UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO

Transcrição

1 012 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA PLANO DE ENSINO Código MAT Nome Métodos Aplicados de Matemática II Créditos/horas-aula Súmula Equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes variáveis, método 06 / 90 de Frobenius com ênfase nas equações de Bessel, Legendre e Semestre hipergeométrica. Problema de Sturm-Liouville. Séries de Fourier, Integral de Fourier e Transformada de Fourier. Série de Fourier-Legendre. Série de Fourier-Bessel. Equações diferenciais parciais lineares do calor, ondas e potencial. Problemas com geometria cartesiana, cilíndricas e esférica. Cursos Bacharelado em Matemática - ênfase Matemática Aplicada e Computacional Etapa 4ª Pré-Requisitos MAT01009 Métodos Aplicados de Matemática I Professor Responsável Teresa Tsukazan de Ruiz Objetivos: 1. Desenvolver no aluno a percepção da importância e do grau de aplicabilidade das equações diferenciais na descrição de fenômenos em diversas ciências(físicas, biológicas e sociais). 2. Capacitar o aluno a, por meio de equações diferenciais, formular a modelagem matemática de situações concretas envolvidas em diversas ciências. 3. Estudar os métodos básicos de resolução de equaçoes diferenciais ordinárias e de equações diferenciais parciais. 4. Propiciar ao aluno desenvoltura em classificar e manipular problemas que envolvam equações diferenciais, com técnicas específicas de abordagem, adequadas à resolução de cada um. Metodologia e Experiências de Aprendizagem: O programa será desenvolvido em aulas expositivas, na modalidade teórico-prácticas. No decorrer do curso serão distribuídas listas de exercícios, para maior fixação dos conteúdos apresentados em aula. Haverá também um atendimento extra-classe, em horário a ser combinado com os alunos. Conteúdo Programático: Unidade 1: SÈRIE DE FOURIER: Produto interno, ortogonalidade, Série de Fourier básico, Conjuntos ortonormais completos, Aproximação em média. Convergência da série.

2 Diferenciação, Integração da série de Fourier, Série de Fourier-cosseno, Série de Fourierseno. Unidade 2: PROBLEMAS DE CONTORNO E PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE: Problemas de contorno unidimensionais lineares homogêneos. Problema de Sturm-Liouville regular: autovalores e autofunções. Série de Fourier generalizada. Problema de contorno unidimensional não homogêneos: função de Green. Unidade 3: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM A COEFICIENTES CONSTANTES: Resolução por separação de variáveis de problemas de Cauchy com condições de contorno em coordenadas cartesianas: equação de difusão do calor e equação da onda. Equação de Laplace. Unidade 4: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES A COEFICIENTES VARIÁVEIS: Método da série de potências numa vizinhança de um ponto ordinário, coeficientes a determinar e o método da série de Taylor para problemas de valores iniciais. Equação de Legendre. Polinônios de Legendre: propriedades. Problema de Sturm-Liouville singular. Série de Fourie-Legendre. Operador Laplaciano em coordenadas esféricas. Equação de Laplace em coordenadas esféricas:calor estacionário, problema do potêncial na esfera. Unidade 5: MÉTODO DE FROBENIUS: Equação de Cauchy-Euler. Pontos singulares regulers. Método de Frobenius : soluções em série numa vizinhança de um ponto singular regular. Equação de Bessel. Funções de Bessel. Série de Fourier-Bessel. Operador Laplaciano em coordenadas cilíndricas. Equação do calor no cilindro, equação da onda numa placa circular. Unidade 5: Resolução da equação de Poisson pelo método da função de Green: Coordenadas cartesianas e coordenadas polares. Unidade 6: MÉTODOS OPERACIONAIS PARA A RESOLUÇÃO DE EDP: Transformada de Fourier: integral de Fourier, propriedades. Função delta, função degrau unitário.convolução. Tranformada inversa. Resolução de problemas de contorno em domínios limitados e ilimitados através de Transformada de Fourier e Transformada de Laplace. Unidade n: Mais itens. Cronograma de Atividades: Aula 1: segunda-feira, dia 06 de agosto: Norma, produto interno, ortogonalidade entre funções. Aula 2: quarta-feira, dia 08 de agosto: Conjunto ortogonais, conjunto ortonormais. Ortogonalidade das funções trigonométricas Aula 3: sexta-feira, dia 10 de agosto: A Aproximação por mínimos quadrados: Série de Fourier classico aula 4: segunda-feira, dia 13 de agosto: Convergência da série de Fourier. Aula 5: quarta-feira, dia 15 de agosto: Propriedades: Linearidade, derivação e integração. Aula 6: sexta-feira, dia 17 de agosto: Série de Fourier-cosseno e Série de Fourier-seno. Aula 7: segunda-feira, dia 20 de agosto: Problemas de contorno unidimensional Aula 8: quarta-feira, dia 22de agosto: Problema de contorno de Sturm-Liouville regular Aula 9: sexta-feira, dia 24 de agosto: Série de Fourier generalizada 2

3 Aula 10: segunda-feira, dia 27 de agosto: Problema de contorno de Sturm-Liouville periódico Aula 11: quarta-feira, dia 29 de agosto : Equação do calor, condições iniciais e condições de contorno Aula 12: sexta-feira, dia 31 de agosto: Resolução do problema homogêneo pelo método de separação de variáveis Aula 13: segunda-feira, dia 03 de setembro: Resolução do problema não homogêneo do calor Aula 14: quarta-feira, dia 05 de setembro: Equação da onda unidimensional Aula 15: segunda-feira, dia 10 de setembro: Formula de D Alambert Aula 16: quarta-feira, dia 12 de setembro: Problema não homogêneo Aula 17: sexta-feira, dia 14de setembro: Equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Aula 18: segunda-feira, dia 17 de setembro: Exercicios Aula 19: quarta-feira, dia 19 de setembro: Primeira prova. Aula 20: segunda-feira: 24 de setembro Revisão de séries de potências Aula 21: quarta-feira, dia 26 de setembro:resolução de EDOLH numa vizinhança de um ponto ordinário. Aula 22: sexta-feira, dia 28 de setembro: Resolução de um PVI por série de Taylor e coeficientes a determinar. Aula 23: segunda-feira, dia 01 de outubro: Equação de Legendre Aula 24: quarta-feira, dia 03 de outubro: Propriedades dos polinômios de Legendre Aula 25: sexta-feira, dia 05 de outubro: Problema de Sturm-Liouville singular regular: Série de Fourier-Legendre. Aula 26: segunda-feira, dia 08 de outubro: Operador Laplaciano em coordenadas esféricas Aula 27: quarta-feira, dia 10 de outubro: Equação do calor em coordenadas esféricas. Aula 28: segunda-feira, dia 15 de outubro: Resolução de EDOLH numa vizinhança de um ponto singular regular, método de Frobenius: Caso I Aula 29: quarta-feira, dia 17 de outubro: Caso II Aula 30: sexta -feira, dia 19 de outubro: Caso III Aula 31: segunda-feira, dia 22 de outubro: Função gamma, Equação de Bessel Aula 32: quarta-feira, dia 24 de outubro: Funções de Bessel, Série de Fourier-Bessel Aula 33: sexta-feira, dia 26 de outubro: Operador Laplaciano em coordenadas polares: Resolução da Equação de Laplace Aula 34: segunda-feira, dia 29 de outubro: Resolução de EDP em coordenadas cilíndricas. Aula 35: quarta-feira, dia 31 de outubro: Exercícios Aula 36: segunda-feira, dia 05 de novembro: Prova da segunda área Aula 37: quarta-feira, dia 07 de novembro: Função de Green Aula 38: sexta-feira, dia 09 de novembro: Função de Green Aula 39: segunda-feira, dia 12 de novembro: Transformada de Fourier Aula 40: quarta-feira, dia 14 de novembro: Propriedades Aula 41: segunda-feira, dia 19 de novembro: Função degrau unitário, função delta, Aula 42: quarta-feira, dia 21 de novembro: Convolução. Aula 43: sexta-feira, dia 23 de novembro: Resolução de EDP através de Tranformada de Fourier: Domínios infinitos Aula 44: segunda-feira, dia 26 de novembro: Resolução de EDP através de Tranformada de Fourier-cosseno e Fourier-seno:Domínios semi-infinitos Aula 45: quarta-feira, dia 28 de novembro: Resolução de EDP através de Tranformada de Fourier-cosseno e Fourier-seno:Domínios semi-infinitos Aula 46: sexta-feira, dia 30 de novembro: Exercícios Aula 47: segunda-feira, dia 03 de dezembro: Prova da terceira área Aula 48: segunda-feira, dia 10 de dezembro: Entrega do resultado da terceira prova e revisão Aula 49: sexta-feira, dia 14 de dezembro: Prova de recuperação ou exame 3

4 Critérios de Avaliação: Os conteúdos programáticos da disciplina serão divididos em 3(três) áreas de ensino, denominadas áreas de conhecimentos. A aprendizagem em cada área será avaliada, sendo que a primeira área compreende as unidades 1,2 e 3 do conteúdo programático, a segunda área compreende as unidades 4 e 5, e a terceira área corresponde as unidades 5 e 6 do conteúdo programático. A nota de cada área será constituída por 80% da nota de uma prova escrita da área e 20% pelo desempenho na resolução de lista de problemas, que poderá incluir, além da abordagem analítica, análise computacional e gráfica. Para ser considerado aprovado na disciplina, é necessário, além de uma freqüência igual ou maior que 75% das aulas ministradas, cf. Artigo 134 do RGU, obtiver nota de cada uma das áreas maior do que ou igual a 5,0 (cinco), bem como média aritmética M das três notas de cada área superior ou igual a 6,0 (seis). A atribuição dos conceitos aos alunos aprovados ocorrerá em correspondência com a nota final, que é a média aritmética M das notas das três provas: conceito A corresponde a M superior ou igual a 9,0 (nove), conceito B corresponde a M superior ou igual a 7,5 (sete vírgula cinco) e inferior a 9,0 (nove) e conceito C corresponde a M superior ou igual a 6 (seis) e inferior a 7,5 (sete vírgula cinco). Atividades de Recuperação: O aluno que não lograr aprovação pelo critério acima, mas que tiver cumprido a exigência do Artigo 134 do RGU e que tiver média aritmética M das três notas de prova superior ou igual a 3,0 (três), poderá realizar uma prova de recuperação em uma das seguintes modalidades: caso tenha obtido apenas uma nota de prova inferior a 5,0 (cinco), o conteúdo da prova de recuperação será o mesmo da prova na qual o aluno obteve a nota inferior a 5,0 (cinco) e a nota da prova de recuperação substituirá a nota da prova em questão e o aluno estará aprovado na disciplina se a média aritmética M das três notas das áreas for superior ou igual a 6,0(seis), valendo a atribução de conceitos descrita acima; caso tenha obtido mais de uma nota de prova inferior a 5,0 (cinco), o conteúdo da prova de recuperação(exame) será todo o conteúdo desenvolvido na disciplina durante o semestre e o aluno será aprovado se obtiver no exame uma nota superior ou igual a 6 (seis), sendo atribuído o conceito C, se a nota do exame for inferior a 9,0 (nove) e B, se a nota do exame for superior ou igual a 9,0 (nove). Ao aluno reprovado pelos critérios acima e que tiver cumprido a exigência do Artigo 134 do RGU será atribuído o conceito D e ao aluno que não tiver cumprido a exigência do Artigo 134 do RGU será atribuído o conceito FF. Bibliografia Básica: 1. Boyce, W.E. e DiPrima, R.C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno, LTC, Rio de Janeiro Spiegel, M.R., Análise de Fourier, Makron Books Editora, Coleção Schaum, Churchill, R.V., Séries de Fourier e Problemas de Valores de Contorno, Editora Guanabara Dois S.A. Rio de Janeiro,1978 4

5 Bibliografia Complementar: 1. O Neil, P.V., Advanced Engineering Mathematics, PWS-Kent Publishing Company, Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Son, Inc,