Matemática Financeira e Estatística

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1 Matemática Financeira e Estatística Professor Guilherme Neves Professor Guilherme Neves 1

2 21. (AFTE-SEFIN-RO 2018/FGV) A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados mensalmente, é igual a a) 21,78%. b) 30,00%. c) 33,10%. d) 46,41%. e) 50,00%. O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. Vamos agora calcular a taxa efetiva trimestral. Gabarito: C 22. (AFTE-SEFIN-RO 2018/FGV) Em relação às operações de desconto, avalie se as afirmativas a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F). I. A taxa de desconto por dentro (racional) é inversamente proporcional ao valor presente e ao prazo da operação. II. A taxa de desconto por fora (comercial) é diretamente proporcional ao valor futuro. III. O valor do desconto por dentro é obtido pela multiplicação do valor futuro pela taxa de desconto, e, esse produto, pelo prazo da operação. Professor Guilherme Neves 2

3 Na ordem apresentada, as afirmativas são, respectivamente, a) V V V. b) V V F. c) V F F. d) F F V. e) F F F. O gabarito desta questão precisa ser alterado para a alternativa E. Pelo gabarito oficial da banca, fica indicado que a FGV adotou o regime simples. Mesmo que o regime adotado seja o simples, as três alternativas são falsas. Item I. Ora, duas variáveis são diretamente proporcionais quando é constante o quociente entre seus respectivos valores. Duas variáveis são inversamente proporcionais quando é constante o produto entre seus respectivos valores. Observe a fórmula do desconto simples por dentro:. A taxa de desconto seria inversamente proporcional ao valor presente e ao prazo da operação se a questão garantisse que o desconto é constante. Isso não foi garantido pela questão. Portanto, o item é falso. O item seria igualmente falso se o regime adotado fosse o composto. Item II. Observe o a fórmula do desconto simples por fora:. Se (e este é um grande SE) o desconto D fosse constante, a taxa, o valor futuro e o prazo seriam inversamente proporcionais. O item é falso. Item III. Se o regime adotado fosse o simples, o valor do desconto por dentro seria o produto do valor atual pela taxa de desconto e, esse produto, pelo prazo da operação. Professor Guilherme Neves 3

4 A sentença é igualmente falsa se o regime adotado fosse o composto. As três sentenças são falsas e o gabarito deve ser alterado para a alternativa E. 23. (AFTE-SEFIN-RO 2018/FGV) Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número 6 seja obtido ao menos duas vezes é, aproximadamente, igual a a) 0,05 b) 0,13 c) 0,25 d) 0,40 e) 0,50 Neste caso, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar. Queremos que o número 6 seja obtido ao menos duas vezes. Assim, não queremos que o número 6 seja obtido nenhuma vez e também não queremos que o número 6 seja obtida apenas uma vez. i) O número 6 não é obtido. Neste caso, os 4 resultados são números diferentes de 6. A probabilidade de um número diferente de 6 ser obtido é 5/6. Portanto, a probabilidade de obtermos 4 números diferentes de 6 é Poderíamos ter calculado esta probabilidade usando o teorema binomial: ii) O número 6 é obtido apenas uma vez Digamos que obter o número 6 seja o evento S. Não obter o número 6 é o evento N. Vamos calcular a probabilidade de obtermos a sequência SNNN. Professor Guilherme Neves 4

5 Devemos levar em consideração todas as permutações da sequência SNNN, que é: Assim, a probabilidade de obtermos o número 6 apenas uma vez é: Poderíamos ter calculado esta probabilidade usando o teorema binomial: Assim, a probabilidade total do evento complementar é: A probabilidade pedida é: Gabarito: B 24. (AFTE-SEFIN-RO 2018/FGV) Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média e variância. Nesse caso, avalie se as afirmativas a seguir são falsas (F) ou verdadeiras (V). I. A variável tem distribuição normal padrão. II. Se x é um número real,. III.. Na ordem apresentada, as afirmativas são, respectivamente, a) V - F - V. b) V - F - F. c) F - V - F. Professor Guilherme Neves 5

6 d) F - F - V. e) F - F - F. O item I é falso porque o denominador deveria ser e não. O item II é falso. A distribuição normal é simétrica em torno da média. Assim,. O item III é verdadeiro. Como a distribuição normal é simétrica em torno da média, então. Gabarito: D 25. (AFTE-SEFIN-RO 2018/FGV) Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores mínimo e máximo da probabilidade da interseção de A e B são a) 20% e 50%. b) 20% e 70%. c) 50% e 70%. d) 0% e 70%. e) 30% e 50%. Sabemos que: O valor máximo que a probabilidade da união pode assumir é 1. Neste caso, teremos o valor mínimo da probabilidade da interseção, pois estamos subtraindo a reunião na fórmula acima. Professor Guilherme Neves 6

7 Com isso já podemos marcar a resposta na alternativa C. A probabilidade da interseção assumirá seu valor máximo quando a união assumir seu valor mínimo. Observe que P(A) = 70% e P(B) = 80%. Assim, P(B) > P(A). O menor valor que a probabilidade da união pode assumir é 80%, que é o caso em que A é um subconjunto de B. Lembre-se que se A é subconjunto de B, então. Gabarito: C Professor Guilherme Neves 7