Aula 00 Aula Demonstrativa

Transcrição

1 Aula 00 Aula Demonstrativa Apresentação... 2 Resolução da prova de RLQ do concurso PECFAZ 2013/ESAF... 4 Relação das questões comentadas Gabaritos

2 Apresentação Olá, pessoal. Tudo bem? Esta é a aula demonstrativa de Raciocínio Lógico Quantitativo em exercícios comentados para AFRFB. Vamos basear o nosso curso no último edital publicado em Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira, Estatística e Física. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). Neste curso abordaremos todo o conteúdo do edital publicado em março de A parte teórica será vista ao longo das resoluções dos exercícios e através de resumos. O conteúdo programático de Raciocínio Lógico Quantitativo dos concursos da Receita Federal são enormes e englobam praticamente toda a Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico, Estatística Descritiva e Estatística Inferencial. Muita coisa fica implícita no conteúdo e vamos nos basear no histórico da ESAF para que possamos estudar tudo que possa cair na sua prova. Observe, por exemplo, que a ESAF coloca o tópico Álgebra. O que ele pode cobrar em álgebra? Ora, a ESAF já cobrou propriedades da função modular, progressão geométrica, divisão de polinômios, etc. É por isso que não podemos ficar restritos ao que tem escrito no edital. A ESAF é uma banca muito tradicional e que possui um vasto banco de provas. Sabemos que há assuntos preferidos. É o caso de Análise Combinatória (Combinações, Arranjos e Permutações), Análise Combinatória, Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares... Nestas aulas com assuntos mais importantes veremos um pouco de teoria para que tenhamos condições de dar dicas mais quentes nas resoluções das questões. 2

3 Nesta aula demonstrativa, resolverei a prova de Raciocínio Lógico Quantitativo do concurso da PECFAZ, realizada em 2013 pela ESAF. Foi uma prova relativamente fácil, se comparada com as provas para AFRFB. Todas as questões das últimas provas para AFRFB serão resolvidas durante o nosso curso. Vamos seguir o seguinte cronograma: Aula Conteúdo 00 Resolução da prova de RLQ do concurso PECFAZ 2013/ESAF 01 Combinações, Arranjos e Permutação. Probabilidade. 02 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); 03 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 04 Geometria Básica. Trigonometria. Álgebra. 05 Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 06 Estruturas Lógicas. Lógica de Argumentação. Diagramas Lógicos. Raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos. 07 Estatística Descritiva 08 Variáveis Aleatórias. Principais Distribuições de Probabilidade 09 Amostragem 10 Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. Vamos começar? 3

4 Resolução da prova de RLQ do concurso PECFAZ 2013/ESAF 01. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 Resolução Vamos considerar que o número de homens é h e o número de mulheres é m. Sabemos que há 63 pessoas, ou seja, a soma do número de homens com o número de mulheres é 63. h + m = 63 Sabemos ainda que a razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. h m = 4 5 Temos, portanto, um sistema de equações para resolver. Existem várias maneiras de resolver este sistema. Como não estudamos teoria alguma ainda, vou resolver da maneira mais comum. Utilizaremos o método da substituição. Na primeira equação, vamos isolar uma das incógnitas: h = 63 m Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. h m = m m = 4 5 Apliquemos a propriedade fundamental das proporções: em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 4

5 Muita gente gosta de falar de uma maneira mais simples: multiplicando cruzado. 4 m = 5 (63 m) 4m = 315 5m 4m + 5m = 315 9m = 315 m = = 35 Concluímos que o número de mulheres é 35. Como o total de pessoas é 63, então o número de homens é h = = 28. A questão pede a diferença entre o número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria. m h = = 7 Poderíamos resolver esta questão um pouco mais rápido utilizando propriedades das proporções que serão estudadas no nosso curso. Letra B 02. (PECFAZ 2013/ESAF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P P é: a) uma tautologia. b) equivalente a proposição ~p p. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. Resolução Esta questão foi muito fácil. Depois que você estudar a aula 6 do nosso curso, tenho certeza que você responderá mentalmente. Mas ainda estamos na aula demonstrativa. Até agora aprendemos absolutamente nada sobre lógica proposicional. Vamos lá. Temos uma proposição composta pelo conectivo e. Veremos que o símbolo significa e. Veremos também que uma proposição composta pelo conectivo e é chamada de conjunção. Disjunção é uma proposição composta pelo conectivo ou, cujo símbolo é. Assim, já podemos descartar a letra E. 5

6 Vamos construir a tabela-verdade da proposição ~P P. Devemos ligar a proposição P com a sua negação ~P através do conectivo e. Como temos apenas uma proposição simples envolvida, a nossa tabela-verdade terá apenas 2 linhas, pois há apenas dois possíveis valores lógicos para a proposição P: V ou F. P ~P V F ~P P A proposição ~P é a negação da proposição P, ou seja, seus valores são os valores opostos aos de P. P ~P V F F V ~P P Vamos agora ligar as duas proposições P e ~P através do conectivo e. Uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira quando os dois componentes são simultaneamente verdadeiros. Observe que na primeira linha temos apenas um componente verdadeiro. O mesmo ocorre na segunda linha. Assim, concluímos que a composta ~P P é falsa nas duas linhas. P ~P ~P P V F F F V F Uma proposição que é sempre falsa recebe o nome de contradição. Letra C Todos os conceitos vistos nesta questão serão detalhadamente estudados no nosso curso. 03. (PECFAZ 2013/ESAF) A negação da proposição Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União é: a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União. b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União. d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União. Resolução 6

7 Esta questão também foi bem trivial. Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo e. A regra que fornece a negação de uma proposição composta pelo conectivo e é conhecida como Lei de De Morgan, em homenagem ao matemático Augustus De Morgan. Pois bem, para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Brasília é a Capital Federal Negação Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União ou os Territórios Federais não integram a União Letra B 04. (PECFAZ 2013/ESAF) Considere verdadeiras as premissas a seguir: se Ana é professora, então Paulo é médico; ou Paulo não é medico, ou Marta é estudante; Marta não é estudante. Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se concluir que: a) Ana é professora. b) Ana não é professora e Paulo é médico. c) Ana não é professora ou Paulo é médico. d) Marta não é estudante e Ana é Professora. e) Ana é professora ou Paulo é médico. Resolução Em um argumento, devemos sempre supor que todas as premissas são verdadeiras. Se Ana e professora, então Paulo e médico. V Ou Paulo não é medico, ou Marta é estudante. V Marta não é estudante. V 7

8 Observe a última premissa. Trata-se de uma proposição simples. Estamos partindo do pressuposto que Marta não é estudante. Ora, se a proposição Marta não é estudante é verdadeira, a proposição Marta é estudante será falsa. Ou Paulo não e medico, ou Marta e estudante. V Ainda vamos estudar detalhadamente as regras dos conectivos. Mas já adianto que uma proposição composta pela disjunção exclusiva ou..., ou... é verdadeira quando exatamente um de seus componentes for verdadeiro. Como o segundo componente (Marta é estudante) é falso, o primeiro componente (Paulo não é médico) será verdadeiro. V F Ou Paulo não e medico, ou Marta e estudante. V Ora, se a proposição Paulo não é médico é verdadeira, a proposição Paulo é médico é falsa. Se Ana e professora, então Paulo e médico. V Vamos agora aprender mais uma regrinha. Para que uma proposição composta pelo condicional se..., então... seja verdadeira, não podemos permitir a ocorrência de VF, nesta ordem. Ou seja, se o primeiro componente for verdadeiro, o segundo componente não poderá ser falso. Se o segundo componente for falso, o primeiro não poderá ser verdadeiro. Como o segundo componente (Paulo é médico) é falso, o primeiro componente não poderá ser verdadeiro. Assim, a proposição Ana é professora é falsa. F F Se Ana e professora, então Paulo e médico. Concluímos que a proposição Ana não é professora é verdadeira. Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. a) Ana é professora. (FALSO) b) Ana não é professora e Paulo é médico. Esta proposição é falsa, pois uma proposição composta pelo conectivo e só é verdadeira se os dois componentes forem verdadeiros. V F F 8

9 c) Ana não é professora ou Paulo é médico. Esta proposição é verdadeira, pois para que uma proposição composta pelo ou seja verdadeira, precisamos que pelo menos um dos componentes seja verdadeiro. Como a proposição Ana não é professora é verdadeira, a regra foi satisfeita. d) Marta não é estudante e Ana é Professora. Novamente temos o conectivo e. Esta proposição só poderia ser verdadeira se os dois componentes fossem verdadeiros. Como a proposição Paulo é médico é falsa, a regra do conectivo e não foi satisfeita. e) Ana é professora ou Paulo é médico. Os dois componentes são falsos, por isso a proposição composta é falsa. Gabarito: C 05. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se a 1 = 2 e a 5 = 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a: a) 26 b) 22 c) 30 d) 28 e) 20 Resolução Uma sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real q. O número real q é denominado razão da progressão geométrica. a 1 é o primeiro termo, a 2 é o segundo termo, e assim por diante. O termo a n de ordem n é chamado n-ésimo termo. A questão acima indica que o primeiro termo é 2 e o quinto termo é 162. Para uma progressão geométrica, estes termos são bem pequenos. Então poderíamos achar a razão testando valores. Será que a razão é 2? Neste caso, cada termo será o dobro do anterior. (2, 4, 8, 16, 32). Percebemos que o quinto termo não é 162 e, portanto, a razão não é

10 Será que a razão é 3? Neste caso, cada termo será o triplo do anterior. (2, 6, 18, 54, 162). Observe que o quinto termo é igual a 162. Concluímos que de fato a razão é 3. A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: Letra A = 26 Agora vamos resolver a questão de uma maneira mais formal. E se a razão não fosse inteira, como eu faria? Vamos lá. Neste caso deveríamos saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Esta é uma importantíssima fórmula que permite calcular qualquer termo de uma P.G.. A fórmula é a seguinte: a n = a 1 q n 1 Em que a 1 é o primeiro termo, q é a razão da progressão e a n é o termo de ordem n (n-ésimo termo). No nosso caso, n=5. a 5 = a 1 q 5 1 a 5 = a 1 q = 2 q 4 q 4 = 81 Agora perguntamos: qual o número que elevado a 4 é igual a 81? Para responder, basta fatorar o número 81 e perceber que 3 4 = 81. Portanto, q = 3 Como a razão é igual a 3, os termos vão triplicando. Começamos com o número 2, que é o primeiro termo. (2, 6, 18, 54, 162). A questão pede a soma dos três primeiros termos da P.G.: = (PECFAZ 2013/ESAF) A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é igual a: 10

11 a) b) c) d) e) Resolução Agora estamos diante de uma progressão aritmética (P.A.). Na progressão aritmética, cada termo é a soma do anterior com uma constante denominada razão. Na sequência do enunciado, a razão é 3, já que cada termo é igual ao anterior somado ao número 3. r = 3 Aqui também temos uma fórmula do termo geral, ou seja, uma fórmula que permite calcular qualquer termo. Ela é bem parecida com a fórmula da P.G., que acabamos de ver na questão anterior. Ei-la: a n = a 1 + (n 1) r Vamos calcular o centésimo termo? Para isso, devemos fazer n = 100. a 100 = a 1 + (100 1) r a 100 = a r Já vimos que a razão é igual a 3. O primeiro termo da P.A. é 4. O centésimo termo da P.A. é 301. a 100 = = 301 Estamos interessados na soma dos 100 primeiros termos da P.A.. Para tanto, devemos aplicar a fórmula dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. No nosso caso, temos que n = 100. S n = (a 1 + a n ) n 2 S 100 = (a 1 + a 100 ) Foi por isso que eu calculei o centésimo termo da P.A.. Vamos substituir os valores. 11

12 S 100 = ( ) = Letra E 07. (PECFAZ 2013/ESAF) No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de uma empresa: Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a probabilidade de que uma mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: a) 22% b) 23% c) 20% d) 24% e) 21% Resolução Nesta prova da PECFAZ, tivemos duas questões sobre probabilidade. Esta, que é bem fácil, e a próxima, que é um pouquinho difícil. Nesta questão temos um total de =150 pessoas. Queremos calcular a probabilidade de que uma mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta. Há 33 mulheres que desempenham a função de serviços gerais. Portanto, a probabilidade pedida é 33/150. Para transformar esta fração em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. Letra A P = % = 22% (PECFAZ 2013/ESAF) Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 12

13 30% das vezes e, quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado dia, Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? a) 30% b) 15% c) 20% d) 10% e) 25% Resolução Já comentei que esta questão é um pouquinho difícil. Ela envolve o conceito de probabilidade condicional (ou probabilidade a posteriori ). Poderíamos resolvêla com a fórmula da probabilidade condicional, mas isto tiraria a beleza da questão e também não seria tão simples para explicar em uma aula demonstrativa. Vamos resolver de uma maneira mais intuitiva. Vamos supor que Beatriz fez o mesmo trajeto 100 vezes. Ela foi ao trabalho de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus em 10% das vezes. Concluímos que das 100 vezes que ela foi ao trabalho, 90 vezes ela foi de carro e 10 vezes ela foi de ônibus. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes = 3 Ou seja, das 10 vezes que Beatriz foi de ônibus, ela chegou atrasada 3 vezes. Obviamente, ela chegou no horário correto em 7 vezes. Quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes = 9 Das 90 vezes que Beatriz foi de carro, ela chegou atrasada 9 vezes. Obviamente, ela chegou no horário correto em 81 vezes. Resumindo, os 100 dias estão assim organizados. - Chegou atrasada 3 vezes de ônibus. - Chegou atrasada 9 vezes de carro. - Chegou no horário correto 7 vezes de ônibus. - Chegou no horário correto 81 vezes de carro. 13

14 Esta é a organização a priori do nosso espaço amostral, ou seja, de todas os casos possíveis. Em um determinado dia, Beatriz chegou atrasada ao trabalho. O nosso espaço amostral será reduzido. Não estamos mais interessados nos dias em que ela chegou no horário correto. - Chegou atrasada 3 vezes de ônibus. - Chegou atrasada 9 vezes de carro. - Chegou no horário correto 7 vezes de ônibus. - Chegou no horário correto 81 vezes de carro. O nosso espaço amostral será reduzido para os 12 dias em que ela chegou atrasada. Queremos saber a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia em que ela chegou atrasada. Das 12 vezes que ela chegou atrasada, ela foi de ônibus em 3 vezes. Assim, a probabilidade pedida é 3/12. Para transformar esta probabilidade em porcentagem, devemos multiplicá-la por 100%. Letra E P = 3 12 = 1 100% = 25% (PECFAZ 2013/ESAF) O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem é igual a: a) 130 b) 124 c) 120 d) 115 e) 136 Resolução A aula de Análise Combinatória será uma das mais interessantes e mais importantes de todo o curso. É um assunto ADORADO pela ESAF. Infelizmente, esta questão da PECFAZ foi muito, muito fácil. Queremos calcular a quantidade de anagramas que começam com FA e nessa ordem. Ora, queremos então permutar as letras Z,E,N,D,A. Queremos calcular a permutação simples de 5 objetos. Aprenderemos na nossa aula de combinatória que a permutação de n objetos é dada pelo fatorial de n. No nosso caso, devemos calcular o fatorial de 5. P 5 = 5! = =

15 Letra C 10. (PECFAZ 2013/ESAF) Uma comissão com 6 pessoas será formada para representar o Ministério da Fazenda em um congresso internacional. Essas 6 pessoas serão selecionadas de um grupo formado por 5 homens e 6 mulheres. O número de possibilidades de nessa comissão termos 4 pessoas do mesmo sexo é igual a: a) 210 b) 215 c) 245 d) 225 e) 240 Resolução O enunciado desta questão está impreciso. Pelo gabarito fornecido pela ESAF, o enunciado deveria estar assim: O número de possibilidades de nessa comissão termos exatamente 4 pessoas do mesmo sexo é igual a: Este tipo de imprecisão é bastante comum na ESAF. Vamos em frente. Se queremos 4 pessoas do mesmo sexo, então há duas possibilidades. i) 4 homens (escolhidos entre 5) e 2 mulheres (escolhidas entre 6). ii) 4 mulheres (escolhidas entre 6) e 2 homens (escolhidos entre 5). Para calcular estas quantidades de possibilidades, devemos ter algum conhecimento sobre combinações, assunto da primeira aula do curso. Utilizamos combinações sempre que a ordem dos objetos não alterar o agrupamento. A ordem dos homens e das mulheres é importante na formação do agrupamento? Não! Por esta razão utilizaremos combinações. Vejamos um exemplo de como calcular as combinações. Imagine que eu tenho 5 homens disponíveis e preciso escolher 2 deles. Neste caso, o número que queremos calcular é indicado por C 5,2. O primeiro número (5) é a quantidade de objetos disponíveis. O segundo número (2) é a quantidade de objetos que serão escolhidos. O número de combinações sempre será uma fração. C 5,2 = 15

16 No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor número. C 5,2 = 2 1 Quantos fatores há no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o outro número, no caso o número 5, em dois fatores. Muito mais fácil, não? C 5,2 = = 10 Vamos agora calcular as combinações do nosso problema. i) 4 homens (escolhidos entre 5) e 2 mulheres (escolhidas entre 6). C 5,4 C 6,2 = = 75 ii) 4 mulheres (escolhidas entre 6) e 2 homens (escolhidos entre 5). C 6,4 C 5,2 = = 150 O total de possibilidades é igual a = 225. Letra D Ficamos por aqui. Espero que vocês tenham gostado da aula demonstrativa. Um forte abraço, bons estudos e até a próxima aula. Guilherme Neves 16

17 Relação das questões comentadas 01. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) (PECFAZ 2013/ESAF) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~P P é: a) uma tautologia. b) equivalente a proposição ~p p. c) uma contradic ão. d) uma continge ncia. e) uma disjunc ão. 03. (PECFAZ 2013/ESAF) A negação da proposição Brasília é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União é: a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a União. b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a União. d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a União. e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a União. 04. (PECFAZ 2013/ESAF) Considere verdadeiras as premissas a seguir: se Ana é professora, então Paulo é médico; ou Paulo não é medico, ou Marta é estudante; Marta não é estudante. 17

18 Sabendo-se que os três itens listados acima são as únicas premissas do argumento, pode-se concluir que: a) Ana é professora. b) Ana não é professora e Paulo é médico. c) Ana não é professora ou Paulo é médico. d) Marta não é estudante e Ana é Professora. e) Ana é professora ou Paulo é médico. 05. (PECFAZ 2013/ESAF) Em uma progressão geométrica, tem-se a 1 = 2 e a 5 = 162. Então, a soma dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a: a) 26 b) 22 c) 30 d) 28 e) (PECFAZ 2013/ESAF) A soma dos 100 primeiros termos da sequência (4, 7, 10, 13, 16,...) é igual a: a) b) c) d) e) (PECFAZ 2013/ESAF) No quadro a seguir, tem-se a listagem dos 150 funcionários de uma empresa: Uma bicicleta será sorteada entre os funcionários dessa empresa; a probabilidade de que uma mulher que desempenha a função de serviços gerais ganhe a bicicleta é igual a: 18

19 a) 22% b) 23% c) 20% d) 24% e) 21% 08. (PECFAZ 2013/ESAF) Beatriz é servidora do Ministério da Fazenda e costuma se deslocar de casa para o trabalho de carro próprio ou de ônibus. Sabe-se que Beatriz se desloca de carro próprio em 90% das vezes e de ônibus em 10% das vezes. Quando Beatriz se desloca de ônibus, chega atrasada em 30% das vezes e, quando se desloca de carro próprio, chega atrasada em 10% das vezes. Em um determinado dia, Beatriz chegou atrasada ao trabalho. Qual a probabilidade de ela ter ido de ônibus neste dia? a) 30% b) 15% c) 20% d) 10% e) 25% 09. (PECFAZ 2013/ESAF) O número de anagramas da palavra FAZENDA que começam com FA e nessa ordem é igual a: a) 130 b) 124 c) 120 d) 115 e) (PECFAZ 2013/ESAF) Uma comissão com 6 pessoas será formada para representar o Ministério da Fazenda em um congresso internacional. Essas 6 pessoas serão selecionadas de um grupo formado por 5 homens e 6 mulheres. O número de possibilidades de nessa comissão termos 4 pessoas do mesmo sexo é igual a: a) 210 b) 215 c) 245 d) 225 e)

20 Gabaritos 01. B 02. C 03. B 04. C 05. A 06. E 07. A 08. E 09. C 10. D 20