Matemática A Superintensivo

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1 Matemática A Superintensivo Eercícios 0) a) é elemento de A A. b) não é elemento de B B. c) 0 não é elemento de C 0 C. d) Todo elemento de B é elemento de A B A. e) B e C B C. f) O conjunto A contém os elementos de B A B g) O conjunto C não possui todos os elementos de B C B. h) Todo elemento de A é um número ímpar A {/ é ímpar.}. i) Todo elemento de B é um número primo B {/ é primo.}. j) C e não é par C {/ é par.}. k) O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto C l) B e {, } B {, }. 0) a) 7 é elemento de A 7 A. b) não é elemento de B B. c) B e A B A. d) A e 7 A {, 7} A. e) {} é um subconjunto de B {} B. f) {, } é um elemento de B {, } B. g) {} é um elemento de A e é um subconjunto de A {} A e {} A. h) {} A {{}} A. i) B e {, } B {; {, }} B. j) O conjunto {, 7,,, } não possui todos os elementos de A {, 7,,, } A. 0) 6 0. Falsa. 6 é elemento de E. 0. Verdadeira. {} é elemento de E. 0. Verdadeira. 6 é elemento de E, logo {6} E. 08. Verdadeira. {} é elemento de E, logo {{}} E. 6. Verdadeira. é elemento de E.. Verdadeira. {} é elemento de E. 6. Falsa. {{}} é subconjunto de E. 0) C I. Falsa. não é elemento de U. II. Verdadeira. III.Verdadeira. IV.Falsa. A intersecção de dois conjuntos tem por resposta um conjunto. 0) A = {0,,,...} B = {,,,...} C = {, 6, 8, 0} D = {,, 7} E = {, 8} a) A B = {0,,,,,,...} b) A B = c) C D = {,,, 6, 7, 8, 0} d) C E = {6, 0} e) D C = {,, 7} f) E C = {, 8} g) C E C = {6, 0} 06) 0 A = {0,,,,, 7} B = {0,,, 6,,, 7} A B = {0,,,, 7} 07) 99 n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = [n(b) + ] + n(b) 9 =. n(b) + 9 n(b) = 8 n(a) = n(b) + n(a) = 8 + n(a) = 99 08) C 09) B F 9 a b B P b + 0 = b = a + 0 = 6 a = Total: = 8 A B 0% % 7% % 8% % 8% C Somando-se as porcentagens dos diagramas, tem-se: 9%. 00% 9% 9. = 00. = 00

2 0) B ) A A B B B A A A B [n(b A), n(a B), n(a B)] PA (, + r, + r) n(a B) = n(a B) + n(b A) + n(a B) 6 r = ( + r) + () + ( + r) 6 = r r = Portanto: n(a B) = + r n(a B) = 7 B C (A B) C) (A B C) C B R ) a) N, Z, Q, R b) Z, Q, R c) N, Z, Q, R d) Q, R e) Q, R f) Q, R g) Q, R h) irracional, R i) irracional, R j) irracional, R ) D Falsa. π não é racional. Falsa.O número que é irracional não é racional. Verdadeira. ) 0 0. Correta. J + P + A = 90 (P J) + (A J) = 7 J + (7 + J) = 90 P + A = 7 + J J = J = 0. Incorreta. A diagonal de um quadrado de lado cm não é um número racional. 0. Incorreta. Os inversos multiplicativos dos números inteiros estão garantidos no conjunto dos racionais. 08. Incorreta. Os volumes de prismas e de um cilindro necessitam de números irracionais. 6. Incorreta. Se a cada dia você perde R$,00, então quanto você teria 6 dias atrás? ( 6). ( ) = 0 R$0,00. (A B C) 0. Verdadeira. A B A B = 0. Verdadeira. 0. Falsa. 08. Verdadeira. 6. Falsa. ) ,9 E( 99 ) = 7 log 7 =,00986 E(log 7) = sen o = 0,79866 E(sen o ) = 7 8 = 0,87 E 7 = 0 8 =, E( ) = y =.( 7 ) +.( ) ( ) 0 + y = 7 6) C f( π ) + f( ) f() = ( π ) + [( ) ] [. ()] = = π + = = π

3 7) f( + ) =. f() + f() a) = f( + ) =. f() + f() f() =. f() 6 =. f() f() = b) = f( + ) =. f() + f() f() =. f() + f() f() =. (6) + () f() = 8) 0 Observação: f() R e g() R 0. Correta. = ; R Df = Dg = R 0. Correta. 0) 0 g() = a + b g() = 7 g() = 7 a + b = 7 a + b = 7 a = 7 b = Incorreta. = ; Df = Dg = R + * g() = 7 g() =. () + 7 = ; f( ) = e g( ) = 08. Incorreta. Df = R + e Dg = R 6. Correta. f( ) R e g( ) = 9) f() = 6 Raiz: 6 = 0 = Gráfico: 6 y R ) E t = 0 R$860,00 t = 6 R$00,00 Seja P o preço e t o tempo. P = a. t + b 860 = a. 0 + b 00 = a. 6 + b b = 860 6a + b = a = a = 60 a = 60 Portanto o preço em função do tempo é dado por: P = 60. t t = P = 60. () P = 80 Após anos, o moinho valerá R$80,00. ) Seja: 0 N nível t tempo 0. Verdadeira. 0. Verdadeira. 0. Verdadeira. 08. Verdadeira. S =.6 = 9 u.a. 6. Falsa. a < 0 f é decrescente. Líquido I t = 0 N = 00 t = 0 N = 0 Líquido II t = 0 N = 80 t = 8 N = 0

4 ) A { ) E ) 00 = a. 0 + b 0 = a. 0 + b N = a. t + b 80 = a. 0 + b 0 = a. 8 + b b = 00 ; a = b = 80 ; a = N =. t + 00 N =. t + 80 l ll N = N l ll. t + 00 =. t + 80 t = C P De acordo com a proporcionalidade, tem-se: 00 0 = = = 0 = 6 0 { Para <, tem-se f() = Para, tem-se f() = ) C Para 0 t, obtém-se uma função do tipo: f(t) = a. t + b. Em que: f(0) = 60 e f() = 00 f(0) = 60 a. 0 + b = 60 b = 60 f() = 00 a. + b = 00 a = 0 Portanto: f(t) = 0. t t Para t, encontra-se: f(t) = a. t + b com f() = 00 e f() = 0 f() = 0 f() = 00 a + b = 0 a + b = 00 a = 0 b = 80 Portanto, para 0 t, tem-se: ft () = 0. t+ 60; 0 t f(t) = ft () = 0. t+ 80; t 7) A Pessoa normal f(t) = a. t + b f(0) = 70 e f() = 00 f(0) = 700 a. 0 + b = 70 b = 70 f(t) =. t V = V = 000 m Seja: 0 V volume remanescente t tempo % de 000 m 0 m V = t a) V = 0 0 = t t = 0 h b) t = V = V = 00 m Atleta f(t) = 0. t + 60 para 0 t <. Igualando as funções, obtém-se: f(t) = f(t) 0. t + 60 =. t t + 0 =. t + 0. t = 0 t = 0,8 segundos 8) a) Até as h, foram vendidos 60 kg por R$7,00. Logo, 7 = R$,0 por kg. 60

5 Após as h, foram vendidos 0 kg (80 60) por R$8,00 (90 7). Logo, 8 = R$0,90 por kg. 0 De R$,0 para R$0,90, houve uma redução de %. b) Valor arrecadado sem redução 80.,0 R$96,00 Valor arrecadado com redução (60.,0) + (0. 0,9) = R$90, % 6 % 96. = 600 = 6,% 9) 0. Verdadeira. a = > 0 0. Verdadeira. f() = = 0 = = 6 0. Verdadeira. f(0) = f(0) = 08. Verdadeira. V = b a V = ( 8 ).( ) V = f() = () 8. () + f() = V(, ) 6. Verdadeira c = a b + c = b + c = 0 a = b = 6 c = f() = a + b + c f() = 6 f() =. () 6. () f() = ou f() = a. ( '). ( ") f() = a. ( + ). ( ) f(0) = a. (0 + ). (0 ) = a = f() =. ( + ). ( ) f() = 6 f() = ) C L() = R() C() L() = (60 ) (0 + 00) L() = lucro máimo 0 L I. Correta. f(0) = 0 II. Correta. Ver gráfico. III. Incorreta. O lucro máimo ocorre para =. IV. Correta. f(0) = 00 S =. S = 8 0) f() = a + b + c f(0) = f( ) = 0 f() = 0 ) A Função custo C(q) = a. q + b Em que: C(0) = 000 e C(0) = 0000 C(0) = 000 C(0) = b = 000 0a + b= 0000 a = 00 b = 000 C(q) = 00. q + 000

6 6 Função receita R(q) = a. (q ). (q ) Em que: = 0 = 00 R(0) = 0000 R(q) = a. (q 0). (q 00) R(0) = a. (0). ( 0) = 0000 a = R(q) =. (q 0). (q 00) R(q) = q + 000q L(q) = R(q) C(q) L(q) = (. q + 000q) (00q + 000) L(q) = q + 800q 000 ) O gráfico de p(t) = 00. t + 0,. t é: p V = reais b) f() = () 0. () f() = 790 reais ) D y = = + y z = + y z = ( + y) + y z = + y + y + y z = + y + y 6) A z V = Δ a z V = ( 6 ). z V = t y =. (0 ) y = 0 a) Para 0 p 00, tem-se 0 t 0. b) f(t) = 8 8 = 00. t = 0,. t t 0. t + = 0 t ' = 6 tempo mínimo t" = ) Seja a quantidade de reais de desconto e F o faturamento. UNIDADES VALOR FATURAMENTO = = = = O faturamento em função de é dado por: F() = (0 ). ( ) F() = a) V = b a V = 60.( 0).. 7) E Área do trapézio S = ( B + b). h = 0 Em que: B = f( k) = k b = f( k) = k h = k k = k ( k + k ). k = 0. k. k = 0 k = 6 k =

7 7 8) B Como f() é uma função ímpar, então: f( ) = f() 9) B I. Falsa. {0} S, e não {0} S. II. Falsa. S, Logo S T U. III.Falsa. n(s) > n(t). IV.Verdadeira. n(s) > n(t). 0) A Todo contradomínio é imagem, e f( ) = f(). ) A g é sobrejetora, e não injetora; e h é injetora, e não sobrejetora. ) Verdadeira. Para f ser injetora, deve-se ter m n. Verdadeira. Para f ser sobrejetora, precisa-se ter m n. Verdadeira. Para f ser bijetora, deve-se ter m = n. Falsa. Seja A = {,, }, B = {,, 6} e f: A B bijetora. n(a) = ; n(b) = ; n(a. B) = 9 f = {(, ); (, ); (, 6)} n(f) = f: A B A 6 B Verdadeira. O número de funções bijetoras de A em B é dado por: A m n = m! ( m n)! Como m = n, então: A m n A m n = m! 0! = m! ) f() = g() = a) fog() = b) gof() = ( ) ( ) gof() = gof() = + c) fof() = ( ) fof() = 6 d) gog() = ( ). ( ) gog() = gog() = ) E g() = 6. () g() = 9 fog() = f(g()) fog() = f(9) fog() =. (9) + fog() = 89 ) f() = + f(g()) = + f(g()) =. g() + = +. g() = g() = g(8) = ( 8) g(8) = 8 6) 0 f() = g() = A = { R/gof() = } gof() =. =. = = 8 = 8 = 9 = ± e = 8 = 7 R A = {, } 7) f() = f() = () f() = g() = f( + ) f( + ) g(f()) = g() g(f()) = f(7) f(6) g(f()) = (7 ) (6 ) g(f()) = 7 6 g(f()) = (7 6). (7. 6) g(f()) = 8) f() = a + b e a < 0 f() = a + b = b = a f() = a + b f(f()) = f(a + b) = a. (a + b) + b = a + ab + b = a + a. ( a) + ( a) = a + a a + a = a a + = 0 a + a = 0 a = + ou a = a = (Não serve.) a = b= a b =. ( ) b = f() = a + b

8 8 f() = + + = 0 = 9) B f() = + f(g()) = f(g()) =. g() = g() = g() = + + 0) a) f() = = y y = + f () = + b) g() = = y + = y g () = + c) h() = h () = d) t() = a = b = g() = + g () = f(g ()) = f = = sen π. = = sen π = = ) q = p + p q [, 9] a) q = p + p p + p = q + p + p + = q + + (p + ) = q + b) ( p + ) = q + p + = q + Como p > 0, então p + > 0. p + = q + p = + q + t () = 7 ) E f() = m f () = (, ) f (, ) f f() = f() = =.( ) m 0 = 6 m m = ) C g() = a + b f() = sen π. (0, ) = a. (0) + b, 0 0 = a. + b ) a) 6 > 8 > 7 b). ( ) c) ( ) < 6 + < 7 0 < 7 <

9 9 d) < ) m + > 00 m > 76 m > 09, 8 m > m 8m + 00 > 0 m m > 90 m < +096,7 09, ,7 Números inteiros entre 09, e 096,7 é 096. A soma dos algarismos: = 6. 6) D e Portanto:. Números inteiros: e 7) a) 6 + < < < b) > < ou > c) > S = { R/ } d) S = {} 8) y = + k + k Δ > 0 (k). (). (k) > 0 k 6k > 0 k k > k < 0 ou k > 9) A Se > 7, então 7 > 0. Se <, então + < 0. Portanto: ( + ). ( 7) < 0. 60) A.( ) + 0 f() = ( ) f() = g() = S = [, 0) (, + ) 6) 9 f() = + g() = + 0. Verdadeira. + f = f g f/g

10 0 + f = f = +. f = + f = f() 0. Verdadeira. fog() = ( + ) + ( + ) fog() = + + fog() = + + Domínio de fog() + 0 D = R { } 0. Falsa. f() = + f() = g(f()) = g() g(f()) =. () + g(f()) = Verdadeira. g() = + = y + y = g () = 6. Verdadeira. g() = + y = 0 0 = + =, 0 g. Verdadeira. f() > 0 + > f() = f() = + + < ou > 6).( ).( ).( ) ( ). ( 0) 8 9, 6, 6, O menor inteiro no intervalo é 6. 6) 0 A = { R/ } 0. Incorreta. < 9 9 < Correta / [, ], 0. Correta. ( 8) = S = = 8 S = A 08. Correta. = 8 + = 8 + = f g f/g

11 ou = 8 y = = S =, A 6. Correta. y = + y = + 6) D 9 < > 0 [, ]. Incorreta. A = [, ] < B = { R/ < } + + y = 66) A = 8 y + = y + = y + 9 y = 9 y = 9 y = 9 y = y + 9 y = y 6 y = 6 = y + =. 6 + = S = {(, 6)} t 7t + 6 = 0 Raízes: t' = e t'' = 6 67) E f() = + f(a) =. f(b) a + =. b + a + = b + a + = b + a b = a b = = 7 = = = E = E = ( ) E = E = 8 6) D + y = + y = + y = = = = y = y = = 68) = = 77. = 77 = = 69) a) = 7 7. ( ) = = = = 7 7 = 7 = S = {} + b) + = 07

12 . + 9 = = 07. = 7 = = S = { } = 07 70) +. + =... = 0 ( = y) y y = 0 y 6y 6 = 0 y = = R y = 8 = = S = {} 7) D + + = 7.. = = = = = = S = { } 7) 0 = = 0 = = = ± 7) D 8 < n + < 8 < n + < 7 < n + < 7 < n < 6 < n < Números inteiros: {, 0,, } Soma: ( ) + (0) + () + () = 7). 0 ( ). ( ) 0 0 = y y y y e y 8 e R e Valor máimo: = 7) log b log a = log b = a = b a a b = 8 76) log ( ) ( 7 + 7) = 0 ( ) 0 = = = 0 = = (Não serve.) S = 77) log ( + ) + log ( ) = log 8 log ( + ). ( ) = log 8 + = = 0 = = 6 (Não serve.) S = {} 78) E log ( + ) = + log log ( + ) log = log + = = + = + 6 = 6 = (Não serve.) S = 79) C log n n! = = log (. ).(. ).(. ).(. )...( n. ) n! =

13 = log ( n ).( ) n! = = log ( n!). ( n!) n = log (n ) = n 80) B log + log + log log 9 = 0 = log = log = log = 0 0 8) D log ( ) + log ( 7) = log ( ). ( 7) = = = 0 + = 0 = = (Não serve.) S = {} e = 9 7. (7 ) = = 9 7 = 9 = S = {} Soma: + = 8) log a = log a. y = log a (. y) = = a. (log a +. log a y) = =. ( +. 6) = = e log y = loga y = log loga y = log a y = 6 8) D w = log v u = 0 w = = log v v = 0,0 u = 0 w = = = log v v = 0 u = 0 w = = log v v = ) N = ( 0, 8) t a) N = 0 N = + 0.( 0, 8) N = 0 0 N = b) N = = ( 0, 8) t. [ + 0. (0,8) t ] = (0,8) t = t 8 00 ln 8 00 t = 0 t = = ln 0 t. ( ln 8 ln 00) = ln ln 0 t. ( ln ln ln ) = ln ln ln t. (.,. 0,7.,6) =,. 0,7,6 t. (,,,) =,,,6 t. ( 0,) =,9 t = 9 t = 9, 9 anos e meio 8) a) o ano: 000.,08 = 960,00 o ano: 960.,08 = 996,80 R$996,80 b) C = 000,00 o ano: montante =,08. C o ano: M = (,08). C o ano: M = (,08). C n-ésimo ano: M = (,08) n. C M =. C. C = (,08) n. C (,08) n = log (,08) n = log n. log 08 = log 00

14 n. (log 08 log 00) = log n. (log. ) = log n. (. log +. log ) = log n. (. 0,0 +. 0,77 ) = 0,0 n. (0,60 +, ) = 0,0 n. (0,0) = 0,0 n 9, anos Para ter-se o montante maior que o dobro do capital, deve-se aplicar por 0 anos.