FUNCIONAIS LINEARES: ESPAÇO DUAL E ANULADORES

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1 FUNCIONAIS LINEARES: ESPAÇO DUAL E ANULADORES Eduardo de Souza Böer - eduardoboer04@gmail.com Universidade Federal de Santa Maria, Campus Camobi, Santa Maria, RS, Brasil Saradia Sturza Della Flora - saradia.flora@ufsm.br Universidade Federal de Santa Maria Campus Camobi, Santa Maria, RS, Brasil Resumo: Neste trabalho, estudamos uma classe especial de transformações lineares, que são os funcionais lineares. Após defini-los e exemplificá-los, tratamos a respeito da noção de espaço dual e provamos alguns resultados. Por fim, trabalhamos com a noção de anuladores e algumas aplicações deste conceito na solução de sistemas lineares homogêneos. Palavras-chave: Funcionais Lineares; Espaço Dual; Anuladores. 1 INTRODUÇÃO Os conceitos estudados e as ferramentas desenvolvidas na Álgebra Linear ocupam papéis de destaque nas diferentes áreas da matemática, dentre as quais podemos citar a Análise Real e as Equações Diferenciais, além de serem importantes em inúmeras aplicações em modelagem, desde o estudo da genética humana até a Teoria do Caos. O interesse no estudo dos funcionais lineares deve-se ao fato de, por exemplo, representarem uma importante ferramenta no estudo de espaços vetoriais de dimensão finita. Além disso, este conceito desempenha um papel importante nas discussões sobre subespaços vetoriais e sistemas de equações lineares homogêneos. Neste trabalho são apresentados alguns resultados estudados a partir de uma pesquisa científica desenvolvida pelos autores, baseada em Hoffman & Kunze (1971) e Ulhoa & Lourenço (2013). Inicialmente, definiremos e exemplificaremos funcionais lineares, pois estes são a base de todo o trabalho. Em seguida, será apresentada a noção de espaço dual e alguns resultados a cerca deste. Na parte final, faremos uso da noção de anuladores para a resolução de sistemas lineares homogêneos. 2 OBJETIVOS O presente trabalho tem por objetivo central apresentar os resultados iniciais estudados pelos autores durante o projeto de pesquisa que desenvolvem. Serão apresentados resultados a respeito de espaço dual e anuladores. Em contra ponto, alguns teoremas relativos a transformações lineares, que serão utilizados em algumas demonstrações, serão apenas mencionados e podem ser encontrados nos anexos. 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES No que segue, F denotará um corpo e V um espaço vetorial sobre F. Iniciaremos definindo funcionais lineares que serão nosso principal objeto de estudo. Definição 1: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F. Uma aplicação f : V F, é chamada de funcional linear em V se f(cv 1 + v 2 ) = cf(v 1 ) + f(v 2 ),

2 para todo v 1, v 2 V e c F. Note que um funcional linear é uma transformação linear de V sobre F, ambos vistos como F -espaços vetoriais. Vejamos alguns exemplos. Exemplos: 1) Sejam F um corpo e a 1, a 2,..., a n F. Consideremos a função f : F n F dada por f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n. Note que f é um funcional linear em F n. Mais ainda, todo funcional linear em F n é dessa forma. De fato, considere {e 1, e 2,..., e n } a base canônica de F n. Definindo a j = f(e j ), para j = 1,..., n temos: ( ) n f(x 1, x 2,..., x n ) = f x j e j = n x j f(e j ) = n a j x j. 2) Seja [a, b] um intervalo real fechado e C([a, b]) o espaço de todas as funções reais contínuas em [a, b]. Considere L : C([a, b]) R dada por L(g) = b a g(t)dt, para toda g C([a, b]). Utilizando as propriedades da integral definida, temos que L define um funcional linear em C([a, b]). Agora, seja V um F -espaço vetorial e considere L(V, F ) o conjunto de todos os funcionais lineares em V. Observe que L(V, F ) é um F -espaço vetorial cuja estrutura é dada por: (f + g)(v) = f(v) + g(v) (cf)(v) = cf(v) para todo f, g L(V, F ), v V e c F. O F -espaço vetorial L(V, F ) é chamado de espaço dual de V e é denotado por V. É importante observar que, se V for um espaço vetorial de dimensão finita, então dimv = dimv. De fato, utilizando o Teorema II (anexo), obtemos dimv = dimv dimf = dimv 1 = dimv. O nosso próximo objetivo é encontrar uma base para o espaço V. Consideremos β = {v 1, v 2,..., v n } uma base de V. De acordo com o Teorema I (anexo), para cada i = 1,..., n temos que existe um único funcional linear f i em V, tal que f i (v j ) = δ ij. Dessa forma, a partir de β obtemos um conjunto de n funcionais lineares, em V, distintos {f 1,..., f n }. Mostremos que este conjunto é linearmente independente (L.I.). De fato, considere f = c 1 f c n f n Aplicando em v j, obtemos f(v j ) = c 1 f 1 (v j ) c n f n (v j ) = c 1 δ c i δ i c n δ n = c j Desta forma, se f for o funcional nulo, então f(v j ) = 0 para todo j = 1,..., n, donde segue que c j = 0 para todo j = 1,..., n. Como dimv = n segue, pelo Teorema III (anexo), que β = {f 1,..., f n } é uma base de V. Esta é chamada base dual de β. Teorema 1: Sejam V um F -espaço vetorial de dimensão finita e β = {v 1,..., v n } uma base de V. Então, existe uma única base dual β = {f 1,..., f n } de V tal que f i (v j ) = δ ij. Além disso, para cada vetor v V, temos

3 v = n f i (v)v i (1) e, para cada funcional linear f V, temos que n f = f(v j )f i (2) Demonstração: Vimos que existe uma única base dual β = {f 1, f 2,..., f n } de β. Resta mostrarmos as igualdades Eq.(1) e Eq.(2). Seja f V. Pelos cálculos anteriores temos que f(v j ) = c j. Assim, tomando v V, temos v = n a i v i. Aplicando f j, obtemos f j (v) = n a i f j (v i ) = n a i δ ij = a j. Logo, segue a Eq.(1). Agora tomando f V, podemos escrevê-lo f = n c i f i Aplicando em v j, temos f(v j ) = n c i f i (v j ) = n c i δ ij = c j, donde segue a Eq.(2). E, com isto, está demonstrado o teorema. Note que que f i atribui a cada v V sua i-ésima coordenada na base β. Por isso, f i é chamada de função coordenada. Vejamos um exemplo de como obtermos a base do espaço a partir da base dual. Exemplo: Seja V o espaço vetorial das funções polinomiais de R em R com grau menor ou igual a 2. Consideremos a 1, a 2 e a 3 números reais distintos e, definimos L i (p) = p(a i ), i = 1, 2, 3. Então, L 1, L 2 e L 3 V. Mostremos que {L 1, L 2, L 3 } é L.I. De fato, considere L = c 1 L 1 + c 2 L 2 + c 3 L 3. Se L(p) = 0 para todo p V, então, em particular, aplicando L nas funções polinomiais 1, x, x 2, obtemos c 1 + c 2 + c 3 = 0 a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 = 0 a 2 1c 1 + a 2 2c 2 + a 2 3c 3 = 0 Como o determinante da matriz dos coeficiente é não-nulo, pois a 1, a 2, a 3 são distintos, segue que c 1 = c 2 = c 3 = 0. Portanto, β = {L 1, L 2, L 3 } é L.I. e, dessa forma, β é base de V. Agora, encontremos a base β da respectiva dual β. Tal base β = {p 1, p 2, p 3 } deve satisfazer L i (p j ) = p i (t j ) = δ ij. Portanto, basta tomarmos: p 1 (x) = (x a 2)(x a 3 ) (a 1 a 2 )(a 1 a 3 ) ; p 2(x) = (x a 1)(x a 3 ) (a 2 a 1 )(a 2 a 3 ) ; p 3(x) = (x a 1)(x a 2 ) (a 3 a 1 )(a 3 a 2 ). Esta base é interessante, pois de acordo com Eq.(1) temos que para cada p V, p = p(a 1 )p 1 + p(a 2 )p 2 + p(a 3 )p 3. Assim, se os escalares b 1, b 2, b 3 R, existe uma única função polinomial, sobre R, com grau máximo 2 e que satisfaz p(a i ) = b i, i = 1, 2, 3. Tal função polinomial é p = b 1 p 1 + b 2 p 2 + b 3 p 3. Note que esta é uma função polinomial bem conhecida, pois se estendermos de tal modo que i = 1, 2,..., n temos a fórmula de interpolação de Lagrange. Definição 2: Seja V um F -espaço vetorial e S um subconjunto de V. O anulador de S, S 0,é definido como sendo

4 S 0 = {f V ; f(v) = 0, para todo v V }. Note que S 0 é um subespaço de V, enquanto que S pode ser apenas um conjunto de V. Teorema 2: Sejam V um F -espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V. Então, dimw + dimw 0 = dimv Demonstração: Sejam n = dimw e α = {v 1,..., v n } uma base de W. Seja m = dimv e tome v n+1,..., v m,vetores em V, tais que β = {v 1,..., v n,..., v m } é base de V. Considere, ainda, β = {f 1,..., f m } a base de V que é a dual de β. Mostremos que γ = {f n+1,..., f m } é a base do anulador W 0. Observe que, f i W 0, pois f i (v j ) = δ ij = 0, se i n + 1 e j n, ou seja, f i (v) = 0, para todo v W. Os funcionais {f n+1,..., f m } são L.I., então resta mostrar que geram W 0. Seja f V. Daí, pelo Teorema 1, f = m f(v i )f i. Então, se f W 0 temos que f(v i ) = 0 para todo i n, e f = m f(v i )f i. Assim, mostramos que se dimw = n e dimv = m, então dimw 0 = m n. n+1 Observe que, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dimn f = dimv 1, onde N f é o núcleo de um funcional linear f em V. Assim, se dimv = n, então dimn f = n 1. Definição 3: Em um espaço de dimensão finita, um subespaço de dimensão n 1 é chamado de hiperespaço, hiperplano ou subespaço de co-dimensão 1, deste espaço. Corolário 1: Se W é um subespaço de dimensão n de um espaço vetorial V, de dimensão m, então W é a intersecção dos (m n) hiperespaços em V. Demonstração: A demonstração deste corolário segue do Teorema 2. Pela demonstração acima, note que W é o conjunto de vetores v V, tais que f i (v) = 0, i = n+1,..., m, m ou seja, W = N fi. Como cada núcleo é um hiperespaço, segue o corolário. i=n+1 Vejamos, agora, um exemplo de aplicação da noção de anuladores na resolução de sistemas lineares homogêneos. Exemplo: Considere o seguinte sistema linear: x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 2x 2 + x 4 = 0 2x 1 4x 3 + 3x 4 = 0 Definindo os seguintes funcionais lineares em R 4 : f 1 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 f 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 2x 2 + x 4 f 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = 2x 1 4x 3 + 3x 4 temos que o espaço solução do sistema dado acima é o subespaço anulado por este espaço de funcionais lineares. Podemos encontrá-lo, explicitamente, escalonando a seguinte matriz:

5 donde, temos Portanto, os funcionais lineares , g 1 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 + 2x 3 g 2 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 g 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 4 geram o mesmo subespaço em (R 4 ) e anulam o mesmo subespaço de R 4 que f 1, f 2, f 3. O subespaço anulado por g 1, g 2, g 3 consiste dos vetores v, onde Logo, v = ( 2x 3, 0, x 3, 0). x 1 + 2x 3 = 0 x 2 = 0 x 4 = 0 { x1 = 2x 3 x 2 = x 4 = 0 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao término deste trabalho, foi possível constatar a relevância dos resultados apresentados. Por exemplo, as discussões a cerca de espaços vetoriais de dimensão finita tornam-se mais claras utilizando a noção de espaço dual. Além disso, no que diz respeito a solução de sistemas lineares homogêneos é interessante estuda-los sob o ponto de vista dos anuladores. ANEXOS Teorema I: Sejam V um F -espaço vetorial de dimensão finita e {v 1,..., v n } uma base ordenada de V. Sejam W um F -espaço vetorial e u 1,..., u n vetores em W. Então, existe exatamente uma transformação linear T de V em W tal que T (v j ) = u j, para todo j = 1, 2,...n. Teorema II: Sejam V um F -espaço vetorial de dimensão n e W um F -espaço vetorial de dimensão m. Então, o espaço L(V, W ) tem dimensão finita e sua dimensão é igual a dimv dimw = n m. Teorema III: Seja V um F -espaço vetorial de dimensão n. Então, qualquer conjunto com n vetores linearmente independentes gera V. REFERENCIAS HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. New Jersey: Prentice-Hall Inc., ULHOA,F.; LOURENÇO, M. L.Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2013.