Aula 08 - Introdução às Séries de Potência

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Aula 08 - Introdução às Séries de Potência"

Benedita de Miranda
5 Há anos
Visualizações:

1 Aula 08 - Introdução às Séries de Potência Éliton Fontana Como visto anteriormente, as EDO's de segunda ordem lineares com coecientes constantes podem ser resolvidas analiticamente e a solução pode ser expressa em termos de funções elementares, como exponencial, seno e cosseno. Para EDO's com coecientes variáveis, normalmente a solução envolve funções mais complexas, como as funções de Bessel, polinômios de Legendre e funções hipergeométricas. Existem diferentes métodos para a obtenção destas soluções, sendo o mais simples o método de solução por séries de potência, sendo que neste caso a solução será na forma de uma série do tipo y(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x Este tipo de função é chamado de série de potência pois representa um polinômio de ordem n. O método de solução por série de potência é bastante versátil e pode ser utilizado para obter a solução de praticamente qualquer EDO linear, de qualquer ordem. Por isso, este método é muito empregado por softwares para a resolução de EDO's. A seguir será apresentada uma breve introdução referente às operações básicas com séries innitas. 1 Séries de Potência Uma série de potências centrada em x 0 é uma série da forma: a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) Caso o resultado deste somatório convergir para um valor nito para um dado valor de x, a série é dita convergente neste ponto x. Caso o resultado do somatório for ±, a série é dita divergente neste ponto. De modo geral, uma série converge se o seguinte limite: lim m m a n (x x 0 ) n 1

2 existir. A série sempre irá convergir em x = x 0. Porém, para os demais valores de x, a série pode convergir para qualquer x ou pode convergir somente para determinados valores de x. Neste caso, a convergência está limitada a um intervalo denido. como: Normalmente, a série é centrada no ponto x 0 = 0, de modo que pode ser expressa a n (x) n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x Uma das principais vantagens da utilização de séries de potência é que elas são facilmente manipuláveis. Algumas propriedades úteis das séries de potência são as seguintes: (a) Soma e subtração termo a termo: Duas séries de potência em torno do mesmo ponto x 0 podem ser adicionadas ou subtraídas termo a termo. Se as duas séries forem convergentes, então a soma ou subtração delas também será convergente. (b) Diferenciação e integração termo a termo: Como os operadores diferencial e integral são operadores lineares, pode-se remover as constantes dos operadores e separar diferentes termos. Por exemplo, considere a função f(x) denida em termos de uma série de potências: f(x) = a n x n df dx = dx n a n dx Isto implica que uma série pode ser integrada ou derivada termo a termo. (c) Igualdade entre duas séries: Para que duas séries de potência sejam consideradas iguais, elas devem ser centradas em torno do mesmo ponto x 0 e cada um dos coecientes de ordem n devem ser equivalentes. Por exemplo, considere que: a n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n Esta igualdade só é verdadeira se para cada valor de n, a relação a n = b n seja válida. Em particular, fazendo b n = 0 temos que: a n (x x 0 ) n = 0 Esta relação só é satisfeita se a n = 0 para todos os valores de n. (d) Deslocamento do índice do somatório: O índice n utilizado no somatório é uma variável auxiliar que não possui um signicado físico. Por isso, pode-se fazer mudanças nesta variável conforme for conveniente. Por exemplo, considere a série: f(x) = a n x n 2

3 Denido um índice k = n 2, de modo que n = k + 2, a série pode ser denida como: f(x) = a k+2 x k+2 = a k+2 x k+2 k+2=0 k= 2 Para averiguar se de fato não houve nenhuma alteração na série, pode-se avaliar os termos de cada uma das séries. Por exemplo, para a primeira forma (em termos de n): f(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x Para a segunda série (em termos de k), começando a avaliar a parir de k = 2: f(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x Portanto, as duas formas são equivalentes. Exemplo 01: Escreva a série (n + 2)(n + 1)a n (x x 0 ) n 2 como uma série cujo termo geral envolve (x x 0 ) n. Resolução: Como a série envolve um expoente n 2 e este deve ser n, deve-se deslocar o valor de n em mais duas unidades. Lembrando que o índice n pode ser deslocado com for conveniente, desde que este deslocamento seja feito em toda a expressão, incluindo o índice dos coecientes a n. Para deslocar o índice, deve-se somar 2 em todos os termos n: n+2=2 Ou ainda, simplicando: ((n + 2) + 2)((n + 2) + 1)a n+2 (x x 0 ) (n+2) 2 (n + 4)(n + 3)a n+2 (x x 0 ) n De modo que se obtém uma série em termos de (x x 0 ) n. Em muitos casos, é conveniente avaliar alguns termos das duas séries para vericar se o deslocamento foi feito de forma correta, sem alterar a denição original. Avaliando quatro termos de cada série, temos que: 3

4 (n + 2)(n + 1)a n (x x 0 ) n 2 = (4)(3)a 2 (x x 0 ) 0 + (5)(4)a 3 (x x 0 ) 1 + (6)(5)a 4 (x x 0 ) 2 + (7)(6)a 5 (x x 0 ) (n + 4)(n + 3)a n+2 (x x 0 ) n = (4)(3)a 2 (x x 0 ) 0 + (5)(4)a 3 (x x 0 ) 1 + (6)(5)a 4 (x x 0 ) 2 + (7)(6)a 5 (x x 0 ) Assim, observa-se que as duas séries são idênticas. Exemplo 02: Escreva a seguinte expressão em termos de uma série cujo termo geral envolve x n : f(x) = x n(n 1)a n x n 2 + a n x n Resolução: Para poder juntar as duas séries em uma só, deve-se primeiramente alinhar os expoentes das duas séries, ou seja, deve-se deslocar o da primeira série para n ou o da segunda para n 2. Como está sendo pedido para escrever em termos de uma série envolvendo x n, deve-se ajustar o expoente de primeira. Primeiramente, pode-se fazer a multiplicação do termo x. Como este fator multiplica todos os termos da série, pode-se simplesmente ajustar o expoente: x n(n 1)a n x n 2 = n(n 1)a n x n 2+1 = n(n 1)a n x n 1 Agora, pode-se deslocar o índice para deixar a série em termos de x n, deslocando o índice em mais uma unidade: n(n 1)a n x n 1 = (n + 1)((n + 1) 1)a n+1 x (n+1) 1 = (n + 1)na n+1 x n n+1=2 Assim, a função f(x) pode ser escrita como: f(x) = (n + 1)na n+1 x n + a n x n A segunda etapa para juntar as duas séries em uma só é ajustar o valor de n onde a série inicia. Neste caso existem duas opções, deslocar a primeira para zero ou a segunda para um. 4

5 1 a opção - Aumentando o valor inicial do índice: Quando o valor incial do índice é aumentado, isto signica que a série irá iniciar em um termo posterior. Para não alterar a igualdade, os termos negligenciados devem ser adicionados fora do somatório. Por exemplo, quando o índice é deslocad de 0 para 1, o termo de ordem 0 é retirado do somatório e deve portanto ser adicionado para não alterar a igualdade: a n x n = a n x n + a 0 x 0 = a 0 + a n x n 2 a opção - Diminuindo o valor inicial do índice: De forma semelhante, quando o índice é diminuido, está se acrescentando termos na série que não existiam originalmente. Para não alterar a igualdade, estes termos devem ser subtraídos do somatório: (n + 1)na n+1 x n = (n + 1)na n+1 x n (0 + 1)0a n+1 x 0 Neste caso o termo subtraído é igual a zero, porém isto nem sempre será verdade: (n + 1)na n+1 x n = (n + 1)na n+1 x n Agora, pode-se juntar as duas séries utilizando qualquer uma das opções: 1 a opção: f(x) = (n + 1)na n+1 x n + a 0 + a n x n = a 0 + ((n + 1)na n+1 + a n )x n 2 a opção: f(x) = (n + 1)na n+1 x n + a n x n = ((n + 1)na n+1 + a n )x n Vale lembrar que as três formas de representar f(x) são equivalentes e caso os termos dos somatórios forem expandidos, os valores obtidos serão os mesmos. Exemplo 03: Determine uma relação para os coecientes a n que satisfazem a igualdade: a n x n = na n x n 1 Resolução: Neste caso temos uma igualdade entre duas séries. Para que esta igualdade seja válidade, os coecientes associados com cada ordem devem ser iguais. Para poder estabelecer a igualdade dos coecientes, as duas séries devem estar em termos do mesmo expoente e iniciar no mesmo valor de n. É indiferente quais das séries serão alteradas, desde que todas estejam de acordo no nal. 5

6 Primeiramente, será ajustado o expoente da série do lado direito (por conveniência) para x n, deslocando o índice em mais uma unidade: na n x n 1 = (n + 1)a n+1 x (n+1) 1 = (n + 1)a n+1 x n (n+1)=1 Neste caso, o valor inicial de n já está de acordo com o da outra série, portanto não será necessário fazer nenhuma alteração neste termo. Assim: a n x n = (n + 1)a n+1 x n Como todos os coecientes devem ser iguais, temos que: a n = (n + 1)a n+1 n = 0, 1, 2, 3,... ou ainda: a n+1 = a n n + 1 n = 0, 1, 2, 3,... Não é possível denir os valores dos coecientes, porém, supondo que o valor de algum deles seja conhecido, pode-se determinar os demais. Por exemplo, suponha que o valor de a 0 seja conhecido, os demais termos serão: n = 0 a 1 = a 0 n = 1 a 2 = a 1 2 = a 0 2 n = 2 a 3 = a 2 3 = a 0 6 = a 0 3! n = 3 a 4 = a 3 4 = a 0 4 3! = a 0 4! Assim, observa-se a seguinte relação de recorrência: a n = a 0 n! n = 1, 2, 3, 4... Obs.: Nem sempre é possível obter uma relação geral para todos os coecientes como neste caso. 6

7 Exercícios para entregar: 01) Escreva as seguintes expressões em termos de uma série cujo termo geral envolve x n : a) x na n x n 1 + a n x n 02) Determine uma relação para os coecientes a n que satisfazem a igualdade: b) (x 2 + 1) n(n 1)a n x n a n x n n(n 1)a n x n 2 x a n x n = 0 7

Documentos relacionados

Para temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de.

Para temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de. MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo,