Fundamentos de Investigação Operacional. Mestrado em Engenharia Civil 2010/11

Transcrição

1 Fundamentos de Investigação Operacional Mestrado em Engenharia Civil 2010/11

2 Módulo de Programação Linear Marília Pires Gabinete 3.16 (edifício 2 -FCT) w3.ualg.pt/~mpires

3 BIBLIOGRAFIA F. S. Hillier and G.J. Liberman, Introduction to Mathematical Programming, McGraw Hill International Editions F. S. HillierandG.J. Liberman, Introductionto OperationsResearch, McGraw Hill International Editions H. A. Taha, Operations Research, an introduction, Macmillan Publishing Company M. Ramalhete, J. Guerreiro e A. Magalhães, Programação Linear, McGraw Hill L. V. Tavares e F. N. Correia, Optimização Linear e Não Linear, Fundação Gulbenkian L. V. Tavares, R. C. Oliveira, I. H. Themidoe F. N. Correia, Investigação Operacional, Mcgraw Hill Marco Cesar Goldbarg e Henrique Pacca L. Luna, Otimização Combinatória e Programação Linear -Modelos e Algoritmos, Editora Campus Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos, Exercícios de Programação Linear, Edições Sílabo(2002)

4 O que é a Investigação Operacional? IO A ciência aplicada a melhores decisões Procura: melhor rumo de acção com restrições de recursos

5 Problemas típicos Horários de pessoal e/ou máquinas Horários de produção Distribuição de pessoal por postos de trabalho Mistura de matérias-primas Distribuição e Transportes Carteiras de Investimentos Técnicas publicitárias

6 Problemas típicos Gestão de tráfego Gestão hospitalar Horários de aviões, comboios e autocarros Horários escolares Projecto de grandes obras...

7 Passos a seguir: 1) Formular o problema 2) Construir o modelo matemático 3) Resolver o modelo 4) Testar o modelo e a solução 5) Estabelecer controlo sobre a solução 6) Implementar a solução

8 O Problema do Rio Negro Complexo Superterra Região Interior Região Litoral Zona Turística

9 Grupo de Trabalho Interministerial Ministério da Indústria Ministério da Agricultura Ministério do Emprego Ministério do Turismo Ministério do Ambiente Associação Ambientalista Rio Azul Empresários Turísticos Comissão de Coordenação da Região Litoral Comissão de Coordenação da Região Interior

10 IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA Capacidade de produção: 100 toneladas por mês Política actual de produção: 20 toneladas de produto A + 80 toneladas de produto B 1 tonelada de A lucro bruto de tonelada de B lucro bruto de Lucro bruto correspondente à política actual de produção: = Despesas fixas (mesmo sem produção): Lucro efectivo: =

11 CBO 5 indicador de presença de matéria orgânica Mede a quantidade de oxigénio dissolvido na água necessário à oxidação bioquímica da matéria orgânica por parte de uma culturademicroorganismosàtemperatura de20 o Cecomumperíododeincubaçãode 5dias.

12 IDENTIFICAÇÃO DO PROBLEMA(CONT.) 1 tonelada de A 0,7 mg/l de CBO 5 1 tonelada de B 3,5 mg/l de CBO 5 Actual política de produção é responsável por: 20 toneladas de produto A 0,7 mg/l CBO toneladas de produto B 3,5 mg/l CBO 5 = = 294 mg/l CBO 5 Máximo admissível nos meses de Verão: 210 mg/l CBO 5

13 Equacionar o problema x : quantidade de A a produzir mensalmente y : quantidade de B a produzir mensalmente Restrição ambiental: 0,7 x + 3,5 y 210 Restrições de produção: x + y 100 x 0 ; y 0 Objectivo: maximizar lucro Maximizar F = 10x + 20y 1 400

14 Rio Negro

15 Solução Óptima do Problema: Produzir 50 toneladas do produto A Produzir 50 toneladas do produto B Lucro: = 100 O lucro passará a ser (menos lucro mas respeita-se a restrição ambiental)

16 Se for inserida uma estação de tratamento de águas residuais? 1 tonelada de A 0,6 mg/l de CBO 5 1 tonelada de B 3,0 mg/l de CBO 5 1 tonelada de A lucro de tonelada de B lucro de Despesas fixas (mesmo sem produção):

17 Equacionar o problema x : quantidade de A a produzir mensalmente y : quantidade de B a produzir mensalmente Restrição ambiental: 0,6 x + 3 y 210 Restrições de produção: x + y 100 x 0 ; y 0 Objectivo: maximizar lucro Maximizar F = 8x + 16y 1 500

18 Rio Negro

19 Solução Óptima do Problema: Produzir 37.5 toneladas do produto A Produzir 62.5 toneladas do produto B Lucro: = -200 Passará a haver prejuízo de (!!!)

20 Uma empresa de estampagem fabrica saladeiras e tigelas de aço inoxidável. Para isso utiliza como matéria-prima chapas de aço de tamanho único. Com cada chapa podem-se estampar uma saladeira e duas tigelas, ou então seis tigelas. A firma vende cada saladeira a 80 euros e cada tigela a 25 euros. Cada chapa custa 60 euros. Os restantes custos são fixos. Sabe-se, por experiência passada, que não se conseguem vender mais do que quatro tigelas por cada saladeira. O número total de chapas disponíveis é de 680. Qual a quantidade a produzir de cada artigo de modo a maximizar o lucro?

21 Variáveis de decisão: x 1 número de tigelas x 2 número de saladeiras 1 saladeira 1 chapa x 2x x 2 tigelas chapas Número total de chapas: x 2 + x 1 6 2x 2

22 Objectivo: maximizar lucro = vendas custos Vendas 25x + 80x 1 2 Custos x 2x 60 x Função objectivo: x1 2x2 25x1 + 80x2 60 x2 + 6 Max z = 15x + 40x 1 2

23 Restrições: Número de chapas disponíveis: x 2x x Não se conseguem vender mais do que 4 tigelas por cada saladeira: x 4x 1 2

24 Restrições: As variáveis não podem ser negativas: x 0; x As variáveis só podem tomar valores inteiros: x, 1 x 2 inteiros

25 Max z = 15x + 40x 1 x 4x x + 4x x 0; x x, 1 x 2 inteiros

26 Resolução