INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

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1 INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação 2) Fundamentos 2.1) Conjuntos e Sub-conjuntos 2.2) Números Inteiros 2.3) Funções 2.4) Seqüências e Somas 2.5) Crescimento de Funções

2 Divisão nos Números Inteiros Este tópico está relacionado à Teoria de Números. Números inteiros e suas propriedades. Veremos conceitos básicos de Teoria de Números, incluindo divisibilidade, máximos divisores comuns e aritmética modular. Noções básicas: divisibilidade e números primos. Aplicações de aritmética modular: - geração de números pseudo-aleatórios - alocações de memória computacional - criptografia

3 Divisão nos inteiros Quando um inteiro é dividido por um 2 o inteiro não-nulo, nulo, o quociente pode ou não ser um inteiro. Exemplo: 12/3 = 4 é um inteiro 11/4 = 2.75 não é Se a e b são inteiros com a 0, dizemos que a divide b se existe um inteiro c tal que b=a.c - quando a divide b, dizemos que a é um fator de b e que b é um múltiplo de a - a divide b é denotado por a b - escrevemos a b se a não divide b - Exemplo: : 3 7 e 3 12

4 Divisão nos inteiros Ilustração: : inteiros divisíveis pelo inteiro positivo n: -3n -2n -1n 0 1n 2n 3n

5 Divisão nos inteiros Teorema: : Sejam a, b e c números inteiros. Então: 1. Se a b e a c, então a (b+c). Exemplo: : 7 14 e 7 21, então Se a b, então a b.c, para qualquer inteiro c. Exemplo: : 3 6, então Se a b e b c, então a c. Exemplo: : 5 15 e 15 45, então 5 45

6 Divisão nos inteiros Teorema (cont.): Prova de 1: se a b e a c então a (b+c). Se a b e a c, então, da definição de divisibilidade, existem inteiros s e t tais que b=a.s e c=a.t Portanto: b+c = a.s + a.t = a.(s+t) Logo: a divide b+c

7 Números primos Um inteiro positivo > 1 é chamado de primo se os únicos fatores positivos de p são 1 e p. - um inteiro positivo > 1 que não é primo é chamado de composto. Exemplo: : 7 é primo (fatores 1 e 7) 9 é composto (divisível por 3) Utilidade dos números primos: servem de base para a construção de números inteiros.

8 Números primos Teorema Fundamental da Aritmética: Todo inteiro positivo n pode ser escrito de maneira única como o produto de números primos,, onde os fatores primos são escritos em ordem crescente de grandeza. Exemplo: : as fatorações de 100, 641, 999 e 1024 em números primos são dadas por: 100 = = = = = Note que o fator primo pode aparecer mais do que uma vez

9 Números primos É frequentemente importante mostrar que um dado inteiro é primo. - por exemplo, em Criptografia números primos grandes são usados em alguns métodos para tornar secretas as mensagens. Como fazer? Um procedimento para mostrar que um dado inteiro é primo é baseado no teorema a seguir.

10 Números primos Teorema: : Se n é um inteiro composto, então n tem um divisor primo n. Prova: - se n é composto, ele tem um fator 1<a<n - logo, n=a.b, sendo a e b inteiros positivos > 1 - note que: ou a n ou b n (senão ocorreria a.b > n. n = n) - ou seja: com certeza, n tem pelo menos um divisor positivo que não excede n - por sua vez, este divisor ou é primo ou, pelo Teor. Fund.. da Aritmética, tem um divisor primo. - em ambos os casos fica garantido que n tem que ter um divisor primo n

11 Números primos Conclusão: o teorema mostra que um inteiro é primo se ele não for divisível por nenhum primo à sua raiz quadrada. Exemplo: : Mostre que 101 é primo. Solução: - os únicos primos que não excedem 101 são 2,3,5 e 7 - como 101 não é divisível vel por nenhum deles (o quociente não é inteiro), 101 é primo. Pelo que foi visto até agora, sabe-se se que todo inteiro tem uma fatoração em números primos. Procedimento para obter os fatores?

12 Fatoração em primos 1. Comece dividindo n por sucessivos primos, a partir de 2 - se n tiver um fator primo, um fator primo n deve ser encontrado - se nenhum primo n for encontrado, n é ele próprio prio primo (FIM). 2. Se um fator primo p for encontrado, fatore n/p - note que n/p não tem fatores primos < p 3. Se n/p não tiver um fator primo que seja p e n/p, ele mesmo é primo (FIM). 4. Senão, n/p deverá ter o seu fator primo q: - procure a fatoração de n/(p.q) 5. Repetir o procedimento até que a fatoração tenha sido reduzida a um primo.

13 Fatoração em primos Exemplo: : Encontre a fatoração de Solução: : Realizar divisões com primos sucessivos: 1. 7 divide 7007, pois 7007/7 = divide também 1001, pois 1001/7 = Continuamos dividindo 143 por primos sucessivos (podemos começar por 7): - o 7 não divide 143, mas o próximo primo, 11, divide: 143/11 = 13 - como 13 é primo, o procedimento está completo. 4. Logo: 7007 =

14 Algoritmo para a divisão de inteiros Um inteiro pode ou não ser divisível por outro. Quando um inteiro é dividido por um inteiro positivo, sempre há um quociente e um resto. O algoritmo da divisão: : sejam m um inteiro e n um inteiro positivo. Então há inteiros únicos q e r, com (0 r < n), tais que: m = q.n + r

15 Algoritmo para a divisão de inteiros Ilustração: se m não é múltiplo de n, a sua localização na reta dos múltiplos de n é: seja q.n o 1 o múltiplo de n à esquerda de m: 0 n 2.n 3.n q.n m (q+1).n então r é a distância de q.n até m, de modo que: 0 r<n e m=q.n+r r Definição: : n é o divisor,, m é o dividendo,, q é o quociente e r é o resto.

16 Algoritmo para a divisão de inteiros Exemplo: : quais são o quociente e o resto quando 101 é dividido por 11? Solução: : 101 = q=9 r=2 Exemplo: : quais são o quociente e o resto quando -11 é dividido por 3? Solução: -11 = 3 (-4) Questão: : por que não se pode escrever: -11 = 3 (-5) 3 + 4? ou: -11 = 3 (-3) 3 3) - 2? Note que o inteiro m é divisível por n se e somente se o resto é zero quando m é dividido por n.

17 Máximo Divisor Comum É o maior inteiro que divide 2 inteiros ao mesmo tempo. Definição: : Sejam a e b inteiros, com pelo menos um dos dois não-nulo. nulo. O maior inteiro d tal que d a e d b é chamado de máximo divisor comum de a e b e é denotado MDC(a,b). Em notação matemática: MDC(a,b)=max max{d d a d b} Uma forma de encontrar o MDC de 2 inteiros é encontrar todos os divisores positivos comuns de ambos os inteiros e pegar o maior. Exemplo: MDC(24,36) = max{1,2,3,4,6,12} = 12 MDC(17,22) = max{1} = 1

18 Máximo Divisor Comum Os inteiros a e b são primos entre si se o seu máximo divisor comum é igual a 1. Exemplo: : 17 e 22 são primos entre si pois MDC(17,22)=1. Os inteiros a 1,a 2,...,a n são 2 a 2 primos entre si se MDC(a i,a j )=1, para 1 i < j n. Exemplo: : Verifique se são 2 a 2 primos entre si os inteiros 10,17 e 21 e também os inteiros 10,19 e 24. Solução: MDC(10,17)=1, MDC(10,21)=1 e MDC(17,21)=1 Como MDC(10,24)=2 > 1, os inteiros 10, 19 e 24 não são 2 a 2 primos entre si.

19 Método para o cálculo do MDC: Pode-se utilizar as fatorações em números primos dos inteiros positivos a e b: a = p a 1 p a p a n n b = p b 1 p b p b n n onde os p i s são os primos que são fatores de a e/ou b (os mesmos) Então o MDC(a,b) pode ser calculado como: MDC min( a1, b1 ) min( a2, b2 ) min( a, n ) (, ) n b a b = p1 p2 pn Exemplo: MDC(60,18)=? 60= = MDC(60,18)= =6

20 Cálculo do MDC (algoritmo de Euclides) Exemplo: : calcule o MDC(91,287). Dividir 287 por 91, obtendo: 287 = note que todo divisor de 91 e 287 deve ser divisor de: = 14 - por outro lado, todo divisor de 91 e 14 deve ser divisor de: 287 = logo, {287,91 e 14} têm os mesmos divisores e: MDC(91,287) = MDC(91,14) Próximo passo: dividir 91 por 14, obtendo: 91= Em seguida: 14 = 7.2 Como 7 divide 14, segue que MDC(14,7)=7 Logo MDC(287,91)= MDC(91,14)= MDC(14,7)=7.

21 Cálculo do MDC (algoritmo de Euclides) Resumo: - aplicar o algoritmo da divisão sucessivas vezes - o MDC procurado é o último resto não-nulo nulo das divisões Exemplo: : Encontre o MDC de 414 e 662 usando o algoritmo de Euclides. Solução: 662 = = = = = 2 41 Logo, MDC(662,414)=2, pois 2 é o último resto não-nulo. nulo.

22 O algoritmo de Euclides Em pseudocódigo: function MDC(a,b) x:=a y:=b while y 0 r:=x mod y x:=y y:=r end {MDC(a,b) é o valor de x}

23 Mínimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum dos inteiros positivos a e b é o menor inteiro positivo que é divisível tanto por a como por b. É denotado por MMC(a,b). Em notação matemática: MMC(a,b)=min{k a k b k} Exemplo: MMC(12,18)=36

24 Método para o cálculo do MMC: Também pode vir das fatorações em números primos dos inteiros positivos a e b: a a a a = p 1 p p n 2 2 b b bn b = p 1 p2 2 p 1 n 1 n onde os p i s são fatores de a e/ou b (os mesmos primos). Então o MMC(a,b) pode ser calculado como: MMC max( a1, b1 ) max( a2, b2 ) max( a, n ) (, ) n b a b = p1 p2 pn Exemplo: MMC(95256,432)=? 95256= = MMC(95256,432)=

25 MDC e MMC Teorema: : Sejam a e b inteiros positivos. Então: Prova: :? a.b = MDC(a,b). MMC(a,b) Exemplo: : Sejam a=540, b=504 Solução: 540 = = MDC( , )= =36 MMC( , )= = = = 36x7560

26 Aritmética Modular Em muitas situações estamos interessados apenas no resto da divisão de um inteiro por outro. Por exemplo, quando perguntamos que horas serão daqui a 50 horas, o que nos interessa é apenas o resto quando 50 + hora atual é dividido por Exemplo: hora atual = 20:00 hora daqui a 50 horas = resto de 70/24 = 22:00 Como o que nos interessa em muitas situações são apenas os restos, temos notações especiais para eles.

27 Aritmética modular Seja a um inteiro e m um inteiro positivo. Denota-se por a mod m o resto que é obtido quando a é dividido por m. segue desta definição que a mod m é o inteiro r tal que a=q.m+r e 0 0 r<m Exemplo: 17 mod 5 = 2 (17 = ) -133 mod 9 = 2 (-133 = ) 2001 mod 101 = 82 (2001= )

28 Aritmética modular e congruência Existe também uma notação para indicar que 2 inteiros têm o mesmo resto quando divididos por um mesmo inteiro m. Se a e b são inteiros e m é um inteiro positivo, então a é dito ser congruente a b módulo m se m divide a-b a b (m (a-b)). usa-se se a notação a b (mod( m) se a e b não são congruentes módulo m, escreve-se: se: a b (mod( m) Observe que a b (mod( m) se e somente se: a mod m = b mod m

29 Aritmética modular e congruência Exemplo: : Determine se 17 é congruente a 5 módulo 6 e também se 24 e 14 são congruentes módulo 6. Solução: 6 (17-5), pois = 12, logo: (mod( 6) 24-14=10, mas 6 não divide 10, logo: (mod( 6) Os teoremas a seguir indicam maneiras úteis de se trabalhar com congruências.

30 Aritmética modular e congruência Teorema: : Seja m um inteiro positivo. Os inteiros a e b são congruentes módulo m se e somente se existe um inteiro k tal que a = b + k.m Prova: 1) se a b a b (mod( m), então m (a-b) existe um inteiro k tal que a-b=k.ma a=b+k.m 2) conversamente: se existe um inteiro k tal que a=b+k.m, então k.m=b-a m divide a-ba a b b (mod( m)

31 Aritmética modular e congruência Teorema: : Seja m um inteiro positivo. Se a b a b (mod( m) e c d c d (mod( m), então: a+c b+d (mod( m) a.c b.d (mod( m) Prova: : como a b a b (mod( m) e c d c d (mod( m), háh inteiros s e t com b=a+s.m e d=c+t.m b+d = (a+s.m) + (c+t.m) = (a+c) + (s+t).m a+c b+d (mod( m) b.d = (a+s.m).(c+t.m) = a.c + (a.t + c.s + stm).m a.c b.d (mod( m)

32 Aritmética modular e congruência Exemplo: : Como (mod( 5) e 11=1 (mod( 5), o teorema anterior garante que: (mod( 5), ou seja, 18 3 (mod( 5) (mod( 5), ou seja, 77 2 (mod( 5)

33 Aplicações da aritmética modular Criptologia: há um grande número de técnicas baseadas em aritmética modular para criptografar blocos de letras. Uma das mais antigas é o chamado cifrador de César : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z a b c Para expressar este processo matematicamente, atribui-se um número inteiro entre 0 e 25 para cada letra: - por exemplo, substitui-se se a por 0, k por 10,... O cifrador de César pode ser representada pela função: f(p) = (p + 3) mod 26 onde p é um inteiro entre 0 e 25.

34 Aplicações da aritmética modular Exemplo: : Use o cifrador de César para criptografar a mensagem REUNIAO NO SAGUAO DO CTC. 1) Primeiro substituir letras por números: ) Substituir estes números usando f(p) = (p+3) mod 26: ) O que fornece a seguinte mensagem criptografada: UHXQLDRQRVDJXDRGRFWF 4) Para decriptografar decriptografar esta mensagem, basta atribuir números de 0 a 25 às letras e substituir estes números por: f - 1 (p) = (p-3) mod 26

35 Aplicações da aritmética modular Aritmética computacional com números grandes: Sejam m 1,m 2,...,m n produto. primos 2 a 2 e seja m o seu Pode-se mostrar que qualquer inteiro a, com 0 0 a<m pode ser representado de maneira única apenas com os restos das suas divisões por m 1,m 2,...,m n. Ou seja, podemos representar a por: (a mod m 1, a mod m 2,..., a mod m n )

36 Aplicações da aritmética modular Exemplo: : Suponha que em um certo processador é muito mais rápido realizar cálculos com inteiros < 100 do que com inteiros maiores. Podemos nos restringir a cálculos com inteiros < 100 utilizando aritmética modular com os restos destes inteiros módulo 99,98,97 e 95 (primos 2 a 2 entre si). - isto nos permitiria representar qualquer inteiro entre 0 e (= ).

37 Aplicações da aritmética modular Exemplo (continuação): Exemplo numérico: pode ser representado por (33,8,9,89) pode ser representado por (32,92,42,16) Se quisermos obter a soma , é só somar as suas componentes: pode ser representado por: (33,8,9,89) + (32,92,42,16) = (65,2,51,10) Podemos continuar sempre com aritmética modular. - para recuperar o resultado, temos que resolver: x 65 (mod( 99) x 2 (mod( 98) x 51 (mod( 97) x 10 (mod( 95) x=?