Aplicações: Funções marginais

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1 Eercícios propostos ) Calcular dy da função y= f ( ) = e no ponto = para =,. ) Obtenha a diferencial de y= f ( ) = no ponto = para =,. 3) Seja a função y= f ( ) = 5. Calcular y e dy para = e =,. Aplicações: Funções marginais Em Administração e Economia, dada uma função f ( ), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f ( ) por uma pequena variação de. Chama-se função marginal de f ( ) à função derivada de f ( ). Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção veremos algumas funções marginais. Função custo marginal Suponha que C( ) seja o custo total de produção de unidades de certo produto, com e C( ). A função C é chamada de função custo total e temos a seguinte definição. Definição. Se C( ) é o custo total de produção de unidades de um produto, então o custo marginal quando =, é dado por C '( ), caso eista. A função C '( ) é chamada função custo marginal. Assim, pela seção anterior, C '( ) C= C( + ) C( ). Portanto, o custo marginal é aproimadamente igual à variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de unidades. Na definição acima, C '( ) pode ser interpretada como a taa de variação do custo total quando = unidades são produzidas. Eemplo 5.9. Suponhamos que C( ) seja o custo total de fabricação de pares de calçados da marca WW dado pela equação custo marginal quando = 5. C( ) 4, = + +. Determinar o

2 Resolução: Vamos calcular a derivada da função C( ) = + 4+,, ou seja, C '( ) = 4+,4 e C '(5) = 4+, 4 5= 6. Assim sendo, a taa de variação do custo total, quando 5 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$6, por par fabricado. O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é e C '(5) C= C(5) C(5) ( ) ( ) C(5) C(5) = , , (5) = 366, 36= 6, Assim, C '(5) C= C(5) C(5) = 6,. Logo, C '(5) é o custo aproimado da produção do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW. Portanto, o custo marginal quando 5 C ' 5 = 6. = é ( ) Eemplo 5.. Consideremos a função custo determinar o custo marginal para =. 3 C( ) =,, , Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função e 3 C( ) =,, , C '( ) =,6,8 + 4 C '() =, 6 (),8 + 4= 48. Como C '() C= C() C(), vem Logo, 3 ( ) 3 (, (), 4 () 4 ) C '(), (), 4 () ,8 8.= 48,8. C '() é o custo aproimado da produção do vigésimo primeiro item. Portanto, o custo marginal quando = é C '() = 48.

3 Função receita marginal Suponha que R( ) seja a receita total obtida pela venda de unidades de um produto e temos a seguinte definição. Definição. Se R( ) é a receita obtida quando unidades de um produto são demandadas, então a receita marginal, quando =, é dado por R '( ), caso eista. A função R '( ) é chamada função receita marginal. R '( ) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taa de variação da receita total quanto = unidades são demandadas. Assim, pela seção anterior, R '( ) R= R( + ) R( ). Portanto, a receita marginal é aproimadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de unidades. Eemplo 5.. Suponha de R( ) seja a receita total recebida na venda de cadeiras da loja BBC, e R ( ) = 4 +. Calcular a receita marginal para = 4. Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função R ( ) = 4 +, R '( ) = 8+ e R '(4) = 8 4+ =.68. Como, R '(4) R(4) R(4) Logo, ( ) ( ) (4) =.676. R '(4) é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira. Portanto, a receita marginal quando = 4 é R '(4) =.68. Eemplo 5.. Consideremos a função receita total da venda de estantes dada por R( ) = 5. Calcular a receita marginal para = 5. Resolução: Calculando a derivada da função R( ) = 5, temos R '( ) = 5 e R '(5) = 5 5= 45. Como ( ) 5 (5) R '(5) R(5) R(5) = ,5 3.75= 449,5. 3

4 Logo, R '(5) é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante. Portanto, a receita marginal quando = 5 é R '(5) = 45. Função produtividade marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade de um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal do fator à derivada da função P em relação a. Eemplo 5.3. A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P( ) = 6. Determinar a produtividade marginal quando = 64. Resolução: Vamos calcular a derivada da função P( ) = 6 em relação a que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo P( ) = 6 = 6 58 P '( ) = 6 = 58 = 58 =, 58 P '( ) =. Calculando a produtividade marginal quando = 64, temos P '(64) = 63,5 64 = 8 =. Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será, aproimadamente, 63,5 toneladas. Portanto, a produtividade marginal da função produção P( ) =.6 quando = 64 é 63,5 toneladas. Eemplo 5.4. Considere a função produção P( ) = 5 6, onde P é a produção mensal (em toneladas), e, o número de homens-hora empregados. Calcular: a) função produtividade marginal, P '( ) ; b) P '(). Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a, logo P( ) = 5 6 = 5 6 P '( ) = 5 6= 5 6 4

5 5 = 5 6= 6, 5 P '( ) = 6. Portanto, a função produtividade marginal é 5 P '( ) = 6. b) Agora, vamos calcular P '(), isto é, P 5 5 '() = = = =. Portanto, P '() = 9. Eercícios Propostos 4) O custo total da produção de unidades de certo produto é dado por C( ) = 8. Calcular: 4 a) a função custo marginal; b) o custo marginal para =. ; c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ ) Dada a função custo C( ) =, 3, 5 + +, obtenha o custo marginal para = 5 e =. 3 6) Dada a função custo C( ) =, 3, 5 + +, obtenha o custo médio para =. C( ) Sugestão. O custo médio, CM, é dado por CM =. 7) Dada a função receita R( ) = obtenha a receita marginal quando = 5. 8) A receita total recebida da venda de televisores em cores é dada por 3 R( ) = 7. Determinar: 4 a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando =. 9) Dada da função receita total média para =. R( ) 5 = +, determinar a receita 5