PROF. GILBERTO SANTOS JR FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

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1 PROF. GILBERTO SANTOS JR FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três pontos importantes características do gráfico da função do 2º grau: Concavidade; Zero da função ou raiz da função; Vértice. McDonald's e as parábolas. DEFINIÇÃO Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática a qualquer função f: R R dada por uma lei da forma f() = a 2 + b + c, onde a, b e c são números reais fios (coeficientes) e a ; e f() são números reais variáveis ou chamados simplesmente de variáveis. Eemplos: a) f() = , onde a = 3, b = -4 e c = ; b) f() = 2 -, onde a =, b = e c = -; c) f() = , onde a = 2, b = 3 e c = 5; d) f() = , onde a = -, b = 8 e c = ; e) f() = -4 2, onde a = -4, b = e c =. 2. O GRÁFICO O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola. Eemplo: Construir o gráfico da função = 2 + : Resolução: Primeiro atribuímos alguns valores a variável e calculamos as respectivas imagens f(), formando os pares ordenados (, f()), que em seguida são representados no plano cartesiano, ligamos os pontos assim obtidos. f() Concavidade Ao construir o gráfico de uma função polinomial do 2º grau, = a 2 + b + c, notaremos sempre que: Se a > parábola tem a concavidade voltada para cima; Se a <, a parábola tem a concavidade voltada para baio; ) Observando as seguintes funções quadráticas, diga se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baio. Justifique: a) f() = b) f() = c) = 3 2 d) f() = e) = 4 2 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 2)(Enem-24) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas da prova para notas = f(), da seguinte maneira: A nota zero permanece zero. A nota permanece. A nota 5 passa a ser 6. A epressão da função = f() a ser utilizada pelo professor é a) = d) = b) = e) = c) = )(UEPA-28) Um incêndio numa Reserva Florestal iniciou no momento em que um fazendeiro vizinho à Reserva ateou fogo em seu pasto e o mesmo se alastrou até a reserva. Os prejuízos para o meio ambiente foram alarmantes, pois a área destruída foi crescendo diariamente até que, no º dia, tempo máimo de duração do incêndio, foi registrado um total de 6 hectares de área dizimada. A figura abaio é um arco de parábola que representa o crescimento da área dizi-

2 mada nessa reserva em função do número de dias que durou o incêndio. Nestas condições, a epressão que representa a área dizimada A em função do tempo T, em dias, é: R: (c) Interpretação geométrica de raiz da função: (, ) (5, ) 5 (a) A = 6.T 2 + T (b) A = 6.T 2 3.2T (c) A = 6T T (d) A = 6T 2 3.2T (e) A = 6.T 2 - T 4)(UEPA-27) Partindo do princípio de que a altura H da barragem de uma usina hidrelétrica pode ser função da velocidade v da queda d água; da gravidade g local e representada pela epressão H(v) =, o gráfico que melhor se asseme- v 2 2g lha a esta função é: (a) (d) raízes ou zeros da função As raízes são abscissas dos pontos em que parábola intercepta o eio. 5) Determine os zeros ou raízes das funções: a) f() = R: S = {-, 5} b) f() = R: S = {2} c) f() = R: S = Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o = b 2 4.a.c, chamado discriminante, a saber: Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; Quando é zero, há só uma raiz real (ou duas raízes reais e iguais); Quando é negativo, não há raiz real. (b) (e) 6) Seja a função f() = k. Sabendo que essa função possui duas raízes reais e iguais, determine o valor real de k. R: S = /3 7) Os valores de m para os quais as raízes da função = 2 m 4 sejam reais e diferentes pertencem ao intervalo: R: (e) (a) ( 2, 2) (d) [ 2, 2] (b) [ 4, 4] (e) R [ 4, 4] (c) (4, ) (c) 2.2 Raiz ou zero da função Chama-se raiz ou zero da função polinomial do 2º grau f() = a 2 + b + c, a, os números reais tais que f() =. Eemplo: Determinar as raízes da função f() = Resolução: f() = = (equação do 2º grau) = 6 = ou = Vértice da parábola ( v, v ) Quando a >, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; Quando a <, a parábola tem concavidade voltada para baio e um ponto de máimo V; O ponto V é chamado vértice da parábola. Observe os gráficos: a > V a < As fórmulas para calcular o vértice V( v, v ) são: V 2

3 v = b Δ v = - 2a 4a 8) Determine o ponto V( v, v ), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções: a) = R: V(3, -4) d) = 2 4 R: V(, -4) b) = R: V(2/3, -4/3) e) = -6 2 R: V(, ) c) = R: V(/2, -/4) 2.4 Construindo o gráfico Agora que já conhecemos as principais características da parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Observações: A reta que passa por V e é paralela ao eio dos é o eio de simetria da parábola; Para =, temos = a 2 + b + c = c; então (, c) é o ponto em que a parábola corta o eio dos. 9) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º grau: a) = d) f() = b) = e) f() = c) f() = f) = ) Trace, no plano cartesiano, o gráfico das seguintes funções quadráticas: a) = d) = b) = e) f() = 2-4 c) f() = 2-4 f) = b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 m, durante a subida. R: 3 s e 5 s. c) Determine a altura máima que a pedra atinge. R: 8 m d) Construa o gráfico da função h para t 8. 5) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 4t 5t 2, onde a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Determine: a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t = 3 segundos; R: 75 m. b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 6 metros do solo. R: 2 s ou 6 s. 6) O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N() = Qual é o número de empregados necessários para fabricar 68 armários em um mês? R: 2 empregados. 7) Dado o gráfico da função f() = a 2 + b + c, encontre os valores de a, b e c. R: = 8) O trinômio = a 2 + b + c está representado na figura. A afirmativa certa é: R: (b) ) Esboçar o gráfico da função = , determinando: a) as raízes; R: S = {/2, } b) as coordenadas do vértice; R: V = (3/4, -/8) c) a classificação de v ; (valor mínimo ou valor máimo da função) R: Valor de mínimo. d) intersecção da curva com o eio. R: 2) Dada a função f() = : a) Determine as raízes de f, se houver;r: S = {2-2, 2 + 2} b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico; R: V = (2, 2) c) Esboce seu gráfico. 3) Determine os intervalos nos quais a função f() = é: a) crescente; R: (3, + ) b) decrescente. R: (-, 3) 4) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura h, dada por: h = 4 t 5t 2. a) Calcule a posição da pedra no instante 2 s. R: 6 m (a) a >, b >, c > (d) a <, b >, c > (b) a <, b <, c < (e) a <, b >, c > (c) a <, b >, c < 9) Considere a função f, de R em R, dada por f() = 4 2. Representando-a graficamente no plano cartesiano, obteremos: R: (c) (a) (b) 4 (d) (e) 2 3

4 4 2 2 (c) 4 2) O gráfico da função quadrática = a 2 + b + c é: Pode-se afirmar que: (a) a >, b >, c = (d) a >, b =, c < (b) a >, b >, c > (e) a >, b >, c < (c) a <, b =, c > R: (d) EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 2)(UFPA-97) O gráfico da função = a 2 + b + c está esboçado pela parábola no painel. Sendo o discriminante, podemos afirmar que: (a) a <, > e c > (b) a >, > e c < (c) a <, = e c < (d) a <, > e c < (e) a <, > e c = Sobre os coeficientes da função quadrática, é correto afirmar que R: (e) (a) a >, b < e c < (b) a <, b > e c < (c) a >, b < e c > (d) a <, b < e c = (e) a <, b > e c = 23)(Cesgranrio-RJ) O gráfico da função quadrática f() = 2 + b + c é o da figura. Então, Podemos concluir que: (a) b = e c = (d) b = 4 e c = (b) b = 2 e c = (e) b = e c = (c) b = e c = R: (b) 24)(UEPA-23) Com os recursos do computador, as arbitragens nos jogos de futebol ficaram mais transparentes pois, nas transmissões pela TV, se tornou possível identificar se um lance foi falta; impedimento; se a bola saiu; qual o ângulo, trajetória e a velocidade do chute, etc. Uma emissora, usando essa tecnologia, detectou que o tiro de meta cobrado por um zagueiro é tal que, a altura h da bola varia com o tempo t (em segundos), de acordo com a equação h(t) = -2t 2 + 6t. Nessas condições, o tempo decorrido entre a cobrança do tiro de meta e o momento em que a bola atinge o solo é: R: (d) (a) 6 segundos (b) 2 segundos (c) segundos (d) 8 segundos (e) 4 segundos 3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 22)(UFPA-2) O faturamento de uma empresa na v produto pode ser modelado por uma função quadrática, do tipo F(p) = ap 2 + b.p + c, sendo p o preço de venda praticado. A figura abaio apresenta os faturamentos obtidos em função do preço e o gráfico da função quadrática que aproima esse faturamento. Weirstrass (85 897) provou que toda função contínua com domínio em um intervalo fechado possui máimo e mínimo. Se a >, v é o valor mínimo da função; Se a <, v é o valor máimo da função. 4

5 25) Determine se as funções têm valor máimo ou mínimo, em seguida calcule esse valor. a) f() = R: Valor de mínimo de - b) f() = R: Valor de máimo de c) f() = 2 R: Valor de mínimo de - d) f() = 4 2 R: Valor de máimo de 4 26) A função f() = tem mínimo no ponto em que vale: R: (b) (a) (b) (c) 2 (d) 3 (e) 4 27) O custo para se produzir unidades de um produto é dado por C = Determine o valor do custo mínimo. R: ) Um engenheiro pretende construir uma casa de formato retangular com m de perímetro e de maior área possível. O valor dessa área será de: R: (e) (a) 5 m 2 (c) m 2 (e) 625 m 2 (b) 75 m 2 (d) 25 m 2 29) Um fazendeiro quer construir um curral retangular. Para cerca-lo, dispõe de 4 m de arame e de uma parede já parede eistente (figura ao lado). Sabendo que a cerca de arame terá 4 voltas, determine as dimensões desse curral para que sua área seja máima. R: 25 metros por 5 metros. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 3)(Enem-25) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela epressão T(h) = - h h 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge a sua temperatura máima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muita baia, baia, média, alta e muito alta. (b) baia. (c) média. (e) muito alta. 3)(UEPA-26) Uma fábrica de beneficiamento de peie possui um custo de produção de quilos de peie, representado por C() = O valor mínimo do custo, em reais, é: R: (e) (a) 7 (c) 75 (e) 875 (b) 72 (d) 8 32)(UEPA-25) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máima atingida por essa lata é de m. III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que: (a) todas as afirmativas são verdadeiras (b) todas as afirmativas são falsas (c) somente a afirmativa I é falsa (d) somente a afirmativa II é verdadeira (e) somente a afirmativa III é verdadeira R: (c) 33)(UEPA-26) Um agricultor observou que a epressão P() = descreve a produção (P), em toneladas, de cacau que colhe em suas terras em função da quantidade (), em toneladas, de fertilizante empregado. A produção de cacau será máima quando a quantidade de fertilizante empregada for igual a: (a) tonelada (b) 4 toneladas (c) 9 toneladas (d) 6 toneladas (e) 25 toneladas R: (b) 4. IMAGEM DA PARÁBOLA (Im f ) O conjunto-imagem Im f da função f() = a 2 + b + c, a, é o conjunto dos valores reais que f() assume. Há duas possibilidades: ª) Quando a >, Yv V Xv Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como (a) muito baia. (d) alta. 2ª) Quando a <, Im f = {f() R/f() v } 5

6 Yv V 38)(UFRS) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máima de 2 metros e voltou ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática epressa a altura da bola em função do tempo t de percurso, esta função é: (a) = -t 2 + 8t (d) = - 4 t 2 + 2t X v 3 (b) = - t t (e) = - t t Im f = {f() R/f() v } 34) Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas: a) f() = R: Im = { R/ 6} b) f() = R: Im = { R/ -4/3} c) f() = R: Im = { R/ -9/4} d) f() = R: Im = { R/ } e) f() = 2 6 R: Im = { R/ -9} f) f() = R: Im = { R/ -2/3} g) f() = 2 R: Im = { R/ -5/4} h) f() = R: Im = { R/ 4} i) f() = R: Im = { R/ -} 35) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = t 2 + 4t + 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máima; R: t = 2 s b) a altura máima atingida pela bola; R: m c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo. R: t = 2 + s 36) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu unidades, verificou-se que R() = 6 2 e C() = 2 2. Nessas condições, qual deve ser a produção para que o lucro da empresa seja máimo? R: 2. unidades. EXERCÍCIOS DE VERTIBULARES 37)(UNIRIO) A função linear f() = a + b é representada por uma reta que contém o ponto (2, - ) e que passa pelo vértice da parábola = A função é: (a) f() = (d) f() = 3-7 (b) f() = 2 5 (e) f() = - 3 (c) f() = /3 7/3 (c) = t 2 + 6t R: (c) 39)(UFOP-MG) Em relação ao gráfico da função f() = , pode-se afirmar: (a) é uma parábola de concavidade voltada para cima. (b) seu vértice é o ponto V(2, ). (c) intersecta o eio das abscissas em P(-3, ) e Q(3, ). (d) o seu eio de simetria é o eio das ordenadas. (e) nda. R: (b) 4)(UFPA-28) O vértice da parábola = a 2 + b + c é o ponto (-2,3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eio vertical, podemos afirmar que (a) a>, b< e c<4 (d) a<, b> e c>4 (b) a>2, b>3 e c>4 (e) a<, b< e c<4 (c) a<, b< e c>4 R: (d) 4)(UEL) A função real f, de variável real dada por f() = , tem um valor: R: (c) (a) mínimo, igual a -6, para = 6 (b) mínimo, igual a 6, para = -2 (c) máimo, igual a 56, para = 6 (d) máimo, igual a 72, para = 2 (e) máimo, igual a 24, para = 2 42)(UFPA-26) Sobre um rio foi construída uma ponte, de metros de largura, sobre vigas apoiadas em um arco de parábola, como mostra a figura abaio. Se a distância da lâmina d água até o ponto mais alto do arco da parábola é constante e igual a 5 metros, então o comprimento da viga que dista 8 metros da etremidade da ponte é, em metros, igual a R: (c) (a),2 (b),6 (c),8 (d) 3,2 (e) 3,4 43)(UEPA-2) Num jogo de futebol, observou-se que, num chute a gol, a trajetória da bola descreveu uma parábola. Considerando que a altura (h), em metros, alcançado pela bola num tempo (t), em segundos, seja dada por h = -t 2 + 4t, 6

7 qual a altura máima alcançada pela bola e o tempo gasto para isto? R: (c) (a) 2 metros e 2 segundos (b) 3 metros e 4 segundos (c) 4 metros e 2 segundos (d) 8 metros e 2 segundos (e) 8 metros e 4 segundos 44)(UFPA-28) Um fornecedor A oferece a um supermercado, um certo produto com os seguintes custos: RS 2, de frete mais R$ 2,9 por cada kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo produto, cobrando R$ 2, de frete mais R$ 3, por cada kilograma. O gráfico que representa os custos do supermercado com os fornecedores, em função da quantidade de kilogramas é: (a) (d) alternativa que indica a altura máima atingida por ele? R: (b) (a) 2 m (c) m (e) 5 m (b) 5 m (d) 5 m 47)(UEPA-23) Após uma cobrança de falta, uma bola de futebol descreveu uma trajetória parabólica. Observou-se que a altura h, em metros, da bola variava de acordo com o tempo t, em segundos, após o chute. Considerando que a bola foi chutada no instante t = segundos e que a altura máima atingida por ela foi de 4 metros em 2 segundos do chute, qual a lei matemática que define esta função? (a) h (t) = -t 2 + 4t (b) h (t) = -t 2-4t (c) h (t) = -4t 2 + 2t (d) h (t) = -2t 2 + 4t (e) h (t) = -2t 2-4t (b) (e) 48)(UEPA-25) Com vistas à reforma agrária, uma fazenda foi desapropriada pelo Governo Federal e dividida em lotes, todos de forma quadrada e de mesma área, para distribuição entre os sem-terra. A lei matemática que epressa a área z do terreno em função da medida do lado de cada lote é: Dado: área do quadrado = (medida do lado)² (a) z = (d) z = (b) z = ² (e) z = ² + (c) z = ² R: (b) (c) 45)(Vunest-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela epressão h(t) = 3t - 3t 2, onde h é altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? R: s b) Qual a altura máima em metros atingida pelo grilo? R: 3/4 m 46)(UEPA-23) No Círio, a queima de fogos é realizada pelo Sindicato dos Estivadores é uma das emocionantes homenagens prestadas à Nossa Senhora de Nazaré. Imaginemos que um destes fogos, lançado do solo, apresentou problemas e descreveu uma trajetória tal que a sua altura h, em metros, variou de acordo com o tempo t, em segundos, conforme a lei h(t) = t 5t 2. Qual a 49)(UFPA-27) Um cidadão, ao falecer, deiou uma herança de R$ 2., para ser distribuída, de maneira equitativa, entre os seus filhos. No entanto, três desses filhos renunciaram às suas respectivas partes nessa herança, fazendo com que os demais 3 filhos, além do que receberiam normalmente, tivessem um adicional de R$5., em suas respectivas partes dessa herança. Portanto, o número de filhos do referido cidadão é (a) 8 (b) (c) 5 (d) 4 (e) 7 5)(UFPA-29) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção epele para fora de sua cratera uma pedra incandescente localizada metros abaio da superfície. Sabendo que a pedra demora segundos para atingir a altura máima de 4 metros e que sua trajetória é uma parábola, podemos afirmar que a pedra demora R: (d) (a) 2 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela epressão h(t) = t 2 - t 2. (b) 5 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela epressão h(t) = -2t 2 + 2t + 5. (c) aproimadamente 8,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela epressão h(t) = -t 2 + 2t 2. 7

8 (d) aproimadamente 8,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela epressão h(t) = -5t 2 + t. (e) 7 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela epressão h(t) = t 2-2t + 5. EXERCÍCIOS EXTRAS 5) Sabe-se que o custo C para produzir unidades de certo produto é dado por: C = Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; R: 4 unidades b) o valor mínimo do custo. R:.4 52) Um projétil da origem O(, ), segundo um referencial dado, percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máima no ponto (2, 4). Escreva a equação dessa trajetória. R: = ) O gráfico abaio é uma parábola cuja equação é da forma = a 2 + b + c. Calcule: 2a + 3b + 8c. 2/3 R: ou 2 -/3 Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não aprendemos a nos servir dela com bom senso. Albert Einstein. Atualizada em 4/9/27 Gostou da Apostila? Você a encontra no site: Link! Dê uma olhada. Referências DANTE, L.R. Matemática: Conteto & Aplicações.. Ed. São Paulo: Ática, 2, v.. 8