Matemática A Extensivo V. 6

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1 Etensivo V. 6 Eercícios ) C A função que descreve o custo com a primeira locadora é dada por: f () =, + em que é a quantidade de quilômetro rodado. Função que descreve o custo com a segunda locadora: f () =, y, f f, A primeira locadora será mais vantajosa a partir de que encontramos da seguinte forma: y= +, (i) y=, (ii) Substituindo (ii) em (i), obtemos:, =, +,, =,7 = = 7, = 6 km Logo, a primeira locadora será mais vantajosa a partir de 6 km. ) D ) A + + Vamos calcular separadamente as desigualdades. De Daí, + +, temos: + + Portanto, S = { R / }. De +, temos: 8 (C ) < 8 < (C ) 8 < C 8 + < C < C < C 6 < C,8 < C Logo, o menor número inteiro C que satisfaz as condições determinadas é: C =. Logo, a soma dos números inteiros de que satisfazem a solução S é + =.

2 ) A ERRATA: Considere a inequação a (a + ) + a. Se a (a + ) + a Soma das raízes: S = a + = a + a a Produto das raízes: P = a a = Portanto, as raízes são a e a. ) D Como < a <, então temos: a a Logo, S = a; a. Resolvendo separadamente as desigualdades, temos: Primeira desigualdade: Segunda desigualdade: Daí, Logo, os números inteiros que satisfazem simultaneamente as desigualdades são {, }. 6) C ( p ) ( p + ) p 7 p + 8 p p 8 7 p Portanto, a maior produção diária dessa empresa é dada por barris. 7) C ( ) + < ( ) ( + ) 6 < 8 < < ( 8 ) < ( ) < + < 7 < < 7 <, Logo, o maior número natural que satisfaz a sentença é.

3 8) A ( ) ( + ) 9 (i) + (k ) + (k ) (ii) Como as desigualdades (i) e (ii) possuem as mesmas soluções, então (i) = (ii). 9 = + (k ) = (k ) = (k ) = (k ). = k + = k = k 9) D Uma página,7 Duas páginas,7 +,67 Três páginas,7 +,67 +,67 n páginas,7 + (n ).,67 Queremos calcular n N tal que V(n) >.,7 +,67n >,67n >,7,67n > 9, 9, n > 67, n >,88 Portanto, o menor número de páginas para que o preço da mensagem ultrapase reais é. ) E + a > 7 a 7 > a 7 > Como a solução é <, então: a 7 > a 7 >. a 7 > 6 a > a > ) D < > ( ). > 6 > 6 + > > Temos ainda: Logo, a solução é dada por { R/ < < }. > + 8 Portanto, o número de soluções inteiras do sistema é {,,, }, isto é, soluções inteiras.

4 { GABARITO ) B < < < < < 99 elementos < < elemento 99 elementos{ Portanto, o número de elementos é 99. ) a) S = { R/ < ou > 6} b) k = 9 a) f() > g() > > 6 > 6 Portanto, S = { R/ < ou > 6}. ) E 9 > (i) (ii) De (i), temos: 9 9 De (ii), temos: > > < b) f() + k g() + k k 6 + k Note que essa equação possui concavidade para cima, logo Δ, ou seja: Δ = + k 9 k k 9 k 9 I I < Como queremos o menor k, seu valor é k = 9. S = { R / < }. Logo, possui 6 soluções inteiras.

5 ) E 6) C + 7 < < 6 S = { R / }. S = { R / 6 < < }. Logo, o número de soluções inteiras é. 7) B Note que k + l é uma equação do o grau, então k + l possui pelo menos uma solução para k. 8) C + < + < < < < Logo, > ou <. Temos ainda: + Logo,. < I I + + < Portanto, a solução é dada por S = { R / < }.

6 9) A De, temos: + Temos ainda: > ou < I I S = { R / }. ) C Sejam f() = + 6 e g() =. Analisando os sinais de cada função, temos: f() = + 6 g() = f () g () f () g () Portanto, a solução da inequação + 6 é dada por: S = { R / < 7}. Logo, o número de soluções inteiras é. ) E Sejam f() = + e g() = +. Analisando os sinais de cada função, temos: f() = + g() = + f () g () f () g () Logo, a solução da inequação é dada por: S = { R / ou > }. 6

7 ) Sejam f() = + e g() = Analisando os sinais, temos: f() = + g() = f () g () f () g () Logo, S = { R / < }. Portanto, a = e b =.. Correta. a. b =. = <. Incorreta. a b = = 7 <. Incorreta. a + b = + = é racional. 8. Correta. a b = = = 6 Q ) D < + < + <.( ) + + > Logo, > para todo tal que + >. + Então + > > Portanto, a solução é dada por S = { R / > } ) B > + > + ( + ) > + > + >.( ) + + < Note que. Então < para + < + + < < S = { R / < }. ) 99 < < ( ) + < + < < 7

8 Sejam f() = + e g() = Analisando separadamente os sinais, temos: g() = f() = + g() = S = { R / < ou }. Correta. Pois A S.. Correta. Pois B S.. Correta. Pois C S. 8. Incorreta. Pois S. 6. Correta. Pois E S.. Correta. Pois F S. 6. Correta. Pois G S. 6) A > > ( ) > + 9 > > Sejam f() = e g() = Analisando os sinais separadamente, temos: f() = f () g () f () g () S = { R / < < } Logo, o maior número inteiro é, ou seja, múltiplo de. 7) C Analisando os sinais separadamente, temos: Portanto, a solução é dada: S = { R / < < ou < < } 8) B > > > > Sejam f() = e g() =. Analisando separadamente os sinais, temos: f() = 8

9 g() = S = { R/ < ou > } 9) A > > > Sejam f() = e g() =. Analisando separadamente os sinais das funções, temos: f() = g() = S = { R / < < ou > } ) D ( + ) ( + ) ( ) 6 ( ) ( ) ( + ) + ( ) 6 ( ) ( + ) ( + ) ( ) Sejam f() = ( + ), g() = + e h() = ( ). Analisando separadamente os sinais das funções, temos: f() = ( + ) >, R. g() = + >, R. h() = ( ) f () g () h () f ().g() h () S = { R / < }. ) ( + + ) Sejam f() = e g() = + +. Analisando os sinais das funções separadamente, temos: 9

10 f() = + ( + ) + + g() = + + Note que, para, temos! <, ( + )! < e ( )! <. S = { R/ } ) D Cometeu um erro apenas, na passagem de para, pois está desconsiderando valores negativos, o que inverteria a desigualdade. { R/ < }. Logo, as soluções inteiras são {,,, }, daí a soma é =. ) B 9 Devemos ter. + Sejam f() = 9 e g() = +. Analisando separadamente os sinais das funções, temos: f() = 9 ) A Segundo o gráfico, temos: f() g() = + g() f() g() { R/ ou < }. ) D! + ( + )! ( )! ( )! + ( + ) ( )! ( )!

11 GABARITO Portanto, o domínio de f() é dado por: D = { R/ < ou < }. 6) C f() = ( ) ( ) Devemos ter ( ) ( ) Analisando separadamente o sinal temos: ( ) ( ) Portanto, o domínio de f() é dado por: D = [, ]. 7) A Desenvolvimento correto. Devemos ter. Analisando o sinal separadamente, + temos: Logo, a solução é dada por: S = { R/ < } 9) A f() = + 9 Domínio de. Devemos ter: > > < > Logo, < ou >. Domínio de 9. Devemos ter: 9 > 9 > < 9 < Logo, < <. Portanto, o domínio de f() é dado por: Logo, a solução será dada por: S = { R/ < ou }. Logo, concluímos que os alunos e estão corretos. 8) B f() = f() = Devemos ter. Analisando separadamente, temos: Logo a solução é dada: S = { R/ < < ou < < }. ) E Devemos ter: + + ( a a a) + Trabalhando separadamente as desigualdades, obtemos: ( a a ou a) + ou + 6 ou Temos ainda, ( a a a)

12 6 ) B ( )+ < ) A 6 Portanto a solução f() é: S = [, 6] [, ]. f() = + Devemos ter. + Analisando separadamente, temos: + Logo, a solução é: S = { R/ } ) E (9 ) 6 9 Trabalhando separadamente as desigualdades, obtemos: (9 ) Por outro lado, Logo, S = [, ]. ) C < < < + + < + 9 < < + < 9 < 9 < + 9 < < + 9 < < 9 9 < < < < < < 8 Portanto, a solução é dada: S = { R/ 7 < < }. 8 8 < ( 8+ 6)( ) Vamos analisar os sinais separadamente: + ( 8 + 6)( ) quando ( ) ( ) > > >

13 Temos ainda, 7 6) E Trabalhando a desigualdade separadamente, temos: < + + < ou + > < ou > + < < + < < < 7 < < Logo, a solução é: S = ], 7 [. Portanto, para > o valor inteiro da solução S é. ) E < < < + < < + < < Analisando separadamente as desigualdades, temos: < < < ou > Temos ainda, < < < < l l < < l l Portanto, S = (, ) (, ). 7 7 Logo, S = ( 7, ) (, ). Portanto, o número inteiro não nulo de é. 7) D p p + p + 6 p 6 Portanto, a diferença entre o maior e o menor preço, em reais, é: 6 6 =. 8) D H 7 6 H H H H H 78 Logo, [66; 78]. Portanto, [66; 78] [66; 79]. 9) D Segundo o gráfico, temos: = k.. = k. = k (i) Temos ainda, = k. a. = k. a (. ) = k. a. = k. a (ii)

14 Substituindo (i) em (ii), obtemos: a = = a a = = a a = a = t Logo, a função é dada por N =.. Para t = N =. N =. N =. N = Para t = 8 8 N =. N =. N =. 6 N = 6 Portanto, N N = 6 =, logo a diferença em milhares é. ) A t = k t = k. t = k. t Logo, a lei de formação é dada por k.. ) C ) Falsa. Para = 6 P = = 6 = 6 = ) Verdadeira. Pois a função é crescente. ) Verdadeira. P = t Assim, para t tão grande como queremos: P = 6 9+ = 6 = 9 ) D N (t) =. t 7 =. t 7 =. t =. t Note que, < < Logo, < t <, ou seja, t [, ]. ) D Para v(t) =, temos: = t t = t = 9 t = 9 Portanto, o tanque levará t = 9 horas para ficar totalmente vazio. ) C T(n) = n 7 = n 7 + = n 8 = n n = n = Note que, conforme t cresce, t se aproima cada vez mais do número zero. Logo, para t tão grande quanto queremos, dizemos que t tende ao infinito. Então temos: t =.

15 ) E Para t = e N =, temos: N = ( + k) t = ( + k) = ( + k) = ( + k) 6 = ( + k) (i) Temos ainda, para t = : N = ( + k) N = (( + k) ) (ii) Substituindo (i) em (ii), teremos: N =. ( 6 ) N = 6 N = 8. 6 N = 8 8 6) y. Correta. Facilmente verificamos que o domínio da função f() é R.. Incorreta. Para = f() = =. Correta. f( ) = < f(f( )) = f( ) = = / > f( ff ( ( ) ) ) = f(/ ) = ( / ) + = / + = + = / 8. Correta. Facilmente verificamos no gráfico. 6. Incorreta. Pois Im = (, ).

16 7) E t = q() = q. t =, q(,) = q. t = q() = q., t =, q(,) = q. t = t q (t ) = q. t, t t = t q (t ) = q. / 8) 9 t = t q (t ) = q.. t t t = t q (t ) = q. t t = t q (t ) = q.,,,, ERRATA: Na alternativa 6, considere a função ( t ) V(t) =... Correta. V() =. Incorreta. Pois o valor máimo é dado por V() =.Correta. Note que o valor inicial é reais. Como a curva do valor do imóvel está compreendida no intervalo a e decresce a partir de V(), então em algum momento o custo do imóvel valerá 7,% do valor inicial. 8.Correta. V() = V() = 6.Correta. Para t = V() =. V() =. V() =. ( ) V() =. =. Mas do inicial é: 8. =, 8 6 =, 9) A Seja M(t) = a. bt Para t =, temos: 6 = a. b. 6 = a. 6 = a Para =, temos: = a. b. = 6. b. = b. 6 = b. = b. = b. = b. b = b = 7 Portanto, t M(t) = ) E M(t) = t. 7 t M(t) = 7. Para t = r() = π., r() = π. r() = 6 π Volume de horas de vazamento: 6 V = π., π 6 V = π., π V = 6., V =8 m Para t = 9 r(9) = π. 9, 6

17 r(9) = π. r(9) = 9 π Volume de 9 horas de vazamento: 9 V 9 = π., π 9 V 9 = π., π V 9 = 8., V 9 =, m 6) A Portanto, o volume do óleo que vazou no intervalo de a 9 horas foi: V 9 V =, 8 =, m. Q =,t + 6 Q =,t + 6 =,t + 6 =,t + 6 =,t + 6 = 9,t + 6 = =,t,t = 7 7 t =, t = meses. 6) A 6) B Temos que:, l =,. m =,.. 9 mm, l =,. 6 mm Cada mm possui milhões de glóbulos vermelhos, ou seja,. 6 glóbulos vermelhos.. 6.,. 6 =,. glóbulos vermelhos em uma pessoa de 7 kg. Assim,,. =,. = α. k. Logo, α., e k =. Daí, α + k =, + =,. Porcentagem do nível de glicose na corrente sanguínea: =,6 = 6 % 9 Logo, após uma hora de tratamento, houve uma queda de: % 6% = 9% Portanto, após uma hora de tratamento houve uma queda superior a 6%