Bases de subespaços. 5 a : aula prática (1.30h) e 08-04/2010 Bases de subespaços 5-1

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1 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - Instituto Superior Técnico o semestre Álgebra Linear o ano da Lics.em Engenharia Informática e de Computadores e Engenharia Química Bases de subespaços Seja K um corpo, considere-se o espaço vectorial K n e seja L K n um seu subespaço; vamos considerar dois exemplos em que se pede para obter uma base de L. *) L é de nido através de um conjunto nito de geradores: L = v ; : : : ; v k. **) L é o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares com coe cientes em K. Frequentemente, porém, é conveniente saber escrever um sistema de equações lineares com coe cientes em K cujo conjunto de soluções seja um subespaço L do espaço vectorial K n, sendo L dado através de um conjunto nito de geradores: L = v ; : : : ; v k. ) No R-espaço vectorial R considere-se L = v ; v ; v onde Como obter uma base para L? v = (; ; ; ); v = (; ; ; ); v = (; ; ; ): Resposta: Condensando (sem troca de linhas) a matriz cujas linhas correspondem às coordenadas dos três vectores somos conduzidos a uma linha de zeros, o que signi ca que o correspondente vector é combinação linear dos restantes: Uma base para L é pois fv ; v g. ) Considere-se o espaço vectorial das soluções do sistema homogéneo x + y + z =. x + y u = Como obter uma base para L? Resposta: Resolvendo o sistema, através da condensação da matriz desse sistema obtém-se: ou seja: x u = y + z + u = ou ainda x = u y = z u. Para determinar uma base do conjunto das soluções do sistema basta por exemplo escolher z = e u = obtendo-se v = (; ; ; ) e escolher z = e u = obtendo-se v = ( ; ; ; ); uma base para L é pois fv ; v g.

2 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - ) Determinar um conjunto de equações lineares cujo conjunto de soluções seja o subespaço L de R dado por L = v ; v ; v onde v = (; ; ; ); v = (; ; ; ); v = (; ; ; ). Resposta: Se for v = (x; y; z; u) L este vector terá de ser uma combinação linear de v de v e de v e portanto ao condensar a matriz a seguir indicada há-de poder obter-se uma linha de zeros como última linha: x y z u x + y + z x y + u x + y z x + u As coordenadas do vector v = (x; y; z; u) terão de satisfazer portanto: x + y + z = : x y + u = x + y z x + u Como obter uma base para a intersecção de dois sub-espaços vectoriais Seja V um espaço vectorial de dimensão nita e sejam dados dois subespaços L e L de V. Como obter uma base para L \ L? a maneira Sendo L = ker T e L = ker T é claro que L \ L = ker T \ ker T e portanto basta obter uma base para o sistema T(x) = T (x) =. a maneira (referida a título informativo) Sendo fv ; : : : ; v k g uma base de L e sendo fw ; : : : ; w`g uma base de L tem-se L +L = v ; : : : ; v k ; w ; : : : ; w` ; partindo da base fv ; : : : ; v k g de L completemo-la numa base L +L acrescentando à base de L alguns dos vectores w ; : : : ; w` que constituem uma base de L ; suponhamos que L +L = v ; : : : ; v k ; w i ; : : : ; w is e sejam w is+ ; : : : ; w i` os remanescentes vectores da base de L ali não utilizados; há-de ter-se: w is+ = s+;v + : : : + s+;k v k + s+; w i + : : : + s+;s w is ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: w i` = `; v + : : : + `;k v k + `; w i + : : : + `;s w is e os vectores seguintes constituem uma base de L \ L : u s+ = s+;v + : : : + s+;k v k = w is+ s+; w i + : : : + s+;s w is ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: u` = `; v + : : : + `;k v k = w i` `; w i + : : : + `;s w is. Exemplo No R-espaço vectorial R considere-se L = v ; v onde v = (; ; ; ; ) e v = (; ; ; ; ) e L = w ; w onde w = (; ; ; ; ) e w = (; ; ; ; ). ) Após algum cálculo obtém-se L = f R : A = g e L = f R : A = g onde A = " # e A = " 9 # pelo que L \ L é o conjunto das soluções do sistema A = A =

3 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - ou seja o sistema A = de matriz A = 9 do qual uma base das soluções é constituída pelo vector (; ; ; ; ) e portanto L \L = (; ; ; ; ) ;. ) Comece-se por obter uma base de L + L = v ; v ; w ; w completando a base fv ; v g de L com vectores da base de L ; atendendo a que vem L + L = v ; v ; w e escrevendo w como combinação linear de v ; v ; w vem w = (; ; ; ; ) + (; ; ; ; ) + (; ; ; ; ) ou seja (; ; ; ; ) = v + v + w isto é 8 = + + >< = + + >: = = + + = + + e o vector u = (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) constitui uma base de L \ L ; resolvendo o sistema obtém-se = ; = ; = e portanto u = (; ; ; ; ) ( )(; ; ; ; ) = (; 8; ; 8; ); naturalmente que o vector v = (; ; ; ; ) também se constitui numa base de L \ L.

4 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - com Problema No R-espaço vectorial R considere L = ker T onde e L = v ; v onde A = e determine dim R (L \ L ): T : R! R x! A :x v = (; ; ; ; ); v = (; ; ; ; ) Resolução a maneira Vamos obter uma base para L \ L e contar o número de elementos dessa base. Sabe-se que L = ker T e vamos escrever L na forma L = ker T sendo T L R (R ; R m ) sendo m um número natural; condensando a matriz seguinte cujas duas primeiras linhas correspondem às coordenadas dos dois vectores v e v seremos conduzidos a uma última linha de zeros se e só se o vector (x; y; z; u; v) de R pertencer a L, o que signi caria que esse vector é combinação linear dos restantes: x y z u v x + y z x + u x + v Ter-se-á pois (x; y; z; u; v) L se e só se 8 < 9x + y + z = x y + u = : x y + v = x + y z x + u x + v 9x + y + z x y + u x y + v. ou seja L = ker T onde com A = T : R! R x! A :x 9 ;

5 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - daí que L \ L seja o conjunto das soluções do sistema homogéneo T (x) = T (x) = ou seja A :x = A :x = uma base para o espaço das soluções deste sistema obtém-se usando o algoritmo de Gauss: 9 o que conduz a uma base para o espaço das soluções dada por ou seja dim R (L \ L ) =. f(; ; ; ; )g a maneira Vamos obter uma base para L + L e contar o número de elementos dessa base. Ora por um lado L é o espaço das soluções do sistema ou seja onde A = T (x) = A :x = ; e esse espaço de soluções obtém-se usando o algoritmo (de condensação) de Gauss: 8 o que conduz a uma base para o espaço das soluções dada por ; f(; ; ; 8; ); (; ; ; ; )g ou seja dim R L =. Por outro lado como L = v ; v onde v = (; ; ; ; ) e v = (; ; ; ; ) e como estes dois vectores de R são linearmente independentes, como mostra a condensação resulta dim R L =.

6 a : aula prática (.h) - e 8-/ Bases de subespaços - En m como L + L = (; ; ; 8; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; ) vem uma vez mais usando o algoritmo (de condensação) de Gauss: o que signi ca que dim R (L + L ) =. Por um corolário do teorema de Grassmann sabe-se que dim R L + dim R L = dim R (L \ L ) + dim R (L + L ) e como se viu que dim R L =, dim R L = e dim R (L + L ) = tem-se dim R (L \ L ) = + = em conformidade com o que se obteve na a maneira.