aula Números reais Análise Real Autores André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos DISCIPLINA Data: / / Nome:

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1 DISCIPLINA Análise Real Números reais Autores André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos aula 03 Data: / / Nome:

2 Governo Federal Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância SEED Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor José Ivonildo do Rêgo Vice-Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Secretária de Educação a Distância Vera Lucia do Amaral Secretaria de Educação a Distância SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Gráfi co Ivana Lima Revisora de Estrutura e Linguagem Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras Tipográfi cas Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz Arte e Ilustração Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Hugenin Leonardo Feitoza Diagramadores Joacy Guilherme de A. F. Filho José Antonio Bezerra Junior Adaptação para Módulo Matemático Joacy Guilherme de A. F. Filho Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central Zila Mamede Pereira, André Gustavo Campos. Análise real / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simiolli de Medeiros Campos. Natal, RN: EDUFRN, p. ISBN: Conteúdo: Aula 01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções; Aula 02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis; Aula 03 Números reais; Aula 04 Sequências de números reais; Aula 05 Desigualdades, operações com sequências e limites infinitos; Aula 06 Séries numéricas; Aula 07 Limite de funções; Aula 08 Funções contínuas; Aula 09 Funções deriváveis; Aula 10 Máximos e mínimos. 1. Análise matemática. 2. Enumerabilidade. 3. Limite. 4. Continuidade. 5. Derivadas. I. Campos, Viviane Simiolli de Medeiros. II. Título. CDD 515 RN/UF/BCZM 2009/66 CDU 517 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

3 Apresentação VERSÃO DO PROFESSOR Na aula 02 - Conjuntos Finitos e Enumeráveis estudamos várias propriedades dos conjuntos, e, por exemplo, que eles são infinitos e enumeráveis. Nesta aula iremos estudar o conjunto dos números reais. Vamos entender o que significa ser um corpo ordenado completo. Será que, e também são corpos ordenados completos? E é infinito e enumerável? Resumindo, qual a diferença e qual a relação entre esses conjuntos? Objetivos Esperamos que ao final desta aula você seja capaz de argumentar o que significa ser um corpo ser ordenado completo. Saiba demonstrar e aplicar algumas propriedades dos números reais bem como Aula 03 Análise Real 1

4 Definições e operações estão definidas duas oper- No conjunto dos números reais, que indicaremos por ações: 1. Adição: Que a cada par de elementos x, y faz corresponder x + y. 2. Multiplicação: Que a cada par de elementos x, y faz corresponder x.y. E estas operações definidas em satisfaçam aos seguintes axiomas: Associatividade: Para quaisquer x, y, z tem-se: (x + y)+z = x +(y + z) e (xy)z = x(yz); Elementos neutros: Existem em dois elementos distintos 0 e 1 tais que: x +0=x e x.1 =x; Comutatividade: Para quaisquer x, y, tem-se: x + y = y + x e x.y = y.x; Inversos: Todo x possui inverso aditivo x tais que x +( x) =0esex 0, existe também um inverso multiplicativo x 1 tal que x.x 1 =1. Distributividade: Para quaisquer x, y, z, tem-se x(y + z) =xy + xz. A todo conjunto que tem bem definida estas duas operações satisfazendo todas as propriedades acima chamamos de corpo, sendo assim, é um corpo. Atividade 1 Verifique se no conjunto dos números naturais as operações de adição e multiplicação estão bem definidas e conclua se N é um corpo ou não. Atividade 2 Verifique se o conjunto dos números inteiros Z é um corpo. Atividade 3 Verifique se o conjunto dos números racionais Q é um corpo. 2 Aula 03 Análise Real

5 VERSÃO DO PROFESSOR Vamos demonstrar, nos exemplos a seguir, usando o fato de que propriedades dos números reais, todas conhecidas e muito utilizadas. é um corpo, várias Exemplo 1 Mostre que x.0 =0, x. Seja x. Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, e x.1 =x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temos x(1 + 0) = x.1+x.0 =x + x.0 x = x + x.0. Somando ( x) em ambos os membros, temos x +( x) =x +( x)+x.0 0=x.0. Logo, x.0 =0, x. Exemplo 2 Mostre que se xy =0, então ou x =0ou y =0. Suponhamos y 0. Assim, y 1 tal que yy 1 =1. Logo, xy =0 (xy)y 1 =0y 1 x(yy 1 )=0 x =0. O caso é análogo para x 0. A soma x +( y) será indicada por x y e chamada diferença entre x e y. Sey 0, o produto xy 1 será representado por x y e chamado quociente de x por y. A operação que a cada par x, y associa x y será chamada subtração, e a operação que a cada par x,y {0} associa x será chamada divisão. y Observação 1 Note que x y só fará sentido se y 0, pois x y = xy 1, e só existe y 1 para y 0. Exemplo 3 Mostre que o inverso aditivo de um número real é único. Suponha que x possua dois inversos aditivos y, z. Logo, x + y =0e x + z =0. Assim, x + y =0=x + z (x + y)+y =(x + z)+y 0+y =(x + y)+z =0+z y = z. o elemento inverso aditivo é único. Aula 03 Análise Real 3

6 Exemplo 4 Mostre que o inverso multiplicativo de um número real é único. Seja x,x 0e y, z tais que xy =1e xz =1. Assim, xy = xz (xy)y =(xz)y y = xyz = z. o elemento inverso multiplicativo é único. Exemplo 5 Mostre que x( y) = (xy). xy +x( y) =x(y +( y)) = x0 =0, ou seja, xy +x( y) =0. Logo, pela unicidade do elemento inverso, temos x( y) = (xy). Exemplo 6 Mostre que ( x) =x. Note que ( x) é o inverso aditivo de x. Como x + x =0, temos x = ( x), pela unicidade do inverso aditivo. Exemplo 7 Mostre que x = y x = y. Inicialmente, mostremos que x = y x = y. x +( x) =0 y +( x) =0 y +( y)+( x) =0+( y) x = y. Para mostrar que x = y x = y, basta observar que x = y ( x) = ( y) x = y. Exemplo 8 Mostre que (x y)(x + y) =x 2 y 2. x 2 y 2 = xx yy = xx + xy xy yy = x(x y)+y(x y) =(x y)(x + y). Exemplo 9 Mostre que se x 2 = y 2, então x = y ou x = y. x 2 +( y 2 )=y 2 +( y 2 )=0 x 2 y 2 =0 (x y)(x + y) =0. Disso, temos (x y) =0 x = y ou (x + y) =0 x = y. 4 Aula 03 Análise Real

7 VERSÃO DO PROFESSOR Ordenação No conjunto dos números reais existe um subconjunto, que denotaremos por conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições: + chama i. A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, se x, y +, então x + y + e xy +. ii. Dado x, exatamente uma das três situações abaixo ocorre: 1. x =0; 2. x + ; 3. x +. Indicando = { x x + } = {x x + }, pela propriedade 2 temos = + {0}, e essa união é disjunta. é chamado conjunto dos números reais negativos, ou seja, os números y são chamados números reais negativos. Exemplo 10 Mostre que todo número real x 0tem quadrado positivo. x {0} x + ou x. Se x +, então x.x +, ou seja, x 2 +. Se x, então x + e, conseqüentemente, ( x)( x) =x.x = x 2 +. Garantida a existência de +, temos bem definida em a seguinte relação de ordem: Dizemos que x é menor que y e escrevemos x<yquando x y +, isto é, quando existe z + tal que y = x + z; neste caso, escreveremos também y>xedizemos que y é maior que x. Em particular,x > 0 significa que existe z + tal que x = 0 + z = z +, isto é, se x > 0, então x é positivo, enquanto x < 0 significa que z + tal que 0=x + z 0+( z) =x + z +( z) z = x +(z +( z)) = x +0=x, isto é, se x<0, então x é negativo. Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x<yem : Transitividade: Se x<ye y<z, então x<z. Aula 03 Análise Real 5

8 Tricotomia: Dados x, y, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = y, x<you x>y. Monotonicidade da adição: Se x<y, então, para todo z, tem-se x + z<y+ z. Monotonicidade da multiplicação: Se x<y, então, para todo número real z>0, tem-se xz < yz; porém, se z<0, tem-se xz > yz. Vamos demonstrar duas dessas propriedades: Monotonicidade da adição Demonstração Se x<y, então, para todo z, tem-se x + z<y+ z. Hipótese: x<y w + tal que y = x + w. Tese: z x + z<y+ z z tal que y + z<x+ z + z. Por hipótese, temos x<y, ou seja, w + tal que y = x + w. Assim, y + z = x + w + z y + z = x + z + w x + z<y+ z. Monotonicidade da multiplicação Demonstração Se x<y, então, para todo número real z>0, tem-se xz < yz; porém, se z<0, tem-se xz > yz. Caso 1: z>0. Hipóteses: x<yez>0. Tese: xz < yz. De x < y, existe w + tal que y = x + w, edez > 0, existe p + tais que z =0+p. Assim, y x + e z +, que implicam z(y x) +, isto é, zy zx + zy zx > 0 zy > zx. Caso 2: z<0. Hipóteses: x<yez<0. Tese: xz > yz. De x<yez > 0, temos y x R + e z + (y x)( z) + yz + xz + xz yz + xz > yz. 6 Aula 03 Análise Real

9 Atividade 4 VERSÃO DO PROFESSOR Mostre que a relação de ordem x<yé transitiva. Atividade 5 Mostre que vale a tricotomia da relação de ordem x<y. Exemplo 11 Mostre que se x<x e y<y, então x + y<x + y. De x<x e y<y, temos x x + e y y +. Assim, x x + y y + x + y (x + y) + x + y >x+ y. Exemplo 12 Mostre que se 0 <x<x e 0 <y<y, então xy < x y. Por hipótese, temos as seguintes informações: De x + e y y +, temos x(y y) +,edey + e x x +, temos y (x x) +. Logo, x(y y)+y (x x) + xy xy + y x y x + y x xy + y x >xy. Exemplo 13 Mostre que se x>0, então 1 x > 0. Sabemos que x>0 x 0 x 2 +. Assim, x 1 =1.x 1 = xx 1 x 1 = x(x 1 ) 2 + x x x + 1 x > 0. Atividade 6 Mostre que se x<0, então 1 x < 0. Aula 03 Análise Real 7

10 Exemplo 14 Mostre que se 0 <x<y, então 0 < 1 y < 1 x. De x>0, temos x 1 > 0, ou seja, x 1 y 1 +. Assim, x 1 y Analogamente, de y>0, temos Como x<y, por hipótese, temos: x(x 1 y 1 ) <y(x 1 y 1 ) (xx 1 )y 1 < (yy 1 )x 1 y 1 <x 1. contém outros conjuntos numéri- Vamos mostrar que o conjunto dos números reais cos conhecidos. O exemplo 10 afirma que o quadrado de qualquer número real diferente de zero é positivo portanto 1=1 2 +, ou seja, 1 é positivo. Note que 1 < 1+1< 1+1+1<, ou seja, 1+1 +, ,..., e podemos concluir que +. Mas +, portanto. Sabemos que 0 e acabamos de ver que todo número natural é um número real, ou seja, n implica em n. Como é um corpo, temos que n possui um inverso aditivo n e podemos concluir que. { m } Também podemos afirmar que = n m,n {0}. Acabamos de ver que todo número inteiro também é um número real, portanto, m. Como n {0}, então n {0}; assim, n 1 e mn 1 o que implica em m. Logo, para n todo q = m, temos q, isto é,. n Com isso, concluímos que. Mais adiante veremos que. Exemplo 15 Desigualdade de Bernoulli Para todo número real x 1 e todo n, tem-se (1 + x) n 1+nx. Seja x um número real qualquer tal que x 1, ou seja, x = 1 ou x> 1. Inicialmente, mostremos por indução que, para x = 1, a desigualdade é verdadeira, 8 Aula 03 Análise Real

11 VERSÃO DO PROFESSOR isto é, para todo n, tem-se: (1 + ( 1)) n 1+n( 1) 0 1 n. Para n =1, temos 1 1=0 0, isto é, a desigualdade é verdadeira. Suponhamos que para n = k a desigualdade é verdadeira, ou seja, 0 1 k. Para n = k +1, temos: 1 (k +1)=1 k 1 < 1 k 0 1 (k +1) 0. Logo, a desigualdade também vale para n = k +1e, portanto, 0 1 n, n. Agora, mostremos a desigualdade para x> 1, também por indução. Para n =1, temos (1 + x) 1 =1+x =1+1.x, ou seja, a desigualdade é válida. Suponhamos que a desigualdade é válida para n = k, isto é, (1 + x) k 1+kx. Para n = k +1, temos: (1 + x) k+1 = (1+x) k (1 + x) (1 + kx)(1 + x) = 1+x + kx + kx 2 =1+(k +1)x + kx 2 > 1+(k +1)x. Logo, (1 + x) k+1 1+(k +1)x, ou seja, a desigualdade também é válida para n = k +1. Assim, para x> 1, tem-se (1 + x) n 1+nx, n. Portanto, concluímos que (1 + x) n 1+nx, n,x 1. Agora que sabemos o que significam x>0 e x<0, podemos definir o valor absoluto (ou módulo) de um número real: x, se x>0; x = 0, se x =0; x, se x<0. Note que x =max{x, x}, pois: a. se x>0, então x <0 e max{x, x} = x = x ; b. se x<0, então x >0 e max{x, x} = x = x ; c. se x =0, então x =0e max{x, x} =0= 0. Aula 03 Análise Real 9

12 Proposição 1 Para x, tem-se x x x. Demonstração De x =max{x, x}, temos: x x e x x x x e x x x x x. Exemplo 16 x é o único número maior que ou igual a zero tal que x 2 = x 2. Que x 0 segue da definição. Para mostrar que x 2 = x 2, basta observar que x 2 = x x = { xx, se x 0; x( x), se x<0. De qualquer maneira, temos x 2 = x 2, x. Agora, suponha que exista y 0, tal que y 2 = x 2. Logo, y 2 = x 2 y 2 = x 2 = x 2 y 2 = x 2 y = x ou y = x. Não pode ocorrer y = x 0 (para y 0) pois y 0. Portanto, y = x, ou seja, x é o único número maior que ou igual a zero tal que x 2 = x 2. Atividade 7 Mostre que se x, y 0 e x 2 = y 2, então x = y. Teorema 1 Se x, y, então x + y x + y e xy = x y. Demonstração Sejam x, y. Sabemos que x =max{x, x} x x e que y =max{y, y} y y. Assim, x + y x+y. De modo análogo, temos x xe y y, e também x + y x y = (x + y). Logo, x + y x + y e x + y (x + y) x + y max{x + y, (x + y)} = x + y. 10 Aula 03 Análise Real

13 Agora, vamos mostrar que xy = x y. Note que x 0 e y 0 x y 0 e que xy 0. Sabemos também que: VERSÃO DO PROFESSOR xy 2 =(xy) 2 =(xy)(xy) =x 2 y 2 = x 2 y 2 =( x y ) 2 xy = x y. Teorema 2 Sejam a, x e δ +. Tem-se: x a <δ a δ<x<a+ δ. Demonstração Parte 1. x a <δ a δ<x<a+ δ. Hipóteses: a, x, δ + e x a <δ. Tese: a δ<x<a+ δ. Da hipótese, temos: x a <δ max{x a, (x a)} <δ x a<δe (x a) <δ x a<δe x a> δ x<δ+ a e x>a δ a δ<x<a+ δ. Parte 2. a δ<x<a+ δ x a <δ. Hipóteses: a, x, δ + e a δ<x<a+ δ. Tese: x a <δ. Da hipótese, temos: a δ<x<a+ δ a δ<xe x<a+ δ x a> δ e x a<δ (x a) <δex a<δ max{x a, (x a)} <δ x a <δ. Aula 03 Análise Real 11

14 VERSÃO DO PROFESSOR Atividade 8 Mostre que se a, x e δ +, então x a >δ x<a δ ou x>a+ δ. Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de númer reais chamados intervalos: 1. [a, b] ={x a x b}. 2. (a, b] ={x a <x b}. 3. [a, b) ={x a x<b}. 4. (a, b) ={x a <x<b}. 5. (,b]={x x b}. 6. (,b)={x x <b}. 7. [a, + ) ={x x a}. 8. (a, + ) ={x x >a}. 9. (, + ) =. Os intervalos 1, 2, 3 e 4 são limitados com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, [a, b) é fechado à esquerda e aberto à direita, (a, b] é fechado à direita e aberto à esquerda, e (a, b) é aberto. Os intervalos 5, 6, 7, 8 e 9 são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] ={a} é chamado intervalo degenerado. Com relação aos intervalos, o teorema 2 diz que x fatisfaz x a <δse, e somente se, x satisfaz a δ<x<a+ δ, ou seja, x (a δ, a + δ). Interpretação geométrica de Imagine como uma reta e cada elemento x como um ponto desta reta. x 12 Aula 03 Análise Real

15 Vimos que = + {0}, que x>0 x + e x<0 x. Utilizaremos a relação de ordem para representar os pontos na reta, dizendo que x<y significa que a posição ocupada por y é à direita de x. Assim, os intervalos são segmentos dessa reta e y x representa a distância do ponto x ao ponto y. VERSÃO DO PROFESSOR distância = y-x x y Atividade 9 Mostre que se a distância de x a y é δ, então a distância de x a y também é δ. Como corolário, conclua que a distância de x a 0 é a mesma que de x a 0. Pelo teorema 2, temos que x (a δ, a + δ) é equivalente a x a <δ, ou seja, o intervalo (a δ, a + δ) é formado pelos elementos cuja distância até a é menor que δ. x-a x a s a a +s (a +δ) a = s = s Até o momento, vimos que quaisquer que sejam x, y, temos x<y, x>you x = y. A um corpo com esta propriedade chamamos corpo ordenado, isto é, somos capazes de dizer quem é maior que quem. Em outras palavras, existe uma relação de ordem bem definida entre seus elementos. Aula 03 Análise Real 13

16 Atividade 10 Podemos concluir que é um corpo ordenado? O conjunto é um corpo ordenado completo Quando estudamos os números naturais vimos que X é limitado se existe b tal que x b, para todo x X. Não nos preocupávamos, até então, com a parte inferior, já que o 1 é o menor elemento de e, portanto, 1 x, para todo x X. No conjunto não existe um menor elemento, pois se x, então x 1 e x 1 <x(pois existe 1 + tal que x = x 1+1). Atividade 11 Mostre que não existe y tal que x y, x. Para falar de limitação em inferior., precisamos falar de dois tipos de limitação: superior e Dizemos que X é limitado superiormente se existe b tal que b x, x X. Neste caso, b é dito ser uma cota superior de X. Exemplo 17 O conjunto X =(, 7) é limitado superiormente? Sim, pois existe 8 tal que x 8, x X. Logo, 8 é cota superior de X. Note que 10 também é cota superior de X, jáquex 10, x X. Atividade 12 Seja X limitado superiormente. Mostre que se b é cota superior de X, então qualquer número real c b também é cota superior de X. Se c é cota superior de X, então podemos afirmar que qualquer número real b<c também é cota superior de X? Não! Considere X =(, 4] = {x x 4}. O número 4 é cota superior de x, mas 2 < 4 não é cota superior de X, pois existe 3 X tal que 2 < Aula 03 Análise Real

17 VERSÃO DO PROFESSOR Definição 1 Seja X limitado superiormente e não-vazio. Chama-se supremo de X ao número b que é a menor das cotas superiores de X, e denota-se b =supx. Mais explicitamente: S1. b é cota superior de X, ou seja, para todo x X, tem-se x b. S2. Se c é tal que x c, x X, então b c. Isso significa que qualquer outra cota superior de X é, obrigatoriamente, maior que ou igual a b. Podemos escrever a condição S2 da seguinte maneira: S2. Se d<b, então d não é cota superior de X, ou seja, existe x X tal que x>d. Isso significa que nenhum número menor que b pode ser cota superior de X. Podemos ainda reescrever S2 da seguinte maneira: S2. Qualquer que seja ε>0, b ε não é mais cota superior de X, ou seja, x X tal que x>b ε. Dizer que é completo significa dizer que todo subconjunto X de limitado superiormente possui supremo. Exemplo 18 Considere X =(, 4]. Encontre b =supx. Note que X e X é limitado superiormente, pois existe 10 X. Mostremos que b =4satisfaz S1 e S2. tal que x 10, x Para todo x X, temos x 4. Assim, 4 é cota superior de X, isto é, 4 satisfaz S1. Seja c tal que c x, x X. Temos c 4, pois 4 X. Logo, c b, isto é, c satisfaz S2. Portanto, b =4=supX. Podemos também mostrar que 4 satisfaz S2 es2, e o faremos a seguir. Seja d<4econsidere x = d +4. Assim, d<x<4ex X. Como d<4foi 2 qualquer, para todo d<4existe x X tal que x>d. Logo, 4 satisfaz S2. Seja ε>0. Tome x =4 ε. Note que: 2 ε>0 ε 2 > 0 4 ε 2 < 4 4 ε 2 X. Aula 03 Análise Real 15

18 Também: ε> ε 2 ε< ε 2 4 ε<4 ε 2 = x. Logo, 4 ε não é mais cota superior de X. Como ε>0tomado foi qualquer, 4 ε não é mais cota superior de X, para todo ε>0. Portanto, 4 satisfaz S2. Atividade 13 Seja X =(1, 2) (2, 4] [7, 9]. Encontre b =supx. Dizemos que X é limitado inferiormente se existe d tal que, para todo x X, tem-se d x. Neste caso, d é dito ser uma cota inferior de X. Se d é cota inferior de X, então qualquer número real c d também é cota inferior de X. De fato, temos d x, x X. Como c d, por transitividade, temos c d x, x X. Logo, c é cota inferior de X. Porém, não podemos afirmar que qualquer número real c >décota inferior de X. De fato, considerex =(0, ). 1 é cota inferior de X, mas 1 > 1 não é cota inferior de X, pois existe 1 2 X tal que 1 2 < 1. Definição 2 Seja X limitado inferiormente e não-vazio. Chama-se ínfimo de X ao número d que é a maior das cotas inferiores de X, e denota-se d =infx. Em outras palavras, ao número d que satisfaz: I1. d é cota inferior de X, ou seja, para todo x X, tem-se d x. I2. Se c é tal que c x, x X, então c d. Isso significa que qualquer outra cota inferior de X é, obrigatoriamente, menor que ou igual a d. Podemos escrever a condição I2 da seguinte maneira: I2. Se c>d, então c não é cota inferior de X, ou seja, existe x X tal que x<c. Isso significa que nenhum número maior que d pode ser cota inferior de X. Podemos ainda reescrever I2 da seguinte maneira: I2. Qualquer que seja ε>0, d + ε não é mais cota inferior de X, ou seja, x X tal que x<d+ ε. 16 Aula 03 Análise Real

19 Exemplo 19 Seja X =( 3, 7). Encontre d =infx. VERSÃO DO PROFESSOR d = 3 é cota inferior de X, pois x X x> 3 x d, x X. Agora vamos mostrar que 3 é a maior das cotas inferiores de X. Seja c uma cota inferior de X, ou seja, c x, x X. Temos duas possibilidades para tal c: ouc 3ou c> 3. Caso ocorresse c> 3 (c 7), teríamos: 3 < c +( 3) 2 <c x = c +( 3) 2 X e x<c, isto é, c não seria cota inferior de X. Logo, c 3 e, portanto, d = 3 =infx. Atividade 14 Mostre que se X é limitado superiormente, então X = {y y X} é limitado inferiormente. Atividade 15 Mostre que se b =supx, então b =inf( X). Os próximos teoremas 3e4aseguir serão utilizados no teorema 5, o qual garante que não é enumerável. Teorema 3 São verdadeiras as seguintes afirmações: 1. não é limitado superiormente; { } 1 2. Se X = n n, então inf X =0; 3. Dados a, b +, existe n tal que na > b. Demonstração Item 1. Hipótese:. Tese: não existe cota superior para. Demostraremos este item por contradição. Tese: existe cota superior para, isto é, c tal que n c, n. Aula 03 Análise Real 17

20 Sabemos que e. Logo, pela completude de, existe d tal que d =sup. Assim, d 1 não é supremo de, ou seja, x tal que x>d 1. Pela monotonicidade de >, temos x +1>d 1+1=d, o que é absurdo, pois x +1 pelos axiomas de Peano (x +1é o sucessor de x). Portanto, é ilimitado superiormente. Item 2. { 1 Hipótese: X = n,n Tese: inf X =0. } = {1, 12, 13,... }. Inicialmente, devemos mostrar que 0 é cota inferior de X. Sabemos que n>0, n 1 > 0, n x>0, x X. Logo, 0 é cota inferior de X. n Agora, mostremos que para todo c>0, c não é cota inferior de X. Dado c>0, temos 1 c > 0, isto é 1 não é cota superior de, pois é ilimitado superiormente. Assim, c n tal que n> 1 c nn 1 c> 1 c n 1 c c> 1 n, ou seja, existe x X, x = 1, tal que x<c. Logo, c não é cota inferior de X. n Como c>0tomado foi qualquer, temos que, para todo c>0, c não é cota inferior de X. Portanto, inf X =0. Item 3. Hipótese: a, b +. Tese: existe n tal que na > b. Dados a, b +, temos a 1,b 1 +. Também a 1 b + e a 1 b não é cota superior de, pois é ilimitado superiormente. Assim, n tal que n>a 1 b, isto é, na > a 1 ba, que implica na > b. Atividade 16 Demostre a equivalência entre os itens do teorema anterior, ou seja, mostre que 1 implica 2, 2 implica3e3implica Aula 03 Análise Real

21 VERSÃO DO PROFESSOR Teorema 4 Intervalos encaixados Dada uma seqüência decrescente I 1 I 2 de intervalos fechados [a n,b n ]=I n, então existe pelo menos um número real e tal que e I n, n, isto é, e I n. n Demonstração Hipótese: I 1 I 2. Tese: e tal que e I n, n, ou equivalentemente, e tal que e n I n. I 1 I 2 [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] a 1 a 2 e b 1 b 2. Será que a j b k, j, k? Note que a j >b k não ocorre para nenhum j, k. Caso ocorresse, teríamos j>k, pois para j k temos a 1 a 2 a j a k b k. Entretanto, se a j >b k para algum j>k, então b j a j b k, e isso é absurdo, pois da hipótese temos b j b k b 2 b 1. Logo, a j b k, j, k. Considerando X = {b j j }, temos X, X e X é limitado inferiormente. Assim, e tal que e =infx. Considerando Y = {a j j }, temos Y, Y e X é limitado superiormente. Assim, f tal que f =supy. Note que f e, pois como já vimos a j b k, j, k. Fixando j, temos a j b k, k. Logo, a j é cota inferior de X a j e =infx. Note também que isso vale para todo j, ou seja, a j e, j. Logo, e é cota superior de Y sup Y = f e. Observe que [f,e] n I n. De fato, x [f,e] f x e a j sup Y = f x, j, e x e =infx b j, j a j x b j, j x [a j,b j ], j x n I n. Note que [f,e], pois no mínimo [f,e] ={e} é um intervalo degenerado. Portanto, e tal que e I n, n. Aula 03 Análise Real 19

22 Teorema 5 não é enumerável. Demonstração Mostraremos que não existe uma função f : sobrejetiva e, conseqüentemente, f : bijetiva. Hipótese: f : é uma função. Tese: f não é sobrejetiva. De fato, considerando f(1), podemos construir um intervalo [a 1,b 1 ] tal que f(1) / [a 1,b 1 ]=I 1. Para f(2), temos duas prossibilidades: f(2) / I 1 ou f(2) I 1. Se f(2) / I 1, temos I 2 = I 1. Se f(2) I 1, temos: [ a 1, a 1 + f(1) [a 2,b 2 ]=I 2 = [ 2 f(1) + b1 2 ], se f(2) a 1 ;,b 1 ], se f(2) = a 1. Para f(3), também temos duas possibilidades: f(3) / I 2 ou f(3) I 2. Se f(3) / I 2, temos I 3 = I 2. Se f(3) I 2, temos: [ a 2, a 2 + f(2) [a 3,b 3 ]=I 3 = [ 2 f(2) + b2 2 ], se f(3) a 2 ;,b 2 ], se f(3) = a 2. Note que I 1 I 2 I 3. Logo, existe x n I n. Se x I n, então f(1),f(2),..., f(n) / I n e, conseqüentemente, f(1),f(2),..., f(n) x. Como x n I n, temos x f(n), n. Portanto, f não é sobrejetiva, demonstrando o teorema. O próximo resultado nos dá uma infinidade de exemplos de conjuntos não enumeráveis. 20 Aula 03 Análise Real

23 VERSÃO DO PROFESSOR Corolário 1 Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. Demonstração Hipótese: I é um intervalo não-degenerado, isto é, I {c}. Tese: I é não-enumerável. Sabemos que se X é enumerável e Y X, então Y é enumerável. Assim, se Y X é não-enumerável, então X é não-enumerável. Também, I não-degenerado a, b I,a < b tais que (a, b) I. Considere ϕ : ( 1, 1) (a, b) x 1 [(b a)x + a + b] 2 Note que ϕ é bijetiva. Considere também ψ : ( 1, 1) x x 1+ x Vamos mostrar que ψ é bijetiva. Note que x>0 >y ψ(x) >ψ(0) >ψ(y). Considere, agora, ψ(x) =ψ(y) (x e y tem o mesmo sinal e x, y 0). Se x, y > 0, temos: ψ(x) =ψ(y) x 1+ x = y x(1 + y ) =y(1 + x ) 1+ y x + x y = y + y x x + xy = y + yx x = y. Se x, y < 0, temos: ψ(x) =ψ(y) x 1+ x = y x(1 + y ) =y(1 + x ) 1+ y x + x y = y + y x x xy = y yx x = y. Logo, ψ é injetiva. Aula 03 Análise Real 21

24 Para mostrar a sobrejetividade de ψ, devemos mostrar que y ( 1, 1), x que ψ(x) =y. tal Se y =0, então existe 0 tal que 0 = ψ(0) = 0 = y. 1 0 Se y>0, procuremos x,x>0 tal que ψ(x) =y. Assim, x 1+ x = y x = y x =(1+x)y x = y + xy 1+x x xy = y x = y 1 y. Se y<0, vamos procurar x,x<0 tal que ψ(x) =y. Assim, x 1+ x = y x 1 x = y x = y 1+y. Logo, ψ é sobrejetiva. Portanto, ψ é bijetiva ( 1, 1) é não-enumerável (a, b) é não-enumerável (pois ϕ é bijeção). Como I (a, b), então I é não-enumerável. Exemplo de um número irracional Vamos encerrar esta aula mostrando que 3 não é um número racional, ou seja, é irracional e assim estaremos mostrando que Q. Suponha que 3 é racional, isto é, existem m e n {0} tais que 3= m n. Assim, 3n = m 3n 2 = m 2 m 3n 2 3 m 2. Isto significa que 3 é fator primo de decomposição de m 2. Logo, 3 m e, conseqüentemente, a quantidade de 3 na decomposição de m 2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não é fator primo de n. Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n 2 também é par. Logo, 3n 2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n 2 = m 2. Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n 2 é 1, e isto também é absurdo. Portanto, 3 é irracional. 22 Aula 03 Análise Real

25 Resumo Nesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Aplicamos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedades interessantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprendemos os conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos. Autoavaliação VERSÃO DO PROFESSOR Usando o fato de ser um corpo, prove: 1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x então a =0. 2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x então u =1. 3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y =0então y = x. 4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y =1então y = x 1. Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que: 5) para quaisquer x, y, z vale: x z x y + y z. 6) para quaisquer x, y vale: x y x y. Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que: 7) se A e B são subconjuntos limitados de, satisfazendo A B então supa supb e infa infb. Construa um exemplo que ilustre essas afirmações 8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c. Mostre que: a) o conjunto A + B = {x + y; x Aey B} é limitado. b) sup(a + B) = sup(a)+ sup(b) Aula 03 Análise Real 23

26 VERSÃO DO PROFESSOR c) inf(a + B) = inf(a)+ inf(b) d) sup(ca) =c.sup(a) se c 0 e) inf(ca) =c.inf(a) se c 0 f) sup(ca) =c.inf(a) se c 0 g) inf(ca) =c.sup(a) se c 0 10) Mostre que 2 não é um número racional. Referências FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo: Atual, LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Coleção Matemática Universitária, MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG, Aula 03 Análise Real

27 Análise Real MATEMÁTICA EMENTA Conjuntos fi nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções. Panorama histórico. AUTORES > André Gustavo Campos Pereira > Viviane Simiolli de Medeiros Campos AULAS 01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções 02 Conjuntos finitos e enumeráveis 03 Números reais 04 Sequências de números reais 05 Desigualdades, operações com sequências e limites infinitos 06 Séries numéricas 07 Limite de funções 08 Funções contínuas 09 Funções deriváveis 10 Máximos e mínimos 12 2º Semestre de 2009 Impresso por: Gráfica

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