Regras de Derivação. Ana Matos DMAT

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1 Regras de Derivação Ana Matos DMAT

2 Regras de Derivação. Nota prévia importante Estasfolhassurgempelofactode,nosúltimosanos,tertidoalgunsalunosem Análise Matemática I que nunca tinham dado qualquer noção de derivada, oumesmodelimitedeumafunção. De facto, para um estudo minimamente correcto e fundamentado de derivadas, a noção de limite de uma função é absolutamente indispensável. ApartirdomomentoemquesãodadasasregrasdederivaçãoemAnálise Matemática I, usá-las com à-vontade é rigorosamente indispensável para todo orestodamatéria. Asregrasdederivaçãosãodadas,dentrodocapítulodas derivadas, aumritmoemque se assumeque oalunojáouviu falardestas noções. Esse ritmo é excessivo para os alunos que referi. Estas folhas não pretendem explicar a matéria de derivadas mas apenas explicar o funcionamento das regras de derivação, sem as justificar. De facto, é possível compreender o funcionamento das regras de derivação, e usá-las com segurança, mesmo sem ter compreendido a noção de derivada. Como umjogodequeseconhecemasregras. É, aliás, muito mais rápido compreender o funcionamento das regras de derivação do que compreender os restantes aspectos das derivadas, em especialparaquemaindanãodomineanoçãodelimite. Em Análise Matemática I, ao capítulo de derivadas segue-se o de primitivas e integrais. Quem souber usar as regras de derivação com à-vontade, mesmo sem ter ainda compreendido adequadamente a restante matéria de derivadas, tem a possibilidade de acompanhar uma parte significativa do conteúdo desse capítulo. O objectivo destas folhas é, portanto, tomar um atalho para dar aos alunos a possibilidade de usarem as regras de derivação, e assim terem a possibilidade de continuar a acompanhar partes da matéria que exigem apenas esse conhecimento, enquanto ganham tempo para efectuar o estudo correcto e fundamentado das derivadas. O aluno tem que estar consciente, no entanto, que apenas fica a saber usar, mecanicamente, um dos aspectos das derivadas. Ao longo do texto vão sendo propostos alguns exercícios, cujas soluções seencontramnofimdamatéria. No final das folhas são propostas duas pequenas fichas de exercícios, com as respectivas soluções. A primeira avalia a aplicação básica das regras de derivação enquanto a segunda exige um maior domínio destas regras. Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

3 .2 Em que consistem as Regras de Derivação Como foi explicado na nota prévia, vamos apresentar as regras de derivação comoseestivessemosnumjogo,emquetemosaspeçaseasregrasdojogo: aspeçassãoasderivadasdealgumasfunções,porexemplo: constantes,x,x n, n x,e x,lnx,senx,cosx,etc (ou seja, as derivadas das funções mais elementares, à custa das quais obtemos as outras funções por meio das operações); as regras do jogo vão-nos indicar o comportamento da derivada quando fazemos operações com funções, por exemplo: conhecendoaderivadadeduasfunções,feg,podemosobterasderivadas de2f, f,f+g,f g,f g, f g,etc. Vamos aceitar como válidas as peças e as regras do jogo, ou seja, não vamos justificar as derivadas que vamos indicar para as funções mais elementares, nem as propriedades relativamente às operações. Aplicar as regras de derivação consiste em usar estes conhecimentos para, a partir das derivadas de funções mais simples, determinar as derivadas de funções que delas se obtêm por meio das operações..3 Notação Como foi referido, não vamos fazer o estudo geral das derivadas, mas apenas das regras de derivação. Assumimos o conhecimento de que a derivada de umafunçãof,navariávelx,éumafunção,querepresentamospor f oupor df dx, queestádefinidanosvaloresemquef temderivada. Diz-sequeumafunçãoéderivávelseexisteasuaderivada..4 Funções constantes e potências Proposição (derivada de uma constante) Aderivadadeumafunçãocontanteénula,istoé,secéumnúmeroreal, então c =0. 2 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

4 Exemplos: Quais são as derivadas das funções f(x) = 3, g(x) = 2, h(x) = 0, l(x)=πes(x)=e? Todas estas funções são constantes, pelo que as suas derivadas são nulas. Proposição2(derivadadafunção f(x)=x) x =. Proposição 3(derivada da potência) Sen N, (x n ) =nx n. Repare-seque,aplicandoestaregra,concluímostambémquex =,mas émaissimplespensarnestecasoàparte. Exemplos: Quaissãoasderivadasdasfunçõesf(x)=x 2 eg(x)=x 5? f (x)=(x 2 ) =2x 2 =2x; g (x)=(x 5 ) =5x 5 =5x 4..5 Soma, subtracção e produto por uma constante Proposição 4(derivadas da soma e da subtracção) Sef eg sãofunçõesderiváveis,então f+g e f g sãoderiváveise [f(x)+g(x)] = f (x)+g (x); [f(x) g(x)] = f (x) g (x). Proposição 5(derivada da multiplicação por uma constante) Sef éumafunçãoderivávelecumnúmeroreal,entãocf éderivávele [cf(x)] =cf (x). 3 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

5 Exemplos: Quais são as derivadas das funções f(x) = 3+x, g(x) = x 4 +5x e h(x)=3x 5 8x 2 +? (3+x) =3 +x =0+=; (x 4 +5x) =(x 4 ) +(5x) =4x 4 +5x =4x 3 +5; (3x 5 8x 2 +) =(3x 5 ) (8x 2 ) + =3(5x 4 ) 8(2x)+0=5x 4 6x. Neste momento já sabemos calcular a derivada de qualquer polinómio. Exercício Determineaderivadadopolinómiox 4 2x 3 +2x 2 +x..6 Potências de expoente racional Proposição 6(derivada da raiz) Sen N,comn>,então ( n x ) = n n x n. Exemplos: Quaissãoasderivadasdasfunçõesf(x)= xeg(x)= 3 x? f (x)= 2 x ; g (x)= 3 3 x 2. Exercício 2 Determineaderivadadafunção3 6 x+2x 3 +x+. 4 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

6 Tendo presente que n x=x n aderivadadaraizpodetambémserobtidacomoumcasoparticulardaregra de derivação que se segue. Proposição 7(derivada da potência de expoente racional) Seαéumnúmeroracional,então (x α ) =αx α. Temos,assim,agarantiaquearegrajádadaparaapotênciaétambém válida quando o expoente é um número racional qualquer. Pode-se provar que esta regra é ainda válida sendo α um número real qualquer. Exemplos: Quaissãoasderivadasdasfunçõesf(x)=x 4 3,g(x)= 4 x 3,h(x)=? x 2 ( = f (x)= x3) x4 3 = 4 3 x 3 = x; ( ) 4 = ( ) = ( = g (x)= x 3 (x 3 ) 4 x4) x3 4 = 3 4 x 4 = x ; h (x)= ( x 2 ) =(x 2 ) = 2x 2 = 2x 3 = 2 x 3. Voltemosacalcularasderivadasdasfunçõesf(x)= xeg(x)= 3 x, agora por esta regra. f (x)=( ( = x) = x2) 2 x 2 = 2 x 2 = 2 x ; g (x)=( 3 ( = x) = x3) 3 x 3 = 3 x 2 3 = 2 3. x 2 Embora este segundo processo possa parecer mais trabalhoso, há toda a vantagem em nos habituarmos a ele pois esta forma de pensar será indispensável mais à frente, em especial na parte das primitivas. Exercício 3 Determineaderivadadafunção 4 x 5 5 x. 5 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

7 .7 Multiplicação e divisão Proposição 8(derivada do produto) Sef eg sãofunçõesderiváveis,entãofg éumafunçãoderivávele [f(x)g(x)] =f (x)g(x)+f(x)g (x). Exemplos:. Calculemosaderivadadoprodutodasfunçõesf(x)=x 2 +2x+e g(x)=2x. Pela derivada do produto, (f(x)g(x)) = ( x 2 +2x+ ) (2x )+ ( x 2 +2x+ ) (2x ) = = (2x+2)(2x )+ ( x 2 +2x+ ) 2=6x 2 +6x. É claro que poderíamos ter seguido outro processo, em que calculamos primeiro o produto e derivamos o polinómio obtido: f(x)g(x) = ( x 2 +2x+ ) (2x )=2x 3 +4x 2 +2x x 2 2x = = 2x 3 +3x 2 pelo que (f(x)g(x)) =6x 2 +6x. 2. Calculemos a derivada do produto das funções h(x) = x+3 e l(x)= x. Pela derivada do produto, (h(x)l(x)) = ( x+3) x+( x+3) ( x ) = = ( ) x+( x+3) 2 x 2 = x x = x x+ 3 = 2 x x 2 x 2 x Sugere-se que o aluno calcule a derivada pelo outro processo, efectuando primeiro o produto e depois derivando. 2 = 6 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

8 Proposição 9(derivada do quociente) Se f e g são funções deriváveis, então f g pontosemqueg nãoseanulae é uma função derivável nos [ ] f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) [g(x)] 2. Exemplos: Consideremos novamente as funções do exemplo anterior.. Calculemos a derivada do quociente de f(x) = x 2 +2x+ por g(x)=2x. ( x 2 +2x+ 2x ) = (x2 +2x+) (2x ) (x 2 +2x+)(2x ) (2x ) 2 = = (2x+2)(2x ) (x2 +2x+)2 (2x ) 2 = 2x2 2x 4 (2x ) Calculemosaderivadadoquocientedel(x)= xporh(x)= x+3. ( ) x = ( x) ( x+3) x( x+3) x+3 ( x+3) 2 = = 2 x ( x+3) x( ) = 2 x ( x+3) 2 x + x ( x+3) 2 = = x 2 x x+ 3 x + x ( x+3) 2 = 2 x ( x+3) 2. Exercício 4 Considerandoasfunçõesf(x)=3x 3 +x 2 +xeg(x)=3x 2 +,determine asderivadasdef(x)g(x), f(x) e f(x) g(x). 7 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

9 .8 Simplificação de cálculos Um aspecto a ter em conta antes de efectuar um cálculo, e em particular antesde calcularumaderivada, é pensarmosnométodomaissimplesdeo abordar. O facto de nos habituarmos a pensar em maneiras alternativas de escrever as funções facilitará muito o nosso trabalho. Aaplicaçãoimediatadeumaregradederivação,semterematençãoeste aspecto, leva, frequentemente, a contas bem mais complicadas do que seria necessário,comgrandeperdadetempoeaumentodoriscodeerro. Háainda umaagravante, o facto de não derivarmos de uma forma eficiente não nos prepara adequadamente para o estudo, que se segue, das primitivas. Dois casos típicos são o uso desnecessário da derivada do produto e da derivada do quociente. Apresentam-se em seguida alguns exemplos representativos, com indicação de maneiras mais simples de efectuar os cálculos. Paraderivarαf(x),ondeαéumaconstante,omaispráticoéaplicar a derivada da multriplicação por um escalar emvezdaderivadadoproduto. [αf(x)] =αf (x) Por exemplo, ( 3 x ) =3 ( x ) = 3 2 x. Consideremosf(x)= x. 2 Emvezdeaplicaraderivadadoquociente,émaissimplespensarque ( x ) ( ) = 2 2 x = 2. Paraf(x)= 3x 5 sugere-seomesmo: ( ) ( ) 3x 3 = 5 5 x = Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

10 Derivemosafunçãof(x)= x3 +4x 2 2x. Omaisfácilésimplificarafunçãoedepoisderivar,emvezdederivar logo o quociente. Assim, ( ) x 3 +4x 2 = 2x Derivemosafunçãof(x)= x+ x. ( ) 2 x2 +2x =x+2. Como no caso anterior, começamos por simplificar a função e depois derivamos, em vez de derivar logo o quociente: ( ) ( x+ x = x + ) ( ) = x 2 +x = x x 2 x 2 x (já para a função x teria mesmo que ser usada a derivada do quociente). x+ Derivemosafunçãof(x)=( x+3) x. Este exemplo foi usado para ilustrar a derivada do produto, mas foi logo sugerido que o aluno fizesse o produto e depois derivasse. Assim, [ ] ) = ( x+3) x ( x 3 = x 2 2 x 2 + Derivemosafunçãof(x)= 3 x. Omaissimpleséfazer ( ) ( ) = 3 = x 3 x 3 x emvezdeusarasderivadasdoquocienteedaraiz. Derivemosafunçãof(x)= x x+ 4 x+2 3 x. x x+ 4 x+2 3 x x 2+x 4+2 = x3 =x 3 x 2 3 +x x 7 3 =x 6 +x 2 +2x 3 3 portanto ( ) x x+ 4 x+2 ( ) 3 = x 7 6 +x 2 +2x = 7 3 x 6 x x x Exercício 5 Derive,simplificando,asfunções 2x 3, x2 +5x 2, x4 +2x 3 +x 2 + 2x 2, 5 x 2 e x2 +x+ 3 x 5 x Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

11 .9 Funções trigonométricas Proposição 0(derivadas do seno e do coseno) (senx) = cosx, (cosx) = senx. Tendo presente que: tgx= senx cosx, cosx cotgx= senx, secx= cosx, cosecx= senx, das propriedades anteriores conclui-se que (tgx) =sec 2 x, (cotgx) = cosec 2 x, (secx) =secxtgx, (cosecx) = cosecxcotgx. Apresentamos os cálculos para as derivadas da tangente e da secante: (tgx) = ( senx ) = (senx) cosx senx(cosx) cosx (cosx) 2 = = cosxcosx senx( senx) (cosx) 2 = cos2 x+sen 2 x (cosx) 2 = (cosx) 2 =sec2 x; (secx) = ( ) = 0 (cosx) cosx (cosx) 2 = ( senx) (cosx) 2 = senx cosx cosx =tgxsecx. Exercício 6 Faça as deduções das derivadas da cotangente e da cosecante. 0 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

12 .0 Exponencial e logaritmo Proposição (derivada da exponencial) (e x ) =e x. Proposição 2(derivada do logaritmo) (lnx) = x. Exemplos: Calculemosaderivadadee x lnx: (e x lnx) =(e x ) lnx+e x (lnx) =e x lnx+e x x =ex ( lnx+ x Exercício 7 Determineasderivadasdasfunçõesf(x)=x 3 e x eg(x)=xlnx. ).. Função composta Uma das operações mais frequentes entre funções é a composição. Perceber em que situação estamos a aplicar a regra da derivação da função composta e o seu funcionamento é talvez o ponto mais importante para o domínio das regras de derivação. Para a grande maioria dos alunos, a dificuldade das derivadas reside precisamente nesta questão, por tentarem calcular derivadas em que o uso da regra da derivação da função composta é indispensável, sem sequer terem em conta que se encontram perante uma composição de funções. Pelo contrário, se estivermos atentos a estas questão, identificarmos correctamente as funções envolvidas e o respectivo papel, a aplicação desta regra torna-se muito simples. O primeiro ponto a perceber é em que situações o uso desta regra é necessário. Comecemos porrecordarque, sendof eg duasfunções, afunçãocompostaf g,nospontosdoseudomínio,édefinidapor f g(x)=f(g(x)). Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

13 Por exemplo, sendo f(x)=3x 2 e g(x)=5x então e f g(x)=f(g(x))=f(5x )=3(5x ) 2 g f(x)=g(f(x))=g ( 3x 2) =5 ( 3x 2) =5x 2. Consideremos, agora, as seguintes funções: (2x+) 6, x2 +2, sen(4x), cos(2x 3 ), e 3x2 +2x, ln(x 2 ). No cálculo da derivada de qualquer uma destas funções estamos perante a derivação de uma função composta. Consideremosh(x)=(2x+) 6. Trata-sedeumasituaçãodepotência,compostacomafunção2x+. De facto, h(x)=(2x+) 6 =f(2x+)=f(g(x))=f g(x) com f(x)=x 6 e g(x)=2x+. Consideremosh(x)= x Trata-sedafunçãoraizquadrada,compostacomafunçãox De facto, com h(x)= x 2 +2=f ( x 2 +2 ) =f(g(x))=f g(x) f(x)= x e g(x)=x Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

14 Consideremosh(x)=sen(4x) Trata-se da função seno, composta com a função 4x. Decompondo, com h(x)=sen(4x)=f(4x)=f(g(x))=f g(x) f(x)=sen(x) e g(x)=4x. Exercício 8 Decomponha cada uma das funções cos(x 2 ), e 3x2 +2x e ln(x 2 ) como composta de duas funções. Vejamos, agora, o enunciado da regra da derivação da função composta. Proposição 3(derivada da função composta) Segéderivávelemxef éderivávelemy=g(x),entãof géderivável emxe (f g) (x)=f (g(x))g (x). Exemplos: Consideremos novamente as três funções acima decompostas. h(x)=(2x+) 6. Vimosqueh(x)=(2x+) 6 =f g(x),comf(x)=x 6 eg(x)=2x+. Pela regra da derivação da função composta h (x)=g (x)f (g(x)). Como então f (x)=6x 5 e g (x)=2, h (x)=}{{} 2 6(2x+) 5 =2(2x+) 5. } {{ } g (x) f (2x+) 3 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

15 h(x)= x Vimosqueh(x)= x 2 +2=f g(x),comf(x)= xeg(x)=x Pela regra da derivação da função composta h (x)=g (x)f (g(x)). Como então f (x)= e g (x)=2x, 2 x h (x)= 2x }{{} g (x) = 2 } x2 {{ +2 } f (x 2 +2) x x2 +2. h(x)=sen(4x) Vimosqueh(x)=sen(4x)=f g(x),comf(x)=sen(x)eg(x)=4x. Pela regra da derivação da função composta h (x)=g (x)f (g(x)). Como então f (x)=cosx e g (x)=4, h (x)=}{{} 4 cos(4x). } {{ } g (x) f (4x) Exercício 9 Determineasderivadasdasfunçõescos(2x 3 ),e 3x2 +2x eln(x 2 ). 4 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

16 .2 Derivadas genéricas Conjugandoasderivadasjádadascomaregradaderivaçãodafunçãocomposta obtemos a maneira como mais frequentemente são apresentadas as regras de derivação. Não se trata de novas regras de derivação, mas apenas de uma maneira diferente de apresentar a expressão da derivada da composta dafunçãoemcausacomoutrafunção. Proposição 4(derivada da potência- caso geral) Se α é umnúmero racional e u é uma função derivável emordem a x, então (u α ) =αu u α. Exemplos: Sejaf(x)= 3 4x 2 2x. Escrevendo a função na forma f(x)= ( 4x 2 2x ) 3 verificamos que se trata de uma função da forma u α, com α = 3 e u=4x 2 2x(ouseja, acompostadapotênciadeexpoente 3 coma funçãou=4x 2 2x). Portanto f (x) = αu u α = ( (8x 2) 4x 2 2x ) 3 }{{} 3 } {{ }} {{ } u α Sejaf(x)=cos 3 (x). Escrevendo a função na forma = 3 (8x 2)( 4x 2 2x ) 2 3. f(x)=(cos(x)) 3 u α = verificamos que se trata de uma função da forma u α, com α = 3 e u=cosx(ouseja,acompostadapotênciadeexpoente3comafunção u=cosx). Portanto f (x)=αu u α = }{{} 3 ( sen(x))(cos(x)) 3 = 3sen(x)cos 2 (x). } {{ }} {{ } α u u α 5 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

17 Proposição 5(derivadas das funções trigonométricas- caso geral) Seuéumafunçãoderivávelemordemax,então (senu) =u cosu, (cosu) = u senu, (tgu) =u sec 2 u, (cotgu) = u cosec 2 u, (secu) =u secutgu, (cosecu) = u cosecucotgu. Exemplos: Sejaf(x)=sen(3x). Tratadeumafunçãodaformasenu,comu=3x(ouseja,acomposta dosenocomafunçãou=3x). Portanto Sejaf(x)=cos(x 3 ). f (x)=u cosu=(3x) cos(3x) =3cos(3x). }{{}} {{ } u cosu Tratadeumafunçãodaformacosu,comu=x 3 (ouseja,acomposta docosenocomafunçãou=x 3 ). Portanto f (x)= u senu= ( x 3) ( sen ) x 3 = 3x 2 sen ( x 3). }{{}} {{ } u senu Sejaf(x)=sec(πx). Tratadeumafunçãodaformasecu,comu=πx(ouseja,acomposta dasecantecomafunçãou=πx). Portanto f (x)=u secutgu=(πx) sec(πx) tg(πx) =πsec(πx)tg(πx). }{{}} {{ }} {{ } u secu tgu 6 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

18 Proposição 6(derivada da exponencial- caso geral) Seuéumafunçãoderivávelemordemax,então (e u ) =u e u. Proposição 7(derivada do logaritmo- caso geral) Seuéumafunçãoderivávelemordemax,então Exemplos: Sejaf(x)=e x. (lnu) = u u. Tratadeumafunçãodaformae u,comu= x(ouseja,acomposta daexponencialcomafunçãou= x). Portanto Sejaf(x)=ln(x+e x ). f (x)=u e u =( x) e x = e x. Tratadeumafunçãodaformalnu,comu=x+e x (ouseja,acomposta dologaritmocomafunçãou=x+e x ). Portanto f (x)= u u =(x+ex ) x+e x = +ex x+e x. Observação: Como já foi referido, todas estas propriedades apresentadas nesta secção não são mais do que uma maneira"encapotada"de apresentaraderivadadacompostadecadaumadasfunçõesindicadascomuma função u. No entanto, teremos muito mais segurança ao calcular as derivadas se, para além da mera aplicação da propriedade, tivermos presente que estamos usar a derivada da composta. 7 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

19 .3 Exponencial e logaritmo de base a Vamos seguidamente deduzir, a partir das propriedades das funções exponencial e logarimo de base a, as expressões das derivadas destas funções. Proposição8 Seaéumnúmerorealpositivo,então: (a x ) =ln(a)a x ; (log a x) = ln(a) x, paraa. Comecemos por recordar que, sendo a um real positivo, Então e lna =a. a x = ( e lna) x =e xlna. É fácil, agora, provar a primeira propriedade: (a x ) = ( e xlna) =(xlna) e xlna }{{} a x =ln(a)a x. Para provar a segunda propriedade, comecemos por recordar que log a x= ln(a) lnx. Podemos chegar a esta conclusão do seguinte modo: pelo que ou seja x=a log a x = ( e lna) log a x =e ln(a)log a x ln(a)log a x=lnx log a x= ln(a) lnx (note-sequea,peloqueln(a) 0). É fácil, agora, provar a segunda propriedade: ( ) (log a x) = ln(a) lnx = ln(a) (lnx) = ln(a) x. 8 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

20 .4 Funções trigonométricas inversas Terminamos a apresentação das regras de derivação com as derivadas das funções trigonométricas inversas. Proposição 9(deriv. das funções trigonométricas inversas) (arcsenx) =, x 2 (arccosx) =, x 2 (arctgx) = +x 2, (arccotgx) = +x 2. Exemplos: Calculemosasderivadadexarcsenx,arcsenx+arccosxex 2 arccotgx: (xarcsenx) =x arcsenx+x(arcsenx) =arcsenx+ x x 2; (arcsenx+arccosx) =(arcsenx) +(arccosx) = x 2 x 2 =0; (x 2 arctgx) =(x 2 ) arctgx+x 2 (arctgx) =2xarctgx+ x2 +x 2. Exercício 0 Determine as derivadas das funções sen(x)+arcsen(x) e arccos(x) arccotg(x). Da proposição anterior e da regra da derivação da função composta resulta que: Proposição 20(deriv. funções trigonométricas inversas- caso geral) (arcsenu) = u u 2, (arccosu) = u u 2, (arctgu) = u +u 2, (arccotgu) = u +u 2. 9 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

21 Exemplos: Sejaf(x)=arcsen(3x). Tratadeumafunçãodaformaarcsenu,comu=3x(ouseja,acompostadoarcosenocomafunçãou=3x). Portanto f (x)= u = (3x) = u 2 (3x) 2 3 9x 2. Sejaf(x)=arctg(3x 2 ). Tratadeumafunçãodaformaarctgu,comu=3x 2 (ouseja,acompostadoarcotangentecomafunçãou=3x 2 ). Portanto f (x)= u +u 2 = (3x2 ) +(3x 2 ) 2 = 6x +9x Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

22 .5 Tabela de Derivadas Tabela de Derivadas f f k,c/k R 0 u+v u +v ku,c/k R ku uv u v+uv u v u α,c/α R e u u v uv v 2 αu u α u e u lnu u u a u,c/a R + u a u lna log a u,c/a R + u \{} lna u senu u cosu cosu tgu cotgu secu cosecu u senu u sec 2 u u cosec 2 u u secutgu u cosecucotgu arcsenu u u 2 arccosu u u 2 arctgu u +u 2 arccotgu u +u 2 2 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

23 .6 Exercícios resolvidos Apresentamos agora alguns exercícios resolvidos, envolvendo várias regras de derivação e técnicas de simplificação apresentadas.. Calculemosaderivadadafunçãof(x)=x 2 sen(5x). Trata-se do produto de duas funções, pelo que f (x)= ( x 2 sen(5x) ) = ( x 2) sen(5x)+x 2 (sen(5x)). }{{} 2x Reparemos agora que temos uma situação de função composta, do tipo senu,comu=5x. Portanto, (sen(5x)) =(5x) cos(5x)=5cos(5x). Então, f (x)=2xsen(5x)+x 2 (5cos(5x))=2xsen(5x)+5x 2 cos(5x). 2. Calculemosaderivadadafunçãof(x)= ( x) 5. Podemos aplicar a derivada do quociente ou pensar simplesmente que pelo que f(x)=( x) 5 f (x)= ( ( x) 5) = 5( x) ( x) 5 =5( x) 6, pois trata-se de situação de função composta, do tipo u α, com α = 5 e u= x. 3. Calculemosaderivadadafunçãof(x)= x4 +x 2. Podemosaplicarasderivadasdoquocienteedaraiz,masascontasficam mais simples pensando que x4 +x 2 =( x 4 +x 2) Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

24 Assim,temosumasituaçãodefunçãocompostadotipou α,comα= 2 eu=x 4 +x 2,peloque f (x) = 2 ( x 4 +x 2) ( x 4 +x 2) 2 = 2 = ( 2x 3 x )( x 4 +x ) 3 2. ( 4x 3 +2x )( x 4 +x 2) 3 2 = 4. Calculemosaderivadadafunçãof(x)= x+3 x+2. Podemos derivar logo o quociente, fazendo ( x+3 x+2 ) = (x+3) x+2 (x+3) ( x+2 ) ( x+2 ) 2 = = x+2 (x+3) 2 x+2 x+2 = x+3 x+2 2(x+2) x+2. No entanto, podemos também começar por simplificar a função, fazendo x+3 = x+2+ = x+2 + =(x+2) 2 +(x+2) 2. x+2 x+2 x+2 x+2 Então ( ) f (x)= (x+2) 2 +(x+2) = 2 2 (x+2) 2 2 (x+2) Note-se que obtivemos expressões com aspecto diferente, mas que podemos provar serem a mesma função. 5. Calculemosaderivadadafunçãof(x)=cos 4( 3x 3 + ). Comecemos por recordar que cos 4( 3x 3 + ) = [ cos ( 3x 3 + )] 4 oquetornamaisevidentequesetratadeumasituaçãodefunçãocomposta dotipou α,comα=4eu=cos(3x 3 +). Portanto f (x)=4 ( cos ( 3x 3 + )) [ cos ( 3x 3 + )] Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

25 Para prosseguir, convém reparar que agora temos uma situação do tipo cosu,comu=3x 3 +,peloque ( cos ( 3x 3 + )) = ( 3x 3 + ) ( sen ( 3x 3 + )) = 9x 2 sen ( 3x 3 + ). Então f (x) = 4 ( 9x 2 sen ( 3x 3 + ))[ cos ( 3x 3 + )] 3 = = 36x 2 sen ( 3x 3 + ) cos 3( 3x 3 + ). 6. Calculemosaderivadadafunçãof(x)= 2 e x e x. Aplicando a derivada do quociente e, de seguida, da exponencial (no segundocasocompostacomu= x)tem-se f (x) = ( ) 2 = 0 2(ex e x ) e x e x (e x e x ) 2 = 2(ex ) +2(e x ) (e x e x ) 2 = = 2ex +2( )e x (e x e x ) 2 = 2ex 2e x (e x e x ) Calculemosaderivadadafunçãof(x)=e sen2 (3x). Deimediatotemosumasituaçãodotipoe u,comu=sen 2 (3x),peloque ( f (x)= e (3x)) = ( sen2 sen 2 (3x) ) e sen 2 (3x). Para prosseguir, comecemos por recordar que sen 2 (3x)=[sen(3x)] 2 tornandobemevidentequesetratadeumasituaçãodotipou α,comα=2 eu=sen(3x),peloque ( sen 2 (3x) ) =2(sen(3x)) sen(3x)=2(3cos(3x))sen(3x) vistoqueestaúltimasituaçãoédotiposen(u),comu=3x. Portanto ( e sen2 (3x)) =6cos(3x)sen(3x)e sen 2 (3x). 24 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

26 8. Calculemosaderivadadafunçãof(x)=ln( x). (Note-se que a função está definidapara todos os valores de x tais que x>0,ouseja,em],0[.) Trata-sedeumasituaçãodotipolnu,comu= x,peloque f (x)=(ln( x)) =( x) x = x = x. ( ) 9. Calculemosaderivadadafunçãof(x)=ln. 3x+4 Poderíamos derivadar logo o logaritmo, mas é muito mais simples começarmos por transformar a função, recorrendo às propriedades do logaritmo: ( ( ) ln )=ln (3x+4) 2 = 3x+4 2 ln(3x+4). Portanto f (x)= ( ) 2 ln(3x+4) = (3x+4) 2 3x+4 = 3 2 3x Calculemosaderivadadafunçãof(x)=arcsen ( e x). Trata-se de uma situação de função composta do tipo arcsenu, com u=e x,peloque f (x)= ( arcsen ( e x)) = (e x ) (e x ) 2. então Como ( e x ) = e x f (x)= e x e 2 2x. 25 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

27 .7 Soluções dos exercícios propostos : 4x 3 36x 2 +4x+. 6 x 5 +6x2 +. 2: 2 3: 5 4 x 4 5 x : (f(x)g(x)) = 45x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+, ( ) f(x) = 9x 4 +6x 2 +2x+. g(x) (3x 2 +) 2 5: 2,x+ 5,x+, 2 5, x 3 5 x 7 5 x3 5 x 2 6: cosec 2 x, cosecxcotgx. 7: 3x 2 e x +x 3 e x,lnx+. 8: - 9: 6x 2 sin(2x 3 ),(6x+2)e 3x2 +2x 2x, x 2. 0: cosx+ x 2, x 2arccotg(x) ( f(x) 5. 5 x 6 +x 2 arccosx. ) = 9x2 +2x+ (3x 3 +x 2 +x) 2, 26 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

28 .8 Ficha de exercícios Calcule as derivadas das seguintes funções:. x 2 + x 3 2; 2. x x+ ; 3. 2x x+; 4. 2x (x+) 2 ; 6. 2 x+ ; 7. x 2 e x ; 8. lnx x ; 9. cos(ex ); 0. sen(3x);.tg(3x)+sec(2x); 2. arcsen(5x); x ; 4. cosec(x)cotg(x); 5. arctg( x+)..9 Ficha 2 de exercícios Calcule as derivadas das seguintes funções:. x+ 3 x 4 x ; 2. + x+ 3 x+ ; 3. 3 (x 6 +2x) 2; 4. sen 3 x; 5. senx 3 ; 6. cos 5 (3x); 7. ln( x); 8. lnx 2 ; 9. ln 2 x; x 0. ln(lnx);. ln x+ ; 2. ; 22x 3. 4 arctg x2 2 ; 4. 0 arctg2 (5x); 5. arccos 3( x ). 27 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09

29 .20 SoluçõesdaFicha. 2x+ 3 ; 2. (x+) 2 ; 3. 3x+2 x+ ; 4. 2x 2x 2 + ; 5. 2 (x+) 3 ; 6. (x+) 3 2 ; 7. (x 2 +2x)e x ; 8. lnx x 2 ; 9. e x sin(e x ); 0. cos(3x);.3sec 2 (3x)+2sec(2x)tg(2x); x 2; 3. 2 x ln2; 4. cosec(x)cotg 2 (x) cosec 3 (x); 5. x 2 2x+2..2 SoluçõesdaFicha2. 2 x x 2 3; 2. 3 (x+) (x+) 5 6 ; 3. (6x 5 +2)(x 6 +2x) 5 3 ; 4. 3sin 2 xcosx; 5. 3x 2 cosx 3 ; 6. 5cos 4 (3x)sin(3x); 7. x ; 8. 2 x ; 9. 2 x lnx; 0. xlnx ;. 2 x 2 x+ ; 2. 2x+2x ln 2 2; x 3. ; 4. arctg(5x) ; 5. 3 arccos 2 ( x) 4+x 4 +25x 2 2 x x. 28 Ana Matos - Regras de Derivação - Nov. 09