PROGRAMAÇÃO LINEAR E APLICAÇÕES

Transcrição

1 E APLICAÇÕES Faculdade de Tecnologia de Ourinhos Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas Prof. Dr. Sidney C. Ferrari

2 Pesquisa Operacional Notas Históricas Os caminhos da PO podem ser traçados a muitas décadas atrás, quando foi aplicada a administração cientifica às organizações. Como a tendência natural é aumentar a complexidade e a especialização das organizações, torna-se mais e mais difícil alocar seus recursos disponíveis pelas suas várias atividades de maneira a obter a melhor eficiência para a organização. O termo PO é geralmente atribuído aos serviços militares durante a Segunda Grande Guerra Mundial (1939). Os dirigentes militares chamaram equipes de cientistas para estudar problemas estratégicos e táticos associados com a defesa aérea e terrestre do país. Seu objetivo era determinar a melhor utilização efetiva dos recursos militares limitados.

3 Pesquisa Operacional Diferentes conceitos dados para a Pesquisa Operacional PO é a aplicação do método científico, por equipes interdisciplinares, a problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados e tem como finalidade de obter as soluções que melhor satisfazem aos objetivos da organização, como UM TODO. A PO se esforça ao máximo para discutir a incerteza, mas não a pode eliminar. A PO firmou-se como uma atividade que pode colocar a serviço da gerência - e realmente o faz - novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas; ajudando a resolver problemas complexos e tomar decisões importantes. PO é a aplicação de análises quantitativas dos problemas gerenciais. O objetivo da análise é encontrar as melhores soluções dos problemas, isto é, escolher as boas decisões.

4 Pesquisa Operacional Diferentes conceitos dados para a Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional é a preparação científica das decisões, visando a modificação do binômio "Experiência -Intuição pela "Informação -Racionalidade". A PO é um conjunto de métodos, que recorre a diversas disciplinas cientificas, com a finalidade de preparar as decisões que se devem tomar, determinar racionalmente as soluções mais eficientes (eficazes) ou as mais econômicas, recorrendo a procedimentos estatísticos e/ou matemáticos cuja aplicação exige na maioria das vezes o emprego de computadores.

5 Pesquisa Operacional Em síntese a PO envolve: 1. Pesquisa sobre operações; 2. Aplicação de método científico por equipes interdiciplinares; 3. Apresenta novas atitudes, novos conceitos e novas técnicas; 4. Aplicação de análises quantitativas aos problemas gerenciais; 5. Resolver problemas complexos; 6. Tomar decisões importantes (ou escolher as boas decisões); 7. Problemas que dizem respeito ao controle de sistemas organizados; 8. Discutir a incerteza.

6 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Maximizar ou minimizar uma quantidade específica objetivo Depende de um número finito de variáveis entrada Restrições: relacionamento das variáveis entrada Exemplo. Uma marcenaria fabrica dois produtos, mesa e armário, ambos de um só modelo. A empresa tem disponibilidade diária de 12 m² de madeira e 8 horas de mão de obra. Para fazer uma mesa a fábrica gasta 2m² de madeira e 2 horas de mão de obra e para fazer um armário gasta 3 m² de madeira e 1 hora de mão de obra. O lucro de cada mesa é de R$ 4,00 e de cada armário é de R$ 1,00. Encontre o programa de produção que maximiza o lucro. (Andrade, p.30)

7 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Modelo matemático: Máx.: L = 4x 1 + 1x 2 <= função objetivo Sujeito a: 2x 1 + 3x 2 12 <= restrição madeira 2x 1 + 1x 2 8 <= restrição mão de obra x 1 0 <= restrição não negatividade x 2 0 <= restrição não negatividade

8 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA É um problema de otimização Objetivos e restrições são expressos como função matemática e relações funcionais Formalização: Otimizar: z = f(x 1, x 2,...,x n ) Sujeito a: g 1 (x 1, x 2,...,x n ) < b 1... = b 2 g m (x 1, x 2,...,x n ) > b 3

9 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA Técnicas de solução PROGRAMAÇÃO LINEAR Cada uma das g i são funções lineares f(x 1,...,x n )= c 1 x c n x n g i (x 1,...,x n ) = a i1 x a in x n São constantes: c j e a ij, i = 1, 2,..., m j = 1, 2,...,n PROGRAMAÇÃO INTEIRA Programação linear com valores das variáveis inteiros Coeficientes não é necessário serem inteiros PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA f Restrições lineares Função objetivo: n x1, x2,..., xn cij xi x j n i 1 j 1 i 1 n d i x i

10 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 1º. Determinar a grandeza a ser otimizada. Expressá-la como função matemática 2º. Identificar todas as exigências, restrições e limitações. Expressá-las matematicamente. 3º. Expressar todas as condições implícitas. Situações evidentes a partir da situação física a ser modelada.

11 Exemplo 1 Planejamento da produção Uma marcenaria fabrica dois produtos, mesa e armário, ambos de um só modelo. A empresa tem disponibilidade diária de 12 m² de madeira e 8 horas de mão de obra. Para fazer uma mesa a fábrica gasta 2m² de madeira e 2 horas de mão de obra e para fazer um armário gasta 3 m² de madeira e 1 hora de mão de obra. O lucro de cada mesa é de R$ 4,00 e de cada armário é de R$ 1,00. Encontre o programa de produção que maximiza o lucro. (Andrade, p.30)

12 Resolução: Variáveis: x 1 : quantidade de mesas fabricadas x 2 : quantidade de armários fabricados Objetivo: obter lucro (L) máximo. O lucro é a grandeza a ser otimizada que deve ser expresso como uma função das variáveis definidas anteriormente. Função objetivo: maximizar L = 4x 1 + 1x 2

13 Restrições: Quanto à disponibilidade de madeira: 2x 1 + 3x 2 12 Quanto à mão de obra utilizada: 2x 1 + 1x 2 8 Quanto à não negatividade: x 1 0 e x 2 0 Modelo: Máx.: L = 4x 1 + 1x 2 Sujeito a: 2x 1 + 3x x 1 + 1x 2 8 x 1 0 x 2 0

14 Exemplo 2 Elaboração de dieta Para uma boa alimentação o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas é de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Cada unidade de ovos 8 unidades de vitaminas e 6 de proteínas. Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumidas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa R$ 3,00 e de ovo R$ 2,50. (Medeiros, p. 17)

15 Resolução: Variáveis: x 1 : quantidade diária de carne x 2 : quantidade diária de ovos Objetivo: obter custo (C) mínimo. O custo é a grandeza a ser otimizada que deve ser expresso como uma função das variáveis definidas anteriormente. Função objetivo: minimizar C = 3x 1 + 2,5x 2

16 Restrições: Quanto a necessidade de vitaminas: 4x 1 + 8x 2 32 Quanto a necessidade de proteínas: 6x 1 + 6x 2 36 Quanto à não negatividade: x 1 0 e x 2 0 Modelo: Min.: C = 3x 1 + 2,5x 2 Sujeito a: 4x 1 + 8x x 1 + 6x 2 36 x 1 0 x 2 0

17 Outros exemplos: Andrade, p. 27 Problema de mistura Andrade, p. 27 Programação da produção de cimento Andrade, p. 29 Programação de corte para minimizar perdas de aparas

18 EXERCÍCIOS Formule, mas não resolva os exercícios a seguir (BRONSON, Richard. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-Hill, 1985) 1. O açougue de um povoado prepara tradicionalmente suas almôndegas, misturando carne bovina magra e carne de porco. A Carne bovina contém 80% de carne e 20% de gordura e custa 80 centavos de reais o kilo; a carne de porco contém 68% de carne e 32% de gordura e custa 60 centavos de reais o kilo. Quanto de carne bovina e quanto de carne de porco deve o açougue utilizar por kilo de almôndegas se desejar minimizar seu custo e conservar o teor de gordura da almôndega não superior a 25%?

19 2. Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccionar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no passado, de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças de madeira e 7 horas de trabalho enquanto o modelo II necessita de 1 peça de madeira e 8 horas de trabalho. Os preços dos modelos são, respectivamente, 120 e 80 reais. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido com as vendas?

20 3. Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2; 1,5; 3 e 3 horas para decoração. Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante dispõe de horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas semanais). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades produzidas possam ser vendidas.

21 4. Uma excursionista planeja fazer viagem acampando. Há cinco itens que a excursionista deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite de 60 Kg que ela supõe ser capaz de carregar. Para ajudar a si própria no processo de seleção ela atribui valores, por ordem crescente de importância, a cada um dos itens segundo a tabela. Que itens devem ser conduzidos de forma a maximizar o valor total sem exceder as restrições de peso? Item Peso (kg) Valor

22 EXERCÍCIOS Formule o modelo, mas não resolva, de cada um dos problemas: Andrade, p. 58: exercícios 1, 2, 3, 4 e 5.