FUNÇÕES. Módulo 3. Mottola 1. APRESENTAÇÃO

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1 Módulo 3 FUNÇÕES 1. APRESENTAÇÃO A todo o momento estamos usando funções, eponenciais, logaritmos, matrizes, progressões, trigonometria, geometria, probabilidades, estatística, etc. Não com estes nomes, mas de forma inconsciente e, na maioria das vezes, desordenadamente. A primeira vez que alguém organizou um pensamento, estabeleceu uma função. Certamente fez uma associação: fome com caça, frio com abrigo, rugido com perigo, etc. O conceito de função é muito simples. Função não é nada mais do que uma especial associação de elementos. Quando contamos estamos estabelecendo uma função. A cada objeto associamos um número natural EXEMPLO: Um celular custa R$ 100,00. É vendido com uma entrada de reais e duas prestações de reais. a) Qual é o valor da prestação? tabela diagrama 39

2 (prestação) (entrada) gráfico b) Qual o conjunto de todos os valores possíveis para entradas (domínio)? c) Qual o conjunto de todos os valores possíveis para prestações (imagem)? d) Qual a relação que há entre e (lei)? Obs.: Para cada entrada há um e só um valor possível para a prestação.. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Sejam A e B conjuntos. Função f de A em B, representada por f: A B, é toda associação de elementos de A a elementos de B, tal que a todo A está associado SOMENTE UM B. 40

3 Obs.: 1) O elemento associado a é chamado de imagem de e representado por f(). O conjunto de todas as imagens dos é chamado de Imagem da Função. ) O conjunto A é chamado de conjunto de partida ou domínio da função. O conjunto B é chamado de conjunto de chegada da função. 3) Não podem ocorrer as situações: A B A B a 1 a 1 a) b b) c b 3 (ter A sem imagem) (ter algum A com mais de uma imagem) EXERCÍCIO: Seja f: R R definida por f()=. a) Esboçar o gráfico da f b) Determinar os conjuntos de partida, de chegada, o domínio e a imagem da f. Conjunto de Partida: Conjunto de chegada: Domínio: Imagem: c) Calcular f(1) + f(0) + f(f(-)) 41

4 4. FUNÇÃO IDENTIDADE A Função Identidade é a função número 1 das funções. É definida por: f: R R, f()= Obs.: A imagem de um elemento é idêntica a ele: função identidade FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO Função valor absoluto ou modular á a função definida por f: R R, f()=

5 6. FUNÇÃO COMPOSTA Além do significado de dependência, uma função pode significar uma ação, como na pergunta qual a tua função nesta empresa?. Quando se tem f()=, está se descrevendo o que ocorre com a variável, que é multiplicada por. A função da f é multiplicar por. A mesma função poderia ser descrita por f(u)=u, f(t)=t, f(v)=v, ou seja, a letra para representar a variável não importa. O que interessa é a ação de multiplicar a variável por. Pode-se colocar duas funções para agirem juntas, obtendo-se uma nova ação, a ação composta da f com a g. Os dois funcionários da empresa agindo juntos, cada um eercendo a sua função, gerará uma nova função eercida pela dupla. EXEMPLO: Seja f: R R, definida por f() = e g: R R, definida por g() =. A função da f é multiplicar por e a da g é elevar ao quadrado. Em f(g()), a primeira a agir com é a g. g f R R R Em geral: g f Determinamos a lei da composta da seguinte forma: f(g()) = f( ) = Aqui a variável é g f 43

6 A função definida por f(g()), é chamada de função composta da f com a g e representada por fog. EXERCÍCIOS: 1) Com uma calculadora, para obter o valor de +1 operações a serem realizadas? 3 para =1,3, qual a sequência de ) Sejam f e g definidas por f()=/ e g(u)=u 3, todas com variáveis reais. Determinar (fog)(s). 7. FUNÇÕES INJETORAS, SOBREJETORAS, BIJETORAS Seja f : A B uma função. f é INJETORA quando elementos diferentes possuem imagens diferentes. f é SOBREJETORA quando a sua imagem é o conjunto de chegada B. f é BIJETORA quando f é INJETORA e SOBREJETORA. Obs.: (1) No diagrama de funções injetoras não podem duas flechas chegar em um mesmo : A B 1 a b Não injetora 44

7 () No diagrama de funções sobrejetoras não pode ter B sem nele chegar uma flecha: A B 1 a B={a, b, c} b Im(f)={a, b} c Injetora e Não sobrejetora (Imagem B) 8. FUNÇÃO INVERSA Se uma função é bijetora, invertendo-se os pares temos uma nova função. A B B A f f Esta nova função é chamada de FUNÇÃO INVERSA da f e é representada por f -1. Se f é definida pelo conjunto {(, )/=f()}, então f -1 é definida pelo conjunto {(, )/=f()}. 9. DETERMINAÇÃO DA INVERSA Qual a inversa da função =? O contrário de multiplicar por é dividir por. Logo, f -1 ()=/. Como na inversa os pares ordenados são invertidos, temos o algoritmo para determinar a inversa de uma função definida por =f(): ( 1º) permutar e ( º) isolar EXEMPLO: 1 Vamos determinar a inversa da f definida por f ( ). 3 45

8 Obs.: Os pontos (, ) e (, ) sempre são simétricos em relação a reta =. 1 1 Assim, os gráficos da f e da f -1 são simétrico em relação ao gráfico da função identidade. EXERCÍCIO: Qual o gráfico da função inversa da f representada no gráfico? f = 10. TRANSFORMAÇÕES DE GRÁFICOS Dada uma função definida por = epressão com vamos verificar o que corre com o seu gráfico quando alteramos a epressão com. Ao fazer esta alteração, obtemos uma nova função. Vamos denominar a função original f de função mãe e a nova função de função filha e também apresentar as transformações através de eemplos. = +1 =- = = -1 = =(+1) 1 =(-1) =(-) = 46

9 a) ALTERAÇÕES NA VARIÁVEL Y Em =f(), podemos somar ou subtrair um número de toda a epressão f(), bem como trocar o sinal e colocar módulo em toda a epressão f(). Ao fazer isto, estamos alterando a variável, pois é f(). (1) Somar 1 a toda epressão f() Como =f(), soma-se 1 a. +1 Função modificada Função original Desta forma, todo o gráfico é deslocado 1 unidade para cima. () Subtrair 1 de toda epressão f() De forma análoga, o gráfico da f é deslocado 1 unidade para baio. (3) Trocar o sinal de toda a epressão f() Como =f(), troca-se o sinal de. Função original - Função modificada Desta forma, o eio Y gira de 180 e o gráfico acompanha. 47

10 (4) Colocar módulo em toda a epressão f() Como =f(), coloca-se módulo em. Assim, as imagens negativas ficam positivas. Giram em torno do eio X =f() Pontos com negativo = f() Desta forma, a parte com negativo gira 180 em torno do eio X. b) ALTERAÇÕES NA VARIÁVEL X (1) Substituir por + 1. Considere a função definida por =. A imagem de = é 4. 4 Na função definida por =(+1), a mesma imagem 4 é obtida para =1, ou seja, em um afastamento uma unidade à esquerda. =(+1) 4 = -1 1 Desta forma, quando substituímos por +1, o gráfico é deslocado uma unidade para a esquerda. 48

11 () Substituir por - 1. De forma análoga, o gráfico da f é deslocado 1 unidade para a direita. (3) Substituir por - Considere a função definida por =. A imagem de = é 4. 4 Na função definida por =(-), a mesma imagem 4 é obtida para =-. =- = 4 - Desta forma, o eio X gira de 180 e o gráfico acompanha. 49

12 (4) Substituir por Considere a função definida por f()=+1. f(-1)=-1 e f(1)= Na função definida por f()= +1, a imagem de 1 e de -1 são iguais, valendo 3. Desta forma, as imagens de ± passam a ser iguais. A parte do gráfico com negativo é substituída por outra de forma que ocorra uma simetria em relação à Y Ao substituir por, os pontos com negativo são apagados. Completa-se o gráfico de forma que fique simétrico em relação à Y. 50

13 RESUMO: Seja =f() uma função e a um número positivo. (1) f(+a) Desloca o gráfico da f a unidades para a... () f(-a) Desloca o gráfico da f a unidades para a... (3) f() + a Desloca o gráfico da f a unidades para... (4) f() - a Desloca o gráfico da f a unidades para... (5) - f() Gira 180 o eio... (6) f(-) Gira 180 o eio... (7) f() Parte nos quadrantes de baio:... (8) f( ) Pontos com negativo:... Completa o gráfico de forma que a função fique:... EXERCÍCIOS: 1) A função do gráfico é definida por f()=sen(). Esboçar os gráficos da função g definida em cada item. a ) g() = f(-) = sen(-) b) g() = f() = sen() 51

14 ) Partindo da função mãe definida por f()=, esboçar o gráfico da função h()=- +1. f()= g()=-f()=- h()=g()+1=- +1 Mãe Filha Neta EXERCÍCIO: Determinar um valor aproima da raiz reais da equação (-1) 3 + = 0. IMPORTANTE: As raízes reais da equação f()=g() são as abscissas dos pontos onde os gráficos das funções f e g se interceptam. 5

15 Eercícios Obrigatórios 1) (PUC) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por f(t) = 50 (t +t), 0 t 4 00 (t+1), 4 t 8. (a) 40 (b) 00 (c) 1000 (d) 100 (e) 00 O número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho é ) (UFRGS) Se a função f : R * R é tal que f() = então f() é (a) (b) 1 (c) 4 1 (d) (e) 3) (UFRGS) Um reservatório tem capacidade para 1000 litros de água e está, inicialmente, vazio quando é aberta uma torneira que libera água numa vazão constante e igual a litros por hora. Considere o tempo, em horas, necessário para encher de água o reservatório. A epressão matemática que epressa em função de é (a) = (b) = (c) = 1000/ (d) = /1000 (e) =

16 4) (UFRGS/014) O gráfico abaio mostra o registro das temperaturas máimas e mínimas em uma cidade, nos 1 dias do mês de setembro de 013. Assinale a alternativa correta com base nos dados apresentados no gráfico. (a) No dia 13, foi registrada a menor temperatura mínima do período. (b) Entre os dias 3 e 7, as temperaturas máimas foram aumentando dia a dia. (c) Entre os dias 13 e 19, as temperaturas mínimas diminuíram dia a dia. (d) No dia 19, foi registrada a menir temperatura máima do período. (e) No dia 19, foi registrada a menor temperatura do período. 5) (UFRGS/013) A interseção dos gráficos das funções f e g definidas por f()= e g()=1-, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é (a) 0,15. (b) 0,5. (c) 0,5. (d) 1. (e). 6) (CESCEM) Dada a função f(n) definida para todo n inteiro e sabendo-se que f(0) = 1 e f(n +1) = f(n) +, o valor f(00) é (a) 01 (b) 401 (c) (00) + 1 (d) (e) não há dados suficientes para seu cálculo. 54

17 7) (UFRGS/014) Considere as funções f e g, definidas por f() = 4 e g() = f() +. Representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f intercepta o eio das ordenadas no ponto A e o eio das abscissas no B, enquanto a função g intercepta o eio das ordenadas no ponto D e o eio das abscissas no ponto C. A área do polígono ABCD é (a) 4,5. (b) 5,5. (c) 6,5. (d) 7,5. (e) 8,5. 8) (UFRGS) Uma das dimensões de um certo retângulo é o dobro da outra. A epressão algébrica da área A, desse retângulo, em função do seu perímetro P, é p (a). 18 (b) p. (b) (c) (e) 9 p. 6 p. 4 p. 9) A lei que define a inversa da função bijetora definida por f() = /3-1 é (a) f -1 () = 3/ + 3/ (b) f -1 () = 3/ + 1 (c) f -1 () = 3/ - 1 (d) f -1 () = 3/ - 3/ (e) f -1 () = -3/ + 3/ 55

18 10) (UFRGS) O gráfico abaio apresenta o resultado de uma prova objetiva, sendo o percentual de candidatos que tirou a nota. O número total de candidatos inscritos foi de e o número de ausentes foi de Considere as seguintes afirmativas a respeito do gráfico: I candidatos tiraram nota 60. II - 30 foi a nota que apareceu com maior frequência. III - 0,5 % dos candidatos apresentaram notas de 60 para cima. Estão corretas as afirmativas: (a) Apenas I (b) Apenas I e II (c) Apenas II e III (d) Apenas I e III (e) I, II e III ) (UFRGS) O gráfico representa a função = f() O conjunto { R / f() < 0} é igual a (a) (1,3) (b) (-, -1) (1,3) (c) (-, -1) (3, + ) (d) (-, 0) (e) (-, 0) 56

19 1) (UFRGS) O produto de duas variáveis e, é uma constante. Portanto, dentre os gráficos abaio, o único que pode representar essa relação é (a) (b) (c) (d) (e) 13) (UFRGS) Considerando a função definida por f ( ) 1, assinale, entre os gráficos apresentados nas alternativas, aquele que pode representar f. 57

20 14) (UFRGS) Para cada número real, tal que 0 3, definimos a função f tal que f() = A(), sendo A() a área da superfície sombreada dos retângulos d figura abaio, limitada pelos eios coordenados e pela reta vertical de abscissa. (a) 0 1 (b) 1 (c) 1 3 (c) (e) 3 Então, f() 5 se e somente se 15) (UFRGS) O consumo de energia elétrica de um eletrodoméstico é diretamente proporcional ao tempo que ele fica ligado. Sabendo-se que um televisor consome 150 watts de energia por hora de uso, o gráfico que melhor epressa o consumo de energia em watts/h em função do tempo, em horas, em que a TV permanece ligada é (a) (b) (c) (d) (e)

21 0,9, se0 0 16) Considere a função f definida por f ( ) 18, se 0 em que representa a quantidade ingerida de um certo composto em mg/dia e f() a absorção pelo organismo em mg/dia. Nessas condições, assinale a alternativa correta. (a) Para o organismo absorver 7mg/dia o indivíduo deve ingerir mais do que 5mg/dia e menos do que 6mg/dia desse composto. (b) Para ingestões acima de 0mg/dia desse composto, quanto maior a ingestão, maior a porcentagem absorvida. (c) A razão entre a quantidade ingerida e a quantidade absorvida desse composto é constante. (d) Para ingestões de até 0mg/dia desse composto, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. (e) A absorção resultante da ingestão de 0mg/dia desse composto é diferente da absorção resultante da ingestão de 30mg/dia desse composto. 17) (UFB) O gráfico da função inversa de é -1 (a) (b) (c) (d) (e) 59

22 18) (UFRGS-016) Um recipiente tem a forma de um cone com o vértice para baio, como na figura a seguir. Para encher de água esse recipiente, será aberta uma torneira com vazão constante de água. Assinale o gráfico abaio que melhor representa a altura que a água atinge, no recipiente, em função do tempo. 60

23 19) (UFRGS/013) Se é o gráfico da função definida por =f(), então, das alternativas abaio, a que pode representar o gráfico da função z, definida por z= f(), é 0) (UFRGS) A equação = 0 possui (a) somente uma raiz positiva. (b) eatamente duas raízes positivas. (c) três raízes positivas. (d) nenhuma raiz positiva. (e) nenhuma raiz real. 61

24 RESPOSTAS 1) B ) C 3) C 4) E 5) C 6) B 7) E 8) A 9) A 10) A 11) B 1) C 13) C 14) E 15) C 16) D 17) D 18) D 19) D 0) A 6