Domínio das funções reais

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1 Domínio das funções reais 1

2 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Definição: é o valor de x, para os quais a função existe ou é o campo de existência da função. Temos duas condições básicas: 1ª condição: Se a função for uma fração 2ª condição: Se a função for uma raiz de índice par 2

3 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Pode-se encontrar as seguintes situações: 3

4 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Pode-se encontrar as seguintes situações: 4

5 INEQUAÇÕES 1º GRAU 5

6 i) simples INEQUAÇÕES DE 1º GRAU Resolver como uma equação de 1º grau, isolando x e caso multiplicar por (-1) a inequação terá a desigualdade invertida. Exemplos: 6

7 INEQUAÇÕES DE 1º GRAU ii) Produto e quociente Resolver cada função separadamente: 1º Passo: determine o zero de cada função. 2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a mesma é crescente ou decrescente e determine os sinais. 3º Passo: Monte o quadro do produto e/ou do quociente e faça o jogo de sinais. 4º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige sinal é positivo ou negativo. Obs.: Caso seja inequação do tipo quociente o denominador deve ser sempre aberto independente do sinal da desigualdade. 7

8 Exemplos: INEQUAÇÕES DE 1º GRAU 8

9 1.Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como cada maçã será vendida a R$ 2,00, ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda. Resolução: Resultado final (receita despesa) é dado em função do número x de maçãs vendidas e a lei da função é f(x) = 2x 300, logo: f(x) > 0, ou seja, para que haja lucro é necessário vender mais de 150 maçãs. 9

10 2. Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei de formação dessa função f? b) Para que valores de x temos f(x)<0? Como pode ser interpretado esse caso? c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00? 10

11 3. Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um certo produto é calculado pela fórmula f(x) = 4x -1000, onde f(x) representa o faturamento líquido de x unidades vendidas. Faça um estudo do comportamento dessa função e determine a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para que haja lucro. 11

12 4. João possui um terreno de m 2, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira etc.) deve ter 200 m 2, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ ,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? 12

13 5. A empresa de programas de computador Comp paga a seus vendedores R$ 2,00 por programa vendido, mais uma quantidade fixa de R$ 800,00. Uma outra empresa concorrente, a Soft, para R$ 2,50 por programa vendido, mais um fixo de R$ 500,00. Qual a quantidade mínima de programas que um vendedor da Soft deve vender para ganhar mais que um vendedor da Comp? 13

14 6. Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00. a) Chamando de x a renda mensal e de C, o consumo, obtenha C em função de x, sabendo que o gráfico de C em função de x é uma reta. b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de x e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00 14

15 7. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas; b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 kg de peso. 15

16 8. Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal que é função do 1º grau de suas vendas mensais. Quando ele vende R$ ,00, sua remuneração é R$ 1 800,00, e quando vende R$ ,00 sua remuneração é R$ 2 400,00. a) Obter a remuneração R A em função das vendas (x). b) Uma outra empresa B paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal R B = ,01x, onde x são as vendas mensais. Para que valores de x a remuneração mensal do vendedor em A é superior à do vendedor em B? 16

17 9. Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação? 17

18 INEQUAÇÕES 2º GRAU 18

19 i) Simples: INEQUAÇÕES DE 2º GRAU Resolver a inequação da seguinte forma: 1º Passo: determine o(s) zero(s) da função, caso existir. 2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a concavidade da mesma é para cima ou para baixo e determine os sinais. 3º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige o sinal é positivo ou negativo. 19

20 INEQUAÇÕES DE 2º GRAU Exemplos: 20

21 INEQUAÇÕES DE 2º GRAU ii) Produto e quociente: Resolve-se separadamente cada função e faz-se o jogo de sinal. ( análogo a inequação do 1º grau). Exemplos: 21

22 1. O Lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que: a) O lucro é positivo qualquer que seja x; b) O lucro é positivo para x maior do que 10; c) O lucro é positivo para x entre 2 e 10; d) O lucro é máximo para x igual a 10; e) O lucro é máximo para x igual a 3. 22

23 2. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N(x)= x 2 +2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar mais de 168 armários em um mês? 23

24 3. A medida do lado de um quadrado é l e as medidas dos lados de um retângulo 2l e 3. Determine o menor valor inteiro de l para que a área do quadrado seja maior que a área do retângulo. 24

25 4. A receita mensal (em reais) de uma empresa é R= p 2 000p 2, onde p é o preço de venda de cada unidade ( ). a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ ,00? b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ ,00? 25