Matemática. Resolução das atividades complementares. M6 Função Modular ( ) ( ) 1 De acordo com a definição, calcule:

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M6 Função Modular p. 89 De acordo com a definição, calcule: a) b) c) 8 d) 6 7 a) b) c) 8 8 d) Aplicando a definição, determine o valor numérico de: a), quando b), quando a) () 8 ( ) ( ) b) 7 Utilizando a definição de módulo, escreva a epressão algébrica que representa A, sem os módulos, quando: a) b) < c) > 7 7 A, se, se > ( ), quando, quando > a) A ( ) b) < A ( ) c) > A ( )

2 Construa o gráfico das funções, determinando o domínio e o conjunto imagem: a) f() b) f() c) f() a) y se >, então f() se, então f() D R Im R b) se, então f() ( ) se <, então f(), se > c) f(), se, y D R Im R g() a e Então: se < ou >, se, y temos f() temos f() f() f() D R Im R (FaapSP) Esboce o gráfico de y. y y ( ) se, y ou se, y

3 6 Seja a função f(). a) Há algum valor de R com o qual a função não se define? sim, b) Calcule o valor de f. c) Qual o valor de, tal que f()? ou a) f(), para a função não se define b) f c) f() ou ou 7 (MackenzieSP) O número de soluções reais da equação é: a) b) c) d) e) Considerando a equação t t, com t, temos t t. Resolvendo essa equação, obtemos: t ou t Como Como,, a equação não admite solução.., a equação admite duas soluções reais e distintas. 8 (UFG) Os zeros da função f() são: a) 7 e 8 b) 7 e 8 c) 7 e 8 d) 7 e 8 e) n.d.a. ou 8 7

4 9 Resolva as seguintes equações modulares: a) b) 6 c) 6 6 d) {, 8} 7, {7,,, } {,,, } a) 8 ou S {, 8} b) 6 S 7, ou 6 7 c) 6 6 ou < 6< S {7,,, } d) ou < 9< S {,,, } Resolva as equações: a), 9 b) {, } a) Devemos ter: >, isto é, >. Aplicandose a definição, vem: ( ) ou ( ) b) Devemos ter: >, isto é, >. Aplicando a definição, vem: e ou e 9 este valor não serve, pois devemos ter > S {, } S, 9

5 Dada a função f(), ache de modo que f(). ou < 7 < 7 7 7, 7,, S 7, 7,, Resolva as equações modulares: a), b) 7 a) ( ) ou ( ) 9, 8 S, b) ( 7) ou ( 7) 8 9 S 9, 8 Ache o conjunto verdade das equações: a) {, } b) {,,, } a) Fazemos y, com y> y y y y ou y não serve, pois devemos ter y > S {, } b) Fazemos y, com y > y y y e y Daí, temos: y Para y ou Para y ou S {,,, }

6 Resolva a equação. {, } para, temos: ( ) ( ) para <, temos: ( ) ( ) (falso) para >, temos: ( ) ( ) S {, } Determine o conjunto solução da equação. {,,, } A equação dada é: y Fazendo y, com y >, temos: y y <y p. 9 Daí, temos: ou ou S {,,, } 6 Ache o conjunto solução da inequação <. { R < < } < < < < < > 7 > a e R satisfaz S { R < < }

7 7 (UFRJ) Resolva a inequação. R% ou. ou,, S R% ou 8 Resolva as inequações modulares: a) R% ou 6 b) a) Æ Æ R% e f() f() g() g() f() g() SI R% ou 6 Æ Æ h() h() g() h() g() { } SII R% ou S I S II 6 S R% ou 6 S I S II 6

8 b) ou Æ f() g() f() g() f() g() SI R% Æ h() g() h() h() g() S I S II S I S II SII R% S R% e 9 Resolva as inequações modulares: a) b) 6 { R ou } { R 8 ou } a) ou S II { R 8 } S I S II 8 S { R ou } b) S { R ou } S I S II 8 S { R 8 ou }

9 Resolva a inequação. S { R e } Se, temos: ou Obs.: para todo, a inequação se verifica, fato que será considerado nas soluções de e de. ( I) Æ Æ y y y y y y ou ou ( II) Æ Æ y y y y y y e S { R e }

10 (FGVSP) Seja f(), R. Determinar os valores de para os quais f(). { R e } f() f() e ± S { R e } Ache o conjunto solução da inequação. { R < < } Æ < e 8 < < 8 < 8 < 8 < < () > < { R < < }

11 (MackenzieSP) O conjunto solução de é o conjunto dos números tais que: a) 7 ou d) b) 7 ou e) ou 7 c) 7 ou. ou e S { R ou 7} (FGVSP) O domínio da função f() é: a) < b) c) o campo real d) > e) n.d.a. Sabemos que só é possível em R se: > > > Como > para todo real, o conjunto solução da inequação modular > é R, ou seja, o campo real.

12 (FEISP) Se <, então: a) > d) não eiste R que satisfaça a desigualdade b) < ou > e) < < c) < ou > < se : < < < se < < : < < < se > : < < > (III) (III) (III) S R < ou >

13 p. 9 6 (FGVSP) A soma dos valores inteiros de que satisfazem simultaneamente as desigualdades:, e > é: a) b) c) 6 d) 8 e) De, temos: 8 I De >, temos: > ou < > ou < II Então: 8 Assim, os valores inteiros de que satisfazem simultaneamente as desigualdades são tais que < ou < 8, ou seja, os valores de são,, 6 e 7. Logo, a soma pedida é 6 7. Em questões como a 7, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I e as falsas, na II. 7 (UnicapPE) O conjunto solução da inequação,, no conjunto dos reais, é: I II A B C ÑR% ÑR% { ÑR% } D ÑR% E ÑR% ÑR%. (Falsa) e I II Logo, S R. (Verdadeira). (Falsa). (Falsa). (Verdadeira) ÑRH ÑRH. ÑRH,

14 8 (UDESC) Considere os conjuntos: A { NH % %< } e B { H % % }. O conjunto C A B é: a) {,,, } b) {6, 7} c) {..., 8, 7, 6} d) {,,,,, } e) {, } H H < < < < < A {,,,,, } H H ou ou B {,,,, 6,...} C A B C {,,, } 9 (FGVSP) Seja f() uma função definida no intervalo [, [, cujo gráfico está representado no plano cartesiano da figura abaio. y f() Considere a função g(), tal que g() f( ). a) Construa o gráfico de g() no mesmo plano cartesiano onde está representada f(). b) Determine o domínio e a imagem da função g(). a) y f( ) f() y f() 6 6 g() f( ) f( ) b) Do gráfico, temos: D [6, [ Im ], ] Resposta: Domínio: [6, [ imagem: ], ]

15 (IBMECSP) O gráfico que melhor representa a função real epressa por f() é: a) d) f() f() b) f() e) f() c) f() Se, temos: f() [ ( )] f() Se >, temos: f() ( ) f() Logo: y

16 (ITASP) Determine todos os valores reais de a para os quais a equação ( ) a admita eatamente três soluções distintas. a, a, a Se ( ) H ah, então: ) Para > a ( ) a a ) Para < a ( ) a a ) Os discriminantes das equações e são: I () (a ) I a II () ( a) II a ) A equação ( ) H ah terá eatamente três soluções distintas se: o ) a o ) I e II a a a o I e II a a a De fato, para a, as raízes são, e ; para a as raízes são,, ; e para a as raízes são, e. Pelo traçado dos gráficos das funções f ( ) e g H ah podese concluir que a equação f g terá eatamente três soluções distintas nos seguintes casos: f g f g a a f g a 6

17 (UNIRIO/EnceRJ) Considere f: [, ] R uma função definida por f() H H. a) Construa o gráfico da função f. b) Eplicite a função g: [, ] R tal que g f f. a) Se >, temos: f() ( ) f() Se, temos: f() [ ( )] f() Portanto: f() O gráfico de f() é:, se >, se f() b) g() (f f) () f(f()) H (f())h H (H H ) H H H % Resolvendo, em R, as inequações, temos: H H < H H < < ou (FGVSP) Multiplicando os valores inteiros de que satisfazem simultaneamente as desigualdades H H < e H H., obtemos: a) b) 6 c) d) 6 e) < < 7 ou O conjunto de valores que satisfaz as duas desigualdades é dado por (I II) (I II) 7 7 Assim, os valores inteiros de que pertencem a (I II) são, e. Portanto, o produto pedido é 6. 7