Matemática Computacional I

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1 Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática Matemática Computacional I CURSO: ENGENHARIA INFORMÁTICA Alberto Simões [email protected] 204/205

2 Conteúdo Funções Reais de Variável Real. O Conjunto dos Números Reais Definições e Generalidades Função Inversa Função Composta Funções Elementares Exercícios Limites de Funções Noções Topológicas Definição de Limites e Propriedades Limites Importantes Assímptotas Exercícios Continuidade Teoremas Importantes Exercícios Cálculo Diferencial Definição de Derivada Regras de Derivação Teoremas Principais Derivada de Ordem Superior Aplicação das Derivadas Exercícios Cálculo Integral Primitivas Primitivas Imediatas Primitivação por Partes Primitivação por Substituição Primitivação de Funções Racionais II

3 CONTEÚDO III 3.2 Integrais Integral de Riemann Propriedades Cálculo de Integrais Aplicação dos Integrais Integrais Impróprios Exercícios Sucessões Definição de Sucessão e Subsucessão Representação Gráfica de uma Sucessão Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas Princípio de Indução Matemática Monotonia Sucessões Limitadas Sucessões Convergente Critérios de Convergência Recta Acabada Cálculo de Limites com Indeterminações Exercícios Séries Noção de Somatório Definição de Série Numérica Séries Notáveis Série Geométrica Série de Mengoli Série de Dirichlet Propriedades Séries de Termos Não Negativos Séries Alternadas Convergência Absoluta Séries de Potências Séries de Taylor e de Mac-Laurin Exercícios Testes e Exames do Ano Anterior (TSI e EI) 02

4 Capítulo Funções Reais de Variável Real. O Conjunto dos Números Reais Denotamos por IN o conjunto dos números naturais, ou seja IN = {, 2, 3,...}. Este conjunto surge da necessidade em fazer contagens. Dada a impossibilidade em resolver a equação x + 2 = em IN surge o conjunto dos números inteiros, que, para além dos naturais, contém o 0 e os inteiros negativos. Denotamos este conjunto por Z. Temos Z = {..., 2,, 0,, 2,...}. Mas, também aqui, dada a impossibilidade em resolver equações do tipo 2x+ = 4 surge o conjunto dos números racionais denotado por Q. Este conjunto contém todos os números inteiros, bem como todas as fracções positivas ou negativas. É definido por { m } Q = n : m Z, n IN. Por fim, o conjunto dos números reais, IR, aparece pela impossibilidade de resolver algumas equações que envolvem potências no conjunto dos números racionais. Por exemplo, a equação x 4 = 3 tem como solução o número irracional 4 3 =, com dízima infinita não periódica. São ainda irracionais os chamados números transcendentes. Como exemplo de transcendentes temos o número de ouro φ = + 5 =, , o número de néper e = 2, e π = 3, Temos assim, IR = {x : x Q ou x é irracional}. Temos, IN Z Q IR.

5 2 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Os números Reais representam-se numa recta horizontal, orientada da esquerda para a direita, a que chamamos de eixo numérico. O zero representa-se a meio deste eixo, ficando os números negativos à esquerda e os positivos à direita. Os subconjuntos de IR, que também são conjuntos, podem ser discretos ou contínuos definidos por conjuntos de números ou por intervalos, respectivamente. Como exemplo de conjunto discreto temos, por exemplo, A = {, 2, 3,...}. Dados dois números a, b IR tais que a b temos os seguintes conjuntos contínuos, ]a, b[= {x IR : a < x < b}, ]a, b] = {x IR : a < x b}, [a, b] = {x IR : a x b}, [a, b[= {x IR : a x < b}, [a, + [= {x IR : a x}, ], b[= {x IR : x < b}, ], b] = {x IR : x b}, ], + [= IR. ]a, + [= {x IR : a < x}, Temos as seguintes propriedades para os números reais. Propriedades.. (Propriedades de Ordem) Para quaisquer números reais a, b, c e d, temos a) Se a < b e b < c, então a < c, b) Se a b, então a < b ou b < a, c) Se a b e b a, então a = b, d) Se a 0, então a 2 > 0, e) a < b se e só se a + c < b + c, f) Se a < b e c < d, então a+c < b+d, g) Se a < b e c > 0, então ac < bc, h) Se a < b e c < 0, então ac > bc, i) Se a > 0, então a > 0, j) Se a < 0, então a < 0, k) Se a < b, então a < a+b 2 < b, l) ab > 0 se e só se (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). No conjunto dos números reais estão definidas 4 operações. A adição, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a + b. A multiplicação, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b ou, para simplificar, ab. A subtração, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b.

6 .. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 3 A divisão, que a cada par de reais a e b faz corresponder um real a b. Apresentamos de seguida algumas das suas principais e indispensáveis propriedades assim como algumas fórmulas que nunca são demais recordar. Propriedades..2 ) Associatividade da Adição e da Multiplicação, a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c IR, a (b c) = (a b) c a, b, c IR, 2) Comutatividade da Adição e da Multiplicação, a + b = b + a a, b IR, a b = b a a, b IR, 3) Existência de Elemento Neutro para a Adição e para a Multiplicação, 4) Existência de Oposto para Adição, a + 0 = a a IR, a = a a IR, a IR, a IR : a + ( a) = 0, 5) Existência de Inverso para a Multiplicação, a IR \ {0}, b IR : a b =, 6) Distributividade da Multiplicação em Relação à Adição, a (b + c) = a b + a c a, b, c IR, 7) Considerando b 0 e d 0, a b ± c d ad ± bc =, bd 8) Considerando b 0 e d 0, a b c d = ac bd, 9) Considerando b 0, c 0 e d 0, a b c d = a b d c = ad bc.

7 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Propriedade..3 (Lei do Corte da Adição) Sejam a, b e c números reais. Então, a + c = b + c se e só se a = b. Propriedade..4 (Lei do Corte da Multiplicação) Sejam a, b e c números reais com c 0. Então, ca = cb se e só se a = b. Propriedade..5 (Lei do Anulamento do produto) Sejam a e b números reais. Então, Fórmulas..6 Sejam a, b, c IR. Temos, a) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, b) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, c) (a + b)(a b) = a 2 b 2, d) a + x = b x = b a, ab = 0 se e só se a = 0 ou b = 0. e) ax = b x = b a onde a 0, f) ax 2 + bx + c = 0 x = b± b 2 4ac 2a com a 0. Definição..7 (Módulo) Seja x IR. O módulo, ou valor absoluto, de x é definido por, { x se x 0 x = x se x < 0 Propriedades..8 Para quaisquer a, b IR, temos a) a = 0 se e só se a = 0, b) a 0, c) ab = a b, d) a + b a + b. Propriedades..9 Seja a 0 um real. Temos,

8 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 5 a) x =a x= a ou x=a x=±a, b) x a x a x a, c) x a x a x a, d) x = y x = y x = y, e) x = y x 2 = y 2..2 Definições e Generalidades Definição.2. (Função real de variável real) Uma Função real de variável real é uma correspondência que a cada elemento x de um subconjunto D IR associa um único valor y de um subconjunto C IR. De um modo geral representamos uma função por onde, f : D C x y = f(x) D chama-se domínio da função. É usualmente denotado por D f, C chama-se conjunto de chegada da função, x é a variável independente e toma valores em D (x D), y é a variável dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a variável x. O número real que é imagem de x D, através da função, designa-se por imagem de x e representa-se por y = f(x). O conjunto das imagens, através da função f, dos pontos de D designa-se de contradomínio ou conjunto imagem e denota-se por C f, D f ou f(d). Observação.2.2 Não é obrigatório que o conjunto de chegada e o contradomínio sejam iguais. Ou seja, podemos dizer que f : D C mesmo que nem todos os pontos de C sejam imagens de algum x D. Definição.2.3 (Gráfico) Dada uma função f : D IR IR, chama-se gráfico da função f ao conjunto Definição.2.4 Uma função f : D IR IR diz-se G f = {( x, y) IR 2 : x D f, y = f(x) IR}.

9 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL crescente se x < y f(x) f(y), x, y D, estritamente crescente se x < y f(x) < f(y), x, y D, decrescente se x < y f(x) f(y), x, y D, estritamente decrescente se x < y f(x) > f(y), x, y D, par se f(x) = f( x), x D, ímpar se f( x) = f(x), x D. Uma função diz-se monótona se é crescente ou decrescente. Diz-se estritamente monótona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Observação.2.5 Uma função é par quando é simétrica em relação ao eixo dos yy. Uma função é ímpar quando é simétrica em relação à origem. Definição.2.6 (Máximo e Mínimo) Sejam f : D IR IR e c D. Diz-se que f(c) é um máximo de f se f(x) f(c), x D. A c chamamos de maximizante. Diz-se que f(c) é um mínimo de f se f(x) f(c), x D. A c chamamos de minimizante. De um modo geral, chamamos aos máximos e mínimos de extremos de f. Geometricamente temos, por exemplo, Definição.2.7 (Função limitada) Uma função f : D IR IR diz-se limitada se M IR + : f(x) < M, x D. Ou seja, uma função é limitada quando o seu contradomínio é um conjunto limitado.

10 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 7 Definição.2.8 (Zeros) Chamam-se zeros da função f aos elementos x do domínio tais que f(x) = 0. Definição.2.9 (Restrição) Sejam f : D IR IR e A D. A restrição de f a A, denotada por f A, é a função de A em IR tal que f A (x) = f(x) para cada x A. Definição.2.0 Uma função f : D IR B IR diz-se injectiva se sobrejectiva se x, y D, x y f(x) f(y), y B, x D : y = f(x), bijectiva se for injectiva e sobrejectiva, ou seja, y B, x D : y = f(x). Observação.2. Uma função é injectiva se e só se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto. não injectiva injectiva.2. Função Inversa Definição.2.2 (Função Inversa) Seja f : D IR IR uma função real de variável real. A função f : f (D) IR IR tal que f (f(x)) = f (f (x)) = x define a função inversa de f. Temos y = f(x) f (y) = x.

11 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL.2.2 Função Composta Definição.2.3 (Função Composta) Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que D f D g. Define-se a composição das funções, f com g, como sendo a função que a cada elemento x D g faz corresponder um único elemento no conjunto de chegada de f. Denotamos a composição de f com g por f g (que se lê f após g) e define-se por f g : D f g IR com D f g = {x D g : g(x) D f }. x (f g) (x) = f (g(x)), Observação.2.4 Note que a composição de funções não é comutativa, ou seja, f g g f. Exemplo.2.5 A função h(x) = ln (x 2 + ), x IR, pode ser vista como a composição da função polinomial f(x) = x 2 + com a função logarítmica g(x) = ln x, ou seja, h(x) = (g f) (x)..2.3 Funções Elementares Vamos apresentar algumas das mais importantes funções. Definição.2.6 (Função Polinomial) Uma função polinomial é definida por f : D IR IR onde a 0, a,..., a n IR e n IN 0. Exemplos.2.7 x f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0, Se n = 0, obtemos a função constante f(x) = a 0, usualmente denotada por f(x) = c com D f = IR e C f = {c}. Se n =, obtemos a função afim f(x) = a x + a 0, usualmente denotada por f(x) = ax + b com D f = IR e C f = IR para a 0. O gráfico da função afim é uma recta de equação y = ax + b, onde a indica o declive da recta. No caso de a 0, o zero da função é dado por x = b a.

12 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 9 Se n = 2, obtemos a função quadrática f(x) = a 2 x 2 +a x+a 0, usualmente ( de- ) b, c b2. 2a 4a notada por f(x) = ax 2 +bx+c e chamada de parábola com vértice ] Temos D f = IR. Quando a < 0 temos C f =, c b2 4a C f = [ c b2 4a, + [. Quando b 2 4ac < 0 a função não tem zeros. Se b 2 4ac = 0 a função tem apenas o zero x = b 2a. Para b 2 4ac > 0 a função tem os dois zeros x = b+ b 2 4ac 2a Definição.2.8 (Função Racional) Uma função racional é definida por f : D IR IR x f(x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, ]. Para a > 0 temos e x 2 = b b 2 4ac 2a. com a 0, a,..., a n, b 0, b,..., b m IR, n, m IN 0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si. Uma função racional para estar bem definida tem de ter o denominador diferente de 0. Assim D f = { x IR : b m x m + b m x m b x + b 0 0 }. Os zeros da função racional são dados pelos zeros do numerador. Definição.2.9 (Função exponencial) Definimos a função exponencial por A função exponencial não tem zeros. f : IR ]0, + [ x f(x) = e x. Observação.2.20 Considerando a um número real positivo, definimos a função exponencial de base a por f : IR ]0, + [ Proposição.2.2 Sejam a, b ]0, + [ e x, y IR. Temos, x f(x) = a x.

13 0 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL a 0 =, a x+y = a x a y, a x = a x, a x y = ax a y, (a x ) y = a xy, a x b x = (ab) x, É sempre positiva, Se x > y e a >, então a x > a y, Se x > y e 0 < a <, então a x < a y, É estritamente crescente se a >, estritamente decrescente se 0 < a < e constantemente igual a se a =, É injetiva em todo o seu domínio se a. Definição.2.22 (Função Logarítmica de base a) Seja a um número real positivo diferente de, definimos a função logarítmica de base a por f : ]0, + [ IR x f(x) = log a x. Esta função tem o único zero x =. Quando a = e temos a notação f(x) = log a x ln x. Proposição.2.23 Sejam a, b IR + \ {}, x, y IR + e n IN. Temos, log a a =, log a = 0, log a (xy) = log a (x) + log a (y), log a ( ) = log y a(y), log a ( x y ) = log a(x) log a (y), log a (x n ) = n log a (x), log a x = log b x log a b, Se x > y e a >, então log a (x) > log a (y), Se x > y e 0 < a <, então log a (x) < log a (y), É estritamente crescente se a > e estritamente decrescente se 0 < a <, É uma função injetiva.

14 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES Definição.2.24 (Função Seno) Definimos a função seno por É uma função ímpar. Os zeros são x = kπ, k Z. f : IR [, ] x f(x) = sen x. Definição.2.25 (Função Cosseno) Definimos a função cosseno por É uma função par. Os zeros são x = π + kπ, k Z. 2 f : IR [, ] x f(x) = cos x. Definição.2.26 (Função Tangente) Definimos a função tangente por { π } f : IR\ 2 + kπ : k Z É uma função ímpar. Os zeros são x = kπ, k Z. IR x f(x) = sen x cos x = tg x. Definição.2.27 (Função Cotangente) Definimos a função cotangente por É uma função ímpar. Os zeros são x = π + kπ, k Z. 2 f : IR\ {kπ : k Z} IR x f(x) = cos x sen x = cotg x. Apresentamos agora uma série de resultados e fórmulas muito úteis quando estamos a trabalhar com funções trigonométricas.

15 2 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Tabela.2.28 (Valores Principais) π π π π 3π Radianos 0 π 2π Graus sen 0 2 cos 2 tg 0 cotg Tabela.2.29 (Reduções ao Primeiro Quadrante) π x 3π 2 2 sen sen x cos x sen x cos x ±sen x cos cos x sen x cos x ±sen x cos x tg x tg x cotg x ±tg x cotg x ±tg x cotg cotg x tg x ±cotg x tg x ±cotg x Fórmulas.2.30 (Fórmulas Trigonométricas) sen 2 x + cos 2 x =, + tg 2 x = cos 2 x = sec2 x, + cotg 2 x = sen 2 x = cosec2 x, sen(x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x, cos(x ± y) = cos x cos y sen x sen y, tg(x ± y) = tg x±tg y tg x tg y, sen(2x) = 2 sen x cos x, cos(2x) = cos 2 x sen 2 x = 2 cos 2 x = 2 sen 2 x, sen x ± sen y = 2 sen x±y 2 cos x y 2, cos x cos y = 2 sen x+y 2 sen x y 2, tg x ± tg y = sen(x±y) cos x cos y, cos x + cos y = 2 cos x+y 2 cos x y 2.

16 .2. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 3 Fórmulas.2.3 (Resolução de Equações Trigonométricas) sen x = sen α x = ( ) n α + nπ, n Z, cos x = cos α x = ±α + 2nπ, n Z, tg x = tg α x = α + nπ, n Z, cotg x = cotg α x = α + nπ, n Z. Apresentamos agora as funções trigonométricas inversas. Definição.2.32 (Função arco-seno) Definimos a função arco-seno como sendo a inversa da função seno restringida ao intervalo [ π, ] π 2 2. Temos assim, [ f : [, ] π 2, π ] 2 x f(x) = arcsen x. É uma função ímpar. O zeros é x = 0. Por definição temos arcsen x = y x = sen y e y [ π 2, π 2 ]. Definição.2.33 (Função arco-cosseno) Definimos a função arco-cosseno como sendo a inversa da função cosseno restringida ao intervalo [0, π]. Temos assim, f : [, ] [0, π] x f(x) = arccos x. É uma função que não é par nem ímpar. O zeros é x =. Por definição temos arccos x = y x = cos y e y [0, π]. Definição.2.34 (Função arco-tangente) Definimos a função arco-tangente como sendo a inversa da função tangente restringida ao intervalo ] π, [ π 2 2. Temos assim, ] f : IR π 2, π [ 2 x f(x) = arctg x. É uma função ímpar. O zeros é x = 0. Por definição temos arctg x = y x = tg y e y ] π 2, π 2 [.

17 4 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.2.35 (Função arco-cotangente) Definimos a função arco-cotangente como sendo a inversa da função cotangente restringida ao intervalo ]0, π[. Temos assim, f : IR ]0, π[ x f(x) = arccotg x. É uma função que não é par nem ímpar. Não tem zeros. Por definição temos arccotg x = y x = cotg y e y ]0, π[. Temos agora duas funções hiperbólicas. Definição.2.36 (Função Seno Hiperbólico) Definimos a função seno hiperbólico por É uma função ímpar. O zero é x = 0. f : IR IR x f(x) = senh x = ex e x. 2 Definição.2.37 (Função Cosseno Hiperbólico) Definimos a função cosseno hiperbólico por É uma função par. Não tem zeros. f : IR [, + [ x f(x) = cosh x = ex + e x. 2 Fórmulas.2.38 cosh 2 x senh 2 x =, tgh 2 x = cosh 2 x, senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y..3 Exercícios. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões.

18 .3. EXERCÍCIOS 5 (a) arcsen(3/2) (b) arccos( 3 2 ) (c) π 3 arctg( 3 3 ) (d) sen(arccos( /2)) (e) cos(arcsen( 2 2 )) (f) tg(arcsen( /2)) (g) sen(arctg) (h) cos(arctg( 3)) (i) arccos(cos( π 4 )) (j) cos(arcsen( 4 5 )) (k) sen(arccos( 5 3 )) (l) tg(arcsen( 3 4 )) (m) cotg(arcsen( 2 3 )) (n) sen(2arcsen( 4 5 )) (o) tg(2 arccos( 3 5 )) (p) sen(arcsen( 3 4 ) + arccos( 4 )) (q) cos(arccos( 4 ) + arcsen( 3 4 )) 2. Simplifique as seguintes expressões. (a) sen(arccos x + π) (b) cos 2 ( arccos x 2 ) (c) cos(arcsen x) 3. Resolva as seguintes equações e inequações (a) arcsen(3x 2) = 0 2 (b) e +2cosx = (c) arcsen( 3 2 ) = x (d) cos(arctg x) = 2 2 (e) e cos(2x) > (f) cos x 2 > 0 5+log /2 x 4. Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções (a) f(x) = cosx (b) f(x) = cos(2x + π/3) + (c) f(x) = arccos( x 2) (d) f(x) = sen(π/3) + 3tg(x/2) (e) f(x) = 3 arcsen(2x ) (f) f(x) = arccos( + 2x) 2 (g) f(x) = cos( π 3 ) + 2arcsen( 2+x ) (h) f(x) = ln(π/2 arcsen( x 2 )) (i) f(x) = 2 /senx 5. Considere a função dada por f(x) = + arcsen( + 3x). (a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f. (b) Calcule f(0) e f( /6). (c) Determine as soluções da equação f(x) = + π/3. (d) Caracterize a função inversa de f. 6. A partir de gráficos conhecidos esboce graficamente as seguintes funções.

19 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL (a) f(x) = ln x (b) f(x) = x + (c) f(x) = ln 2 x (d) f(x) = sen x (e) f(x) = log (x + 3) 2 (f) f(x) = tg x π (g) f(x) = 5cos x (h) f(x) = 0e x 5 (i) f(x) = cos 2x 7. Represente graficamente as funções, assinalando os zeros e o vértice das parábolas. (a) f(x) = x 2 + 2x + (b) f(x) = x 2 5x + 6 (c) f(x) = x 2 + 7x 2 8. Indique quais das seguintes funções são pares ou ímpares. (a) f(x) = x (b) f(x) = x (c) f(x) = x + 4 (d) f(x) = x3 x x 2 + (e) f(x) = x 2 (f) f(x) = cos 2x 9. Diga, justificando, quais das seguintes funções são limitadas. (a) f(x) = cotg x, x ]0, π[ (c) f(x) = x 2, x ]0, 0[ (b) f(x) = x, x IR + (d) f(x) = 2 cos x 7 0. Caracterize f g, sendo (a) f(x) = e 2x+ e g(x) = x+3 (b) f(x) = x+ x 2 e g(x) = 2x 4 { x x < 0 x 2 x 0. Considere a função f(x) = sen 3x. (a) Determine D f e D f. (b) Determine os seus zeros. 2. Considere a função f(x) = + arcsen(3x + ). (a) Recorde o que já foi analisado no exercício 5. (b) Determine os zeros de f. (c) Sabendo que a função é crescente, calcule o maximizante e o minimizante de f. (d) Veja que defacto f é crescente.

20 .3. EXERCÍCIOS 7 3. Seja f : IR + IR definida por Mostre que f(x) = 20+log 3x 4. f(x) = 2 + log 3 (27 4 x). 4. Considere a função real de variável real f definida por, (a) Indique D f. ( (b) Prove que f(x) = log 4x 4 ) 2 x+2. (c) Determine os zeros de f. (d) Caracterize f. f(x) = log 2 (x ) log 2 (x + 2) Considere as funções x f(x) = e x (x + ) e g(x) = sen x ex + e x. Determine D f e D g. 6. Considere a função definida por f(x) = { arcsen x x 0 arctg x 0 < x. (a) Calcule f( ), f(0) e f(). (b) Esboce o gráfico de f. 7. Considere a função dada por f(x) = 2 sen(2x) cotg x. (a) Determine o domínio e os zeros de f. (b) Mostre que a função é par. (c) Resolva a equação f(x) = 2 sen x. 8. Considere as funções dadas por f(x) = cos x e g(x) = x 2. (a) Determine o domínio de g f. (b) Mostre que (g f)(x) = sen 2 x, para todo o x pertencente ao domínio de g f. (c) Calcule (g f)( 2π 3 ).

21 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 9. Durante uma promoção, o preço de venda de um portátil é dado por p(x) = 455x + 50 x em que p e x representam, respectivamente, o preço em euros e as unidades do produto. (a) Calcule p() e interprete o valor obtido no contexto do problema. (b) Se forem vendidos muitos portáteis, o que sucede ao preço de cada um? Justifique. 20. Dada a função g(x) = 3 arcsen(2x ), (a) Calcule g(0) e g( 3 ). (b) Determine o domínio e o contradomínio de g. (c) Caracterize a função inversa de g. (d) Calcule os zeros de g. 2. Calcule o domínio e o contradomínio das funções seguintes. ( ) x (a) f(x) = π + arccos 2 (d) f(x) = arctg(2x x 2 ) 2 (b) f(x) = arcsen(x 2 ) (e) f(x) = 3 + arcsen ( ) 3x (c) f(x) = arctg ( 2 ) (f) f(x) = arccos ( ) 2 x+5 x 22. Caracterize a aplicação inversa de cada uma das seguintes funções. (a) f(x) = arcsen(3x 2) 2 (b) f(x) = arctg x (c) f(x) = + cos(2x) (d) f(x) = (4x 36) 2.4 Limites de Funções.4. Noções Topológicas Definição.4. (Vizinhança) Sejam a IR, ε > 0. Chama-se vizinhança ε de a ao conjunto V ε (a) = ]a ε; a + ε[. Definição.4.2 (Pontos Interiores e Exteriores) Sejam A um subconjunto de IR e a IR. Diz-se que a é um ponto interior a A se existir uma vizinhança de a contida em A. Ou seja, ε > 0 : V ε (a) = ]a ε; a + ε[ A.

22 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 9 Ao conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(a). Diz-se que a é um ponto exterior a A se existir uma vizinhança de a contida em IR \ A (complementar de A), isto é, ε > 0 : V ε (a) = ]a ε; a + ε[ A C = IR \ A. Ao conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(a). Definição.4.3 (Pontos Fronteiros) Diz-se que a é um ponto fronteiro a A se toda a vizinhança de a interseta A e IR\A. Ou seja, ε > 0, V ε (a) A V ε (a) A C. Ao conjunto dos pontos fronteiros chama-se fronteira de A e representa-se por fr(a). Observação.4.4 Consideremos um conjunto A IR qualquer. Temos, int(a) ext(a) = int(a) fr(a) = fr(a) ext(a) = int(a) ext(a) fr(a) = IR. Definição.4.5 (Aderência ou Fecho) Ao conjunto A = A fr(a) = int(a) fr(a) chama-se fecho ou aderência de A. Diz-se que a é um ponto aderente a A se a A. Ou seja, ε > 0, V ε (a) A. Definição.4.6 (Ponto de Acumulação e Derivado) Sejam a IR e A IR. Diz-se que a é ponto de acumulação de A se toda a vizinhança de A interseta A \ {a}, ou seja, se em qualquer vizinhança de a existe pelo menos um elemento de A diferente de a. Isto é, ε > 0, V ε (a) A \ {a}. O Derivado de A é o conjunto de todos os pontos de acumulação e representa-se por A.

23 20 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.4.7 (Ponto Isolado) Diz-se que a é um ponto isolado de A se a A e existe uma vizinhança de a que não interseta A \ {a}. Ou seja, Propriedades.4.8. A = A A. ε > 0, : V ε (a) A = {a}. 2. Todo o ponto interior de A pertence a A. 3. Nenhum ponto exterior a A pertence a A (pois pertence ao complementar de A, IR \ A). 4. Todo o ponto de A é aderente a A. 5. Um ponto fronteiro a A pode ou não pertencer a A e o mesmo sucede com um ponto aderente e um ponto de acumulação de A. 6. Se a int(a), então a é ponto de acumulação de A. 7. Um ponto isolado de A pertence a A e a A mas não pertence a A. Definição.4.9 (Conjuntos Abertos e Fechados) Seja A IR, diz-se que A é aberto se A = int(a). Diz-se que A é fechado se A = A. Observação.4.0. A é fechado se e só se fr(a) A. 2. A é fechado se e só se IR \ A é aberto. Definição.4. (Majorantes e Minorantes) Sejam a, b IR e A um subconjunto de IR. Diz-se que a é majorante de A se a x, x A. Diz-se que b é minorante de A se b x, x A. Representamos o conjunto dos majorantes de A por M(A) e o conjunto dos minorantes por m(a). Definição.4.2 (Conjunto Limitado) Seja A um subconjunto de IR. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado diz-se limitado.

24 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 2 Definição.4.3 (Supremo e Máximo) Seja A um subconjunto majorado de IR. Diz-se que β é o supremo de A se β for o menor dos majorantes de A, representando-se por sup(a). Se β, o supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o máximo de A e representa-se por max(a). Definição.4.4 (Ínfimo e Mínimo) Seja A um subconjunto minorado de IR. Diz-se que α é o ínfimo de A se α for o maior dos minorantes de A, representando-se por inf(a). Se α, o ínfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o mínimo de A e representa-se por min(a). Teorema.4.5 Em IR todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem ínfimo. Nota.4.6 Um conjunto majorado pode não ter máximo e um conjunto minorado pode não ter mínimo. Exercício.4.7 Sejam { 2 A = n, } n IN, B = ] 3, 0] {4} e C = [ 2, 3[. Determine o conjunto dos pontos interiores, exteriores e fronteiros de A, B e C. Exercício.4.8 Determine o derivado, o fecho e verifique se são abertos ou fechados os seguintes conjuntos de números reais. A = {x IR : x 5 > }, B = {x IR : (x ) 2 + x < 7}, C = {x IR : x = cos(nπ) n IN}. Exercício.4.9 Determine o conjunto dos majorantes, minorantes, supremo, ínfimo, máximo e mínimo dos seguintes conjuntos, D = {x IR : 2x > x + 3 }, E = {x IR : 2x + > x + 2 }, F = {x IR : x = ( )n n+4 n IN} [2, 3]. Apresente as restantes noções topológicas para o conjunto F.

25 22 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL.4.2 Definição de Limites e Propriedades Vamos nesta secção considerar funções do tipo f : D IR IR, ou seja, funções reais de variável real com domínio D IR. Definição.4.20 (Limite) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, ou quando x tende para a quando Se existir, escrevemos ε > 0 δ > 0 : x D f 0 < x a < δ f(x) b < ε. limf(x) = b. x a Observação.4.2 Geometricamente, quando existe limite, a definição diz-nos que numa qualquer vizinhança próxima de x = a vai existir sempre uma vizinhança de y = b que contém a imagem de f(x). lim f(x) = b x a lim f(x) não existe x a Definição.4.22 (Limite no infinito) Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para +, e escreve-se lim x + f(x) = b se ε > 0 δ > 0 : x D f x > δ f(x) b < ε. Diz-se que um numero real b é o limite de uma função f quando x tende para, e escreve-se lim x f(x) = b se ε > 0 δ > 0 : x D f x < δ f(x) b < ε.

26 .4. LIMITES DE FUNÇÕES 23 Quando o ponto x = a, onde se pretende calcular o limite, é, por exemplo, uma extremidade do conjunto D f temos de saber por que valores de x D f nos vamos aproximar de x = a, se por valores x > a ou x < a. Assim temos a definição de limites laterais. Definição.4.23 (Limites Laterais) Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a, um ponto de acumulação do domínio da função, ou quando x tende para a, por valores à direita de a quando Se existir, escrevemos ε > 0 δ > 0 : x D f x < a + δ f(x) b < ε. lim x a +f(x) = b. Diz-se que um número real b é o limite de uma função f no ponto x = a (ponto de acumulação) ou quando x tende para a, por valores à esquerda de a quando ε > 0 δ > 0 : x D f a δ < x f(x) b < ε. Se existir, escrevemos lim x a f(x) = b. Observação.4.24 Quando lim x a +f(x) = lim f(x) = b, ou seja, quando os limites laterais existem e são iguais, podemos afirmar que x a limf(x) = b. x a Apresentamos agora algumas propriedades. Proposição.4.25 O limite de uma função, quando existe, é único. Proposição.4.26 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real e x = a um ponto de acumulação de D f D g {, + }. Suponhamos que existem os limites de f e g quando x tende para a e se tem limf(x) = b e lim g(x) = c x a x a com b, c IR.

27 24 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Então, existem os limites de f + g, f g, fg quando x tende para a e temos lim [f(x) + g(x)] = b + c, lim x a [f(x) g(x)] = b c, lim x a [f(x)g(x)] = bc, x a e se c 0, então também existe o limite de f/g quando x tende para a e temos f(x) lim x a g(x) = b c. Se f(x) > 0 para todo x D f, então existe o limite de f g quando x tende para a e temos lim x a f(x)g(x) = b c. Proposição.4.27 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real. Se lim x a f(x) = 0 e g é uma função limitada numa vizinhança de a, então limf(x)g(x) = 0. x a Proposição.4.28 Seja a IR {, + } e f, g e h funções reais de uma variável real cujos domínios contém uma vizinhança de a e tais que nessa vizinhança se tenha f(x) g(x) h(x). Se existirem os limites de f e h quando x tende para a e lim x a f(x) = limh(x) = b, x a então também existe o limite de g quando x tende para a e temos limg(x) = b. x a Proposição.4.29 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real, a IR um ponto de acumulação de D f e b um ponto de acumulação de D g. Se então lim x a f(x) = b e limg(x) = g(b), lim x a x b (g f)(x) = limg(f(x)) = g(b). x a Com as devidas adaptações podemos considerar as propriedades anteriores considerando limites para o infinito. Para o efeito, é necessário ter em conta as convenções apresentadas na Secção 4.9 e os casos particulares e as indeterminações apresentadas na Secção 4.0.

28 .4. LIMITES DE FUNÇÕES Limites Importantes No cálculo de limites, é usual usarem-se resultados sobre limites já conhecidos. São os chamados limites notáveis que passamos a apresentar. Nota.4.30 Temos os seguintes limites notáveis, ( sen x lim =, lim x 0 x x + ln(x + ) lim x 0 x ln x lim x + x arctg x lim x 0 x tg x =, lim x 0 x = 0, lim =. x + e x + x) x = e, lim x 0 e x =, lim x 0 x = + (p IR), x lim p cos x x 2 = 2, arcsen x x 0 x =, =, Temos agora, para recordar, uma proposição que também será de grande utilidade para o cálculo de limites de funções reais de variável real. Observação.4.3 Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação de D f ou a = ±, tais que lim x a f(x) = c com c IR+. Então, [ ] lim [ln (f(x))] = ln lim f(x) = ln c. x a x a Importante.4.32 (Indeterminações) Para recordar tudo o que já sabe sobre o cálculo de limites com indeterminações veja as regras da Secção 4.0 considerando funções no lugar de sucessões..4.4 Assímptotas Apresentamos agora um conceito importante quando queremos representar geometricamente uma função. Definição.4.33 (Assímptota Vertical) Diz-se que a recta de equação x = a é uma assímptota vertical da função f se algum dos limites existir. lim x a +f(x) = ±, lim x a f(x) = ± ou limf(x) = ± x a

29 26 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Definição.4.34 (Assímptota Oblíqua) Diz-se que a recta de equação y = mx + b é uma assímptota oblíqua da função f se existem e são finitos os limites m = f(x) lim x ± x e b = lim [f(x) mx]. x ± Observação.4.35 (Assímptota Horizontal) Quando m = 0 temos y = b que é a equação de uma Assímptota Horizontal..5 Exercícios. Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados. (a) A =]0, 2] [3, 5[ {6, 7} (b) B = {x IR : x 2 < } (c) C = {x IR : x 2 x 6 > 0} (d) D = {x IR : 2x 2 3x > 5} (e) E = {x IR : x 3 > x} (f) F = {x IR : x 2 (x ) 0} (g) G = {x IR : 0 x 2 < 3} (h) H = { x IR : x > } x x+3 x 2 (i) I = {x IR : x + 2} (j) J = {x IR : x 2 } (k) K = {x IR : x + 2 x 3 } (l) L = { x IR : } 2x > 2 2x 3 2. Determine os seguintes limites. (a) lim x 2 3 x x 2 3 (b) lim x 0 5x x 7 x 2 (c) lim x x x 2 9 (d) lim x 3 x 3 x 2 + 2x 3 (e) lim x x x 2 2x (f) lim x 0 3x 3 + x 2 + x 2 4 x (g) lim x 0 x (h) lim x 0 + x x x 3. Determine os seguintes limites. e x (a) lim x 0 x (b) lim x 4 e x 4 6 x 2 (c) lim x 0 e 7x x (d) lim x 0 e x+4 e 4 x

30 .5. EXERCÍCIOS 27 x 3 (e) lim x 0 e x3 (f) lim x 0 ln( + 3x) x ln( + x 2 ) (g) lim x 0 x ln x (h) lim x 0 x 4. Determine, caso existam, os seguintes limites. (a) (b) (c) (d) x 2 + 3x lim x + 2x 2 lim x + lim x + x 3 + x x 3 + x 4 lim x 2x4 + 3x 2 + (e) (f) (g) (h) lim (x a)(x b) x x + ) e x ( lim x x + lim x ln x + lim x + ( + ) x x 2 x ln(x 2 + ) 5. Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto x 0 indicado. O que pode concluir sobre a existência de lim f(x)? x x0 { x (a) f(x) = 2 se x (x ) 2 se x >, x 0 = { 2 x 2 se x 2 (b) f(x) = 2 se x > 2, x 0 = 2 (c) f(x) = (d) f(x) = { 3x a (e) f(x) = etg x e tg x +, se x 0 x x a se x > 0, x 0 = 0 +x { 8 x se x < 5 (x ) 2 se x 5, x 0 = 5 x 0 = π/2. 6. Escreva as equações das assímptotas das seguintes funções. (a) f(x) = 2x (b) f(x) = 2x 6 2x (x ) 2 (c) f(x) = 2x2 x 2 (d) f(x) = 2x + + x 2 (e) f(x) = 3x2 2x+2 x+2 (f) f(x) = 2e x (g) f(x) = e x sen x (h) f(x) = ln 2+x 2 x 7. Considere a função real de variável real definida por g(x) = e x + ln x.

31 28 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL (a) Determine o domínio de g e calcule lim x 0 +g(x) e lim g(x). x + (b) Que pode concluir acerca da existência de assímptotas do gráfico de g. (c) Mostre que a função tem pelo menos um zero no intervalo ]0., [. 8. Determine, caso existam, os seguintes limites. x 3 27 (a) lim x 3 3 x 2 4 x (b) lim x 0 x (c) lim x + x sen x (d) lim x 0 x sen x (e) lim para a = ; 0; + ; x x sen x (f) lim x 0 cos x (g) lim x 0 +xx ( (h) e ) x+ x a x lim x + x + 5 tg x (i) lim x π 4 cos (2x) x 4 (j) lim com a IR x a x 3 (k) lim x + (x x 2 + x 2 ) (l) lim x 0 x e x 3 x (m) lim x 3 x 3 (n) lim x ( cos x (o) lim x 0 e x tg x cos(2x) sen x 2 (p) lim x 0 x sen(3x) (q) ) x lim x + (x3 3x 2 + 2) (r) lim x 0 e 3x 5x ln(2x + ) (s) lim x 0 3x arcsen(5x) (t) lim x 0 x (u) lim x 0 log(5 + x 2 ) log 5 x 2 9. Considere a função f definida por f(x) = x 2 se x > 2 x 3 4x 3 se x = 2 k x se x < 2 4. (a) Calcule lim f(x). x + (b) Determine k de modo que exista lim x 2 f(x).

32 .6. CONTINUIDADE 29.6 Continuidade A continuidade é uma das mais importantes propriedades no estudo de funções. Definição.6. (Continuidade num ponto) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de D f. Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a, se ε > 0 δ > 0 : x D f x a < δ f(x) f(a) < ε. Dizemos que f é contínua no ponto de acumulação x = a, se e só se. a D f D f, 2. Existe lim x a f(x), 3. lim x a f(x) = f(a). Os pontos onde a função não é contínua dizem-se pontos de descontinuidade. Observação.6.2 Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentido considerar pontos do domínio quando estamos a estudar a continuidade de uma função. Se a é um ponto isolado de D f, então a função f é contínua em a. Definição.6.3 (Continuidade à esquerda) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que a função f é contínua à esquerda de a, se lim x a f(x) = f(a). Definição.6.4 (Continuidade à direita) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e a um ponto de acumulação de D f. Diz-se que a função f é contínua à direita de a, se lim x a +f(x) = f(a). Observação.6.5 Se f for contínua à esquerda e à direita do ponto a então f é contínua em a. Proposição.6.6 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real contínuas em x = a. Então, as funções f + g, f g, fg também são contínuas em x = a e se g(a) 0 a função f/g também é contínua em x = a.

33 30 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL Proposição.6.7 Sejam f : D f IR IR e g : D g IR IR duas funções reais de uma variável real. Se f é contínua em x = a e g é contínua em f(a) D g, então, g f é contínua em a. Definição.6.8 (Continuidade num Conjunto) Uma função f diz-se contínua no conjunto A D f pontos de A. se for contínua em todos os Apresentamos agora um resultado que será muito útil quando estamos a estudar a continuidade de funções no seu domínio. Proposição.6.9 As funções elementares apresentadas na Secção.2.3 são contínuas em todo o seu domínio..6. Teoremas Importantes Teorema.6.0 (Teorema do Valor Intermédio ou Teorema de Bolzano) Sejam f uma função contínua no seu domínio D f e a e b números reais pertencentes a um intervalo I D f tais que f(a) f(b). Então, para todo k entre f(a) e f(b), existe um c entre a e b tal que k = f(c).(veja Figura ) O Corolário seguinte é um caso particular do resultado anterior e permite-nos de forma fácil localizar zeros de uma função. Corolário.6. Sejam f uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a) f(b) < 0 então a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]a, b[.(veja Figura 2) Figura Figura 2

34 .7. EXERCÍCIOS 3 Teorema.6.2 (Teorema de Weierstrass) Seja f uma função contínua no seu domínio D f e [a, b] D f um conjunto fechado e limitado. Se f é contínua em [a, b], então a função f admite um máximo e um mínimo nesse conjunto..7 Exercícios. Considere a função real de variável real definida por { sen x se x 0 x f(x) = se x = 0. (a) Estude a continuidade de f. (b) f é contínua à esquerda de 0? E à direita de 0? Justifique. 2. Seja f(x) = Determine k de modo que, x x se x > e k se x = e x+k2 e k2 x se x <. (a) f seja contínua à esquerda mas não à direita de x =. (b) f seja contínua em IR. 3. Estude, quanto à continuidade, as seguintes funções. 2e x se x < 0 (a) f(x) = se x [0, 2] sen x se x > 2 { x (b) f(x) = 2 sen + 2x se x 0 x x se x = 0

35 32 CAPÍTULO. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL { se x < 0 (c) f(x) = x 0 se x = 0 { x se x 0 (d) f(x) = sen x se x = 0 { e tg x se x (e) f(x) = π e tg x + 2 se x = π 2 (f) f(x) = x+ x 3 +x 4. Considere a função real de variável real definida por { 2sen(x 4π/3) se x > π g(x) = x π/3 3 6x/π se x π 3 (a) Prove que lim g(x) = 2. x π/3 (b) Considere o intervalo [, 5π/6]. Mostre que 5/π pertence ao contradomínio de g. 5. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = x ln ( 5 x). (a) Determine o domínio de f. (b) estude a existência de assímptotas oblíquas ao gráfico de f. 6. Mostre que, (a) a função f(x) = sen 3 x+cos 3 x se anula, pelo menos uma vez, no intervalo [π, 2π]. (b) a equação x 5 + x 3 = 0 tem, pelo menos, uma solução real. 7. Considere a função f definida por x 2 sen x se x < 0 f(x) = k 2 se x = 0 (x + ) x se x > 0. (a) Estude a continuidade de f no ponto x = 0. (b) Determine k de modo que f seja contínua à direita do ponto x = 0. (c) Prove que, em [ ] π, π 2, f tem pelo menos um zero. (d) Averigue se existem assímptotas do gráfico de f.

36 .7. EXERCÍCIOS Seja Determine a e b de modo que ax + b se x f(x) = 2x se < x < 2 bx 2 a se x 2. (a) f seja contínua em IR. (b) f seja contínua em IR\ { }. 9. Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas. { k + x ln x se x (a) f(x) = (b) f(x) = (c) f(x) = (d) f(x) = { e x e x 2( x) se x < k 2 +/e se x k e +k se x < k { e x e x se x x k se x = { se x [ π/6, π/6]\{0} k se x = 0 e 2x sen(3x)

37 Capítulo 2 Cálculo Diferencial 2. Definição de Derivada Definição 2.. (Derivada) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir, f(x) f(a) lim x a x a ou f(a + h) f(a) lim. (2..) h 0 h Denota-se a derivada de f no ponto a por f (a) ou df (a). Se f tem derivada finita dx no ponto a, diz-se que f é diferenciável em a. Note que o segundo limite em (2..) poderá ser mais prático e de mais fácil resolução. Exercícios 2..2 ) Considere a função f(x) = x2. Prove, por definição, que f (0) =. x+2 4 { 3x 2) Considere a função f(x) = 2 + se x <. Prove, por definição, 6x 2 se x que f () = 6. Observação 2..3 Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) à recta que passa por esse ponto e tem declive igual a f (a). Assim, a recta tangente terá a equação y = f(a) + f (a)(x a). Ou seja, podemos dizer que a derivada de f no ponto a é o declive da recta tangente ao gráfico no ponto (a, f(a)). Quando a derivada é ± então a recta tangente é vertical, ou seja x = a. 34

38 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 35 Definição 2..4 (Derivada à Esquerda) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada à esquerda de f no ponto a ao limite, se existir, ou f(x) f(a) lim x a x a e denota-se por f (a ) ou df dx (a ). f(a + h) f(a) lim, h 0 h Definição 2..5 (Derivada à Direita) Sejam f : D f IR IR e a um ponto de acumulação do D f. Chama-se derivada à direita de f no ponto a ao limite, se existir, ou f(x) f(a) lim x a + x a e denota-se por f (a + ) ou df dx (a+ ). f(a + h) f(a) lim, h 0 + h Nota 2..6 Note que f (a) existe se, e só se, existem e são iguais f (a ) e f (a + ). Definição 2..7 (Função Derivada) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real e A o conjunto dos números reais pertencentes a D f que admitem derivada finita. Designa-se por função derivada de f, denotada usualmente por f à função Exercícios 2..8 f : A IR x y = f (x). ) Considere a função f(x) = 3x 2 + x. Defina a função derivada. 2) Considere a função f da alínea 2) do Exercício Defina a função derivada.

39 36 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Apresentamos agora um dos mais importantes e úteis teoremas que relaciona funções contínuas e funções diferenciáveis. Teorema 2..9 Sejam f : D f IR IR e a D f. Se f é diferenciável no ponto a, então f é contínua nesse ponto. Note que o recíproco do teorema anterior pode não ser verdade. Ou seja, Uma função pode ser contínua num dado ponto e não ter derivada finita nesse ponto. Exemplo 2..0 A função f(x) = x 3 é contínua em x = 3 mas não tem derivada no ponto x = Regras de Derivação Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular as derivadas das funções elementares apresentadas anteriormente. Tabela 2.. x =, c = 0, c = constante (f ± g) = f ± g (f g) = f g + f g ( f g ) = f g f g g 2 (cf) = cf, c = constante (f n ) = n f n f, n IN ( n ) f = f n n, n IN+ f n ( ) e f = e f f ( ) c f = c f f log c, c = constante (f g ) = f g g log f + g f g f (logf) = f f (lnf) = f f (log c f) = f, f log c (senf) = f cosf (cosf) = f senf (tgf) = f cos 2 f (cotgf) = f sen 2 f (arcsenf) = f f 2 (arccosf) = f f 2 c = constante

40 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 37 (arctgf) = f +f 2 (arccotgf) = f +f 2 (f(g)) = f (g) g Exercício 2..2 Considere as funções dos exercícios anteriores. Apresente, quando possível, as funções derivada. Proposição 2..3 (Teorema de Derivação da Função Inversa) Sejam f uma função real de variável real, injectiva num intervalo I D f e f a função inversa de f quando restringida ao intervalo I, ou seja f : f(i) I. Se f é derivável num ponto de acumulação x de I e f (x) 0, então f é derivável no ponto y = f(x) e temos, (f ) (y) = f (f (y)). Nota 2..4 Na prática, para calcular a derivada da inversa de uma função elementar, fazemos (f ) (y) = f (x) e depois trocamos a variável x pela correspondente variável y, ou seja, fazemos f (x) = f (f (y)). Exemplo 2..5 Para calcular a derivada da função inversa de f(x) = 3x 2 temos (f ) (y) = f (x) = 6x. Como y = 3x 2 x = 3y 3, temos (f ) (y) = f (x) = 6x = 6 3y 3 = 2 3y. Exercício 2..6 Apresente a derivada da função inversa de f(x) = arcsen x.

41 38 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Proposição 2..7 (Teorema de Derivação da Função Composta) Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que g (D g ) D f, x um ponto de acumulação de D g e y = g(x) um ponto de acumulação de D f. Se g é derivável no ponto x e f é derivável no ponto y = g(x), então a função composta f g é derivável em x e temos, (f g) (x) [f(g(x))] = f (g(x))g (x). Exercício 2..8 Considere as funções f(x) = 4x 3 + x 4 e g(x) = x+3 x 2. Calcule (f g). Apresentamos uma definição que veremos ser muito útil quando for necessário obter aproximações. Definição 2..9 (Diferencial) Seja f : D f IR IR uma função diferenciável num ponto a. Chama-se diferencial da função f no ponto x = a à aplicação linear d y (a, ) : IR IR x d y (a, x) = f (a) x. Exemplo Para calcular uma aproximação de cos 29 o, consideramos a função f(x) = cos x, o ponto a = 30 o = π (o ângulo mais próximo de 6 29o onde sabemos qual o valor do cosseno) e x = o = π, chamado de acréscimo de x. Sabemos que, 80 cos 29 o = f(a + x) f(a) + d y (a, x) 2..2 Teoremas Principais = f(a) + f (a) x = cos π ( 6 + sen π ) 6 3 = 2 + π 360. ( π ) 80 Teorema 2..2 Seja f uma função real de variável real, derivável num ponto de acumulação x = a de D f. Se f tem um extremo local em x = a, ou seja, se f(a) é máximo ou mínimo, então f (a) = 0. Teorema (Teorema de Rolle) Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[, tal que f(a) = f(b). Então existe, pelo menos, um ponto c com a < c < b tal que f (c) = 0.

42 2.. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 39 Corolário Entre dois zeros consecutivos de uma função derivável num intervalo aberto, existe, pelo menos, um zero da função derivada. Corolário Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função derivável num intervalo aberto, existe no máximo um zero da função. Teorema (Teorema de Lagrange) Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então, existe pelo menos um ponto c, com a < c < b, tal que f(b) f(a) b a = f (c).

43 40 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema (Teorema de Cauchy) Sejam f e g funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[. Se g (x) 0 para qualquer x ]a, b[, então existe c, com a < c < b, tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Teorema (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas funções reais de variável real, deriváveis num intervalo aberto ]a, b[, onde a ou b poderão ser ou +, com a < b. Seja c um dos extremos do intervalo ]a, b[. Se, então, g (x) 0 para todo x ]a, b[, lim h c f(x) g(x) = 0 0 f(x) ou lim h c g(x) =, f(x) lim h c g(x) = lim f (x) h c g (x). Nota O resultado anterior também é válido quando calculamos o limite em pontos pertencentes ao interior do domínio das funções. Teorema (Regra de L Hôpital) Sejam f e g duas funções reais de variável real, contínuas no intervalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com a < b. Seja c um dos extremos do intervalo [a, b]. Se, g (c) 0, f(c) = g(c) = 0, então, f(x) lim h c g(x) = f (x) g (x). Exemplo A maior parte dos limites notáveis resolvem-se tendo em conta a regra de Cauchy. Temos, por exemplo, sen x lim x 0 x = lim x 0 cos x = e lim x 0 ln(x + ) x = lim x 0 x+ =.

44 2.2. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR Derivada de Ordem Superior Definição 2.2. (Derivada de Ordem 2) Seja f uma função real de variável real derivável e com função derivada f (x). Se a função f é derivável num ponto de acumulação x = a de D f, dizemos que a função f é duas vezes derivável no ponto x = a. Esta derivada designa-se por derivada de segunda ordem, ou segunda derivada, da função f em x = a e define-se por ou f (a) = lim x a f (x) f (a) x a f f (a + h) f (a) (a) = lim. h 0 h Definição (Derivada de Ordem n) Seja f uma função real de variável real e n N. Dizemos que a função f é n vezes derivável no ponto x = a se a função f for (n ) vezes derivável numa vizinhança do ponto x = a e se existir f (n) f (n ) (a + h) f (n ) (a) (a) = lim. h 0 h Definição (Classe de Funções) Uma função f : D f IR IR diz-se de classe C n, e escreve-se f C n (D f ), se f é n vezes diferenciável em D f e a derivada de ordem n, f (n), é contínua em D f. Quando n = 0, escrevemos f C 0 (D f ) ou, para simplificar, f C(D f ) para designar que f é contínua em D f. Quando f admite derivadas de todas as ordens em D f, então dizemos que f é indefinidamente diferenciável ou de classe C. Exercício Determine a função derivada de segunda ordem para a função { f(x) = x 2 se x 0 + cos x se x < 0.

45 42 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Definição (Fórmula de Taylor) Seja f : I IR IR uma função de classe C n, n+ vezes diferenciável no interior de I e a um ponto de I. Para cada x I \ {a}, existe c estritamente entre a e x tal que f(x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! O polinómio p n (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n + f (n+) (c) n! (n + )! (x a)n+. (x a) f (n) (a) (x a) n n! é chamado de Polinómio de Taylor de grau n da função f em trono de x = a. Ao último elemento da Fórmula de Taylor, denotado usualmente por R n (x), damos o nome de Resto de Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a. Definição (Fórmula de Mac-Laurin) Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de Mac Laurin e o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin. Nota Ao polinómio de Taylor de grau um de uma função f em torno de a chamamos linearização ou aproximação linear de f em torno de x = a, ou seja, a função dada por L(x) = f(a) + f (a)(x a) é a linearização de f em torno de x = a. Nestas condições escrevemos f(x) f(a) + f (a)(x a). Ao polinómio de Taylor de grau dois de uma função f em torno de x = a, isto é, à função dada por Q(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2, 2 chamamos aproximação quadrática de f em torno de x = a e escrevemos f(x) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2. 2 Proposição As seguintes funções elementares admitem as fórmulas de Mac-laurin de ordem n indicadas.

46 2.3. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS 43 ) x = + x + x x n + R n (x), 2) e x = + x + x xn n! + R n (x), 3) ln( + x) = x x ( )n xn n! + R n (x), 4) sen x = x x3 3! + x5 5! ( ) n x2n+ (2n+)! + R 2n+(x), 5) cos x = x2 2! + x4 4! ( ) n x2n (2n)! + R 2n(x). Observação Temos, por exemplo, para f(x) = e x a aproximação linear e x + x, e a aproximação quadrática e x + x + x Aplicação das Derivadas A principal aplicação das derivadas é feita na representação geométrica das funções. Vamos ver que os resultados são úteis para estudar a monotonia e os extremos locais. Teorema 2.3. Seja f uma função real de variável real, contínua no intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Se f (x) = 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f(x) =constante em ]a, b[. Se f (x) > 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente crescente em ]a, b[. Se f (x) < 0 em todos os pontos de ]a, b[, então f é estritamente decrescente em ]a, b[. Se f (x) > 0 para todos x < c e f (x) < 0 para todos x > c, então f tem um máximo local em x = c. Se f (x) > 0 para todos x > c e f (x) < 0 para todos x < c, então f tem um mínimo local em x = c.

47 44 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL Teorema (Teorema de Fermat) Seja f : D f IR IR uma função real de variável real diferenciável num ponto a interior a D f. Se f(a) é um extremo local de f, então f (a) = 0. Nota A condição f (a) = 0 não é suficiente para a existência de extremo. Por exemplo a função f(x) = x 3, tem derivada nula no ponto x = 0, mas f(0) não é extremo local. Teorema Seja f : D f IR IR uma função real de variável real 2 vezes derivável num ponto a interior a D f com f (a) = 0. Temos, Se f (a) > 0, a é um minimizante local, Se f (a) < 0, a é um maximizante local. Definição Sejam f uma função real de variável real e x = a, um ponto de acumulação do D f, tal que existe f (a). Diz-se que f é uma função convexa no ponto x = a ou que tem a concavidade voltada para cima no ponto x = a, se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está sobre a recta tangente ao gráfico da função de f nesse ponto. Se, numa vizinhança de x = a, o gráfico de f está por baixo da recta tangente ao gráfico da função de f em x = a, diz-se que f é uma função côncava em x = a ou que tem a concavidade voltada para baixo nesse ponto. Teorema Seja f uma função real de variável real, com domínio D f, e 2 vezes derivável num intervalo I Df. Se f (x) > 0 para x I, então f tem a concavidade voltada para cima em I. Se f (x) < 0 para x I, então f tem a concavidade voltada para baixo em I. Definição (Pontos de Inflexão) Os pontos onde a concavidade do gráfico da função passa de côncava a convexa, ou vice-versa, são designados por pontos de inflexão da função. Exercício Para cada uma das seguintes funções, apresente o domínio, os zeros, estude a continuidade, a paridade, a monotonia, determine os extremos locais, indique os pontos de inflexão, o sentido das concavidades e as assimptotas. Por fim, represente geometricamente as funções.

48 2.4. EXERCÍCIOS 45 ) f(x) = 2 e x4, 2) f(x) = x 3 6x 2, 3) f(x) = x2 x. 2.4 Exercícios. Recorrendo à definição, calcule o valor da derivada das seguintes funções nos pontos indicados. { (a) f(x) = 3x 2 + em x = 2 x se x 4 (e) f(x) = (b) f(x) = x x em x = + se x < 4 4 x+ (c) f(x) = em x = 4 x em x = 2 (d) f(x) = e x em x = 0 (f) f(x) = x 2 + 3x em x = 2. Se possível, confirme os resultados obtidos no exercício anterior usando as regras de derivação. 3. Calcule a e b de modo que a função real de variável real f : IR IR definida por { x 2 se x < 2 f(x) = ax + b se x 2 seja diferenciável e determine para esses valores de a e b a função derivada. 4. Usando o teorema de derivação da função inversa, determine as derivadas das inversas das seguintes funções. (a) f(x) = 3 2x 3 (b) f(x) = log(x ) (c) f(x) = arctg(3x + ) (d) f(x) = e x 5. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função inversa e derivando depois esse resultado. 6. Usando o teorema de derivação da função composta, determine as derivadas das funções f g considerando (a) f(x) = sen(x 2 + ) e g(x) = ln(x 2 ) (b) f(x) = x e g(x) = x 2 (c) f(x) = 3x 2 + cos x e g(x) = x 3 7. Confirme os resultados anteriores definindo primeiro a função composta e derivando depois esse resultado. 8. Analise a diferenciabilidade das seguintes funções e apresente a respectiva função derivada.

49 46 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL { x 2 se x 2 (a) f(x) = 4x + 2 se x > 2 (b) f(x) = (c) f(x) = { x +e x se x 0 0 se x = 0 { e x 2 se x 0 0 se x = 0 (d) f(x) = (e) f(x) = { x 3 ln x se x 0 0 se x = 0 { sen se x x 0 se x = 3 x se x > 0 (f) f(x) = 5 se x = 0 tg πx se < x < Determine caso existam, os extremos e os pontos de inflexão das seguintes funções. (a) f(x) = x 2 (b) f(x) = xln x (c) f(x) = x2 4 x (d) f(x) = e x (2x 2 + 3x) 0. Utilize as regras de derivação para calcular as derivadas de ordem e ordem 2 das seguintes funções. (a) f(x) = sen 2 (4x) (b) f(x) = sen x cos(3x) (c) f(x) = + 4x tg 2 (x 3 ) (d) f(x) = 5arcsen(2x) (e) f(x) = ln x (f) f(x) = cos(arctg x) (g) f(x) = 5 x+ x (h) f(x) = e 3x cos 2 4 x (i) f(x) = arctg x 2 + (j) f(x) = x 2 (k) f(x) = x (l) f(x) = e 2x 3 (m) f(x) = log 3 x (n) f(x) = x2 +e sen x e x. Para as funções apresentadas nas alíneas (a), (b) e (c) do exercício 8 determine a função derivada de 2 a ordem. 2. Sendo f(x) = arcsen x, determine a recta tangente ao gráfico de f no ponto 2 de intersecção com o eixo das abcissas. 3. Calcule um valor aproximado de, (a) sen 3 o (c) (2, 003)5 3(2, 003)2 + (b) tg 44 o 2 (d) 4. Prove que, 0,99+(0,99) 2

50 2.4. EXERCÍCIOS 47 (a) f(x) = x 3 + 3x + 2 tem uma só raiz real. (b) e x = x admite apenas a solução x =. (c) log x 2 = x tem 3 raízes em IR. 5. Calcule os seguintes limites usando a regra de Cauchy ou de L Hôpital. (a) lim x x 5 x 2 (b) (c) lim x + x x lim x + x (arctg e x π 2 6. Considere a função g : IR IR definida por ) { xe x se x 0 g(x) = x se x > 0. x+ (a) Mostre que g é contínua para x = 0. (b) Prove que g é diferenciável para x = 0. (c) Justifique, convenientemente, a afirmação c ] 2, 3[: g(3) g( 2) 3 ( 2) = g (c). (d) Calcule lim g(x). x (e) Mostre que y = é a única recta assíntota ao gráfico de g. (f) Determine, caso existam, os pontos de inflexão do gráfico de g. 7. Considere a função g : IR IR definida por g(x) = { x + e x se x se x =. (a) Mostre que g é contínua à esquerda de x = mas não é contínua. (b) Calcule lim g(x). x (c) Prove que g se anula em ], [. (d) Determine as assímptotas do gráfico de g.

51 48 CAPÍTULO 2. CÁLCULO DIFERENCIAL 8. Considere a função f(x) = 2x x2. Calcule o domínio, o contradomínio, os x zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais e o sentido das concavidades. Com a ajuda desses elementos, esboce o respectivo gráfico. 9. Atendendo aos aspectos referidos no exercício anterior, esboce o gráfico das funções f(x) = ex x f(x) = x2 +x+ (x+) 2 f(x) = (e x ) 2 f(x) = log x x 20. Determine o polinómio de Taylor de f, de grau 5, em torno do ponto a para, (a) f(x) = + x 3 e a = (c) f(x) = e x e a = (b) f(x) = e a = (d) f(x) = e a = 0 x x 2. Determine a aproximação quadrática da função f nos pontos indicados. (a) f(x) = x 3 e a = (b) f(x) = ln x e a = (c) f(x) = e 3x e a = 0 (d) f(x) = 3 x e a = 4

52 Capítulo 3 Cálculo Integral 3. Primitivas Definição 3.. (Primitivas) Seja f uma função real de variável real definida num intervalo [a, b] de IR. Chama-se função primitiva de f em [a, b], ou somente primitiva de f, a qualquer função F definida em [a, b] que verifique a equação F (x) = f(x) x [a, b]. Dizemos que uma função f é primitivável em [a, b], se existir, pelo menos, uma função F :[a,b] IR tal que F = f. Denotamos o conjunto de todas as primitivas de uma função f, no intervalo [a, b], por, f(x)dx ou P [f(x)] com x [a, b]. Proposição 3..2 Seja F uma primitiva de uma função f num intervalo [a, b] de IR. Então, o conjunto de todas as primitivas de f em [a, b] é constituído por todas as funções da forma F (x) + constante. Proposição 3..3 (Linearidade) Sejam f e g duas funções primitiváveis num intervalo [a, b] de IR e α IR. Temos, i) f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx, ii) αf(x)dx = α f(x)dx. 49

53 50 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 3.. Primitivas Imediatas Pela definição podemos dizer que a primitivação é a operação inversa da derivação. Assim, as primeiras fórmulas para as primitivas, são obtidas por inversão das fórmulas de derivação e são designadas por primitivas imediatas. Existem contudo funções que, não sendo imediatamente primitiváveis, podem ser reduzidas a primitivas imediatas usando primeiro propriedades dessas funções. Estão neste caso algumas funções trigonométricas e hiperbólicas. Estas primitivas são habitualmente designadas por primitivas quase imediatas. Exemplo 3..4 Vamos considerar a função f(x) = x. Vamos ter F (x) = f(x)dx = x dx pois F (x) = x = f(x). = 2 x2 + c, Vamos agora apresentar uma tabela com as regras que nos irão permitir calcular as primitivas imediatas. Tabela dx = c k dx = kx + c k IR f f n dx = f n+ n + + c n IR\{ } f dx = ln f + c f f e f dx = e f + c a f f dx = ln a af + c a IR + f sen fdx = cos f + c f cos fdx = sen f + c f dx = tg f + c cos 2 f f dx = cotg f + c sen 2 f

54 3.. PRIMITIVAS 5 f dx = arcsen f + c = arccos f + c f 2 f dx = arctg f + c = arccotg f + f 2 Nota 3..6 Estas fórmulas também podem ser obtidas da tabela das derivadas. Basta ler a tabela da direita para a esquerda e somar uma constante na a coluna. Ou seja (f n ) = nf n f (lnf) = f c + f n = nf n f dx c + lnf = c + f n n = f n f dx c + f p+ p + = f p f dx, Exemplo 3..7 Determine as seguintes primitivas, f f f dx.. x 2 + x 2 dx, 2. 8x cos(4x 2 3) dx, 3. 2x x dx, 4. x 2 3 x 3 dx, 5. 3x 2 x 3 +2 dx, 6. ln 2 x x dx, 7. x 3 + 2x + 2 dx, 8. 8x sen(4x 2 + 2) dx, 9. e 3x dx, 0. 2x 2 x 3 + dx,. cos x sen x dx, 2. 4 x 3 dx, 3. 9x 2 dx, x 2 dx. Teorema 3..8 Seja f uma função primitivável num intervalo [a, b]. Então para cada x 0 I e cada y 0 IR existe uma, e uma só, primitiva de F tal que F (x 0 ) = y 0. Exercício 3..9 ) Calcule f sabendo que f (x) = 4x + 2 e f() = 4.

55 52 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 2) Calcule a primitiva F de f(x) = sen x tal que F (π) = π. Ou por outras palavras, calcule f tal que f (x) = sen x e f(π) = π. 3) Calcule f tal que f (x) = 2x 2 + 6x 4, f(0) = 4 e f() = Primitivação por Partes O método de primitivação por partes dá-nos uma forma de podermos determinar a primitiva de uma expressão que envolva a multiplicação de duas ou mais funções. Proposição 3..0 (Método de Primitivação por Partes) Sejam f uma função primitivável num intervalo [a, b] de IR e g outra função, derivável no mesmo intervalo. A função f g é primitivável no intervalo [a, b] e a sua primitiva é determinada pela fórmula ( ) f(x) g(x)dx = f(x)dx g(x) f(x)dx g (x) dx. (3..) Observação 3.. Uma forma mais simplificada e elegante para apresentar a fórmula (3..) é f gdx = fg fg dx. Nota 3..2 A vantagem deste método na resolução de primitivas só é garantida pela escolha correta da função que se vai derivar. Esta função deve ser escolhida de modo que a primitiva obtida no segundo termo da fórmula seja mais simples de resolver que a primitiva inicial. Assim, temos a seguinte tabela de recomendações. Tabela 3..3 Considerando P (x) um polinómio em x, trigo(x) uma função trigonométrica em x e (trigo(x)) uma função trigonométrica inversa em x, temos P (x)e kx dx f = e kx g = P (x) P (x)trigo(x) dx f = trigo(x) g = P (x) P (x)(trigo(x)) dx f = P (x) g = (trigo(x)) P (x)ln(x) dx f = P (x) g = ln(x) Exemplo 3..4 Determine as primitivas

56 3.. PRIMITIVAS 53. xe x dx, 2. x cos x dx, 3. x ln x dx, 4. x 2 e x dx. Observação 3..5 Por vezes poderá ser necessário usar o método de primitivação por partes mais do que uma vez e ser necessário algum engenho para determinar a primitiva. Exemplo 3..6 Determine a primitiva e x sen x dx. Observação 3..7 O método de primitivação por partes poderá também ser utilizado para determinar as primitivas de expressões que envolvam apenas uma função. Neste caso escolhemos para derivar a única função da expressão e para primitivar a função identicamente igual a. Este raciocínio é particularmente útil para determinar todas as primitivas das inversas das funções trigonométricas e das funções hiperbólicas, assim como para a função logaritmo. Exemplo 3..8 Determine as primitivas ln x dx, ln(x 3 ) dx e arcsen x dx Primitivação por Substituição Apresentamos agora o método de primitivação que consiste na mudança de variável de forma a facilitar a resolução da primitiva. Proposição 3..9 (Método de Primitivação por Substituição) Sejam [a, b] e [c, d] dois intervalos de IR, f : [a, b] [c, d] uma função primitivavel e g : [c, d] [a, b] uma função bijectiva e derivável. A primitiva da função f pode ser determinada pela fórmula f(x)dx = f(g(t))g (t)dt. Depois de obter a primitiva por este método é necessário voltar à variável inicial, fazendo a substituição inversa t = g (x). Exemplo Fazendo as mudanças de variáveis indicadas, determine as primitivas

57 54 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL a) x x+ dx, x + = t, d) x 3 x dx, x = + t 2, b) dx, x = ln t, e x + c) dx, x = cos 2 t, x( x) e) e x +e x dx, e x = t. Observação 3..2 Note que uma mesma primitiva pode ser determinada usando os dois Métodos de Primitivação, ou seja, o Método de Primitivação por Partes e usando o Método de Primitivação por Substituição Primitivação de Funções Racionais Vamos recordar a definição de função racional apresentada em Definição.2.8. Definição (Função Racional) Uma função racional é definida por f : D IR IR x f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, com a 0, a,..., a n, b 0, b,..., b m IR, n, m IN 0 e onde o numerador e o denominador não são divisíveis entre si. Para determinar as primitivas de funções racionais temos os seguintes casos: Caso : Se o grau de P n é maior ou igual ao grau de Q m, ou seja, se n m, é possível dividir os polinómios e calcular a primitiva. Exemplo Determine a primitiva x 4 2 x 2 + dx. Caso 2: Se o grau de P n é igual ao grau de Q m menos, ou seja, se n = m, podemos usar a fórmula da primitivação imediata f dx = ln f + c. f Exemplo Determine a primitiva x x 2 + dx.

58 3.2. INTEGRAIS 55 Caso 3: Se o grau de P n é menor ao grau de Q m menos, ou seja, se n < m, temos de ter em conta outros factores. i) Se o polinómio Q m tem m raízes reais distintas, x, x 2,..., x m, podemos escrever a função na forma P n (x) Q m (x) = P n (x) (x x )(x x 2 )... (x x m ). Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a função f em P n (x) Q m (x) = A + A A m. x x x x 2 x x m ii) Se o polinómio Q m tem raízes reais repetidas, por exemplo, x 0 de multiplicidade k e x, x 2,..., x m k as restates raízes distintas podemos escrever a função na forma P n (x) Q m (x) = P n (x) (x x 0 ) k (x x )(x x 2 )... (x x m k ). Recorrendo ao Método dos Coeficientes Indeterminados decompomos a função f em P n (x) Q m (x) = A (x x 0 ) + A 2 k (x x 0 ) A k + A k k x x 0 x x x x m k iii) Se o polinómio Q m tem raízes complexas a situação é mais delicada. Poderá se necessário fazer uma mudança de variável aliado ao Método dos Coeficientes Indeterminados. Veremos o método mais simples resolvendo o último caso do Exemplo A m Exemplo Determine as primitivas x 2 + 2x 3 dx, x (x + ) 2 (2x + 3) dx e x + x 3 (x 2 + ) dx. 3.2 Integrais 3.2. Integral de Riemann Definição 3.2. (Partição do intervalo)

59 56 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Seja [a, b] um intervalo contido em IR com a < b. Designa-se por partição do intervalo [a, b] ao conjunto finito de n + pontos, x 0, x,..., x n, que divide [a, b] em n sub-intervalos tais que, a = x 0 < x <... < x n < x n = b, com n IN. A partição é denotada por P. Para cada um dos n intervalos, [x i, x i ] i =,... n definimos os respectivos comprimentos por x i = x i x i, Observação Note que a localização dos pontos x 0, x,..., x n é arbitrária, ou seja, a divisão do intervalo [a, b] não é única. Temos ainda que os sub-intervalos [x i, x i ] podem ter comprimento diferentes. Definição (Soma de Riemann) Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. soma de Riemann da função f no intervalo [a, b] ao valor Designamos por n f(ξ i ) x i = f(ξ ) x + f(ξ 2 ) x f(ξ n ) x n, i= onde ξ i são pontos escolhidos aleatoriamente nos intervalos [x i, x i ]. Para podermos definir a noção de integral vamos denotar por p o comprimento do maior intervalo contido na partição P, ou seja, p = max i x i.

60 3.2. INTEGRAIS 57 Definição (Função Integrável) Sejam f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR e P uma partição do intervalo. Diz-se que a função f é integrável à Riemann no intervalo [a, b], se existir e for finito o limite lim p 0 n i= f(ξ i) x i, independentemente de como a partição P do intervalo [a, b] é feita ou de como os pontos ξ i, pertencentes aos sub-intervalos [x i, x i ], são escolhidos. No caso de existir, designamos o valor do limite por integral da função f e denotamos o resultado por b a f(x) dx. A função f designa-se por função integranda, a e b são, respectivamente, o limite inferior e o limite superior de integração Propriedades Apresentamos agora algumas das mais importantes propriedades dos integrais. Proposição Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se a função f é integrável à Riemann no intervalo [a, b], então é limitada em [a, b]. Proposição Seja f uma função definida num intervalo [a, b] contido em IR. Se f é contínua em [a, b], então f é integrável em [a, b]. Proposição Seja f uma função monótona num intervalo fechado [a, b] contido em IR. Então f é integrável em [a, b]. Proposição Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] contido em IR tais que f(x) = g(x) para quase todo x [a, b]. Então b a f(x) dx = b a g(x) dx.

61 58 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Proposição Sejam f e g duas funções integráveis num intervalo [a, b] e c uma constante real. Então as funções f + g e c f também são integráveis em [a, b] e temos, i) ii) iii) b f(x) + g(x) dx = b f(x) dx + b a a a b b c f(x) dx = c a a b a f(x) dx = a b f(x) dx. f(x) dx, g(x) dx, Proposição Sejam a, b e c números reais tais que a < c < b e f uma função integrável em [a, b]. Então, c a f(x) dx + b c f(x) dx = Proposição 3.2. Seja f uma função integrável em [a, b]. Então, b a f(x) dx. f(x) 0 x [a, b] b a f(x) dx 0. Proposição Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo [a, b]. Então, i) f(x) g(x) x [a, b] ii) b a b f(x) dx f(x) dx. a b a f(x) dx b a g(x) dx, Proposição (Teorema da Média do Integral) Seja f uma função contínua num intervalo [a, b], com a < b. Então existe, pelo menos, um ponto c ]a, b[ tal que f(c) = b a b a f(x) dx.

62 3.2. INTEGRAIS 59 Proposição (Teorema Fundamental do Cálculo Integral) Seja f uma função integrável num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Então, a função contínua F (x) = x é derivável em cada ponto de ]a, b[ e temos, a f(s) ds, a x b, F (x) = f(x) para todo x ]a, b[. Quando temos para g uma função derivável então, F (x) = g(x) a f(s) ds, a x b, F (x) = f(g(x)) g (x) para todo x ]a, b[. Proposição (Fórmula de Barrow) Seja f uma função limitada num intervalo [a, b] e contínua em ]a, b[. Se F é uma função contínua em [a, b] tal que F (x) = f(x) em x ]a, b[, então b a f(x) dx = F (b) F (a) Cálculo de Integrais Apresentamos agora, de forma sucinta, os métodos usados para o cálculo de integrais recorrendo à Fórmula de Barrow e aos métodos de primitivação apresentados anteriormente. Observação Para integrar, devemos primeiro primitivar e só depois recorrer à fórmula de Barrow. Ou seja, calcular a primitiva caso ela seja imediata, para depois substituir x pelo limite superior do intervalo menos x substituído pelo limite inferior do intervalo. Exemplos ) [ 2 0 x2 dx = 2) 0 xex2 dx = 2 ] 2 x 3 = = [ e x2 ] 0 = e 2 2.

63 60 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Proposição (Método de Integração por Partes) Sejam f uma função contínua em [a, b] e g uma função com derivada contínua em [a, b]. Então f g é integrável em [a, b] e temos b a [ f(x)g(x) dx = ] x=b f(x) dx g(x) x=a b a ( ) f(x) dx g (x) dx. Proposição (Método de Integração por Substituição) Sejam f uma função contínua em [a, b] e ϕ uma aplicação bijectiva sobre [a, b]. Se ϕ é uma função derivável com derivada contínua, então temos Exercício Calcule ) e ln x dx. b a f(x) dx = ϕ (b) ϕ (a) 2) x2 dx considerando x = sen t Aplicação dos Integrais f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Os integrais são uma ferramenta utilizada para o cálculo de áreas. Definição (Cálculo de Áreas) Seja f uma função contínua e não negativa num intervalo [a, b]. A área da região R limitada pelas rectas verticais x = a e x = b, pela recta horizontal y = 0 e pelo gráfico de f é dada pelo integral A(R) = b a f(x) dx. Se f(x) 0 no intervalo [a, b], vamos ter b f(x) dx 0. Assim, para calcular a a área da região consideramos o seu valor absoluto, ou seja, A(R) = b a f(x) dx. Se f(x) muda um número finito de vezes de sinal sobre o segmento [a, b] o integral b f(x) dx irá decompor-se em integrais parciais sobre o mesmo intervalo. O integral a é positivo sobre os segmentos onde f(x) 0 e negativo naqueles em que f(x) 0. O integral sobre o segmento completo representa a diferença das áreas que se

64 3.2. INTEGRAIS 6 encontram de um lado e do outro do eixo Ox. Ou seja, é necessário encontrar-se a soma dos valores absolutos dos integrais sobre os intervalos parciais indicados, o que corresponde a calcular A(R) = b a f(x) dx. Se a região R estiver compreendida entre quaisquer duas funções continuas f e g, com x [a, b], então a área de R é dada por Exercício A(R) = b a f(x) g(x) dx. ) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y = 4 x 2 e y = 0. 2) Calcule a área da figura limitada pelas curvas y = 2 x 2 e y = x 2. Definição (Cálculo de Comprimento de Arcos) Seja f uma função derivável com derivada contínua num intervalo [a, b]. O comprimento de arco s da curva y = f(x) entre x = a e x = b é dado por s = b a + (f (x)) 2 dx. Exercício Calcule o comprimento do arco da curva y = 4 x 2 entre os pontos x = 0 e x = 2. Definição (Volumes de Sólidos de Revolução por uma Curva) Considerando uma curva C descrita por f(x) = y não negativa no intervalo [a, b]. O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0x no intervalo [a, b] é dado por V (S) = π b a f 2 (x) dx.

65 62 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL Considerando uma curva C descrita por g(y) = x não negativa no intervalo [c, d]. O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0x no intervalo [c, d] é dado por V (S) = 2π d c yg(y) dy. Se uma curva C é descrita por g(y) = x (não negativa em [c, d]), o volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0y no intervalo [c, d] é dado por V (S) = π d c g 2 (y) dy. Se uma curva C é descrita por f(x) = y (não negativa em [a, b]), o volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo 0y no intervalo [a, b] é dado por V (S) = 2π b a xf(x) dx. Definição (Volumes de Sólidos de Revolução por duas Curva) Podemos definir um sólido "oco", ou seja, um sólido com uma face externa e outra interna, recorrendo a duas curvas, uma para cada face. Para a determinação das duas faces considere as duas funções f e g não negativas no intervalo [a, b] sendo que, para determinar o sólido de forma regular, estabelecemos que f(x) 0, g(x) 0 e f(x) > g(x).

66 3.2. INTEGRAIS 63 O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação das curvas em torno do eixo 0x no intervalo [a, b] é dado por V (S) = π b a g 2 (x) f 2 (x) dx. De modo análogo obtém-se a fórmula para o cálculo do volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de 2π de uma região limitada por duas curvas em torno do eixo dos 0y. O volume V (S) do sólido de revolução gerado pela rotação das curvas em torno do eixo 0y no intervalo [c, d] é dado por V (S) = π d c g 2 (y) f 2 (y) dy. Definição (Áreas de Sólidos de Revolução) Considere-se a superfície de revolução obtida fazendo rodar a curva f(x) = y em volta do eixo 0x. Suponha-se que a função f é contínua com derivada em todos os pontos do segmento [a, b]. A área desta superfície no intervalo [a, b] é dada por A(S) = 2π b a f(x) + [f (x)] 2 dx. De modo idêntico se obtém a área da superfície de revolução obtida pela rotação da curva x = g(y) em torno do eixo 0y, Exercício A(S) = 2π d c g(y) + [g (y)] 2 dy. ) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f(x) = x 3 em torno do eixo 0x, no intervalo [, 2].

67 64 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 2) Calcule o volume gerado pela função f(x) = a 2 x 2 em [ a, a]. 3) Calcule o volume gerado pela parábola y = x 2 girando em torno do eixo 0y, no intervalo [0, 4]. 4) Calcule o volume formado pela rotação da região entre y = x 2 e y = x Integrais Impróprios Vimos na secção anterior que a função que compõe o integral tem de ser limitada no intervalo [a, b] e que este intervalo também tem de ser limitado. No entanto, nem sempre isso acontece. Poderemos ter, por exemplo, + a f(x) dx ou b a f(x) dx com f(x) para algum x [a, b]. São os chamados integrais impróprios de primeira espécie e de segunda espécie, respectivamente, que passamos a definir. Definição 3.3. (Integral Impróprio de Primeira Espécie) Seja f uma função contínua, definida no intervalo [a, + [, e integrável em todo o intervalo [a, b] [a, + [. Designa-se por integral impróprio de primeira espécie da função f sobre o intervalo [a, + [ a + a f(x) dx = β lim f(x) dx. β + a De modo análogo, para f uma função contínua, definida no intervalo ], b], e integrável em todo o intervalo [a, b] ], b]. Designa-se por integral impróprio de primeira espécie da função f sobre o intervalo [, b[ a b f(x) dx = b lim β β f(x) dx. Exemplos Alguns exemplos de integrais impróprios de primeira espécie são, + x dx, 3 x 2 dx e + x x 2 + dx.

68 3.3. INTEGRAIS IMPRÓPRIOS 65 Definição (Integral Impróprio de Segunda Espécie) Seja f uma função contínua e integrável no intervalo ]a, b]. Designa-se por integral impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo ]a, b] a b a f(x) dx = lim β a + b β f(x) dx. Se f é uma função contínua e integrável no intervalo [a, b[. Designa-se também por integral impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo [a, b[ a b a f(x) dx = lim β b β a f(x) dx. Temos ainda o caso em que, se f é uma função contínua e integrável no intervalo [a, b] mas existe um c [a, b] onde f é descontínua então também se designa por integral impróprio de segunda espécie da função f sobre o intervalo [a, b] a b a f(x) dx = lim β c β a f(x) dx + lim β c + b β f(x) dx. Exemplos Alguns exemplos de integrais impróprios de segunda espécie são, 0 2 dx, x 2 x dx 0 e 2 0 x dx. Definição (Integral Impróprio Misto) Quando o integral é simultaneamente de primeira e de segunda espécie, ou seja, quando o intervalo de integração não é limitado e a função também não é limitada em algum ponto do interior do intervalo considerado, designamos os integrais por integrais impróprio mistos. Exemplo Um exemplo de integral impróprio misto é + x x2 dx. Definição (Convergência dos Integrais Impróprios) Os integrais impróprios dizem-se convergentes, se existirem e forem finitos os limites que os definem. Caso contrário, os integrais impróprios dizem-se divergentes. Exercício Diga se são convergentes ou divergentes os integrais impróprios apresentados anteriormente como exemplos.

69 66 CAPÍTULO 3. CÁLCULO INTEGRAL 3.4 Exercícios. Calcule as seguintes primitivas. (a) x 7 6 dx (b) x dx (c) dx x+3 (d) dx 2x 5 (e) 4 x 6 8x x 2 dx (f) e x dx e 2x +9 (g) e 3x dx (h) sen(7x) dx (i) cos( x 7 ) dx (j) (2 x) x dx (k) dx 2x x 4 (l) tg(2x) dx (m) e x 3 x dx (n) sen(arctg x) +x 2 dx (o) dx x(3+ln 3x) (p) e x e x +9 dx (q) x 2 x 2 +4x+5 dx (r) 2x+ dx x 2 + (s) sen x dx 5+cos 2 x (t) 3x 5 x 2 9 x 6 dx 2. Calcule as seguintes primitivas, utilizando a fórmula de primitivação por partes. (a) x 2 e x dx (b) sen 2 x dx (c) e x sen x dx (d) ln 2 x dx (e) cos 4 x dx (f) sen 2 x cos x dx (g) x x + dx (h) x 2 cos x dx (i) x ln x x+ dx (j) arcsen x dx (k) cos x cos(5x) dx (l) sen(ln x) dx (m) (x 3 + x)e x2 dx (n) x 5 sen x 3 dx (o) ln(x 2 + ) dx 3. Calcule as seguintes primitivas, utilizando as substituições indicadas. (a) x x 2 2 dx, x = t (b) 9 x 2 dx, x = 3 sen t (c) x x+ dx, x = t 2 (d) ln x dx, x = et x (e) sen x dx, cos x = t 2 sen 2 x (f) dx, x( x) x = sen 2 t (g) cos x x dx, x = t (h) x + 3x dx, + 3x = t (i) dx, ex e = t x (j) x 2 x 2 dx, x = sen t 4. Calcule as seguintes primitivas de funções racionais (a) x dx (x+)(x 2)(x 3) (b) (d) x 5 +x 4 8 dx x 3 4x dx (e) x (x+)(x ) 2 (c) +x+x 3 x 2 2x 3 +x 4 dx x dx (x+)(x 2 +)

70 3.4. EXERCÍCIOS Calcule os seguintes integrais definidos. (a) 0 xex2 dx (b) 2 0 x dx 4x 2 +9 (c) 0 x2 + x dx (d) x2 dx, x = sen t (e) 2 x 2 ln x ln x x+ dx (f) e ln x dx (g) π 2 4 cos x dx, x = t 2 0 (h) ex cos πx dx (i) 3 7+3x dx (j) 2 2 x arcsen x 2 dx 0 6. Indique a natureza dos seguintes integrais impróprios. (a) + x 2 dx (b) + cos x dx (c) + (d) + dx x dx +x 2 (e) arctg 2 x dx +x 2 (f) 0 (g) 2 0 (h) 2 x 2 (i) + 0 dx 4 x dx dx, x log x x 2 dx x = et 7. Calcule f (x) quando f(x) = 3 x t 2 e sen t dt. 8. Calcule a derivada em ordem a x das seguintes funções. (a) f(x) = (b) f(x) = x /2 x 2 cos t 2 dt arcsen x sen t dt, x < x 0 t 9. Considere a função f : [0, ] IR definida por f(x) = e mostre que f tem, pelo menos, um extremo. 0. Calcule lim x 0 x e t2 dt 0. e x2 x x 2 e t2 dt. Calcule f (x)

71 Capítulo 4 Sucessões 4. Definição de Sucessão e Subsucessão Definição 4.. (Sucessão) Chama-se sucessão infinita de termos reais, ou apenas, para simplificar, sucessão a toda a aplicação de IN em IR. Uma sucessão pode ser representada por onde n denota a ordem do termo, u : IN IR n u(n) = u n u n denota o valor do termo ou termo geral, (u n ) denota a sucessão, u (IN) denota o conjunto dos termos da sucessão. Observação 4..2 Também é usual denotar a sucessão por (u n ) n IN, (u n ) n ou (u n ). Considerando os termos da sucessão denominamo-los por u, u 2,..., u n,..., primeiro termo, segundo termo,..., n-ésimo termo,

72 4.. DEFINIÇÃO DE SUCESSÃO E SUBSUCESSÃO 69 Exemplos 4..3 ) Considerando o termo geral u n =, para todo n IN, temos a sucessão n (u n ) = (, 2, 3,..., n ),..., ou apenas ( n). Vamos ter u (IN) = { n : n IN}. 2) Para u n = 2, n IN, temos a sucessão onde u (IN) = {2}. (u n ) = (2, 2,..., 2,...), 3) Para u n = ( ) n+2, n IN, temos a sucessão onde u (IN) = {, }. (u n ) = (,,,,...), 4) Para u n = ( ) n+ 3, n IN, temos a sucessão onde u (IN) = { 4, 2}. (u n ) = ( 2, 4, 2, 4,...), 5) Para u n = n, n IN, temos a sucessão (u n ) = (, 2, 3, 4,...) onde u (IN) = IN. 6) Por vezes, duas ou mais fórmulas podem ser indicadas para definir uma sucessão. Por exemplo, as fórmulas u 2n = n 2, u 2n = n 2, n IN, definem a sucessão (u n ) = Neste caso temos u (IN) = { n 2 (,, 4, 4, 9, 9, 6, 6,... ). : n IN } {n 2 : n IN\{}}.

73 70 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES 7) Outro modo de definir uma sucessão consiste em indicar as instruções de como se podem obter os seus termos. Quando assim é, dizemos que a sucessão é definida por recorrência. Como exemplo, considerando as fórmulas u = u 2 =, u n+ = u n + u n, n IN, temos a célebre sucessão de Fibonacci (u n ) = (,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...). Neste caso temos u (IN) = {, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...}. Observação 4..4 O exemplo 2) mostra que (u n ) e u (IN) são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem ser confundidos. Neste exemplo temos (u n ) = (2, 2,..., 2,...), enquanto que u (IN) = {2}. Algo de semelhante acontece nos exemplos 3), 4), 6) e 7). Definição 4..5 (Subsucessão) Uma subsucessão é uma sucessão cujo conjunto dos seus termos é um subconjunto do conjunto dos termos de uma dada sucessão. Por exemplo, considerando a sucessão (u, u 2, u 3, u 4,...) podemos considerar a subsucessão dos termos pares (u 2, u 4, u 6, u 8,...), a subsucessão dos termos ímpares (u, u 3, u 5, u 7,...), ou a subsucessão dos termos cuja ordem é um número primo (u 2, u 3, u 5, u 7, u,...), etc. Nota 4..6 Toda sucessão é subsucessão de si própria. Assim, considerando uma sucessão constante, a sua única subsucessão é ela mesma. Exemplos 4..7 Consideremos a sucessão de termo geral u n =, para todo n IN, apresentada em n ) dos Exemplos Podemos definir as seguintes duas subsucessões, (v n ) = (, 4, 9,..., n ) (,..., (w 2 n ) = 2, 4, ) 6,..., 2n,.... Exercício 4..8 Defina subsucessões para as restantes sucessões apresentadas nos Exemplos 4..3.

74 4.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA SUCESSÃO Representação Gráfica de uma Sucessão A representação gráfica de uma sucessão, num sistema de eixos cartesianos, faz-se do mesmo modo como para qualquer função. No eixo das abcissas (0x) indicamos os números naturais e no eixo das ordenadas (0y) as correspondentes imagens por meio da sucessão (termos da sucessão). O gráfico de uma sucessão (u n ) é o conjunto de pontos discretos {(n, u n ) : n IN}. Exemplos 4.2. A representação gráfica dos seis primeiros termos da sucessão u n = 2( )n, n IN, n é Exercício Represente geometricamente os 4 primeiros termos das sucessões ), 2) e 4) dos Exemplos Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas Apresentamos agora duas importantes classes de sucessões. Definição 4.3. (Progressão Aritmética) Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante real r a que se dá o nome de razão. A fórmula para o seu termo geral é u n = u + (n )r, n IN.

75 72 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES Este tipo de sucessão caracteriza-se por a diferença de quaisquer 2 dos seus termos sucessivos ser a constante r, ou seja, u n+ u n = r, n IN. Deste modo podemos definir a sucessão por recorrência, { u = a sendo a, r IR conhecidos. u n+ = u n + r, n IN Proposição A soma S n dos primeiros n termos de uma progressão aritmética (u n ) é dada pela fórmula S n = u + u n 2 n. Exercício Calcule a soma S 50 da progressão aritmética (u n ) = n. Exercício Determine o termo geral de uma progressão aritmética (a n ) sabendo que { a4 + a 7 = 2 a 4 a 7 = 27. Definição (Progressão Geométrica) Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo, é igual à multiplicação do termo anterior por uma constante real r 0 a que se dá o nome de razão. Para estar bem definida temos de ter u 0. A fórmula para o seu termo geral é u n = u r n, n IN, u 0, r 0. A sucessão caracteriza-se pelo facto da divisão entre quaisquer 2 dos seus termos sucessivos ser a constante r, ou seja, u n+ u n = r, n IN. Podemos também aqui definir a sucessão por recorrência através das fórmulas { u = a (u 0, r 0) sendo a, r IR conhecidos. u n+ = u n r, n IN

76 4.4. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA 73 Proposição A soma S n dos primeiros n termos de uma progressão geométrica (u n ) é dada pela fórmula S n = u r n r. Exercício Determine o termo geral de uma progressão geométrica sabendo que a razão é 2 e o terceiro termo é 24. Exercício Numa progressão geométrica temos v 5 = 32 e v 8 = 4.Calcule S Princípio de Indução Matemática O Princípio de Indução Matemática é um método simples para demonstrar que determinada propriedade é verdadeira para todos os números naturais. Isto é conseguido através dos seguintes dois passos: ) Base de indução: Estabelecer a propriedade para o primeiro dos números naturais, ou seja, o número ; 2) Passo de indução: Estabelecer que caso a propriedade se verifique para um número natural n (Hipótese de Indução) então ela também é verificada para o número natural seguinte, n +. Definição 4.4. (Princípio de Indução Matemática) Se, no universo IN, representamos uma condição por P (n) e se, ) P () é verdadeira; 2) P (n) P (n + ), para n > ; então P (n) é verdadeira para todo n IN. Exemplos Vamos provar que n = n 2. ) Para n = temos = 2. Logo, a propriedade é verdadeira para n =.

77 74 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES 2) Vamos supor que é verdade para n IN, ou seja que, n = n 2. Vamos provar então que é verdade para n +, ou seja, que Temos, (n + ) = (n + ) [2(n + ) ] = [2n ] + [2(n + ) ] = [ n ] + [2(n + ) ] = n 2 + 2n + = (n + ) 2, c.q.d. Assim, é verdade que n = n 2, n IN. Exercício Prove por indução matemática que, ) 3 n 2 n = 6 n, n IN, 2) n = n(n+) 2, n IN. 4.5 Monotonia Definição 4.5. (Sucessão Monótona) Uma sucessão (u n ) diz-se monótona estritamente crescente se u n < u n+, n IN. Uma sucessão (u n ) diz-se monótona estritamente decrescente se u n > u n+, n IN. Uma sucessão (u n ) diz-se estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. Uma sucessão (u n ) diz-se monótona crescente (no sentido lato) se u n u n+, n IN. Uma sucessão (u n ) diz-se monótona decrescente (no sentido lato) se u n u n+, n IN. Uma sucessão (u n ) diz-se monótona (no sentido lato) se for crescente ou decrescente. Uma sucessão (u n ) que não é monótona diz-se oscilante

78 4.6. SUCESSÕES LIMITADAS 75 Para estudar a monotonia de uma sucessão, determinamos a diferença u n+ u n e comparamos o resultado com 0. Se o resultado for maior que 0, a sucessão é monótona crescente. Se for menor que 0, a sucessão é monótona decrescente. Se, por outro lado, for igual a 0 a sucessão é constante. Por vezes poderá ser mais fácil estudar a monotonia de uma sucessão determinando u n+ u n e comparando o resultado com desde que que u n 0. Se o resultado for maior que, a sucessão é monótona crescente. Se é menor que, a sucessão é monótona decrescente. Se, por outro lado, for igual a, a sucessão é constante. Exercício Estude a monotonia das seguintes sucessões, u n = 3n 2, n IN, e v n = n, n IN. 4.6 Sucessões Limitadas Recordar 4.6. Seja A um subconjunto de IR. b IR é um majorante de A se x A x b. b IR é um minorante de A se x A b x. A é um conjunto majorado se tiver pelo menos um majorante. A é um conjunto minorado se tiver pelo menos um minorante. A é um conjunto limitado se for majorado e minorado. Exemplos Considerando A =], [ ], 4[ { 3}, temos os minorantes ], 3] e os majorantes [4, + [. Definição (Sucessão Majorada) Uma sucessão diz-se majorada, se o conjunto dos seus termos for majorado, isto é, se existir um real maior ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, se L IR : u n L, n IN.

79 76 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES Definição (Sucessão Minorada) Uma sucessão diz-se minorada, se o conjunto dos seus termos for minorado, isto é, se existir um real menor ou igual do que todos os termos da sucessão. Ou seja, se l IR : u n l, n IN. Definição (Sucessão Limitada) Uma sucessão diz-se limitada se for majorada e minorada. Ou seja, se L, l IR : l u n L, n IN. Exercício Verifique se as seguintes sucessões são limitadas, u n = n, n IN, e v n = n, n IN. 4.7 Sucessões Convergente Dizemos que uma sucessão (u n ) tende para determinado elemento a, finito ou não, se, a partir de determinada ordem p IN, os termos da sucessão vão estar tão próximos de a quanto se queira. Abreviadamente, podemos escrever lim u n = a, n + lim u n = a, lim u n = a, lim u n = a ou u n a. n n No caso de a ser finito, isto é, ser um número real, dizemos que a sucessão é convergente ou converge. Definição 4.7. (Sucessão Convergente) Uma sucessão (u n ) converge para a IR se ou ε > 0 p = p(ε) IN : n IN e n > p u n ]a ε, a + ε[, ε > 0 p = p(ε) IN : n IN e n > p u n a < ε. Isto é, por mais pequeno que seja ε > 0, e portanto a amplitude do intervalo ]a ε, a+ε[, existe uma ordem p = p(ε) IN a partir da qual todos os termos da sucessão "caem"dentro desse intervalo. O real a da definição anterior chama-se limite da sucessão. Apresentamos agora uma denominação particular para as sucessões convergentes. Definição (Infinitésimo) Quando a sucessão (u n ) converge para 0 dizemos que (u n ) é um infinitésimo.

80 4.8. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA 77 Exercício Usando a definição, mostre que a sucessão ( n) é um infinitésimo. Uma sucessão (u n ) que não é convergente diz-se divergente. Casos particulares importantes das sucessões divergentes são aquelas que tendem para + ou. Assim, temos as seguintes definições. Definição (Infinitamente Grandes) Diz-se que a sucessão (u n ) é um infinitamente grande positivo, ou que tende para +, denotando-se por u n +, se para qualquer número real b for possível determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão são maiores do que b. Diz-se que a sucessão (u n ) é um infinitamente grande negativo, ou que tende para, denotando-se por u n, se para qualquer número real b for possível determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos da sucessão são menores do que b. 4.8 Critérios de Convergência Vamos agora apresentar alguns Teoremas e Proposições que nos permitirão estudar a convergência das sucessões. Não se assuste com a palavra Teorema. Vamos apenas apresentar os resultados que lhe permitirão conhecer melhor algumas propriedades das sucessões. Deixaremos assim as demonstrações para outro ciclo de ensino. Proposição 4.8. Sejam (u n ) uma sucessão e a, b IR. Se então a = b. lim u n = a, e lim u n = b, n + n + Proposição Se (u n ) é uma sucessão constante, então (u n ) converge para a própria constante. Proposição Se (u n ) é uma sucessão convergente, então (u n ) é limitada. Note que o recíproco da proposição anterior não é verdade. Ou seja, uma sucessão limitada pode não ser convergente. Veja-se o exemplo da sucessão { se n é par u n = 2 se n é ímpar.

81 78 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES Proposição Se (u n ) é uma sucessão monótona e limitada, então é convergente. Note que também para esta última proposição o recíproco não é verdade. Veja-se o exemplo da sucessão u n = ( )n, convergente para 0 mas não monótona. n Teorema (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Seja (u n ) uma sucessão limitada. Então (u n ) tem, pelo menos, uma subsucessão convergente. Teorema (Teorema das Sucessões Enquadradas) Sejam (u n ), (v n ) e (w n ) sucessões tais que (u n ) e (w n ) são convergentes com lim u n = a = lim w n, n + n + a IR, e, a partir de certa ordem, u n v n w n. Então (v n ) é convergente e lim v n = a. n + Exercício Usando o Teorema das Sucessões Enquadradas, mostre que a sucessão é convergente e calcule o seu limite. u = 2 +, u 2 = ,. u n = n n 2 + n, Teorema Sejam (u n ) uma sucessão limitada e (v n ) uma sucessão convergente tal que lim v n = 0. n + Então (uv) n = u n v n é uma sucessão convergente e lim u nv n = 0. n +

82 4.9. RECTA ACABADA 79 Note que poderá já conhecer este último teorema com o texto O produto de um infinitésimo por uma limitada é um infinitésimo. Proposição (Operações com Sucessões Convergentes) Sejam (u n ) e (v n ) sucessões convergentes com a, b IR. Então lim u n = a e lim v n = b, n + n + ) lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n = a + b, n + n + n + 2) lim (u n v n ) = lim u n lim v n = a b, n + n + n + 3) lim (u n v n ) = lim u n lim v n = a b, n + n + n + 4) lim n + (k u n) = k lim n + u n = k a, com k IR, 5) lim n + u n v n = lim n + u n lim n + v n lim 6) lim n + uvn n = lim u n n + nulos, 7) lim k un = k n + = a, se lim b v n 0, n IN, n + n + v n 4.9 Recta Acabada = a b desde que a e b não sejam simultaneamente lim u n = k a, com k IN. n + Na última proposição da secção anterior vimos como é fácil calcular o limite quando temos operações entre sucessões convergentes. Imagine agora que temos duas sucessão, (u n ) e (v n ), tais que e queremos calcular lim u n = a, a IR, e lim v n = +, n + n + lim (u n + v n ) =?, n + u n lim =? ou lim n + v n n + uvn n =?. (4.9.) Surge assim a necessidade de definir recta acabada e as suas operações habituais (+,,,, potenciação,...) de forma a ser possível operar com os elementos + e.

83 80 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES Definição 4.9. (Recta Acabada) Define-se recta acabada, denotando-a por IR, ao conjunto dos números reais mais os dois elementos + e. Ou seja, IR = IR {, + }. Vamos agora definir as operações algébricas entre dois elementos deste conjunto, dando particular importância ao caso de pelo menos um deles ser + ou. Definição (Operações com + e ) Para a adição temos, a + (+ ) = +, a + ( ) =, a IR, Para a subtracção temos, (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =. a (+ ) =, a ( ) = +, a IR, (+ ) ( ) = +, Para a multiplicação temos, ( ) (+ ) =. a (+ ) = +, a ( ) =, a > 0, a (+ ) =, a ( ) = +, a < 0, (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) ( ) = +. Para a divisão temos, Para a potenciação temos, { 0 se 0 a a + = + se a > (+ ) b = + a = +, =, a 0, a + =, = +, a 0, a a + = a = 0. { 0 se b < 0 + se b > 0, ( )b =, a = { + se 0 a a = + 0 se a > 0 se b < 0 + se b > 0 e b par se b > 0 e b ímpar,.

84 4.0. CÁLCULO DE LIMITES COM INDETERMINAÇÕES 8 Estamos em condições de responder às perguntas lançadas em (4.9.). Vamos ter { lim (u u n 0 se 0 a n + v n ) = +, lim = 0 e lim n + n + v n n + uvn n =. + se a > Recordar No conjunto IR, recorde os casos particulares, { a + se a > 0 0 = + se a < 0, a 0 = 0 a = { 0 se a > 0 + se a < 0 { se a > 0 + se a < Cálculo de Limites com Indeterminações Imagine agora que temos (u n ), (v n ) e (w n ) tais que Vamos ter, lim u n = 0, n + lim (u n v n ) = 0 (+ ), n + lim v n = + e lim w n =. n + n + lim n + v n = + w n e lim n + vun n = (+ ) 0. Ou seja as célebres indeterminações, que acontecem quando não é possível determinar uma operação. Assim, Definição 4.0. (Indeterminações) As indeterminações em IR são do tipo, ,, +, +, = ( ) 0 = ± (± ) 0, + + ( ) = +, + (+ ) = +, + (+ ) = +, ( ) = +,

85 82 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES 0, 0 (+ ), 0 ( ), +, = +, 0 (± ) 0. Apresentamos agora de forma sucinta algumas regras para o levantamento de indeterminações. Mas, note primeiro que, Importante Antes de aplicar qualquer método para levantar uma indeterminação, dever ver se é possível simplificar o termo da sucessão. Regra : levantamento de indeterminações do tipo Este tipo de indeterminação pode, normalmente, ser levantada pondo em evidência o termo de maior grau, ou, no caso em que temos raízes, multiplicar e dividir pelo conjugado. Exercício Calcule os seguintes limites, lim n + (n2 3n) e lim ( n + 2 n) n + Regra 2: levantamento de indeterminações do tipo, 0 0 e 0 Podemos levantar estas indeterminações pondo em evidência o termo de maior grau, ou, no caso de termos a mesma potência, pondo em evidência a potência cuja base é maior. Para a última em particular, podemos ter em conta que Exercício Calcule os seguintes limites, lim (u n v n ) = 0 n + = lim n + = lim n + u n (v n ) = 0 0 v n (u n ) =. lim n + 3 n3 + 2 n, lim 2 3n 5 n+ n + 4 2n+ 2, lim 3 2n 5 n+ 2 e lim n n + 4 n+ 2 2n n + n 2 + (+n).

86 4.0. CÁLCULO DE LIMITES COM INDETERMINAÇÕES 83 Para podermos avançar nas técnicas de levantar indeterminações vamos apresentar uma importante definição e algumas proposições. Definição (Número de Neper) Define-se o número de Neper e como sendo o limite finito ( + n) n = e lim n + = 2, Curiosidade A primeira referência a esta grandeza surgiu pelas mãos de John Napier. No entanto, os primeiros trabalhos dedicados exclusivamente a ela apareceram meio século mais tarde nos trabalhos do matemático Jakob Bernoulli. É pelas mãos de Leonhard Euler que o número de Neper se torna verdadeiramente conhecido. Aliás, o número de Neper é também denominado de Número de Euler e a sua notação é a letra inicial de Euler. Com base na definição anterior podemos definir a sucessão limitada e convergente ( u n = + n) n. Proposição Seja k IR e u n uma sucessão tal que lim u n = +. n + Então, ( lim + k ) un = e k. n + u n Proposição Seja a IR + 0 {+ } e u n uma sucessão de termos positivos tal que Então, u n+ lim = a. n + u n lim n + n un = a.

87 84 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES Regra 3: levantamento de indeterminações do tipo 0 0, e 0 Este tipo de indeterminações podem ser levantadas tendo em conta que lim n + uvn n = lim n ) n + eln(uvn = e lim ln (uvn n ) n + = e lim n + (v n ln u n ). Para as do tipo, podemos ainda recorrer à Proposição e as do tipo 0 à Proposição Exercício Calcule os seguintes limites, ( ) 2n n+ lim, lim ( 3n ) 2n 2 ( ) 2n n + 5, lim, lim n + n 2 n + 2 n + n + n + 4. Exercícios. Indique os cinco primeiros termos de cada uma da seguintes sucessões, n n2 +. (a) a n = + (0, 2) n (b) b n = n + 3n (c) c n = 3( )n n! (d) u n = 2, 4, 6,..., (2n) (e) v = 3, v n+ = 2v n (f) w = 4, w n+ = w n w n 2. Faça a representação gráfica dos cinco primeiros termos das sucessões do exercício anterior. 3. Estabeleça, a partir dos primeiros termos, uma expressão para o termo geral das seguintes sucessões, (a) 2, 4, 8, 6,... (b) 2, 4, 6, 8,... (c) 2, 7, 2, 7, 22,... (d) 4, 2 9, 3 6, 4 25,... (e), 2 3, 4 9, 8 27,... (f) 5,, 5,, 5,, Considere as seguintes sucessões de números reais, u n = 2n + n e v n = n + ( )n + n.

88 4.. EXERCÍCIOS 85 (a) Calcule os 5 primeiros termos de cada uma delas. (b) Represente-as geometricamente. 5. Seja (u n ) a sucessão definida por (a) Calcule u 3, u 4 e u 6. u n = + n + 2 n. (b) Determine u n+ u n. O que pode dizer sobre a monotonia de (u n )? (c) Veja se 42 suas ordens. e são termos da sucessão e, em caso afirmativo, indique as (d) Mostre que é verdadeira a proposição 2 < u n 4, n IN. 6. Estude a monotonia das seguintes sucessões, (a) u n = ( 2 ) n (b) v n = 2n 5 n 2, com n 5 (c) b n = n + n Para cada uma das seguintes sucessões, estude a sua monotonia e verifique se são limitadas, (a) a n = 5 n (b) a n = 2n Dadas as sucessões definidas por (c) a n = cos nπ 2 (d) a n = ne n (e) a n = n n 2 + (f) a n = n + n a n = n + 3 3n + e b n = ( ) 2n n + 2. n 4 (a) Prove que (a n ) é monótona e limitada. Que pode concluir sobre a convergência? (b) Calcule, caso exista, lim (a n + b n ). n + 9. Considere a sucessão de termo geral u n = ( ) n. n+

89 86 CAPÍTULO 4. SUCESSÕES (a) Calcule o limite l da sucessão. (b) Verifique, utilizando a definição de limite, que de facto lim u n = l. n + (c) Determine a ordem a partir da qual todos os termos da sucessão se encontram na vizinhança δ = 0, do limite l. 0. Considere a sucessão de termo geral u n = 2n n+. (a) Calcule o limite l da sucessão. (b) Explique o que significa lim u n = l. n + (c) Determine a mais baixa ordem a partir da qual todos os termos da sucessão distam do limite l menos do que 0, 05.. Indique, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras. (a) Qualquer sucessão não limitada é divergente. (b) Toda a sucessão decrescente é divergente. (c) Se, para todo n IN, tivermos u n > 0 e u n 0, então u n é decrescente. (d) Dadas as sucessões de termos gerais u n = 2n e v n = 22 3n 4, a ordem p a partir da qual u p = v p é 2. (e) Qualquer sucessão crescente de termos em ], [ converge. (f) A sucessão u n = 2n 5 n 2 é, a partir de certa ordem, decrescente. 2. Estude quanto à convergência as seguintes sucessões, (a) n n n (b) ( ) n 4 + e n (c) 2( ) n + 00 n+ (d) n3 +n 5 +2n n 2 +n 4 (e) sen 2nπ 3 n n (f) 2 +n (g) ( 2n+ 2n+3 n 3 ) 2n (h) n 2n + (i) ( 3n+2 3n+5 ) n 2 (j) 2 n sen n (k) 2n e n+ e n 2 n+ ( (l) n 0 n 0 ) n5 (m) n ln ( + n ) 3. Utilize o Teorema das Sucessões Enquadradas para estudar quanto à convergência as sucessões, (a) (n+) 2 + (n+2) (2n) 2

90 4.. EXERCÍCIOS 87 (b) cos (2k) n 2 +, k IR (c) 3 n n n 3 +2n 4. Dada a sucessão (v n ) definida por v = v n+ = v n + 3, n IN 3 onde v n < 3 2, n IN. (a) Prove, por indução, que v n < 3 2, n IN. (b) Mostre que a sucessão é crescente. (c) Conclua que a sucessão é convergente e calcule o seu limite. 5. Considere a sucessão (u n ) definida por recorrência u = 5 u n+ = 5u n 4, n IN onde u n > 4, n IN. u n (a) Prove, por indução, que n IN u n > 4. (b) Mostre que a sucessão é decrescente. (c) Prove que a sucessão é convergente. 6. Considere a sucessão (u n ) definida por: { u = 0 com u n < 3, n IN. u n+ = u n + 6, n IN (a) Prove, por indução, que u n < 3, n IN. (b) Mostre que a sucessão é monótona crescente. (c) Justifique que (u n ) é convergente e calcule o seu limite.

91 Capítulo 5 Séries 5. Noção de Somatório A noção de Somatório surge da necessidade em escrever a soma de termos de uma sucessão. Assim temos a definição de Somatório. Definição 5.. (Somatório) Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente a soma de um número finito ou infinito de elementos. É representado com a letra grega sigma,, e é definido por, n x k = x m + x m+ + x m x n. k=m A variável k é o índice do somatório. Percorre os valores inteiros desde o limite inferior m até ao limite superior n. Temos naturalmente m n. Proposição 5..2 Sejam (u k ) e (v k ) sucessões e c IR. São válidas as seguintes propriedades, Aditiva Homogénea Telescópica n (u k + v k ) = k= n u k + k= n (cu k ) = c k= n u k, k= n v k, k= n (u k u k ) = u n u 0. k= 88

92 5.2. DEFINIÇÃO DE SÉRIE NUMÉRICA 89 Exercício 5..3 Calcule os seguintes somatórios. 4 2 n 3 e 6 3n n 2. n=4 5.2 Definição de Série Numérica Estamos interessados em aplicar o conceito de somatório através da soma infinita dos elementos de uma sucessão. Definição 5.2. (Série) Seja (u n ) uma sucessão de números reais. Chama-se Série de Termo Geral (u n ) à soma u n = u + u 2 + u Definição (Sucessão das Somas parciais) Dada uma série u n, chama-se sucessão das somas parciais a S n = n u k, k= ou seja, à sucessão cujo termo geral é a soma dos n termos da série. Temos onde (S n ) = (S, S 2, S 3,..., S n,...), S = u 2 S 2 = u k = u + u 2. S n =. k= n u k = u + u u n k=

93 90 CAPÍTULO 5. SÉRIES Exemplo Considerando a séries temos a sucessão das somas parciais 2n (S n ) = (S, S 2, S 3,..., S n,...) ( ) = 2, 2 + 4, n 8,..., 2,... k k= ( ) = 2, 3 4, 7 n 8,..., 2,.... k k= Exercício Apresente a sucessão das somas parciais (com pelo menos 4 elementos) das séries 2 n n e n n3 2. Definição (Convergência) Seja u n uma série e S n a sucessão das suas somas parciais.. Diz-se que a série u n é convergente se a sucessão S n for convergente. 2. Se a sucessão S n é divergente, a série u n diz-se divergente. A convergência de uma série reduz-se portanto à convergência da sucessão das somas parciais. No caso em que a série u n converge, então existe um real S, denominada de soma da série, tal que lim S n = S. n +

94 5.3. SÉRIES NOTÁVEIS Séries Notáveis Apresentaremos agora algumas das mais importantes famílias de sérias e os respectivos critérios para estudar a a convergência Série Geométrica Definição 5.3. (Série Geométrica) Sejam a IR\{0} e r IR. Designa-se por série geométrica uma série da forma ar n. n=0 Denotamos por a o primeiro termo da série, enquanto que r designa a razão da série. Proposição Uma série geométrica Neste caso temos ar n, com a 0, é convergente se e somente se r <. n=0 A série é divergente para r S = Nota Se a série geométrica aparecer na forma a r. ar n, o critério de convergência fica igual mas S = ar r. Exercício Verifique se a série é convergente. Exercício Verifique se as seguinte séries são convergentes e calcule as respectivas somas, n=0 π2 n 7 n+2 e n=0 3 2n 2 3n+.

95 92 CAPÍTULO 5. SÉRIES Série de Mengoli Definição (Série de Mengoli ou Série Telescópica) Designa-se por série de Mengoli uma série da forma (u n u n+p ), p IN. Proposição A série de Mengoli é convergente se a sucessão (u n ) for convergente. Neste caso temos S = u + u u p p lim n + u n. É divergente se o limite de (u n ) não existe ou é infinito. Exercício Estude a natureza das seguintes séries e, no caso de existirem, calcule as respectivas somas, n(n + ) Série de Dirichlet e n=3 Definição (Série de Dirichlet) Designa-se por série de Dirichlet uma série da forma 6 (n 2)(n + ). n α, α IR. Quando α = a série de Dirichlet passa a designar-se por Série Harmónica. Proposição Se α > a série de Dirichlet converge. Se α a série de Dirichlet diverge. 5.4 Propriedades Apresentamos agora algumas propriedades úteis no estudo da convergência das séries.

96 5.4. PROPRIEDADES 93 Proposição 5.4. Sejam u n, v n duas séries convergentes com as somas parciais S u e S v, respectivamente, e k IR. Temos,. A série u n + v n converge e a sua soma parcial é S u + S v. 2. A série ku n converge e a sua soma parcial é ks u. Nota A soma de uma série convergente com uma divergente é uma série divergente. 2. A soma de duas séries divergentes poderá ser uma série convergente ou divergente. Proposição (Condição Necessária de Convergência) Se u n é uma série convergente então lim u n = 0. n + Nota O recíproco da proposição anterior não é verdade, ou seja, se pode concluir sobre a natureza da série u n. Podemos no entanto considerar a negação da proposição, ou seja, se então a série u n é divergente. lim u n = 0 nada se n + lim u n 0 n + Exemplo n A séries n + é divergente pois lim n + n n + = 0 Exercício Estude a natureza da série 2n + 3n.

97 94 CAPÍTULO 5. SÉRIES 5.5 Séries de Termos Não Negativos As séries de termos não negativos são geralmente estudadas em separado, uma vez que, embora não seja possível calcular o limite da sucessão das somas parciais, é possível, de forma mais fácil, estabelecer critérios de convergência. Vamos assim começar com a definição deste tipo de série e apresentar vários critérios para o estudo da natureza deste tipo de série. Definição 5.5. (Série de Termos Não Negativos) Designa-se por Série de Termos Não Negativos a uma série da forma u n, n=0 com u n 0, n IN. Proposição (Critério Geral de Comparação) Sejam e séries de termos não negativos tais que, a partir de certa n=0 u n n=0 v n ordem, u n v n. Temos que,. Se v n é convergente, então n=0 u n também é convergente. n=0 2. Se u n é divergente, então n=0 v n também é divergente. n=0 Exercício Estude a natureza das seguintes séries. n 2 + ln n, n n e n. Proposição (Critério do Limite) Se existir lim n + u n v n = L então,. Se L 0 ou L +, as séries u n e n=0 v n são da mesma natureza. n=0 2. Se L = +, então se v n for divergente, n=0 u n também é divergente. n=0

98 5.5. SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS Se L = 0, então se v n for convergente, n=0 u n também é convergente. n=0 Exercício Estude a natureza das seguintes séries. 5n 2 + 2n + 3, n 3 + 4n 2n e n 2. Proposição (Critério da Razão D Alembert) Seja u n uma série de termos não negativos tal que n=0. Se L <, a série é convergente. lim n + u n+ u n = L. Então, 2. Se L >, a série é divergente. 3. Se L =, nada se pode concluir acerca da natureza da série Exercício Estude a natureza das seguintes séries. 2 n n!, n! e 3 n n 2 2 n. Proposição Seja u n uma série de termos positivos. Se, a partir de uma certa ordem se verifica n=0 que u n+ u n, então a série é divergente. Exercício Estude a natureza da série n! 3. n Proposição (Critério da Raiz Cauchy) Seja u n uma série de termos não negativos tal que n=0. Se L <, a série é convergente. 2. Se L >, a série é divergente. lim n un = L. Então, n +

99 96 CAPÍTULO 5. SÉRIES 3. Se L =, nada se pode concluir acerca da natureza da série Exercício 5.5. Estude a natureza das seguintes séries. 4 n, (n + ) n e ( n + n ) n Séries Alternadas Definição 5.6. (Série Alternada) Uma série u n diz-se Alternada se o seu termo geral for da forma u n = ( ) n a n com a n > 0, ou seja se for da forma ( ) n a n = a + a 2 a ( ) n a n Para este tipo de séries existe o seguinte critério de convergência. Proposição (Critério de Leibniz) Seja (a n ) uma sucessão monótona decrescente e é convergente. Exercício Estude a natureza das seguintes séries. lim a n = 0, então a série n + ( ) n a n cos(πn) 3n + e ( ) n n. 5.7 Convergência Absoluta A presentamos agora a definição de dois tipos de convergência relacionados com a série dos módulos. Definição 5.7. (Convergência Absoluta) Uma série u n diz-se absolutamente convergente se a série u n for convergente.

100 5.8. SÉRIES DE POTÊNCIAS 97 Definição (Convergência Simples) Uma série u n diz-se simplesmente convergente se a série e u n for convergente. u n for divergente Proposição Se u n é uma série convergente, então u n também é convergente. Exercício Diga se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as seguintes séries. ( ) n 5 e n Séries de Potências sen ( ) πn 4 3n 2 + n. Nesta secção iremos apresentar apenas as definições e propriedades mais importantes, ficando ao cuidado do leitor fazer um estudo mais pormenorizado. Definição 5.8. (Série de Potências) Uma série de potências de x a é uma série da forma a 0 + a (x a) + a 2 (x a) a n (x a) n +... = a k (x a) k, k=0 onde a, a 0, a,..., a n IR. Uma série de potências é sempre convergente para x = a uma vez que quando fazemos x = a, obtemos a série numérica a , cuja soma é a 0 IR. O seguinte Teorema mostra que podem existir outros valores de x para os quais uma série de potências é convergente. Teorema (Teorema de Abel) Dada a série de potências a k (x a) k temos um dos dois seguintes casos: k=0 i) a série converge apenas para x = a;

101 98 CAPÍTULO 5. SÉRIES ii) a série converge (absolutamente) para todos os valores reais de x; iii) existe um número real R > 0 (chamado raio de convergência) tal que a série converge absolutamente para todos os valores de x para os quais x a < R, e diverge para todos os valores de x para os quais x a > R. Definição (Intervalo de Convergência) Chama-se intervalo de convergência da série de potências ao conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge. Para estudar a convergência de uma série de potências, podemos aplicar o critério de Cauchy ou de D Alembert à série dos módulos. Teorema O raio de convergência de uma série de potências da forma por ou R = R = lim x + lim x + Temos ainda que, a k a k+ a k (x a) k é dado k=0, desde que o limite exista ou seja igual a +, desde que o limite exista ou seja igual a +. k ak i) se R = 0 então a série converge para x = a; ii) se R = + então a série converge x IR; iii) se R ]0, + [ então a série converge pelo menos para todos os x ]a R, a+r[ Séries de Taylor e de Mac-Laurin Apresentamos agora duas séries de potência especiais. Deve recordar as Definições e Definição (Série de Taylor) Seja f uma função que admite derivadas de todas as ordens no ponto a. Chama-se série de Taylor de f em torno de a à série f(a)+f (a)(x a)+ f (a) 2! (x a) f (n) (a) (x a) n +... = n! k=0 f (k) (a) (x a) k k! Definição (Série de Mac-Laurin) Quando a = 0, a série da definição anterior é designada por série de Mac-Laurin.

102 5.9. EXERCÍCIOS Exercícios. Use a definição de série numérica para estudar a natureza das seguintes séries. Em caso de convergência calcule a respectiva soma. (a) (b) (c) (2n )(2n + ) ( ln + ) n ln ( n ) 2 n=2 (d) (e) (f) 2 n + 3 n ( n ) n (3n )(3n + 2) (g) ( ) n 3 n 2. Use a a condição necessária de convergência para determinar a natureza da série. n + n + (a) (b) ( 2) n (c) n + 2 n 3. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respectiva soma. (a) (b) 2 n n 2 + 2n (c) (d) 2 3 n n=0 2 n 6 n + e n (e) (f) cos π n cos π n + 3 n + n n2 + n 4. Use a teoria das séries geométricas para expressar cada um dos seguintes números como um número racional. (a) 3, (b) 2, (c) 0, (d) 3, Usando o critério de comparação estude a natureza das seguintes séries. (a) ln(n + ) (c) n 2 + (b) n + n(n + 2) (d) sen π 2 n

103 00 CAPÍTULO 5. SÉRIES (e) (f) tg π 4n (2n )2 2n (g) (h) n 3 n + n(n + 2) ( n2 + n + n n 2 n + ) 6. Usando o critério da razão estude a natureza das seguintes séries. (a) (b) (3n ) 5... (4n 3) n n n!3 n (c) 0 n 2 n! (2n)! 7. Usando o critério de Cauchy estude a natureza das seguintes séries. (a) n (b) 2 n ln n (n + ) (c) ( ) n 2n n + 8. Calcule os seguintes limites usando a teoria das séries. (a) lim n + ( 2 3 ) n n (b) lim n + n n (2n)! (c) lim n + n n n! 2 9. Estude a natureza das seguintes séries. Quando for possível calcule a soma da série. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2 n 3 2n n 2 + 4n + 3 n + n 3 2 n n n + n n2 n n! (g) (h) (i) (j) (k) (l) n 3 n+ ( + n 2 + n 3 (n + )! e 3n ln n n 3 3 n 2 n 4 n + 3 n n n sen n ) 2 (m) (n) (o) (p) (q) ( ) n n + 2 n + 4 ( n ) n 2n + (2n)! n 2n + 2 n 2 n n n (3 + 9n) n ( n n5 n n + 2 ) 2n 2

104 5.9. EXERCÍCIOS 0 0. Estude a natureza das seguintes séries alternadas. (a) (b) (c) ( ) n+ 2n ( ) n 2n + n 2 n ( ) n tg n (d) (e) ( ) n n + n cos(πn) 3n +. Diga se são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as seguintes séries. (a) ( ) n n n + 2 (b) sen ( π 4 + πn) 3n +

105 Capítulo 6 Testes e Exames do Ano Anterior (TSI e EI) Teste ( ). Determine o termo geral de uma progressão aritmética (u n ) sabendo que { u + u 3 = 6 u u 3 = Seja (u n ) a sucessão definida por (a) Calcule u 2, u 3 e u 7. u n = + 2n +. n (b) Determine u n+ u n. O que pode dizer sobre a monotonia de (u n )? (c) Veja se 2 é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique a sua ordem. 20 (d) Mostre que é verdadeira a proposição < u n 2, n IN. 3. Estude quanto à convergência as seguintes sucessões, (a) n 4 + n (b) ( 3n+ 3n+2) 3n (c) n n Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a respectiva soma. + 2 (n + )(n + 3). 5. Estude a natureza das seguintes séries, 02

106 03 (a) + 3n n 4 + n (b) + n 2 + ln n (c) + 3 n (n + )! 6. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, 444(4) como um número racional. 7. Prove por indução matemática que (2n ) = n 2, n IN. 2 Teste (-05-20). Considere a função real de variável real, definida por π (x + ln x) se 0 < x < 2 f(x) = πk se x = arccos (x ) se < x < 2. (a) Determine k de modo que f seja contínua em x =. (b) Apresente a função f.[considere o valor de k obtido em (a).] 2. Estude a função focando os seguintes pontos: Domínio; Paridade; Intervalos de monotonia; Extremos; f(x) = ex x 2, Concavidades; Assímptotas; Esboço do gráfico. 3. Apresente um valor aproximado para 4, 0 + (4, 0) 2 recorrendo à definição de diferencial. 4. Considere a função f(x) = ln 2x +. x (a) Apresente a função f recorrendo à definição. Confirme o resultado obtido usando as fórmulas de derivação. (b) Caracterize a inversa de f. 2 Teste (2 a Parte) ( )

107 04 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI). Estude a continuidade da função real de variável real, definida por { x + e x se x f(x) = se x =. 2. Considere a função real de variável real, definida por { x ln(e + x) se x < f(x) = se x. x (a) Veja se existe f (). (b) Apresente a função f. 3. Estude a função focando os seguintes pontos: f(x) = e x x 2, a) Domínio; b) Zeros; c) Monotonia; d) Extremos; e) Concavidades ; f) Assímptotas ; g) Esboço do gráfico. Note que 8 = 2 2 2, 83 Note que e x x 2 = x 2 e x 4. Apresente um valor aproximado para ln(, 0) recorrendo à definição de diferencial. 5. Derive a função ( ) 3x 2 + f(x) = arctg, x apresentando o resultado na forma mais simplificada possível. 2 Teste (2 a Parte) ( ). Estude a continuidade da função real de variável real, definida por { x ln(e + x) se x < f(x) = se x. x 2. Considere a função real de variável real, definida por { x + e x se x f(x) = se x =. (a) Veja se existe f (). (b) Apresente a função f. 3. Estude a função focando os seguintes pontos: f(x) = xe x,

108 05 a) Domínio; b) Zeros; c) Monotonia; d) Extremos; e) Concavidades; f) Assímptotas; g) Esboço do gráfico. 4. Apresente um valor aproximado para ln(,0),0 recorrendo à definição de diferencial. 5. Derive a função ( ) 3x 2 f(x) = arcsen, x apresentando o resultado na forma mais simplificada possível. 3 Teste (A) ( ). Calcule as seguintes primitivas imediatas. (a) 4 3 xdx (b) 3 +4x 2 dx (c) +2cos(4x) 2x+sen(4x) dx. 2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes. (a) x 2 e x dx (b) π 2 0 ex sen xdx. 3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada. + x dx considerando x = t2. 4. Calcule a área da região A representada na seguinte figura. 3 Teste (B) ( ). Calcule as seguintes primitivas imediatas.

109 06 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) (a) xdx (b) 4 9x 2 dx (c) sen(2x) 3x cos(2x) dx. 2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes. (a) x x + dx (b) π 0 x2 cos xdx. 3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada. x sen x 2 dx considerando x 2 = t. 4. Calcule a área da região A representada na seguinte figura. EXAME ( ). Considere a sucessão de termo geral u n = 4n 2n+2. (a) Estude a monotonia da sucessão. (b) Verifique se é limitada. 2. Estude quanto à convergência a sucessão (u n ) = ( 3n+2 3n+4) 3n. 3. Estude a natureza das séries: (a) + 4 n 2 + 8n Estude a continuidade da função real de variável real definida por f(x) = { se x 0 se x > 0. x +e x sen x (b) + (2n)! n 2n

110 07 5. Considere a função f(x) = 3x2 2x+. (a) Calcule f () por definição. (b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação. 6. Calcule (a) 0 2x 2x 2 + dx (b) x 2 ln x dx (c) x +x dx, x = t 2 2 EXAME ( ). Considere a sucessão de termo geral u n = 3n+ n+. (a) Estude a monotonia da sucessão. (b) Verifique se é limitada. 2. Estude quanto à convergência a sucessão (u n ) = ( 2n 3 2n ) 4n. 3. Estude a natureza das séries: (a) + Caso seja possível apresente a soma das séries. 6 n 2 + 5n + 4 (b) + n n! n 3n 4. Determine k IR de modo que f seja contínua em IR. f(x) = x + e x se x < k se x = sen (x ) x se x >. 5. Considere a função f(x) = 4x 2x 2. (a) Calcule f () por definição. (b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação. 6. Calcule (a) 6x dx +9x 4 (b) 2 x3 ln x 2 dx (c) x +x dx, x = t 2 EXAME - Época Especial ( ). Considere a sucessão de termo geral u n = n+2 2n+.

111 08 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) (a) Estude a monotonia da sucessão. (b) Verifique se é limitada. 2. Estude quanto à convergência a sucessão (u n ) = ( 3n+2 3n+4) 3n. 3. Estude a natureza das séries: (a) + 4 n 2 + 8n Estude a continuidade da função real de variável real definida por f(x) = { 5. Considere a função f(x) = 2x2 x+4. (a) Calcule f ( ) por definição. se x 0 se x > 0. x +e x sen x (b) Confirme o resultado anterior usando as fórmulas de derivação. 6. Calcule (b) + (2n)! n 2n (a) 3x sen(3x 2 + )dx (b) 2 x2 ln x dx (c) x +x dx, x = t 2 Teste ( ). Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões. (a) cos ( arcsen ( 5 6)). (b) sen ( arctg ( 3 )). 2. Considere a função f(x) = x2 + x + 6 x x +. (a) Apresente D f sob a forma de um intervalo. (b) Considere A = D f {4}. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A. (c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere as funções f(x) = sen(3x) e g(x) = x π.

112 09 (a) Caracterize f. (b) Caracterize f g. 4. Determine, caso existam, os seguintes limites. 2 4 x ln( + 5x) (a) lim. (b) lim. x 0 x x 0 x 5. Determine, caso exista, lim g(x) considerando a função x 2 (x ) 2 x 2 +5x+5 se x < 2 x+2 g(x) = x 2 se x = 2 e 3x+9 e 3 e 3 (x+2) se x > 2. 2 Teste ( ). Considere a função f : IR IR definida por x 2 +3x+2 se x < x+ f(x) = e x+ se x =. sen(x+) se x > x+ (a) Estude a continuidade de f. (b) Analise a diferenciabilidade de f e apresente a respectiva função derivada. 2. Considere a função f(x) = arctg(2x + ). (a) Apresente a sua derivada de primeira ordem. (b) Calcule f (0) recorrendo à definição. (c) Confirme o resultado obtido na alínea anterior usando as fórmulas de derivação. 3. Considere a função f(x) = ln x. (a) Determine a aproximação quadrática de f em torno de x =. (b) Use o resultado anterior para apresentar um valor aproximado de ln (, ). 4. Calcule um valor aproximado de 2,0. 5. Estude a função focando os seguintes pontos: f(x) = x2 x + 2,

113 0 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) a) Domínio; b) Zeros; c) Paridade; 3 Teste ( ) d) Monotonia; e) Extremos Locais; f) Concavidades; g) Assímptotas; h) Esboço do gráfico.. Calcule as seguintes primitivas imediatas. (a) 4 3 2xdx (b) 3 2+8x 2 dx (c) 2sen(4x) 2x+cos(4x) dx. 2. Calcule a primitiva e o integral utilizando a fórmula de primitivação por partes. (a) x 2 e x dx (b) π 2 0 cos2 xdx. 3. Calcule a seguinte primitiva utilizando a substituição indicada. + x dx considerando x = t2. 4. Determine o termo geral de uma progressão aritmética (u n ) sabendo que { u2 + u 4 = 6 u 2 u 4 = Seja (u n ) a sucessão definida por (a) Calcule u 2, u 3 e u 7. u n = 2 + n 2n. (b) Determine u n+ u n. O que pode dizer sobre a monotonia de (u n )? (c) Veja se 3 é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique a sua 20 ordem. (d) Mostre que é verdadeira a proposição 2 u n < 3 2, n IN. 6. Calcule 2x 7 + 4x 6 + 2x 5 + 6x 4 + 3x 3 + 7x 2 + x + 2 dx x 4 + x 2 e confirme a primitiva derivando o resultado obtido.

114 4 Teste ( ). Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a respectiva soma. + 4 n 2 + 4n Estude a natureza da seguinte série geométrica e, no caso de existir, calcule a respectiva soma. + 2 n n e n 3. Estude a natureza das seguintes séries. (a) + n 2 + n 3 + 3n (b) + 2 n n n (c) + n 2 n! 3 n Use o critério de comparação, o critério do limite ou o critério da razão. 4. Use a teoria das séries geométricas para expressar, 3333(3) como um número racional. 5. Estude a natureza da seguinte série usando o critério da raíz. Exame ( ) +. Seja A o subconjunto de R dado por 2 n n n (3 + 9n) n A = {0} D f \ {} onde D f representa o domínio da função real de variável real definida por (a) Mostre que A = [0, 2[\{}. f(x) = ln x x 2. (b) Determine o Interior, o Exterior, a Fronteira, o Fecho e o Derivado de A. (c) Diga, justificando, se A é um conjunto aberto, fechado e/ou limitado. (d) Considere g(x) = x + 2. Caracterize a função f g.

115 2 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) 2. Considere a função real de variável real definida por { x 2 e x se x < 0 f(x) = arcsen x se x 0. +x (a) Estude a continuidade de f. (b) Estude a diferenciabilidade de f e apresente a função derivada. 3. Calcule (a) 2x dx, (b) 2 x ln x dx, (c) (3x 2 +2) 3 x dx, x 2 (x2 = t 2 ). 4. Seja (u n ) a sucessão definida por (a) Estude a monotonia de (u n ). u n = n + 2 3n. (b) Estude quanto à convergência a sucessão (u n ). (c) Veja se é verdadeira a proposição 3 < u n 3, n IN Estude a natureza da seguinte série de Mengoli e, no caso de existir, calcule a respectiva soma. + 2 (2n + )(2n + 7) 6. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, 44(4) como um número racional. 7. Estude a natureza das seguintes séries. (a) + 3n 3 2 n 5 + n (b) + (2n)! n 2n + 2 n Teste ( ). Simplifique cada uma das seguintes expressões.

116 3 (a) sen ( arccos ( 4 5)). (b) tg (2 arcsen x), considerando x [0, ]. 2. Considere a função f(x) = 3 arccos( 2x 5). x 2 (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de um intervalo. (b) Calcule f( 2). (c) Considere o conjunto A = D f {0}. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A. (d) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere as funções f(x) = arctg e g(x) =. Resolva apenas uma das x x seguintes alíneas (a) Caracterize f. (b) Caracterize f g. 4. Determine, caso existam, os seguintes limites. (a) lim x 3 3 x x 3. (b) lim x 0 ln(5 + x 2 ) ln 5 x Estude a continuidade da função e x 3 se x > 3 x 2 9 x 2 f(x) = se x 3 6 x x 2 se x < 2x Considere a função g definida por k x se x < 0 g(x) = k se x = 0 (x + ) x se x > 0. Determine k de modo que g seja contínua em x = 0. 2 Teste ( ). Estude a diferenciabilidade e apresente a respetiva função derivada da função π (x + ln x) se 0 < x < 2 π f(x) = se x =. 2 arccos(x ) se < x < 2

117 4 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) 2. Considere a função f(x) = arctg(x + ). (a) Usando o teorema de derivação da função inversa, determine a derivada de f. (b) Confirme o resultado anterior definindo primeiro a função inversa e depois derivando esse resultado. 3. Determine caso existam os pontos de inflexão da função f(x) = e x (x 2 7x+4). 4. Calcule um valor aproximado de ln(,0) 2,0. 5. Calcule, (a) x 3 dx 3x 2 6x+ (b) 3x 2 ln(x 2 + )dx (c) 0 x cos(x2 + 3)dx, usando a substituição x = t 3 (d) x+2 x 3 x 2 2x dx 6. Confirme o resultado obtido no exercício 5. c) calculando o integral sem recorrer à substituição. 7. Calcule a derivada de f(x) = x π y2 + sen y dy de duas formas distintas. 8. Estude a natureza do integral impróprio 3 Teste ( ) + x 2 arctg2 x dx.. Seja (u n ) a sucessão definida por u n = 2n n+. (a) Calcule u, u 5 e u 9. (b) Estude a monotonia de (u n ). (c) Veja se 5 é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique as sua ordem. 4 (d) Mostre que é verdadeira a proposição u 2 n < 2, n IN. 2. Estude quanto à convergência a sucessão v n = ( n+3 n 2) 2n. 3. Considere a sucessão (u n ) definida por recorrência u = u n+ = u n + 8, n. 5

118 5 (a) Prove, por indução, que n IN, u n < 2. (b) Mostre que a sucessão é crescente. (c) Justifique que (u n ) é convergente e calcule o seu limite. 4. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respetiva soma. (a) 8 (2n + )(2n + 5) (b) π2 n 3 2n 5. Use a teoria das séries geométricas para expressar 2, como um número racional. 6. Estude a natureza das seguintes séries. (a) n(n + 2) n 3 + (b) n 3 + ln n (c) (n + )! 4 n (d) ( ) n 2n n + Exame ( ). Simplifique a expressão tg [ arctg ] 3 + arcsen Considere a função f(x) = x (x )ln x. (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de um intervalo. (b) Considere o conjunto A = D f { }. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A. (c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere a função g definida por { k + x log x se x g(x) = e x se x <. 2x 2 Determine k de modo que g seja contínua em IR. 4. Considere a função f(x) = 2x2. Calcule o domínio, os zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o sentido x 2 das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses elementos, esboce o gráfico da função. 5. Calcule as seguintes primitivas e o integral. (No integral use a substituição t = ln x)

119 6 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) (a) 3x 5 dx (b) +5x (x 2 + )cos x dx (c) 2 2 dx x(ln 2 x ) 6. Considere a função F (x) = (a) Determine F (x). 3x π e sen(t) dt. (b) Indique o polinómio de Taylor de F de ordem 3 em torno do ponto a = π Estude a natureza das seguintes séries. (a) 5 + 2n 3 n 4 + 2n (b) (n + ) n n! 2 Exame ( ). Simplifique a expressão sen [ arcsen 3 + arctg ] Considere a função f(x) = arcsen(x2 +x ) x 2 +x. (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de um intervalo. (b) Considere o conjunto A = [ D f \{ 2 }] {3}. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A. (c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere a função g definida por g(x) = (a) Estude a continuidade de g. (b) Calcule g (). { sen(2x 2 2) se x > x 2 x 2 3 se x. x 2 4. Considere a função f(x) = 2x2. Calcule o domínio, os zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o sentido x 2 das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses elementos, esboce o gráfico da função. 5. Calcule as seguintes primitivas e o integral. (No integral use a substituição t = ln x)

120 7 (a) 3x 5 dx (b) +5x (x 2 + )cos x dx (c) 2 2 dx x(ln 2 x ) 6. Considere a função F (x) = (a) Determine F (x). 2x π 2 ln(sen t)dt. (b) Indique o polinómio de Taylor de F de ordem 3 em torno do ponto a = π Estude a natureza das seguintes séries. (a) 5 + 2n 3 n 4 + 2n (b) (n + ) n n! Exame de Época Especial ( ). Simplifique a expressão tg ( arcsen 3 4). 2. Considere a função f(x) = ln(x2 +x 2) x 2. (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de intervalos. (b) Considere o conjunto A = D f {0, }. Apresente o interior, o exterior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A. (c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere a função g definida por f(x) = (a) Estude a continuidade de f. (b) Calcule, caso exista, f (0). { ln(x+) se x > 0 3x x 2 se x 0. x 3 4. Considere a função f(x) = e ( x + x). Calcule o domínio, os zeros, estude a paridade, a existência de assímptotas, a monotonia, os extremos locais, o sentido das concavidades e os pontos de inflexão. Com a ajuda desses elementos, esboce o gráfico da função. (Note que 5 2, 24, f( 5 ) = f(, 62) 0, 075 e 2 f( + 5 ) = f(0, 62) 4, 85) 2 5. Calcule as seguintes primitivas e o integral. (No integral use a substituição t = x) (a) 6x 3 3 dx (b) +3x (2x + )ln x dx 4 (c) π2 4 0 cos x x dx

121 8 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) 6. Dada a sucessão (v n ) definida por v = v n+ = v n + 3, n IN 3 onde v n < 3 2, n IN. (a) Prove, por indução, que v n < 3 2, n IN. (b) Mostre que a sucessão é crescente. (c) Conclua que a sucessão é convergente e calcule o seu limite. 7. Estude a natureza das seguintes séries. (a) Teste (0--203) 6 + n 3 n 4 + 2n. Simplifique cada uma das seguintes expressões. (a) tg ( arcsen 3 5). (b) sen (arccos x). 2. Considere a função f(x) = 2 arccos(x2 x ). x (b) (n + ) n (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de reunião de intervalos. (b) Calcule f(). (c) Considere o conjunto A = D f {3}. Apresente o interior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A, caso existam. (d) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 3. Considere as funções f(x) = + arcsen x e g(x) = ln x. Caracterize f g. n! 4. Determine as assíntotas da função f(x) = x 2 x 2 3x Considere a função f definida por sen(x ) se x > 2x 2 f(x) = se x = 4 x se x < x 2 +. (a) Prove que existe lim x f(x) mas f não é contínua em x =.

122 9 (b) Considere o intervalo [, 0]. Mostre que /3 pertence ao contradomínio de f. 6. Considere a função g definida por { e x+2 e 2 se x < 0 g(x) = x k 2 + x se x 0. Determine k de modo que g seja contínua em x = 0. 2 Teste ( ). Considere a função f definida por { xe x+ se x 0 f(x) = x se x > 0. x+2 (a) Calcule a expressão de f (x). (b) Mostre que c ], 0[ tal que f (c) =. (c) Estude a monotonia e existência de extremos de f no intervalo ], 0]. (d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f. 2. Seja f(x) = x ln(x). Calcule o polinómio de Taylor de grau 3 em torno de x = para aproximar f. 3. Indique a familia das primitivas de (a) f(x) = x sen(2x 2 ) (b) f(x) = x 4 4x 4 4. Calcule f(x) sabendo que f (x) = (x 2 2x + 3) ln(x) e f() = Utilize a substituição indicada para calcular o seguinte integral. 4 x( + x) 2 dx, x = t2. 6. Calcule a área da região do plano limitada pelas linhas de equação xy = 3 e y + x 4 = 0. 3 Teste ( ). Considere a sucessão (u n ) definida por u n = 3n + 6n.

123 20 CAPÍTULO 6. TESTES E EXAMES DO ANO ANTERIOR (TSI E EI) (a) Calcule u, u 3 e u 5. (b) Estude a monotonia de (u n ). (c) Veja se 25 ordem. é termo da sucessão e, em caso afirmativo, indique as sua (d) Mostre que é verdadeira a proposição 2 < u n 4 5, 2. Seja a sucessão (u n ) definida por recorrência da forma { u = 2 u n+ = 3 u n +, n. (a) Mostre por indução que u n 3 2. (b) Estude a monotonia de (u n ). (c) Justifique que (u n ) é convergente. n IN. 3. Calcule lim 3n n Mostre que as séries seguintes são convergentes e calcule a respectiva soma. (a) 2 n 5 n+2 (b) n + 2 n Use a teoria das séries geométricas para escrever a = na forma racional. 6. Estude a convergência das seguintes séries (a) n (n + )! (b) ( + 5 n) n (c) n Analise se a série dada por ( ) n 3 n 4 n + é absolutamente convergente, simplesmente convergente ou divergente. Exame ( )

124 2. Considere a função f(x) = + 2 arcsen(x2 x ). x (a) Apresente o domínio de f, D f, sob a forma de reunião de intervalos. (b) Considere o conjunto A = D f {3}. Apresente o interior, a fronteira, o fecho, o derivado e os pontos isolados de A, caso existam. (c) Justifique se A é fechado, aberto ou limitado. 2. Considere a função f(x) = ln(x 2 x + 6). (a) Estude a monotonia de f. (b) Estude o sentido das concavidades de f. 3. Considere a função g definida por { e 4x+2 se x > f(x) = 2x+ 2 2x+3 se x. 2x 2 (a) Estude a continuidade de f. (b) Calcule a expressão de f (x). 4. Calcule as seguintes primitivas e o integral. (a) 2 dx (b) 2 + 8x2 x 2 cos xdx 5 x 2 (c) dx use a substituição x = t 2 x Utilize o Teorema das Sucessões Enquadradas para estudar a natureza da sucessão n n n 2 + 2n. 6. Mostre que as seguintes séries são convergentes e calcule a respectiva soma. (a) 4 n+ π2 3n (b) 4 (2n + )(2n + 5) 7. Estude a convergência das seguintes séries. (a) n (n + 2)! (b) 2n n + (c) n 2 +