Congruências Quadráticas, Reciprocidade e Aplicações em Sala de Aula

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1 Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Deartamento de Matemática Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT Congruências Quadráticas, Recirocidade e Alicações em Sala de Aula or Leonardo Rodrigues de Araújo sob orientação Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro Trabalho de Conclusão de Curso aresentado ao Coro Docente do Mestrado Pro- ssional em Matemática em Rede Nacional PROFMAT CCEN-UFPB, como requisito arcial ara obtenção do título de Mestre em Matemática. Agosto/013 João Pessoa - PB O resente trabalho foi realizado com aoio da CAPES, Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior.

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3 Agradecimentos - A Deus or roorcionar força, oder e roteção nos momentos mais desaadores da vida. - Ao Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro não somente ela orientação extremamente cometente, mas, rincialmente, ela rova inesquecível de dedicação, incentivo e de incansável disosição em todas as etaas deste trabalho. - À Profa. Dra. Miriam da Silva Pereira e ao Prof. Dr. José Anderson Valença Cardoso elas excecionais contribuições ara a evolução deste trabalho. - Ao Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó e à Profa. Me. Flávia Jerônimo Barbosa elo ulso rme em iniciar a coordenação deste curso roorcionando o encorajamento necessário ara vencer as diculdades. - À minha família, em articular aos meus ais José Marcelino de Araújo e Flávia Rodrigues de Meneses Araújo, o eterno reconhecimento elo aoio, conselhos, incentivos e afetividade. - À Eneida Rodrigues de Araújo Coêlho e a Breno Rodrigues de Araújo elo estímulo. - Ao Rvmo. Pe. Marisaldo Barbosa de Lima elo incentivo e oração nos momentos de tribulação. - A todos os colegas do curso de Mestrado, ela amizade e comanheirismo articularmente aos amigos e comanheiros: Alex Cristohe Cruz da Silva, Gildeci José Justino, Márcio Alves Marinho e Salatiel Dias da Silva. - Aos rofessores da Pós Graduação, elos conhecimentos matemáticos construídos durante o curso. - À Coordenação de Aerfeiçoamento de Pessoal de Nível Suerior (CAPES) elo aoio nanceiro.

4 Dedicatória A Deus, fonte de inesgotável insiração. A minha família, em esecial a meus ais José Marcelino de Araújo e Flávia Rodrigues de Meneses Araújo. Ao Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro.

5 Resumo Neste estudo, vamos avaliar se a congruência x a (mod m), onde m é rimo e (a, m) = 1, aresenta ou não solução, destacando a imortância dos Resíduos Quadráticos e, consequentemente da cooeração do Símbolo de Legendre, do Critério de Euler e do Lema de Gauss. Também, demonstraremos a Lei de Recirocidade Quadrática generalizando situações ara números comostos, ou seja, o Símbolo de Jacobi e suas roriedades. Aresentamos algumas roostas de atividades ara o Ensino Médio envolvendo o assunto abordado e suas ossíveis alicações, através de uma linguagem comreensível aos alunos deste nível de ensino. Palavras Chaves: Congruência Resíduos Quadráticos Lei de Recirocidade Quadrática. v

6 Abstract In this study, we evaluate if the congruence x a (mod m), where m is rime and (a, m) = 1, has or not solutions, highlighting the imortance of Quadratic Residues and consequently the cooeration of the Legendre's Symbol, the Euler's Criterion and the Gauss' Lemma. Also, we demonstrate the Law of Quadratic Recirocity generalizing situations for comosite numbers, that is, the Jacobi's Symbol and its roerties. We resent some roosals of activities for the High School involving the subject matter and its ossible alications, through an understandable language for students of this level. Keywords: Congruence Quadratic Residues Law of Quadratic Recirocity. vi

7 Sumário 1 Congruências Quadráticas Resíduos Quadráticos Símbolo de Legendre e o Critério de Euler Lema de Gauss.... (.. ) O Símbolo de Legendre Lei de Recirocidade Quadrática 17.1 Provas da Lei de Recirocidade Quadrática Símbolo de Jacobi Extraindo Raízes Quadradas módulo n Alicações em Sala de Aula Atividade 1 A Utilização da Simbologia de Congruência e os Resíduos Quadráticos Atividade A Congruência x a (mod n) e a Critograa: Método de Rabin A Coletânea: Provas da Lei de Recirocidade Quadrática 48 B Pequeno Teorema de Fermat, Teorema de Wilson e Teorema do Resto Chinês 56 B.1 Pequeno Teorema de Fermat B. Teorema de Wilson B.3 Teorema do Resto Chinês Referências Bibliográcas 6 vii

8 Notações Congruente Incongruente Divide Não Divide (a, ) Máximo Divisor Comum de a e # Cardinalidade Z Conjunto dos Números Inteiros Z Anel dos inteiros módulo ( ) a Símbolo de Legendre ara Recirocidade Quadrática a [ a n] Menor inteiro menor do que ou igual a a Símbolo de Jacobi viii

9 Introdução A Matemática é a rainha das Ciências, e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática. (Carl Friedrich Gauss) Muitos matemáticos desemenharam um ael de destaque no desenvolvimento da Teoria dos Números sendo que Euclides (cerca de 300 a.c), em Elementos de Geometria, reservou o conhecimento matemático dos antigos gregos e Diofanto (cerca de 50 a.c), em Arithmetica, reresentou o rimeiro tratado sobre álgebra. O que os tornam os fundadores da Teoria dos Números clássica. Os Elementos de Euclides, esecialmente nos livros VII, VIII e IX, aresentaram uma riqueza de informações sobre as roriedades fundamentais da divisibilidade e conceitos teóricos de ael central no estudo da Teoria dos Números, enquanto que Diofanto desenvolveu métodos ara obter soluções racionais ara equações olinomiais simles que odemos hoje denominar de equações diofantinas. A Matemática na Euroa teve uma renovação vigorosa aós a Idade Média, onde a Teoria dos Números or reresentar uma área articular da Matemática de grande desenvolvimento aresenta matemáticos de destaque, como Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Adrien Marie Legendre e Carl Friedrich Gauss que através de suas contribuições signicativas arimoraram a Teoria dos Números. Sendo um rimo maior que, veremos que alguns elementos do conjunto {0, 1,..., 1} ossuem uma característica esecial que abordaremos neste trabalho. Tais elementos são denominados resíduos quadráticos sendo, ortanto, uma forte ferramenta ara o estudo da reresentação de inteiros. Mais esecicamente, dizemos que a é um resíduo quadrático módulo se x a (mod ) ara algum x {0, 1,..., 1}. Assim, a será um resíduo quadrático módulo se a congruência tiver x a (mod ) solução, com (a, ) = 1. Veremos que no conjunto suracitado, é ossível vericar que metade são considerados resíduos quadráticos, outra metade não. Estudaremos métodos como o Símbolo de Legendre, Critério de Euler e Lema de Gauss como forma de caracterizá los e assim rocurar soluções ara as congruências quadráticas. ix

10 Introdução O rimeiro matemático a estudar recirocidade quadrática foi Fermat, que tinha a Matemática como uma atividade de lazer em uma éoca em que não existiam revistas matemáticas. Fermat tinha um costume curioso de aresentar resultados matemáticos em margens de livros que ele leu e em cartas de corresondências com outros matemáticos. Ainda assim, esta forma eculiar de estudar matemática muito contribuiu na direção da demonstração da recirocidade quadrática. A Lei de Recioricidade Quadrática ode ser enunciada, em alavras, da seguinte forma: se e q são dois números rimos distintos, de modo que q 3 (mod 4), temos q como resíduo quadrático módulo, se, e somente se, é não resíduos quadrático módulo q, como também se e q são dois números rimos distintos, tais que 1 (mod 4), ou q 1 (mod 4), então q é resíduo quadrático módulo, se, e somente se, é resíduo quadrático módulo q. Fermat foi crucial na dedução do caráter quadrático de 1, ±, ±3, mas foi Euler que rosseguiu com o trabalho de rovar as conjecturas de Fermat. Podemos erceber em [9] que o autor considera Euler como um matemático de notável destaque no desenvolvimento histórico da Recirocidade Quadrática or ser resonsável em rovar e contestar grande arte das conjecturas de Fermat. Devido ao grande interesse na Teoria dos Números e or começar a desenvolver os trabalhos de Fermat, tendo contato com Christian Goldbach, Euler ercebeu a relação entre a Lei de Recirocidade Quadrática e os estudos dos diversos binários de certas formas quadráticas. Em [16], encontramos a armação de que a rimeira rova de Euler sobre a Lei de Recirocidade Quadrática é conhecida hoje como Critério de Euler. Joseh Lagrange teve articiação fundamental em insirar Euler a continuar a trabalhar na Teoria dos Números e esecialmente na tentativa em rovar a Lei de Recirocidade Quadrática comleta que, com sua morte, Euler não ode encontrar nenhuma rova concreta. Além disso, o Critério de Euler foi bastante útil ara Legendre e Gauss arofundarem o roblema dos resíduos quadráticos em contexto geral dando um enfoque mais rigoroso. Legendre não cou satisfeito em estudar aenas os resultados descobertos or Fermat e Euler e or isso escreveu, em 1798, seu rimeiro trabalho denominado "Essal sur la Theorie des nombres" que se reocuou em interligar a Teoria dos Números desde a Arithmetica de Diofanto ao Quadratorum Liber de Fibonacci. Dessa maneira, inúmeros trabalhos sobre a Lei de Recirocidade Quadrática ermitiram ao mundo conhecer uma notação ainda usada atualmente ara simbolizar convenientemente a Lei de Recirocidade Quadrática de forma moderna, a saber, o símbolo de Legendre. Legendre não conseguiu colocar suas rovas em um contexto teórico consistente, mas desenvolveu um símbolo que levou a uma série de maneiras de rovar a Recirocidade Quadrática. Em [4], encontramos a indicação de que isto foi essencial x

11 Introdução nos estudos de leis sueriores de recirocidade tendo o símbolo de Legendre como origem ara o desenvolvimento de Jacobi e símbolos de Hilbert. Em 1801, Gauss, "o ríncie da Matemática", ublicou seu trabalho inovador "Disquisitiones Arithmeticae" introduzindo de forma clara e concisa a notação moderna de congruência a b (mod n) sendo a e b múltilo de n e n chamado módulo de congruência. Nesta obra, Gauss trás uma demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética e aresenta uma revisão de tudo que se conhecia em Teoria dos Números até aquele momento. Na seção IV desta obra, Gauss contemla a rimeira rova comleta de recirocidade quadrática, tesouro da Matemática do século XVIII e XIX, or meio de indução cuja rova seguiu o raciocínio da rova de Legendre sendo descoberta indeendentemente do trabalho de Legendre. Com isso, comrova se que Euler descobriu a Lei de Recirocidade Quadrática cabendo a Legendre continuar a tentar rová la, mérito este atribuído a Gauss mesmo sendo uma rimeira rova longa e deselegante. Tal teorema recebeu osteriormente a denominação de Theorema Aureum ("teorema de ouro"). Gauss denitivamente rovou a Lei de Recirocidade Quadrática, em 18 de Abril de 1796, no entanto só conseguiu ublicá-la em 1801, através de sua obra "Disquisitiones Arithmeticae" e or se sentir atraído ela beleza do "Teorema de Ouro" ele encontrou oito demonstrações, sendo a quinta demonstração considerada elos matemáticos como a mais elegante e direta. Já na seção V de sua obra, Gauss destaca a teoria de formas quadráticas binárias que segundo [] trata se de olinômios homogêneos de grau dois em duas variáveis, sendo que esta seção reresenta mais da metade do livro tornando se uma rova da Lei de Recirocidade Quadrática. Em [14], Mota arma a existência de 071 rovas da Lei de Recirocidade Quadrática das quais aresentaremos, no nal deste trabalho, uma listagem com 1 demonstrações contento os autores e os métodos. Contudo, é conveniente ressaltar que a rova considerada mais elementar é dada or Eisenstein, or meio de argumentos geométricos. Com a demonstração da Lei de Recirocidade Quadrática, Gauss alcançou imortantes conquistas que exandiram os horizontes da Teoria dos Números rincialmente quando aresentou a rimeira rova. Ele considerou que, a artir dessa lei, haveria recirocidades com graus sueriores. Mesmo sendo rovada há mais de 00 anos ainda deserta grande interesse dos matemáticos. Em [4], estuda-se a utilização em critograa e no algoritmo de fatoração de inteiros que fazem uso da lei da recirocidade quadrática, além de os resíduos quadráticos serem bastante utilizados em acústica. Estruturamos este trabalho em artes. A rimeira consta se desta introdução. Em seguida, a segunda arte comreende as congruências quadráticas estendendo se xi

12 Introdução aos Resíduos Quadráticos, Símbolo de Legendre, Critério de Euler, Lema de Gauss ara que ossamos determinar as soluções destas congruências como também reunir subsídios ara as demonstrações da Lei de Recirocidade Quadrática e assim analisar o Símbolo de Jacobi e suas roriedades ara números comostos. Logo deois, aresentamos atividades roostas ara aerfeiçoar o conhecimento matemático dos alunos, na quarta arte, e nalmente na arte ós-texto, aresentamos os aêndices e as referências. xii

13 Caítulo 1 Congruências Quadráticas Neste caítulo, vamos examinar se um inteiro é ou não um resíduo quadrático módulo rimo a artir das congruências quadráticas x a (mod ). Além disso, exloraremos rocedimentos ecazes ara alcançar esta nalidade, tais como o Critério de Euler, o Símbolo de Legendre com suas roriedades e o Lema de Gauss. As demonstrações foram insiradas em [7],[11],[18],[19],[1],[3],[4] e [7]. 1.1 Resíduos Quadráticos Consideremos a equação ax + bx + c 0 (mod ) (1.1) de modo que a, b, c Z, é um rimo ímar e a 0 (mod ). Podemos observar que (a, ) = 1 e como é ímar teremos (4a, ) = 1. Assim, (1.1) será equivalente a 4a(ax + bx + c) 0 (mod ) que ao comletarmos quadrados obtemos (ax + b) (b 4ac) 0 (mod ), e consequentemente ao fazermos y = ax + b e d = b 4ac, teremos y d (mod ). (1.) Com isso, ara encontrarmos solução ara (1.1) é suciente descobrir a solução de equações na forma 1

14 Congruências Quadráticas Caítulo 1 x a (mod ) (1.3) elo fato de se a obtemos a desinteressante equação x 0 (mod ), e or essa razão x 0 (mod ) o que torna indisensável assumir que a ara evitarmos soluções triviais. Exemlo 1.1 Resolva a congruência 8x + 5x (mod 3). Solução: Como (8, 3) = 1 e = 3 é rimo ímar temos que (4 8, 3) = (3, 3) = 1, no qual ao multilicarmos a congruência em questão e comletar quadrados obtemos (16x + 5) (mod 3) (16x + 5) 16 (mod 3). Com isso, encontramos 16x + 5 ± 4 (mod 3) onde ao resolvermos a congruência linear 16x 1 (mod 3) temos x 10 (mod 3), enquanto que a artir da congruência linear x 9 (mod 3) obteremos x 1 (mod 3). Dessa maneira, 10 e 1 são as únicas soluções incongruentes de 8x + 5x (mod 3). Então, caso a congruência (1.3) aresente solução terá exatamente duas soluções incongruentes. Isso é exatamente o que vamos rovar no teorema seguinte. Teorema 1.1 Para um rimo ímar e a um inteiro não divisível or, a congruência (1.3), caso tenha solução, tem exatamente duas soluções incongruentes modulo. Demonstração: Consideremos que a congruência (1.3) tenha x 1 como solução, então odemos escrever que x 1 também será solução, elo fato de ( x 1 ) = x 1 0 (mod ). Agora, mostremos que estas soluções x 1 e x 1 são incongruentes módulo. Suondo que x 1 x 1 (mod ) obtemos x 1 0 (mod ). Uma vez que, or hiótese, é rimo e não divide x 1 temos que x 1 0 (mod ) é imossível, e x 1 é incongruente a x 1 módulo, sendo necessário mostrarmos que aenas existem duas soluções incongruentes. Suonha agora que y é uma solução de x a (mod ). Daí, temos y a (mod ) e como x 1 é solução odemos escrever x 1 a (mod ). Como x 1 y a (mod ), obteremos x 1 y = (x 1 + y) (x 1 y) 0 (mod ) que

15 Congruências Quadráticas Caítulo 1 resultará em (x 1 + y) ou (x 1 y), o que imlicará em y x 1 (mod ) ou y x 1 (mod ) e, or consequência, caso exista uma solução, existem exatamente duas soluções incongruentes módulo, e as demais soluções serão congruentes a uma dessas duas. Exemlo 1. Determine todas as soluções da congruência x 1 (mod 3). Solução: Como 3 é um rimo ímar e 1 não é divisível or 3 oderá existir, elo Teorema 1.1, aenas duas soluções incongruentes módulo 3. Assim, observemos que x 1 = satisfaz a congruência e x 1 = também satisfaz essa congruência. Portanto, x 1 = não é congruente a x 1 = módulo 3 o que imlicará em as outras soluções são congruentes à x 1 = ou à x 1 = módulo 3, or existir aenas duas soluções incongruentes módulo 3 ara a congruência em questão. Com isso, fazendo s uma solução diferente de x 1 e x 1 obtemos s (mod 3) ou s (mod 3). Enm, todas as soluções serão dadas or s = 3k + ou s = 3k, ara k Z. Denição 1.1 O conjunto dos inteiros {r 1, r,r 3,..., r v } é um sistema comleto de resíduos modulo se: (i) r t não for congruente a r u módulo ara t u; (ii) ara todo inteiro k, existe um r t, tal que k r t (mod ). Denição 1. Sejam a e m inteiros com (a, m) = 1. Dizemos que a é um resíduo quadrático módulo m se a congruência x a (mod m) tiver solução. Caso x a (mod m) não tenha solução, dizemos que a não é um resíduo quadrático módulo m ou que a é um resíduo não quadrático. Como 4 6 (mod 10), então 6 é resíduo quadrado quadrático módulo 10, assim como 1 1 (mod 13) e assim 1 é resíduo quadrático módulo 13. Agora, consideremos o rimo 17 vamos obter os números que são resíduos quadráticos módulo 17. Para tanto, é suciente considerar os quadrados dos números 1,, 3, 4,..., 16 elo fato destes números formarem um sistema reduzido de resíduos módulo 17. Portanto, 3

16 Congruências Quadráticas Caítulo (mod 17) 9 13 (mod 17) 4 (mod 17) (mod 17) 3 9 (mod 17) 11 (mod 17) 4 16 (mod 17) 1 8 (mod 17) 5 8 (mod 17) (mod 17) 6 (mod 17) 14 9 (mod 17) 7 15 (mod 17) 15 4 (mod 17) 8 13 (mod 17) 16 1 (mod 17) Podemos observar que na coluna da esquerda das congruências acima temos os quadrados dos números 1 até 16 e na coluna da direita aenas 8 números 1,, 4, 8, 9, 13,15 e 16. Portanto, estes números são todos os resíduos quadráticos módulo 17. Também, é ossível notar que estes números aarecem na metade suerior da tabela acima e que eles se reetem na metade inferior, cuja reetição ocorre a artir de 9. Tal curiosidade é roveniente da congruência (17 k) k (mod 17) de vericação imediata. Logo, ao termos um número rimo ímar qualquer odemos imaginar que, dentre os elementos, 1,, 3,..., 1, que formam um sistema reduzido de resíduos ( 1) ( 1) módulos, metade, ou seja, são resíduos quadráticos e restantes não são. Isso é exatamente o que iremos demonstrar em seguida. Teorema 1. Seja um rimo ímar. No conjunto {1,,..., 1}, 1 resíduos quadráticos enquanto que 1 não são. são Demonstração: Consideremos a congruência x a i (mod ), ara i = 1,, 3,..., 1 com rimo onde desejamos obter todos os a i s que são resíduos quadráticos módulo. Então, vamos considerar os quadrados dos números de 1 a 1 que ao escrevermos 1 1 (mod ) temos a 1 = 1 como resíduo quadrático módulo, mas também 1 é solução elo fato de ( 1) 1 (mod ). Agora, elo Teorema 1.1, temos que 1 e 1 são as únicas soluções incongruentes módulo, e sendo os números 1,, 3,..., 1 todos incongruentes módulo, or formar um sistema reduzido de resíduos módulo, tem se que 1 e 1 são as únicas soluções da congruência x 1 (mod ) dentre os números 1,, 3,..., 1. Ao tomarmos, este será congruente a algum número r diferente de 1 e obvi- 4

17 Congruências Quadráticas Caítulo 1 amente ( ) também será congruente a esse número r. Uma vez que (mod ), elo teorema 1.1, vericamos que e são as únicas soluções incongruentes de x r (mod ) dentre os números 1,, 3,..., 1. Agora, ao tomarmos 3 que será congruente a algum número s diferente de 1 e de r ercebe se que ( 3) também será congruente a esse número s e como 3 3 (mod ), elo Teorema 1.1, tem se que 3 e 3 são as únicas soluções incongruentes de x s (mod ) dentre os números 1,, 3,..., 1 e assim observemos que temos 1,r e s como resíduos quadráticos das resectivas congruências: (1) x 1 (mod ), que tem soluções (1, 1); () x r (mod ), que tem soluções (, ); (3) x s (mod ), que tem soluções (3, 3). Ao rosseguir desta maneira teremos 1 (1, 1), (, ), (3, 3),..., ares de soluções ( 1, + 1 ), em que cada ar é solução ara uma dentre as 1 congruências x a i (mod ), relacionadas exatamente a 1 números a' i s são os 1 quadráticos. dos números 1,, 3,..., 1 e, ortanto os 1 resíduos quadráticos e os restantes 1 não são resíduos Exemlo 1.3 Sendo o rimo 7, encontre, dentre os números {1,,3,4,5,6}, os três números que são resíduos quadráticos e os outros três que não são resíduos quadráticos. Solução: 1 1 (mod 7) 4 (mod 7) 3 (mod 7) 4 (mod 7) 5

18 Congruências Quadráticas Caítulo (mod 7) 6 1 (mod 7) Assim, os números que são resíduos quadráticos são 1,4 e, enquanto os números que não que são resíduos quadráticos são 3,5 e 6. Teorema 1.3 A congruência x 1 (mod ), ara rimo, tem solução se, e somente se, = ou 1 (mod 4). Demonstração: ( ) Sendo =, ode se vericar que x = 1 é uma solução, ois 1 1 (mod ). Assim, é necessário suor agora que a congruência x 1 (mod ) aresenta solução e que >. Elevando ambos os membros a otência ( 1) tem se: ( x ( 1) ) ( 1) 1 (mod ) e como x ( 1) x ( 1) (mod ) odemos escrever, elo Pequeno Teorema de Fermat, (Anexo B), que x 1 1 (mod ) ( 1) 1 1 (mod ) resultando no fato de ( 1) ser ar temos: ( 1) = k 1 = 4k = 4k + 1, k Z e, então 1 (mod 4). ( ) Agora, é reciso encontrar uma solução ara a congruência x 1 (mod ) no momento em que 1 (mod 4), onde é um número rimo ímar que, através do Teorema de Wilson, (Anexo B), odemos organizá los como sendo ( 1 3 j 1 ) ( + 1 ( j) ( )( 1)) 1 (mod ). O roduto ( 1)! está dividido em duas artes, cada uma com a mesma quantidade de fatores, ou seja, cada uma tem fatores que ao reescrever este ( 1) roduto formando ares, cada fator j na rimeira arte equivalerá ao fator ( j) na segunda arte odendo, elo Teorema de Wilson, (Anexo B), ser escrito como: 6

19 Congruências Quadráticas Caítulo 1 ( 1)/ j=1 j( j) 1 (mod ). Como j( j) j (mod ), ois j j j (mod ) obtemos: 1 ( 1)/ j=1 j ( 1) ( 1)/ ( 1)/ j=1 j (mod ). Mas, sendo 1 (mod 4), então é da forma 4k +1, com k Z, e como é ar teremos ( 1) x = ( 1)/ j=1 ( 1 j = )!, que é uma solução de x 1 (mod ). 1. Símbolo de Legendre e o Critério de Euler Adrien Marie Legendre ( ) desenvolveu um símbolo ara vericar se uma congruência do tio x a (mod ), com rimo ossui solução simlicando os cálculos e sendo uma ossibilidade de os termos resíduos quadráticos e não-resíduos ossam ser denotados de modo muito conveniente, bem como útil. Denição 1.3 Seja um inteiro rimo ímar. Para ( ) um inteiro a deni se o a Símbolo de Legendre de a módulo e denotamos or como sendo 7

20 Congruências Quadráticas Caítulo 1 ( ) a = 1 se a e a é um resíduo quadrático de ; 0 se a; 1 se a e a não é um resíduo quadrático de. É ossível observar que na denição acima considera se ímar uma vez que qualquer número inteiro é um quadrado módulo. O róximo resultado, descoberto or Euler ossibilita o cálculo do Símbolo de Legendre. Teorema 1.4 (Critério de Euler) Seja > um rimo e a um inteiro. Então ( ) a a ( 1) (mod ). Demonstração: Para a 0 (mod ) o resultado é evidente, de modo que devemos suor a. Com isso, ao considerarmos rimeiramente que a = 1 verica se que a congruência x a (mod ) aresenta solução, elo Teorema 1.1, e consequentemente teremos y a (mod ) ara algum y Z resultando em divide (y a). Mas, não divide a, não divide y e ortanto, não divide y. Concluímos assim que (y, ) = 1 e assim, elo Pequeno Teorema de Fermat, (Anexo B), y 1 1 (mod ), odemos escrever que y a (mod ) (y ) ( 1) a ( 1) (mod ) a ( 1) y 1 (mod ) a ( 1) 1 (mod ) o que comrova o teorema ara o caso em que ( ) a = 1. ( ) a Agora, mostremos ara o caso em que = 1, ou seja, a não é um resíduo quadrático de e se s é um dos inteiros de {1,,3,, 1} odemos admitir que, ela Teoria das Congruências Lineares, existe uma solução s de sx a (mod ), com s também no conjunto {1,,3, (, ) 1}. Mas, s e s devem ser distintos ara a evitarmos que s a (mod ), já que = 1. Então, os inteiros entre a e 1 8

21 Congruências Quadráticas Caítulo 1 odem ser divididos em congruências ( 1) ares, s e s, onde ss a (mod ) nos levará às s 1 s 1 a (mod ) s s a (mod ). s ( 1) s ( 1). a (mod ). Ao multilicarmos as congruências acima obtemos s 1 s s s... s ( 1) s ( 1) a ( 1) (mod ) que reresenta um rearranjo de ( 1) resultando em ( 1)! a ( 1) (mod ) e, teremos, elo Teorema de Wilson, (Anexo B), a ( 1) 1 (mod ) ( se referindo ) ao Critério de Euler quando a não é um resíduo quadrático, ou seja, a = 1. Exemlo 1.4 Vericar que a = 3 é um resíduo não quadrático módulo 7, mas é resíduo quadrático módulo 11. Solução: Pelo Critério de Euler é ossível escrever que ( ) 3 = 3 (7 1) 1 (mod 7); 7 ( ) 3 = 3 (11 1) = 3 5 = ( ) 1 (mod 11). 11 Vamos introduzir algumas roriedades que ermitem o cálculo do Símbolo de Legendre. Teorema 1.5 Seja rimo ímar e a, b, c Z. Então, elo Critério de Euler e ela denição do Símbolo de Legendre, seguem as seguintes roriedades: 9

22 Congruências Quadráticas Caítulo 1 1. se a b (mod ), então ( ) a = 1 se a; ( ) ab = ( a ( ) a = )( ) b se a e b. ( ) b ; ( ) { 1 = ( 1) ( 1) 1 se 1 (mod 4) = 1 se 3 (mod 4) Demonstração: Para a roriedade 1 é suciente observar que ( ) a a ( 1) b ( 1) ( ) b (mod ), enquanto na roriedade é evidente que a é resíduo quadrático de elo fato de, elo Pequeno Teorema de Fermat, (Anexo B), (a ) ( 1) a ( 1) 1 (mod ). Já as roriedades 3 e 4 são consequências imediatas do Critério de Euler, ois Mas como odemos escrever que concluindo que ( ) ab (ab) ( 1) (mod ). (ab) ( 1) = a ( 1) b ( 1) ( ) a a ( 1) (mod ) e ( ) ab = (ab) ( 1) = a ( 1) b ( 1) ( ) b b ( 1) (mod ) ( a ) ( ) b (mod ). Já a roriedade 4 ossibilita ( ) investigar todos os rimos ara os quais ( 1 ) são 1 resíduos quadráticos, onde ( 1) ( 1) 1 (mod ) signicando que seria 10

23 Congruências Quadráticas Caítulo 1 ( 1) ( 1) igual a 1 quando for ar e igual a 1, quando for ímar. Então, se é um rimo ímar, existem aenas duas ossibilidades ara em termos de congruência módulo 4 ou 1 (mod 4) ou 3 (mod 4) e se 1 (mod 4) ( 1) teremos 1 divisível or 4 e será ar. Agora, se 3 (mod 4), existe k tal que 3 = 1 = 4k e, desse modo ( 1 = 4k ) + = (k + 1) imlicando ( 1) 1 em ímar. Então, ara 1 (mod 4), = 1 e, ara 3 (mod 4), ( ) 1 = 1. Assim, através da roriedade 3 do Teorema 1.5, [1] revela que o roduto de dois resíduos quadráticos é um resíduo quadrático, que o roduto de dois números que não são resíduos quadráticos é um resíduo quadrático e que o roduto de um que não é resíduo quadrático or um que é resíduo quadrático não é resíduo quadrático. 1.3 Lema de Gauss Nessa seção, analisaremos o resultado a seguir, conhecido como ( ) Lema de Gauss, a que segundo [7], trata se de um método caaz de determinar ara todo rimo ímar e todo número natural a, tal que (a, ) = 1. Lema 1.1 (Lema de Gauss) Sejam um rimo ímar e a um inteiro não divisível or. Então ( ) a = ( 1) r, onde r é a quantidade de resíduos ositivos módulo dos números que são maiores que. ( ) 1 a, a, 3a,..., a, (1.4) Demonstração: Inicialmente observe que não odemos ter ab 0 (mod ) ara 11

24 Congruências Quadráticas Caítulo 1 b {1,,, 1 } ois, caso contrário, teríamos ab, o que é uma contradição or b < e a. Com isso os elementos de (1.4) serão incongruentes dois a dois módulo, ois se ab ac (mod ), ara b, c { } 1,,..., 1 obtemos (b c)a, mas se a temos (b c), ou seja, b c (mod ) o que é imossível. Agora, ao analisar a reordenação de (1.4) temos r 1, r,..., r i, s 1, s,..., s j, com i+j = ( 1), (1.5) formada or resíduos ositivos módulo, em que os inteiros r k são menores que ( 1) e os inteiros s t maiores que ( 1). Sendo {r 1, r,..., r i, s 1, s..., s j } (1.6) obtemos um conjunto de elementos ositivos menores que, e então quaisquer dois elementos de (1.6) são incongruentes módulo. Por outro lado, quando k t, temos s k s t (mod ) e r k r t (mod ) elo fato de os elementos de (1.4) serem incongruentes módulo. Por outro lado, temos s k r t (mod ). Caso contrário, s t + r k 0 (mod ) e como cada elemento de (1.5) é congruente módulo com algum elemento de (1.4), obtemos s t + r k ab + ac (b + c)a 0 (mod ), b, c ( 1). Por hiótese, a e então (b + c) ( 1) + ( 1) = 1. Isto é imossível, ois os elementos de (1.6) são incongruentes módulo dois a dois. Note se que (1.6) tem 1 elementos ositivos e menores que. Isto imlica que ( 1) os elementos de (1.6) são forçosamente os elementos 1,,...,. Multilicando todos os elementos de (1.6) obtemos j ( s k ) k=1 i ( ) 1 r t!(mod ). t=1 1

25 Congruências Quadráticas Caítulo 1 Como s k s k (mod ), vem que ( 1) r j (s k ) k=1 i ( ) 1 r t! (mod ), t=1 e como cada elemento de (1.5) é congruente módulo com algum elemento de (1.4), a congruência anterior é equivalente a ( ) 1 ( 1) r! a ( 1) ( 1 )! (mod ). Com isso, da congruência anterior resulta que ( 1) r a ( 1) ( ) ( ) 1 (mod ) e, como a a ( 1) a (mod ), (Critério de Euler), conclui se que = ( 1) r. Vamos agora ilustrar a demonstração do Lema de Gauss. Portanto, ao considerarmos o caso articular em que a = 5 e = 17 teremos que calcular os menores (17 1) resíduos ositivos módulo 17 dos seguintes múltilos de 5, uma vez que 8 = : 1 5, 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 5, 7 5 e 8 5. Então, (mod 17) (mod 17) 5 10 (mod 17) (mod 17) (mod 17) (mod 17) (mod 17) (mod 17) Podemos vericar que dentre estes resíduos, que são 1,3,5,6,8,10,13 e 15, aenas cinco, 1,3,5,6 e 8, são menores do que 17, e consequentemente ao tomarmos os que são maiores, ou seja,10,13 e 15 e ao considerarmos os números 17 10, e 17 15, obtemos 7,4 e, resectivamente que associando com 1,3,5,6 e 8 constituem todos os números de 1 a 8. Desse modo, na demonstração do Lema de Gauss deveremos fazer ( ) o que foi a feito acima com rimo ímar qualquer ara rovarmos que ( 1) r =, onde r 13

26 Congruências Quadráticas Caítulo 1 reresenta o número de resíduos ositivos de 1 a, a, 3 a,, maiores que. Partindo de caso articular r = 5 tem se ( ) 5 = ( 1) 5 = 1 17 o que está coerente com o Critério de Euler, uma vez que ( 1) a que são ( ) 5 = 5 (17 1) (mod 17) O Símbolo de Legendre ( ) Nesta seção, vamos determinar uma fórmula válida ara Teorema 1.6 Para um rimo ímar, temos ( ) { 1 se ± 1 (mod 8) = 1 se ± 3 (mod 8) ( ). Demonstração: Usando o Critério de Euler, vamos vericar que ( 1) 1 (mod ) se, e somente se, ± 1 (mod 8). Assim, observemos que ( 1) ( 1 )! = ( 1) ( ) = 4... ( 1). Agora, consideremos, elo Critério de Euler, que ( ) = ( 1) (mod ) e, ortanto Se ( 1) ( 1) é ar. ( 1 )! = 4... ( 1) 14

27 Congruências Quadráticas Caítulo 1 1 (... ) ( ( 3) ( 1)) = }{{}} {{} 1 4 fatores 1 4 fatores (... ( 1 ) ) (( 3 )... ( 3) ( 1)) (mod ) 1 (... ) ( ( 1) )( 1) 4 (mod ) ( 1 ( 1) ( 1) 4 )! (mod ). Se ( 1) é ímar. ( 1) Logo, ( 1 ( 1) ( 1) )! = ( 1) = 3 (... ) ( ( 3) ( 1)) }{{}} {{} 3 4 fatores fatores (... (... ( 1) ( 1) 4 ( 1 ( ) ( ( ) 1! (mod ). )! ( 1) ( 1) 4 )! ( 1) ( 1) 4 1 ) (( )... ( 3) ( 1)) (mod ) ( 1 ( 1 )! (mod ) se )! (mod ) se ( ) 1 Ao cancelarmos! nas congruências acima, temos ( 1) = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 (mod ) se é ar ( 1) 4 (mod ) se é ímar )( 1) ( 1) 4 (mod ) ( 1) ( 1) é ar é ímar. 15

28 Congruências Quadráticas Caítulo 1 = ( 1) ( 1)(+1) 8 (mod ). Ao analisarmos os diversos casos ossíveis ara módulo 8, obtemos 1 (mod 8) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 orque e são ares 4 ( ) 3 (mod 8) ( 1) ( 1) ( + 1) = ( 1) = 1 orque e são ímares = 4 5 (mod 8) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 orque é ar e é ímar 4 7 (mod 8) ( 1) ( 1) ( + 1) = 1 orque é ímar e é ar. 4 Com o auxílio do Teorema 1.5 ode se vericar que se é um número rimo ímar teremos que ( ) = 1 1 (mod 8) ou 3 (mod 8). 16

29 Caítulo Lei de Recirocidade Quadrática Neste caítulo, iniciaremos uma investigação da Lei de Recirocidade Quadrática, um dos rimeiros resultados da Teoria dos Números Moderna, conjecturada or Euler e or Legendre, na rimeira metade do século XVIII. No entanto, Gauss forneceu a rimeira demonstração e, ao longo de sua vida, encontrou outras demonstrações. Também o estudo dessa lei foi construído or meio de várias demonstrações insiradas em [6],[7],[8],[10],[11],[15],[18],[0],[1],[] e [5], atribuindo um destaque ao estudo do Símbolo de Jacobi ara inteiros módulo de um número comosto e, em articular, a resolução de raízes quadradas módulo n..1 Provas da Lei de Recirocidade Quadrática Teorema.1 Se e a são números ímares diferentes, em que é rimo e não divide a, então, ( ) a = ( 1) M onde M = a + a + + a e = ( 1). Demonstração: O Algoritmo da Divisão ermite determinar os menores resíduos ositivos de a, a, 3a,..., a or meio das seguintes divisões: 17

30 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo a = a = 3a =. a = a + r 1 a + r 3a + r 3 a + r em que r 1, r,..., r são, resectivamente, os restos da divisão or dos números a, a, 3a,..., a. Ao somarmos, membro a membro, as igualdades acima obtemos a ( )a = ( + a + + a ) +r 1 + r r ou ainda, ao colocarmos elo Lema de Gauss (Lema 1.1), B = b 1 + b b h e C = c 1 + c c k, teremos r 1 + r r = B + C; e, então, ( 1) a = M + B + C. (.1) 8 Mas, como os números b 1, b,..., b h, c 1, c,..., c k são, a menos da ordem, os números 1,, 3,..., ode se escrever que = ( 1) 8 = b 1 + b b h + r (c 1 + c c k ) e consequentemente ( 1) 8 = B + r + C. (.) M r Ao subtrairmos, membro a membro, as equações (.1) e (.) obtemos ara ( 1) (a 1) = (M r) + B (.3) 8 18

31 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo e, ara r > M ( 1) (a 1) = (r M) + B. (.4) 8 Dessa maneira, como a e são ímares, or hiótese, o termo ( 1) (a 1) 8 será ar o que resultará em (M r) também será ar elo fato desta diferença ser ar or serem ambos ares ou ambos ímares. Logo, o Lema de Gauss ermite escrever que ( ) a = ( 1) M já que M e r aresentam a mesma aridade. O Teorema.1 nos ermite fornecer uma demonstração alternativa do Teorema 1.6 aresentado no Caítulo anterior. Demonstração: Fazendo uso das notações da demonstração do Teorema.1, 4 1 tomamos a =, temos M = = 0. Da equação (.3), obtemos 1 r (mod ). 8 Logo, r será ar ou ímar de acordo com 1 é ar ou ímar, resectivamente ( ) 8 e assim, elo Lema de Gauss, = ( 1) M = ( 1) 1 8. Exemlo.1 Mostre que a equação diofantina X 13Y = 5 não aresenta soluções. Solução: Caso essa equação diofantina ossua alguma solução 5 será resíduo quadrático módulo 13, e então 19

32 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo M = = Portanto, ( ) 5 = ( 1) M = ( 1) 5 = 1, 13 resultando em que 5 não é resíduo quadrático módulo 13. Agora, vamos rovar a Lei de Recirocidade Quadrática. O rório Gauss roorcionou elo menos 8 demonstrações e a literatura abrange várias dessas, atribuindo ao matemático alemão Ferdinand Gotthold Max Eisenstein ( ) a origem da demonstração que aresentaremos a seguir. Teorema. (Lei de Recirocidade Quadrática de Gauss) Sejam e q dois números rimos ímares distintos, então ( q ) ( ) q = ( 1) 1 q 1. Demonstração: Usando argumentos geométricos, consideremos um sistema retangular de coordenadas. Marquemos sobre o eixo das abscissas os ontos distantes 1,,..., unidades da origem A, e sobre o eixo das ordenadas, os ( 1) (q 1) ontos distantes 1,,..., unidades de A além de marcarmos os ontos de vértice A = (0, 0); B = (, 0); C = (, q ) e D = (0, q ) e, em seu interior, ( 1) os ontos ertencentes ao roduto cartesiano dos conjuntos {1,, 3,..., } (q 1) e {1,, 3,..., } de acordo com a gura (.1). É ossível vericar que o número de ontos de coordenadas naturais no interior do retângulo (dentro do retângulo, mas não na fronteira) aresenta coordenadas de números inteiros equivalentes a 1 q 1. Agora, a reta que assa or O e B tem or equação y = qx y = q x, enquanto 0

33 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo Figura.1: y = q x ( 1) que o fato de os números 1,,..., serem todos rimos com acarreta em essa reta não ossuir nenhum dos ontos interiores contados acima e, or consequência esta reta, y = q x, interceta as retas x = k, aralelas ao eixo y, nos ontos de coordenadas (k, kq ). Como kq não é inteiro e 1 k 1 obtemos que o número de ontos de coordenadas naturais sobre a reta x = k, acima do eixo x e abaixo da reta y = q x kq é reresentado or e, dessa maneira a quantidade de ontos de coordenadas naturais no interior do triângulo ABC é dado or 1

34 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo M = q + q + 3q q. De ( forma ) análoga, as interseções das retas y = k, aralelas ao eixo x, com a reta q y = x resulta que o número de ontos de coordenadas naturais no interior do triângulo ACD é igual a N = + q + q 3 q q. q Então, M + N é igual ao total 1 q 1 de ontos no interior do retãngulo ABCD. Dessa maneira, odemos escrever que ( ) q = ( 1) M e ( ) = ( 1) N, q e consequentemente, elo Teorema 1.6, temos ( q ) ( ) q = ( 1) M+N = ( 1) 1 q 1. O Teorema da Lei de Recirocidade Quadrática ode ser reenunciado das seguintes maneiras: Corolário 1: Se e q são dois números distintos, tais que 1 (mod 4), ou q 1 (mod 4), então q é resíduo quadrático módulo, se, e somente se, é resíduo quadrático módulo q; Corolário : Se e q são dois números distintos, tais que q 3 (mod 4), então q é resíduo quadrático módulo, se, e somente se, é não resíduo quadrático módulo q. Aresentaremos a seguir três demonstrações distintas da Lei de Recirocidade

35 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo Quadrática. A rimeira e a segunda demonstração, insirada em [5]. Para efetuar a terceira demonstração, [8] aonta a utilização da denição de um conjunto. Para alcançar este roósito, vamos ressaltar a rova de dois lemas úteis a esta demonstração. Primeira Demonstração: Inicialmente, consideremos a gura (.) em que Figura.: O Retângulo R C q = {x Z 1 x q 1 C q = {y Z 1 y 1 e q 1 x 0 (mod q)} e 1 qy 0 (mod )} 3

36 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo M = # C q N = #C q Então, elo Lema de Gauss (Lema 1.1), temos ( ) ( ) q = ( 1) M+N q e, assim mostraremos que M + N e 1 q 1 aresentam a mesma aridade. Para cada x C q existe um e aenas um y Z de modo que q 1 0 e, simultaneamente 0 < y <. Ao observar que é ímar, temos x qy < C q = {(x, y) Z 0 < x < 1 q e 0 < y < 1 e 1 q < x qy < 0}. De forma análoga, Caso, C q = {(x, y) Z 0 < x < 1 q e 0 < y < 1 e 1 < qy x < 0}. obtemos R = {(x, y) Z 0 < x < 1 q e 0 < y < 1 }, #R = 1 q 1 e #R = (M + N) reresentando o número de ares (x, y) R de forma que 1 q < x qy < 0 ou 1 < qy x < 0, sendo estas condições denitivas na construção de dois conjuntos disjuntos equiotentes elo fato de 4

37 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo (x, y) 1 (q + 1, + 1) (x, y ) denir uma bijeção entre ambas e ortanto valida a condição de M+N e 1 q 1 tem a mesma aridade. Segunda Demonstração: Na notação do Teorema., com = q, ara cada j P, onde P = {1,,..., 1 }, temos que ε j = 1 se, e somemte se, existe y Z de forma que 1 Q = {1,,..., q 1 }. Desse modo, qj y < 0, além de y deve ertencer a Q, sendo ( ) q = ( 1) M ( 1) onde M = R e R = {(x, y) P Q qx y nunca assume valores 0 e, assim ( ) = ( 1) N q (q 1) em que N = S e S = {(x, y) P Q 0 < qx y Logo, ( ) ( ) q = ( 1) K q ( 1) onde K = M + N = T, e T = {(x, y) P Q qx y < 0 }. Observemos que }. (q 1) qx y orque qx y nunca assume o valor 0. Então, k = G E F onde G = P Q e ( 1) E = {(x, y) G qx y < (q 1) F = {(x, y) G qx y > Como G = 1 q 1, mostremos que E = F. Mas Ω : G G é denida 5 }; }. }

38 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo or Ω (x, y) = F. ( ( + 1) x, (q + 1) ) y o que reresenta uma bijeção entre E e Terceira Demonstração: Consideremos o conjunto C denido or C = {a : 1 a 1 }, sendo (a, q) = 1 e, em seguida o conjunto A = a C a. Com isso, temos ( ) ( ) Lema.1 A ( 1) q 1 q (mod ) e A ( 1) 1 (mod q). q Demonstração: Sendo conjunto D = {a : 1 a 1 }, onde (a, ) = 1, e E = {q 1, q,..., q 1 } odemos admitir que E é um subconjunto de D orque q 1 = 1 q + q 1. (.5) Ao observar que C = D E onde, elo Critério de Euler, temos a D a = a E 1 a a C a = q ( 1 )! A Podemos também escrever a exressão (.5) de seguinte forma: ( q ) ( ) 1! A (mod ). q 1 = q (.6) Portanto, a D a = (( 1)!) q 1 ( 1 onde, elo Teorema de Wilson, (Anexo B), temos ( ) q ( 1 )! A ( 1) q 1 )! ( 1) q 1 ( 1 ( 1 )! A (mod ), )! A (mod ) 6

39 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo e assim A ( 1) q 1 ( ) q (mod ). As outras declarações do Lema ( ).1 seguem or ( simetria ) e, dessa maneira segue-se consecutivamente que ( 1) q 1 q = ( 1) 1 A 1 ou 1 (mod q). q Lema. A 1 ou 1 (mod q) se, e somente se, q 1 (mod 4). Demonstração: Ao determinarmos z = q, elo teorema Chinês do Resto, (Anexo B), a congruência x 1 (mod z) tem recisamente 4 soluções: x 1, 1, n, n (mod z). Já a congruência x 1 (mod z) aresenta uma solução, x I (mod z), aenas se q 1 (mod 4) e dessa forma haverá recisamente 4 soluções, isto é, x 1, 1,n 1, n 1 (mod z). Agora, ara cada a em G, existe um único a em G e 8a em { 1, 1} tal que a a 8a (mod z) cuja corresondência a a é uma ermutação de Ψ. Ao escrevermos G = {a C: a = a'} = {a C : a ±1 (mod z)} observemos que G = a C a ± a G a (mod z), se q 1 (mod 4), e então a G a ± (1 n I I n)(n I ) ±1 (mod d). Caso contrário, teríamos a G a ± (1 n ) ±1 (mod d). ( ) ( ) Ao combinarmos os Lemas.1 e. conclui se que ( 1) q 1 q = ( 1) 1 q se, e somente se, q 1 (mod 4). O teorema agora segue ela consideração dos 4 casos: (, q) (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) (mod 4) ou através de fórmulas uma vez que q 1 (mod 4) se, e somente se, ( 1) +1 q+1 = 1. Logo, Contudo, ( ) ( ) q = ( 1) 1 ( 1) q 1 q ( 1) = ( 1) +1 ( ) ( ) 1 q 1 = q q + 1 = q + + q + 1 ( ) 4 ( ) ( q = ( ) ( ) ( + 1 q = + + q + q 1 + q 1 q+1. ) + 1 ) + 1 (mod ) 7

40 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo o que resultará em Exemlo. Calcule ( 1) 1 ( 1) q 1 ( 1) +1 ( ) q+1 = ( 1) 1 q 1. Solução: Como 991 é um número rimo e que 40 = 3 67, teremos que ( ) = 1 (991 1 (mod 8)) 991 ( ) ( ) = (991 3 (mod 4)) 991 ( 3) 1 = (991 1 (mod 3)) 3 = 1. ( ) ( ) = ( (mod 4)) 991 ( 67 ) 14 = ( (mod 67)) ( 67)( )( ) 1 7 = ( 14 = ( 1) 7) ( 67 ) 67 = ( 1) ( 1) ( ) (67 3 (mod 8) e 7 3 (mod 4)) ( ) 7 4 = (67 4 (mod 7)) 7 = 1. ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto, = = 1 ( 1) 1 = Logo, a Lei de Recirocidade Quadrática e o fato de já termos visto que ( ) { 1 1 se 1 (mod 4) = 1 se 3 (mod 4) (Proriedade 3 do Teorema 1.5) 8

41 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo ( ) { 1 se ± 1 (mod 8) = 1 se ± 3 (mod 8) (Teorema 1.6) nos ermite acrescentar mais alguns resultados arecidos ara os seguntes Símbolos de Legendre. Exemlo.3 Mostre que se é um rimo ímar, então, ( ) { 3 1 se ± 1 (mod 1) = 1 se ± 5 (mod 1) Solução: Usando a Lei de Recirocidade Quadrática temos ( ) 3 ( = ( 1) 3) 1. Enquanto que o Teorema 1.5 (1) ermite escrever ( ) 1 ( = 1 se 1 (mod 3) 3 = ( ) 3) = 1 se (mod 3) 3 Por outro lado, Assim, ( 1) 1 = { 1 se 1 (mod 4) 1 se (mod 4) ( ) { 3 1 se 1 ou 11 (mod 1) = 1 se 5 ou 7 (mod 1) Exemlo.4 Calcule ( ) 5, onde é um número rimo maior do que 5. Solução: Com o auxílio da Lei de Recirocidade Quadrática temos 9

42 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo Pelo Teorema 1.5 (1), temos ( ) 5 ( ( = ( 1) 5) 1 =. 5) ( ) 1 = 1 se 1 (mod 5) ( 5) ( = 1 se (mod 5) 5 = ( ) 5) 3 = 1 se 3 (mod 5) ( 5 ) 4 = 1 se 4 (mod 5) 5 Teorema.3 Para todo rimo existem inteiros a, b e c, não todos nulos, tais que se verica a seguinte congruência: a + b + c 0 (mod ). Demonstração: Quando zermos = e tomando a = b = 1 e c = 0 obtemos (mod ). Agora, elo Teorema 1.3, ao admitir que se 1 (mod 4) tomaremos a como uma solução de x 1 (mod ), b = 1 e c = 0 enquanto que ara 3 (mod 4) adotaremos c = 1 ara mostrar a existência de solução ara a congruência a + b 1 (mod ). Então, o Teorema 1. nos garante que sendo um rimo ímar teremos que 1 serão os resíduos quadráticos e 1 não serão, dentre os números 1,,..., 1, mas se k for resíduo quadrático encontramos a congruência x k (mod ) que aresenta solução, quando é rimo. Consideremos dentre os números 1,,..., 1 que d seja o menor resíduo ositivo não quadrático módulo em que 1 é resíduo quadrático ( ara ) d, o Teorema 1.5 (3) ossibilita 1 observar que se 3 (mod 4) teremos = 1. E se d não é resíduo quadrático ( ) d obtemos que = 1. Então, elo Teorema 1.5 (4), odemos escrever que ( ) d = ( 1 ) ( ) d = ( 1)( 1) = 1. o que ermite armar que d é um resíduo quadrático módulo, ou seja, a congruên- 30

43 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo cia x d (mod ) aresenta solução. Sendo b de maneira que b d (mod ) recisaremos encontrar um a em que a d 1 (mod ) e assim resulta em { a d 1 (mod ) b d (mod ) a + b 1(mod ). No entanto, a congruência a d 1 (mod ) ossui claramente solução or d, d 1 < d e d ser o menor resíduo não quadrático ositivo módulo. Por isso, d 1 será resíduo quadrático módulo e a congruência a + b 1 (mod ) aresentará solução, resultando na demostração da congruência a + b + c 0 (mod ).. Símbolo de Jacobi O Símbolo de Jacobi aresenta várias roriedades similares ao Símbolo de Legendre. A generalização desta simbologia foi desenvolvida ara valores não rimos or Carl Gustav Jakob Jacobi ( ), em 1837, tendo como rincial utilidade na Teoria dos Números Comutacional, esecialmente no teste de rimalidade e fatoração de inteiros e com grande imortância na critograa. Denição.1 Seja n um número ositivo com resectiva fatoração em comonentes rimos 1 e 1 e k e k. Para qualquer valor a 0, o Símbolo de Jacobi é denido como o roduto dos Símbolos de Legendre relativamente aos comonentes rimos de n, na forma da exressão [ a n] ( ) a onde é o Símbolo de Legendre. i Exemlo.5 Calcule Solução: = ( ) ei k a i=1, i [ ] [ ] 3 81 e

44 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo [ ] [ ] 3 3 = = [ ] [ = 385 = ] ( 81 = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 = ( 1) ( 1) = 1; 7 11 ) ( 4 11 ( ) = ( 1 5 ) ) ( ) ( ) 7 ( ) = ( ) a Em [1], Santos ressalta que o símbolode Legendre nos informa sobre a existência [ de soluções ara a congruência x a (mod ), enquanto que o Símbolo a de Jacobi não fornece nenhuma informação a reseito da existência de soluções n] ara a congruência x a (mod n). Caso n seja rimo o Símbolo de Jacobi será idêntico ao Símbolo de Legendre. Agora, se é um fator rimo de n e se x a (mod n) ossui solução ( ) concluímos que a congruência x a (mod ) também a terá solução, ou seja, = 1. Portanto, [ a n] = ( ) ei k a i=1 = 1. i Exemlo.6 Sendo a = e n = 35, mostre a existência de ocorrer sem que a congruência x a (mod n) aresente solução. [ a n] = 1 ode Solução: Seja [ ] [ ] = = ( ) 5 ( ) = ( 1)( 1) = 1. 7 As congruências x (mod 5) e x (mod 7) não ossuem nenhuma solução e, or consequência a congruência x (mod 35) não terá solução alguma. Entretanto, o Símbolo de Jacobi cumre as mesmas regras comutacionais que o Símbolo de Legendre, incluindo a demonstração da Lei de Recirocidade Quadrática. Teorema.4 Sejam a e n inteiros ositivos ímares e rimos entre si. Pelas roriedades do Símbolo de Legendre e ela denição de Jacobi, seguem as seguintes roriedades: 3

45 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo [ a (1) Se a b (mod n), então = n] [ ] a () = 1; n [ a (3) n ] [ ] b = n [ a ] [ a (4) = m n] (5) [ ] (6) n [ ] ab ; n [ a ] ; mn [ ] 1 = ( 1) n 1 ; n [ n ] [ m ] (7) m n = ( 1) 1 8 ; [ ] b ; n = ( 1) n 1 m 1. (Lei de Recirocidade Quadrática) Demostração: As roriedades (1) a (3) são consequências imediatas da denição do Símbolo de Jacobi e do fato destas roriedades se alicarem ao Símbolo de Legendre. Já a roriedade (4) segue da denição do Símbolo de Jacobi em que se m = 1,, j e n = q 1,, q k reresentam as decomosições em fatores rimos de m e n ermitindo que os rimos i e q j ossam aarecer reetidos. Portanto, [ a ] [ ( a a = m n] seguir. 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a = = j q 1 q k 1 j q 1 q k [ a ]. mn Agora, ara vericarmos as roriedades (5), (6) e (7) recisaremos do Lema a Lema.3 Se x e y são números inteiros ímares, então x 1 x y 1 + y 1 8 xy 1 e x y (mod ) (.7) (mod ). (.8)

46 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo Demonstração: Como x e y são números ímares, os números (x 1) e (y 1) (x 1)(y 1) são ares, e assim continuará sendo ar, além de 0 (x 1)(y 1) xy x y + 1 xy 1 x + 1 y + 1 (mod ) rovando dessa maneira x 1 + y 1 xy 1 (mod ). Em contraartida, (x 1) e (x + 1) são ares e consequentemente x 1 = (x 1)(x+1) ossui elo menos dois fatores e, or analogia, ara y 1 odemos admitir que (x 1)(y 1) tem elo menos 4 fatores o resultará em (x 1)(y 1) 8 ser ar e 0 (x 1)(y 1) 8 x y x y x y 1 x + 1 y (mod ) rovando dessa maneira que x y 1 8 x y 1 8 (mod ). Vamos suor que m = 1,, j e n = q 1,, q k são decomosições em fatores rimos de m e n em que os rimos j e q k odem aarecer reetidos. Então, [ ] 1 = n ( ) 1 = n ( ) ( ) 1 1 q 1 q j = ( 1) j q h 1 h=1 = ( 1) n 1. Pela congruência (.7) obtemos j q h 1 h=1 = ( j h=1 q h) 1 (mod ). De forma similar, é ossível demonstrar, ela congruência (.8), que ( 1) 1 k h 1 q i 1 i=1 h 1 k i=1 [ ] n 8 sendo ossível constatar que, ara h xo, a congruência (.7) resultará em q i 1 h 1 ( k i=1 q i) 1 (mod ). Então, elas roriedades 3 e 4 odemos escrever [ a n ] [ n ] ( ( )) ( j = k qi j k h=1 i=1 h=1 i=1 a h = j h=1 ( h k i=1 ( 1) h 1 q i 1 = ( 1) j k h=1 i=1 q i = )) = ( ) ( ) j k qi h h=1 i=1 h q i h 1 q i 1 34

47 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo = ( 1) j h=1 h 1 n 1 = ( 1) m 1 n 1. Provamos assim a roriedade (7) que se refere à Lei da Recirocidade Quadrática or meio do Símbolo de jacobi. Exemlo.7 Avalie os Símbolos de Jacobi Solução: Vamos analisar os Símbolos de Jacobi uso da Lei da Recirocidade Quadrática. Então, [ ] [ ] = ( 1) 49 1 ] = [ = ( 1) 67 1 ] = [ 7 67 = ( 1) 13 1 = ( 1) ] = [ = ( 1) = ( 1) 43 1 = [ ] 9 43 [ ] [ ] = [ ] 49 [ ] = 49 [ ] 49 [ ] = 67 [ 67 ] = ( 1) = [ ] = [ ] = [ ] 181 [ ] 43 = [ 181] 181[ ] = 81 [ ] = 43 [ ] 3 = = [ ] [ ] [ ] [ ] 13 7 e [ ] [ ] e [ ] 181, no qual faremos

48 Lei de Recirocidade Quadrática Caítulo.3 Extraindo Raízes Quadradas módulo n Vamos desenvolver as ferramentas ara encontrar as raízes quadradas modulares. Sendo a uma função quadrática resíduo módulo, com rimo ímar, a congruência x a (mod ) terá exatamente duas soluções dadas or [± x 0 ], ara qualquer solução articular x 0. Então, descobriremos o valor de x 0. ( ) a Teorema.4 Se = 1 e 5 (mod 8) em que s = a (+3) 8 teremos que a congruência x a (mod ) aresentará como soluções s ou ( 1) 4 s. ( ) Demostração: Sendo = 1, Teorema.7, odemos escrever, elo Critério de Euler, que ( 1) 1 (mod ). Assim, a congruência s 4 = a ( 1) a a (mod ) resultará em s ±a (mod ) se s a (mod ). Consequentemente ( 1) 4 s será solução ara x a (mod ). Exemlo.8 Resolva a congruência x 5 (mod 9). Solução: É ossível vericar que 9 5 (mod 8) e, dessa maneira s = 5 (9+3) 8 = 5 4 = (mod 9). Mas também 16 = (mod 9) que ao fazermos 7 = 18 1 (mod 9) teremos x 0 = 1 16 = 19 e, ortanto a solução articular será x (mod 9) e x (mod 9). ( ) a Teorema.5 Se = 1 e 3 (mod 4), então existe exatamente duas soluções ara a congruência x a (mod ), onde x ±a (+1) 4 (mod ). Demonstração: O Critério de Euler nos fornece que (a (+1) 4 ) = a (+1) = a ( 1) a a (mod ). Uma alicação bastante útil é o cálculo de raízes quadradas onde, através da tecla de raiz quadrada, a maioria das calculadoras manuais a informam de maneira instantânea como, or exemlo, odemos observar que 9 5, No entanto, 36