OBJETIVO. Prova1-Trivial,porinduçãoeusaoteoremafundamentaldaálgebra...3

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1 O TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Carlos Alexandre Gomes (UFRN) e Oswaldo Rio Branco de Oliveira (IMEUSP) oliveira@ime.usp.br Ano 2015 e Ano 2017 OBJETIVO Nesta notas apresentamos três demonstrações do importante Teorema de Cayley-Hamilton. A primeira demonstração é a mais trivial que conhecemos mas não é a mais elementar pois faz uso do teorema fundamental da álgebra. A segunda demonstração é a mais elementar, não utiliza o teorema fundamental da álgebra e faz uso da decomposição de um operador linear. A terceira demonstração é frequente em livros textos e utiliza a noção de matriz adjunta. Uma quarta demonstração está sob preparação e utiliza a versão da Fórmula Integral de Cauchy no espaço das matrizes quadradas e complexas. Introdução...2 Prova1-Trivial,porinduçãoeusaoteoremafundamentaldaálgebra...3 Prova 2- Elementar, por indução e não usa o teorema fundamental da álgebra...4 Prova3-Usamatrizadjuntaenãousaoteoremafundamentaldaálgebra...6 Prova4-(Sobpreparação)... Aplicações.

2 INTRODUÇÃO Indiquemos por V um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K, fixado K=R ou K=C. Consideremos uma aplicação linear T V V. Fixemos uma baseb do espaço V. Seja [T] B a matriz de representação de T em relação à baseb. SejaC uma outra base de V. Escrevendo os elementos dec como combinação linear dos elementos deb, encontramos a matriz de mudança de base P=[I] C B, da basec para a baseb. Donde segue P 1 =[I] B C. Então, temos [T] C =P 1 [T] B P. Seja λ a variável em K. Propriedades de matrizes e determinantes garantem det(λi [T] C )=det(p 1 (λi [T] B )P)=det(λI [T] B ). Logo, podemos associar à aplicação T um polinômio que independe da representação de T. Formalizemos Seja A uma matriz n n, com coeficientes em K [notação, A M n (K)]. O polinômio característico de A é p A (λ)=det(λi A), onde λ K. Assim, duas matrizes semelhantes tem iguais polinômios característicos. Definimos o polinômio característico de uma aplicação linear T V V, como o polinômio característico de qualquer uma de suas representações matriciais. 2

3 Oswaldo Rio Branco de Oliveira 1. PRIMEIRA PROVA (trivial e usa o teorema fudamental da ágebra) Teorema (Cayley-Hamilton). Sejam A M n (R) e p A (λ) seu polinômio característico. Então, p A (A)=0. Primeira prova (elementar). UsaoTeoremaFundamentaldaÁlgebra(TFA). O caso n=1éóbvio. Suponhamos o resultado válido para n 1. Seja T C n C n o operador linear associado a A. O TFA (teorema fundamental da álgebra) garante um autovalor λ e um autovetor associado v 0. Seja {v,...,} uma base de C n. Mudando de base, se preciso, podemos supor A= λ 0 B, onde B M n 1(C). Então temos, com I a identidade de ordem n 1 e z a variável complexa, p T (z)=det z λ 0 zi B =(z λ)det(zi B) =(z λ)p B (z). Donde segue (cheque, particularmente a terceira e a última igualdades) p T (T)=(A λi)p B (A) = 0 0 B λi p B λ 0 B = 0 0 B λi p B (λ) 0 p B (B) = 0 0 B λi p B (λ) 0 0 =

4 2. SEGUNDA PROVA (elementar e não usa o teorema fundamental da álgebra) Teorema (Cayley-Hamilton). Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita n e T V V linear e p(λ) o polinômio característico de T. Então, p(t)=0. Prova. Extraída da referência [1], apostila de H. P. Bueno. Consideremos um vetor não nulo e arbitrário v V. Mostremos p(t)v=0. Seja m o maior natural tal que o conjunto A={v,Tv,...,T m 1 v} é linearmente independente. Existem coeficientes α 0,...,α m 1 tais que (1.1) T m v=α 0 v+ +α m 1 T m 1 v. Seja W o subespaço gerado pelo conjunto linearmente independente A. Afirmação. T(W) W. De fato, dado w W segue que existem escalares β 0,...,β m 1 tais que w=β 0 v+β 1 Tv+ +β m 1 T m 1 v. Logo, Tw=β 0 Tv+β 1 T 2 v+ +β m 1 T m v. A identidade (1.1) garante que Tw W. Logo, T(W) W. Consideremos a restrição T W W W. A representação de T W na base ordenadaa={v,tv,...,t m 1 v} é α α 1 A= α α m 1 4

5 Oswaldo Rio Branco de Oliveira Logo, λ 0 0 α 0 det(λi A)= 1 λ 0 α α λ α m 1 λ 0 α 1 =λ 1 λ α λ α m 1 1 λ α 0 ( 1) m O último determinante acima é( 1) m 1. Logo, o coeficiente independente do polinômio característico det(λi A) é α 0. É claro que o coeficiente dominante de det(λi A) é+1. Então, por iteração segue det(λi A)= α 0 α 1 λ α 2 λ 2 α m 1 λ m 1 +λ m =p W (λ), onde p W (λ) é o polinômio característico da restrição T W. Desta forma, pela equação (1.1) segue (1.2) p W (T)v=T m v α 0 v α 1 Tv α 2 T 2 v α m 1 T m 1 v=0. Afirmação. Temos p(λ)=q(λ)p W (λ) para algum polinômio q(λ). De fato, completandoaauma base de V obtemos a representação [T]= A B [Ade ordemmec de ordemn m]. 0 C Então, por propriedades de determinantes encontramos det(λi T)=det(λI A)det(λI C)=p W (λ)q(λ)=q(λ)p W (λ). Devido a (1.2) concluímos então p(t)v=q(t)p W (T)v=0 5

6 3. TERCEIRA PROVA (usa matriz adjunta e não usa o teorema fundamental da álgebra) Dada uma matriz A=(a ij ) em M n (K), seja A ij o determinante da matriz quadrada de ordem n 1 que surge ao eliminarmos a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. A matriz dos cofatores de A é de tamanho n n e definida por C=(c ij ) com c ij =( 1) i+j A ij. A matriz adjunta de A é a matriz transposta de C. Notação, adj(a)=c t. Nestas notas, utilizaremos o seguinte resultado (sem prová-lo). Lema. Seja A M(n,K). Então temos A.adj(A) =(det A)I, com I=I n a matriz identidade de ordem n. Em particular, se deta 0, segue A 1 = 1 deta adj(a). Teorema (Cayley-Hamilton). Seja V um K-espaço vetorial de dimensão finita n e T V V linear e p(λ) o polinômio característico de T. Então, p(t)=0. Prova. SejaB uma base de V e A=[T] B a matriz de T nesta base. Consideremos A λ =λi A, com I a matriz identidade de ordem n. Assim, p(λ)=deta λ. Seja B=adj(A λ )=(b ij ). Logo, cada b ij é um polinômio de grau no máximo n 1 na variável λ. Escrevamos, para cada par i, j, tal polinômio como b ij =b (0) ij +b (1) ij λ+ +b(n 1) ij λ n 1. 6

7 Oswaldo Rio Branco de Oliveira A matriz dos coeficientes do termo de ordem k (fixa) destes polinômios é Então, segue B (k) = b (k) 11 b (k) 12 b (k) 1n b (k) n1 b (k) n2 b (k) nn, onde k=0,1,...,n 1. B=B (0) +B (1) λ+ +B (n 1) λ n 1. Como p(λ)=det(λi A) é mônico e de grau n, podemos escrever Escrevemos também p(λ)=a 0 +a 1 λ+ +λ n. BA λ =adj(a λ )A λ =(deta λ )I=det(λI A).I Substituindo as expressões para B, A λ e det(λi A)=p(λ) encontramos (B (0) +B (1) λ+ +B (n 1) λ n 1 )(λi A)=(a 0 +a 1 λ+ +λ n )I. Donde segue B 0 A+(B (0) B (1) A)λ+ +B (n 1) λ n =a 0 I+a 1 Iλ+ +Iλ n. Igualando-se os coeficientes dos termos de mesmo grau obtemos a 0 I a 1 I = B (0) A = B (0) B (1) A a n 1 I = B (n 2) B (n 1) A I = B (n 1). Multiplicando-se essas equações por I,A,A 2,...,A n, segue que a 0 I = B (0) A a 1 A = B (0) A B (1) A 2 a n 1 A n 1 = B (n 2) A n 1 B (n 1) A n A n = B (n 1) A n. Adicionando-se membro a membro as igualdades acima encontramos a 0 I+a 1 A+ +a n 1 A n 1 +A n =0 p A (A)=0 7

8 REFERÊNCIAS 1. Bueno, H. P., Funções de Matrizes (Versão Preliminar, 2002) - Universidade Federal de Minas Gerais - Departamento de Matemática. Disponível em 2. Ulhoa, F. C. e Lourenço, M. L., Um Curso de segunda edição (2013). Álgebra Linear, Edusp, 3. Fraleigh, J. B., A First Course In Abstract Algebra, 7th ed., Addison- Wesley, Departamento de Matemática Universidade de São Paulo oliveira@ime.usp.br 8