Matemática Aplicada à Administração LISTA Calcule a derivada das funções abaixo:

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1 Matemática Aplicada à Administração LISTA 05. Calcule a derivada das funções abaio:

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4 7) ( ) + f ( ) ( ) 5 ' + f 8) ( ) f ( ) ( )( ) ( ) ' f + 9) ( ) + e f ( ) ( ) ' + e f

5 f( ) ln( ) 0) ) f' ( ) f ( ) f' ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ) f ( ) + + f' ( ) + + f 5 e ( ) + + ( ) + 5+ ) f( ) 4) 5) ( ) e e f ( ) + f ( 4 e ( e + ) f 5 f ( ) 5 ln5 y ln(a+ b) 6) + 5)e y, a, b constantes ln(a+ b) a

6 7) y + ln y 4 y ln 8) y ln+ 4 9) f e ( ) ln + e f + e 40) ( ) ( ) f ln+ + f ( ) + ( ) ( ) f cos+ + 4) ( ) ln(cos) 4) f f ( ) tg f ( ) ( ) + sen+ +. A arrecadação mundial total pela eibição de um filme de grande sucesso é aproimada pela função y 0 /( +4), onde y é medido em milhões de dólares e é o número de meses do filme em cartaz. (a) Qual a arrecadação de bilheteria +

7 a pós o primeiro mês de lançamento? E após o segundo mês? E após o terceiro mês? (b) Qual a arrecadação do filme à longo prazo? R: (a) 4 (b) 60 (c) 8,0769 (d) 0. Determine o valor de a que torna contínua as funções abaio em 0. (a) (b) R: (a) (b) ½

8 4. Seja y +4- e y -5+. (a) Calcule o valor de em que a inclinação da reta tangente é a mesma nas duas funções. (b) Calcule o valor das funções neste ponto. R: (a) -9/ (b) 45/4, 49/ 5. Determine a derivada das funções: (a) y (+ ).(+ ) (b) y (+ )/(+ ) R: (a) (b) 6. Um foco de incêndio foi comunicado por um guarda florestal em uma reserva de mata nativa. Esse guarda estimou que o incêndio ocupa nesse momento uma área circular de 00 m de diâmetro e epande-se em todas as direções a uma taa de 50 m por hora, ou seja, o raio do círculo aumenta 50 m por hora.

9 (a) Eprimir a área ocupada pelo incêndio em função do tempo decorrido a partir do momento da descoberta do incêndio pelo guarda. (b) Determine a velocidade (taa de variação da área em relação ao tempo) com que a área é ocupada pelo incêndio. R: (a) A(t) p(00+50t) (b) A (t) 00p(00+50t) 7. Epressar a área de um círculo em função de seu raio r. Determine a taa de variação da área com relação ao raio. 8. Uma caia de formato cúbico de lado deve ser totalmente coberta por um papel. Calcule a taa de variação da área do papel em relação ao comprimento do lado da caia. R: 8

10 9. A velocidade V de um corpo é a derivada da posição do corpo em relação ao tempo. A posição, em metros, de um carro t segundos após sua partida é dada por S -t +8t +0, 0 t 6s. (a) Determine a velocidade do carro em função do tempo. (b) Determine a velocidade nos instantes ts e t5s. R: (a) v -t +6t (b) m/s, 5m/s 0. O número de telespectadores de um seriado de tv lançados há alguns anos é dado aproimadamente pela função N()(60+) /, 6, com N em milhões denotando o número de espectadores do seriado na -ésima semana. (a) Quantos espectadores assistiram ao seriado na segunda semana? () Determine a taa de crescimento da audiência semanal na segunda semana. R: (a) 6 (b) /

11 . Um supermercado determina que seu volume diário de negócios V (em milhares de dólares) e o número de horas t que a loja permanece aberta em cada dia estão, de forma aproimada, relacionados pela fórmula (a) Qual o volume as 0:00 h? (b) qual a taa de variação do volume? (c) qual a taa de variação do volume diário as 0:00 h? R: (a) 0 (b) (c) Em Economia o adjetivo marginal é sinônimo de derivada de.... Por eemplo, se temos uma função custo C(), onde é o número de unidades produzidas, o custo marginal é a taa de variação do custo por unidade produzida, ou seja, o custo marginal é a derivada de C() em relação a. Assim, C () é o custo marginal. O custo médio C () é o custo dividido pelo número de unidades, ou seja,

12 C ( ) C( ) /. E podemos definir o custo médio marginal como '( ) C, que mede a taa de variação da função custo médio. A função receita R() p., onde p é o preço unitário de certo bem e é o número de unidades vendidas. Geralmente o preço p é relacionado à quantidade vendida, isto é, o preço é uma função da quantidade vendida, ou seja, pf() (equação de demanda). A taa de variação da receita, R, é chamada função receita marginal. A função lucro L() R() C(). A taa de variação do lucro L () é chamada de função lucro marginal.

13 . A companhia Custom Office fabrica uma linha de mesas eecutivas. Estima-se que o custo total para fabricar unidades é dado por C() dólares por ano. (a) determine a função custo médio. (b) Determine a função custo médio marginal. (c) O que acontece com o custo médio quando cresce muito? (d) determine a função custo marginal. R: (a) (b) (c) lim C HL 00 (d) C () 00. A quantidade demandada mensal de relógios de pulso pontual está relacionada com o preço unitário pela equação p5000/( +00), 0 0. (a) Determine a função receita marginal. (b) Calcule R ().

14 (a) R () ( -00) /( +00) (b) 44,787