Lista Sabe-se que o gráfico abaixo representa uma função quadrática. Encontre a expressão que define esta função.

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1 8 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R: (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = (g) = (h) = +4 (i) = (j) = (k) = + + (l) = +6 (m) = (n) = + (o) = + (p) =. Em que condições a função quadrática = (m ) (m+) está definida?. Determine uma função quadrática tal que f( ) =, f() = e f() =. 4. Sabe-se que o gráfico abaio representa uma função quadrática. Encontre a epressão que define esta função Seja f() = a + b + c. Sabendo que f() = 4, f() = 0 e f() =, determine o produto abc. 6. Determine os zeros reais das funções: (a) f() = + (b) f() = +7 (c) f() = 7+ (d) f() = + (e) f() = +4+4 (f) f() = + + (g) f() = (h) f() = + (i) f() = + (j) f() = +( ) (k) f() = (l) f() = +6 (m) f() = 4 + (n) f() = 5

2 7. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço ela consegue vender unidades do produto, de acordo com a equação = 50. Sabendo que a receita ( quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$.50,00, qual foi a quantidade vendida? 8. Resolva o sistema + = 7 =. 9. (a) Resolva a equação = 0. + = 4 (b) Resolva o sistema + = Determine os zeros reais da função f() = 4 4. (Dica: Use uma substituição z = e terá z z = 0.. Determine os zeros reais das funções: (a) f() = (b) f() = (c) f() = 4 6 (d) f() = 4 +4 (e) f() = (f) f() = 4 + (g) f() = 4 (h) f() = Calcule os valores de p para os quais a equação +p+p = 0 possua raiz dupla positiva ( = 0).. Determine os vértices das parábolas: (a) = (b) = + (c) = 5+ (d) = + + (e) = + 9 (f) = 7 4. Determine o valor máimo ou o valor mínimo e o ponto de máimo ou o ponto de mínimo das funções abaio, definidas em R. (a) = +5 (b) = + (c) = (d) = (e) = +5 7 (f) = Determine a imagem das funções definidas em R. (a) = (b) = +4 (c) = Resolver em R as inequações: (d) = +8+ (e) = + + (f) = ++

3 (a) + > 0 (b) + 0 (c) ++ 0 (d) + > 0 (e) ++6 > 0 (f) 8+ 0 (g) (h) (i) 4 + > 0 (j) (k) (l) ++7 > 0 (m) + < 0 (n) +5 < 0 (o) + 4 > 0 (p) +5 < 0 (q) + 4 > 0 7. Para que valores de o trinômio + é negativo? 8. Se A = R + 0} e B = R + > 0}, determine A B. 9. Se A = R 0}, B = R } e C = R 0}, determine (A B) C. 0. Sejam p() = e q() = Se a é um número p(a) < 0, qual é condição que deve satisfazer q(a)?. Qual é uma condição suficiente para que a epressão = represente uma função?. Resolver em R as inequações: (a) ( )( +4 ) > 0 (b) ( )( +) > 0 (c) ( 7+6)( 7+5) 0 (d) ( 6)( + ) > 0 (e) ( + 6)( +) 0 (f) + > 0 (g) (h) ( 6)( + ) > 0 (i) ( + 6)( +) 0 (j) (k) < (l) 0 < ++ < (m) < 6+6 < +. É dada a função = ( 9 5)( +). Determine: (a) os pontos de interseção do gráfico da função com o eio das abscissas; (b) o conjunto dos valores de para os quais Dentre os números inteiros que são soluções da inequação ( + 0)( ) > 0, qual é o maior? 5. Determine os valores de R que satisfazem a inequação ( +8)( 5+6)( 6) < Em uma fábrica, o custo diário com matéria-prima, para produzir unidades de um produto, é dado pela equação C() = 0. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 0 t 8, por sua vez, é dada por Q(t) = 6t t. Preencha as tabelas localizadas abaio de acordo com as epressões das funções Q(t) e C() dadas, e eplicite os cálculos efetuados.

4 6 8 C 00 t Q O faturamento de uma empresa na venda de certo produto pode ser modelado por uma função quadrática, do tipo F(p) = a.p + b.p + c, sendo p o preço de venda praticado. A figura apresenta os faturamentos obtidos em função do preço e o gráfico da função quadrática que aproima esse faturamento. Sobre os coeficientes da função quadrática, é correto afirmar que (a) a > 0, b < 0, c < 0 (b) a < 0, b > 0, c < 0 (c) a > 0, b < 0, c > 0 (d) a < 0, b < 0, c = 0 (e) a > 0, b > 0, c = 0 8. Para um certo produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente, por R(q) = q +.000q e C(q) = 00q , cujos gráficos são Obtenha, então: R e C ( 0) Custo Receita q 4

5 (a) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quanttdade para que a receita seja máima e a receita máima correspondente. (b) Os break-even points e seu significado. (c) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. Indique tais regiões graficamente. (d) A função lucro e seu gráfico. (e) A quantidade para que o lucro seja máimo e o lucro máimo correspondente. Indique no gráfico da receita e custo tal quantidade e o significado geométrico do lucro máimo. 9. O consumo de energia elétrica para urna residência no decorrer dos meses é dado por E = t 8t + 0, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = a fevereiro, e assim sucessivamente. (a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 95 kwh. (b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano? (c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico de E. 0. O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros, pode ser obtido pela epressão N = t +4t+, onde t representa o mês da venda. (a) Esboce o gráfico dessa função a partir de urna tabela com o número de apólices vendidas para os dez primeiros meses de vendas. (b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máimo de apólices e qual o número máimo vendido? (c) Qual a média de apólices vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez primeiros meses?. O preço da garrafa de um vinho varia de acordo com a relação p = q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela relação R = p q: (a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos e o eio de simetria. (b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máima? Qual a receita máima? (c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?. O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela epressão v = 0,5t 8t+45. Considere t = 0 o momento inicial de análise; t = após dia; t = após dias etc. (a) Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eio de simetria. (b) Após quanto tempo o valor da ação é mínimo? Qual o valor mínimo? (c) Para quais dias o valor da ação é decrescente? E crescente? (d) Determine a variação percentual do valor da ação após 0 dias de pregão. 5

6 . Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de ações durante meses. O valor das ações da primeira empresa variou de acordo com a função A = t + 0, e o valor para a segunda empresa obedeceu à função B = t 4t + 0. Considere t = 0 o momento da compra das ações; t = após mês; t = após meses etc. (a) Em que momentos as ações têm o mesmo valor? Quais são esses valores? (b) Em um mesmo sistema de eios, esboce os gráficos para o período de um ano. (c) Comente a evolução do valor de cada uma das ações. Qual foi a melhor aplicação após os três primeiros meses? E após um ano? 4. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função P = t +4t+8. (a) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos. (b) Em que momento a produção é máima? Qual a produção máima? (c) Em que momento a produção é igual à produção inicial? (d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir? (e) Quais os intervalos de crescimento e decrescimento para produção? 5. O preço p de um produto depende da quantidade q que os fornecedores estão dispostos a oferecer e, para um certo produto, pela lei de oferta, tal dependência é dada pela função p = q +0q+9. Para o mesmo produto, o preço também depende da quantidade q que os compradores estão dispostos a adquirir e, pela lei de demanda, tal dependência é dada por p = q +8. (a) Em um mesmo sistema de eios, esboce os gráficos da oferta e demanda. (b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio. Indique também no gráfico do item anterior. 6. Para a comercialização de relógios, um lojista nota que a receita é dada por R = q + 0q e o custo é dado por C = q +0q +75. (a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre o mesmo sistema de eios, determinando e indicando os pontos break-even. (b) Indique no gráfico do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo. (c) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. (d) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máimo? Qual o lucro máimo? (e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? Compare com os resultados indicados no item (b). 6

7 Respostas. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 7

8 (g) 5 (h) (i) (j) (k) (l) 8

9 4 0 (p) (m). m. f() = f() = 5. abc = (a) = ou = (b) = ou = 4 (c) = ou = (d) Não eiste R (e) = (f) = ou = (n) (g) = + ou = (h) Não eiste R (i) = (j) = ou = (k) = 0 ou = (l) = ou = (m) Não eiste R (n) = S = (,4),(4,)} 9. (a) S =,4} (o) (b) S = (4,),(,6)} 0. = ou = 9

10 . (a) = ou = ou = ou = (b) = ou = (c) = ou = (d) = ou = (e) Não eiste R (f) Não eiste R (g) = 0 ou = ou = (h) = ou =. p = 0 ou p = 4. (a) V(0,) ( (b) V, 9 ) 4 ( ) 5 (c) V 4, 9 8 ( (d) V 4, 5 ) 6 ( (e) V, ) 6 ( ) 7 (f) V 6, 6 4. (a) m = 5 4 e m = 5 8 (b) M = e M = (c) m = e m = 0 (d) m = 7 4 e m = 9 6 (e) M = 5 e M = 4 (f) M = 4 e M = (a) Im = R 9 } 4 (b) Im = R 4} (c) Im = R } 4 (d) Im = R 6} (e) Im = R 5 } 6 (f) Im = R } 6. (a) S = R (b) S = } (c) S = R } (d) S = R < ou > } (e) S = R < < } (f) S = (g) S = (h) S = R (i) S = R } (j) S = (k) S = R (l) S = R (m) S = (n) S = (o) S = (p) S = (q) S = R ou R 5 } } 7. Para todo real. 8. A B =.. (a) S = R < < ou < < } (b) S = R < < ou 0 < < } (c) S = R ou 5 } (d) S = R < < e } 9. R 0 } 0. 0 < q(a) < 0?. R ou } 0 }

11 (e) S = R = ou } (f) S = R < < ou > } (g) S = R } (h) S = R < < e } (i) S = R = ou } (j) S = R 4 ou < < 5 } (k) S = R < < ou } 4 < < (l) S = R < < 0} (m) S =. (a) P (5,0) e P (,0 ) 4. 9 (b) S = R } 5 5. S = R < < ou < < 4} 6. C t Q (d) 8. (a) Crescente no intervalo(0, 50) e Decrescente no intervalo(50, 500). A receita máima acontece para q = 50 com receita máima 5000 (b) Os break-even points ocorrem quando q = 50 e q = 50. São os pontos onde a receita é igual ao custo. (c) (d) L(q) = q +800q 5000

12 L ( 0) q A quantidade que gera o lucro máimo é q = 00 e o lucro máimo é L=$ (e) O consumo de energia elétrica para urna residência no decorrer dos meses é dado por E = t 8t + 0, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro, t = a fevereiro, e assim sucessivamente. 0. (a) (a) t = (abril) e t = 5 (junho) t E(t) (b) Média: 08,7 (c) Usar um software. t E(t) Use um software para determinar o gráfico.

13 (b) O número máimo vendido é de 8 e ocorre no mês em que t=7. (c) Para os cinco primeiros meses a média é 6 e para os dez primeiros meses a média é 70,5. (Para os cálculos o mês inicial foi t = com N = 45.. (a) R(q) = q +400q (b) A quantidade necessária de garrafas a ser vendida é 00 garrafas, para obter a receita máima, que é de $ 0000 (c) A receita é crescente para 0 < q < 00 garrafas e decrescente para q > 00.. O valor, em reais (R$), de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela epressão v = 0,5t 8t+45. Considere t = 0 o momento inicial de análise; t = após dia; t = após dias etc. (a) Usar um software. (b) O valor é mínimo após t = 8 dias e o valor mínimo é de $. (c) É crescente para 0 < t < 8 e crescente para t > 8 dias. (d) V.P.=88,89%. (a) Em t = 0 e t = 5. Os valores são 0 e 5. (b) Em um mesmo sistema de eios, esboce os gráficos para o período de um ano. A e B 5 B A q (c) Em 5 meses é melhor aplicar em A e a partir de 5 é melhor aplicar em B. A. B. 00 P (a) q

14 5. (a) (b) A produção é máima em t = 6h, com produção de 00. (c) A produção é igual à inicial em t = h. (d) O funcionário não consegue mais produzir em t = 6h. (e) Intervalos de crescimento: (0, 6); decrescimento: (6, 6). p Oferta break-even Demanda (b) Quantidade de equilíbrio é q = 4. Preço de equilíbrio é p = $ (a) Os pontos break-even são (5,55) e (5,5). (b) O lucro é positivo no intervalo (5, 5). (c) L = 5q +00q 75. q (d) A quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máimo éq = 0, com lucro máimo 5. (e) O lucro é positivo no intervalo (5, 5). 4