MATEMÁTICA ENEM 2010

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1 MATEMÁTICA ENEM 10 2 de Outubro FUNÇÕES: Para que servem mesmo? PROF. MARCELO CÓSER Essa apresentação pode ser baiada em

2 Funções Lineares: problemas com variação constante. f() a + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y

3 01) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fio mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar bolsas. O valor de é: a) 300 b) 350 c) 400 d) X 450 e) 500 C() e R() 45. Um lucro de R$ implica R() - C() ( ) Lucro desejado + Custo fio Lucro por bolsa CUIDADO! Raciocínios que envolvam Regra de 3 só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

4 02) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fio de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deia de ser mais vantajoso do que o plano A. A() 0, B() 40 para 50. E para > 50? (50; 40) Para > 50, a função B() tem sua lei na forma B() a + b. Do enunciado, a B 1,5. Assim, B() 1,5 + b. (50, 40) B(). Logo, 40 1,5 50 +b. Assim, b ,5-35 0, , minutos. Outra abordagem: B() ,5( 50), se > 50

5 Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área. f() a² + b + c a > 0 a < 0 V b ou 2a y V f V ( ) v R 1 + R 2 2

6 Toda parábola possui um foco e uma diretriz: Uma propriedade particular das párabolas diz que raios perpendiculares à diretriz são refletidos e sempre passam pelo foco.

7 03) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um etenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de e y são, em metros, respectivamente: a) 45 e 45 Xb) 30 e 90 c) 36 e 72 d) 40 e 60 e) e 1 A(, y) y 3 + y 180 y A() (180-3) A V MÁX A 30 ou V 2. ( 3) ( 30) 30. ( ) m 1ª) A() 180-3² a < 0: voltada para baio Raízes: 180-3² 0 0 e 60 são as raízes. 2ª) A() (180-3) a < 0: voltada para baio Raízes: 0 ou e 60 são as raízes

8 04) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$ 9 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$ 1 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máima? RECEITA Número de Espectadores Preço do Ingresso Cada variação unitária no preço do ingresso implica uma variação de 100 no número de espectadores. Por eemplo, se reduzir o preço em R$ 5, o número de espectadores aumentará em De modo geral, uma variação de no preço do ingresso implica uma variação de 100 na platéia. Como um preço de R$ 9 traz 300 espectadores, um preço de 9 - trará espectadores. Desse modo, R() (9 - ) ( ) 3600 O gráfico de R() é uma parábola voltada para baio com raízes e V Logo, o preço que maimiza a receita é 9-3 R$

9 Funções Eponenciais & Logarítmicas: problemas com taa de variação constante. ( ) b f f ( ) log b

10 05) A água de uma piscina cheia, com capacidade para litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o ecesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação? Água pura Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, é incorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional à quantidade de cloro eistente. Ou seja, a perda de cloro será menor durante a segunda hora; no entanto, seguirá a mesma proporção anterior. Água com cloro Uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro eistente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais. 10 reduções de 10% Q ,9 0,9 0,9 0, , ,68 g. Q() ,9

11 06) A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo é colocado em um ambiente mantido à temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambiente, a uma taa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. Desse modo, T() T AMBIENTE + a b. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. O médico da polícia chegou às 23h30 e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8º C. Uma hora mais tarde, ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1º C. A temperatura do quarto era mantida constante a ºC. Se a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36,5º C, estime a hora que se deu a morte. Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos (0; 34,8), (1; 34,1) pertencem à função. Desse modo, ( 0; 34,8 ) T ( ) 34,8 + a. b 0 a 34,8 14,8 14,1 14,8 1 ( 1; 34,1 ) T ( ) 34,1 + 14,8. b 14,8b 34,1 14,1 b 0, 9527 T ( ) 36,5 16,5 0, ,8.0, ,8.0, ,8.0,9527 1, logba c c b a log1, log 0, , ,25 h 2h15min log0,9527 A morte ocorreu às 23h30-2h15 21h15min.

12 07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por eemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da eistência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproimadamente N 0,5t De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: F ( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a eistência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da eistência da gripe. ( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas. ( ) o número de pessoas infectadas atingirá mil. V F N t N 19.1 N 1 0,5.0 N N N t ,5.2 1 N N 6,89 N 1,9 2,9 t 4 N 0, ,5t ,5 t + 0,5 t 16, ,19 1,19 0,5 t ,5t 10 0 Um número positivo elevado a qualquer epoente real é sempre positivo.

13 N ,5t

14 Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes log Escala em PG Escala em PA

15 08) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? a) 3 vezes b) 10 vezes c) 30 vezes Xd) vezes e) mais de vezes A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a vezes a intensidade do som da conversação. Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

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18 09) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log E 1,44 + 1,5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproimadamente vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. a) 10 b) 15 c) 21 Xd) 31 loge loge Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos: 1,44 + 1,5.9,5 1, ,25 15,69 1,44 + 1,5.7,8 1, ,7 13,14 E E SF CHILE ,14 15,69 E E CHILE CHILE ,69 E SF 10 13,14 + 0, ,

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