(l, t) U(l, t) = v(x, ) = F (x) U(x, ) v t (x, ) = G(x) U t (x, ). Denotando por h(x, t) = H(x, t) U tt (x, t), f(x) = F (x) U(x, ) e g(x) = G(x) U t (x, ). Obtemos o sistema: v tt = c u xx + h(x, t), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(l, t) =, t Logo, a solução de (4.4) é do tipo: v(x, ) = f(x), se x [, l] v t (x, ) = g(x), se x [, l]. u(x, t) = p(t) + x l [q(t) p(t)] + v(x, t). 4.3 Solução do Sistema Consideremos: u tt = c u xx + h(x, t), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(l, t) =, t u(x, ) = f(x), se x [, l] u t (x, ) = g(x), se x [, l]. (4.5) Analogamente ao caso anterior, consideramos soluções que podem ser escritas como a série de funções: onde λ n = n π l supor que: u(x, t) = w n (t) sen ( λ n x ), n= e as funções w n = w n (t) devem ser determinadas. Também vamos h(x, t) = h n (t) sen ( λ n x ), n=

416 46 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP onde as funções h n = h n (t) são tais que: h n (t) = l l e que f e g, satisfazem as condições de Fourier: h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N, logo: f(x) = g(x) = a n sen ( λ n x ) n= b n sen ( λ n x ), n= a n = l l b n = n π c f(x) sen ( λ n x ) dx l g(x) sen(λ n x) dx. Vamos supor que todas as séries de funções envolvidas convergem uniformemente. Então, substituindo em (4.5), obtemos: n= n= n= [ ] w n + λ n c w n h n (t) sen ( k n x ) = [w n () a n ] sen ( k n x ) = [w n() b n ] sen ( k n x ) = onde k n = λ n c. Multiplicando ambos os lados por sen( k m x ) e integrando entre x = e x = l, por ortogonalidade, obtemos o PVI linear: que tem solução: w n + λ n w n = h n (t) w n () = a n w n() = b n, n N, w n (t) = a n cos(λ n t) + b n sen(λ n t) + t h n (z) sen(λ n (t z)) dz. λ n

417 4.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 47 Logo, a solução de (4.5) é: tal que: u(x, t) = n= [ a n cos(λ n t) + b n sen(λ n t)+ + λ n t ] h n (z) sen(λ n (t z)) dz sen(λ n x), a n = l l b n = n π c h n (t) = l f(x) sen ( λ n x ) dx l l g(x) sen ( λ n x ) dx h(x, t) sen ( λ n x ) dx, n N. Se h(x, t) = para todo (x, t) Ω, temos o resultado homogêneo. Exemplo 4.9. [] Considere o problema: u tt = u xx + t sen(x), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(π, t) =, t u(x, ) =, se x [, π] u t (x, ) =, se x [, π]. Note que a n = b n =, para todo n N e: { t se n = h n (t) = outro caso. Por outro lado: e a solução do problema é: t h (z) sen(t z) dz = t sen(t), u(x, t) = [ t sen(t) ] sen(x).

418 48 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP 5 3 Figura 4.6: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 4.7: Gráfico de u = u(x, t) [] Considere o problema: u tt = u xx + t sen(π x), se (x, t) Ω u(, t) =, t u(, t) = t, t u(x, ) = sen( π x), se x [, ] u t (x, ) = x + sen(4 π x), se x [, ]. Note que: U(x, t) = x t, h(x, t) = t sen(π x), U t (x, t) = x e U tt (x, t) =, logo, temos o sistema:

419 4.3. SOLUÇÃO DO SISTEMA 49 v tt = v xx + t sen(π x), se (x, t) Ω v(, t) =, t v(, t) =, t v(x, ) = sen( π x), se x [, ] v t (x, ) = sen(4 π x), se x [, ]. tal que: { se n = a n = outro caso, { t se n = h n (t) = outro caso. b n = π se n = 4 outro caso e Por outro lado h (t) = t, e: π t h (z) sen(π(t z)) dz = π 4 [π t + cos(π t)], e a solução é: v(x, t) = cos( π t) sen( π x)+ sen(4 πx) sen(4 π t) + π + π 4 [π t + cos(π t)] sen(π x). Finalmente: u(x, t) = x t + cos( π t) sen( π x)+ sen(4 πx) sen(4 π t) + π + π 4 [π t + cos(π t)] sen(π x).

420 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP - Figura 4.8: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 4.9: Gráfico de u = u(x, t) 4.4 Vibrações Forçadas Considere o problema da onda infinita onde existem forças externas: Não é difícil ver que: u tt c u xx = F (x, t), u(x, ) = f(x) u t (x, ) = g(x) x, t R

421 4.4. VIBRAÇÕES FORÇADAS 4 u (x, t) = c t x+c(t s) x c(t s) F (p, s) ds dp satisfaz a edo da onda não homogênea e u (x, ) = u t (x, ) =. Logo, por linearidade: u(x, t) = [ f(x + c t) + f(x c t) ] + c x+ct x ct g(s) ds+ + c t x+c(t p) x c(t p) F (p, s) ds dp. é solução do problema. Exemplo 4.. [] Considere o problema: u tt u xx = x, x, t R u(x, ) = sen(x) u t (x, ) = cos(x) Como f(x) = sen(x), g(s) = cos(s) e F (x, t) = x, temos que: [ ] f(x + t) + f(x t) = cos(x) sen(t) x+t x t g(s) ds = cos(t) sen(x) t x+t p x t+p s ds dp = x t. A solução é: u(x, t) = sen(x + t) + x t.

422 4 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t) [] Considere u tt u xx = t sen(x), u(x, ) = x sen(4 π x) u t (x, ) = x x, t R Como f(x) = x sen(4 π x), g(x) = x e F (x, t) = t sen(x), temos que:

423 4.4. VIBRAÇÕES FORÇADAS 43 [ ] f(x + t) + f(x t) = [(x t) sen(π (x t) + (x + t) sen(π (x + t))] x+t x t g(s) ds = x t t x+t p x t+p F (p, s) ds dp = [ cos(t) + t ] sen(x). A solução é: u(x, t) = [(x t) sen(π (x t) + (x + t) sen(π (x + t))] + x t+ + [ cos(t) + t ] sen(x) Figura 4.: Gráfico de u = u(x, t), para diferentes t

424 44 CAPÍTULO 4. COMPLEMENTOS DE EDP Figura 4.3: Gráfico de u = u(x, t)

425 Capítulo 5 ESPAÇOS NORMADOS O resultado mais importante da Teoria de Aproximação é o Teorema de Weierstrass: Teorema 5.. (Aproximação de Weierstrass) Seja f : [a, b] R contínua; então existe uma sequência de funções (P n ) n N, onde P n (x) são polinômios, que converge uniformemente para f em [a, b]. Lamentavelmente, o Teorema de Weierstrass não indica o polinômio que melhor aproxima uma função dada. Os polinômios são funções muito boas no sentido de serem de classe C, menos complicadas que as funções elementares, além de ter da Álgebra, milhares de teoremas que podemos aplicar. Ainda assim, é uma tarefa muito díficil, determinar o polinômio que melhor aproxima uma função. Na verdade, veremos que depende muito da função que se deseja aproximar. A Teoria de Aproximação tem diversas aplicações na Matemática, Física, Engenharia entre outras Ciências. Nos próximos capítulos apresentaremos o rudimento de alguns tipos destes polinômios. Neste capítulo estamos interessados, em estudar espaços vetoriais de dimensão infinita e generalizar diversos conceitos estudados anteriormente. Logo, é de se esperar que o leitor destas notas deva ter bom conhecimento de Álgebra Linear dos espaços vetoriais de dimensão finita, conhecimento básico de sequências e séries de funções e as noções de convergência. As notações utilizadas, são as usuais. 5. Produto Interno Denotemos por K = R ou C e V um K-espaço vetorial. Definição 5.. Um produto interno em V, é uma função bilinear, denotada por: <, >: V V K, que satisfaz às seguintes propriedades: 45

426 46 CAPÍTULO 5. ESPAÇOS NORMADOS. < u, u > e < u, u >= se, e somente se u =, para todo u V.. < u, v >= < v, u >, para todo u, v V. 3. < α u + λ v, w >= α < u, w > +λ < v, w >, para todo u, v V e λ, α K. Observação 5.. O número < v, u > denota o complexo conjugado de < v, u >. No caso em que K = R: Exemplo 5.. < u, v >= < v, u >. [] Considere V = K n, u = (u,...,..., u n ) e v = (v,...,..., v n ) V ; então: < u, v >= n u i v i. i= <, > é um produto interno; este produto interno é dito euclidiano. [] Seja V = M n m ( K ) o espaço vetorial das matrizes de ordem n m e entradas em K; para todo A, B V : < A, B >= T r ( A B ), onde B e a matriz adjunta de B e T r ( A ) é o traço da matriz A. Utilizando as propriedades das matrizes, se verifica que <, > é um produto interno. [3] Seja K 3 [x] o espaço vetorial dos polinômios com coeficiente em K, de ordem menor ou igual a 3. Para todo p(x) = a x 3 + b x + c x + d e q(x) = a x 3 + b x + c x + d, definimos: <, > é claramente um produto interno. < p(x), q(x) >= a a + b b + c c + d d. [4] Seja p [, + ); denotemos por l p o espaço vetorial de todas as sequências ( x n )n N tais que x n K e: x n p < +, n= onde é o valor absoluto em K. Se x, y l p, definamos o seguinte produto:

427 5.. ESPAÇOS NORMADOS 47 onde x = ( x n ) < x, y >= x n y n, n= n N, y = ( y n )n N. Segue que <, > é um produto interno em lp. [5] Denotemos por C([a, b]) o espaço vetorial das funções f : [a, b] K contínuas. Para todo f, g C([a, b]), definamos: < f, g >= b a f(x) g(x) dx. Utilizando as propriedades da integral, temos que é um produto interno. Proposição 5.. Seja ( V, <, > ) um K-espaço vetorial com produto interno. Para todo u, v V : < u, v > < u, u > < v, v >. Prova: Sem perda de generalidade, provaremos o caso < u, v > R; caso contrário rotamos o número complexo, multiplicando por e iθ e observando que e iθ =. Se a > e c, a função quadrática f(t) = a t + b t + c é tal que f(t), para todo t R e possui um único ponto de mínimo t = b a ; logo: f( b ) f(t), para todo a t R. Seja f(t) =< u + t v, u + t v >; como f(t), para todo t R e: f(t) =< v, v > t + < u, v > t+ < u, u >, temos que t = < u, v > < v, v > é o único ponto de mínimo, logo: < u, v > f(t ) =< u, u > < v, v >. 5. Espaços Normados Seja V um K-espaço vetorial. Definição 5.. Uma norma sobre V, é uma função denotada por: : V K, que satisfaz às seguintes propriedades:

428 48 CAPÍTULO 5. ESPAÇOS NORMADOS. u e u = se, e somente se u =, para todo u V. α u = α u, para todo u V e α K. 3. Desigualdade Triangular: u + v u + v, u, v V. O par ( V, ) é dito espaço normado. Observação 5.. Dado ( V, <, > ) um K-espaço vetorial com produto interno, sempre podemos definir uma norma. Definição 5.3. Se ( V, <, > ) é um K-espaço vetorial com produto interno, a norma induzida pelo produto interno é definida por: u = < u, u >. A recíproca é falsa. Isto é, nem toda norma num espaço vetorial é induzida por um produto interno. Corolário 5.. Se V é uma espaço normado com a norma induzida, para todo u, v V :. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: < u, v > u v. A igualdade vale se, u e v são linearmente dependentes.. Se Re(z) é a parte real do número complexo z: u + v = u + Re(< u, v >) + v. 3. A desigualdade triangular: u + v u + v.

429 5.. ESPAÇOS NORMADOS Polarização: < u, v >= 4 [ u + v u v ]. Prova: Imediatas. O ítem 3, segue de observar que: u + v = u + Re(< u, v >) + v u + v = u + u v + v = ( u + v ). Definição 5.4. Um espaço normado ( V, ), satisfaz à lei do paralelogramo se, para todo u, v V : u + v + u v = ( u + v ). Observação 5.3. O seguinte teorema nos dá a condição, necessária e suficiente, para que uma norma seja proveniente de um produto interno Teorema 5.. Jordan-Von Neumann Seja o espaço normado V, com norma. A norma é proveniente de um produto interno se, e somente se satisfaz à lei do paralelogramo. Prova: Se u = < u, u >, para todo u, v V, temos que: u + v + u v =< u + v, u + v > + < u v, u v > Recíprocamente, definamos, para todo u, v V : = [ < u, u > + < v, v > ] = ( u + v ). < u, v >= 4 [ u + v u v ]. Fica como exercício, verificar que é um produto interno. Observação 5.4. Se V é um espaço normado, então A V é um conjunto limitado se existe λ K tal que a λ, para todo a A. os números λ e λ são ditos cota inferior e superior de A, respectivamente.

430 43 CAPÍTULO 5. ESPAÇOS NORMADOS Exemplo 5.. [] Sejam V = R n ou C n e p < + ; se u = (u,...,..., u n ) V, definamos a seguinte norma: Esta norma é dita p-norma. [ n u p = i= u i p ] p. Observe que conjunto S n p = {u R n / u p = } é limitado e é a esfera unitária, e p =. Se p, o que se pode afirmar do conjunto S n p? É possível provar que, exceto para p =, a p-norma não pode ser definida através de um produto interno. Se p =, a norma é a euclidiana. Consideremos u = (,,,,..., ) e v = (,,,,..., ) V, então: u + v p = u v p = ( p ) p = e u p = v p = p Logo, a lei do paralelogramo é equivalente a: 8 = 4 p, a qual é válida somente se p =. Para verificar que p é uma norma, necessitamos de algumas observações: Lema 5.. Para todo x, y, então: x α y α α x + y ( α), α (, ). Prova: A desiguladade segue do fato que a função f : (, + ) R definida por f(t) = t α, α (, ) é convexa, isto é, a reta tangente a f em t = fica acima do gráfico de f e fazemos t = x y. De fato, f (t) < e a reta tangente de f em t = é y = + α (t ). Desigualdade de Hölder: Sejam p, q tais que p + q x, y V, tais que x = (x,......, x n ) e y = (y,....., y n ): n [ n x i y i i= i= x i p ] p [ n i= y i q ] q. Suponha que < p, q <. Se x i = ou y i = a desigualdade é trivial. = ; então, para todo n Caso contrário, denote por A = x i p, B = i= B. Apliquemos o lema anterior para α = p, u i e v i : n y i q, u i = x i p A i= e v i = y i q

431 5.. ESPAÇOS NORMADOS 43 u p i v q i u i p + v i q, somando i {,..., n}, temos que: n i= x i y i A p B q n i= [ ui p + v ] i q p + q =. Desigualdade de Minskowski : Com as notações anteriores: Isto é: [ n i= x i + y i p ] p x + y p x p + y p. [ n i= x i p ] p + [ n i= y i p ] p. Basta escrever e aplicar a desigualdade de Hölder, para < p, q < : onde A = n x i + y i p = i= n x i + y i p x i + y i i= n x i + y i p x i + i= A q [ n i= ] x i p p + A q n x i + y i p y i i= [ n i= y i p ] p n [ n x i +y i (p ) q. Finalmente, dividindo a desigualdade por i= i= x i +y i p ] q e utilizando que (p ) q = p e p =, temos a desigualdade de Minskowski: q x + y p x p + y p Note que se < p <, p não é uma norma. De fato, sejam u = (, ) e v = (, ), então: u + v = 4 > u + v = + =. [] Por outro lado, podemos definir em V = K n, a seguinte norma: u = max { u i / i n}.

432 43 CAPÍTULO 5. ESPAÇOS NORMADOS Onde max indica o maior elemento do conjunto { u i / i n}. A norma satisfaz às desigualdades de Hölder e de Minskowski. Note que, se p = e q = : n u i v i max{ v i / i n} i= n u i = u v. i= Fica como exercício, verificar que: lim u p = u. p [3] Seja p [, + ); definimos a seguinte norma em l p : [ ] x p = x n p p. n= Pela monotonicidade da soma e passando ao limite, isto é: temos: Desigualdade de Hölder: n= x n p = lim k k x n p ; n= [ x i y i i= Desigualdade de Minskowski: [ i= x i + y i p ] p i= [ x i p ] p [ i= i= y i q ] q. x i p ] p + [ i= y i p ] p. [4] Seja l, o espaço vetorial de todas as sequências limitadas em K; definimos a seguinte norma: x = sup{ x i / x i R}, onde x = ( x n )n N e sup indica a menor cota superior do conjunto { x i / x R}. A prova que é uma norma é análoga a []. 5.3 Espaços Métricos Seja X um conjunto não vazio.

433 5.3. ESPAÇOS MÉTRICOS 433 Definição 5.5. Uma métrica ou distância em X é uma função d : X X R tal que para todo x, y, z X:. d(x, x) > e d(x, y) = x = y.. d(x, y) = d(y, x). 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) O par (X, d) é dito espaço métrico. Exemplo 5.3. [] Seja C o espaço vetorial das funções f : [a, b] R contínuas. Podemos definir a distância: d(f, g) = onde f é a função valor absoluto. b a f(x) g(x) dx, [] Seja C o espaço vetorial das funções f : [a, b] R contínuas. Podemos definir a distância: d(f, g) = max { f(x) g(x) / x [a, b]}. Observação 5.5. Dado V um espaço normado, sempre podemos definir a distância entre dois elementos de V. Basta definir a distância entre u, v V por: d(u, v) = u v. É imediato, que d é uma métrica sobre V. considerando: Note que podemos recuperar a norma, d(u, ) = u. Porém, nem toda métrica é definida através de uma norma; por exemplo, definamos: { se u = v d(u, v) = se u v. É imediato que d é uma métrica e não existe norma tal que d(u, v) = u v. Todos os exemplos de espaços normados são espaços métricos.

434 434 CAPÍTULO 5. ESPAÇOS NORMADOS 5.4 Exercícios. Prove todas as desigualdades, proposições e teoremas deixados como exercícios.. Sejam (V, <, > ) e (V, <, > ), K-espaços vetoriais com produto interno. Defina (V V, <, >), onde: < (u, v), (x, y) >=< u, x > + < v, y > ; u, x V, v, y V. (a) Verifique se <, > é um produto interno em V V. (b) Defina a norma induzida por <, >, se V = R, < u, x > = u x e V = R com o produtos interno euclidiano. (c) Utilizando o ítem anterior, determine S. 3. Sejam (M, d) um espaço métrico e (x n ) n uma sequência de elementos de M. A sequência (x n ) n, é dita de Cauchy, se ε >, existe N N tal que d(x n, x m ) < ε, para todo n, m > N. Verifique que toda sequência convergente é de Cauchy. A reciproca é válida? 4. Seja V espaço normado com as normas e. As normas são ditas equivalentes se existem a, b > tais que: a x x b x, x V. (a) Seja x K n, x = (x, x,..., x n ). Verifique que as normas x = < x, x >, x = x + x x n e x são equivalentes. (b) Defina e desenhe S em cada espaço normado. 5. Seja V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Verifique que todas a normas definidas em V, são equivalentes. 6. Seja V um K-espaço vetorial com produto interno e A V. Definimos e denotamos o complemento ortogonal de A por: A = {u V / < u, a >=, a A}. (a) Verifique que A. (b) Se A, verifique que A A = {}; caso contrário A A = (c) Verifique se A (A ), quando A = (A ).

435 Capítulo 6 ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES 6. Introdução Seja A R e denotemos por C(A) o conjunto das funções f : A K contínuas sobre A. O conjunto C(A) possui uma estrutura natural de K-espaço vetorial com as seguintes operações: dada f, g C(A) e λ R, então: ( f + g ) (x) = f(x) + g(x) ( λ f ) (x) = λ f(x), para todo x A. Analogamente, definimos: C (A) = {f : A K derivável / f C(A)}, onde, f é a derivada de f. Indutivamente: C n (A) = {f : A K / f (n) C(A)}, onde, f (n) é a derivada de f (n ) ou a n-ésima derivada de f. Denotemos e definamos : C (A) = C n (A). Não é difícil verificar que C n (A) e C (A), são K-espaços vetoriais tais que: C (A) C (A) C (A) C (A), onde C (A) = C(A). Seja A = [a, b] R; então em C ( [a, b] ) definimos o seguinte produto interno: 435 n=

436 436 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES < f, g >= b a f(x) g(x) dx, para todo f, g C ( [a, b] ). A prova de que é um produto interno segue diretamente das definições. Denotemos por: f = [ b < f, f > = é a norma definida pelo produto interno. Em C ( [a, b] ) podemos definir: a ] f(x) dx, f = max{ f(x) / x [a, b]} f = que são normas em C ( [a, b] ). Exemplo 6.. b a f(x) dx [] C n (A) é um espaço normado com a norma: f = n sup{ f (i) (x) / x A}. i= [] Denotemos por C b (A) o espaço vetorial das funções f : A K contínuas e limitadas. C b (A) é um espaço normado com a norma: f = sup{ f(x) / x A}. Então, C b (A) é normado. De fato, se f =, então f(x) =, para todo x A; logo, f =. Note que: λ f(x) = λ f(x) λ f. Logo, λ f é uma cota superior do conjunto { λ f(x) / x A}. Por outro lado, temos que sup{ λ f(x) / x A} λ f e λ f λ f. Se λ =, a propriedade é imediata; suponhamos que λ :

437 6.. INTRODUÇÃO 437 f(x) = λ λ f(x) = λ λ f(x) λ λ f então f λ λ f ; equivalentemente λ f λ f e: λ f = λ f. Sejam f, g C b, então: f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g. Observação 6.. A desigualdade de Hölder, fica: f g f g. Exemplo 6.. [] Para toda f C ( [a, b] ) : f f, e f b a f. A primeira desigualdade é imediata. Na segunda, basta aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz às funções f e. De fato: < f, > f f f [ b a ] dx. Observação 6.. Parece natural estender esta norma para p < + : [ b f p = a f(x) p ] p, porém devemos ter muito cuidado com o tipo de funções em que aplicamos esta generalização. Exemplo 6.3. [] Considere p = e a função integrável em [, ]: { se x = f(x) = se x. Logo, f = f(x) dx = e f não é a função nula.

438 438 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES Observação 6.3. Se as funções não forem contínuas, <, > não é um produto interno. Isto é, se f não é contínua, < f, f >= f = não implica em f =. [] Suponha p e as funções contínuas f(x) = x e: { x se x g(x) = x se x, então: [ ] f + g p = ( x) p p dx = (p + ) p [ f g p = ] x p p dx = (p + ) p f p = g p = Logo, a lei do paralelogramo fica: que só tem solução se p =. [ ] p. p + p =, 6. Ortogonalidade Definição 6.. Seja V um K-espaço vetorial e W V :. Os vetores u, v V são ditos ortogonais se: < u, v >=.. W é dito ortogonal se: < u, v >=, para todo u, v W. 3. W é dito ortonormal se é ortogonal e para todo u W, u =. Proposição 6.. Teorema de Pitágoras: Sejam u, v V ortogonais, então: Prova: Imediata. u + v = u + v.

439 6.. ORTOGONALIDADE 439 Exemplo 6.4. [] As funções f(x) = x e g(x) = x são ortogonais em [ a, a] e a >. De fato: a < f, g >= x 3 dx = x4 a 4 =. f =< f, f, >= a3 3 e g =< g, g, >= a5 5, logo x + x = a3 3 + a5 5. a [] As funções f(x) = e x e g(x) = x e x e x são ortogonais em [, ]. De fato: < f, g >= e x (x e x e x ) dx = a (x ) dx =. [3] As funções f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x) são ortogonais em [, π]. De fato: π < f, g >= cos(x) sen (x) dx = sen3 π (x) 3 =. [4] Seja V = K n [x] o espaço vetorial dos polinômios de uma variável x [, ], com coeficientes em K, de grau menor ou igual a n. Utilizando o produto interno, podemos aplicar o processo de Gram-Schmidt para conseguir vetores ortogonais. Considere V = K [x]: = dx = = =. denotemos por e = ; continuando com o processo de Gram-Schmidt: x < x, e > e = x l x dx = x; x = Schmidt: x dx = 3 ; denotemos por e = x ; continuando com o processo de Gram- x x < x, e > e < x, e > e = x 3, x 3 = 8 45, e e = 4 [3 x ]. Logo, o conjunto {, x, x } é ortogonal em V e {, e, e } é ortonormal em V. [5] Seja V = C ( [ l, l] ) o espaço vetorial das funções integráveis em [ l, l], com produto interno denotado por:

440 44 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES f g =< f, g >= l l f(x) g(x) dx, f, g V. O conjunto W = {, Φ n, Ψ n / n N} é ortogonal em V, onde : Φ n (x) = sen(λ n x), Ψ n (x) = cos(λ n x) e λ n = n π, n N, l R l Os elementos de W são linearmente independentes. De fato: Em particular, os conjuntos: são ortogonais em C ( [, l] ). W = {, Ψ n / n N} e W = {Φ n / n N} 6.3 Sequências e Séries As noções de sequência, série, convergência pontual, convergência uniforme e convergência em média continuam válidas para espaços normados. Denotemos por N o conjunto dos números naturais e V um espaço normado. Uma sequência em V é uma função: f : N V. As notações clássicas para sequências são: f(n) = x n, o termo geral da sequência. A sequência é denotada por: ( x n )n N ou (x n). A sequência (x n ) converge para x quando para todo ε > existe n N tal que x n x < ε para todo n > n. Se a sequência converge para x, denotamos: lim x n = x lim x n x = ; n + n + x é dito o limite da sequência. Uma sequência é dita divergente se não converge. Consideremos a sequência ( S n ) n N, onde: S n = n x i. i= Se a sequência ( S n ) n N converge para S V, denotamos x n = x + x + x x n = S. n=

441 6.4. O ESPAÇO L 44 Esta expressão é dita a série infinita com termo geral x n. Em tal caso, dizemos que a série converge para S. Caso contrário, ou seja, se a sequência ( S n ) n N é divergente, a série é dita divergente. Uma série é dita absolutamente convergente se: x n < +. n= Seja V = C(A), A R; consideremos a sequência de funções (f n ) n N, x A; se a sequência de funções ( S n ) n N, onde S n = f + f f n, converge pontualmente para f(x), dizemos que a série de funções converge pontualmente e escrevemos: f n (x) = f(x). n= Se a sequência ( S n (x)) n N converge uniformemente para f(x), dizemos que a série de funções converge uniformemente e escrevemos: f n = f. n= 6.4 O espaço L Seja A K um conjunto compacto. Denotemos por F (A) espaço formado pelas funções f : A K de quadrado integrável. Isto é, f F (A) se, e somente se: f(x) dx < +. Observação 6... Se A K não for compacto as integrais são impróprias. A. Não é difícil verificar que se f, g F (A), temos α f + β g F (A), para todo α, β K. 3. Logo, F (A) é um K-espaço vetorial. 4. Note que C(A) F (A). Consideremos a seguinte relação de equivalência sobre F (A): para todo f, g F (A), definamos: f g f g =.

442 44 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES Observação 6.4. Lembrando que f g = não implica necessáriamente f = g. Em termos mais precisos, f g se, e somente se f(x) = g(x), para todo x D A, onde D é conjunto de conteúdo nulo. Veja [VC]. Definição 6.. Denotamos e definimos o espaço vetorial quociente: L (A) = F (A) /. Proposição 6.. L (A) é um espaço normado com a norma. Prova: Exercício. Se não for relevante o domínio das funções, denotaremos L (A) por L. Proposição 6.3. O espaço L satisfaz às desigualdades de Hölder e Minkowski, Prova: Como no caso l p, as desigualdades seguem do lema 5.. Exemplo 6.5. [] Seja f(x) = { se x < se x. Logo: f = f(x) dx = dx = ; então, f L ([, ]) e f =. [] Seja f(x) = x, x. Logo: f = dx b x = lim dx b x = ; então, f L ([, + )) e f =. [3] Seja f(x) = x, < x. Logo:

443 6.5. O ESPAÇO L W 443 f = dx x = lim dx ε + ε x = ; então, f / L ((, ]). Observação 6.5. O espaço normado L possui inúmeras propriedades interesantes, porém elas ficam fora do contexto destas notas. Mencionamos, o seguinte teorema: Teorema 6.. C(A) é denso en L (A). Isto é, dada f L (A), existe g C(A) tal que, para todo ε > : Prova: Veja a bibliografia. f g < ε. Finalmente, lembremos que se f, g L, o erro médio quadrático entre f e g é E(f, g) = b a f(x) g(x) dx. A sequência ( f n )n N em L converge em média quadrática para uma função f L, se: lim E(f n, f) = lim f n f =. n + n + Se f L é periódica de periódo l, então a série de Fourier S[f] converge em média para f L. 6.5 O espaço L w Nesta seção, generalizaremos a noção de produto interno no espaço normado L. Seja A K um intervalo e w : A K uma função contínua e positiva. Definição 6.3. Denotemos e definamos L w(a), como o espaço das funções f L (A) tal que w f é integrável em A. Com as operações usuais, L w(a) é um K-espaço vetorial. Para todo f, g L w(a), definamos:

444 444 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES < f, g > = A w(x) f(x) g(x) dx [ f = A ] w(x) f(x) dx. Como antes, f, g L w são ortogonais se: < f, g >=. Assim, a ortogonalidade depende de a, b e w. Nas aplicações o conjunto A será (a, b), [a, b] ou (, + ). Observação 6.6. w = w(x) é chamada função peso. Intuitivamente, as funções peso num produto interno, são uma medida da importância de alguns subconjuntos de A, quando se realizam algum tipo de aproximação. Veja o seguinte exemplo: Proposição 6.4. Segue das definições que:. Se w(x), L w(a) = L (A).. L w(a) é um espaço vetorial com produto interno. 3. L w(a) é um espaço vetorial normado. 4. C(A) L w(a). Prova: Exercício. Exemplo 6.6. [] Para x [, ] definamos: U n (x) = sen((n + ) arccos(x)), n. sen(arccos(x)) Observe que U (x) = e U (x) = x. Façamos a seguinte mudança: θ = arccos(x); então: U n (θ) = sen((n + ) θ), θ [, π]. sen(θ)

445 6.5. O ESPAÇO L W 445 Seja: w(x) = x. No sentido explicado acima, a definição de w = w(x) nos diz que não estamos interesados em pontos ao redor da origem e sim quando x aproxima-se de. Se n m < U n (x), U m (x) >= Utilizando a mudança θ = arccos(x), temos: Se n = m: Em geral: < U n (θ), U m (θ) >= U n (θ) = π π < U n (x), U m (x) >= x U n (x) U m (x) dx sen(n θ) sen(m θ) dθ =. sen (n θ) dθ = π { se n m π se n = m. Os polinômios U n (x) são ditos de Chebyshev de segunda espécie: Finalizamos o capítulo, escrevendo o Teorema de Weierstrass na nova linguagem: Teorema 6.. (Aproximação de Weierstrass) Seja f C([a, b]). Para todo ε >, existe um polinômio P = P (x) tal que: f P < ε. Se w C([a, b]) tal que w(x) >, x [a, b], então: f P < ε. Observação 6.7. Existe uma vasta teoria geral dos espaços normados L p w(a). Nós estamos apenas interessados no caso particular de A R e w : A R contínua e positiva.

446 446 CAPÍTULO 6. ESPAÇOS NORMADOS DE FUNÇÕES 6.6 Exercícios. Prove todas as desigualdades, proposições, lemas e teoremas deixados como e- xercícios.. Seja C ([, ]); para todo f C ([, ]), defina: f = sup f(x) + sup f (x). x [,] x [,] (a) Verifique se é uma norma. (b) Calcule x 3, cos(π x) e e x. (c) Determine o produto interno induzido pela norma. (d) Verifique que em C ([, ]) com a norma definida acima, toda sequência de Cauchy é convergênte. ( (e) Defina f = sup f(x) + f (x) ). Verifique se e são equivalentes? x [,] 3. Seja V um K-espaço vetorial com produto interno e (e n ) n uma sequência de elementos ortonormais de V. Verifique que, para todo u V: (a) < e i, u > < +. i= (b) A desigualdade de Bessel: < e i, u > u. i= 4. Seja C([a, b]) com a norma f = sup f(x). Verifique que toda sequência de x [a,b] Cauchy de C([a, b]), converge. 5. Determine uma sequência que pertence a l P, p > e não pertence a l. 6. Seja f L p (R), < p < +. Verifique que g L, onde g(x) = f(x) + x. 7. Determine o complemento ortogonal em L ((, )) dos polinômios quadráticos.

447 Capítulo 7 POLINÔMIOS ORTOGONAIS 7. Introdução Denotemos por K[x] o K-espaço vetorial dos polinômios com coeficientes em K e K n [x] o subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a n. Do Teorema Fundamental da Álgebra, temos que o conjunto dos polinômios: {, x, x, x 3,..., x n,...} forma uma base do espaço vetorial K[x]. O espaço K[x] é um subespaço vetorial de C (K), logo: K[x] C... C L L w. então, podemos restringir a norma e transformar o subespaço K[x] em um espaço normado. Definição 7.. (p n ) n N é uma sequência de polinômios de grau n, se para cada n N, o polinômio p n = p n (x) é de grau n. Logo, qualquer polinômio p(x) L w. Podemos definir: Definição 7.. Seja (p n ) n N uma sequência de polinômios de grau n. A sequência é dita ortogonal relativa à função peso w = w(x), se: { b se n = m, < p n, p m >= w(x) p n (x) p m (x) dx = h n δ nm onde δ nm =, se n m. a. Se h n =, para todo n, a sequência de polinômios é dita ortonormal. 447

448 448 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS. Se o coeficiente principal do polinômio p n (x) é a n =, para todo n, o polinômio é dito mônico. Proposição 7.. Seja {p (x), p (x),.....p n (x)} tais que os poliômios p i (x) são ortogonais mônicos, então:. Os polinômios são linearmente independentes.. Se q(x) é um polinômio de grau n, então: q(x) = n a i p i (x), i= Prova: onde, a i são os coeficentes de Fourier: a i = < p(x), p i(x) >. p i (x). De fato, suponha que =< n α i p i (x) =, α i K, para cada i =,..., n, temos: i n α i p i (x), p j >= i i n α i < p i (x), p j (x) >, logo, α i =, para cada i =,..., n.. Imediata.. Proposição 7.. Existe uma família de polinômios {p (x), p (x),.....p n (x).....} ortogonais. A família é única salvo constantes multiplicativas. Prova: Apliquemos o processo de Gram-Schmidt ao conjunto {, x, x, x 3,..., x n,...} para obter uma base de polinômios ortogonais; escolhemos p (x) = ; seja: p n (x) = x n n i= < p i, x n > p i p i (x). Estes polinômios são claramente, únicos, salvo constantes multiplicativas.

449 7.. INTRODUÇÃO 449 Por exemplo: p (x) = p (x) = x <, x > p (x) = x <, x > = x x dx dx < p, x > p p 3 (x) = x 3 3 x + 3 x 5 + p 4 (x) = x 4 x x 7 x = x p = x x + 6 Corolário 7.. O conjunto {p (x), p (x),..., p n (x)} é uma base ortogonal de K n [x]. Prova: Imediata. Proposição 7.3. A sequência (p n ) n N de polinômios de grau n é ortogonal se, e somente se: b a x k p n (x) w(x) dx =, n, k, k < n. Prova: Suponha que b a Sejam p n (x) e p m (x) tal que m < n, então p m (x) = b a x k p n (x) w(x) dx =, para todo n, k tais que k < n. p n (x) p m (x) w(x) dx = m k= a k b a m a k x k e: k= x k p n (x) w(x) dx =. Recíprocamente, para todo k < n, escrevemos x k = k a i p i (x), logo: i=

450 45 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS b a x k p n (x) w(x) dx = m i= a i b a p n (x) p m (x) w(x) dx =. Proposição 7.4. Dada a sequência (p n ) n N de polinômios ortogonais de grau n, se q(x) é um polinômio de grau k e k < n, então p n (x) e q(x) são ortogonais. Prova: Exercício. Proposição 7.5. Seja (p n ) n N seqência de polinômios ortogonais mônicos de grau n tais que a função peso w( x) = w(x), para todo x A R e A é um intevalo simétrico centrado na origem, então: p n ( x) = ( ) n p n (x), n. Prova: Seja q n (x) = ( ) n p n (x), se n m, então: < q n, q m >= w( x) q n (x) q m (x) dx = ( ) n A A w(x) p n (x) p m (x) dx =. Logo, {q (x), q (x),....., q n (x),...} são ortogonais; pela unicidade e comparando os graus, temos que q n (x) = p n (x). Teorema 7.. Toda sequência (p n ) n N ortogonal de polinômios de grau n, satisfaz à recorrência: x p n (x) = A n p n+ (x) + B n p n (x) + C n p n (x), n > x p (x) = A p (x) + B p (x), onde A n, B n, C n R são tais que A n C n+ >, A n = n p n (x) = a i x i. i= a n a n+, C n+ h n+ = A n h n e Prova: Primeiro observemos o fato geral que < x f, g >=< f, x g >. O polinômio x p n (x) é de grau n +, logo: n+ x p n (x) = α(n, k) p k (x), k=

451 7.. INTRODUÇÃO 45 pela ortogonalidade dos polinômios: α(n, k) = < p k(x), x p n (x) > p k (x) = < x p k(x), p n (x) > p k (x) =, pois o polinômio x p k (x) é de grau k + < n; logo para k < n, temos que os únicos coeficientes não nulos de x p k (x): x p n (x) = α(n, n ) p n (x) + α(n, n) p n (x) + α(n, n + ) p n+ (x), onde, por ortogonalidade: α(n, n ) = < p n(x), x p n (x) > p n (x) α(n, n) = < p n(x), x p n (x) > p n (x) α(n, n + ) = < p n+(x), x p n (x) > p n (x) Definamos A n = α(n, n + ), B n = α(n, n) e C n = α(n, n ) = α(n, n), se n >. Se n =, temos x p (x) = α(, ) p (x) + α(, ) p (x). Exemplo 7.. Os polinômios de Chebychev de segunda espécie, satisfazem: U n+ (x) = x U n (x) U n (x), n. Segue da identidade trigonométrica: sen((n + ) θ) = cos(θ) sen((n + ) θ) sen(n θ). Observação 7.. A recíproca deste resultado é chamada Teorema de Favard cuja prova fica fora do contexto destas notas. Como o anterior, o seguinte também é um teorema clássico desta teoria: Teorema 7.. Se (p n ) n N é uma sequência ortogonal de polinômios de grau n, então cada p n (x) possui n zeros simples em [a, b]. Prova: Se p n (x) não possui zeros em [a, b], por continuidade, p n (x) não muda de sinal em [a, b]; logo < p n, >, o que é uma contradição, pois os polinômios são ortogonais. Pelo Teorema do Valor Médio, temos que existe x (a, b) tal que p n (x ) =.

452 45 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS Se x é uma raiz dupla, consideremos o polinômio r(x) = p n(x) s (x), onde s(x) = x x. O polinômio r(x) é de grau n, logo: =< p n, r >=<, p s > >, contradição. Os zeros são simples. Suponha que existem x, x,..., x k zeros de p n (x) e k < n. Denotemos por q(x) = (x x ) (x x )... (x x k ), logo =< p n, q >= b a w(x) p n (x) q(x) dx, o que é impossível, pois w(x) > e os polinômios p n (x) e q(x) mudam de sinal nos mesmos pontos. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra n = k. 7. Funções Geratrizes Definição 7.3. A função G = G(x, t) é dita função geradora da família de funções {φ i (x) / i }, se possui série de potências em t: G(x, t) = φ n (x) t n. Sabemos que os coeficientes da série de Taylor ao redor de x = é: φ n (x) = [ ] n G(x, t) n! t n Exemplo 7.. [] No intervalo [, ], seja:. t= G(x, t) = = φ n (x) t n. x t + t Os coeficientes da série de Taylor ao redor de x = em [, ] são: φ n (x) = [ ] n n! t n x t + t Donde, φ (x) =, φ (x) = x, φ (x) = (3 x ), φ 3 (x) = (5 x3 3 x), etc. Logo, G(x, t) é a geratriz da família:. t=

453 7.. FUNÇÕES GERATRIZES 453 {, x, (3 x ), (5 x3 3 x),......}. [] No intervalo [, ], seja: G(x, t) = x t + t. Os coeficientes da série de Taylor ao redor de x = em [, ] são: φ n (x) = n! [ n t n x t + t Donde, φ (x) =, φ (x) = x, φ (x) = 4 x, φ 3 (x) = 8 x 3 4 x, etc. Logo, G(x, t) é a geratriz da família: ]. t= {, x, 4 x, 8 x 3 4 x,......}. Proposição 7.6. Seja a função geradora: G(x, t) = p n (x) t n, onde p n (x) são polinômios. Então (p n ) n N é uma sequência ortogonal de polinômios de grau n se, e somente se: só depende do produto t t. Prova: Escrevendo: I = b a G(x, t) G(x, t ) w(x) dx G(x, t) G(x, t ) = p n (x) t n p m (x) t m = p n (x) p m (x) t n t m. m= m= e: I = < p n (x) p m (x) > t n t m. m= deixando como exercício finalizar os detalhes da prova.

454 454 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 7.3 Fórmula de Rodrigues A fórmula que apresentaremos é dita de Rodrigues, pois foi O. Rodrigues, em 86 quem achou pela primeira vez uma recorrência dos polinômios de Legendre. Independentemente, esta fórmula foi achada por J. Ivory em 84 e por C. Jacobi em 86. Na atualidade, o termo fórmula de Rodrigues continua a ser usado para fórmulas similares às originais. Seja (p n ) n N uma sequência ortogonal de polinômios de grau n tal que: b a p n (x) p m (x) w(x) dx = h n δ nm. w = w(x) C e satisfaz à edo: w w = P (x), onde P = P (x) é um polinômio de grau Q(x) maior ou igual a e Q = Q(x) é um polinômio de grau maior ou igual a, tais que: lim x a w(x) Q(x) = lim w(x) Q(x) =. x b É possível provar que a sequência de polinômios (p n ) n N, satisfaz: p n (x) = a n w(x) Esta relação é chamada Fórmula de Rodrigues. d n dx n ( Q n (x) w(x) ), a n R. Exemplo 7.3. [] Os polinômios de Laguerre são gerados para n por: Logo: L n (x) = e x dn dx n [ e x x n]. L (x) = L (x) = x L (x) = x 4 x + L 3 (x) = x x 8 x + 6 L 4 (x) = x 4 6 x x 96 x + 4

455 7.4. SÉRIES DE POLINÔMIOS Séries de Polinômios Da Álgebra Linear, sabemos que se u V tal que u =, para todo v V existe um único λ K tal que v λ u é ortogonal a u. De fato, basta considerar: λ = < u, v > u. Seja {φ n / n N} um conjunto ortonormal de funções em L w e f L w. Como observamos nas séries de Fourier, formalmente podemos associar a f a série: f a i φ i, i= onde os coeficientes: a i =< f, φ i >, n. Esta série, é dita expansão em série ortogonal de f e os termos a i são chamados coeficientes de Fourier da série. 7.5 Aproximação em L W Estamos interessados estudar o seguinte problema: Dada f L w(a), achar p n K n [x] tal que: f p n = min q K n[x] f q. p n é dito polinômio que melhor aproxima f em L w(a). Teorema 7.3. Seja {p (x), p (x),..., p n (x)} base de polinômios ortonormais de K n [x] e: onde q n (x) = E n (f, q n ) = A [ f(x) n a k p k (x)] w(x) dx, k= n a k p k (x). Então, q n é polinômio que melhor aproxima f se, e somente k= se a k são os coeficientes de Fourier da série. n Prova: De fato, suponha que q n (x) = c k p k (x): k=

456 456 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS f q n =< f q n, f q n >= E(f, q n ) n = f + c k f(x) q n (x) w(x) dx k= A por outro lado: A f(x) q n (x) w(x) dx = A [ n k= Denotando a k =< f, p k >, temos que f q n = f + = f ] c k p k (x) f(x) w(x) dx = n c k k= n a k + k= n a k c k k= n c k < f, p k >. k= n (a k c k ). Logo, a distância d(f, q n ) = f q n será mínima se c k = a k, para todo k =,... n. k= Corolário 7.. Dada f L w, existe um único polinômio p n (x) K n [x] tal que: Prova: Exercício. f q n = min q K n[x] f q. Corolário 7.3. Nas hipóteses do Teorema, segue a desigualdade de Bessel: n a k f. Prova: Imediata, pois f q n. k= Passando ao limite: a k = f. k=

457 7.5. APROXIMAÇÃO EM L W 457 Proposição 7.7. Sejam f L w, então p n é polinômio que melhor aproxima f em L w(a) se, e somente se f p n é ortogonal a todo elemento de K n [x]. Prova: ( ) Seja q K n [x] arbitrário, logo p n q K n [x], então < f p n, p n q >= e por Cauchy-Schwarz: f p n =< f p n, f q > f p n f q f p n f q, escolhendo q = p n : f p n = min q K n[x] f q. ( ) Seja p n polinômio que melhor aproxima f em L w(a), então podemos escrever: p n = n b i ψ i onde b i =< f, ψ i >, i =,,..., n, i= onde, ψ i são polinômios ortogonais, logo: n n < f p n, ψ j >=< f, ψ j > b i < ψ i, ψ j >=< f, ψ j > b i δ ij =< f, ψ j > b j =. i= i= Como o conjunto {π i } gera K n [x], temos que < f p n, q >=, para tod p K n [x]. Exemplo 7.4. Utilizaremos os resultados estudados para determinar a melhor aproximação da função f(x) = sen(π x) por um polinômio. [] Se x [, ], consideremos os três primeiros polinômios ortogonais, determinados no início do capítulo: φ (x) =, φ (x) = x e φ (x) = x x + ; denotemos por: 6 p = a φ (x) + a φ (x) + a φ (x), x [, ]. Como w(x), para cada i =,,, temos que a i = sen(π x) φ i (x) dx ; então : φ i dx a = π, a = e a = 6 π (π ).

458 458 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS Considerando π = 3.459, temos o polinômio quadrático: p (x) = 4.5 x x +.546, Logo, sen(x) p (x) em L w([, ]). Observe no desenho, os gráficos, fora do intervalo [, ]. Figura 7.: Gráficos de sen(π x) (vermelho) e p (x) (azul) [] Se x [, ], consideremos os polinômios ortogonais: φ (x) =, φ (x) = x, φ (x) = 3 x + 6 e φ 3(x) = x 5 x3 3 x, denotemos por: p 3 = a φ (x) + a φ (x) + a φ (x) + a 3 φ 3 (x), x [, ]. Como acima, temos que a =, a = 3 π, a = e a 3 = 7 π 3 (π 5). Considerando π = 3.459, temos o polinômio cúbico: p 3 (x) =.8956 x x, x [, ]. Logo, sen(x) p 3 (x) em L w([, ]). Observe no desenho, os gráficos, fora do intervalo [, ].

459 7.6. POLINÔMIOS ORTOGONAIS CLÁSSICOS 459 Figura 7.: Gráficos de sen(π x) (vermelho) e p (x) (azul) 7.6 Polinômios Ortogonais Clássicos Os polinômios ortogonais clássicos são as soluções polinomiais de um tipo particular do problema de Sturm-Liouville. As equações deste tipo, em geral, apresentam singularidades e uma sequência (λ n ) n N associada a uma sequência de polinômios (p n ) n N de grau n, soluções da edo. Toda edo linear de segunda ordem homogênea, tem a forma: a (x) y + a (x) y + a (x) y =, (7.) onde, a i C e a (x). Logo, podemos reescrever a edo: onde a (x) = λ + b (x), λ R. Fazendo: y + a (x) a (x) y + λ + b (x) y =, a (x) p(x) = exp ( x a (u) a (u) du), w(x) = p(x) a (x) e q(x) = w(x) b (x), obtemos o problema de Sturm-Liouville: ( p(x) y ) + [ q(x) + λ w(x) ] y =.. p C tal que p(x) >, para todo x A.. q C e λ R.

460 46 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 3. w C tal que w(x) >, para todo x A. Definição 7.4. Os polinômios (p n ) n são ditos clássicos se w C e satisfaz à edo (7.), onde a (x) é um polinômio de grau menor ou igual a, a (x) é um polinômio de grau menor ou igual a e satisfaz a edo de Pearson: d [ a (x) w(x) ] = a (x) w(x). dx O intervalo da ortogonalidade é o domínio da solução da edo de Pearson. Observação 7.. Vejamos os casos mais importantes da equação de Pearson:. Se w w = a x + b, temos que: w(x) = e a x +b x, < x < +.. Se w w = a + α, x c, temos que: x c w(x) = (x c) α e a x, c < x < Se w w = α x a + β, x c, a e a < b, temos que: x c w(x) = (x a) α (x c) β a < x < b. Exemplo 7.5. [] A edo de Legendre: ( x ) y x y + α (α + ) y =, pode ser escrita em (, ), da forma: e w(x). (( x ) y ) + α (α + ) y =, [] A edo de Hermite: y x y + λ y =, pode ser escrita em (, + ), da forma: w(x) = e x. (e x y ) + λ e x y =,

461 7.7. EXERCÍCIOS Exercícios. Prove todas as desigualdades, proposições, lemas e teoremas deixados como e- xercícios.. Seja C ([ π, π]) o espaço normado das funções f C tais que f() =. (a) Com a norma restrita de C ([ π, π]), utilize o processo de Gram-Schimidt, para determinar uma base ortonormal do subespaço gerado por {x, cos(x)}. (b) Utilize o processo de Gram-Schimdt, para determinar uma base ortonormal do subespaço gerado por {x, sen(x)}, se o produto interno é definido por: < f, g >= π π f (x) g (x) dx. 3. Defina em K n o seguinte produto interno: < p, q >= n p ( n ) ( n ) q. i + i + i= (a) Determine x. (b) Determine o complemento ortogonal de {x}. 4. Verifique que a função G(x, t) = e x (t /t)/ é uma geratriz para as funções de Bessel J n (x). 5. Verifique que a função G(x, t) = Laguerre. e x t/( t) t é uma geratriz para os polinômios de 6. Seja a função peso w(x) = e x, x > : (a) Verifique que os os polinômios φ (x) =, φ (x) = x, φ (x) = x + 4 x +, φ 3 (x) = x x 8 x + 6, φ 4 (x) = x 4 6 x x 96 x + 4 são ortogonais. (b) Determine o polinômio que melhor aproxima f(x) = e x, x >. (c) A aproximação pode ser estendida a (, + ).

462 46 CAPÍTULO 7. POLINÔMIOS ORTOGONAIS 7. Sejam q n (x) um polinômio de grau n, < n < j e a função peso w(x) = e x : (a) Verifique dn dx n ( e x x j) = e x x j n q n (x). (b) Verifique que φ n (x) = e x dn dx n ( e x x j) são ortogonais em (, + ). (c) Determine o polinômio que melhor aproxima f(x) = e x.

463 Capítulo 8 POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE e CHEBYCHEV 8. Polinômios de Legendre A edo de Legendre é uma edo clássica em Matemática, que está vinculada a diversas situações físicas. Por exemplo, aparece no estudo das soluções da equação do potencial em esferas, em problemas de gravitação, mecânica quântica, entre outros. A edo de Legendre é: ( x ) y x y + α (α + ) y =, α R. Note que x = e x = são os zeros do polinômio x. As soluções da edo são chamadas de Legendre e denotadas por P n (x). Os polinômios P n (x) estão definidos para todo x, mas são solução da edo de Legendre somente se x (, ) Vimos que os polinômios de Legendre, são: P n (x) = N [ ] ( ) k ( n k)! x n k, n k! (n k)! (n k)! k= onde N é o maior inteiro n/. Muitas vezes nas aplicações é necessário utilizar só polinômios de Legendre na coordenada x = cos(t); a seguir os seis primeiros polinômios de Legendre: 463

464 464 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV P (x) = P (cos(t)) = P (x) = x P (cos(t)) = cos(t) P (x) = 3 x ( ) P (cos(t)) = ( + 3 cos( t)) 4 P 3 (x) = 5 x ( 3 3 x ) P 3 (cos(t)) = (3 cos(t) + 5 cos(3 t)) 8 P 4 (x) = 35 x 8( 4 3 x + 3 ) P 4 (cos(t)) = (9 + cos( t) + 35 cos(4 t)) 64 P 5 (x) = ( 63 x 5 7 x x ) P 5 (cos(t)) = (3 cos(t) + 35 cos(3 t) + 63 cos(5 t)) Figura 8.: Gráficos de P i (x) e P i (cos(x)), i = Fórmula de Rodrigues A fórmula de Rodrigues para os polinômios de Legendre é: De fato, utilizando que: Como: P n (x) = n n! d n dx n x(n α) = d n dx n (x ) n. (n α)! xn α. (n α)!

465 8.. POLINÔMIOS DE LEGENDRE 465 P n (x) = N [ ] ( ) k ( n k)! x n k = n k! (n k)! (n k)! n k= N k= [ ( ) k k! (n k)! ] d n dx n x(n k) = n n! d n dx n N k= ( ) k n! k! (n k)! x(n k) = n n! d n dx n (x ) n. 8.. Geratriz A geratriz dos polinômios de Legendre é: G(x, t) = = P n (x) t n, t <, x. x t + t Existem diferentes formas de determinar as geratrizes. Por exemplo utilizar a série binomial ( z) α, onde z = x t t, α = e comparar as séries. Os polinômios de Legendre aparecem no problema geométrico de determinar a distância inversa. Devido a isto, são utilizados com frequência em problemas de eletrostática e gravitação. Aproveitamos estes fatos para uma verificação geométrica. Sejam p, q R 3 tais que p q, suponha que d(, p) > d(q, p); normalizando se for necessário consideramos d(, p) = e d(, q) = r <, lembrando que d(p, q) = p q, d(, p) = p e d(, q) = q ; denotando por φ = (poq) e utilizando a lei do cossenos temos: p q = p + q p q cos(φ) = + r r cos(φ). É comum na teoria do potencial utilizar a distância inversa: p q = + r r cos(φ). Fazendo a série de Taylor para ao redor de r e a fórmula de Rodrigues, temos: p q + r r cos(φ) = r n P n (cos(φ)).

466 466 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV 8..3 Ortogonalidade Como w(x) e o intervalo é [, ], os polinômios de Legendre satisfazem: < P n, P m >= Basta mostrar que, se m < n: se n m P n (x) P m (x) dx = se n = m. n + x m P n (x) dx =. Denotemos por Q(x) = (x ) n e Q (n) (x) = dn Q(x); então pela fórmula de Rodrigues: dxn n n! x m P n (x) dx = x m Q (n) (x) dx. Integramos por partes a última integral utilizando que Q (n) (±) = ; logo, integraremos por partes, m vezes, a integral resultante: n n! x m P n (x) dx = x m Q (n ) (x) = m m x m Q (n ) (x) dx x m Q (n ) (x) dx = ( ) m m! = ( ) m m! Q (n m ) (x) =. Q (n m) (x) dx Em particular: P n (x) P m (x) dx =, se n m. Se n = m, denotemos por: I = P n = Logo: ( n n!) I = Q (n) (x) Q (n) (x) dx. P n(x) dx. Integramos por partes a última integral; logo, integraremos por partes n vezes a integral resultante:

467 8.. POLINÔMIOS DE LEGENDRE 467 ( n n!) I = Q (n) (x) Q (n ) = ( ) n Q (n) Q(x) dx = ( ) n = ( ) n ( n)! onde utilizamos o fato de que: (verifique!). Q (n+) (x) Q (n ) (x) dx = d n ( ) n ( x ) n dx = ( n)! d n dx n [ (x ) n] = ( n)! Q (n+) Q (n ) (x) dx dx n [ (x ) n] (x ) n dx ( + x) n ( x) n dx, Integramos por partes a última integral e novamente integraremos por partes n vezes a integral resultante: [ ( x) ( n n!) n ( + x) n+ I = ( n)! n n ] ( + x) n+ ( x) n dx n + = ( n)! n n + ( + x) n+ ( x) n dx = ( n)! n (n ) (n )... (n + ) (n + ) (n + 3)... n ( + x) n dx = ( n)! n! n! ( n)! ( n + ) ( + x)n+ = (n!) n+ n +. Logo: P n (x) = n +. Finalmente: < P n (x), P m (x) >= δ nm n +.

468 468 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV 8..4 Recorrências Os polinômios de Legendre satisfazem a muitas recorrências. A seguir, apresentamos algumas:. ( n + ) x P n (x) = (n + ) P n+ (x) + n P n (x), n.. x P n(x) P n (x) = n P n (x), n. 3. P n (x) x P n(x) P n+(x) = P n (x), n. 4. (x ) P n(x) = n x P n (x) n P n (x), n. 5. P n+(x) x P n(x) = (n + ) P n (x). Como aplicação, determinemos o valor de: x P n+ (x) P n (x) dx. Escrevemos x P n+ (x) P n (x) = [ x P n+ (x) ] [ x P n (x) ] e aplicamos a primeira recorrência, logo: x P n+ (x) = n + n + 3 P n+ + n + n + 3 P n n x P n (x) = n P n + n n P n. Multiplicando as expressões e utilizando a ortogonalidade dos polinômios de Legendre, temos: x P n+ (x) P n (x) dx = n (n + ) ( n + 3) ( n ) P n(x) dx = n (n + ) ( n + 3) (4 n ). A verificação destas recorrências é exercício.

469 8.. POLINÔMIOS DE LEGENDRE Propriedades Os polinômios de Legendre, satisfazem: Segue do fato que G( x, t) = logo: G( x, t) = P n ( x) = ( ) n P n (x). x t + t P n ( x) ( t) n = ( ) n P n ( x) t n = = G(x, t), logo: P n (x) t n = G(x, t), P n (x) t n. Em particular P n+ () =, comparando G(, t) e a série binomial de = + t ( ) n ( n)! n (n!) t n = + t : P n () t n = P n () = ( )n ( n)! n (n!). Observe que: P n () = e P n ( ) = ( ) n. De fato, basta calcular P n (): Por outro lado: P n () t n = Das recorrências e 5 obtemos: Como P n ( ) = ( ) n P n (), temos: y t = t n = = t + t t. P n () t n. P n (x) = [ P n + n+ (x) P n (x) ]. P n (z) dz = [ ] y P n+ (z) P n (z) = [ Pn+ (y) P n (y) ], n. n + n + Logo, segue que: P n (z) dz + P n (z) dz = P n (z) dz = e:

470 47 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV e: P n (x) dx = [ Pn+ () P n () ] n + P n (x) dx = [ Pn () P n+ () ]. n + Os valores das integrais dependem de ser n par ou ímpar Séries de Legendre Seja f L e diferenciável por partes em (, ). A série de Legendre de f é: f(x) = Calculemos a série de f(x) = a n P n (x) tal que a n = n + { se x < se x <. f(x) P n (x) dx. Como f é uma função ímpar, só temos os coefientes ímpares não nulos: a n = ( n + ) logo: a = 3, a 3 = 7 8, a 5 = 6, a 7 = P n (x) dx = P n () P n+ (), f(x) = 3 P (x) 7 8 P 3(x) + 5 P 5(x) 75 8 P 7(x) Fica como exercício, achar uma expressão geral de a n. Figura 8.: Aproximação de f pela série de Legendre

471 8.. APLICAÇÃO Aplicação 8.. Campo Elétrico Consideremos um dipolo formado por duas cargas equidistantes à origem a uma distância de t. Utilizando coordenadas polares, é conhecido que o campo elétrico é dado por: [ ] V (r, θ) = q r + t t r cos(θ), r + t + t r cos(θ) onde q é a carga. Por outro lado, temos: r + t t r cos(θ) = G(cos(θ), t r ) r + t + t r cos(θ) = G(cos(θ), t r ). Logo: V (r, θ) = q [ t G(cos(θ), r r ) G(cos(θ), t r )] = q [ Pn (cos(θ)) ( ) n P n (cos(θ)) ] [ t r r = q [ ] n+ t P n+ (cos(θ)) r r ] n 8.. Edo de Laplace A equação de Laplace para o potencial V = V (x, y, z) é dada por: V x + V y + V z =. Em coordenadas esféricas (r, θ, φ), a equação de Laplace fica: V r + r V r + r V θ + cotg(θ) r V θ + V r sen (θ) φ =. Se o potencial V não depende do ângulo φ, isto é, se V (r, θ) = r α Θ(θ), a equação de Laplace fica:

472 47 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV d Θ dθ dθ + cotg(θ) + α(α + )Θ =. dθ Fazendo x = cotg(θ) e substituindo Θ por y na edo anterior, temos a edo de Legendre. Observação 8.. Como os polinômios de Legendre são uma solução da edo de Laplace. e a edo de Legendre é de segunda ordem; deve existir a segunda solução da edo, l.i. com os polinômios. É possível mostrar que a segunda solução da edo de Legendre é dada pela fórmula de Neumann: Q n (x) = P n (t) dt, se x <. x t Utilizando integração por partes, temos que as funções Q n = Q n (x) também são soluções da edo de Legendre para x >. Fica evidente que para todo n N, as soluções Q = Q n (x) não são polinômios.

473 8.3. POLINÔMIOS DE HERMITE Polinômios de Hermite Seja α R tal que α > ; a edo de Hermite de ordem α é: y x y + α y =, < x < +. Como todos os pontos são regulares, temos que a solução está definida em R e são dadas por: y (x) = + y (x) = x + ( ) n n α(α )... (α n + ) x n n= ( n)! ( ) n n (α )(α 3)... (α n + ) x n+ n= ( n + )! Se α é um inteiro par, y (x) é um polinômio; isto é a série trunca e fica finita. Analogamente, se α é um inteiro ímpar, y (x) é um polinômio. Considerando a n = n, temos que os polinômios de Hermite, são denotados por: H n (x) = n k= ( ) n+k ( n)! k (n k)! ( k)! x k De forma compacta: H n+ (x) = n k= ( ) n+k ( n + )! k+ (n k)! ( k + )! x k+ H n (x) = N k= ( ) k n! k! (n k)! ( x)n k, onde N é o maior inteiro n. Os seis primeiros polinômios de Legendre (normalizados) são: H (x) = H (x) = x H (x) = 4 x H 3 (x) = 8 x 3 x H 4 (x) = 6 x 4 48 x + H 5 (x) = 3 x 5 6 x 3 + x

474 474 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV Figura 8.3: Gráficos de H, H, H 3, H 4 e H 5, normalizados 8.3. Geratriz A geratriz dos polinômios de Hermite é: G(x, t) = e t H x t n (x) t n =. n! Utilizando série de potências da exponencial, temos que: [ ] [ e t x t = e t x ( t x) s ] ( t ) r e t = = s! r! Seja n = s + r, então: s= r= s= ( ) r ( x) s r= s! r! t s+r. ( ) r ( x) s r= s! r! t s+r = r= ( ) r ( x) n r r! (n r)! t n ; como s, temos que r n ; logo os coeficientes da série são: r= ( ) r ( x) n r r! (n r)! = n! N r= ( ) r n! ( x) n r r! (n r)! = H n(x), n! N é o maior inteiro menor que n 8.3. Fórmula de Rodrigues A fórmula de Rodrigues para os polinômios de Hermite é: H n (x) = ( ) n e x dn dx n ( e x), n, t R.

475 8.3. POLINÔMIOS DE HERMITE 475 De fato, como e t x t = e x (t x), temos: e x (t x) = H n (x) t n. n! Derivando em relação a t n-vezes para t =, em ambos os lados: [ n ( e x e (t x)) ] t n t= [ = n t n ] H n (x) t n n! t= = H n (x). Fazendo u = x t, temos que n t = n n ( )n, se t =, temos u = x, logo: un [ H n (x) = e x ( ) n n ( e u) ] = e x ( ) n n ( e x). u n x n Ortogonalidade Como w(x) = e x em (, + ), temos: De fato: < H n (x), H m (x) >= + + H n (x) H m (x) e x dx = ( ) n + e x H n (x) H m (x) dx = n n! π δ nm. H m (x) dn dx n ( e x) dx. Integrando por partes n-vezes: + ( ) n H m (x) dn ( e x) + dx = ( ) n+m d n ( Hm (x) ) e x dx. dx n dx n Se n m, podemos supor m < n, então: + H n (x) H m (x) e x dx = ( ) n+m + pois H m (x) é um polinômio de grau m e m < n. Se n = m, do Cálculo sabemos que: + e x dx = π. d n dx n ( Hm (x) ) e x dx =, Como dn dx n ( Hn (x) ) = n n! e o coeficiente principal do polinômio H n (x) é n, então:

476 476 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV + e x H n (x) H n (x) dx = n n! + e x dx = n n! π, pois, na integração por partes, quando u v é igual a o produto de e x por um polinômio, obtemos um fator x Recorrências Os polinômios de Hermite satisfazem às recorrências:. x H n (x) = H n+ (x) + n H n (x), n.. H n(x) = n H n (x), n. 3. H n+ (x) + H n(x) = x H n (x). A verificação das recorrências fica para exercício Propriedades Os polinômios de Hermite satisfazem: H n (x) = ( ) n H n ( x). Segue do fato que G( x, t) = e t x t = G(x, t); logo: logo: G( x, t) = H n ( x) n! ( ) n H n ( x) n! ( t) n = t n = H n (x) n! H n (x) n! t n = G(x, t), Em particular, H n+ () = ; por outro lado, comparando G(, t), com a série de potencias de e t, temos H n () = ( )n ( n)!. n! t n.

477 8.4. APLICAÇÕES Séries de Hermite Seja f L w,diferenciável por partes emr, isto é: + e x f(x) dx < +. Com estas hipóteses. A série de Hermite de f é: a n H n (x) tal que a n = n n! π + e x f(x) H n (x) dx. Determinemos a série de Hermite para f(x) = e α x, α R. A função exponencial é de classe C. Devemos calcular: a n = n n! π + e x e α x H n (x) dx = n n! π + e α x x H n (x) dx. Temos várias formas de determinar esta integral, a forma mais direta é utilizar a geratriz: Logo: e x (α/) α /4 = H n (x) n! [ ] n α = α n H n (x). n n! e α x = e α /4 α n H n (x). n n! 8.4 Aplicações Muitas vezes em Mecânica Quântica, especialmente em problemas de espectroscopia molecular aparecem expressões do tipo: + x k e x H n (x) H m (x) dx. Podemos determinar o valor desta integral utilizando as recorrências. Por exemplo, calculemos: + x e x H n (x) H m (x) dx. Utilizando a primeira recorrência, temos que x H n (x) = H n+(x) + n H n (x), logo:

478 478 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV + x e x H n (x) H m (x) dx = + e x [ H n+(x) + n H n (x) ] H m (x) dx Utilizando a ortogonalidade dos polinômios de Hermite, temos que: + x e x H n (x) H m (x) dx = n n! π [ δ (n )m + (n + ) δ (n+)m ]. Por exemplo, para m = n + : + x e x H n (x) H n (x) dx = n (n + ) n! π Equação de Weber Considere as edo s do tipo: y + ( x + a) y =. Verifique que fazendo y = e x / v, obtemos a edo de Hermite, para α = a : De fato: v x v + α v =. y (x) = e x / [ v (x) x v(x) ] e y (x) = e x / [ v (x) x v(x) + (x ) v(x) ]. Logo, as soluções da edo de Weber, do oscilador harmônico quântico: y + ( n + x ) y =, n N são: y n (x) = e x / H n (x). Estas soluções são ditas função de Weber-Hermite de ordem n. Estas soluções não são polinômios, porém satisfazem ecorrência: y n+ (x) = x y n (x) n y n (x), n.

479 8.4. APLICAÇÕES 479 Figura 8.4: Gráficos de y, y, y 3 e y Equação de Schrödinger Seja x = (x, y, z, t) R 3 (, + ). A equação de Schrödinger é : i Ψ t = ħ Ψ + V Ψ, m onde i =, Ψ é o operador de Laplace de Ψ = Ψ(x) e V = V (x, y, z) é uma função diferenciável, m > e ħ é a constante de Plank. Esta equação descreve a iteração de uma partícula quântica de massa m com um potencial V. Em particular, a equação de Schrödinger para um oscilador harmônico unidimensional com função potencial: e energia total E constante, é dada por: Fazendo: V (x) = k x ħ d Ψ m dx + k x Ψ(x) = E Ψ(x). ξ = α x, α 4 = m k ħ, λ = E k e ω = ħ ω m. A edo unidimensional de Schrödinger pode ser escrita como: d Ψ dξ + (λ ξ ) Ψ(ξ) =. Utilizando, novamante a mudança Ψ = y(ξ) e ξ /, para reescrever a última edo como a edo de Hermite:

480 48 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV y ξ y + (λ ) y =. Fica para exercício determinar as soluções da edo unidimensional de Schrödinger.

481 8.5. POLINÔMIOS DE CHEBYSHEV Polinômios de Chebyshev Considere a edo de Chebychev: ( x ) y x y + n y =, n =,,,..., onde y = y(x) é tal que x [, ]. Fazendo a mudança x = cos(θ) tal que θ [, π], a edo fica: y (θ) + n y(θ) =, n =,,,.... que tem como solução geral: y(θ) = c cos(n θ) + c sen(n θ), voltando à variável original: y(x) = c cos(n arccos(x)) + c sen(n arccos(x)), x <. Definimos e denotamos os polinômios de Chebychev de primeira espécie: T n (x) = cos(n arccos(x)), x <. É imediato que: T n (x), para todo x [, ] e n. Os zeros de T n (x) são: De fato: cos ( ( k + ) π ), k Z. n cos(n θ) = n θ = π + k π. Os seis primeiros polinômios de Chebychev de primeira espécie são: T (x) = T (x) = x T (x) = x T 3 (x) = 4 x 3 3 x T 4 (x) = 8 x 4 8 x + T 5 (x) = 6 x 5 x x

482 48 CAPÍTULO 8. POLINÔMIOS DE LEGENDRE, HERMITE E CHEBYCHEV Figura 8.5: Gráficos de T, T, T 3, T 4 e T Geratriz A geratriz dos polinômios de Chebychev de primeira espécie é: G(x, t) = t x t x + t = T n (x) t n. Logo: T n (x) = n! [ n t x t n t x + t ]. t= De fato, utilizando a recorrência: T n (x) = x T n (x) T n (x), temos que: T n (x) t n = x n= T n (x) t n T n (x) t n n= n= T n (x) t n T (x) T (x) t = x t T n (x) t n t n= T n (x) t n Logo: