Combinatória III Continuação

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1 1 Combinatória III Continuação Sumário 11 Introdução 2 12 O Triângulo Aritmético 4 1 O Binômio de Newton 5 1

2 Unidade 1 Introdução 11 Introdução A unidade se inicia com o triângulo de Tartaglia-Pascal, que é uma tabela de formato triangular (não limitada) de números naturais, fácil de construir e que permite obter de modo imediato os coecientes do desenvolvimento de (a+b) n Esse triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui ( ) e suas propriedades aritméticas foram estudadas pelo matemático francês Blaise Pascal ( ) Este escreveu o livro Traité du Triangle Arithmétique, publicado em 1654, razão pela qual o triângulo leva o seu nome Pascal, junto com Fermat, foi o criador da Análise Combinatória (assunto das Unidades 11-16) e da Teoria de Probabilidades, que estudaremos nas Unidades Dentre as propriedades notáveis do triangulo de Pascal, destacam-se a simetria axial com relação ao eixo vertical central e a relação de Stifel ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n + =, m 1 m m onde ( ) n = m número esse também denotado por C m n n! m!(n m)!, Essa relação é a base da construção do triângulo, pois permite determinar os elementos de uma linha conhecendo os elementos da linha anterior Destacamse também o Teorema das Linhas o Teorema das Colunas, dentre muitas outras propriedades A seguir, é apresentado o Binômio de Newton, ou seja, a fórmula que fornece o desenvolvimento de (a+b) n de um modo diferente do que foi feito na Unidade 4 2

3 Combinatória III Continuação Unidade 1 Aqui se utilizam argumentos combinatórios, ao invés dos argumentos algébricos que foram utilizados lá O Binômio de Newton era conhecido muito antes de Newton, mas leva o seu nome porque ele teve a formidável idéia de usar esse desenvolvimento com expoentes racionais para fazer uma generalização inesperada do clássico Teorema da Função Implícita para equações polinomiais f(x, Y ) = 0, onde f(0, 0) = 0, em condições onde não se aplica o teorema clássico, ou seja, quando f x (0, 0) = 0 e f (0, 0) = 0 y Como são denidos tais desenvolvimentos? Bem, formalmente, podemos denir, para n racional e m natural os coecientes binomiais como de costume ( ) n n(n 1) (n m + 1) = m m! Note que, se n ( n for inteiro (xado), então m) se anula para m n + 1, o que não é o caso se n for um número racional α que não é natural Nessa situação, o coecientes binomiais nunca se anulam Portanto, podemos escrever formalmente, como Newton fez, o desenvolvimento em série innita (1+X) α = 1+αX+ α(α 1) X 2 α(α 1) (α m + 1) + + X m + (11) 2 m! Essa série foi responsável pelo famoso paradoxo do binômio, que intrigou os matemáticos até ser denitivamente esclarecido por Gauss Esse paradoxo se obtém, por exemplo, fazendo em (1) a substituição X = 2 e α = 1, obtendo 1 = A razão do surgimento desse paradoxo, como explicado por Gauss, consiste em tratar somas innitas como se fossem nitas A igualdade só vale se a série da direita for convergente, o que só ocorre quando X < 1, e isso não é o caso quando X = 2 Por aí pode-se ter mais uma comprovação da genialidade de Gauss, que introduziu a noção de convergência para séries, iniciando o ramo da Análise Matemática Gauss fez o estudo completo da série hipergeométrica, que contém, como casos particulares, várias séries conhecidas Infelizmente, a matemática de Gauss é muito pouco abordada no Ensino Médio Para nalizar, resolva a lista de problemas propostos e leia a seção Sobre o Ensino de Combinatória

4 Unidade 1 O Triângulo Aritmético 12 O Triângulo Aritmético Chamamos de triângulo aritmético de Tartaglia 1 -Pascal 2 ao quadro abaixo, formado com os diversos valores de C p n C 0 0 C1 0 C1 1 C2 0 C2 1 C2 2 C 0 C 1 C 2 C C4 0 C4 1 C4 2 C4 C4 4 C5 0 C5 1 C5 2 C5 C5 4 C Observe que, enumerando as linhas e colunas a partir de zero, Cn p aparece na linha n e coluna p A propriedade que permite construir rapidamente o triângulo é a relação de Stifel, que diz que somando dois elementos lado a lado no triângulo obtém-se o elemento situado embaixo do da direita Assim, a próxima linha do triângulo seria 1, = 6, = 15, = 20, = 15, = 6, 1 Proposição 1 Relação de Stifel C p n + C p+1 n = C p+1 n+1 Demonstração Considere um conjunto A de n+1 elementos, um dos quais é x O número de subconjuntos de A com p+1 elementos é C p+1 n+1 Esse número é igual à soma do número de subconjuntos nos quais x não gura, Cn p+1, com o número de subconjuntos nos quais x gura, C p n Outra relação importante é dada pelo: 1 Tartaglia, Nicolo Fontana ( ), matemático italiano 2 Pascal, Blaise ( ), matemático, lósofo e físico francês Stifel, Michael (1487?-1567), algebrista alemão 4

5 Combinatória III Continuação Unidade 1 C 0 n + C 1 n + C 2 n + + C n n = 2 n Teorema 2 Teorema das Linhas Basta observar que os dois membros são iguais ao número de subconjuntos de um conjunto com n elementos Demonstração Um palácio tem 7 portas De quantos modos pode ser aberto o palácio? Solução Há C7 1 modos de abrir o palácio abrindo uma só porta, C2 7 modos de abrir o palácio abrindo duas portas, etc A resposta é Exemplo 1 C C C 7 7 = 2 7 C 0 7 = = 127 Finalmente, a relação que declara que, em cada linha, elementos equidistantes dos extremos são iguais C p n = C n p n Proposição Combinações Complementares Basta observar que o número de modos de escolher, entre n objetos, p objetos para usar é igual ao de escolher n p objetos para não usar Demonstração 1 O Binômio de Newton A fórmula do binômio de Newton 4 é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x + a) n Para obtê-la basta multiplicar (x + a) (x + a) (x + a) O termo genérico do produto é obtido tomando em p dos fatores, p = 0, 1, 2,, n, a segunda parcela e tomando nos restantes n p fatores a primeira parcela 4 Newton, Isaac ( ), matemático e físico inglês 5

6 Unidade 1 O Binômio de Newton Como isso pode ser feito de Cn p modos, o termo genérico do produto é Cp na p x n p e n (x + a) n = Cna p p x n p p=0 = C 0 na 0 x n + C 1 na 1 x n 1 + C 2 na 2 x n C n na n x 0 Exemplo 2 Determine o coeciente de x no desenvolvimento de ( x 4 1 x) 7 Solução O termo genérico do desenvolvimento é ( ) p 1 C p 7 (x 4 ) 7 p = C p x 7( 1) p x 28 5p O termo em x é obtido se 28 5p =, ou seja, se p = 5 O termo procurado é C 5 7( 1) 5 x = 21x O coeciente é 21 Exemplo Determine o termo máximo do desenvolvimento de ( ) 50 Solução O termo genérico do desenvolvimento é ( ) p 1 t p = Cna p p x n p = C p 50 Vamos descobrir para que valores de p os termos crescem Para isso, calculamos ( 1 t p t p 1 = C p 50 = = = ) p C p 1 50 ( 1 ) p 1 50! p!(50 p)! 50! p (p 1)!(51 p)! ( p 1 50! 1 (p 1)!(50 p)! p 1 p 1 ) 51 p 50! (p 1)!(50 p)! p 1 ( 51 4p p(51 p) ) 6

7 Combinatória III Continuação Unidade 1 Temos t p t p 1 positivo, isto é, t p > t p 1 quando 51 4p > 0 e temos t p < t p 1 quando 51 4p < 0 Portanto, t p > t p 1 quando p 12 e t p < t p 1 quando p 1 t 0 < t 1 < < t 11 < t 12 > t 1 > t 14 > > t 50 O termo máximo é Logo, t 12 = C Na Sala de Aula - Sobre o Ensino de Combinatória - Clique para ler 7

8 Unidade 1 O Binômio de Newton Exercícios Recomendados 1 Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar? 2 Determine p para que seja máximo: a) C p 10 b) C p 21 Determine o termo independente de x no desenvolvimento de ( x 1 x 2 ) 10 4 Determine o coeciente de x n no desenvolvimento de (1 x) 2 (x + 2) n 5 Determine o valor da soma C 0 n + C 1 n + 2 C 2 n + + n C n n 6 Se (1 + x + x 2 ) n = A 0 + A 1 x + A 2 x A 2n x 2n, determine o valor de: a) A 0 + A 1 + A A 2n b) A 0 + A 2 + A A 2n 7 Determine o termo máximo do desenvolvimento de ( ) Prove que >

9 Combinatória III Continuação Unidade 1 Sobre o Ensino de Combinatória Na Sala de Aula 1 Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais Isso obscurece as ideias gerais e torna as coisas mais complicadas Quem troca o princípio básico da contagem por fórmulas de arranjos, permutações e combinações tem diculdade de resolver até mesmo o nosso segundo exemplo (o das bandeiras) 2 Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros É importante, diante de uma solução errada, analisar porque ela está errada Você quer mostrar que é o bom ou quer que seus alunos aprendam? Se você prefere a segunda alternativa, resista à tentação de em cada problema buscar solução mais elegante O que deve ser procurado é um método que permita resolver muitos problemas e não um truque que resolva maravilhosamente um problema Sendo mais especíco: no exemplo 6, da seção de princípios básicos, foram apresentados dois métodos e um truque Não se deve mostrar o truque antes de mostrar os métodos A beleza de alguns truques só pode ser apreciada por quem tem domínio dos métodos Combinatória não é difícil; impossível é aprender alguma coisa apenas com truques em vez de métodos 4 Não dê preferência a raciocínios destrutivos, raciocínios do tipo contar a mais e depois descontar o que não servia e foi contado indevidamente Os raciocínios que resolvem a maior parte dos problemas de Combinatória são essencialmente construtivos Embora em certos casos seja melhor usar um raciocínio destrutivo, seus alunos só se sentirão seguros quando dominarem os raciocínios construtivos Por exemplo, no exemplo 7 da parte de combinações, a primeira solução apresentada é melhor do que a segunda para educar o raciocínio do aluno 5 Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é começar assim: esse é um problema de arranjos ou de combinações? Como se resolveriam, por exemplo, os problemas dos exemplos 2, e 5 da Unidade 11 e os problemas propostos números 1, 5, 8 e 10 da próxima unidade? Aliás, para que servem arranjos? 9