Notas de. Análise Complexa

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1 Notas de Análise Complexa Ricardo Mamede Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra 205

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3 Índice Números Complexos. O corpo dos números complexos A forma polar dos complexos Subconjuntos de C Sucessões e séries numéricas 2. Sucessões de números complexos Séries de números complexos Critérios de convergência Séries de Fourier 33 4 Funções Analíticas 4 4. Funções complexas e continuidade Diferenciabilidade e condições de Cauchy-Riemann Funções elementares Integração de Funções Complexas Integração de funções complexas de variável real Integrais de caminho Teorema de Cauchy-Goursat Fórmulas integrais de Cauchy Séries de Potências 7 6. Série de potências Série de Taylor Série de Laurent e o teorema dos resíduos Classificação das singularidades isoladas Bibliografia 85

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5 Capítulo Números Complexos. O corpo dos números complexos Um par (G, ), constituído por um conjunto não vazio G e por uma operação binária : G G G, diz-se um grupo se satisfaz as seguintes propriedades:. Associatividade: para quaisquer a, b, c G, (a b) c = a (b c). 2. Existência de elemento neutro: existe e G tal que para todo o a G, a e = e a = a. 3. Existência de inverso: para todo o a G existe a G tal que a a = a a = e. Um grupo (G, ) diz-se abeliano ou comutativo se para quaisquer a, b G, se verifica a b = b a. Exemplos familiares de grupos abelianos incluem (Z, +), os números inteiros sob a adição usual; (R, +), os números reais sob a adição usual; (R n, +), o conjuntos dos n-úplos de números reais sob a adição vetorial; ou (R \ {0}, ), os números reais não nulos sob a multiplicação. Como exemplo de um grupo não abeliano temos o grupo das matrizes não singulares. Um corpo (K, +, ) é constituído por um conjunto não vazio K e duas operações binárias + e em K, designadas resp. por adição e multiplicação, tais que (K, +) e (K\{0}, ) são grupos abelianos, onde 0 denota o elemento neutro da adição, e a multiplicação é distributiva em relação à adição: para quaisquer a, b, c K, a (b + c) = (a b) + (a c).

6 .. O CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS O conjunto dos números reais R munido da adição e multiplicação usuais (R, +, ) é um corpo. Alem disso é um corpo ordenado mediante a relação de ordem usual entre números reais. Isto significa que existe uma relação < definida em R tal que:. Se x, y R, então exatamente uma das condições x < y, y < x e x = y é verdadeira. 2. Somas e produtos de números positivos (i.e. > 0) são igualmente positivos. Consideremos o conjunto R 2 seguintes operações: = {(a, b) : a, b R} dos pares ordenados, munido das (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Estas operações são comutativas, associativas e a multiplicação é distributiva relativamente à adição. Além disso, os pares (0, 0) e (, 0) são os elementos neutros da adição e multiplicação, respetivamente. Deste modo, (R 2, +, ) é um corpo que se designa por corpo dos números complexos e se denota por C. O subconjunto {(a, 0) : a R} de C identifica-se com o conjunto dos reais R através da bijecção (a, 0) a. Denotando então o par (a, 0) com o real a e o par (0, ) com a letra i, obtemos a representação algébrica dos números complexos (a, b) = (a, 0) + (0, ) (b, 0) = a + bi. O símbolo i é a unidade imaginária. Notemos que i 2 =. Se z = a + bi C, chamamos a a a parte real de z e escrevemos a = Re(z). Chamamos a b a parte imaginária de z e escrevemos b = Im(z). Quando Re(z) = 0 o número complexo z diz-se um imaginário puro. Notemos que sendo C um corpo, a multiplicação é comutativa, pelo que podemos também escrever (a, b) = a + ib. Ao contrário do que ocorre com os números reais, em C não existe qualquer relação de ordem compatível com as operações. De facto, notemos que se supusermos i > 0 ou i > 0, seremos forçados a concluir que = ii > 0. Mas também temos = 2 > 0. Logo, obtemos > 0 e < 0. Portanto, não faz sentido usar os símbolos < ou entre números complexos a menos que se trate de números reais. Calculando as sucessivas potências de expoente natural i m da unidade imaginária, obtêmse os valores i,, i,, consoante os restos da divisão de m N por 4 seja, 2, 3 ou 0:, r = 0 i, r = i n = i 4k+r = (i 4 ) k i r = i r =., r = 2 i, r = 3 2

7 .. O CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS O módulo do número z = a + bi é o número real não negativo z = a 2 + b 2, e o conjugado de z é número z = a bi. Proposição.. Sejam z e w números complexos. Então:. z + z = 2Re(z) e z z = 2iIm(z). 2. z = z se e só se Im(z) = 0 se e só se z R. 3. z = z. 4. z ± w = z ± w, zw = z w e, se w 0, ( z ) = z w w. 5. zz = z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) z = 0 se e só se z = Se z 0, z = z = z z zw = z w e z = z se w 0. w w 9. z w z ± w z + w. Demonstração. Vamos provar apenas a propriedade 9. As restantes ficam a cargo do leitor. Começamos pela desigualdade z + w z + w, conhecida por desigualdade triangular. Da definição de módulo de um número complexo resulta z Re(z) z Pelas propriedades 5, 4 e, podemos escrever Usando agora (.) obtemos z Im(z) z. (.) z + w 2 = (z + w)(z + w) = zz + (zw + zw) + ww = z 2 + (zw + zw) + zw + w 2 = z 2 + 2Re(zw) + w 2 z + w 2 z zw + w 2 = z z w + w 2 = ( z + w ) 2 donde segue a desigualdade triangular. Uma vez que w = w, obtemos igualmente z w = z + ( w) z + w = z + w. 3

8 .2. A FORMA POLAR DOS COMPLEXOS Da desigualdade triangular resulta ainda z = (z w) + w z w + w, ou equivalentemente, z w z w. Analogamente, w z z w, donde se conclui que z w z w. A mesma estimativa pode ser aplicada a z + w, obtendo-se igualmente z w z + w. A desigualdade triangular pode ser estendida para somas com um número arbitrário de parcelas z + z z n z + z z n. Ocorre igualdade se e só se a razão entre dois quaisquer números não nulos for positiva. Se k e n são inteiros positivos tais que mdc(k, n) =, definimos ainda ( ) k ( z k =, z ) k n = z k n. z.2 A forma polar dos complexos Uma vez que o conjunto dos números complexos coincide com o conjuntos dos pontos do plano, um número complexo z = a + bi pode ser identificado com o ponto (a, b) no plano cartesiano, que vulgarmente se designa por afixo de z. Neste caso, é usual designar o plano cartesiano por plano complexo ou plano de Argand. Podemos ainda identificar o número z com o vetor com inicio na origem (0, 0) e ponto final o afixo (a, b). O comprimento de z é a distância de z à origem, i.e., é z = a 2 + b 2. Nesta representação, o módulo z w representa a distância de z a w. A interpretação geométrica da adição de vetores já nos é familiar, uma vez que corresponde à adição de vetores no plano. Para termos uma visualização geometrica da multiplicação vamos introduzir um sistema de coordenadas polares no plano do seguinte modo. Se z 0 então z/ z está situado algures sobre o circulo unitário e, portanto, existe um ângulo θ tal que z/ z = cos(θ) + i sin(θ). Podemos então escrever z na forma polar z = z (cos(θ) + i sin(θ)) 4

9 .2. A FORMA POLAR DOS COMPLEXOS y y z z z + w x w x z Figura.: Interpretação gráfica do conjugado e da soma de complexos onde θ é designado por argumento de z e denotado por arg(z). É importante ter presente que arg(z) NÃO é univocamente determinado por z; adicionando qualquer múltiplo de 2π a θ dá origem a outro valor para arg(z), igualmente válido. Quando nos referimos ao argumento de um número complexo, queremos dizer um de entre os infinitos possíveis valores do argumento. Portanto, arg(z) = {θ R : z = z (cos(θ) + i sin(θ))}. Ao (único) argumento de z pertencente ao intervalo ] π, π], chamamos argumento principal de z e representamo-lo por Arg(z). Uma outra ambiguidade é relativa ao número 0, pois não definimos qualquer argumento para este número, sendo vulgar considerar qualquer real como um argumento válido para 0. É frequente utilizar-se as formas abreviadas z = rcis(θ) = re iθ, onde r = z e cis(θ) = cos(θ)+i sin(θ) = e iθ. Esta última igualdade designa-se por fórmula de Euler e será justificada mais à frente. y r sin(θ) r z = re iθ θ r cos(θ) x Figura.2: Forma polar de um número complexo 5

10 .2. A FORMA POLAR DOS COMPLEXOS Designando por θ um valor do argumento de z = a + bi e sendo r = z, obtemos Re(z) = r cos(θ) Im(z) = r sin(θ). Portanto, o argumento de z 0 é determinado pelas equações cos(θ) = Re(z) r e sin(θ) = Im(z). r Exemplo.. O argumento do número complexo z = i é o conjunto arg(i) = {2kπ + π 2, k Z}, e o seu argumento principal é Arg(i) = π. Tem-se portanto i = cis(π/2). 2 Proposição.2 (Multiplicação e divisão de complexos na forma polar). Sejam z = r cis(θ ) e w = r 2 cis(θ 2 ) números complexos. Então:. zw = r r 2 cis(θ + θ 2 ). 2. z = r cis( θ ). 3. z = r cis( θ ). 4. z w = r r 2 cis(θ θ 2 ). 5. (z) n = r n cis(nθ ), n Z - Fórmula de De Moivre. Demonstração. Usando as fórmulas trigonométricas da adição do seno e do cosseno, obtemos zw = r (cos(θ ) + i sin(θ ))r 2 (cos(θ 2 ) + i sin(θ 2 )) = (r r 2 )(cos(θ + θ 2 ) + i sin(θ + θ 2 )) = (r r 2 )cis(θ + θ 2 ). A propriedade 2 resulta das definições e a 3 segue de 2 e da igualdade /z = z/ z 2. A propriedade 4 resulta de e de 3 e a última propriedade obtém-se por indução sobre n. Concluímos que se multiplicam número complexos multiplicando os respetivos módulos e somando os argumentos. Em particular, multiplicar um número complexo z por outro com módulo é equivalente a rodar z por um ângulo igual ao do argumento do segundo número. Notemos que apesar de arg(z z 2 ) = arg(z ) + arg(z 2 ), em geral Arg(z z 2 ) Arg(z ) + Arg(z 2 ), 6

11 .2. A FORMA POLAR DOS COMPLEXOS como se pode comprovar fazendo z = = cis(π) e z 2 = 5i = 5cis( π ). O argumento 2 principal de z z 2 = 5cis( π) é Arg(z 2 z 2 ) = π, mas Arg(z 2 ) + Arg(z 2 ) = π + π. 2 A fórmula de De Moivre pode ser usada para determinar as raízes índice n (n N) de um número complexo. Seja z 0 um número complexo. Dizemos que w é a n-ésima raiz de z se w n = z, onde n é um inteiro positivo. Dois números complexos escritos na forma polar são iguais se e só se têm o mesmo módulo e os argumentos diferem entre si num múltiplo de 2π. Assim, se w = w cis(φ) e z = z cis(θ), são tais que w n = z, temos w n = z w n = z se e só se nφ = θ + 2kπ, com k Z w = n z se e só se φ = θ+2kπ, k = 0,,..., n. n Para cada k = 0,,..., n, obtemos n raízes distintas, todas com o mesmo módulo n z mas com diferentes argumentos. Devido à periodicidade do seno e do cosseno, para k n obtemos as mesmas raízes, visto que se k = n + m, com m = 0,,..., n, obtemos e φ = θ + 2(n + m)π n = θ + 2mπ n ( ) θ + 2mπ sin(φ) = sin, cos(φ) = cos n + 2π ( θ + 2mπ Recapitulando, as raízes de índice n de z 0 são w k = n ( ) θ + 2kπ z cis, k = 0,,..., n, n n ). ou seja, n z = z /n = {w 0, w,..., w n }. Geometricamente, as raízes de índice n de um número complexo z 0 estão situadas sobre a circunferência de centro na origem e raio n z. Além disso, a diferença entre os argumentos de duas raízes consecutivas é 2π n. Em particular, a raiz quadrada de um número complexo z = rcis(θ) 0 tem dois valores, w = 2cis(θ/2) e w 2 = 2cis(θ/2 + π). Na forma algébrica, temos w = x + yi e w 2 = x yi. Se z 0 é real negativo, temos x = 0. No caso de x 0, as raízes de z não são imaginárias puras, pelo que uma das raízes tem parte real positiva e a outra negativa. Vamos designar por ramo principal da raiz quadrada complexa àquela que atribui à raiz quadrada de um número complexo o valor x + yi, com x > 0, ou então x = 0 e y 0. 7

12 .3. SUBCONJUNTOS DE C.3 Subconjuntos de C Seja z 0 = x 0 +y 0 i C. Como z z 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 é a distância entre z = x+yi e z 0, os números complexos z que satisfazem a equação z z 0 = ρ, ρ > 0, pertencem à circunferência de centro z 0 e raio ρ. Exemplo.2.. z = representa a circunferência de centro 0 e raio. 2. z + 3i = 5 z ( 3i) = 5 representa a circunferência de centro (, 3) e raio 5. Em coordenadas polares, a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0 pode ser escrita como {ρcis(θ), 0 θ 2π} = {z : z = ρ}. Adicionando o número z 0 à expressão anterior, obtemos uma expressão para a circunferência de centro z 0 e raio ρ: {z 0 + ρcis(θ), 0 θ 2π}. Definição.. Seja z 0 C e r > 0. A bola aberta de centro z 0 e raio r é o conjunto B(z 0, r) = {z : z z 0 < r}. Também se chama vizinhança de z 0 à bola aberta B(z 0, r). A bola fechada de centro z 0 e raio r é o conjunto B(z 0, r) = {z : z z 0 r}. Definição.2. Dizemos que S C é um subconjunto aberto se qualquer ponto z S possui uma bola aberta contida em S, ou seja, z S r > 0 : B(z, r) A. Exemplo.3. O conjunto S = {z C : Re(z) > } é aberto. De facto, dado z = a + bi S com a >, tomemos r = a e notemos que B(z, r) S. Ou seja, qualquer ponto de S possui uma vizinhança contida em S, logo S é aberto. Exemplo.4. O conjunto S = {z C : Re(z) } não é aberto, pois qualquer vizinhança de z = possui pontos que não estão em S. 8

13 .3. SUBCONJUNTOS DE C Exemplo.5. A bola aberta B(z 0, r) é um conjunto aberto, mas a bola fechada B(z 0, r) não é um conjunto aberto. Já o conjunto C \ B(z 0, r) é aberto. Definição.3. Um ponto z 0 diz-se um ponto de acumulação de S C se qualquer bola aberta centrada em z 0 possui pontos de S diferentes de z 0, isto é, se S (B(z 0, r) \ {z 0 }) para todo o r > 0. Definição.4. Sejam z, w C. O segmento de reta que une os pontos z e w é o conjunto [z, w] = {( t)z + tw : 0 t }. Dados z, z 2,..., z n C, a linha poligonal [z, z 2,..., z n ] é o conjunto [z, z 2,..., z n ] = [z, z 2 ] [z 2, z 3 ] [z n, z n ]. Definição.5. Um conjunto S C diz-se conexo se, quaisquer que sejam z, w S, existir uma curva contínua totalmente contida em S, que une z a w. Chamamos região a qualquer subconjunto de C aberto e conexo. Exemplo.6. A bola aberta B(z 0, r) (bem como a bola fechada B(z 0, r)) é um conjunto conexo. Nota.. Se S C é aberto e conexo, então quaisquer que sejam z, w S, existe uma linha poligonal composta por segmentos horizontais e verticais, totalmente contida em S, que une z a w. Definição.6. Um conjunto S C diz-se limitado se existir r > 0 tal que S {z : z < r} = B(0, r). 9

14 .3. SUBCONJUNTOS DE C 0

15 Capítulo 2 Sucessões e séries numéricas 2. Sucessões de números complexos Definição 2.. Uma sucessão de números complexos é uma sequência (ordenada) infinita z, z 2,..., z n,... de números complexos (também consideramos sucessões que começam num inteiro k ). Formalmente, uma sucessão é uma função z : N C na variável independente n N e tomando valores em C. Ao termo z n chamamos termo geral da sucessão e denotamos a sucessão z, z 2,... por (z n ). Se z n R para todo o n, dizemos que (z n ) é uma sucessão de números reais. A sucessão (z n ) diz-se limitada se existir um número real M R tal que z n M, n N. Ou seja, (z n ) é limitada se todos os seus termos estão contidos na bola fechada B(0, M). Por exemplo, a sucessão de termo geral z n = in é limitada pois para todo o número 2n natural n N temos i n = 2. n 2 n Portanto, todos os termos de (z n ) estão contidos na bola B(0, ). Definição 2.2. Uma sucessão (z n ) tem limite l C, e escrevemos lim z n = l ou z n l se para qualquer ε > 0 existe um n ε N tal que z n l < ε para n > n ε. Se existir um número complexo l nestas condições dizemos que a sucessão converge; caso contrário diremos que a sucessão diverge.

16 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Portanto, a sucessão (z n ) é convergente se pudermos tornar os seus termos z n tão perto de l quanto quisermos ao fazermos n suficientemente grande. Temos z n l se e só se z n l 0. A desigualdade z n l < ε significa que a partir de n ε todos os termos da sucessão estão contidos na bola B(l, ε). O significado geométrico desta definição pode ser visto na figura 2.. z 3 z 2 z z ε z n l ε Figura 2.: Convergência de uma sucessão complexa Exemplo 2.. A sucessão (i n /n) converge para 0. Seja ε > 0. Então, i n n 0 = n < ε sempre que n > /ε. Podemos tomar n ε > /ε. Exemplo 2.2. Consideremos a sucessão de termos geral z n = (n + 2i)/n. Então z n. Se ε > 0, temos n + 2i n = 2i n = 2 n < ε sempre que n > 2/ε. Podemos tomar n ε > 2/ε. É fácil constatar que a convergência e o limite de uma sucessão não se alteram se a ela retirarmos ou acrescentarmos um número finito de termos. Tal como no caso real, o limite de uma sucessão complexa, quando existe, é único. Teorema 2.. O limite de uma sucessão convergente é único. Demonstração. Suponhamos que z n l e z n l 2. Então, dado ε > 0 existem n, n 2 N tais que e z n l < ε 2, para n > n z n l 2 < ε 2, para n > n 2. Seja n ε = max{n, n 2 }. Então, para n n ε temos l l 2 = (l z n ) + (z n l 2 ) z n l + z n l 2 < ε 2 + ε 2 = ε. Ou seja, l l 2 é uma constante positiva menor do que qualquer ε > 0, logo l = l 2. 2

17 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Teorema 2.2. Uma sucessão convergente é limitada. Demonstração. Suponhamos que z n l. Então existe n ε C tal que z n l < para n > n ε. Assim, z n = z n l + l z n l + l < + l. Seja M = max{ z, z 2,..., z ε, + l }. Então, z n M para qualquer n N. O reciproco do resultado anterior não é verdadeiro, ou seja, uma sucessão limitada não é, necessariamente, convergente. Exemplo 2.3. A sucessão de termo geral z n = ( ) n é limitada, com z n para todo o n N. Vamos mostrar que esta sucessão não é convergente. Seja l um número complexo e notemos que para todo o n N, temos z n+ z n = 2. Assim, podemos escrever 2 = z n+ z n = (z n+ l) + (l z n ) z n+ l + z n l. Isto significa que para todo o n N, pelo menos uma das duas desigualdades z n+ l e z n l se verifica. Portanto, a condição para a convergência não se verifica para ε =, pelo que (z n ) é divergente. Teorema 2.3 (Álgebra dos limites). Sejam (z n ) e (w n ) duas sucessões convergentes para z e w, resp., e seja c C. Então:. lim(z n ± w n ) = z ± w, 2. lim(z n w n ) = zw, ( ) zn 3. lim = z se w 0. w w n Demonstração.. Seja ε > 0. Então, existem n, n 2 N tais que z n z < ε 2, para n > n e w n z < ε 2, para n > n 2. Com n 0 = max{n, n 2 }, temos que para qualquer n > n 0, (z n ± w n ) (z ± w) = (z n z) ± (w n w) z n z + w n w < ε 2 + ε 2 = ε. Logo z n ± w n z ± w. 2. Como z n z, existe n N tal que z n z < para n > n, 3

18 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS pelo que z n < z + para n > n. Por outro lado, dado ε > 0 existem n 2, n 3 N tais que e z n z < w n w < Seja n 0 = max{n, n 2, n 3 }. Para n > n 0 temos Mostrámos assim que z n w n zw. ε 2( w + ), para n > n 2 ε 2( z + ), para n > n 3. z n w n zw = z n w n z n w + z n w zw = z n (w n w) + (z n z)w z n w n w + w z n z < ε 2 + ε 2 = ε. 3. Vamos começar por mostrar que /w n /w. Como w 0 e w n w, existe n N tal que para n > n todos os termos z n da sucessão estão dentro da bola de centro w e raio w /2, ou seja, Isto significa que w n w < w 2 para n > n. w n > w para n > n. 2 Por outro lado, dado ε > 0 existe n 2 N tal que w n w < w 2 ε 2 Seja n 0 = max{n, n 2 }. Para n > n 0 temos w n w = w n w w n w para n > n 2. 2 w n w w 2 < ε. Assim, /w n /w e pela alínea 2. concluímos que z n /w n = z n (/w n ) z/w. Definição 2.3. Dizemos que a sucessão (z n ) diverge para, e escrevemos z n, se para qualquer M > 0 existe n 0 N tal que z n > M sempre que n > n 0. Exemplo 2.4. A sucessão de termo geral z n = (2i) n satisfaz z n pois qualquer que seja o real M > 0 temos (2i) n = 2 n > M sempre que n > log 2 M. 4

19 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS É consequência das definições que z n se e só se /z n 0. Definição 2.4. Chamamos subsucessão da sucessão (z n ) a qualquer sequência infinita obtida a partir de (z n ) por eliminação de alguns termos. Proposição Se a sucessão (z n ) converge para l C, então qualquer subsucessão de (z n ) tem limite l. 2. Sejam (u n ) e (v n ) subsucessões da sucessão (z n ) que contêm todos os termos desta. Se (u n ) e (v n ) têm o mesmo limite l então (z n ) também tem limite l. Demonstração. A propriedade. resulta das definições de limite e de subsucessão. Quanto a 2., consideremos ε > 0. Então, existem n, n 2 N tais que u n l < ε para n > n e v n l < ε para n > n 2. Fazendo n 0 = max{n, n 2 }, temos que se n > n 0 então u n l < ε e v n l < ε. Como o conjunto dos termos de (z n ) é a união do conjunto dos termos de (u n ) e de (v n ), obtemos z n l < ε, ou seja, z n l. Exemplo 2.5. O resultado anterior fornece uma nova prova de que a sucessão de termo geral ( ) n é divergente, pois as suas subsucessões (( ) 2n ) e (( ) 2n+ ) têm limites e -, resp. As sucessões reais são particularmente interessantes devido ao corpo dos números reais ser ordenado. Este facto permite obter resultados que só se aplicam às sucessões reais. Vamos de seguida relembrar alguns resultados sobre convergência de sucessões reais que necessitaremos mais adiante. Sucessões de números reais Teorema 2.5 (Sucessões enquadradas). Sejam (a n ), (b n ) e (c n ) sucessões de números reais tais que. a n b n c n, para todo o n; 2. a n e c n são convergentes com igual limite l. Então b n é convergente e lim b n = l. 5

20 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Demonstração. Como a n l e c n l, temos c n a n 0. Isto significa que dado ε > 0 existem n, n 2 N tais que c n a n < ε 2 para n > n e a n l < ε 2 para n > n 2. Seja n 0 = max{n, n 2 }. Então, para n > n 0 temos b n l b n a n + a n l c n a n + a n l < ε. Portanto, b n l. Exemplo 2.6. Utilizando o teorema das sucessões enquadradas é fácil verificar que lim n! n n = 0. De facto, temos 0 n! n = 2 n n n n n = ( 2 3 n n n n ) n n. Como lim 0 = lim /n = 0 temos o resultado. Definição 2.5. Seja (a n ) n N uma sucessão de números reais. Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se a a 2 a 3 a n então (a n ) diz-se crescente. Se a n a n+ para todo o n N, isto é, se a a 2 a 3 a n então (a n ) diz-se decrescente. Uma sucessão que seja decrescente ou crescente diz-se monótona. Como vimos atrás, nem toda a sucessão limitada é convergente. No entanto, temos o seguinte resultado: Proposição 2.6. Toda a sucessão real monótona e limitada é convergente. 6

21 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Demonstração. Suponhamos que (a n ) é uma sucessão crescente (o caso decrescente é análogo) e limitada. Seja l o supremo do conjunto {a n : n N}. Vamos mostrar que a n l. Dado ε > 0 existe n 0 N tal que l ε < a n0 l. Como (a n ) é crescente, temos l ε < a n0 a n l < l + ε para todo o n > n 0, pelo que a n l < ε. Exemplo 2.7. Vamos utilizar o resultado anterior para estudar o comportamento da sucessão (r n ), com r um número real fixo. Quando r >, temos r n+ r n = r n (r ) > 0, pelo que (r n ) é crescente. Além disso, escrevendo r = + h e utilizando o binómio de Newton, podemos escrever r n = ( + h) n = + nh + e, como todas as parcelas são positivas, n(n ) h r n > + nh. Uma vez que lim + nh = +, também lim r n = +. Quando r = obtemos a sucessão constante r n = n = convergente para. Se 0 < r <, temos r n+ r n = r n (r ) < 0 pelo que (r n ) é decrescente. Além disso, Fazendo r = h, temos h > e 0 < r n = h <. n Ou seja (r n ) n N é monótona e limitada, logo convergente. Como lim h n = +, temos lim r n = 0. Quando r = 0 obtemos a sucessão constante r n = 0 n = 0 convergente para 0. Finalmente, se r < 0, temos r < 0, r 2 > 0, r 3 < 0,..., pelo que (r n ) não é monótona. Além disso, podemos escrever r n = ( ) n ( r) n. Se < r < 0, lim( r) n = 0, donde lim r n = 0. Se r = obtemos a sucessão divergente ( ) n e se r <, de (r n ) podemos extrair duas subsucessões a, a 3, a 5,... e a 2, a 4, a 6,... +, pelo que (r n ) é divergente. 7

22 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Temos, portanto, +, se r >, se r = lim r n =. 0, se < r < não existe, se r Dado um número real a 0, facilmente obtemos +, se r > a, se r = lim ar n =. 0, se < r < não existe, se r Uma sucessão da forma (ar n ) diz-se uma progressão geométrica de razão r. Cada termo é obtido do anterior por multiplicação pelo número r, chamado razão. Exemplo 2.8. A sucessão (a n ), onde para cada n N, a n = ( + n) n, é convergente. De facto, pode provar-se que esta sucessão é monótona e limitada. Ao seu limite chamamos e (número de Euler): ( lim + n) n = e 2, Recordando que para uma função real de variável real f se tem lim f(x) = l ε > 0 M > 0 : x D f e x M f(x) l < ε, x + podemos concluir que a diferença entre esta e a definição de limite de uma sucessão está unicamente no domínio onde as funções estão definidas. Como N está contido em R podemos facilmente estabelecer o seguinte resultado: Proposição 2.7. Seja f : [, + [ R uma função real de variável real e seja l R. Se lim f(x) = l então a sucessão de números reais (f(n)) também converge para l. x + Este resultado pode ser usado para calcular limites de sucessões reais efetuando a sua extensão a uma função de R em R onde temos outros instrumentos para calcular limites. 8

23 2.. SUCESSÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS ( ) ln n Exemplo 2.9. Se quisermos calcular o limite da sucessão, podemos considerar a n função f(x) = ln(x) definida em R + e calcular o seu limite quando x tende para +. x Como se trata de um limite indeterminado, podemos utilizar a regra de L Hôpital para mostrar que ln(x) lim x + x Pelo teorema anterior, segue que lim ln n n = 0. Testes de convergência Vamos agora usar as propriedades das sucessões reais para estudar sucessões complexas. = 0. Proposição 2.8. Seja (z n ) uma sucessão de números complexos.. lim z n = z se e só se lim Re(z n ) = Re(z) e lim Im(z n ) = Im(z). 2. z n 0 se e só se z n Se z n z então z n z. Demonstração.. Notemos que 0 Re(z n ) Re(z), Im(z n ) Im(z) (Re(z n ) Re(z))+i(Im(z n ) Im(z)) = z n z. Assim, se z n z 0, também Re(z n ) Re(z) 0 e Im(z n ) Im(z) 0. Reciprocamente, suponhamos que Re(z n ) Re(z) 0 e Im(z n ) Im(z) 0. Pela desigualdade triangular podemos escrever isto é, z n z 0. 0 z n z Re(z n ) Re(z) + Im(z n ) Im(z) 0, A propriedade 2. é consequência da definição. 3. Temos z n z se e só se z n z 0. Como 0 z n z z n z, concluímos que também z n z 0, ou seja, z n z. Exemplo 2.0. A sucessão de termo geral z n = in converge para 0 uma vez que n i n n = n 0. 9

24 2.2. SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS Exemplo 2.. Mostremos que a sucessão de termo geral z n = 3 + ni n + 2ni converge para i. Para tal, comecemos por escrever z n na forma algébrica z n = 2n2 + 3n 5n 2 O resultado é consequência dos limites lim 2n2 + 3n 5n 2 = 2 5 e 6n + n2 + i. 5n 2 lim 6n + n2 5n 2 = 5. Exemplo 2.2. Seja z C, fixo, e consideremos a sucessão (z n ). É claro que se z <, então z n 0 visto que z n = z n 0. É fácil verificar que n e que se z =, z, z n não tem limite pois neste caso z n = cis(nθ), com θ 0, e a sucessão real cos(nθ) diverge. Além disso, como a sucessão de números reais z n é divergente para z >, pela alínea (3) da proposição anterior concluímos que z n é divergente. Ou seja, (z n ) é convergente se e só se z < ou z =. Proposição 2.9. Se z n 0 e (w n ) é limitada então z n w n 0. Demonstração. Sendo (w n ) uma sucessão limitada, existe M > 0 tal que w n < M para todo o n N. Além disso, dado ε > 0 existe n ε N tal que z n < ε/m para n > n 0. Assim, para n > n 0 temos Ou seja, z n w n 0. 0 < z n w n < ε. 2.2 Séries de números complexos Definição 2.6. Seja (z n ) uma sucessão de números complexos. Chama-se série numérica de termo geral z n à expressão z + z z n + = z n. A sucessão (s n ) definida por s n = z + z z n para todo o n N chama-se a sucessão das somas parciais da série z n. Se a sucessão (s n ) for convergente e lim s n = s, então a série z n é dita convergente e escrevemos z n = s. O número s diz-se a soma da série. Caso contrário, a série diz-se divergente. 20

25 2.2. SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS Exemplo 2.3. Chama-se série geométrica a uma série da forma rz n = r + rz + rz rz n +, onde r, z C. Se r 0 e z (razão), o termo geral da sucessão das somas parciais desta série pode escrever-se na forma s n = r + rz + rz rz n = r zn z. (2.) Usando o resultado do exemplo 2.2 podemos concluir que a sucessão (s n ) é convergente se e só se z < e neste caso Portanto, se r 0, a série geométrica a sua soma é ( ) lim s n = lim r z zn = r z z. rz n é convergente se e só se z < e, neste caso, rz n = r z. (2.2) Por outras palavras, a soma de uma série geométrica convergente é dada por primeiro termo. razão Exemplo 2.4. Chama-se série telescópica ou série de Mengoli a uma série da forma (z n z n+p ), onde (z n ) é uma sucessão de números complexos. Quando p =, a sua n-ésima soma parcial pode ser escrita como n s n = (z k z k+ ) k= = (z z 2 ) + (z 2 z 3 ) + + (z n z n+ ) = z z n+. Assim, a série converge se e só se a sucessão (z n ) converge e, nesse caso, a sua soma é z lim z n. 2

26 2.2. SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS Exemplo 2.5. A série harmónica n é divergente. De facto, consideremos a subsucessão (s 2 n) da sucessão das somas parciais (s n ) e notemos que s 2 = + 2 ) ) s 2 2 = + ( > + ( = s 2 3 = + ( ) ( ) 8 > + ( ) ( ) 8. = s 2 n > + n 2 Portanto, (s n ) possui uma subsucessão ilimitada, pelo que (s n ) não é convergente. Concluí-se então que a série harmónica é divergente. Uma vez que a noção de convergência de uma série está ligada à noção de limite da sucessão das somas parciais, obtemos o seguinte resultado. Proposição 2.0. A natureza (convergência ou divergência) de uma série não se altera se retirarmos, eliminarmos ou alterarmos um número finito dos seus termos. Note-se, no entanto, que se se retirarmos, eliminarmos ou alterarmos um número finito dos termos de uma série convergente, a série resultante converge mas não necessariamente para a soma da série original. Por exemplo, se k N e z n = s então série z n também é convergente mas tem soma z n = s (z + + z k ). n=k Proposição 2. (Álgebra das séries). Sejam z n e w n duas séries convergentes com somas s e t, respectivamente. Então, dado c C,. (z n + w n ) e cz n são ambas convergentes; 2. a soma de (z n + w n ) é s + t e a soma de cz n é cs. 22 n=k

27 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Demonstração. As propriedades são consequência da álgebra dos limites de sucessões complexas. Corolário 2.2. Se z n é convergente e w n é divergente, então a série (z n + w n ) é divergente. Demonstração. Se (z n + w n ) fosse convergente, então pelo teorema anterior também a série w n = (z n + w n ) seria convergente, o que é um absurdo. Outro resultado que segue imediatamente da noção de limite é o seguinte: Teorema 2.3 (Convergência de séries complexas vs séries reais). A série de números complexos converge se e só se as séries de números reais Re(z n ) e Im(z n ) z n convergem e, nesse caso, z n z n = Re(z n ) + i Im(z n ). 2.3 Critérios de convergência Teorema 2.4 (Condição necessária de convergência). Se a série z n é convergente, então lim z n = 0. Demonstração. Seja (s n ) a sucessão das somas parciais associada à série. Considerando t n = s n, podemos considerar a sucessão (t n ) como uma subsucessão de (s n ) e, como tal, convergente para o mesmo limite. Assim, lim z n = lim s n t n = 0. A uma série associamos duas sucessões: a sucessão (s n ) das somas parciais associada à série e a sucessão (z n ) dos seus termos. Se z n for convergente, a sua soma é s = lim s n e lim z n = 0. O recíproco deste teorema é falso: se lim z n = 0 não podemos concluir que a série z n converge. De facto, a série n diverge e lim n = 0. Corolário 2.5 (Teste para a divergência). Se lim a n 0, então a série a n é divergente. Exemplo 2.6. As séries ( ) n, ni e gerais não convergem para zero. ni são divergentes, pois os seus termos n + 23

28 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Séries reais Vamos seguidamente analisar o caso particular das séries de números reais. Como veremos mais adiante, as séries de números reais terão um papel importante no estudo da natureza de uma série complexa. Teorema 2.6 (Teste de comparação). Sejam reais tais que 0 a n b n, para todo o n n 0. Então, a n e. se b n é convergente, então a n é também convergente; 2. se a n é divergente, então b n é também divergente. b n duas séries de números Demonstração. Como. e 2. são equivalentes, provaremos apenas a condição. Sejam (s n ) e (t n ) as sucessões das somas parciais de a n e de b n = t, resp. Como ambas as séries têm termos positivos, as sucessões (s n ) e (t n ) são crescentes. Além disso, t n t, pelo que t n t. Como a n b n para todo o n N, temos s n t n para todo o n N, logo também s n t para todo o n N. Isto significa que a sucessão (s n ) é crescente e limitada, logo convergente. Exemplo 2.7. A série e a série é convergente, uma vez que 2 n n + 2 n 2 converge pois é uma série geométrica de razão 0 < <. n 2 Teorema 2.7 (Teste de comparação do limite). Sejam a n e b n duas séries de termos não-negativos. Se l = lim a n b n R + {0, + }, então:. Se l R +, isto é, não é zero nem +, então as séries têm a mesma natureza. 2. Se l = 0 e b n converge, então a n converge. 3. Se l = + e b n diverge, então a n diverge. Demonstração.. Sejam m e M números reais positivos tais que m < l < M. Como lim a n /b n = l, existe n 0 N tal que para n > n 0 se tem m < a n b n < M, 24

29 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA ou de forma equivalente, mb n < a n < Mb n. Se b n converge, também Mb n converge e, pelo o teste de comparação, também a série a n converge. Por outro lado, se b n diverge, também mb n diverge e mais uma vez pelo o teste de comparação, concluímos que a série a n diverge. 2. Se lim a n = 0 então dado ε > 0 existe n 0 N tal que para n > n 0 temos 0 < a n < ε, b n b n ou de forma equivalente, 0 < a n < εb n. Se b n converge, o mesmo se passa com a série εb n e, pelo teste de comparação, a n converge. 3. Finalmente, se lim a n = + então dado M > 0 existe n 0 N tal que para n > n 0 b n temos 0 < M < a n, ou seja, 0 < Mb n < a n. Mais uma vez o teste de comparação diz-nos b n que se b n diverge também a série a n diverge. Exemplo 2.8. A série 2 n é convergente. De facto, lim 2 n 2 n = lim 2n 2 n = R+ e a série 2 n é geométrica de razão 0 < 2 do limite, obtemos o resultado. <, logo convergente. Pelo teste de comparação Teorema 2.8 (Critério do integral). Seja f : [, + [ R uma função contínua, não negativa e decrescente. Então o integral impróprio + f(x)dx e a série f(n) têm a mesma natureza. Demonstração. Consideremos a área limitada pelo eixo dos xx s e o gráfico da função f(x) entre e n. Particionamos o intervalo [, n] em subintervalos de comprimento e tomamos o valor da função f no extremo direito de cada intervalo (cf. figura abaixo). Este procedimento define retângulos de área a i := f(i), para i = 2,..., n, cuja soma das áreas satisfaz a 2 + a a n 25 n f(x)dx. (2.3)

30 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA y a 2 a 3 a 4 a 5 a n n y = f(x) x Se o integral Portanto, + f(x)dx é convergente, então da desigualdade (2.3) segue que n a i i=2 s n = a + n f(x)dx n a i a + i=2 + + f(x)dx. f(x)dx = M, para algum M R. Isto significa que a sucessão das somas parciais (s n ) da série f(n) é limitada. Como esta sucessão é claramente crescente, podemos concluir que (s n ) é convergente, i.e., a série f(n) é convergente. n Suponhamos agora que o integral + f(x)dx é divergente. Como f(x) 0 temos f(x)dx + quando n +. De forma análoga ao caso anterior (cf figura abaixo), podemos concluir que n f(x)dx a + a a n = s n. (2.4) y a n a a 2 a 3 a n y = f(x) x A desigualdade (2.4) significa que s n +, pelo que a série f(n) diverge. 26

31 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Exemplo 2.9. Dado p R designamos por série-p ou série de Dirichlet a série Vamos utilizar os critérios anteriores para estudar a natureza desta série. n. p Se p < 0 então lim /n p = e se p = 0 então lim /n p =. Em ambos os casos lim /n p 0, pelo que o teste para a divergência permite concluir que a série-p correspondente diverge. Se p > 0 a função f(x) = /x p é contínua, decrescente e positiva no intervalo [, + [. Uma vez que o integral impróprio + f(x)dx converge se p > e diverge se p, o teste do integral diz-nos que a série-p converge para p > e diverge se 0 < p. Resumindo, a série-p converge para p > e diverge para p. np Vamos de seguida analisar séries reais cujos termos não são necessariamente positivos. Designaremos estas séries por séries de termos de sinal não definido. De entre estas, existem umas especiais chamadas séries alternadas. Definição 2.7. Uma série da forma ( ) n b n ou o n, chama-se série alternada. ( ) n b n, onde b n R + para todo Teorema 2.9 (Critério de Leibniz). Se a sucessão de termos reais positivos (b n ) é decrescente e tal que lim b n = 0, então a série alternada ( ) n b n é convergente. Demonstração. Consideremos a sucessão das somas parciais (s n ) da série ( ) n b n. Uma vez que b n > 0 e que (b n ) é decrescente, não é difícil verificar que s s 3 s 5 s 2n s 2n s 6 s 4 s 2. Concluímos que a subsucessão dos termos ímpares (s 2n ) é decrescente e limitada inferiormente por s 2, enquanto que a subsucessão dos termos pares (s 2n ) é crescente e limitada superiormente por s. Portanto, ambas as subsucessões são convergentes. Além disso s 2n s 2n = b 2n 0, pelo que ambas as subsucessões têm o mesmo limite. Concluímos assim que (s n ) é convergente. Exemplo A série alternada ( ) n n é convergente pois (b n) = (/n) é uma sucessão decrescente, isto é, b n b n+ para todo o n e lim b n = 0. Esta série designa-se por série harmónica alternada. 27

32 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Exemplo 2.2. O critério de Leibniz não pode ser aplicado à série alternada ( ) n 2n 3n pois o limite lim 2n 3n = 2 0. No entanto, é fácil verificar que as subsucessões dos termos pares e dos termos ímpares têm limites diferentes, donde se conclui que não existe o 3 limite do termo geral ( ) n 2n. Assim, pelo teste para a divergência, a série dada é 3n divergente. Podemos usar uma soma parcial s n de uma série convergente para estimar a sua soma s. No entanto, o grau de precisão desta estimativa pode ser difícil de obter, o que torna a estimativa pouco eficiente. O erro que se comete ao aproximar s usando s n é a diferença R n = s s n. No caso das séries alternadas, é possível controlar o erro cometido nesta aproximação. Teorema 2.20 (Estimativa do erro para séries alternadas). Seja ( ) n b n uma série alternada convergente com soma s satisfazendo as hipóteses do critério de Leibniz. Se (s n ) é a sucessão das somas parciais da série, então R n = s s n b n+. Demonstração. Segue da prova do critério de Leibniz que a soma s se situa entre quaisquer dois termos consecutivos s n e s n+ da sucessão das somas parciais. Portanto, s s n s n+ s n = b n+. ( ) n Exemplo A série alternada é convergente, pois satisfaz as condições do n! critério de Leibniz. Se aproximarmos a sua soma usando os primeiros 7 termos da série obtemos s s 6 = 0!! + 2! 3! + 4! 5! + 6! O erro que se comete nesta aproximação é menor do que o módulo do primeiro termo desprezado: R b 7 = 7! = Como o erro é menor do que , a estimativa s tem pelo menos 3 casas decimais corretas. 28

33 Séries complexas 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Dada uma série de números complexos z n podemos considerar a série de números reais z n = z + z z n + cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original. Definição 2.8. Uma série z n é dita absolutamente convergente se a série dos valores absolutos z n for convergente. O teorema seguinte mostra que uma série absolutamente convergente é também convergente. Isto significa que podemos usar critérios de convergência de séries reais para analisar séries complexas. Teorema 2.2. Se a série z n é absolutamente convergente, então a série z n é convergente e z n z n. Demonstração. Vamos provar em primeiro lugar que a convergência absoluta implica convergência para séries de números reais. Seja então a n uma série de números reais absolutamente convergente e notemos que 0 a n + a n 2 a n, para todo o n. Como por hipótese a n converge, também a série 2 a n converge e, pelo teste de comparação para série de termos positivos, podemos concluir que a série a n + a n também converge. Mas então a n converge, pois podemos expressar esta série como a soma de duas séries convergentes Seja agora a n = (a n + a n ) a n. z n uma série absolutamente convergente. Então, como Re(z n ) z n e Im(z n ) z n o critério de comparação para séries de termos positivos permite concluir que as séries Re(z n ) e Im(z n ) são convergentes. Ou seja, as séries reais Re(z n ) e Im(z n ) são absolutamente convergentes logo, pelo que vimos atrás, são também con- vergentes, o que implica a convergência da série z n. 29

34 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA Designemos por (s n ) e por (s n) as sucessões das somas parciais das séries z n e z n. Pela desigualdade triangular podemos escrever s n := z + z z n z + z z n = s n. Assim, obtemos lim s n lim s n, ou seja, z n z n. Portanto, convergência absoluta implica convergência. No entanto, o reciproco não é válido, isto é, a convergência de uma série não significa que esta é também absolutamente convergente. Por exemplo, a série harmónica alternada é convergente mas não é absolutamente convergente. Definição 2.9. Uma série é dita simplesmente convergente se for convergente mas não absolutamente convergente. Teorema 2.22 (Critério da razão ou d Alembert). Seja z n uma série de números complexos tal que lim z n+ z n = l R + {0, + }.. Se l < a série z n é absolutamente convergente. 2. Se l > ou l = + a série z n é divergente. 3. Se l = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série z n. Demonstração.. Suponhamos que l <. Seja L R tal que l < L <. Então, existe n 0 N tal que z n+ z n < L para n > n 0. Daqui segue que z n < z n0 L n para n > n 0. Como a série z n0 L n é convergente, pois é uma série geométrica de razão 0 < L <, pelo teste de comparação concluímos que a série z n é também convergente. 2. Se l > ou l = +, então existe n 0 N tal que z n+ z n > para n > n 0. Isto significa que z n+ > z n para n > n 0 e, portanto, lim z n 0. Logo lim z n 0 e pelo teste para a divergência concluímos que a série z n é divergente. 30

35 3. A série-p 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA /n 2 é absolutamente convergente e satisfaz lim z n+ /z n =, enquanto que a série harmónica /n é divergente mas também satisfaz lim z n+ /z n =. Portanto, se l = o teste da razão é inconclusivo. Teorema 2.23 (Critério da raiz ou de Cauchy). Seja complexos tal que lim n z n = l R + {0, + }.. Se l < a série z n é absolutamente convergente. 2. Se l > ou l = + a série z n é divergente. z n uma série de números 3. Se l = nenhuma conclusão pode ser retirada sobre a convergência ou divergência da série z n. Demonstração.. Se l < seja L R tal que l < L <. Então, existe n 0 N tal que n zn = z n /n < L para n > n 0, ou ainda, z n < L n para n > n 0. Como a série geométrica L n converge, pelo teste de comparação a série z n também converge. 2. Se l > ou l = +, então existe n 0 N tal que n zn = z n /n > para n > n 0. Isto significa que z n > n = para n > n 0 e, portanto, lim z n 0. Logo lim z n 0 e pelo teste para a divergência concluímos que a série z n é divergente. 3. A série-p /n 2 é absolutamente convergente enquanto que a série harmónica /n é divergente, mas em cada um destes casos temos l = lim n z n =. 3

36 2.3. CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA 32

37 Capítulo 3 Séries de Fourier Séries de Fourier são ferramentas importantes para representar funções periódicas. Devem o seu nome a Jean-Baptiste Joseph Fourier, que as utilizou para solucionar um problema relacionado com a condução do calor numa placa de metal. Definição 3.. Uma função f : R R é dita periódica de período L R se f(x + L) = f(x), para todo o x R. Claro que se L é um período da função f, então também kl é um período de f, para todo o k Z, uma vez que e f(x + kl) = f(x + (k )L + L) = f(x + (k )L) = = f(x), se k Z + f(x L) = f(x L + L) = f(x). Portanto, sem perda de generalidade podemos considerar apenas períodos positivos. intervalo de regularidade de f é qualquer intervalo de comprimento L. Na maior parte dos casos, vamos considerar os intervalos de regularidade [ L 2, L 2 ]. Definição 3.2. Chamamos período fundamental de uma função periódica ao menor dos períodos positivos. Vamos, no entanto, daqui em diante chamar apenas período ao período fundamental. Exemplo 3.. As funções sin(x) e cos(x) são periódicas com período 2π. Exemplo 3.2. Para cada n N e cada L R \ {0}, fixos, as funções definidas por f(x) = ( nπx ) ( nπx ) sin e g(x) = cos são periódicas com período T = 2L L L n, pois ( ( nπ f(x + T ) = sin x + 2L )) ( nπx ) ( nπx ) = sin L n L + 2π = sin = f(x) L e analogamente g(x + T ) = g(x). 33 O

38 Definição 3.3. Uma função f diz-se seccionalmente contínua no intervalo [ L, L] se tiver neste intervalo apenas um número finito de descontinuidades, todas de primeira espécie. Isto é, se f tem um número finito de descontinuidade em a, a 2,..., a n, para algum n 0, com L = a 0 < a < a 2 < < a n < a n+ = L, é contínua em ]a i, a i+ [, i = 0,,..., n, e existem os limites laterais f(a + i ) := lim f(x) e f(a x a + i ) := lim f(x). i x a i Claro que se f é contínua em x i então f(x + i ) = f(x i ). Sabemos ainda da análise real que uma função seccionalmente contínua em [ L, L] é integrável neste intervalo. Definição 3.4. Seja f uma função seccionalmente contínua no intervalo [ L, L]. Então a série de Fourier de f é a série de funções a ( a n cos onde os coeficientes de Fourier são dados por a n = L L L f(x) cos ( nπx ) + b n sin L ( nπx )), L ( nπx ) dx e b n = L ( nπx ) f(x) sin dx. L L L L A presença do factor /2 na parcela a 0 serve para tornar a fórmula a n válida para todo o n 0. Note-se ainda que nesta definição não é dito que f(x) é a soma da sua série de Fourier. Apenas se diz que associada a uma qualquer função f seccionalmente contínua no intervalo [ L, L], existe uma certa série chamada série de Fourier. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre f e a sua série de Fourier. A resposta a esta questão é dada no próximo teorema. Antes, porém, vamos mostrar como deduzir as fórmulas para os coeficientes de Fourier, começando com uma função f periódica de período 2π, que supomos coincidir com a sua série de Fourier no intervalo [ π, π]: f(x) = a (a n cos(nx) + b n sin(nx)), π x π. Integrando termo a termo, obtemos π π f(x)dx = π π a 0 2 dx + π (a n 34 π cos(nx)dx + b n π π ) sin(nx)dx. (3.)

39 Uma vez que segue que π π cos(nx)dx = a 0 = π π π π π sin(nx)dx = 0, f(x)dx. Multiplicando a equação (3.) por cos(mx), m, obtemos π π π π f(x) cos(mx)dx = = a 0 π cos(mx)dx + 2 a n cos(nx) cos(mx)dx + b n sin(nx) cos(mx)dx. π }{{} π π }{{} =0 =0 Atendendo a que π π, n = m cos(nx) cos(mx)dx = π 0, n m, obtemos então a m = π π π f(x) cos(mx)dx, m. Analogamente, multiplicando a equação (3.) por sin(mx), m, obtemos b m = π π π f(x) sin(mx)dx, m. Se a função f tem período diferente de 2π, podemos obter a sua série de Fourier fazendo uma mudança de variável. Suponhamos então que f é uma função seccionalmente contínua em [ L, L] com período 2L, isto é, f(x + 2L) = f(x) para todo o x. Fazendo t = πx L e ( ) Lt f(x) f = g(t), π então a função g é seccionalmente contínua em [π, π], tem período 2π e x = ±L corresponde a t = ±π. Pelo caso anterior, a série de Fourier de g é então onde a n = π π a (a n cos(nt) + b n sin(nt)), π g(t) cos(nt)dt, b n = π π π g(t) sin(nt)dt. Substituindo a variável t = πx, obtemos então os coeficientes dados na definição. L 35

40 Exemplo 3.3. Consideremos a função definida em [ π, π] por 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. Os coeficientes de Fourier de f são dados por e a n = π b n = π π π a 0 = π π f(x) cos(nx)dx = π π f(x) sin(nx)dx = π A série de Fourier de f é, então π π f(x)dx = π π 0 π 0 π 0 cos(nx)dx = π sin(nx)dx = π dx =, [ sin(nx) n [ cos(nx) n ] π 0 ] π 0 = 0, para n, 0, n par = 2, n ímpar. nπ a a cos(x) + a 2 cos(2x) + + b sin(x) + b 2 sin(2x) + b 3 sin(3x) + = sin(2k )x. π(2k ) Teorema 3. (Convergência da série de Fourier). Seja f uma função periódica de período 2L. Se f e f forem seccionalmente contínuas no intervalo [ L, L], então a série de Fourier de f é convergente em R e a sua soma, em cada ponto x, é igual à média aritmética dos limites laterais de f, f(x + ) + f(x ). 2 Notemos que se f é contínua em x, então f(x + ) = f(x ) e f(x+ ) + f(x ) = f(x), ou 2 seja, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade da função f. Exemplo 3.4. Consideremos novamente a função f periódica de período 2π definida no intervalo [ π, π] por 0, π x < 0 f(x) =, 0 x < π. É fácil verificar que tanto f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [ π, π]. A função f é contínua no ponto x = e descontínua em x = 0, onde tem uma descontinuidade de primeira espécie. Assim, a sua série de Fourier, que determinámos no exemplo 3.3, converge para f() = no ponto x =, e converge para f(0+ ) + f(0 ) = = no ponto x =

41 então Se f é uma função par em [ L, L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L, L], L L f(x)dx = 2 L 0 f(x)dx. Se f é uma função ímpar em [ L, L], isto é, se f( x) = f(x) para todo o x [ L, L], então L L f(x)dx = 0. Além disso, o produto de duas funções pares ou de duas funções ímpares é uma função par, enquanto que o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar. Daqui segue que se f é uma função par no intervalo [ π, π], então os coeficientes de Fourier b n são nulos para n, enquanto que se f é uma função ímpar em [ π, π], então os coeficientes de Fourier a n são nulos para n 0. Proposição Seja f uma função periódica de período 2L, par e seccionalmente contínua em [ L, L]. Então a série de Fourier de f é a série de cossenos π a a n cos( nπx L ), com a n = 2 f(x) cos( nπx )dx para n 0. L 0 L 2. Seja f uma função periódica de período 2L, ímpar e seccionalmente contínua em [ L, L]. Então a série de Fourier de f é a série de senos com b n = 2 L π 0 f(x) sin( nπx )dx para n 0. L b n sin( nπx L ), Exemplo 3.5. Determinemos a série de Fourier da função definida por f(x) = x, para x, e f(x + 2) = f(x) para todo o x. O gráfico desta função está indicado em baixo. y -2-2 x Tanto a função f como a sua derivada são seccionalmente contínuas no intervalo [, ]. Além disso, notemos que f é uma função par. Determinemos então os coeficientes a n de 37

42 Fourier de f, com L = : e para n, temos a n = a 0 = f(x)dx = 0 ( x)dx + f(x) cos(nπx)dx = 2 (cos(nπ) ) = n 2 π2 Assim, a série de Fourier de f é dada por 2 4 cos((2k )πx). (2k ) 2 π2 Por fim, e uma vez que a função f é contínua, podemos escrever f(x) = 2 0 xdx =, 0, se n é par 4, se n é ímpar. n 2 π 2 4 cos((2k )πx), para todo o x. (2k ) 2 π2 As séries de Fourier podem ser usadas para determinar a soma de algumas séries numéricas. Por exemplo, no caso anterior, para x = 0 a série de Fourier vale f(0) = 0. Assim, ou seja, 0 = 2 4 (2k ) 2 π 2 cos(0), π 2 8 = (2k ) 2 π. 2 A identidade de Parseval, que indicamos de seguida, fornece-nos uma forma de relacionar os coeficientes de Fourier com a função que estes descrevem. Proposição 3.3 (Identidade de Parseval). Seja f : R R uma função seccionalmente contínua e periódica de período 2L. Então os seus coeficientes de Fourier verificam a identidade a ( a 2 n + bn) 2 L = f(x) 2 dx. L L Uma alternativa à forma trigonométrica da série de Fourier que vimos em cima é a sua forma complexa, que passamos a deduzir. Consideremos então a série Fourier de uma função f : R R: f(x) = a ( a n cos ( nπx ) + b n sin L 38 ( nπx )). (3.2) L

43 Usando a fórmula de Euler e it = cos(t) + i sin(t), obtemos as fórmulas (ver secção 4.3) para o seno e cosseno reais: cos(t) = eit + e it e cos(t) = eit e it. 2 2i Assim, podemos reescrever a série de Fourier como onde e c n = a n ib n 2 c n = a n + ib n 2 (3.2) = a ( e i (a nπx L n a 0 Resumindo, temos: 2 + a n ib n 2 = c 0 + c n e i nπx L e i nπx L nπx ) ( i + e L e i nπx L + b n 2 + nπx + i c n e L, c 0 = a 0 2 = 2L a n + ib n nπx i e L 2 L L f(x)dx, = L ( f(x) cos( nπx 2L L L ) i sin(nπx L nπx )) i e L 2i ) )dx = L f(x)e 2L L = L ( f(x) cos( nπx ) 2L L L ) + i sin(nπx L ) dx = L 2L L nπx i L dx f(x)e i nπx L dx Definição 3.5. Seja f : R R uma função periódica de período 2L. Chama-se forma complexa da série de Fourier de f à série onde c n = L f(x)e 2L L nπx i L dx. + n= c n e i nπx L, 39

44 40

45 Capítulo 4 Funções Analíticas 4. Funções complexas e continuidade Uma função complexa de variável complexa é uma correspondência f : A C, onde A C. O conjunto A é o domínio da função f e o conjunto f(a) = {f(z) : z A} é designado por contradomínio ou imagem de f. Quando não se explicita o domínio de uma função f supõe-se que este é o maior conjunto de números complexos onde a função f está definida. No caso particular de A R, dizemos f é uma função complexa de variável real. Uma função real de variável real é uma função com valores reais e cujo domínio é um subconjunto de R. Como R C, toda a função real é também uma função complexa. Exemplo 4.. A expressão z + pode ser determinada para qualquer z C \ {0}, pelo que z define uma função complexa de domínio D f = C \ {0}. Exemplos de funções complexas incluem. Polinónios: dados números complexos a 0, a,..., a n, com a n 0, dizemos que a função é um polinómio de grau n. p(z) = a n z n + + a z + a 0 2. Funções racionais: Se p(z) e q(z) são dois polinómios, chamamos função racional a toda a função da forma r(z) = p(z) q(z). 3. Função argumento principal: Arg : C \ {0} ] π, π] que a cada complexo não nulo z faz corresponder o número Arg(z). 4

46 4.. FUNÇÕES COMPLEXAS E CONTINUIDADE Uma vez que um número complexo z pode ser escrito na forma algébrica z = x + iy, toda a função complexa f : A C pode ser expressa em termos da sua parte real e parte imaginária f(z) = u(z) + iv(z), com u(z), v(z) R. Denotamos usualmente u e v por Ref e Imf, resp. Como tanto u como v dependem da variável complexa x + iy, que pode ser identificada com o seu afixo, estas funções podem também ser vistas como funções reais de duas variáveis reais e f pode escrever-se na forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Assim, toda a função complexa f pode ser encarada como uma função de R 2 em R 2 : f : A R 2 R 2 (x, y) (u(x, y), v(x, y)) Definição 4.. Seja f : A C uma função complexa e seja z 0 um ponto de acumulação de A. Dizemos que o limite de f quando z tende para z 0 é o número complexo w, e escreve-se lim f(z) = w z z 0 se a distância de f(z) a w puder ser tornada tão pequena quanto se queira desde que se tome z suficientemente próximo de z 0, ou seja, se ε > 0 δ > 0 : z A, 0 < z z 0 < δ f(z) w < ε. Note-se que o ponto z 0 pode não pertencer ao domínio da função f. No entanto, é essencial que z 0 seja um ponto de acumulação de A, pois de outro modo existiria δ > 0 sem que B(z 0, δ) \ {z 0 } possuísse qualquer ponto de A. Neste caso, a condição f(z) w < ɛ seria trivialmente válida para todo o complexo w. Exemplo 4.2. Mostremos que lim z = w. z w Para tal, fixemos ε > 0. Pretendemos mostrar a existência de δ > 0 tal que se z B(w, δ) \ {w} = {z : 0 < z w < δ}, então z w < ε. Ora uma vez que z w z w, basta tomar δ := ε, pois z w < ε z w z w δ = ε. De forma semelhante se pode mostrar que limz = w, limre(z) = Re(w) e que limim(z) = z w z w z w Im(w). Teorema 4.. O limite de uma função complexa, quando existe, é único. 42

47 4.. FUNÇÕES COMPLEXAS E CONTINUIDADE Demonstração. Suponhamos que existem números complexos w 0, w tais que Então, dado ε > 0 existem δ 0, δ > 0 tais que lim f(z) = w 0 e lim f(z) = w. z z 0 z z0 0 < z z 0 < δ 0 f(z) w 0 < ε/2 e 0 < z z 0 < δ f(z) w < ε/2. Tomando δ = min{δ, δ 2 } vem donde se conclui que w 0 = w. w 0 w f(z) w 0 + f(z) w < ε, Uma vez que podemos considerar uma função complexa como uma função de R 2 em R 2, podemos exprimir o limite de uma função complexa como a soma dos limites de duas funções reais. Teorema 4.2. Sejam f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função complexa de domínio A e z 0 = x 0 + iy 0 um ponto de acumulação de A. Então, lim z z 0 f(z) = u 0 + iv 0 se e só se lim u(x, y) = u 0 e lim v(x, y) = v 0. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Demonstração. Suponhamos que lim z z0 f(z) = u 0 + iv 0. Então, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo o z A tal que 0 < z z 0 < δ se tem f(z) (u 0 + iv 0 ) < ε, isto é, (u(x, y) + iv(x, y)) (u 0 + iv 0 ) < ε. Daqui segue que u(x, y) u 0 < ε e v(x, y) v 0 < ε. Como z z 0 denota a distância de (x, y) a (x 0, y 0 ) em R 2, concluímos que lim u(x, y) = u 0 e lim v(x, y) = v 0. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Reciprocamente, dado ε > 0, existem δ 0, δ > 0 tais que 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ 0 u(x, y) u 0 < ε/2 43

48 4.. FUNÇÕES COMPLEXAS E CONTINUIDADE e 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ v(x, y) v 0 < ε/2. Tomando δ = min{δ 0, δ } temos que sempre que 0 < (x, y) (x 0, y 0 ) < δ temos como pretendido. (u(x, y) + iv(x, y)) (u 0 + iv 0 ) = u(x, y) u 0 + i(v(x, y) v 0 ) u(x, y) u 0 + (v(x, y) v 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε, Exemplo 4.3. Seja f(z) = z 2 + i. Fazendo z = x + yi, temos f(z) = u(x, y) + v(x, y)i, com u(x, y) = x 2 y 2 e v(x, y) = 2xy +. Uma vez que obtemos lim f(z) = 3i. z +i lim u(x, y) = 0 e lim v(x, y) = 3 (x,y) (,) (x,y) (,) Proposição 4.3 (Álgebra dos limites). Sejam f e g funções complexas com domínio A e seja z 0 um ponto de acumulação de A. Se f e g têm limites w 0 e w quando z z 0, então:. f(z) + g(z) tem limite w 0 + w quando z z f(z)g(z) tem limite w 0 w quando z z /f(z) tem limite /w 0 quando z z 0, desde que w 0 0. Demonstração. Semelhante à prova da validade da álgebra dos limites para sucessões. É notória a semelhança entre as definições de limite de funções complexas e de funções reais. Existe, no entanto, uma diferença importante: enquanto que no caso das funções reais temos lim f(x) = l se e só se lim f(x) = l e lim f(x) = l, no caso das funções complexas x x0 x x 0 x x + 0 não há direções privilegiadas. Portanto, devemos ter lim f(z) = w independentemente da z z0 forma como z se aproxima de z 0. Este facto pode ser utilizado como um critério para a não existência de um limite. Proposição 4.4. Se lim f(z) = l, quando z se aproxima de z 0 segundo uma curva, e z z0 lim f(z) = l 2, l l 2, quando z se aproxima de z 0 segundo uma outra curva, então não z z 0 existe lim f(z). z z0 44

49 4.. FUNÇÕES COMPLEXAS E CONTINUIDADE Exemplo 4.4. Utilizemos o critério anterior para mostrar que não existe o limite z lim z 0 z. Para tal, façamos z tender para a origem ao longo do eixo real, isto é, z = x + 0i 0. Para estes pontos temos z lim z 0 z = lim y=0,x 0 x + yi x yi = lim x x 0x =. Fazendo agora z tender para a origem ao longo do eixo imaginário, isto é, z = 0 + yi 0, obtemos z lim z 0 z = lim z Concluímos assim que lim não existe. z 0 z x=0,y 0 x + yi x yi = lim yi y 0 yi =. Definição 4.2. A função complexa f : A C é contínua em z 0 C se z 0 A e lim z z 0 f(z) = f(z 0 ), iso é, se o limite existe e é igual a f(z 0 ). Como consequência da álgebra dos limites para funções complexas, obtemos o seguinte resultado. Proposição 4.5. Se f e g são funções contínuas em z 0 C, então também são contínuas em z 0 as funções f + g, fg e /f (esta última desde que f(z 0 ) 0). É claro que a função constante f(z) = c e a função identidade f(z) = z são contínuas para todo o z C (basta tomar δ = ε na definição). Combinando estes factos com o resultado anterior concluímos que qualquer polinómio é uma função contínua para todo o z C. Além disso, qualquer função racional p(z)/q(z) é contínua em todos os pontos z C, excepto possivelmente nas raízes de q(z). Uma vez que o limite, quando z tende para z 0, de uma função f(z) é w se e só se o limite das suas partes reais e imaginárias é Re(w) e Im(w), respectivamente, obtemos ainda o seguinte resultado. Proposição 4.6. Suponhamos que f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y). Então f é contínua em x + iy se e só se u e v são contínuas em (x, y). Por vezes é conveniente extender as noções de limite e continuidade de uma função de modo a incluir o "ponto no infinito"da seguinte forma: lim z f(z) = w 0 dado ε > 0 existe M > 0 tal que z > M f(z) w 0 < ε. lim z z0 f(z) = dado R > 0 existe δ > 0 tal que 0 < z z 0 < δ f(z) > R. lim z f(z) = dado R > 0 existe M > 0 tal que z > M f(z) > R. 45

50 4.2. DIFERENCIABILIDADE E CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN 4.2 Diferenciabilidade e condições de Cauchy-Riemann Definição 4.3. Seja f : A C uma função complexa, com A aberto. Dizemos que f é diferenciável em z 0 A se existir o limite lim h 0 f(z 0 + h) f(z 0 ), (h C). h A este limite chamamos a derivada de f em z 0, que se denota por f (z 0 ). Dizemos que f é diferenciável em A se for diferenciável em todos os pontos de A. Fazendo h = z z 0 na definição de derivada de f em z 0, obtemos f (z 0 ) = lim h 0 f(z 0 + h) f(z 0 ) h = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Definição 4.4. Uma função f diz-se analítica num ponto z 0 se f é diferenciável em todos os pontos de alguma vizinhança de z 0. Se f é diferenciável em todos os pontos de um conjunto aberto A, dizemos que a função é analítica em A. Uma função analítica em C também se diz inteira. As regras familiares da derivação de funções reais de variável real são também válidas no caso complexo. Proposição 4.7. Se f e g são funções diferenciáveis em z, então:. f + g é diferenciável em z e (f(z) + g(z)) = f (z) + g (z). 2. fg é diferenciável em z e (f(z)g(z)) = f (z)g(z) + f(z)g (z). 3. f/g é diferenciável em z (desde que g(z) 0) e ( ) f(z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g(z) (g(z)) 2. Demonstração. Os detalhes da prova seguem da álgebra dos limites e são semelhantes ao caso real. A regra da cadeia também se verifica no caso complexo. Proposição 4.8 (Regra da cadeia). Se f é diferenciável em z e g é diferenciável em f(z), então g f também é diferenciável em z e (g f) (z) = g (f(z)) f (z). Demonstração. A prova resulta da definição de derivada e é análoga ao caso real. 46

51 4.2. DIFERENCIABILIDADE E CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN A função identidade f(z) = z e a função constante g(z) = c são diferenciáveis para todo o z C, com f (z) = e g (z) = 0. Como um polinómio p(z) = a 0 + a z + a 2 z a n z n pode ser construído usando estas funções e combinações das alíneas da proposição anterior, concluímos que p(z) é diferenciável para todo o z C. Segue que qualquer função racional p(z)/q(z) é diferenciável em todos os pontos de C, excepto nos zero de q(z). Proposição 4.9. Se f é diferenciável em z 0, então f é contínua em z 0. f(z) f(z 0 ) Demonstração. Por hipótese, os limites lim z z0 z z 0 e 0, respectivamente. Portanto, e lim z z0 (z z 0 ) existem e são f (z 0 ) f(z) f(z 0 ) lim (f(z) f(z 0 )) = lim (z z 0 ) = f (z 0 ) 0 = 0, z z 0 z z0 z z 0 ou seja, lim z z0 f(z) = f(z 0 ) e f é contínua em z 0. O recíproco deste resultado é falso, como se pode verificar com a função f(z) = Re(z). Já vimos que esta função é contínua em C, mas não possui derivada em nenhum ponto, pois dado z C, temos f(z + h) f(z) lim =, h 0 h quando h = x + i0 0 tende para a origem ao longo do eixo real, e f(z + h) f(z) lim h 0 h = 0, quando h = 0 + iy 0 tende para a origem ao longo do eixo imaginário. No caso particular das funções complexas de variável real f : A R C, temos f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Ref(x + h) Ref(x) = lim h 0 h = (Ref) (x) + i(imf) (x). (h R) Imf(x + h) Imf(x) + i h Proposição 4.0 (Regra de L Hôpital). Sejam f e g funções complexas diferenciáveis numa vizinhança de z 0 tais que f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0 e g (z 0 ) 0. Então, f(z) lim z z 0 g(z) = f (z 0 ) g (z 0 ). 47

52 4.2. DIFERENCIABILIDADE E CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN Demonstração. Uma vez que f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0 podemos escrever pois g(z 0 ) 0. f(z) f(z 0 ) f(z) lim z z 0 g(z) = lim z z 0 z z 0 g(z) g(z 0 = f (z 0 ) ) g (z 0 ), z z 0 z 2 3z Como aplicação da regra de L Hôpital, calculemos o limite lim. Fazendo f(z) = z 0 2z z 2 3z e g(z) = 2z, temos f(0) = g(0) = 0 e g (0) = 2 0. Portanto, z 2 3z lim z 0 2z = f (0) g (0) = 3 2. O próximo resultado indica que se uma função f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é diferenciável num ponto z, então satisfaz um par de equações designadas por equações de Cauchy- Riemann. Teorema 4. (Condições de Cauchy-Riemann). Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função complexa diferenciável em z = x + yi. Então, existem as derivadas parciais de u e v em (x, y) e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann u x = v y e u y = v x. Demonstração. Se f é diferenciável em z = x + yi, então existe o limite Escrevendo h = h + ih 2, temos f(z + h) f(z) lim h 0 h = f (z). (4.) u(x + h, y + h 2 ) + iv(x + h, y + h 2 ) u(x, y) iv(x, y) (4.) = lim. h +ih 2 0 h + ih 2 Este limite é independente da forma como h se aproxima da origem. Façamos então h tender para a origem ao longo eixo real, ou seja, com h 2 = 0. Obtemos assim f u(x + h, y) + iv(x + h, y) u(x, y) iv(x, y) (z) = lim h 0 = lim h 0 = u x u(x + h, y) u(x, y) h h v(x + h, y) v(x, y) + i lim h 0 h (x, y) + i v (x, y). (4.2) x 48

53 4.2. DIFERENCIABILIDADE E CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN Fazendo agora h tender para a origem ao longo do eixo imaginário, ou seja, com h = 0, obtemos f u(x, y + h 2 ) + iv(x, y + h 2 ) u(x, y) iv(x, y) (z) = lim h2 0 ih 2 u(x, y + h 2 ) u(x, y) = lim h2 0 u y = i = v y De (4.) e (4.2) vem pelo que f (z) = u x ih 2 v (x, y) + (x, y) y + i lim h2 0 v(x, y + h 2 ) v(x, y) ih 2 (x, y) i u(x, y). (4.3) y (x, y) + i v x u x = v y (x, y) = v y e (x, y) i u(x, y), y u y = v x. O facto de as condições de Cauchy-Riemann se verificarem num ponto z não significa que a função seja diferenciável nesse ponto. Estas condições informam-nos sobre o comportamento do limite quando h 0 segundo o eixo real e segundo o eixo imaginário, mas não nos informam sobre o que ocorre segundo outras direções, logo não nos indicam se a função é diferenciável. No entanto, se f não satisfaz estas condições num certo ponto, podemos concluir que f não é diferenciável nesse ponto. As condições de Cauchy-Riemann constituem, portanto, uma condição necessária mas não suficiente para f ser diferenciável num ponto. Quando a função é diferenciável estas condições dão-nos um método de derivar funções em que não é possível usar as regras de derivação. Exemplo 4.5. Seja f(z) = x + 4yi. Apesar de contínua, esta função não é diferenciável em nenhum ponto uma vez que com u(x, y) = x e v(x, y) = 4y, temos u x = v y = 4 Exemplo 4.6. Seja f(z) = 2x 2 +y +i(y 2 x) e definamos u(x, y) = 2x 2 +y e v(x, y) = y 2 x. Então u x = 4x u y = v x = v y = 2y, e as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas na recta 4x = 2y, ou seja, na recta y = 2x. Fora desta recta a função não é diferenciável. 49

54 4.2. DIFERENCIABILIDADE E CONDIÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN Pode acontecer que uma função satisfaça as condições de Cauchy-Riemann em z mas não seja diferenciável em z. No entanto, acrescentando mais algumas condições às condições de Cauchy-Riemann podemos garantir a diferenciabilidade da função em z. Teorema 4.2 (Condição suficiente de diferenciabilidade). Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) uma função complexa. Se as quatro derivadas parciais de u e v forem contínuas numa vizinhança de (x, y) e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em (x, y), então f é diferenciável em (x, y) e f (z) = u x Demonstração. Omitida. (x, y) + i v x (x, y) = v y (x, y) i u(x, y). y Exemplo 4.7. Consideremos novamente a função f(z) = 2x 2 + y + i(y 2 x) analisada no exemplo 4.6. Vimos que esta função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann sobre a recta {(x, 2x) : x R}. Além disso, as derivadas parciais de u e v são funções contínuas em qualquer ponto de C. Portanto, f é diferenciável nesta recta e f (z) = u (x, 2x) + i v (x, 2x) = 4x i. x x Vamos de seguida descrever algumas consequências do teorema anterior. Antes, porém, relembremos alguns resultados de Análise Real. Seja f : I R uma função real de variável real diferenciável em I R. Se I é um intervalo e f (x) = 0 em I, então f é constante em I. No entanto, se I não for um intervalo não podemos concluir que f seja constante em I, como se pode comprovar com a função 2, x (0, ) f(x) = 3, x (3, 4). Temos f (x) = 0 para todo o x (0, ) (3, 4), mas f não é constante. A função f é apenas constante nos intervalos (0, ) e (3, 4). Para funções f : I R 2 R reais de duas variáveis reais, pode provar-se que se as derivadas parciais se anulam f f (x, y) = (x, y) = 0 x y para todos os pontos de I, então f é constante em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em I. Teorema 4.3. Seja f : A C uma função complexa com A aberto e conexo. Se f (z) = 0 em A então f é uma função constante em A. 50

55 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES Demonstração. Sendo f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), temos f (z) = u x = v y v (x, y) + (x, y)i = 0 + 0i x u (x, y) (x, y)i = 0 0i. y Portanto, as derivadas de u e v anulam-se em A, pelo que podemos concluir que u e v são funções constantes em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em A. Como f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), também f é constante em todo o segmento de recta vertical e horizontal contido em A. Sejam então z e w elementos de A. Como A é aberto e conexo, existe um caminho composto por segmentos horizontais e verticais, totalmente contido em A, que une z a w. Denotemos esses segmentos por [z, z ], [z, z 2 ],..., [z n, w]. Temos então f(z) = f(z ) = f(z 2 ) = = f(z n ) = f(w), ou seja, f é constante no conjunto A. Teorema 4.4. Seja f : A C C uma função complexa com A aberto e conexo. Se f é diferenciável e Ref(z) é constante em A, então f é constante em A. Demonstração. Sendo f(x+iy) = u(x, y)+iv(x, y), temos u(x, y) = k para todo o x+yi A. Assim, as derivadas parciais de u anulam-se em A. Pelas condições de Cauchy-Riemann, também as derivadas parciais de v se anulam em A. Assim, podemos concluir que f (z) = 0 e, pelo teorema anterior, f é constante em A. 4.3 Funções elementares Definição 4.5 (A exponencial complexa). Dado z = x + iy, definimos a exponencial de z como sendo o número complexo e z = e x (cos(y) + i sin(y)) = e x cos(y) + ie x sin(y). Uma das razões pelas quais é natural designar esta função por exponencial reside no facto de esta generalizar a exponencial real: se z = x + i0 é real, e x+i0 = e x (cos(0) + i sin(0)) = e x. Pelas equações de Cauchy-Riemann, é fácil verificar que e z é uma função inteira e que a sua derivada é dada por (e z ) = e z. 5

56 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES O módulo, argumento e o conjugado de e z são igualmente fáceis de determinar a partir da definição. Escrevendo e z na forma polar e z = e x (cos(y) + i sin(y)) = r(cos(θ) + i sin(θ)), temos r = e x e θ = y + 2nπ, para n = 0, ±, ±2,... Como r é o módulo e θ o argumento de e z, temos e z = e x e arg(e z ) = {y + 2nπ, n = 0, ±, ±2,...}. Uma vez que e x > 0 para todo o x R, segue que e z > 0 para todo o z C, donde se conclui que e z 0 para todo o z C. No entanto a exponencial complexa pode tomar valores negativos. Por exemplo, e πi =. Como a função seno real é ímpar e a função cosseno real é par, temos ainda e z = e x cos(y) ie x sin(y) = e x cos( y) + ie x sin( y) = e x iy = e z. Proposição 4.5. Se z e z 2 são números complexos, então. e 0 = 2. e z e z 2 = e z +z 2 3. ez e z 2 = ez z 2 4. (e z ) n = e nz para n = 0, ±, ±2,... Demonstração. A propriedade. é consequência da exponencial complexa generalizar a exponencial real e a propriedade 4 segue da fórmula de De Moivre. Se z = x + iy e z 2 = x 2 + iy 2, temos e z e z 2 = (e x cos(y ) + i sin(y )) (e x 2 cos(y 2 ) + i sin(y 2 )) = e x +x 2 (cos(y ) cos(y 2 ) sin(y ) sin(y 2 )) + ie x +x 2 (sin(y ) cos(y 2 ) + cos(y ) sin(y 2 )) = e x +x 2 cos(y + y 2 ) + ie x +x 2 sin(y + y 2 ) = e z +z 2. Relativamente a 3, podemos escrever e z e = z ex x 2 cos(y ) + i sin(y ) 2 cos(y 2 ) + i sin(y 2 ) = ex x 2 (cos(y ) + i sin(y ))(cos(y 2 ) i sin(y 2 )) (cos(y 2 ) + i sin(y 2 ))(cos(y 2 ) i sin(y 2 )) = e x x 2 (cos(y ) cos(y 2 ) + sin(y ) sin(y 2 )) + i(sin(y ) cos(y 2 ) cos(y ) sin(y 2 ) = e x x 2 cos(y y 2 ) + i sin(y y 2 ) = e z z 2. 52

57 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES Finalmente a propriedade 4 é consequência da fórmula de De Moivre: (e z ) n = (e x cis(y )) n = (e x ) n cis(ny ) = e nx cis(ny ) = e nx+iny = e nz. A diferença mais surpreendente entre as exponenciais real e complexa e real reside na periodicidade de desta última. Como as funções seno e cosseno reais são periódicas de período 2π, pelo definição de exponencial complexa temos e z+2πi = e z e 2πi = e z. Ou seja, a exponencial complexa e z é uma função periódica de período 2πi. Fixemos a R. Então, e a+iy = e a e iy, com y a variar em R, representa a circunferência de centro na origem e raio e a. Ou seja, a exponencial complexa transforma as rectas verticais x = a, a R em circunferências centradas na origem e raio e a > 0. Como a exponencial complexa é periódica de período 2πi, ela transforma a banda {z C : π < Im(z) π} = {z = x + iθ C : π < θ π, x R}, chamada região fundamental da exponencial complexa, no conjunto {e x e iθ, π < θ π, x R} = C \ {0}. Em particular, concluímos que o contradomínio da exponencial complexa é C \ {0}. O logaritmo complexo Fixemos um complexo z 0. Se e w = z, então e w = e Re(w) = z e arg(e w ) = Im(w) = arg(z). Ou seja, e w = z w = ln z + iarg(z), (4.4) com ln z o logaritmo real de z. Como há um número infinito de argumentos de z, (4.4) origina um número infinito de soluções da equação e w = z. Definição 4.6. Seja z C \ {0}. Então a função definida por log(z) = ln z + iarg(z) é designada por logaritmo complexo de z. 53

58 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES Portanto, cada número complexo z 0 tem uma infinidade de logaritmos, todos com parte real ln z, e diferindo uns dos outros por múltiplos de 2πi. Ou seja, se z = re iθ, temos log(z) = ln(r) + i(θ + 2nπ), n = 0, ±, ±2, As seguintes propriedades do logaritmo complexo seguem da definição e das propriedades análogas satisfeitas pelo logaritmo real. Proposição 4.6. Se z, z 2 são números complexos não nulos e n N, então. log(z z 2 ) = log(z ) + log(z 2 ). 2. log( z z 2 ) = log(z ) log(z 2 ). 3. log(z n ) = nlog(z ). Quando na expressão do logaritmo complexo se toma o argumento principal de z obtémse o chamado logaritmo principal de z. Definição 4.7. Seja z C \ {0}. A função definida por é designada por logaritmo principal de z. Log(z) = ln z + iarg(z) Proposição 4.7. O logaritmo principal é a função inversa da exponencial complexa quando restrita ao seu domínio fundamental. Demonstração. Por definição temos e Log(z) = z, para todo o z 0. Seja então z = x + iy, com π < y π. Como e z = e x e Arg(e z ) = y, podemos escrever ou seja, Log(e z ) = z se π < Im(z) π. Log(e z ) = ln(e x ) + iy = x + iy = z, A igualdade e Log(z) = z verifica-se para todo o número complexo não nulo, mas já a igualdade Log(e z ) = z só se verifica se z pertence à região fundamental da exponencial. Por exemplo, + 3 πi não está nesta região e 2 ) ) Log (e πi = ln e + iarg (e 3 2 πi = π 2 i πi. Notemos ainda que o logaritmo principal generaliza o logaritmo real: se x R + então Log(x) = ln x + iarg(x) = ln(x). 54

59 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES Analisemos de seguida a diferenciabilidade do logaritmo principal. É claro que Log(z) não é contínua em z = 0 pois não está definida neste ponto. É também descontínua no semi-eixo negativo real, pois se x R, o limite lim z x Log(z) não existe: enquanto que lim Log(z) = lim ln z + iarg(z) = ln z + iπ, z x y 0 z=x+yi,y>0 z=x+yi,y>0 lim Log(z) = lim ln z + iarg(z) = ln z iπ. z x y 0 z=x+yi,y<0 z=x+yi,y<0 Portanto, Log(z) é descontínua em R 0. Consideremos então z 0 um elemento do conjunto {z : z > 0 e π < arg(z) < π} e calculemos o limite Log(z) Log(z 0 ) lim. (4.5) z z 0 z z 0 Para tal façamos a mudança de variável Log(z) = w, notando que quando z z 0, temos w w 0 = Log(z 0 ). Usando a regra de L Hôpital, obtemos ou seja, (4.5) = lim w w 0 w w 0 e w e w 0 = lim w w 0 e = w e =, w 0 z 0 (Log(z)) = z para todo o z {z : z > 0 e π < arg(z) < π}. Em particular, Log(z) é contínua neste intervalo. Potências de expoente complexo Na secção.2 analisámos potências da forma z n e z /n para n inteiro e n 2, resp. Vamos agora considerar potências da forma z w, onde w é um número complexo arbitrário, usando a igualdade z = e log(z) que, como vimos em cima, é válida para qualquer z 0. Assim, se n Z, por 4 da proposição 4.5 podemos escrever z n = ( e log(z)) n = e nlog(z). Vamos usar esta fórmula para definir z w para qualquer w C. Definição 4.8. Se w C e z 0, então a potência complexa z w é definida por z w = e wlog(z). Da definição e das propriedades (4.5) da exponencial complexa obtemos a seguinte proposição. Proposição 4.8. Se w e w 2 são números complexos não nulos, então 55

60 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES. z w z w 2 = z w +w 2 2. zw z w 2 = zw w 2 3. (z w ) n = z nw para n = 0, ±, ±2, Em geral, a expressão z w origina um conjunto infinito de valores devido ao logaritmo que aparece na sua fórmula. No entanto, a expressão z n é univocamente determinada quando n é um inteiro: z n = e nlog(z) = e n(ln z +iarg(z)) = e nln z e narg(z)i. Se θ = Arg(z), então arg(z) = θ + 2kπ, com k Z e, portanto, e narg(z)i = e n(θ+2kπ)i = e nθi e 2nkπi. Mas como e n2kπi = cos(n2kπ) + i sin(n2kπ) = cos(0) + i sin(0) =, podemos então escrever z n = e nln z e narg(z)i. Portanto, quando n Z, a expressão z n tem um só valor: z n = e nlog(z) = z n e narg(z)i. Em geral, no entanto, z w representa um conjunto infinito de valores. Podemos fazer corresponder a z w um único valor usando o logaritmo principal Log(z) no lugar de log(z) na definição de z w. A esta função chamamos valor principal de z w. Definição 4.9. Se w C e z 0, então o valor principal da potência complexa z w é definida por z w = e wlog(z). A função valor principal de z w não é contínua em todo o plano complexo pois a função logaritmo principal não é contínua em todo o plano. No entanto, como a exponencial complexa é contínua em C e Log(z) é contínua no conjunto {z : z > 0, π < Arg(z) < π}, segue que z w é contínua neste conjunto. Além disso, neste conjunto podemos usar a regra da cadeia para obter a derivada da função valor principal de z w : (z w ) = ( e wlog(z)) = e wlog(z) (wlog(z)) = e wlog(z) w z = wzw. Funções trigonométricas complexas Se x R, segue da definição 4.5 que e ix = cos(x) + i sin(x) e e ix = cos(x) i sin(x). (4.6) Adicionando estas duas equações e simplificando, obtemos uma expressão para a função cosseno real à custa da exponencial complexa: cos(x) = eix + e ix. 2 (4.7) 56

61 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES De forma semelhante, subtraindo as duas equações em (4.6) obtemos uma expressão para a função seno real à custa da exponencial complexa: sin(x) = eix e ix. (4.8) 2i Estas formulas para o seno e para o cosseno reais podem ser usadas para definirmos as funções seno e cosseno complexos. Definição 4.0. As funções seno complexo e cosseno complexo são definidas por para todo o z C. sin(z) = eiz e iz 2i e cos(z) = eiz + e iz As equações (4.7) e (4.8) mostram que o seno e cosseno complexos generalizam as funções seno e cosseno reais. Tal como no caso real podemos definir a tangente, cotangente, secante e cossecante complexas: tan(z) = sin(z) cos(z), cos(z) cot(z) = sin(z), sec(z) = cos(z) 2 e csc(z) = sin(z). É imediato constatar que o seno e o cosseno complexos são funções inteiras, pois são combinações lineares da exponencial complexa. Além disso, usando a regra da derivada da exponencial, temos (sin(z)) = cos(z) e (cos(z)) = sin(z). A maioria das identidades satisfeitas pelas funções trigonométricas reais são também válidas para as funções trigonométricas complexas. Listamos na próxima proposição algumas das mais úteis. Proposição 4.9. Se z e w são números complexos, então. sin( z) = sin(z) e cos( z) = cos(z) 2. cos 2 (z) + sin 2 (z) = 3. sin(z ± w) = sin(z) cos(w) ± cos(z) sin(w) 4. cos(z ± w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) Demonstração. Fazemos apenas a prova de 2. As restantes provam-se de forma semelhante. cos 2 (z) + sin 2 (z) = [ (e iz e iz ) 2 + (e iz + e iz ) 2] 4 = [ e 2iz + 2e iz e iz e 2iz + e 2iz + e iz e iz + e 2iz] 4 = (2 + 2) =. 4 57

62 4.3. FUNÇÕES ELEMENTARES Por fim, analisemos a periodicidade do seno e do cosseno complexos. Como a exponencial complexa é periódica de período 2πi temos e z+2πi = e z para todo o z C. Substituindo z por iz nesta equação obtemos e iz+2πi = e i(z+2π) = e iz. Ou seja, e iz é periódica com período 2π. De forma análoga podemos mostrar que e iz também é periódica de período 2π. Daqui segue facilmente que sin(z + 2π) = sin(z) e cos(z + 2π) = cos(z) para todo o z C. período 2π. Ou seja, o seno e o cosseno complexos são funções periódicas com Funções hiperbólicas complexas As funções seno hiperbólico real e cosseno hiperbólico real são definidas por sinh(x) = ex e x e cosh(x) = ex + e x 2 2 para x R. Definimos o seno hiperbólico complexo e o cosseno hiperbólico complexo de forma análoga usando a exponencial complexa. Definição 4.. As funções seno hiperbólico complexo e cosseno hiperbólico complexo são definidas por para todo o z C. sinh(z) = ez e z 2 e cosh(z) = ez + e z 2 No caso real não é clara a relação existente entre o seno e o cosseno hiperbólico e as funções seno e cosseno ordinárias. No entanto, no caso complexo esta relação é imediata, uma vez que se x R, então e sin(ix) = ei(ix) e i(ix) 2i = i ex e x 2 = i sinh(x) cos(ix) = ei(ix) + e i(ix) = ex + e x = cosh(x). 2 2 O seno e o cosseno hiperbólico complexos são funções inteiras e verificam (sinh(z)) = cosh(z) e (cosh(z)(z)) = sinh(z). 58

63 Capítulo 5 Integração de Funções Complexas 5. Integração de funções complexas de variável real O conceito de integral de uma função complexa de variável real definida num intervalo [a, b] R é uma generalização imediata do integral real. Seja f(t) = Ref(t) + iimf(t) uma função complexa de variável real contínua em [a, b]. Chama-se integral de f em [a, b], e representa-se por b f(t)dt, ao número complexo a b a f(t)dt := b a Ref(t)dt + i b a Imf(t)dt. Como estamos a supor a continuidade de f no intervalo [a, b], o mesmo se passa com as funções reais de variável real Ref(t) e Imf(t), pelo que o integral de f em [a, b] existe e é finito. Notemos ainda que ( b ) Re f(t)dt = É também fácil verificar que a b a b a ( b ) Ref(t)dt e Im f(t)dt = a f(t)dt = b integração real, obtemos as seguintes propriedades. a b a Imf(x)dt. f(t)dt. A partir dos resultados standard da Proposição 5.. Sejam f, g : [a, b] C funções complexas de variável real contínuas em [a, b]. Então:. 2. b a b f(t) + g(t)dt = αf(t)dt = α b a a b f(t)dt + b a a g(t)dt. f(t)dt, para qualquer α C. 59

64 5.2. INTEGRAIS DE CAMINHO 3. Se a c b, então b a f(t)dt = c 4. Se F for uma primitiva de f, então a f(t)dt + b a b c f(t)dt. f(t)dt = F (b) F (a). As duas primeiras propriedades da proposição anterior dizem-nos que o integral é uma aplicação linear do espaço vetorial das funções complexas de variável real para os números complexos. Exemplo 5.. A função ie it é uma primitiva de e it para t R. Assim, pela proposição anterior, temos π/4 0 e it dt = [ ie it] π/4 0 = ie iπ/4 + i = ( ) 2 i. 2 A propriedade seguinte é útil para estimar o valor de um integral de uma função complexa de variável real. Proposição 5.2. Seja f : [a, b] R uma função complexa de variável real contínua em [a, b]. Então b a b f(t)dt f(t) dt Demonstração. A desigualdade é claramente válida se f(t)dt = 0. Suponhamos então a b b que f(t)dt = re iθ com r > 0. Então f(t)dt = r e podemos escrever a r = e iθ b a b a b f(t)dt = e iθ f(t)dt a a ( b ) b = Re e iθ f(t)dt = Re ( e iθ f(t) ) dt = b a b a a e iθ f(t) b dt = e iθ f(t) dt f(t) dt. a a 5.2 Integrais de caminho Definição 5.. Uma curva em A C é uma função contínua γ : [a, b] R A t γ(t). 60

65 5.2. INTEGRAIS DE CAMINHO A γ(a) chamamos origem e a γ(b) extremidade da curva. Se γ(a) = γ(b), dizemos que a curva é fechada. Ao conjunto tr(γ) := {γ(t) : t [a, b]} chamamos traço de γ. A equação z = γ(t), t [a, b], diz-se uma parametrização da curva. Exemplo 5.2. Consideremos as curvas γ : [0, 2π] C γ (t) = e it, γ 2 : [0, 2π] C γ 2 (t) = e 2it. Notemos que γ (0) = γ (2π) = γ 2 (0) = γ 2 (2π) = e que o traço de ambas as curvas é a circunferência unitária {z C : z = }. No entanto, as curvas são diferentes. A curva γ descreve a circunferência percorrendo-o no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio uma vez, enquanto que γ 2 descreve a mesma circunferência, no mesmo sentido, mas percorrendo-a duas vezes. Portanto, o traço de uma curva não a define completamente. Exemplo 5.3. Outra curva importante é o segmento de reta que une os pontos z e w no plano complexo. Uma parametrização é dada por γ(t) = tw + ( t)z, para t [0, ]. Se nada for dito em contrário, usaremos os símbolos C(u, r) e [z, w] para designar as parametrizações u + re it, para 0 t 2π, e tw + ( t)z, para 0 t, da circunferência de centro u C e raio r > 0, e do segmento de reta [z, w], resp. Definição 5.2. Uma curva γ : [a, b] C diz-se simples se não se autointerseta, exceto possivelmente nas extremidades, i.e., γ(t ) = γ(t 2 ) apenas se t = t 2 ou {t, t 2 } = {a, b}. Se γ (t) é contínua e não nula em ]a, b[, a curva diz-se regular. A curva γ diz-se seccionalmente regular ou um caminho se existirem t 0 = a < t < < t n = b tais que γ é regular em cada um dos intervalos [t k, t k ], k =,..., n. O sentido de uma curva não fechada γ : [a, b] C é definido como a direção correspondente ao incremento dos valores do parâmetro t. A curva γ : [a, b] C definida por γ(t) = γ(a+b t) e designada por curva oposta, tem o mesmo traço de γ, mas descreve-o no sentido oposto. O sentido positivo de uma curva simples fechada é definido como correspondente ao sentido contrário dos ponteiros do relógio. A direcção oposta ao sentido positivo diz-se o sentido negativo da curva. Dado uma curva γ : [a, b] A consideremos uma bijecção crescente ψ : [c, d] [a, b]. Então γ ψ : [c, d] A é uma curva em A com a mesma origem, extremidade, traço e sentido da curva γ. Dizemos que γ ψ é obtido de γ por mudança de parâmetro. Nota 5.. Sendo [a, b] um qualquer intervalo, a função ψ : [0, ] [a, b] definida por ψ(t) = ( t)a + bt é uma bijecção crescente. Através desta bijecção podemos considerar qualquer caminho, por mudança de parâmetro, definido no intervalo [0, ], ou em qualquer outro intervalo. 6

66 5.2. INTEGRAIS DE CAMINHO Consideremos duas curvas γ e γ 2 definidas por γ : [a, b] C e γ : [b, c] C, e tais que γ (b) = γ 2 (b), isto é, a extremidade de γ coincide com a origem de γ 2. Então, podemos definir a sua soma γ + γ 2 : [a, c] C γ (t), se t [a, b] t γ 2 (t), se t [b, c]. Definição 5.3. O comprimento de um caminho C é dado pelo integral L(γ) = b a γ (t) dt, onde z = γ(t), t [a, b], é uma qualquer parametrização de C. Notemos que efetuando a mudança de variável t = ψ(s), com ψ : [c, d] [a, b] uma bijecção crescente, obtemos dt = ψ (s)ds e então L(γ) = d c γ (ψ(s)) ψ (s)ds = d c (γ ψ) (s) ds. Ou seja, o comprimento de uma curva não depende da parametrização usada. Exemplo 5.4. O caminho γ(t) = re 2it, 0 t 2π, tem comprimento comp(γ) = 4πr, pois L(γ) = 2π 0 2rie 2it dt = 2π 0 2rdt = 4πr. Definição 5.4 (Integral de caminho). Seja f : A C uma função contínua, com A C, e seja γ : [a, b] A um caminho em A. Define-se o integral de f ao longo de γ como sendo o número complexo γ f(z)dz = b a f(γ(t))γ (t)dt. Notemos que para o integral existir, a função f tem de estar definida no traço de γ e, para o cálculo desse integral, só interessam os valores de f nessa conjunto. Notemos ainda que o integral do segundo membro é o integral de uma função complexa de variável real, já tratado na secção anterior. É fácil verificar que o integral não depende da parametrização considerada. Se ψ : [c, d] [a, b] é uma bijecção crescente então, efetuando a mudança de variável t = ψ(s), temos dt = ψ (s)ds e b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt = γ = a d c d f(γ ψ(s))(γ ψ) (s)ds = 62 c f(γ(ψ(s)))γ (ψ(s))ψ (s)ds γ ψ f(z)dz.

67 5.2. INTEGRAIS DE CAMINHO O integral de uma função complexa ao longo de caminhos generaliza o integral de funções de variável real em intervalos, pois γ(t) = t, a t b, é uma parametrização para o intervalo [a, b] e então γ f(z)dz = b a f(t)dt. As seguintes propriedades seguem facilmente das definições e da proposição 5.. Proposição 5.3. Sejam f, g funções complexas contínuas no conjunto A C, α C e γ, γ dois caminhos em A tais que a extremidade de γ coincide com a origem de γ. Então:. f(z) + g(z)dz = f(z)dz + g(z)dz γ γ αf(z)dz = α f(z)dz. γ f(z)dz = γ+γ γ γ f(z)dz + f(z)dz e γ γ γ f(z)dz = f(z)dz. γ Se f : A C C é uma função contínua e é a derivada de uma função analítica F (z) em A, diremos que F é uma primitiva ou antiderivada de f em A. Teorema 5.4 (Teorema Fundamental do Cálculo). Sejam f uma função contínua definida em A C e γ : [a, b] A um caminho em A. Se F é uma primitiva de f em A, então f(z)dz = F (γ(b)) F (γ(a)). γ Demonstração. Comecemos por notar que se F é uma primitiva de f em A, então a função F γ é uma primitiva de (f γ)γ em A. Assim, f(z)dz = b γ a f(γ(t))γ (t)dt = [F γ(t)] b a = F (γ(b)) F (γ(a)). Em particular, se f possui uma primitiva em A e C é um caminho fechado contido em A, então f(z)dz = 0. C 63

68 5.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT Exemplo 5.5. O integral fechado e (z u) k+ k + C(u,r) dz = 0 para k 2, pois C(u, r) é um caminho C(u,r) (z u) k é uma primitiva de. Notemos no entanto que (z u) k 2π z u dz = 2π 0 u + re it u ireit dt = idt = 2πi. 0 Terminamos esta secção com uma estimativa para o valor do integral de uma função complexa ao longo de um caminho, obtida como consequência da proposição 5.2. Proposição 5.5 (Desigualdade ML). Sejam f uma função contínua definida em A C e γ : [a, b] A um caminho em A. Então f(z)dz ML(γ), γ onde M = max{ f(z) : z tr(γ)}. Demonstração. Comecemos por notar que o número real M existe pois estamos a assumir que f(γ(t)) é uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Assim, pela definição de integral de caminho e pela proposição 5.2, podemos escrever b f(z)dz f(γ(t))γ (t) dt γ a b = M M γ (t) dt a b a = ML(γ). γ (t) dt 5.3 Teorema de Cauchy-Goursat O teorema de Jordan diz que uma curva γ simples fechada, orientada positivamente, divide o plano complexo em dois conjuntos disjuntos: um interior à curva, limitado e denotado por int(γ), e o outro exterior, ilimitado e denotado por ext(γ). A prova deste resultado é não-trivial e não será apresentada aqui. Uma região D C diz-se simplesmente conexa se o interior de qualquer curva poligonal simples e fechada em D estiver contido em D. Por outras palavras, uma região simplesmente conexa não tem partes separadas e não tem "buracos". 64

69 5.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT O teorema de Cauchy, também conhecido como teorema de Cauchy-Goursat, é um dos resultados fundamentais da Análise Complexa. Este resultado estabelece que o integral de uma função analítica numa região simplesmente conexa, ao longo de um caminho fechado contido nessa região, é zero. Foi obtido por Cauchy em 825 com a condição de f ser contínua. Em 883 Goursat apresentou uma prova para o teorema de Cauchy que não requere a continuidade de f. Esta versão modificada do teorema de Cauchy é hoje conhecida como teorema de Cauchy-Goursat. Teorema 5.6 (Teorema de Cauchy-Goursat). Seja f uma função analítica numa região D simplesmente conexa e seja γ um caminho fechado contido em D. Então, f(z)dz = 0. Demonstração. Veja-se [2] ou [6]. γ Como o interior de um caminho simples γ é uma região simplesmente conexa, segue do teorema de Cauchy-Goursat que se f é uma função analítica em todos os pontos da união de tr(γ) com o seu interior, então f(z)dz = 0. γ Podemos assim concluir que o integral de uma função que seja diferenciável em todo o plano complexo se anula qualquer que seja o caminho simples fechado γ. Em particular, e z dz = sin(z)dz = cos(z)dz = p(z)dz = 0, γ γ γ γ onde p(z) é um qualquer polinómio. Exemplo 5.6. A função racional f(z) = z5 + 2z + 3 é diferenciável em C \ { i, + i}, pois z 2 2z + 2 estes números anulam o denominador de f(z). Assim, f(z)dz = 0, C(0,) pois os pontos i e + i estão fora da circunferência de centro 0 e raio. Proposição 5.7 (Independência do caminho). Seja f uma função analítica numa região D simplesmente conexa. Se γ e γ 2 são caminhos em D com a mesma origem e extremidade, então f(z)dz = γ f(z)dz. γ 2 65

70 5.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT Demonstração. Consideremos o caminho fechado γ + ( γ 2 ) e notemos que este caminho pode não ser simples. Faremos a demonstração apenas para o caso em que este caminho é simples, embora o resultado seja verdadeiro se não for simples. Como f é analítica em tr(γ) e no seu interior, segue do teorema da Cauchy-Goursat que 0 = f(z)dz = γ +( γ 2 ) f(z)dz γ f(z)dz. γ 2 Ou seja, f(z)dz = γ f(z)dz. γ 2 Definição 5.5. Um ponto z 0 C diz-se uma singularidade da função f se f não possui derivada em z 0. O ponto z 0 diz-se uma singularidade isolada de f se z 0 é uma singularidade de f e f é analítica em algum conjunto {z C : 0 < z z 0 < r}, com r R +. Proposição 5.8 (Teorema da deformação do caminho). Sejam γ e γ 2 caminhos simples fechados numa região D, com a mesma orientação, e tais que tr(γ 2 ) está contido no interior de γ. Se f é uma função analítica em tr(γ ) tr(γ 2 ) e no conjunto compreendido entre os dois caminhos, então f(z)dz = γ f(z)dz. γ 2 Demonstração. Sejam a e b a origem (e extremidade) de γ e γ 2, respectivamente. Consideremos um caminho γ unindo o ponto a ao ponto b, e totalmente contido entre γ e γ 2 : γ a γ b γ 2 Consideremos então o caminho fechado γ = γ + γ + ( γ 2 ) + ( γ). Como f é analítica no interior de γ, temos 0 = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + γ γ γ γ 2 = f(z)dz + f(z)dz f(z)dz f(z)dz γ γ γ 2 γ = f(z)dz γ f(z)dz. γ 2 Ou seja, f(z)dz = γ f(z)dz. γ 2 66 γ f(z)dz

71 5.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT O resultado anterior é conhecido como o teorema da deformação do caminho pois podemos pensar em γ 2 como uma deformação contínua do caminho γ. Notemos que se f não tem singularidades dentro de γ então o caminho γ pode ser deformado até ao caminho constante e, nesse caso, o integral anula-se. Exemplo 5.7. Seja γ um caminho fechado cuja imagem é o quadrado com vértices ±3 ± 3i. Como a função z i pois z i tem apenas uma singularidade no ponto i, podemos escrever γ z i dz = dz = 2πi, C(i,) z i não possui singularidades entre γ e C(i, ), ou seja, é diferenciável neste conjunto. O próximo resultado permite-nos calcular integrais ao longo de caminhos fechados dentro dos quais a função integranda possui um número finito de singularidades. Teorema 5.9 (Generalização do teorema de Cauchy). Seja f uma função definida numa região D e seja γ um caminho fechado simples contido em D, orientado positivamente. Se as singularidades de f dentro de γ são z,..., z p, então γ f(z)dz = p k= C(z k,r) f(z)dz, para r > 0 tal que as p circunferências estão contidas no interior de γ e são disjuntas duas a duas. Demonstração. A prova segue os mesmos passos da demonstração do teorema da deformação do caminho. Exemplo 5.8. Calculemos o valor do integral C(0,4) z 2 + dz. Uma vez que z2 + = (z + i)(z i), a função f(z) = dz tem singularidades nos pontos ±i, os quais se encontram z 2 + dentro da circunferência C(0, 4). Assim, podemos escrever z 2 + dz = z 2 + dz + z 2 + dz. C(0,4) C(i,) C( i,) Relativamente ao primeiro integral do segundo membro da igualdade anterior, temos C(i,) z 2 + dz = C(i,) (z i)(z + i) dz = i/2 C(i,) z i + i/2 z + i dz = i 2 C(i,) z i dz + i 2 C(i,) z + i dz = i 2πi + 0, 2 67

72 5.4. FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY visto que a função não tem singularidades dentro da circunferência C(i, ). Analogamente se conclui que z+i z 2 + dz = i 2 2πi, pelo que C( i,) C(0,4) dz = 0. z Fórmulas integrais de Cauchy O próximo resultado estabelece o valor de uma função f num ponto z em função dum integral ao longo de um caminho. Pode também ser usado para calcular o valor do integral de um quociente f(z)/(z z 0 ) com uma singularidade isolada em z 0 ao longo de um caminho que contenha o ponto z 0. Teorema 5.0 (Fórmula integral de Cauchy). Suponhamos que f é uma função analítica numa região simplesmente conexa D e que γ é um caminho simples e fechado em D, orientado positivamente. Então, para qualquer z 0 int(γ), temos f(z 0 ) = 2πi γ f(z) z z 0 dz. Demonstração. Pelo teorema da deformação do caminho, podemos escrever γ f(z) f(z) dz = dz, z z 0 C(z 0,r) z z 0 onde r > 0 é tal que a circunferência C(z 0, r) se encontra no interior de γ. Assim, C(z 0,r) f(z) f(z 0 ) f(z 0 ) + f(z) dz = dz z z 0 C(z 0,r) z z 0 = f(z 0 ) dz + z z 0 C(z 0,r) C(z 0,r) f(z) f(z 0 ) z z 0 dz. (5.) Pelo exemplo 5.5, sabemos que C(z 0,r) z z 0 dz = 2πi, logo (5.) torna-se C(z 0,r) f(z) f(z) f(z 0 ) dz = f(z 0 )2πi + dz. (5.2) z z 0 C(z 0,r) z z 0 68

73 5.4. FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY Como f é contínua em z 0, para qualquer ε > 0 existe δ > 0 tal que f(z) f(z 0 ) < ε sempre que z z 0 < δ. Em particular, se escolhermos o raio da circunferência C(z 0, r) como sendo r < δ, pela desigualdade ML obtemos f(z) f(z 0 ) dz z z 0 ε 2πr = 2πε. r C(z 0,r) Como ε é arbitrário, segue que o integral anterior é zero e, portanto, f(z) dz = f(z 0 )2πi. z z 0 C(z 0,r) e z Exemplo 5.9. Consideremos o integral dz. Uma vez que a exponencial complexa C(0,) z não tem singularidades dentro de C(0, ), temos e z z dz = e0 2πi = 2πi. C(0,) Teorema 5. (Fórmula integral de Cauchy para derivadas). Suponhamos que f é uma função analítica numa região simplesmente conexa D e que γ é um caminho simples e fechado em D, orientado positivamente. Então f tem derivada de todas as ordens em D e, para quaisquer n N e z 0 int(γ), temos Demonstração. Veja-se [2]. f (n) (z 0 ) = n! 2πi Exemplo 5.0. Consideremos o integral C(0,) γ f(z) dz. (z z 0 ) n+ z + z 4 + 2iz 3 dz. A função integranda tem singularidades nos pontos 0 e 2i, pois z 4 2iz 3 = z 3 (z + 2i), mas apenas o ponto 0 se situa no interior da circunferência C(0, ). Assim, podemos escrever C(0,) z + z 4 + 2iz dz = 3 C(0,) onde a função g(z) = z+ não tem singularidades no interior de C(0, ). Uma vez que z+2i g (0) = 2 4i, obtemos então (2i) 3 z + 2πi dz = z 4 + 2iz3 2! g (0) = πi 2 4i (2i). 3 C(0,) 69 z+ z+2i z 3 dz,

74 5.4. FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY Segue do teorema anterior que uma função analítica numa região D admite nessa região derivadas de todas as ordens. Analisamos de seguida mais algumas das mais importantes consequências das fórmulas integrais de Cauchy. Teorema 5.2 (Desigualdade de Cauchy). Suponhamos que f é analítica numa região simplesmente conexa D e que a circunferência C(z 0, r) está contida em D. Se f(z) M para todo o z C(z 0, r), então f (n) (z 0 ) n!m r n para todo o n 0. Demonstração. Por hipótese, para z sobre a circunferência C(z 0, r) temos f(z) (z z 0 ) n+ = f(z) r M n+ r. n+ Usando a fórmula integral de Cauchy para derivadas e a desigualdade M L, obtemos f (n) (z 0 ) = n! f(z) 2π dz (z z 0 ) n+ n! M n!m 2πr = 2π rn+ r. n C(z 0,r) Teorema 5.3 (Teorema de Liouville). As únicas funções inteiras e limitadas são as funções constantes. Demonstração. Suponhamos que f é uma função inteira e limitada. Então, existe M > 0 tal que f(z) M para todo o z C. Tomemos uma circunferência centrada no ponto z 0 com raio r > 0. A desigualdade de Cauchy diz-nos que f (z 0 ) M/r. Uma vez que podemos tomas r tão grande quanto queiramos, podemos concluir que f (z 0 ) = 0 para todos os pontos z 0 C. Pelo teorema 4.3, a função f é constante em C. Teorema 5.4 (Teorema fundamental da álgebra). Qualquer polinómio não constante p(z) tem pelo menos uma raiz em C. Demonstração. Suponhamos que o polinómio não constante p(z) = a 0 +a z+a 2 z 2 + +a n z n não tem raízes em C. Definamos a função inteira f(z) = /p(z). Como f(z) = a 0 + a z + a 2 z a n z n = z n a 0 /z n + a /z n + + a n /z + a n constatamos que f(z) 0 quando z. Concluímos assim que f é limitada. Pelo teorema de Liouville, segue que f é constante, e portanto também p é constante. Como este facto contradiz a nossa suposição, concluímos que p tem pelo menos uma raiz em C. 70

75 Capítulo 6 Séries de Potências 6. Série de potências Definição 6.. Sejam z 0 C e (a n ) uma sucessão de números complexos. Uma série de potências de z z 0 com coeficientes a 0, a,..., é uma série da forma a n (z z 0 ) n = a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 + Esta série diz-se centrada em z 0 e este ponto designa-se por centro da série. Convencionamos definir (z z 0 ) 0 = mesmo quando z = z 0. Uma série de potência é apenas um exemplo de uma série de números complexos, onde o termo geral é da forma a n (z z 0 ) n. Notemos que a convergência da série depende do valor de z. Se a série converge para todo o z D C, então a série define uma função no conjunto D. Exemplo 6.. A série geométrica z n é uma série de potências centrada em z 0 = 0, e coincide com a função f(z) = no disco z <. Fora deste disco a série diverge. z z n Exemplo 6.2. Já a série converge absolutamente para todo o z C. Podemos n! confirma-lo aplicando o teste da razão: lim z n+ n! (n + )! z n = lim z n + = 0. Como este limite é inferior a, a série é absolutamente convergente em C e, portanto, define uma função em C. Uma série de potências de z z 0 converge, pelo menos, no ponto z 0. O proximo resultado descreve os possíveis casos de convergência de uma série de potências. 7

76 6.. SÉRIE DE POTÊNCIAS Teorema 6.. Dada uma série de potências a n (z z 0 ) n, três situações podem ocorrer:. A série converge apenas para z = z A série converge para qualquer z C. 3. Existe um R > 0 tal que a série converge absolutamente se z z 0 < R e diverge se z z 0 > R. Demonstração. É suficiente mostrar que se a n (z z 0 ) n converge, então a n (z z 0 ) n converge absolutamente para todo o z tal que z z 0 < z z 0. Suponhamos então que a n (z z 0 ) n converge e que z satisfaz z z 0 < z z 0. Pela condição necessária de convergência, sabemos que a n (z z 0 ) n 0. Portanto, existe M > 0 tal que a n (z z 0 ) n < M para todo o n 0. Mas então a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n z z 0 n z z 0 < n Mbn, onde b = z z 0 z z 0 <. Como Mb n é uma série geométrica (real) convergente, concluímos pelo teste de comparação que a série a n (z z 0 ) n é convergente. Ao número real R chama-se raio de convergência da série e estende-se a definição dizendo que R = 0 na situação () e R = na situação (2). No caso R > 0, nada se pode dizer em geral sobre a natureza da série sobre os pontos da circunferência z z 0 = R. A bola aberta {z C : z z 0 < R} chama-se disco de convergência da série. Neste disco, a série define uma função f(z) = a n (z z 0 ) n, para z D No caso de séries de potências de números reais, quando R > 0 o disco de convergência x x 0 < R reduz-se ao intervalo ]x 0 R, x 0 + R[. A convergência nos extremos deste intervalo tem de ser verificada diretamente. Proposição 6.2. Suponhamos que a série de potências a n (z z 0 ) n tem raio de convergência R > 0 e seja D o seu disco de convergência. Consideremos ainda a função f : D C definida por f(z) = Então: a n (z z 0 ) n. 72

77 6.2. SÉRIE DE TAYLOR. A função f é analítica em D e f (z) = na n (z z 0 ) n. Consequentemente, f tem derivadas de todas as ordens e, para todo o k N tem-se f (k) (z 0 ) = k!a k. 2. Para qualquer caminho γ contido em D, tem-se f(z)dz = a n (z z 0 ) n dz. γ γ 3. A derivação termo a termo e integração termo a termo conservam o raio de convergência. Demonstração. Veja-se [6]. Note-se que, no caso de séries de potências reais, o caminho γ da alínea 2 da proposição anterior reduz-se a um intervalo [a, b] contido no disco de convergência (ele próprio um intervalo) da série. 6.2 Série de Taylor Se uma função se puder escrever como a soma de uma série de potências numa certa região, as operações de derivação e integração tornam-se muito simples, pois como vimos na proposição 6.2, uma série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo. Além disso, a série fornece uma aproximação da função por polinómios. Vamos nesta secção analisar em que circunstâncias uma função pode ser representada por uma série de potências. Notamos que neste contexto há diferenças importantes entre funções reais e funções complexas. Apresentaremos os resultados para funções complexas, analisando o caso real à parte sempre que existirem diferenças no comportamento das funções. Seja f a função soma da série de potências a n (z z 0 ) n definida no interior do seu disco de convergência D = z z 0 < R, com R > 0. Vimos no ponto da proposição 6.2 que a função f admite derivadas de qualquer ordem em D e a n = f (n) (z 0 ). n! Deste resultado concluí-se que uma função f não pode ser a soma de duas séries de potências de z z 0 diferentes com raio de convergência não nulo, pois da igualdade f(z) = a n (z z 0 ) n = b n (z z 0 ) n 73

78 6.2. SÉRIE DE TAYLOR obtemos a n = b n = f (n) (z 0 ), para todo o n 0. n! Definição 6.2 (Série de Taylor). Seja f uma função analítica no disco z z 0 < R. A série de Taylor de f centrada em z 0 é a série de potências dada por f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! No caso particular z 0 = 0 dá-se o nome de série de Maclaurin de f à série O termo geral da sucessão das somas parciais f (n) (z 0 ) z n. n! s n (z) = n k=0 f (k) (z 0 ) (z z 0 ) k k! chama-se polinómio de Taylor de grau n de f no ponto z 0. Dada uma qualquer função com derivadas de qualquer ordem em z 0, podemos sempre construir a sua série de Taylor. Coloca-se então a questão de saber qual a relação entre a função f e a sua série de Taylor. No teorema seguinte, prova-se que no caso de funções complexas, uma função analítica num disco é aí representada pela sua série de Taylor. Veremos adiante que o caso de funções reais é muito diferente. Teorema 6.3 (Teorema de Taylor). Seja f uma função analítica em D C e seja z 0 D. Então f(z) = f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n n! para z no maior disco aberto centrado em z 0 e contido em D. Demonstração. Veja-se [6]. O teorema de Taylor diz-nos que se soubermos os valores f(z 0 ), f (z 0 ), f (z 0 ),... (apenas no ponto z 0 ), conhecemos o valor de f(z) em qualquer ponto do disco de convergência da sua série de Taylor. O raio de convergência da série de Taylor de uma função f pode ser obtido aplicando o teste da razão à série dos módulos. No entanto, pelo resultado anterior, temos que o raio de convergência é igual à distância do centro z 0 da série à singularidade de f mais próxima de z 0. 74

79 6.2. SÉRIE DE TAYLOR Exemplo 6.3. A exponencial complexa e z é uma função inteira e todas as suas derivadas em torno do ponto 0 são iguais a, pelo que a série de Maclaurin desta função em torno da origem é dada por e z = z n n! É igualmente fácil verificar que para todo o z C, sin z = ( ) n z 2k+ (2k + )! para todo o z C. e cos z = ( ) n z2k (2k)! Exemplo 6.4. Determinemos a série de Taylor da função f(z) = em torno do ponto 2z 3 z 0 = 2. Podemos usar a fórmula para os coeficientes da série de Taylor para determinar f (n) (2) (z 2) n. Um método alternativo, menos fastidioso, consiste em escrever f como n! uma série geométrica e usar o resultado do exemplo 6.. Notemos que f(z) = 2z 3 = 2 z 3 2 = 2 (z 2) + 2 = 2(z 2) + = ( 2(z 2)) = ( 2(z 2)) n = ( 2) n (z 2) n. Esta série converge absolutamente para z tal que 2(z 2) <, ou seja, para z 2 < /2, pelo que o seu raio de convergência é r = /2. Tendo em conta a unicidade da representação de uma função pela sua série de Taylor, temos que f(z) = ( 2) n (z 2) n no disco de convergência D = {z C : z 2 < }. Notemos que o raio de convergência 2 r = /2 é igual à distância entre o centro z 0 = 2 da série e a única singularidade z = 3/2 da função f. O teorema de Taylor no caso de funções reais A afirmação do Teorema de Taylor é falsa no contexto das funções reais de variável real. Uma função de variável real f, mesmo indefinidamente diferenciável, não tem necessariamente 75

80 6.3. SÉRIE DE LAURENT E O TEOREMA DOS RESÍDUOS uma representação em série de Taylor convergente. Por exemplo, a função e /x2, se x 0 f(x) = 0, se x = 0 satisfaz f (n) (0) = 0 para todo o n 0, pelo que a sua série de Taylor é a série nula 0 + 0x + 0x 2 + = 0. Portanto, f não coincide com a sua série de Taylor em nenhuma vizinhança de 0. No entanto, pela unicidade da representação de uma função pela sua série de Taylor, conclui-se que se f for a soma de uma série de potências a n (x x 0 ) n numa vizinhança de x 0, então essa é a sua série de Taylor. Proposição 6.4 (Fórmula de Taylor com resto de Lagrange). Seja f :]a, b[ R uma função que admite derivadas contínuas em ]a, b[ até à ordem n + e seja x 0 ]a, b[. Então para qualquer x ]a, b[, existe c estritamente entre x e x 0 tal que f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! onde (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + r n (f, x 0 ), n! r n (f, x 0 ) = f (n+) (c) (n + )! (x x 0) n+. A r n (f, x 0 ) chama-se resto de Lagrange da Fórmula de Taylor de ordem n, e o polinómio P ( f, x 0 ) = f(x) r n (x) designa-se por polinómio de Taylor de f de grau n no ponto x 0. Notemos que a sucessão das somas parciais da série de Taylor de uma função f em torno de x 0 é dada por s n = P n (f, x 0 ). Assim, a série de Taylor de f converge para f(x) se e só se lim r n (f, x 0 ) = lim(f(x) P n (f, x 0 )) = Série de Laurent e o teorema dos resíduos Se f tem uma singularidade no ponto z 0 então não pode ser expandida em série de potências centrada em z 0. No entanto, se z 0 for uma singularidade isolada, é possível representá-la por uma série envolvendo potências positivas e negativas de z z 0. Por exemplo, a função f(z) = z tem uma única singularidade no ponto z 0 =. Assim, podemos escrever f(z) = + 0 ( z) + 2 z (z ) + 0 (z )2 + Esta série é absolutamente convergente para 0 < z <. 76

81 6.3. SÉRIE DE LAURENT E O TEOREMA DOS RESÍDUOS Teorema 6.5 (Teorema de Laurent). Seja f uma função diferenciável numa coroa circular D = {z : r < z z 0 < R}, com 0 r < R e R > 0 ou R = +. Então, nessa coroa circular tem-se onde f(z) = a n (z z 0 ) + a n n (z z 0 ) n, a n = 2πi γ f(w) dw (w z 0 ) n+ para n = 0, ±, ±2,... e γ um caminho simples fechado, orientado positivamente, contido em D e contendo z 0 no seu interior. Definição 6.3. À série definida no teorema de Laurent chama-se série de Laurent f. A primeira parte desta série é designada por parte principal e a segunda por parte analítica. Notemos que os coeficientes da série de Laurent, e portanto a própria série de Laurent, são univocamente determinados por f e z 0. Além disso, se f é diferenciável em todo o disco z z 0 < R, então a n = 0, para n e a n = f (n) (z 0 ), n! para n = 0,, 2,... Ou seja, neste caso a série de Laurent reduz-se à série de Taylor. Notemos ainda que o coeficiente a de satisfaz a = f(z) dz, ou seja, z z 0 2πi γ (z z 0 ) 0 2πia = f(z)dz. γ Exemplo 6.5. Uma vez que e z = série de Laurent para todo o z > 0. z n para todo o z C, obtemos o desenvolvimento em n! e z = z n n! Definição 6.4. Nas condições do teorema de Laurent, se r = 0, isto é, se z 0 é uma singularidade isolada de f, o coeficiente a de na série de Laurent de f chama-se resíduo z z 0 de f em z 0 e denota-se por Res(f, z 0 ). Temos assim, 2πiRes(f, z 0 ) = f(z)dz. 77 γ

82 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS 5.9. O próximo resultado, conhecido como teorema dos resíduos, é consequência do teorema Teorema 6.6 (Teorema dos resíduos). Seja D uma região simplesmente conexa e seja γ um caminho simples fechado contido em D, orientado positivamente. Se f é uma função analítica em D exceto em n singularidades isoladas z,..., z n, pertencentes ao interior de γ, então γ f(z)dz = 2πi n Res(f, z k ) Exemplo 6.6. Usemos o teorema dos resíduos para calcular o integral z( z) dz. C(0,2) Comecemos por notar que a função f(z) = tem singularidades nos pontos z = 0 e z( z) z =, ambos dentro da circunferência C(0, 2). Calculemos então os resíduos Res(f, 0) e Res(f, ). Temos f(z) = z z = z n = z k= z n = z + + z + z2 + para todo o 0 < z <, pelo que Res(f, 0) =. Relativamente ao ponto, temos f(z) = z z + = z ( (z )) = ( (z )) n z = ( ) n (z ) n = z + (z ) + (z )2 + para 0 < z <, pelo que Res(f, ) =. Assim, dz = 2πi (Res(f, 0) + Res(f, )) = 0. z( z) C(0,2) 6.4 Classificação das singularidades isoladas Definição 6.5. Seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se a parte principal da série de Laurent de f a n (z z 0 ) + a n n (z z 0 ) n contiver um número finito de coeficientes a n não nulos, z 0 diz-se um polo de f. Se f(z) = a m (z z 0 ) + + a + a m 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) +, z z 0 com a m 0, diz-se que z 0 é um polo de ordem m. Um polo de ordem chama-se polo simples. 78

83 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS Exemplo 6.7. O número 0 é um polo simples de z z 2, pois z z =, para z > 0. 2 z Exemplo 6.8. O número 0 é um polo de ordem 2 de ez z 2, pois e z z 2 = z z n n! = z + 2 z + 2! + z +, para z > 0. 3! Exemplo 6.9. O número 0 não é um polo de sin(z), pois a parte principal da sua série de z Laurent em torno de z 0 = 0 sin(z) z = z ( ) n z 2n+ (2n + )! = ( ) n z 2n (2n + )! = z2 3! + z4, para z > 0, 5! tem todos os coeficientes nulos. O próximo resultado estabelece um critério para uma singularidade isolada de f ser um polo de ordem m. Proposição 6.7. O número z 0 é um polo de ordem m de f se e só se for possível escrever f(z) = g(z) (z z 0 ) m com g uma função analítica numa vizinhança de z 0 tal que g(z 0 ) 0. Demonstração. Se z 0 é um polo de ordem m de f, podemos escrever f(z) = a m (z z 0 ) m + + a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) + para todo o z B(z 0, r) \ {z 0 } com a m 0. Multiplicando ambos os membros desta expressão por (z z 0 ) m, obtemos (z z 0 ) m f(z) = a m + + a (z z 0 ) m + a n (z z 0 ) n+m, } {{ } g(z) com g diferenciável em B(z 0, r) e tal que g(z 0 ) = a m 0. Reciprocamente, se f(z) = g(z) (z z 0 ) com g diferenciável em B(z 0, r), podemos escrever m g(z) = a n (z z 0 ) n, 79

84 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS com a 0 = g(z 0 ) 0, pelo que f(z) = a (z z 0 ) m n (z z 0 ) n tem um polo de ordem m no ponto z 0. Definição 6.6. Seja h uma função analítica numa vizinhança de z 0. Dizemos que h tem um zero de ordem m em z 0 se h(z 0 ) = h (z 0 ) = = h (m ) (z 0 ) = 0 e h (m) (z 0 ) 0. Um zero de ordem diz-se um zero simples. O próximo resultado segue de forma simples da definição de zero de ordem m de uma função. Proposição 6.8. Seja h uma função analítica numa vizinhança de z 0. Então, h tem um zero de ordem m se e só se for possível escrever h(z) = (z z 0 ) m φ(z), onde φ é analítica numa vizinhança de em z 0 e φ(z 0 ) 0. Como consequência deste resultado obtemos o seguinte Corolário 6.9. Sejam g e h duas funções analíticas numa vizinhança de z 0 tais que h tem um zero de ordem m em z 0 e g(z 0 ) 0. Então, tem um polo de ordem m em z 0. f(z) = g(z) h(z) Demonstração. Basta notar que podemos escrever h(z) = (z z 0 ) m φ(z), com φ analítica numa vizinhança de z 0 e φ(z 0 ) 0. Assim, f(z) = g(z) h(z) = g(z) (z z 0 ) m φ(z) = com g(z) φ(z) analítica numa vizinhança de z 0 e g(z 0) φ(z 0 ) 0. g(z) φ(z) (z z 0 ) m, 80

85 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS Exemplo 6.0. Seja f(z) = sin(z). A função sin(z) tem zeros nos pontos kπ, k Z. Se z 0 é um destes pontos, temos sin(z 0 ) = 0 e cos(z 0 ) 0. Portanto, a função sin(z) tem um zero simples no ponto z 0. Pelo corolário anterior, f tem um polo simples em z 0. Exemplo 6.. Consideremos agora a função f(z) = ez z 3. O ponto 0 é zero simples de e z, pelo que podemos escrever e z = zφ(z), com φ(0) 0. Portanto, f(z) = zφ(z) = φ(z) z 3 z, 2 com φ(0) 0. Pelo corolário anterior, 0 é um polo de ordem 2 de f. Teorema 6.0. Seja f uma função analítica num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se f tem um polo simples em z 0, então Res(f, z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z). Demonstração. Se z 0 é polo simples de f podemos escrever f(z) = com a 0. Daqui segue que a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 +, lim z z 0 (z z 0 )f(z) = a. De forma alternativa, podemos calcular o resíduo num polo simples da seguinte forma: Corolário 6.. Sejam g e h funções analíticas numa vizinhança de z 0 tais que h tem um zero simples em z 0 e g(z 0 ) 0. Então, a função f(z) = g(z) h(z) tem um polo simples em z 0 e Demonstração. Pelo teorema anterior, temos Res(f(z), z 0 ) = g(z 0) h (z 0 ). g(z) Res(f(z), z 0 ) = lim z z0 h(z) (z z 0) = lim = g(z 0) h (z 0 ). z z 0 g(z) z z0 h(z) 8

86 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS Relativamente a polos de ordem m > temos o seguinte critério: Teorema 6.2. Seja f uma função analítica num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se f tem um polo de ordem m em z 0, então d m Res(f, z 0 ) = (m )! lim z z 0 dz (z z 0) m f(z). m Demonstração. Se z 0 é polo de ordem m de f podemos escrever f(z) = com a m 0, ou ainda, a m (z z 0 ) m + + a z z 0 + a 0 + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) 2 +, (z z 0 ) m f(z) = a m + +a (z z 0 ) m +a 0 (z z 0 ) m +a (z z 0 ) m+ +a 2 (z z 0 ) m+2 + Derivando esta igualdade m vezes vem: Tomando limites obtemos d m dz m (z z 0) m f(z) = (m )!a + m!(z z 0 )a 0 + lim dz (z z 0) m f(z) = (m )!a m. z z 0 d m Exemplo 6.2. A função f(z) = e z z(z ) 3 tem um polo de ordem 3 no ponto pois ez z não se anula em. Neste ponto, temos d 2 Res(f, ) = 2! lim z dz (z z 0) 3 f(z) = 2 2! lim e z z dz 2 z = e 2. Assim, f(z)dz = 2πiRes(f, ) = πie C(,/2) pois o ponto é a única singularidade de f dentro da circunferência C(, /2). d 2 Exemplo 6.3. Calculemos o integral C(0,5) sin(z) dz. 82

87 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS Como vimos no exemplo 6.0, a função tem polos simples nos pontos kπ, k Z. sin(z) Destes, apenas os pontos π, 0, π estão dentro da circunferência C(0, 5). Temos pelo que ( ) Res sin(z), 0 = (sin(z)) z=0 ( ) Res sin(z), π = (sin(z)) z=π ( ) Res sin(z), π = = (sin(z)) z= π C(0,5) = cos(0) =, = cos(π) =, cos( π) =, dz = 2πi( ) = 2πi. sin(z) Analisemos por fim as singularidades que não são polos. Definição 6.7. Seja f uma função analítica num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se na série de Laurent de f n= a n (z z 0 ) n todos os coeficientes a n com n < 0 forem iguais a zero, o ponto z 0 diz-se uma singularidade removível ou removível de f. Neste caso, Res(f, z 0 ) = 0 e a singularidade pode ser removida definindo f em z 0 por f(z 0 ) = a 0 : de facto, se f(z) = a n (z z 0 ) n, para todo z B(z 0, r) \ {z 0 }, definimos a função a 0, z = z 0 f(z) =. f(z), z z 0 Esta função é analítica em B(z 0, r) e f(z) = a n (z z 0 ) n, para todo z B(z 0, r). 83

88 6.4. CLASSIFICAÇÃO DAS SINGULARIDADES ISOLADAS Exemplo 6.4. Uma vez que o ponto 0 é um zero simples de sin(z), podemos escrever sin(z) = zφ(z), com φ diferenciável em C e φ(0) 0. Podemos então concluir que a função sin(z) z = zφ(z) z = φ(z) tem uma singularidade removível no ponto 0. Definição 6.8. Seja f uma função diferenciável num conjunto aberto A C e seja z 0 uma singularidade isolada de f. Se na série de Laurent de f a n (z z 0 ) n n= houver uma infinidade de coeficientes a n, com n < 0, diferentes de zero, então z 0 diz-se uma singularidade essencial de f. Exemplo 6.5. A função e z e z tem uma singularidade essencial no ponto 0, pois = z n n! = + 3!z + 3 2!z + 2 z +. 84

89 Bibliografia [] Carlos Sarrico, Análise Matemática Leituras e Exercícios (Sucessões e séries de funções. Convergência pontual e uniforme.), Gradiva, Colecção Trajectos Ciência, 997. [2] Dennis Zill, A first Course in Complex Analysis with Applications, Jones and Bartlett Mathematics Publ., [3] Glyn James Pearson, Advanced Modern Engineering Mathematics ( capítulo 4 Séries de Fourier, secções 4., 4.2), Prentice Hall, Third edition, [4] James Stewart, Cálculo (volume II, Capítulo Sucessões e séries), Editora Thomson, 5 edição, [5] João Filipe Queiró, Análise Complexa Aplicada (Seccções -3). [6] Natália Bebiano da Providência, Análise Complexa com aplicações e laboratórios de Mathematica, Gradiva,