Objetivo: Encontrar uma combinação de produtos que dê o maior lucro possível. Decisão a ser tomada Objetivo: Maximizar o lucro total

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1 Brincando com a Otimização Linear ou Lego of my simplex ( Pendegraft,199) Socorro Rangel DCCE - IBILCE - UNESP O Problema Matéria Prima Disponível 6 peças grandes 8 peças pequenas Especificação do produto Objetivo: Encontrar uma combinação de produtos que dê o maior lucro possível. cadeira: 1 peça grande 2 peças pequenas mesa: 2 peças grandes 2 peças pequenas Valor: 10 u.m. Valor: 16 u.m. 1 Decisão a ser tomada Quantas cadeiras produzir ===> x 1 Quantas mesas produzir ===> x 1, variáveis de decisão 2a Objetivo: Maximizar o lucro total cadeira: 1 10 u.m Função objetivo: x 1 10 x 1 u.m. mesa: max Z = 10 x u.m. 16 u.m. Total: 10 x b Restrições : Disponibilidade de recursos peças grandes disponíveis: 6 1 cadeira 1 peça x 1 cadeiras x 1 peças 1 mesa 2 peças mesas 2 peças Total: x Restrição 1 (peças grandes) x <= 6 2c Modelo de Otimização Linear max Z = 10 x x <= 6 2x <= 8 x 1, >= 0 2d

2 Solução Gráfica Solução Gráfica (0,3) (2,2) OP =1/10(10,16) (0,3) (2,2) Solução ótima, Z * =2 Z = 0 OP 3 3 (0,0) (,0) (0,0) (,0) x 1 x 1 Determine a atividade de maior valor marginal (custo reduzido) Determine a primeira restrição que pode ser violada se a atividade acima subir de nível Troque uma atividade por outra Problema na forma padrão max 10 x x x 3 = 6 2x x = 8 x 1,, x 3, x >= 0 x 3 = quantidade de peças grandes em x = quantidade de peças pequenas em Solução inicial ( x 1, ) = (0,0) (x 3, x ) = (6, 8) Não há produção de mesas e cadeiras, as peças grandes e pequenas são mantidas em Z = 0 Determinar valor marginal das atividades Z = 10 x Se produzirmos uma cadeira = 10 Se produzirmos uma mesa = 16 Atividade com maior valor marginal: produzir mesas

3 Quantas mesas podem ser produzidas? x 3 = 6 - x 1-2 x = 8-2x 1-2 = min{ 6/2, 8/2} = 3 e ficamos sem peças grandes em : x 3 = 0 Trocamos a atividade x 3 por A nova solução é: ( x 1, x 3 ) = (0,0) (, x ) = (3, 2) Z = 8 Produzir 3 mesas Manter 2 peças pequenas em Lucro associado: 8 u.m. Determinar valor marginal das atividades Não temos peças grandes em Para construir uma cadeira será necessário usar metade de uma mesa (mais uma peça do ): Iteração 2 Quantas cadeiras podem ser produzidas? = 3 - (1/2) x 1 - (1/2) x 3 x = 2 - x 1 + x 3 Iteração (1/2) = 2 Z = x 1-8 x3 x 1 = min{ 3/(1/2), 2/1} = 2 e ficamos sem peças pequenas em : x = 0 Trocamos a atividade x por x 1 Iteração 2 A nova solução é: ( x, x 3 ) = (0,0) Z = 2 (, x 1 ) = (2, 2) Produzir 2 mesas Produzir 2 cadeiras Lucro associado: 2 u.m. Determinar valor marginal das atividades Não temos peças em Para obter peças suficientes para construir uma cadeira será necessário desmanchar totalmente uma mesa: = - 6 De maneira similar precisamos desmanchar uma cadeira, mas obtemos apenas metade de uma mesa (1/2) = - 2 Iteração 3 Z = 2-6 x 3-2 x

4 Solução Ótima: Produzir 2 mesas Produzir 2 cadeiras Lucro associado: 2 u.m. Quanto vocês pagariam por uma peça grande extra? comprariam? venderiam? Quanto vocês pagariam por uma peça grande extra? Desmanchamos uma cadeira Construímos uma mesa = 6 O valor a ser pago por uma peça grande extra é : 6 u.m. 1 cadeira e 3 mesas 1(10) + 3 (16 ) = 8-6 = 2 comprariam? Temos apenas duas cadeiras mesas que podem ser desmanchadas para construir novas mesas. (16 ) - 2(6) = 6-12 = 2 Compraríamos no máximo 2 peças grandes. venderiam? Se desmancharmos uma mesa, podemos construir uma cadeira e vender uma peça grande. Se desmancharmos duas mesas, podemos construir cadeiras e vender duas peças grandes. cadeiras (10 ) = 0 + 2(6) = 2 Temos que o número de peças grandes pode variar de mais ou menos dois sem que o lucro (base ótima) se altere.

5 O problema dual Determinar o menor preço a ser pago pelos recursos disponíveis Min 6u 1 + 8u 2 u u 2 >= 10 2 u 1 + 2u 2 >= 16 u 1, u 2 >= 0 6 Para Saber Mais Pendergraft, N. Lego of my simplex, ORMS Today, v. 2, n. 1, 199. Boletim da SOBRAPO, informe 16, abr-mai, 199. Tunala, N., Um procedimento Geométrico para a otimização linear no plano, Revista do Professor de Matemática, n. 31, Construção de Modelos de Otimização WILLIAMS, H.P. Model Bulding in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, Solução de Modelos GOLDBARG, M.C e HPL Luna, Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus, RANGEL, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 200. v. único. 82 p. Wagner, H. M. Pesquisa Operacional,Ed. Prentice Hall do Brasil (1986) BAZARAA, M.J. e JARVIS, J.J. - Linear Programming and Network Flows, J. Wiley & Sons, N.Y. GOLDBARG, M.C e HPL Luna, Otimização Combinatória e Programação Linear, Editora Campus, Wagner, H. M. - Pesquisa Operacional Ed. Prentice Hall do Brasil (1986) Luemberger, David - Linear and Non Linear Programming Addison Wesley (198) Maculan, N. - Programação Linear Inteira COPPE-UFRJ (198) Salkin, H. e K. Mathur - Foundations of Integer Programming North Holand (1989)