MATEMÁTICA ENEM 2009 PROF. MARCELO CÓSER.

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1 MATEMÁTICA ENEM 2009 PROF. MARCELO CÓSER

2 DESAFIO DO NOVO ENEM: Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.

3 01) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período compreendido entre 1997 e O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões: Debatedor 1 O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome. Debatedor 2 O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda. Debatedor 3 A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País. Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es): A) 1. B) 2. C) 3. D) 1 e 3. E) 2 e 3.

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5 02) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050: a) taxa de crescimento populacional da China será negativa. b) a população do Brasil duplicará. c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA. xd) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo. Taxa Taxa EUA ,41 41% ,47 47% 212 INDONESIA

6 03) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é: ATENÇÃO PARA A PERGUNTA! Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta analisar suas respectivas unidades. Produtividade no período Produção no período

7 O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção: 95 Produção (em t) Produtividade (em t/hectare) 1,5 Área Plantada (em hectare) Em 1995, a Produtividade foi de kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas toneladas de algodão, a área plantada foi de /1,5 = hectares ,5 2,5 2, Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare).

8 04) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é: a) 5,15 b) 5,45 c) 5,75 d) 6,00 e) 6,15 Notas Número de Alunos De zero até 5 12 Acima de 5, até 7 20 Acima de 7, até 10 8 M 12 2, , , 45

9 ATENÇÃO: nem toda média é aritmética. As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações. Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição. A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes. Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano. Número de visitas ao dentista por ano ou mais Número de pessoas

10 VARIAÇÃO PERCENTUAL FATOR DE VARIAÇÃO O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação. Exemplos: + 15% f = 1, % f = 3,34-23% f = 0,77 Ainda, a idéia de um fator decimal para porcentagem se mostra útil para equacionar problemas. Por exemplo, 23% de determinado valor corresponde a 0,23V.

11 05) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida? Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes. f JAN f f 1, 061, 05 f MAR FEV f MAR MAR 1, 15 1, 061, 05 3, 3% f TRIMESTRE 1, 15 1, 033

12 06) (CÓSER) No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média? Temos que duas variações acumuladas devem equivaler a uma variação de 21%. O fator de variação correspondente a um aumento de 21% é 1,21. Assim, dois fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 1,21. f f f 1,21 2 f 1,21 1, , % No exemplo dado anteriormente, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. O aumento mensal médio pode ser calculado por: f f f 1,20 1,25 1,45 f 3 2,175 f 3 2,175 1, ,56%

13 07) (ENEM) Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que: a) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades é insuficiente para cobrir os gastos adicionais. b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais. c) x a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais. d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas. e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas. AUMENTO CORRETO: 5% de 40% do gasto = 0,05 * 0,4 * G = 0,02G + 2%

14 Funções Lineares: problemas com variação constante. f(x) = ax + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y x

15 08) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A. A(x) = 0,25x + 50 B(x) = 40 para x 50. E para x > 50? (50; 40) Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b. Do enunciado, a B = 1,5. Assim, B(x) = 1,5x + b. (50, 40) B(x). Logo, 40 = 1,5 50 +b. Assim, b = = ,5x - 35 = 0,25x ,25x = 85 x = 68 minutos.

16 09) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 Xd) 450 e) 500 C(x) = 25x e R(x) = 45x. Um lucro de R$ implica R(x) - C(x) = x - (25x ) = x = x = 9000 x Lucro desejado + Custo fixo Lucro por bolsa CUIDADO! Raciocínios que envolvam Regra de 3 só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

17 10) A água de uma piscina cheia, com capacidade para litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação? Água pura Água com cloro Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, é incorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional à quantidade de cloro existente. Ou seja, a perda de cloro será menor durante a segunda hora; no entanto, seguirá a mesma proporção anterior. Uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro existente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais. 10 reduções de 10% Q = ,9 0,9 0,9 0,9 = ,9 10 = 348,68 g. Q(x) = ,9 x

18 11) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição: Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial. Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas? Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 0,5 0,5 0,5 = 7,5 mg Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas. Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5: f. f 0,5 f 2 0,5 f Q 0, , , ,42mg 0,707

19 Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área. f(x) = ax² + bx + c a > 0 a < 0 x V b ou 2a y V f x V x v R 1 R 2 2

20 Toda parábola possui um foco e uma diretriz: Uma propriedade particular das parábolas diz que raios perpendiculares à diretriz são refletidos e sempre passam pelo foco.

21 a) 45 e 45 Xb) 30 e 90 c) 36 e 72 d) 40 e 60 e) 20 e ) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, em metros, respectivamente: A(x, y) = x y 3x + y = 180 y = 180-3x A(x) = x (180-3x) x A V MÁX A 30 ou x V m 1ª) A(x) = 180x - 3x² a < 0: voltada para baixo Raízes: 180x - 3x² = 0 0 e 60 são as raízes. 2ª) A(x) = x (180-3x) a < 0: voltada para baixo Raízes: x = 0 ou 180-3x = 0 0 e 60 são as raízes

22 13) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente 20 N. 0,5t De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: F ( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. ( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas. ( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil. V F N t = N N ,5.0 N N N t = , ,89 N 1 1,9 2,9 t = 4 20 N N , ,8 1 0,19 1,19 N = ,5t 0,5t 0,5t ,5t ,5t 10 0 Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

23 N ,5t

24 Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes. x log 2 x Escala em PG Escala em PA

25 14) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal? a) 3 vezes b) 10 vezes c) 30 vezes Xd) vezes e) mais de vezes A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a = vezes a intensidade do som da conversação. Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

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29 15) (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 h b) 20h c) 25h d) 32h e) 36h Quito Cingapura Quito km km Cingapura 2 R km d , km t 25h km / h

30 DICA: Lembrar da razão de semelhança para área e volume em polígonos/sólidos semelhantes. ( COMP ) 2 GRANDE ÁREAGRANDE = COMPGRANDE VOLUMEGRANDE = COMPPEQUENO ÁREA COMP VOLUME PEQUENO ( ) 3 PEQUENO PEQUENO ARESTA ARESTA A REAGRANDE A REAPEQUENO GRANDE PEQUENO 2 VOLUMEGRANDE VOLUME PEQUENO Exemplo de questão: Um fazendeiro deseja dobrar a capacidade de irrigação na sua plantação. Para isso, decide dobrar o raio de cada cano. A solução é eficaz? Não, pois dobrando uma medida de comprimento quadruplica-se a área correspondente. Ele deveria multiplicar o raio por, já que

31 Matemática e suas Tecnologias Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem. Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo. Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade. Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas. Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.