Exercícios de Analíse Combinatória. Binômio de Newton.

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Célia Fátima Lima Barreiro
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1 Exercícios de Analíse Combinatória. Binômio de Newton. QUESTÃO 1 A expressão é igual a A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) E ( ) QUESTÃO 2 O professor de Matemática aplicou um problema-desafio para os alunos: No intervalo aberto ]0, 2 [, quantas são as soluções da equação? (1 + sen x) 5 5 (1 + sen x) (1 + sen x) 3 10(1 + sen x) 2 + 5(1 + sen x) 1 = Os alunos Júnior, Daniela, Eduarda, Rebeca e Dan resolveram e determinaram as soluções abaixo para o desafio. Qual delas é a CORRETA? A) Júnior respondeu que o problema não tinha solução. B) Daniela respondeu que o problema tinha uma única solução. C) Eduarda respondeu que o problema tinha duas soluções. D) Rebeca respondeu que o problema tinha três soluções. E) Dan respondeu que o problema tinha 4 e somente 4 soluções. QUESTÃO 3 Qual o termo independente de x na expansão de (x 5 + 1/x 3 ) 8? a) 52. b) 53. c) 54. d) 55. e) 56. QUESTÃO 4 Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, na coluna II, as falsas. Sobre o binômio de Newton e análise combinatória, analise as proposições. 1

2 I II 0 0 Se a e b são soluções da equação, então a + b = O desenvolvimento de possui 16 termos O valor da expressão é 64 Dentre os subconjuntos de A = [2, 3, 4, 5, 6, 7], 49 não possuem quatro elementos. 4 4 Se, então n = 8 QUESTÃO 5 Sabendo-se que a diferença entre os números binomiais e é igual a zero, pode-se afirmar que o determinante da matriz é igual a 01) 3 02) 1 03) 2 04) 4 05) 6 QUESTÃO 6 Um casal convidou seis amigos para assistirem a uma peça teatral. Chegando ao teatro, descobriram que, em cada fila da sala, as poltronas eram numeradas em ordem crescente. Assim, por exemplo, a poltrona 1 de uma fila era sucedida pela poltrona 2 da mesma fila, que, por sua vez, era sucedida pela poltrona 3, e assim por diante. a) Suponha que as oito pessoas receberam ingressos com numeração consecutiva de uma mesma fila e que os ingressos foram distribuídos entre elas de forma aleatória. Qual a probabilidade de o casal ter recebido ingressos de poltronas vizinhas? b) Suponha que a primeira fila do teatro tenha 8 cadeiras, a segunda fila tenha 2 cadeiras a mais que a primeira, a terceira fila tenha 2 cadeiras a mais que a segunda e assim sucessivamente até a última fila. Determine o número de cadeiras da sala em função de n, o número de filas que a sala contém. Em seguida, considerando que a sala tem 144 cadeiras, calcule o valor de n. QUESTÃO 7 Na expansão de (x + 1/x 2 ) 12, qual o coeficiente independente de x? A) 491 B) 492 C)

3 D) 494 E) 495 QUESTÃO 8 Sabendo-se que o termo geral de um binômio de Newton é (x + a) n, com x IR, a IR e n IN. E que um termo qualquer de ordem (p + 1), segundo os expoentes decrescentes de x, é dado por. No desenvolvimento de, o valor do termo independente de x vale (A) 2 8 (B) 2 10 (C) 2 12 (D) 2 14 (E) 2 16 QUESTÃO 9 Considere o binômio em que n é um número natural maior ou igual do que 1. Pode-se afirmar que o desenvolvimento desse binômio possui um termo independente de x sempre que: A) n é múltiplo de 5 B) n é múltiplo de 2 C) n é múltiplo de 7 D) n é múltiplo de 3 QUESTÃO 10 O coeficiente do termo em x 3 no desenvolvimento de é igual a: 01) 15 02) 9 03) 8 04) 6 05) 3 QUESTÃO 11 Para os inteiros positivos k e n, com, sabe-se que. Então, o valor de é igual a 3

4 a). b). c). d). e). 4

5 QUESTÃO 1 B Pelo Binômio de Newton, temos: Analogamente: Assim, QUESTÃO 2 C Seja y = 1 + sen x. A equação fica: O primeiro membro da equação é o binômio (y 1) 5. Então: Portanto, a equação tem duas soluções. QUESTÃO 3 E 5

6 O termo geral da expansão de (x 5 + 1/x 3 ) 8 é dado por e será independente de x se 8i 24 = 0 ou i = 3. O termo será 8!/(3!5!) = 8 7 6/(3 2) = 56. QUESTÃO 4 GABARITO: I. 0, 2, 3, 4 II. 1 (0) Verdadeira Como = 21, temos. Além disso,. Então: Mas Logo, = 10. (1) Falsa O polinômio tem 9 termos. (2) Verdadeira (3) Verdadeira O conjunto A tem 6 elementos, portanto 2 6 = 64 subconjuntos. Os subconjuntos de 4 elementos são:. Logo, = 49 subconjuntos não possuem 4 elementos. (4) Verdadeira Pelo teorema das linhas do triângulo de Pascal, temos: Logo, 2 n =

7 2 n = 2 8 n = 8 QUESTÃO 5 01 QUESTÃO 6 GABARITO: a) Existem C8,2 = 8 7 / 2 = 28 pares diferentes de ingressos que podem ser dados para o casal. Dentre esses pares de ingressos, existem exatamente 7 que correspondem a cadeiras vizinhas. Assim, a probabilidade de o casal ter recebido um par de ingressos de cadeiras vizinhas é igual a 7/28 = 1/4, ou 25%. Resposta: A probabilidade de o casal ter recebido ingressos consecutivos é de 1/4, ou 25%. ou Existem P8 = 8! maneiras diferentes de distribuir 8 ingressos entre 8 pessoas. Dessas formas de distribuir os ingressos, o casal recebe bilhetes consecutivos em P2 P7 = 2! 7! dos casos. Assim, a probabilidade de o casal ter recebido um par de ingressos de cadeiras vizinhas é igual a 2! 7! / 8! = 1/4, ou 25%. Resposta: A probabilidade de o casal ter recebido ingressos consecutivos é de 1/4, ou 25%. b) O número de cadeiras na fila k é igual a ck = 6 + 2k. Somando o número de cadeiras das n filas, obtemos Se o teatro tem 144 cadeiras, então 7n + n = 144, ou n 2 + 7n 144 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos Assim, n = 16 ou n = 9. Como n > 0, o teatro tem 9 filas. Resposta: O teatro tem n 2 + 7n cadeiras. Se há 144 cadeiras, estas estão dispostas em 9 filas. 7

8 QUESTÃO 7 E O termo geral da expansão é C12 i x i (1/x 2 ) 12 i = C12 i x 3i 24 e, para o termo independente de x, temos 3i 24 = 0 e i = 24/3 = 8. O termo independente de x é C12 8 = /( ) = = 495. QUESTÃO 8 B De acordo com os expoentes decrescentes de x, temos no desenvolvimento: 8

9 O termo independente de x é quando o seu expoente é zero, então: 20 p = 0 QUESTÃO 9 A O desenvolvimento do binômio, para cada termo Tp + 1 será:, onde p é um número natural, p 0. Para que um termo seja independente,, ou seja,. Como p é natural, n deve ser um número múltiplo de 5. QUESTÃO No desenvolvimento do binômio de Newton, temos, para cada termo, em que, e. Assim, 9

10 O coeficiente do termo em x 3 é 15. QUESTÃO 11 D 10

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