Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I LEA, LEM, LEAN, MEAer, MEMec o Semestre de 006/007 6 a Aula Prática Soluções e algumas resoluções abreviadas. a) Como e é crescente, com contradomínio ]0, + [, o contradomínio de f é ]e, + [. Para > 0 e y ]e, + [, f() = y e = y = log y = + log y. Logo, a inversa de f é f : ]e, + [ R +, f (y) = + log y. b) O contradomínio de sen restrito a ] π, π[ é sen] π, π [=], [, logo o contradomínio de f é ], [. Para ] π, π [, y ], [, f() = y sen = y = arcsen y (note-se que y ], [, que é o domínio de arcsen ). Logo a inversa de f é ] f : ], [ π, π [, f (y) = arcsen y. c) f : ], [ ] [ 0, π, f (y) = arcos y. d) f : R ] π, + π[, f (y) = + arctg y.. Por definição, arcsen[, ] = [ π, π ], arcos[, ] = [0, π]. Temse arcos 0 = π, arcos = 0, arcos ( ) = π, arcsen ( ) 3 = π, 6 arcsen ( 3 = π, arcos ) 3 = 5π, arcsen = π, arctg = π, arctg( 3) = π sen = a = arcsen a + kπ, k Z, tg = a = arctg a + kπ, k Z. 4. a) Directamente da definição de arcos. b) Directamente da definição de arcsen. c) Se α = arcsen, então sen α = e α [ π, π ]. Queremos calcular cos α. De cos α + sen α =, cos α = ± sen α. Como α [ π, π ], cos α 0, vem cos(arcsen ) = cos α = sen α =.

2 d) Idêntico a c). e) Se α = arcsen, ±, então sen α = e α ] π, [ π. Queremos calcular tg α. De + tg α = = cos α sen α tg α = sen α = sen α sen α tg α = ± sen α sen α = sen α ± sen α. Logo, tg(arcsen ) = ±. Se α ] π, 0], então sen α 0 =. Como tg α 0, tg(arcsen ) =. Se α [ 0, π [, sen α 0 =. Como tg α 0, f) Idêntico a e). tg(arcsen ) = =. 5. f : D R função injectiva e g : f(d) D a sua inversa. a) Seja f crescente. Como f é injectiva, f é estritamente crescente. Logo, para, D, > f() > f( ). Então, para y, y f(d), y = f(), com y = f( ) (ou seja, g(y) =, g(y ) = ) y > y f() > f( ) > g(y) > g(y ). Logo g é (estritamente) crescente. b) Para y f(d), seja D, com y = f(), ou seja, tal que g(y) =. Então y = f() = f( ), porque f é ímpar, logo g( y) =, e assim g( y) = = g(y), e g é ímpar. c) Directamente de a), b) e das propriedades de sen, cos, tg. 6. a) ], [; b) R \ {k π : k Z}; c) R \ {k π : k Z}; d) ], + [; e) [0, [; f) R \ {, }; g) ], ] [, + [; h) ], 0]; i) [, sen [. 7. Como arctg é uma função limitada, arctg(u n ) é uma sucessão limitada. Por outro lado, como arctg é uma função crescente, se (u n ) é uma sucessão monótona crescente (para decrescente é idúntico), (arctg u n ) será também crescente: u n+ u n arctg(u n+ ) arctg(u n ). Sendo monótona e limitada, (arctg u n ) é convergente.

3 8. f é contínua em a R sse dado δ > 0, eiste ɛ > 0 tal que a < ɛ f() f(a) < δ. Para f() = + : dados a R e δ > 0, f() f(a) = + a = a = +a a ( + a ) a. Se V ɛ (a) a < ɛ e também = ( a) + a a + a < ɛ + a. Logo, para V ɛ (a) tem-se f() f(a) < (ɛ + a + a ) a < ( a + ɛ)ɛ. Agora para que f() f(a) < δ é suficiente escolher ɛ > 0 tal que ( a + ɛ)ɛ < δ ɛ + a ɛ δ < 0. Como ɛ + a ɛ δ = 0 ɛ = a ± 4 a +4δ = a ± a + δ, então que é suficiente tomar ɛ tal que 0 < ɛ < a + a + δ, para obter que a < ɛ f() f(a) < δ. 9. Seja φ : [a, b] R uma função contínua (com a, b R e a < b), e ( n ) de termos em [a, b] tal que lim φ( n ) = 0. Como ( n ) tem os termos em [a, b], ( n ) é limitada e, do Teorema de Bolzano-Weierstrass, tem uma subsucessão convergente que designamos por ( pn ). Como lim φ( n ) = 0, e (φ( pn )) é uma subsucessão de (φ( n )), lim φ( pn ) = 0. Por outro lado, como φ é contínua em [a, b], lim φ( pn ) = φ(lim pn ). Logo, se l = lim pn, φ(l) = Seja g : [0, ] R uma função contínua em [0, ]. a) Se eistisse uma sucessão ( n ) de termos em [0, ] tal que g( n ) = n para todo n, então lim g( n ) = +. Tomando uma subsucessão ( pn ) convergente de ( n ), que eiste pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, teríamos: lim g( n ) = + e lim g( pn ) = g(lim pn ), porque g é contínua. Logo g(lim pn ) = +, o que é absurdo. (Alternativamente, g não seria limitada em [0, ], o que é impossível, do Teorema de Weierstrass, uma vez que g é contínua em [0, ].)

4 b) Se ( n ) de termos em [0, ] é tal que g( n ) = para todo n, n então lim g( n ) = 0. Além disso, sendo ( n ) limitada, possui uma subsucessão convergente em R como na alínea anterior. Designemos essa subsucessão por ( pn ) e lim pn = c. Como ( pn ) [0, ] e este intervalo é fechado c [0, ]. Como (g( pn )) é uma subsucessão de (g( n )) também lim g( pn ) = 0. Pelo critério de continuidade de Heine lim g( pn ) = g(c) e portanto g(c) = a) é dada pelo quociente de duas funções polinomiais, logo é 3 + contínua no seu domínio D = { R : 3 + 0} = R \ {0}; b) Como a): é contínua em R \ {,, 0}; c) é contínua em [0, + [, + (como em a)), ou seja em R\{, 0}. Logo é contínua no seu domínio é contínua + em [0, + [ R \ {, 0} =]0, + [; d) sen ( cos ) é dada pela composição de funções contínuas nos seus domínios, logo é contínua no seu domínio D = { R : 0} = [, ]; e) Como d): é contínua no seu domínio, D = { R : > 0} =], [; f) 3 tg cotg é dada pela composição de funções contínuas nos seus dominíos logo é contínua no seu domínio, ou seja em D = { R : π + kπ kπ : k Z} = R \ {k π 4 : k Z}; g) + é dada pelo quociente de duas funções contínuas nos seus domínios, logo é contínua no seu domínio, R. 3 é 3 também dada pelo quociente de duas funções contínuas nos seus domínios, logo é contínua no seu domínio que é R \ {}. Logo, é contínua em R \ {} h) é dada pelo quociente de duas funções contínuas nos seus domínios, logo será contínua no seu domínio que é R{, }. (Nota: =, se < >, e =, se < <.) i) sen é dada pela composição de funções contínuas nos seus domínios, logo é contínua no seu domínio, que é D = { R : sen 0} = { R : sen = 0} = {kπ R : k Z}.. Sendo f e h duas funções e a R, tais que h é contínua em a e f é contínua em h(a), então necessariamente g = f h é contínua em a. Se f : R R é contínua no ponto, e g() = f(sen ), então, como sen é uma função contínua em qualquer a R, g será contínua em a R tal que sen(a) = a = π + kπ, com k Z.

5 3. Como tg e cotg são contínuas, respectivamente em a π + kπ, e a kπ, k Z, que tg cotg é uma função contínua em D = R \ {k π : k Z}. Sendo f uma função contínua em 0, então que g() = f(tg cotg ) é contínua em cada a D satisfazendo tg a cotg a = 0. Como, tg a cotg a = tg a tg a = tg a, tg a e, portanto, tg a cotg a = 0 equivale a tg a = ±, ou seja a = ± π 4 + kπ, com k Z, concluimos que a função dada é necessariamente contínua nestes pontos. 4. Temos f() = d() = { 0, se Q,, se R \ Q. Para a 0: se a Q, podemos definir n = a +, y n n = a + e n n a, y n a, n Q f( n ) = 0 = f(a), y n R \ Q f(y n ) = y n = a + a 0. n Logo f não é contínua em a (usando a definição no sentido de Heine). Para a / Q, a demonstração é semelhante. (Alternativamente, usando a definição no sentido de Cauchy, eiste δ > 0, por eemplo, δ = a, tal que em qualquer vizinhança de a eistem pontos tais que f() f(a) > δ: se a Q, toma-se R \ Q, se a R \ Q, toma-se Q.) Para a = 0: se ( n ) é uma sucessão arbitrária tal que n 0, então f( n ) = n d( n ). Como d é limitada, d( n ) é uma sucessão limitada. Logo, como n 0, f( n ) = d( n ) n 0 = f(0). Logo f é contínua em 0. (Alternativamente, usando a definição no sentido de Cauchy, f() f(0) = f(). Logo, dado δ > 0, eiste ɛ > 0, por eemplo, ɛ = δ tal que Logo f é contínua em 0. ) 0 < ɛ f() f(0) < δ. 5. a) lim 0 = + : de mostrar que dado δ > 0 arbitrário, eiste ɛ > 0 tal que 0 < ɛ > δ.

6 Então, dado δ > 0, > δ < δ < δ. Tomando, por eemplo, ɛ = δ, mostramos que lim 0 = +. c) lim + = + : de mostrar que dado δ > 0 arbitrário, eiste ɛ > 0 tal que > ɛ > δ. Dado δ > 0, > δ > δ. Tomando, por eemplo, ɛ = δ, mostramos que lim + = a) lim = ; b) lim 3 + = lim ( )+ ( )(+) = lim + + = ; e c) lim 0 = lim 0 e e = 0 = 0, dado que lim 0 =. [ d) lim 0 ( cos )] = 0 (como g)). e) lim 0 sen não eiste: se n =, e y nπ n = π que +nπ n 0, y n 0, sen = sen(nπ) = 0, e sen = sen( π +nπ) =. n y n Como lim sen n lim sen y n e ( n ), (y n ) são sucessões convergente para 0, que lim 0 sen não eiste. f) lim + sen = sen(0) = 0; g) lim 0 sen = 0: dada uma sucessão arbitrária ( n) tal que n 0 (e n 0), lim n sen n = 0 uma vez que ( n ) é um infinitésimo e (sen n ) é uma sucessão limitada. 7. a) lim 3+ = lim ( ) ( )( ) = lim tg 5 b) lim 0 = lim sen 5 5 arcos 0 = 5π 5 cos arcos sen lim 0 =. =, ( ) = 0, uma vez que π