Assim, podemos usar o método algébrico para resolver o problema. A função objetivo atingirá o máximo num dos vértices da região admissível.

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1 Página Programação Linear. Tem-se: Podemos então representar a região admissível assinalando os seus vértices: reta de nível zero não é paralela a nenhum dos lados do polígono que define a região admissível: 6 0 E ssim, podemos usar o método algébrico para resolver o problema. função objetivo atingirá o máimo num dos vértices da região admissível. região admissível tem cinco vértices:,, C, e E. C 8 9 Tem-se: Vértice Interseção das retas de equações Coordenadas 8 e 0 8,0 8 e 6 8, C 6 e 9, e 9 4, E 0 e 0, Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página

2 4 8 Calculando o valor da função objetivo, z, em cada um dos vértices da região admissível, vem: Vértice Função bjetivo: z 8 0 z 8 0 z 4 8 z 8 z 8 C z z 4 z 4 z 6 E 0 z 0 z 4 valor máimo que a função objetivo pode alcançar nesta região é. utra resolução, usando o método gráfico: equação da reta de nível zero é dada por. Consideremos a seguinte figura: Traçando retas paralelas à reta de nível zero, podemos determinar a solução ótima do problema: o vértice da região admissível que pertence à reta de nível mais elevado, ou seja, o vértice pertencente à reta com maior ordenada na origem que contém um ponto da região admissível. Reta de nível mais elevado Neste caso a solução ótima é atingida no vértice de coordenadas,. Solução ótima ssim, o valor máimo da função objetivo é: z z 4 8 Reta de nível zero Resposta: Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página

3 4 8. Tem-se que z. reta de nível zero é definida pela equação 0. Esta reta é paralela a um dos lados da região admissível, ao lado cujos etremos são os vértices, e,6 pois m 6. 6, Traçando retas paralelas à reta de nível zero, verifica-se que a reta de nível mais elevado (a reta com maior ordenada na origem que contém um ponto da região admissível) contém o segmento de reta. ssim todos os pares ordenados,, com, são soluções ótimas do problema. Logo, as soluções ótimas do problema são,6,,,,4 e,. 6 Reta de nível mais elevado 4 Reta de nível zero Resposta:. Comecemos por organizar a informação num quadro: Lotes Número de Lotes Número de Rosas Número de Gerberas Lucro (euros) Tipo I Tipo II Total função objetivo C, é o custo que se pretende minimizar: C, s restrições deste problema são: Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página

4 4 8 reta de nível zero não é paralela a nenhum dos lados do polígono que define a região admissível: ssim, podemos usar o método algébrico para resolver o problema. função objetivo atingirá o mínimo num dos vértices da região admissível. 60 C região admissível tem três vértices:,, e C. Tem-se: Vértice Interseção das retas de equações Função bjetivo: C, ,0 0 e C0, ,0 60 e C 0,60 0 e C40, C 0, Joana deverá adquirir 40 lotes do tipo I e 0 lotes do tipo II tendo um custo mínimo de 000 euros. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página 4

5 4 8 utra resolução, usando o método gráfico: 60 C Solução ótima 0 Reta de nível mais baio Reta de nível zero Traçando retas paralelas à reta de nível zero, podemos determinar a solução ótima do problema: o vértice da região admissível que pertence à reta de nível mais baio, ou seja, o vértice pertencente a reta com menor ordenada na origem que contém um ponto da região admissível. Neste caso a solução ótima é atingida no o vértice 40,0. ssim, o valor mínimo da função objetivo é C40, Joana deverá adquirir 40 lotes do tipo I e 0 lotes do tipo II tendo um custo mínimo de 000 euros. 4. Seja o número de roupeiros produzidos diariamente pela empresa e o número de cozinhas produzidas diariamente pela empresa. Como a empresa dispõe, diariamente, de pelo menos 0 horas de mão-de-obra e como cada roupeiro necessita de duas horas de mão-de-obra e cada cozinha de oito, tem-se 8 0. número de cozinhas produzidas diariamente não pode ser superior ao número de roupeiros produzidos diariamente. Portanto. número de total de cozinhas e roupeiros produzidos diariamente não pode ser superior a 90 e o número de roupeiros produzidos diariamente pode ser no máimo 6. ssim, 90 e 6. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página

6 Portanto, s restrições deste problema são: , 8, função objetivo L, é o lucro que se pretende maimizar: L, reta de nível zero não é paralela a nenhum dos lados do polígono que define a região admissível: ssim, podemos usar o método algébrico para resolver o problema. função objetivo atingirá o máimo num dos vértices da região admissível 4 C, , 8, região admissível tem quatro vértices:,, C e 40 Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página 6

7 Tem-se: Vértice Interseção das retas de equações Função bjetivo: 6, 6 e 0, 8, 6, 6 e 90 C 4,4 e 90, e 0, 8, 6, L, 00 0 L 6, , 8 L 6, L 4, L 6, empresa deverá produzir diariamente 4 roupeiros e 4 cozinhas tendo um lucro máimo de 40 euros. Usando o método gráfico, traçaríamos retas paralelas à reta de nível zero para determinar a solução ótima do problema: o vértice da região admissível que pertence à reta de nível mais elevado, ou seja, o vértice pertencente à reta com maior ordenada na origem que contém um ponto da região admissível. ssim, chegaríamos à conclusão que a solução ótima é atingida no vértice C 4,4. Portanto, o valor máimo da função objetivo é L4, Comecemos por organizar a informação num quadro: Pão Número de Quilogramas Trigo Centeio Milho Lucro (euros) Tipo 0,9 Tipo ,6 Total 0,9 0,6 6 função objetivo L, é o lucro que se pretende maimizar: L, 0,9 0,6. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página

8 s restrições deste problema são: reta de nível zero não é paralela a nenhum dos lados do polígono que define a região admissível: 0,9 0 0,9 0,6 0,6 0,9 0,6 ssim, podemos usar o método algébrico para resolver o problema. função objetivo atingirá o máimo num dos vértices da região admissível C região admissível tem quatro vértices:,, C e Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página 8

9 Tem-se: Vértice Interseção das retas de equações Função bjetivo: 60,0 0 e 0 4,0 e L, 00 0 L 60,0 0,9 60 0,6 0 4 L 4,0 0,9 4 0,6 0 8, C,60 e 0 60 L,60 0,9 0, , 0,0 0 e L0,0 0,9 0 0,6 0 4 padaria deverá produzir diariamente 4 kg de pão do tipo e 0 kg de pão do tipo tendo um lucro máimo de 8, euros. Usando o método gráfico, traçaríamos retas paralelas à reta de nível zero para determinar a solução ótima do problema: o vértice da região admissível que pertence à reta de nível mais elevado, ou seja, o vértice pertencente à reta com maior ordenada na origem que contém um ponto da região admissível. ssim, chegaríamos à conclusão que a solução ótima é atingida no vértice 4,0. Portanto, o valor máimo da função objetivo é L4,0 0,9 4 0,6 0 8,. 6. Tem-se que z k k k, com \,0 k. reta de nível zero é definida pela equação: k k 0 k k k k k k k, k \,0 declive da reta que contém o lado, com, e, é dado por m. ssim, a função objetivo atinge o máimo no vértice, se k k k k : k k Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página 9

10 k k k Reta de nível mais elevado Reta de nível mais elevado Reta de nível zero Reta de nível zero k k k função objectivo atinge o máimo no vértice, k k se. k função objectivo atinge o máimo no vértice, k k se. k ssim: k k k k k k k k k k k k k k k k Tem-se: k k 0 k k 0 k 0 k 0 k 0 k k 0 k 0 Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página 0

11 Fazendo um quadro de sinal vem: k k 0 k 0 0 k 0 k k k n.d. 0 Logo, a função objectivo atinge o máimo no vértice, se, k. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulos Programação Linear Página