UFSC. Matemática (Amarela) Resposta: Correta. log (x + 2) log (x + 2) = Incorreta. 100% 23% = 77% Logo, V = 0,77. V 0.

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1 Resposta: 6 0. Incorreta. 00% 3% = 77% Logo, V = 0,77. V 0 0. Correta. f(x) = x + 3 Para x > : f(x) = x + 3 f(x) = x (crescente) 04. Incorreta. 4 x x + 3 = 7 ( x ) x. 3 = 8 x = a a 8a 8 = 0 a = 6 x = 6 x = 4 a = 8 x = 8 (não convém) S = {4} 08. Correta. log (x + ) log (x + ) = log (x + ) log (x + ) = log log (x + ) log (x + ) = log log (x + ) log(x + ) = log log (x + ) (x + ) = log log (x + ) = log (x + ) = (x + ) = x + = x = 3 (número primo) 6. Correta. f(x) = x g(x) = log x log ( fog)( x) = (fog)(x) = x (fog)() = x Obs: a composta de uma função inversa sempre será a função identidade y = x, logo (fog)(x) = x.

2 Resposta: Correta. A = {z C; z = } z = a + bi a + bi = ( a) b (a ) + b = (equação reduzida da circunferência) Centro (; 0) e raio 0. Correta. x 3 + ax + b = 0 Relações de Girard: + ( ) + x = 0 x = ( ). ( ) + ( ). + ( ). = a a = 3 ( ). ( ). = b b = logo: a. b = Incorreta. p(x) = x + x Incorreta. f(x) =. f(x ) e f() = 3 Para x = : f() =. f( ) f() =. f() f() =. 3 f() = Para x = 3: f(3) =. f(3 ) f(3) =. f() f(3) =. f(3) = 7 6. Incorreta. f(x) = x x Estudo dos sinais q(x) = [p(x)] + p(x) 3 q(x) = [x + x 3] + (x + x 3) 3 q(x) = x 4 + 4x 3 x x x + 4x 6 3 q(x) = x 4 + 4x 3 8x A soma das raízes é 4. Dm = {x R/x 0 ou x > }

3 Resposta: Correta. A. B = B. A mn 3m 4n m n 4 6 m n 6 m = 4 n = 0 m + n = Incorreta. (A + B). (A B) = A AB + BA B 08. Incorreta. det B = det A 6. Incorreta. O sistema é impossível e não tem solução. 3. Correta. Propriedade da matriz triangular. 0. Incorreta. det M = 4. ( ) det M = 4. ( ). ( ) det M = 4. ( ). ( 6) det M = 4 det M = 4

4 Resposta: 3 0. Correta. Podemos verificar que a alternativa é verdadeira por geometria, imaginando a e b como partes de um diâmetro (a + b) de uma circunferência. Observe que o triângulo ABC está inscrito numa semicircunferência. Logo, ABC é um triângulo retângulo com altura h. Das relações métricas no triângulo retângulo, temos que h = a. b, ou seja, h = a. b. Como foi dito que a < b, então o segmento CH terá média sempre menor que o raio da circunferência, logo: h < raio a. b < a + b

5 0. Incorreta. O oitavo termo de qualquer sequência é igual à soma dos oito primeiros termos da sequência menos a soma dos sete primeiros termos da sequência: a 8 = S 8 S 7 a 8 = (8 3. 8) (7 3. 7) = 40 8 = 04. Correta. x 3x 0 9 x Sejam N(x) = x 3x + e D(x) = 9 x. Estudando os sinais dessas funções, temos: Logo, Nx ( ) Dx ( ) será positivo ou igual a zero no intervalo aberto e limitado 3 < x < Correta. Já que a circunferência dada é trigonométrica, seu raio mede QO =. Por trigonometria no triângulo retângulo, PQO temos: o CO x tg 60 = 3 x 3 CA o CA cos 60 = y Hip y Logo, o perímetro de PQO será: p = x + y + = = u.c. 6. Incorreta.

6 Resposta: 0 0. Incorreta. Volume total da piscina: V = (00 dm). (0 dm). (30 dm) = dm 3 ou litros. Logo, faltam litros para completar a piscina. 0. Correta. V = a 3 6 = a 3 a = 6 dm Área lateral = 4. a = 4. 6 = 44 dm 04. Incorreta. A altura, o apótema da base e o apótema da pirâmide formam um triângulo retângulo, logo: (x + 3) = (x + ) + (x ) x + 6x + 9 = x + 4x x 0x + x x + 0 = 0 x = x = 0 não pode, pois o apótema da base seria negativo OK 08. Correta. V = πr. H H = V πr Área lateral = A = πr. H = πr. V πr A = V R

7 Resposta: 4 0. Incorreta. Seja o conjunto dos estados das Misses Brasil M = {C; G; P; R; S}. Como no primeiro sorteio foi sorteada do estado da Paraíba, temos um novo espaço amostral para o o sorteio: M' = {C; G; R; S}. Como queremos a probabilidade de ser da Região Sul do Brasil, os casos favoráveis são: Rio Grande do Sul ou Santa Catarina, portanto: PA ( ) = = = 0, = 0% 4

8 0. Correta. Usando apenas os algarismos A = {; 3; } é possível formar números de três algarismos, dois algarismos ou ainda um único algarismo (note que devem ser números distintos menores que 000, não que os algarismos devam ser distintos!). Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: Números com três algarismos: = 7 Números com dois algarismos: 3. 3 = 9 Números com um algarismo: 3 = 3 Total de números = Correta. Comissões formadas com políticos do partido A (sem separá-los): 3! = 6. Comissões formadas com políticos do partido B:! =. Comissões formadas com políticos do partido C (sem separá-los):! =. Dispondo os seis políticos em 3 blocos indissolúveis (A, B e C, nessa ordem): 6.. =. Podemos A B C ainda trocar a ordem dos partidos (mantendo agrupados os de mesmo partido) de 3! = 6 formas distintas. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem 6. = Correta. Os pontos A e B são os dois primeiros zeros que a função f(x) = sen(x) possui. Então: 0 = sen(x) sen(x) = sen(x) = Logo, x x" 6 6. Assim, os pontos A e B têm coordenadas A 6 ; 0 e B 6 ; 0, o que define o comprimen- 4 to do segmento AB u.c Incorreta. Se x é racional e y é irracional, queremos mostrar que (x + ). y não é racional. x Tomemos o contraexemplo: y, então: (x + ). y = ( + ). (x + ). y = que não é racional.

9 Resposta: Incorreta. 9x 36x + y + 0 y = 64 9(x 4x + 4) + (y + y + ) = (x ) + (y + ) = ( x ) ( y ) 9 Centro (, ) () + ( ) ( ) Incorreta. y = x + 3x 6 y m m m = ( 3) possui 4 divisores naturais

10 04. Correta. x y x x 3 x 4x6 x x y = a 0 a b 3 b y3. ( x0) y x3 08. Correta. (x ) + ( x + n) = x x + + x nx + n = 0 x + ( n)x + (n ) = 0 = 0 ( n) 4. (n ) = n + 4n 8n + 8 = 0 4n + 8n + = 0 n n 3 = 0 n' = 3 n" = 6. Incorreta. Não há como calcular a área. 3. Correta. x = 4y y = (x ) F(0, ) V = (, 0) P(, 3)

11 Resposta: Correta. M T = M + M + M 3 M T = 000 ( + i) + 000( + i) M T = 000. [( + i) + ( + i) + ] (i) Por outro lado, temos: a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) ( + i) 3 3 = ( + i ) [( + i) + ( + i). + ] ( + i) 3 = i. [( + i) + ( + i) + ] ( + i) 3 = ( + i) + ( + i) + (ii) i

12 Substituindo (ii) em (i): M = 000. T ( + i) 3 i 0. Incorreta. O Montante gerado pelo Capital no sistema de Juros Simples é mais vantajoso quando n <, em que: M J. simples > M J. composto 04. Incorreta. Sejam A não nulo e B = C = subconjuntos do universo U, temos: A (B C) = (A B) (A C) A ( ) = (A ) (A ) A = A A A = Absurdo, pois A é não vazio. 08. Correta. Receita = (Qte. de tubos). (Valor por tubo) R(x) = ( x). (0 3x) R(x) = 300x + 000x em que x corresponde à quantidade de R$3,00 concedida no desconto. b xv a xv xv 3 Então, como o valor por tubo é dado pela expressão (0 3x), temos: Valor por tubo = Valor por tubo = 0 0 = 40

13 Resposta: 6

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15 Resposta: 0. Incorreta. f(x) = sen(x). cos x cos(x). sen x f(x) = sen(x x) f(x) = sen(4x) f(x) = IM = [a A mp, a + A mp ] = [0, 0 + ] = [, ] Falsa, pois o valor mínimo de f(x) é. 0. Incorreta. Existem valores de x que anulam os denominadores de cosec x = Logo, não vale para todos os reais. sen x e de sec x = cos x. 04. Correta. Total = = 70 Ângulo do setor = o = 60 o 08. Correta. M = moda = A = {,,, 3, 4,,,, 6, 7} M = mediana = 4 + = 4, M 3 = média = = 4 6. Incorreta. { 6] = = 3. 3 =. 3 6 =