Problema de Transportes

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1 Problema de Transportes O Problema de Transportes consiste em determinar as quantidades de um determinado produto que deverão ser tranportadas de m origens para n destinos, dadas as restrições de oferta máxima ( O i ) associadas a cada origem e as restrições de demanda ( D ) associadas a cada destino. Formalmente, pode ser equacionado como: j n m Min c ij x ij i= 1 j = 1 m s.a : x O i = 1, K m j = 1 n i= 1 x ij i, D j = 1, K ij j, x ij 0 i, j n Origem Destino m n Custo Unit. de Transp. ($/ton) D1 D2 D3 5,00 6,00 8,00 4,00 7,00 9,00 6,00 8,00 7,

2 Fase 1 - Inicialização Para obter uma solução inicial viável, deve-se realizar o equilíbrio entre a oferta total e a demanda total. No caso da demanda total ser maior que a oferta total, adiciona-se uma origem fictícia de modo a igualar oferta e demanda. No caso de ter sido acrescentado uma oferta fictícia, esta representará a falta de produto no mercado, e os transportes realizados a partir desta origem serão interpretados como uma demanda não atendida. No caso da oferta total ser maior, deverá ser acrescentado um destino fictício. Neste caso, quando for acrescentado uma demanda fictícia, os transportes realizados para este destino serão interpretados como um excesso de oferta não transportado. Nestes casos, os custos de transportes entre qualquer origem ou destino fictícios serão nulos, já que o transporte efetivamente não se realiza. Considerando que oferta e demanda são iguais, sempre haverá uma solução viável para o problema em de transportes.

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4 Fase 2 - Obtenção de uma solução inicial viável Existem diversos métodos que podem ser utilizados para obter uma solução inicial viável: todos eles, entretanto, fundamentam-se na máxima quantidade que poderá ser alocada em uma célula qualquer da matriz de transportes. Efetuada a alocação, elimina-se a linha (ou coluna) da matriz na qual se atingiu a oferta (demanda), e procede-se a escolha de uma outra célula para alocar, até que não existam mais sobras de oferta e demanda. Contudo os métodos se diferenciam em relação a escolha da célula. Existem três métodos que normalmente são apresentados na literatura: a) Método do Canto Noroeste b) Método do Custo Mínimo c) Método de Vogel ou das Penalidades

5 Método do Canto Noroeste: neste método, a célula escolhida para alocação é que se situa mais ao noroeste possível e que ainda dispõe de oferta e de demanda ,00

6 Método do Custo Mínimo: neste método, a célula escolhida é a de menor custo unitário de transporte, e que ainda dispõe de oferta e demanda ,00

7 Método de Vogel: consiste em atribuir a máxima quantidade de transporte na célula cuja penalidade pela sua não-escolha é máxima. Esta penalidade é associada a cada linha e coluna, e é estimada através da diferença entre os dois menores custos de cada linha e coluna. A linha ou coluna que possuir a maior penalidade será utlilizada para determinar a célula na qual a alocação será efetuada. Penal ,1 1,2,X 1,1 1,X - - Penal 5,1,3 4,3,X 6,1,1 1.5,00

8 Fase 3 - Otimização Step 0 Obtenha uma solução inicial. Para tanto, utilize um dos métodos citados anteriomente (Canto Noroeste, Custo Mínimo ou Vogel); Step 1 Determine valores dos u i e dos v j, de modo que para toda célula alocada seja satisfeita a condição c = c u v = 0. Para tanto, arbitre apenas um ij ij i j valor de u i ou v j. No caso de existirem menos que m + n 1 células alocadas, haverá necessidade de serem realizadas alocações com zeros explícitos para completar este número de células alocadas. Step 2 Determine, para cada célula não alocada, o valor cij = cij ui v j. Se todos os c ij forem positivos ou nulos, então PARE. A solução corrente é ótima. Em caso contrário determine a célula que possui o menor c. Assinale esta célula com o sinal. ij Partindo da célula já assinalada, busque, alternadamente, sobre linhas e colunas da matriz de alocações, células alocadas. Marque estas células, alternadamente, com sinais e, até retornar a primeira célula assinalada. Step 3 Determine a célula assinalada com que possui a menor alocação. Subtraia esta quantia de todas as células assinaladas com e adicione esta mesma

9 Vj quantia a todas células assinaladas com retorne ao passo , e Ui ,00 Ui Vj ,00

10 Ui Vj ,00 (Solução ótima)

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