Fundamentos de matemática

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1 Fundamentos de matemática para engenharias e tecnologias Eercícios complementares

2 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS Eercícios complementares para o Capítulo. Sendo A = { a,b,c,d,e,f }, B = { d,f, g} e C = { a,h,i}, determine os seguintes conjuntos: a) A B b) A B c) A C d) A C e) B C f) B C g) A B h) B A i) A C j) C A k) (A B) C l) (A B) C m) A (B C ) n) (A B) C o) (A B) (A C ) p) (A B) (A C ). Dois clubes A e B têm juntos 50 sócios, sendo que o clube B tem 79 sócios. Sabe-se que 39 sócios pertencem aos dois clubes simultaneamente. Determine o número de sócios do clube A. 3. Em uma pesquisa entre os alunos do o ano de engenharia, os entrevistados responderam a um questionário sobre as disciplinas nas quais sentiam necessidade de aulas etras para reforço. Os dados obtidos foram: Disciplina Estudantes Cálculo I 30 Física I 00 Ambas 50 Nenhuma 40 De acordo com os dados da tabela, qual o número de estudantes entrevistados? 4. Dados os conjuntos A = {,, 3, 4, 5}, B = {, } e C = {, 6}, obtenha: a) O conjunto complementar de B com relação a A. b) O conjunto complementar de C com relação a A. c) O conjunto complementar de A com relação a A. 5. Dê alguns eemplos de números racionais compreendidos entre e + 0, Escreva na forma de uma potência mais simples e em seguida calcule: a) b) ( ) 3 d) 0 3 c) 0 e) g) 5 3 f) Calcule o valor de que torna verdadeira cada igualdade: a) 0 3 = 0 b) 0 = c) 4 = 4 6 d) 5 + = 5 e) + = 3 6 f) 4 = 8. Calcule, se possível: a) 8 8 b) 4 c) 3 6 d) ( ) 3 e) 00 f) 9 g) ( 5) h) 5 9. Fatore colocando em evidência o fator comum: a) a+ a b) a+ ab c) d) ( +)+ 3( +) e) (a+ b) (a+ b) a b f) (m+) ( )+(m ) ( ) 0. Fatore por agrupamento: a) a+ a b b b) m p + 5m + 6p + 30 c) + d)

3 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 5 7. Em um teste de qualidade, um técnico eaminou 75 ml de um combustível e constatou que 5% da mistura eaminada era água, 35% era etanol e o restante era gasolina. Calcule a quantidade de gasolina da mistura. 8. Uma empresa está estudando o processo produtivo de três máquinas, A, B e C, quanto à sua produção diária e porcentagem de vendas dessa produção. A máquina A tem uma produção diária de peças com epectativa de vendas de 60% dessa produção; a máquina B produz diariamente peças com epectativa de vendas de 70% da produção. A máquina C tem epectativa de vendas de 80% de sua produção diária. Se confirmadas as epectativas e as vendas totais chegarem a unidades, quantas peças serão produzidas pela máquina C? 9. Uma mercadoria custava $,50 e seu preço foi reajustado para $ 4,00. Qual foi o aumento percentual? 30. Uma pessoa tem uma prestação em atraso, cujo valor nominal é de $ 950,00. Para o pagamento, o valor foi corrigido e atualizado para $.0,00. Qual a taa percentual de acréscimo dessa prestação? 3. Uma maratona tem homens e mulheres inscritos. Sabe-se que o total de homens é de.00 e que as mulheres perfazem 40% dos inscritos. Qual o total de inscritos na maratona? 3. Uma loja de departamentos está realinhando seus preços de tal forma que determinado produto da linha branca teve seu preço original aumentado 30%. Entretanto, após esse aumento as vendas do produto decaíram. Para aumentar novamente as vendas do produto, foi anunciado um desconto de 5% diretamente sobre o novo preço. Após essas alterações, qual foi o aumento percentual sobre o preço inicial do produto? Eercícios complementares para o Capítulo. A tabela a seguir relaciona a variável tempo t, em segundos, e a posição S, em metros, de um móvel: t (segundos ) S (metros ) a) Eplique por que a tabela define que as posições S estão em função de t, ou seja, S = f (t ). b) Se a função que relaciona as posições em função do tempo é epressa por S = 4t, obtenha S(0), S(), S(,5) e S(0). c) Qual é a variável dependente e qual é a variável independente da função? d) Determine o domínio e a imagem da função.

4 6 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS. A tabela a seguir relaciona o tempo t (em minutos) e a variação de temperatura (em ºC) no intervalo de tempo em que um corpo de massa 00 g é aquecido por uma fonte de calor constante. t (minutos) ( o C ) a) Podemos afirmar que a variação de temperatura do corpo é em função do tempo? b) Sendo a variação de temperatura em relação ao tempo epressa por = 0+t, qual é a variável dependente e qual é a variá vel independente da função? c) Calcule a variação de temperatura sofri da pelo corpo de t = 0 a t = 50 minutos. d) Se o corpo foi aquecido durante uma hora, qual é o domínio e qual é a imagem da função? 3. Considerando valores reais para e tais que =0 3, podemos afirmar que é uma função de? 4. Considerando valores reais para e tais que = +, podemos afirmar que é uma função de? 5. Obtenha o domínio e a imagem para cada uma das funções: a) =0 +0 b) = 5 c) = 40 d) = 6. Os gráficos a seguir representam funções? a) b) Considere um móvel, com posição S = 0+t (em metros), no decorrer de um intervalo de tempo (em segundos) tal que 0 t 5: a) Qual a posição do móvel no instante 4 segundos? b) Qual o conjunto imagem da função? c) A função é crescente ou decrescente? 8. Considere um ponto material movimentando-se ao longo de uma trajetória retilínea segundo uma função S =0 t (t em segundos e S em metros) e limitado pelo domínio D = { t R /0 t 0}. a) Qual é o valor de S(0)? b) Qual é o instante em que a posição é de 6 metros? c) Qual é a raiz da função? d) Qual é a imagem da função? e) A função é crescente ou decrescente? 9. Dois automóveis A e B estão se movimentando ao longo de uma estrada, com funções que descrevem suas posições no decorrer do tempo dadas por S = 00t e A S B = t (S em km e t em horas): a) Qual é o instante em que os carros se encontram? b) Qual é a posição de encontro dos automóveis? c) Para que instantes temos S A > S B?

5 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 9 b) Encontre a função de depreciação anual do imóvel, ou seja, = f ( ). c) Qual o significado do coeficiente angular para essa função? d) Qual é o valor do imóvel após seis anos? e) Em que momento o imóvel tem valor estimado de $ ,00? 8. Um vendedor à procura de emprego recebe propostas de duas empresas: A e B. Cada empresa propõe salários que serão compostos por uma remuneração mínima e fia mensal mais uma parte variável que dependerá do valor das vendas realizadas pelo vendedor no mês. A empresa A pagará mensalmente remuneração fia de $.000,00 mais % do valor das vendas do mês. A empresa B pagará mensalmente remuneração fia de $.000,00 mais 3% do valor das vendas do mês. a) Escreva, para cada uma das empresas, o salário S em função do valor v das vendas em um mês. b) Esboce, em um mesmo sistema de eios, os gráficos das funções obtidas no item anterior para vendas de até $ ,00. c) Qual das empresas paga o melhor salário? 9. Para uma pilha comum de lanterna, a equação característica é dada por U = ε ri, em que U é a tensão, ε é a força eletromotriz, r é a resistência interna da pilha e i é a intensidade da corrente que atravessa a pilha. U e ε são medidas em volt (V ), r é medida em ohm ( ) e i é medida em ampère ( A). Sabe-se que correntes de intensidade A e A resultam para pilha, respectivamente, em tensões de V e 0,5 V. a) Obtenha os valores de ε e r. b) Escreva U = f (i ). c) Esboce o gráfico de U = f (i ). 0. O lucro, L, na comercialização de quantidades, q, de um produto é dado por uma função linear. Quando são comercializadas as quantidades 50 kg e 00 kg, obtêm- -se, respectivamente, os lucros $ 500,00 e $ 3.000,00. Quando o lucro é negativo, diz-se que há prejuízo. a) Dê a relação algébrica que epressa L = f (q ). b) Qual o lucro quando são comercializados 75 kg do produto? c) Qual é o valor da taa de variação dessa função? Qual é o significado prático dessa taa de variação? d) Determine o ponto em que o gráfico da função cruza o eio L. Qual é o significado prático desse ponto? e) Esboce o gráfico dessa função. f) Para quais quantidades ocorre prejuízo? g) Para quais quantidades o lucro é positivo?

6 0 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS Eercícios complementares para o Capítulo 4. Dada a função quadrática f ( )=, determine: a) f () b) f ( ) c) f (0) d) f e) As raízes da função. f), de modo que f ( )= 4. g), de modo que f ( )=.. Escreva a epressão f ( )= 4[( ) 0] na forma f ( )= a +b +c, com a, b e c constantes. Após a obtenção da função, represente-a graficamente, salientando os principais pontos. 3. Para que valores de p a função quadrática f ( )= + +p é positiva? 4. Dada a função = 7 +, determine: a) O ponto em que a curva corta o eio vertical. b) Os pontos nos quais a função corta o eio horizontal. c) O vértice da parábola. d) O conjunto imagem da função. e) Para que valores de a função é crescente. f) Para que valores de a função é decrescente. 5. Qual o valor de m para que a função de segundo grau = +m tenha um valor mínimo igual a? 6. Em cada item a seguir, obtenha a função correspondente à parábola dada: a) 0 0 b) Obtenha a função correspondente à parábola a seguir. 7 C 5 A 8. Sejam as curvas f ( )= + e g ( )= a) Faça um esboço gráfico das duas curvas em um mesmo sistema de eios. b) Encontre os pontos de intersecção das curvas, caso eistam. c) Encontre o vértice, domínio e imagem de f ( ). d) Encontre o vértice, domínio e imagem de g ( ). e) Para quais valores de temos g ( )> f ( )? 9. A função demanda q de um produto é dada por q = 30 60p, sendo p o preço de venda em unidades monetárias. Sabe-se que a receita é dada por R = p q. Calcule o preço para que a receita seja máima. B

7 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 3 9. A empresa FKS produz rolamentos automotivos e espera que, após o término de certo treinamento, um funcionário, sem eperiência anterior, seja capaz de montar Q(t )=00 50e 0,4t rolamentos por dia em t meses, logo que começar a trabalhar em sua linha de produção. a) Quantos rolamentos o funcionário po de produzir por dia, totalizando, 3 e 6 meses de eperiência em sua linha de montagem? b) Imediatamente, realizado o treinamento pelo novo funcionário, qual o número de rolamentos por dia que poderão ser montados? c) Qual o número de rolamentos que um funcionário pode montar, em média, por dia, quando adquirir total eperiência? d) Construa o gráfico da curva de aprendizagem para o novo funcionário. 0. Suponha que um corpo, apresentando temperatura positiva, seja inserido em um meio cuja temperatura seja menor que a temperatura apresentada pelo corpo. Segundo a lei de Newton, a temperatura T de um corpo decresce à medida que o tempo passa. Supondo a equação T = 5+65e 0,075t, que dá a temperatura T em C no decorrer do tempo t em minutos: a) Qual é a temperatura inicial do corpo? b) Qual é a temperatura ambiente? c) Qual é a temperatura após 0 minutos do início do fenômeno? d) Qual é a temperatura após 0 minutos do início do fenômeno? e) Estime, por tentativa e erro, o tempo decorrido do início do fenômeno quando a temperatura é de 9,5 C. f) Esboce o gráfico desse fenômeno.. Pensando na produtividade, uma metalúrgica utiliza uma relação que medirá a eficiência com que esse funcionário realizará tal tarefa e seu tempo de treinamento ou eperiência por meio de uma curva de aprendizagem, cuja epressão é representada por Q(t)= e 0,5t, em que t representa o intervalo de tempo em meses de treinamento ou eperiência da tarefa eigida para a produção de Q peças por hora. De acordo com dados levantados pela engenharia, um funcionário em questão não apresenta nenhuma epe riência inicial, mas espera-se que sua produtividade chegue a alcançar o limite máimo de 700 peças por hora. Considerando o modelo que relaciona a eficiência do funcionário e seu tempo de treinamento na produção de novos componentes, pede-se: a) Quantas peças por hora o funcionário conseguirá montar se não tiver treinamento? b) Quantas peças por hora o funcionário conseguirá produzir em 3, em 6 e em meses de treinamento ou eperiência? c) Esboce o gráfico de Q(t) e diga o que ocorre com Q(t), quando t cresce ilimitadamente e quando t se aproima muito de zero. d) Caso apenas a constante k na função Q(t) se altere de k = 0,5 para k = 0,3, qual a sua interpretação para esse fato?. A confiabilidade R de um componente pode ser escrita como uma função do tempo t, de acordo com a função eponencial dada pelo modelo teórico R =e Ft, sendo F a taa de falhas de um componente e t a variável tempo. Considere o modelo que retrata a confiabilidade de

8 4 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS um componente por meio da equação R =e 0,008t, sendo a variável t medida em horas. a) Qual é a taa de falhas por hora, ou seja, qual é o valor de F? b) Sabendo-se que a vida média de um componente pode ser calculada pela epressão V =, calcule sua vida média F em horas por falha. c) Calcule a confiabilidade para o componente para um tempo de 00 horas, 00 horas e.000 horas de uso. d) A relação entre as variáveis confiabilidade e tempo é uma função crescente ou decrescente? Qual o significado dessa classificação na prática? Justifique sua resposta. e) Esboce o gráfico da função R =e 0,008t. 3. Um aparelho eletrônico possui a curva de confiabilidade dada por R =e 0,4t, com t medido em anos. a) Qual é a taa de falhas por ano? b) Qual é a vida média em anos por falha? c) Calcule a confiabilidade do aparelho para, e 5 anos. d) Esboce o gráfico da curva de confiabilidade. Eercícios complementares para o Capítulo 6. Considere a função = e seu gráfico dado a seguir, em que foram ressaltados os pontos A, B e C. A B C 0 4 Por meio de transformações gráficas, esboce o gráfico das funções em cada item, indicando o novo posicionamento dos pontos A, B e C. a) = 5 b) = +5 c) = d) = e) = 5 f) = 5. Considere a função = 3 e seu gráfico dado a seguir, em que foram ressaltados os pontos A, B e C. A B 0 C 3 Por meio de transformações gráficas, esboce o gráfico das funções em cada item, indicando o novo posicionamento dos pontos A, B e C. a) = 3 + b) = 3 c) = 3 d) =0 3 e) = ( ) 3 f) = 5 ( +) 3 3. Esboce o gráfico da função = e atribuindo a os valores, 0 e e, a partir desse gráfico, por meio de transformações gráficas, esboce o gráfico de cada função a seguir: a) = e b) = e

9 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 7. Na escala Richter, a magnitude M = 3 log E E 0 de um terremoto é obtida a partir da energia liberada E (em joules) pelo terremoto, e E 0 =0 4,4 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto de referência (medida padrão). a) Calcule a magnitude de um terremoto de E = 7, joules. b) Calcule a energia liberada pelo maior terremoto já registrado, o terremoto de Valdívia no Chile em 960, cuja magnitude foi de 9,5 graus na escala Richter.. Sabendo-se que o nível de intensidade, D, de som (em decibel, db) detectado pelo ouvido humano está relacionado com sua intensidade I (em watts/metro quadrado), dada pela equação D =0log I, I 0 sendo I 0 o limiar da audição humana, em média dado por I 0 =0 W/m, pede-se: a) Calcule o nível de intensidade para I igual a vezes o limiar da audição humana. b) Convenciona-se que sons com nível de intensidade acima de 65 db apresentam riscos de danos à saúde. Um aparelho de som tocando uma música com intensidade I =,0 W/m, neste caso, poderia ocasionar danos ao ouvido humano? Justifique sua resposta. c) Se a intensidade do aparelho de som atingir 0 5 W/m, qual o nível de intensidade do som? 3. A partir do potencial hidrogeniônico (ph), podemos classificar uma solução aquosa em ácida ( 0 ph < 7 ) ou básica (7 <ph 4 ). Sabendo que ph = log[h + ], em que [H + ] é a concentração de íons de hidrogênio em moles por litro à temperatura de 5 o C, calcule o ph aproimado das substâncias e classifique-as em ácida ou básica em cada item: a) Água do mar: [H + ]=,0 0 8 b) Vinagre: [H + ]= 6,3 0 3 c) Café: [H + ]= 0,00000 d) Tomate: [H + ]= 0, Utilizando a relação ph = log[h + ], encontre [H + ], ou seja, a concentração de íons de hidrogênio em moles por litro, quando: a) ph = 3,55 b) ph = 7,5 5. Os estoques de uma empresa estão em queda, regidos pela equação V = (,5) 0,5, em que é o número de dias e V o volume aproimado do estoque no período, em unidades. Supondo = 0 o início da contagem dos dias, pede-se: a) Qual o volume aproimado do estoque após 0 dias a partir do início da contagem dos dias? b) Em qual momento os estoques alcançarão volume de.000 unidades? 6. A magnitude de uma estrela está intimamente ligada ao seu brilho, pelo qual é visualizada na Terra, e descrita pela relação MAG =,5log ( B /B 0 ), em que B é o brilho da estrela vista na Terra e B 0 é o brilho padrão (brilho da estrela Vega). a) Encontre a magnitude de uma estrela considerando seu brilho 4,5 vezes o brilho da estrela Vega. b) Se uma estrela tem magnitude 5, encontre seu brilho B em função de B 0.

10 8 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS 7. A pressão atmosférica, em atmosferas, varia aproimadamente segundo o modelo matemático P =e 0,0005h, sendo h a altura em metros acima do nível do mar. Se a pressão atmosférica equivale a 0,30 atmosferas, calcule a altura h. 8. Dois isótopos do elemento químico Plutônio apresentam equações de decaimento eponencial de acordo com o isótopo A igual a Q =Qoe 0,000 e o isótopo B, Q =Qoe a) Calcule a meia-vida dos isótopos. b) Esboce os gráficos dos isótopos e compare seus decaimentos eponenciais. Eercícios complementares para o Capítulo 8. Para cada item, determine os valores de e, assinalados nos triângulos. a) b) 35º 0m 55º A B α β D C 3. Conforme a figura, calcule a medida do lado DC, sabendo que para os triângulos a seguir temos AB=0cm, sen cos = 4 5 e tg = 3 4. = 3 5, c) 60m D α A d) 8m 6m 00m 65º 40º. Conforme a figura, calcule a medida do lado CD, sabendo que para os triângulos a seguir temos AB=6cm, sen = 5 3, cos = tg 3 = 5, sen = 3, cos 5 = 4 5 e tg = º C B 4. Uma circunferência de raio 8cm tem um arco de medida cm. Determine a medida, em radianos e em graus, do ângulo central correspondente. 5. Uma circunferência tem raio 0cm. Qual a medida de um arco correspondente a um ângulo central de: a) 4 3 rad? b) 5o? 6. Na circunferência trigonométrica a seguir, os pontos A, B, C e D são vértices de um retângulo. Se o ponto A representa o